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2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲 基本不等式
第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．(3)其中 称为正数a ，b 的算术平均数， 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确； 对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________． 【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥， 当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥， 当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=， 当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>， 又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号． 又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立． 因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <． 故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________． 【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥， 解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>， 则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____． 【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+， 当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈， 当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥， 当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤， 当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--， 当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-， 综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误． 故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。
高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭 关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2������, -1
或
������ + 3 2������ >
≥ 4,
2������,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各 个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式 的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求 解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲 对数与对数函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。
高中数学一轮专题讲义
高中数学一轮专题讲义
一、集合与函数
1. 集合的基本概念和性质
2. 集合的运算
3. 函数的定义和性质
4. 函数的图像和变换
5. 函数的导数和极值
二、三角函数与解三角形
1. 三角函数的定义和性质
2. 三角函数的图像和变换
3. 三角函数的解法和应用
4. 三角形的解法和平行四边形的性质
三、数列与不等式
1. 数列的定义和性质
2. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式
3. 数列的极限和数学归纳法
4. 不等式的性质和证明方法
5. 不等式的求解和应用
四、平面几何与立体几何
1. 点、直线、平面的性质和关系
2. 平面图形的性质和证明方法
3. 立体几何的基本概念和性质
4. 空间几何体的表面积和体积计算
5. 空间几何体的位置关系和证明方法
五、解析几何与向量
1. 直线的方程和性质
2. 圆的方程和性质
3. 圆锥曲线的方程和性质
4. 向量的基本概念和运算规则
5. 向量的应用和证明方法。
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高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比.例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名。
1mxt-高三数学第一轮复习讲义
0,
2
上的最大
值和最小值;
(2)若f(x0)=
6 5
,
x0∈
4
,
2
,求cos2x0的值.
【分析】化为一角一函的形式再求周期和最值.
【解析】 (1)由f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得
f(x)= 3 (2sinxcosx)+(2cos2x-1)=
=2sin(2x+ ),
cos20 sin20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
【分析】用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公 式，将70°,10°,40°化成与20°有关的角,约分求解.
【解析】
cos20 s in20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
cos20cos10 s in20
2sin2 cos2
- cos2 2 2cos2 1 cos2
2sin2 cos2
sin2
2sin2 sin tan 2sincos cos
考点2 三角函数式求值
考点3 三角函数式的变换及应用
已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx- mcos2x
2
= 1 cos 2x + 1 sin2x- m cos2x
= 1［2sin2x-(12+m)cos22x］+ 1 .
2
2
由tanα=2得
sin
2
2sin cos sin2 cos2
2tan 1 tan2
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义相互独立事件的概率一．复习目标：1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念：．2．是相互独立事件，则次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ ． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是．4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）甲多乙多一样多不确定四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．则．（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．例3．假定在张票中有张奖票（个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则（1）小结：因为，故A与B是不独立的．例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∵由，得，即当时，单调递增，当时，单调递减，从而最大．五．课后作业：班级学号姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲 幂函数与二次函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
高三数学第一轮复习《数列求和》讲义
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n.
③．在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 。
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，即 ，所以 。
（Ⅱ）由 ，得 。所以 ，
当 时， ；
例题分析：
题型一 分组转化求和
例1 求和：(1)Sn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ；
(2)Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2.
解 (1)由于an＝ ＝n＋ ，
∴Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝ ＋ ＝ － ＋1.
(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，
Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2＝ ＋ ＋…＋
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－ ，
∴Sn＝ ＋ .
