瞄准维度,对应转化,求解三类几何概型的概率应用问题

M 瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题

范习昱

镇江市丹徒高级中学， 江苏 镇江 212121

摘要：几何概型是高中数学概率问题的基本模型之一，是各省市高考的常考知识点。然而，笔者在教学中发现，学生由于缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，经常出错。本文针对三类几何概型，归类例析, 对应转化，并给出了具体的教学对策与反思。

关键词：几何概型 概率 维度

在概率教学中，笔者发现很多学生对有关几何概型的概率应用问题经常毫无思绪，屡次出错。就其原因，并不是因为几何概型难以理解，而是学生缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，即转化化归能力的缺失。本文以案例的形式，详细解析了如何瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题。

1、转化为一维几何概型求长度或角度之比

案例1取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少?

分析 从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有无限个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生概率只与剪断位置所处的绳子段的长度有关,这就可以对应转化为一维的几何概型,求长度之比.

解 记事件A 为“剪得两段绳长都不小于1 m ”,把绳子三等份,于是当剪断位置处于中间一段时,事件A 发生.由于中间一段的长度为1m 所以事件A 发生的

概率为()3

1=A P . 案例2平面上画了一些彼此相距a 2的平行线,把一枚半径a r <的硬币任意投掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.

分析 不失一般性,我们考察某两条平行线之间的情形:先在这两平行线之间作一条垂线.因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心在这个垂线上运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生,因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的线段长度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求线段长度之比.

解 记为事件A 为“硬币不与任一条平行线相碰”,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ,如图所示,这样线段OM 长度的取值范围就是[]a ,0,只有当a OM r <<时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是

()()的长度的长度],0[,a a r A P =a r a -=

案例3在直角坐标系内,射线OT 落在 60角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在XOT ∠内的概率.

分析 射线OA 可以绕原点O 从x 轴正向任意地旋转一周,等可能地到达每个位置,而每个位置对应于一个基本事件,且有无限个基本事件.因此事件的发生概率只与射线OA 旋转的角度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求角度之比.

解 记事件B 为“射线OA 落在XOT ∠内”,因为 60=∠XOT 所以

()6

136060==∠= 一个周角度数度数XOT B P 变式 若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ,则L 与线段BC 相交的概率是多少?（射线和直线对同类问题的不同影响）

2、转化为二维几何概型求面积之比

案例4设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线有公共点的概率.

分析 不失一般性,我们考察某一个正方形内（含边界）的情形:因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心可以在这个正方形内（含边界）运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生，因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的区域面积有关,这可以对应转化为二维的几何概型,求面积之比.

解 取其中的一格,把正方形的各边向内缩1个单位,得到一个边长为4的小正方形.若硬币的中心落在小正方形内，则硬币与格线没有公共点,否则与格线有公共点,故所求概率为：

案例5 甲、乙两人约定8时到9时之间在某处会面,并约定先到者应等候另

一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率． 分析 涉及到两人到达的时间,考虑引入两个变量表到达约会地点的时间,它们等可能地在8时到9时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域的测度有关,可以对应转化为二维的几何概型。

解 用x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的条件是15≤-y x ,在平面上建立直角坐标系如图所示，则()y x ,的所有可能结果956

4122=-=P

是边长为60的正方形,而可能会面的事件由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题,故所求概率为:

()16760

45-60222===正方形面积阴影部分面积A P

案例6 将长为10的木棒随机折成三段,求这三段能构成三角形的概率. 分析 问题中虽涉及到三个变量, 但易知,只要设出其中的两个变量,就可以得到第三个变量;这两个变量可以在()10,0上有条件（两变量的和小于10）等可能地取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域面积有关,又可以对应转化为二维的几何概型.从已知条件入手, 可以寻找到两变量之间的关系,利用“线性规划”作出图形, 找到两个变量决定的区域，从而解决问题.

解 可设长度为10的线段被分成三段的长度分别为()y x y x +-10,,, 设能构成三角形的事件为A ,则基本事件对应的测度是不等式组

⎪⎩

⎪⎨⎧<+<<<<<10010

0100y x y x 所决定的区域的面积S .

由一个三角形两边之和大于第三边,有()y x y x +->+10，即

5>+y x ;又由三角形两边之差小于第三边,有()y x y x +-<-10,即

5

⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<1055

050y x y x 所决定的区域的面积A S .

故所求概率为()41102

15212

2=⨯⨯==S S A P A 3、转化为三维几何概型求体积之比 案例7 在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -内任取一点M ,则点M

到这