高中数学 函数的最大最小值素材
函数的最大值、最小值 课件
2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为 直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区 间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］ 上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函 数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结 论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的 值.
类型 一 图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和
函数的最大值和最小值ppt
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调 性，再求最值．
-
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
-
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
-
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
-
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
-
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
-
变式练习
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
(x＞2)
-
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值 【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1 ＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1) -
函数最大值和最小值课件
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单 调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
准确理解函数最大值的概念
②存在x0∈I ，使f(x0)＝M.
高中数学函数的最大值与最小值完美版PPT资料
(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 与端点的函数值进行比较.
f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)
=-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6a 6.
高中数学函数的最大值与最小 值
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.
延伸1:大设值32 为a1,最1 ,函小数值为f(x )6 x,3求2 3 常a数2x a,b b( . 1x1)的最
2
解:令 f(x)3x23a x0得x=0或a.
当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表: V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
22
3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
导数的应用--函数的最大值和最小值21页PPT
导数的应用--函数的最大值和最小值
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
(整理)函数的最大值和最小值78814.
3.8函数的最大值和最小值（第1课时）武安市第一中学李贵香人教版全日制普通高级中学教科书数学【教材分析】本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【教学目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教学重点、难点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【教法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．cm用此薄板折要分别,且不大于体积来源于现实生活，培养学生用数学的意识，演示2．如图为连续函数f(x)的图象：60cm用此薄板折要分别,不大于体积课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．。
函数的最大值和最小值及应用举例ppt课件学习教案
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4
第四页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
y 2x3 3x2 12x 14
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5
第五页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
二、函数在某区间内可导且有唯一极 值点的情形
如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一
个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当 f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0) 是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1. 计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
y
y
yf(x )
yf(x )
O
a
0f(x
)
0x
0f(x
)
b
x
O
a
0x
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b
x
6 第六页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
例2 求函数 y x2 4x 3的最大值.
解 函数的定义域为R,
y 2x 4 2x 2.
令y 0,得驻点x 2.
显然：x 2是函数的极大值点.
由于函数在定义域内有唯一极值点，所以函 数的极大值就算函数的最大值.
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2 第二页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
即 最大值M = max{f (a), f (x1), f (x2), ···, f (xn), f (b)} 最小值m = min{f (a), f (x1), f (x2), ···, f (xn), f (b)} 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。
高三数学函数的最大值与最小值课件
f ( x0 ) 为函数 f ( x) 在D上的最大值
设函数 f ( x) 的定义域为D， 如果存在 x0 D ， 使得对任意的 x D ，都有 则称
f ( x) f ( x0 ) ，
f ( x0 ) 为函数 f ( x) 在D上的最小值
常见函数最值
单调函数在闭区间上的最值 一次函数在闭区间上的最值 二次函数的最值
设
2
y
b 4ac b 2 f min ( x) f ( ) 2a 4a
②当
0 y
b x 2a
f ( x) 有最大值， a 0 时，
b 4ac b 2 f max ( x) f ( ) 2a 4a
返回
0
b x 2a
二次函数在闭区间上的最值 (常见函数最值) f ( x) ax2 bx c, (a 0) 在闭区间 , 的最值
2 2
【解】 【不等式法】 1 ( x 2 y 2 ) xy 1 ( x y ) 2 0
2 1 22 2 xy ( x y ) 当且仅当 x y 时取等号。 2 2 3 2 2 所以 f ( x, y) x y xy ( x y 2 ) 6 2 2 2 当且仅当 x y 且 x y ＝4 时取等号。此时 x y 2.
1 设 x 1 t , 则 t [ ,1] 2 4 1 [ t 在 ,1] 上是减函数， 5 2 t
x 1
1
17 2
★【本例中也用到了换元法】
例题4
y 满足 1 x y 4 【例4】 已知实数 x 、 2 2 求 f ( x, y) x y xy 的最大值和最小值。
a>0
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x
函数的最大与最小值
教学目标：1、使学生掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）
处的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 一、复习： 1、()
___________/
=n
x ；2、[]_____________)
()(/
=±⋅x g x f C
3、求y=x 3
—27x 的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间[]b a ,上的函数)(x f y =
发现图中____________是极小值，_________间[]b a ,上的函数)(x f y =
的最大值是______，最小值是_______
在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；． 2、求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值
3、将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例1、求函数522
4
+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
解：先求导数，得x x y 443
/-=
令/y ＝0即0443
=-x x 解得1,0,1321==-=x x x
导数/
y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表
从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最
高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去
一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C 与产量P 的函数关系为C ＝100＋4P ，价格R 与
产量P 的函数关系为R ＝25－0.125P ，求产量P 为何值时，利润L 最大。
四、小结：
1、闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止
一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间
内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数452
+-=x x y 在区间[]1,1-上的最大值与最小值
2、求函数3
3x x y -=在区间[]
3,3-上的最大值与最小值。
3、求函数522
4
+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
4、求函数1553
4
5
+++=x x x y 在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数452+-=x x y 在区间[]1,1-上的最大值为10，最小值为－
4
9 （2）函数1422
+-=x x y （2＜X ＜4）上的最大值为17，最小值为1 （3）函数x x y 123
-=（－3＜X ＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16
（4）函数x x y 123-=（－2＜X ＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X 元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L 最大？
9、在曲线Y=1—X 2
(X ≥0，Y ≥0)上找一点了(00,y x )，过此点作一切线，与X 、Y 轴构成
一个三角形，问X 0为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的
一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：2/
11x x -=⎪⎭
⎫
⎝⎛)。