变式训练2①已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
,
故 ( )
(2)
两式相减得
故
数列求和练习（1）
1．数列 的通项公式是 ，若它的前 项和为10，则其项数 为
A．11 B．99 C．120 D．121
解： ，则由 ，得 ，选C
2．数列 的通项是 ， ，则数列 的的前 项和为
A． B． C． D．
解： ，则
，选A
3．已知数列 的前 项和为 ，则 的值是
高三数学第一轮总复习讲义数列
高中数学总复习讲义（培优版）供理科生使用数列四讲第一讲 数列的概念及简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 教学重难点1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大. 教材知识再现一．基础知识1．数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做数列的 。
从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。
2．数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线； （3）通项公式法：用含)(n f a a n n n =，即的式子表示（4）递推公式法： 3．数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。
4．（1）数列{}n a 的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321（2）的关系与n n S a ： ⎩⎨⎧≥-==-.2111n S S n S a n nn ，，，基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数） （1）如何理解数列是函数？ （2）如何求数列的通项公式？（3）如何判断数列的单调性及求数列中的最大(小)项？ （4）如何求数列的前n 项和公式？经典习题奠基1.数列⋅⋅⋅,95,74,53,32,1的一个通项公式是2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 4，已知数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧-⋅=-52321n a n n122+==k n kn )(N k ∈，则=⋅34a a 5. 已知数列{}n a 的通项公式为n q pn a n +=，且23,2342==a a ，则=8a 关键要点点拨1．求通项公式的技巧根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系，并用n 表示出来．不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一 2.数列中最大项与最小项的求法考点一 由数列的前几项求数列的通项公式[例1] 下列可作为数列{}⋅⋅⋅,2,1,2,1,2,1:n a 的通项公式的是（ ）A.1=n aB.21)1(+-=n n aC. 2sin 2πn - D. 23)1(1+-=-n n a1.已知数列⋅⋅⋅,13,10,7,2则72是该数列的（ ） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项2.写出下列各数列的一个通项公式 （1）3,5,7,9，…（2）⋅⋅⋅,3231,1615,87,43,21 （3）⋅⋅⋅---,63,51,43,31,23,11.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.考点二 由n a 和n S 的关系求通项[例2]数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=6a 3. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1+=n n S n ，则=51a 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，求{}n a 的通项公式 （1）Sn ＝2n 2－3n ； （2）Sn ＝4n ＋b .n a 和n S 的关系通常用)2(1≥-=-n S S a n n n ，注意验证1=n考点三 由数列的递推关系求通项公式[例3] 数列{}n a 满足2,3311=-=+n a a a n n ，求nan 的最小值为（ ） A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6变式：若本例条件变为：数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为________．5. 已知数列{}n a 中，)2()1(1,111≥--==-n n n a a a n n ，则=16a6.分别求满足下列条件的数列的通项公式（1）)12(,011-+==+n a a a n n （2）)2(1,111≥-==-n a n na a n n 由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“a n ＋1＝a n ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2.对于形如)"("1n g a a nn =+型的递推关系式来求通项公式，只要)(n g 可求积，便可以利用累积或迭代的方法。
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义第一章：函数与方程1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
在数学中，我们通常用自变量和因变量来描述一个函数。
自变量是输入值，而因变量是输出值。
1.1.2 函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。
2.单调性：函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或单调递减。
3.奇偶性：函数的奇偶性指的是函数在定义域内是否关于原点对称。
4.最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。
1.2 一次函数与二次函数1.2.1 一次函数的性质与图像一次函数是指函数的最高次幂为一的函数，其一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数的性质与图像包括： - 斜率：斜率表示了函数图像在平面上的倾斜程度，可以通过斜率的正负来判断函数的单调性。
- 截距：截距表示了函数图像与 y 轴的交点位置。
1.2.2 二次函数的性质与图像二次函数是指函数的最高次幂为二的函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a，b 和 c 是常数，且a ≠ 0 。
二次函数的性质与图像包括： - 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数 a 决定。
- 判别式：判别式可以用来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。
-顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标可以通过解方程组求得。
第二章：不等式与数列2.1 不等式2.1.1 不等式的基本性质不等式是一种表示两个数之间大小关系的数学式子。
在解不等式时，需要注意以下基本性质： - 加减变换：对不等式两边同时加减某个数不改变不等关系的方向。
- 乘除变换：对不等式两边同时乘除某个非零数不改变不等关系的方向。
需要注意，当乘除以负数时，不等关系的方向会发生变化。
2.1.2 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，其一般形式为 ax + b >0（或 < 0）。
2023届高考数学一轮复习讲义：第4讲 一元二次不等式及其解法
第4讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的 图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实 根x 1＝x 2 ＝－b2a没有实 数根一元二次不等 式ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 {x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集． [典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（ ） A ．{x |1<x <2}B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,52．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f β>0，f α>0. (2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，fα<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．15a << B ．51a -<<- C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞D ．(),0∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（ ） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（ ） A ．()0,3B ．[]0,3C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞-⋃+∞B ．(6,--C ．(6,2))--⋃+∞D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点； （2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围第4讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的 图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根 有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实 根x 1＝x 2 ＝－b 2a没有实 数根一元二次不等 式ax 2＋bx ＋c >0(a >0){x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aR的解集 ax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（ ） A ．