考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移

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考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移

1.（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b ∙===，则2a b -=（ ）

（A ）0

（B ） （C ）4 （D ）8

【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.

【思路点拨】根据公式2

a a =

进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.

【规范解答】选B （方法一）

222242a b a b a a b b -=-=-⋅+2() ==（方法二）数形结合法：由条件0a b ∙=a ，b 所在线段为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b ==，所以

2=2a ，则2a b -是边长为2【方法技巧】方法一：灵活应用公式2

a a =， 方法二：熟记向量0a

b a b ⊥⇔∙=（a ，b 为非零向量）及向量和的三角形法则

2.（2010·重庆高考文科·Ｔ3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-， 0a b ∙=，则实数m 的值为（ ）

（A ）32- （B ）32

（C ）2 （D ）6 【命题立意】本小题考查平面向量的基础知识及其应用，考查数量积的运算，考查方程思想.

【思路点拨】将坐标代入数量积的坐标公式计算即可.

【规范解答】选D. 因为0a b ∙=，向量(3,)a m =，(2,1)b =-，所以32(1)0m ⨯+-=，所以6m =.

【方法技巧】熟记向量数量积的坐标运算公式.

3.（2010·四川高考理科·Ｔ5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

2

16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）.

（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1

4

【命题立意】本题主要考查平面向量加、减运算的几何表示，向量模的意义，平行四边形的性质.

【思路点拨】平行四边形法则，22BC BC =.

【规范解答】选C. 以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABDC ，由 22=16BC BC =,知=4BC ，又由AB AC AB AC +=-可知，四边形ABCD 为 矩形.∴242AD BC AM AM ===⇒=，故选C

【方法技巧】平行四边形法则和数形结合思想的

应用. 如图：

4.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）在△ABC 中，点D 在

边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , 1,2a b ==， 则CD =（ ）

（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45

a +35

b 【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识.

【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决.由角平分线性质知DB:AD=CB ︰CA =1︰2，

这样可以用向量a , b 表示CD .

【规范解答】选B.由题意得AD ︰DB=AC ︰CB=2︰1,AD=

32AB,所以CD =CA +=b +23 =3

2a +13b 5.（2010·湖北高考理科·Ｔ5）已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

【命题立意】本题主要考查向量加法的平行四边形法则、两向量共线的充要条件以及三角形重心的性质，同时考查考生的运算求解能力．

【思路点拨】先由0MA MB MC ++=确定M 点的位置，再利用向量加法的平行四边形法则表示出AB AC m +=，最后利用两向量共线的充要条件即可求出m 的值.

【规范解答】选B.由0MA MB MC ++=得MA MB MC +=-，设AB 中点为D,则2MA MB MD +=，从而2MC MD -=，即2C M M D =，所以M 点为ABC ∆的重心.设BC 的中点为E ，则2A B A C A E +=,

所以m 2

AE AM =,由三角形重心的性质知. 3m =. 【方法技巧】已知0MA MB MC ++=确定点M 的位置时，解题的依据是若(0)b a a λ=≠则b a b a λ⎧⎪⎨=⎪⎩

与共线.

.因此务必要将多个向量的运算转化为两向量的关系，再利用两向量共线的充要条件加以判断.再如已知ABC ∆，230MA MB MC ++=时，设AC,BC 的中点分别为E ，F ，则232MA MB MC MA MC MB MC ++=+++（）（）240ME MF =+=，

从而2ME MF =-,因此可判断M 点为ABC ∆的中位线EF 上靠近F 的一个三等分点.

6.（2010·上海高考理科·Ｔ１6）直线l 的参数方程是)(221R t t y t x ∈⎩⎨

⎧-=+=，则l 的方向向量d 可以 是（ ）

(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)

【命题立意】本题考查了参数方程及直线、向量的有关知识．

【思路点拨】先求出直线的方程，再写出直线的一个方向向量，再找与此方向向量平行的向量．

【规范解答】选C.由参数方程消去t 得，2521+-=x y ，21-=k ，与向量)2

1,1(-平行的向量只有(-2,1)． 【方法技巧】必须掌握对于直线y kx b =+，（1，k ）是它的方向向量及两向量共线的充要条件.

7.（2010·江西高考理科·Ｔ１３）已知向量,a b 满足1,2,a b a ==与b 的夹角为60°，

则a b -=______________．

【命题立意】本题主要考查平面向量数量积、平面向量的模、夹角等概念及平面向量的运算．

【思路点拨】

利用模长公式和数量积的知识直接求解.

【规范解答】由题意知a b -

=

=

= 【方法技巧】灵活应用公式2

a a =. 8.（2010·江西高考文科·Ｔ１３）已知向量a ，

b 满足||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是 .