{x |1<x <2} B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵2210x x --<，∴112x -<<，∴不等式2210x x --<解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：D.2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.【解】(1)由231x ≤-，得2301x -≤-，即5301x x -≤- 则(53)(1)0x x --≤且1x ≠，解得：5(,1)[,)3-∞+∞(2)当12a =-时，原不等式1(1)(2)02x x ⇔--+<，解的{|2}x x ≠-；当12a <-时，原不等式(1)(2)0ax x ⇔-+<，又12a >-所以解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；当102a -<<时，因为12a <-所以解集为1(,)(2,)a-∞-+∞.综上有，12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞-+∞. [举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,5【答案】B【解析】由题意，{}2230{|13}A x x x x x =--<=-<<，故{}{|13}15{|13}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂≤≤=≤<， 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥【答案】B 【解析】由不等式402x x ->+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >， 又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ， 可得R{|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤. 故选：B.3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.【解】当a ＋1=0即 a ＝-1时，原不等式变为－x ＋2<0，即x >2. 当a>-1时，原不等式可转化为()1201x x a ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭， ∴方程()1201x x a ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭的根为1,21a +. 若-1<a<12-，则11a +>2，解得2<x <11a +；若a ＝12-，则11a +＝2，解得x ∈∅；若a >12-，则11a +<2， 解得11a +<x <2.综上，当a >12-时，原不等式的解集为{x |11a +<x <2}； 当a ＝12-时，原不等式的解集为∅；当-1<a <12-时，原不等式的解集为{x |2<x <11a +}. 当a ＝-1时，原不等式的解集为{x |x >2}.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根， 所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ fβ>0，f α>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，f α<0. f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．15a <<B ．51a -<<-C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-【答案】C【解析】当10a +=，即1a =-时，()()21110a x a x +-+-<可化为10-<，即不等式10-<恒成立；当10a +≠，即1a ≠-时，因为()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，所以()()2101410a a a +<⎧⎪⎨+++<⎪⎩，解得51a -<<-； 综上所述，51a -<≤-. 故选：C.2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+【答案】B【解析】解：当0x =时，不等式10恒成立； 当0x >时，由题意可得12a x x-+恒成立， 由11()22f x x x x x=+⋅=，当且仅当1x =时，取得等号． 所以22a -，解得1a -．综上可得，a 的取值范围是[)1,-+∞． 故选：B ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x ∴的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ． [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞ D ．(),0∞-【答案】A【解析】由题意，当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，故2(2)4(1)0a ∆=-++≤ 解得2a ≤-，故实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（ ） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B【解析】当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立； 当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有2(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<， 综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤， 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1124⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 【答案】B【解析】∵不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ， 当a -2＝0，即a ＝2时，不等式为3>0恒成立，故a ＝2符合题意； 当a ﹣2≠0，即a ≠2时，不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ， 则()()220Δ424230a a a ->⎧⎪⎨⎡⎤=---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得1124a <<， 综合①②可得，实数a 的取值范围是1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或x >12≤xx =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,4]-∞ D ．(,2]-∞【答案】A【解析】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立， 所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立， 因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞ 故选：A6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】[1,4]【解析】2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤， ①当0x =时，a R ∈；②当0x ≠时，2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤64x a x x x⇔-≤≤+， min 44242x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，max 6321x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴14a ≤≤， 综上所述：14a ≤≤. 故答案为：[]1,4.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________． 【答案】[]0,1【解析】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥ 当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得： 233210kx x x x <+--，即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立， 令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,18．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】(1)解：由已知，210mx mx --<对于一切实数x 恒成立， 当0m =时，10-<恒成立,符合题意，当0m ≠时，只需20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<， 综上所述，m 的取值范围是(4-，0]；(2)解：由已知，215mx mx m --<-+对[1x ∈，3]恒成立， 即2(1)6m x x -+<对[1x ∈，3]恒成立，22131()024x x x -+=-+>，∴261m x x <-+对[1x ∈，3]恒成立，令2()1g x x x =-+，则只需min6()m g x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦即可， 而()g x 在[1x ∈，3]上是单调递增函数，()[1g x ∴∈，7]，∴66[,6]()7g x ∈，67m ∴<， 所以m 的取值范围是6(,)7-∞.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .3.在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[]0,3 C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】因为方程24=0x ax -++有两根，一个大于2,另一个小于1-，所以函数 ()24f x x ax =-++有两零点，一个大于2，另一个小于1-，由二次函数的图像可知，()()2010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩ ，即:()()2222401140a a ⎧-+⋅+>⎪⎨--+⋅-+>⎪⎩ 解得:0<<3a 故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B【解析】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-，所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线， 根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈ 所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选： C[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（ ）A ．(,25)(25,)-∞-⋃+∞B ．(6,25]--C ．(6,2)(25,)--⋃+∞D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】解：∵关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，令2()(2)6f x x m x m =+-+-，可得2(2)4(6)0222(2)42(2)60m m m f m m ⎧∆=---≥⎪-⎪->⎨⎪=+-+->⎪⎩，即252526m m m m ⎧≥≤-⎪<-⎨⎪>-⎩或， 求得625m -<≤- 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()2a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤， 所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A【解析】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈--所以2a <- . 故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______【答案】52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】解：由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解， 设1()f x x x =+，则函数1()f x x x=+在[]1,2上单调递增，所以5(1)()(2)2f f x f ≤≤=，所以实数a 的取值范围为52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <， 所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞， 故答案为：(),1-∞.7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+【解析】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】57m <【解析】若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立， 即可知：250mx mx m -+-<在13{|}x x x ∈≤≤上恒成立，令()25g x mx mx m =-+-，当0m =时，50-<恒成立， 当0m ≠时，对称轴为12x =. 当0m <时，有()g x 开口向下且在[]1,3上单调递减，∴在[]1,3上()()max 150g x g m ==-<，得5m <，故有0m <. 当0m >时，有()g x 开口向上且在[]1,3上单调递增，∴在[]1,3上()()max 3750g x g m ==-<， ∴507m <<， 综上，实数m 的取值范围为57m <， 故答案为：57m <9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点； （2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， 所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<， 当302a <<时，解得32x a <<；当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅； 当32a >时，解得32x a <<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a <<，当32a =时，不等式的解集∅， 当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，即230x mx m ++-在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-， ①22m --即4m ，2x =-时，函数取得最小值4230m m -+-即73m， 4m ∴. ②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时2304m m -+-，解得24m <. ③当22m-即4m -时，当2x =时取得最小值，此时4230m m ++-， 解得7m -，综上，2m 或7m -。
高三数学一轮复习资料基础知识归纳整理
高三数学一轮复习：根底学问归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素及集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 〔2〕德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.〔3〕A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=留意：探讨的时候不要遗忘了φ=A 的状况. 〔4〕集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数及导数1．映射：留意: ①第一个集合中的元素必需有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义〔斜率、间隔 、 肯定值的意义等〕；⑧利用函数有界性〔xa 、x sin 、x cos 等〕；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: 〔1〕复合函数定义域求法：① 假设f(x)的定义域为［a ，b ］,那么复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.〔2〕复合函数单调性的断定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为根本函数：内函数)(x g u =及外函数)(u f y = ②分别探讨内、外函数在各自定义域内的单调性③依据“同性那么增，异性那么减〞来推断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域〔最值〕、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
高三数学一轮复习等差等比数列讲义
等差等比数列【知识梳理】一、通项公式等差数列：，为首项，为公差.等比数列：11-⋅=n n q a a ，为首项，为公比.二、前项和公式 等差数列：或 等比数列：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1 或 q q a a S n n --=11当1=q 时，1na S n =三、差比数列的判定方法1.定义法：（，是常数）是等差数列；q a a nn =+1（，是常数）{}n a 是等比数列.2.中项法：()是等差数列；221++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列.四、差比数列的常用性质等差数列：若，则； 等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅.课中讲解一、等差等比数列的判定 典型例题1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()21na a S n n +=()d n n na S n 211-+=d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m证：数列{b n}是等差数列。
2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是等差数列。
3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。
4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。
(word完整版)高三数学一轮复习资料——基础知识归纳(整理),文档.docx
高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分集合1.理解集合中元素的意是解决集合的关：元素是函数关系中自量的取？．．．．．是因量的取？是曲上的点？⋯2.数形合是解集合的常用方法：解要尽可能地借助数、直角坐系或恩．．．．等工具，将抽象的代数具体化、形象化、直化，然后利用数形合的思想方法解决3. (1) 元素与集合的关系：x A x C U A , x C U A x A .（ 2）德摩根公式：C U( A I B)C U A U C U B;C U (A U B)C U A I C U B .（ 3）A IB A A U B B A BC U B C U A A I C U BC U A U B R注意：的候不要忘了A的情况 .（ 4）集合{ a1 , a2 ,L, a n } 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n–2个.4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数与数1．映射：注意 :①第一个集合中的元素必有象；②一一或多一.2．函数域的求法：①分析法；②配方法；③判式法；④利用函数性；⑤ 元法；⑥利用均不等式a ba2b2（斜率、距离、ab；⑦利用数形合或几何意22的意等）；⑧利用函数有界性（ a x、sin x、 cos x 等）；⑨平方法；⑩ 数法3．复合函数的有关:（ 1）复合函数定域求法：①若 f(x) 的定域［ a， b］ , 复合函数 f[g(x)] 的定域由不等式 a≤ g(x)≤b 解出②若 f[g(x)] 的定域 [a,b],求 f(x)的定域，相当于 x∈[a,b] ，求 g(x)的域 .（2）复合函数性的判定：①首先将原函数y f [ g( x)] 分解基本函数：内函数u g( x) 与外函数 y f (u)②分研究内、外函数在各自定域内的性③根据“同性增，异性减”来判断原函数在其定域内的性 . 4．分段函数：域（最）、性、象等，先分段解决，再下。
集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ， ， ， ， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D
高三数学一轮复习精品资料——基础知识归纳(整理)
高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（3）A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况. （4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n–2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
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高中数学一轮复习知识点第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件• 考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.§ 01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：二、知识回顾：(一)集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法集合元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AA ；②空集是任何集合的子集，记为工A；③空集是任何非空集合的真子集；如果A二B ,同时B二A ,那么A = B.如果A B, B C,那么A C.［注］:①Z= ｛整数｝(√)②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(×)(例：S=N A=N ',则CA= ｛0｝)③空集的补集是全集.④若集合A=集合B,则C A= , C B = ._ G (C B=D (注：C B = •_ ).3. ①｛(X, y) | Xy =0 , X ∈R y ∈R｝:坐标轴上的点集.②｛(X, y) | Xy V 0, X ∈R y∈R < 二、四象限的点集.③{ (X, y) I Xy > 0, X ∈R, y ∈R}:一、三象限的点集.［注］:①对方程组解的集合应是点集•例: /+y =3解的集合{(2，1)}.2x _3y =1'⅛.■ 2②点集与数集的交集是 -.(例：A ={( X，y)| y =x+1} B={ y| y = x+1} 则A∩B = ._)4•①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n—1个. ③n个元素的非空真子集有2n—2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题：=逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题= 逆否命题.例：①若a >b=5,贝V a -- 2或b =3应是真命题.解：逆否：a = 2且b = 3 ,则a+b = 5 ,成立，所以此命题为真.②X -1且y = 2,_二；X y =3∙解：逆否：X + y =3半= 1或y = 2..X =1且y =2 X亠y=3,故X ∙y=3是x=1且y=2的既不是充分，又不是必要条件⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围3. 例：若X 5, ：X -5或X 2 .4. 集合运算：交、并、补.交：AnB= {x∣x A l且X B}并：AUB= {x I X A或X B}补：Q j A = {X IJ I且X-一A}5. 主要性质和运算律(1)包含关系：A Aj: -A l A U l C U A U I A B,B C=A C;AnB AIAnB B; AUB 二AIAUB 二B.(2)等价关系：A^B= AnB = A= AUB = B= C U AUB=U(3)集合的运算律：交换律：A B=B A; A B=B A结合律:(A B) C=A (B C); (A B) C=A (B C)分配律:.A (B C)=(A B) (A C); A (B C)=(A B) (A C)0-1 律：G「|AUA = AIUrlA=AIUUA=U等幕律：A A = A,A A = A求补律：A∩ GA=φ A U C U A=U 'C UL= φ ∙"'C Uφ =U反演律：C U(A ∩ B)= (C U A) U (C U B) C U(A U B)= (C U A) ∩ (C U B)6. 有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定card( φ ) =0. 基本公式：(1) Card (AUB)= Card (A) Card (B)-Card (An B)(2) Card(AU BUC)=Card(A) Card (B) Card (C)-Card (AnB) — card (BnC) - card (Cn A) Card(AnBnC)(3) Card ( '',uA)= Card(U)- Card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法根轴法(零点分段法)①将不等式化为a o(x-x ι)(x-x 2)…(X-X ∏)>0(<0)形式，并将各因式X的系数化“ +” ;(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④若不等式(X的系数化“ +”后)是“ >0” ,则找“线”在X轴上方的区间；若不等式是“ <0” ,则找“线”在X轴下方的区间.则不等式a0X n- a1x nj■ a2x n^ ■ a n∙0(^0)(a00)的解可以根据各区间的符号确定•特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax22. 分式不等式的解法3. 含绝对值不等式的解法(1)公式法：ax +b £C ,与ax +b >c(c > 0)型的不等式的解法 (2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论 .(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4. 一元二次方程根的分布 一元二次方程 aχ2+bx+c=0(a ≠ 0)(1) 根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之(2) 根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 (三) 简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
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最新整理高三数学高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义直线的方程
一．复习目标：
1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点：
1．过两点、的直线斜率公式：．
2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；
两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习：
1．设，则直线的倾斜角为（）
2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）
多于
3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是
；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .
4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 .
四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程.
例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直
线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .
例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程.
例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（）
2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（）
3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．
4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .
5．设，，则直线的倾斜角为．
6．不论为何实数，直线恒过定点．
7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程．8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．
9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分．
10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程．。