瞄准维度,对应转化,求解三类几何概型的概率应用问题
几何概型的方法破析高三数学一轮热点难点一网打尽
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第43讲几何概型的方法破析考纲要求：1．了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型）．基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：（1)无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式:P(A)＝错误!应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析:如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为错误!＝错误!。
例2、在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．A ．22B ．32C ．21-D ．31-例3、在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为 ． 解析：若()222f x xmx =++有零点，则2280m∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型"的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度）．类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 。
解析:先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝错误!×错误!π×13＝错误!π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为错误!＝错误!,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝错误!.例5、如图2，长方体ABCD 。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》备课资料
《几何概型》备课资料教学内容的分析1.从教材的地位和作用来看本课选自人教A 版（必修3）第三章《概率》中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情况下教学的。
它是对古典概型内容的进一步拓展，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。
2.从学生学习角度来看从学生的思维特点看，很容易将本节内容与古典概型进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：基本事件个数由有限向无限过渡，以及对实际背景的转化上还存在一定的认知困难。
3.教学重难点重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。
教学目标1.知识与技能以学生动手试验为主要形式，通过解决具体问题来感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义.2.过程与方法通过多个问题的分析及模拟试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。
3.情感、态度与价值观教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。
教学过程：引入1：复习古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 对比练习：1.(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲掷一次获胜（事件A ）的概率？2. （转盘游戏）：如图转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜（事件A ）的概率是多少?思考：⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？赌博游戏分析：骰子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；所以P （A ）=61 转盘游戏分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型； ⑵你是如何解决这些问题的？利用模拟实验得到概率探究归纳（模拟实验）：1.转盘游戏引导：先分析，做示范。
“几何概型”教学必须关注的三个问题
古典概 型的计算是 在大量 随机试验 的基 础上 ， 统计 ， 于频 率 的稳定 值来替代 通过 借助
概率 的， 因为试验次数是 正整数 ， 基本 事件是
有限的 ， 以古典概 型处 理 的离散 问题 ， 以 所 可 进行直接计算 。几何概 型研究 的随机试 验尽 管仍然是等可能 的， 但基 本事件有无 限个 ， 无 法统计试验 的基本事件 的次数 ， 因此 ， 何概 几
样理解几何概型才是真正把握了概念 的本质 、 概念 的应用是否就是 单纯地运用计算公式解 题这三个 必须关 注的问题 ， 也是 教学 “ 何 几
概型” 这一节时需要把握的三个 主要环节 。
关键 词 ： 问题
计 算公式
概念
“ 几何 概 型” 新 课 程新 增 加 的 内确处理 。
型 当做 了互 为矛 盾 的关 系， 从基 本事 件 是否
有 限的维 度分类 为 “ 限” 无 限” 并作 为两 有 “ ，
种概型 的不 同特 点。其实 ， 这种 说法 是 不正 确 的。几何概型的特点 （ 特征 ） 的是 几何概 指 型所特有 的性质 ， 是几 何概 型 区别 于其 他概
（ 一）几何概型的特征 不仅仅 是等可能性
和 无 限性
本事件 ， 每个基 本事 件对 应 于在某 个具 体 的 可以度量的几何 图形 中随机地 取一点 。情境 １中， 无法计算剪刀剪的次数 ， 但可 以建立“ 每
剪绳子一次一线段上 一点” 的对 应 ， 在此基础 上建立“ 无数次 的随机剪一 线段上所 有 的点”
问题 １ 如何厘清几何概 型计算公式 的合 ：
理性？
，
数学课程标 准将 其定位 为 ： 信息化 的现代
社会“ 统计 和概率 的基 础知 识 已经成 为一 个
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_22
几何概型【三维目标】一、知识与技能1.理解几何概型的概念，掌握几何概型的计算公式；2.正确将几何概型问题转化为相应的几何图形，用图形的几何度量进行解决问题。
二、过程与方法1.通过对几何概型四个测度的探究，培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过对长度型与角度型，面积型和体积型的区分，培养学生思维的深刻性和灵活性。
三、情感态度与价值观通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意【重点难点】1、重点：理解几何概型的概念，掌握其计算公式；区分几何概型的四种测度，能够准确解决几何概型问题是教学重点。
2、难点：区分几何概型的四种测度，特别是是长度和角度的区别是教学难点。
【教学方法】合作探究、引导学生理解几何概型的概念【教学设计】Ⅰ.回顾：古典概型的特征.基本事件概率的计算Ⅱ.新课引入：一. 思考1 现有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，如何剪才能使得所得两段绳长都不小于1m？思考2 图中两个转盘，甲乙两人玩游戏，规定当指针指向B区域时甲获胜，否则乙胜，在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？二、【新课讲授】知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．几何概型与古典概型的异同点 类型异同古典概型 几何概型 不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．三．【典例分析】题型一 与长度有关的几何概型在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？变式训练：某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34题型二 与面积有关的几何概型例2 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.变式训练：花园小区内有一块三边长分别是5 m 、5 m 、6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是________．题型三 与体积有关的几何概型a 2例3 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？变式训练：一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．题型四与角度有关的几何概型例4.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．四、【课堂小结】1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).五．作业基础：P103 练习4，习题3。
高中数学的解析如何利用概率解决实际问题
高中数学的解析如何利用概率解决实际问题概率论是数学的一个重要分支，在现实生活中有着广泛的应用。
尤其是在高中数学中，概率论的应用层出不穷。
本文将讨论高中数学解析的方式，并探讨如何利用概率解决实际问题。
一、解析的方式高中数学解析主要有两种方式，即几何解析和代数解析。
几何解析是指通过几何图形来解决问题，利用图形的性质和关系进行推理和推导。
代数解析则是通过代数表达式和方程式来解决问题，利用代数的运算和性质进行推理和推导。
在解决实际问题时，我们可以根据具体情况选择合适的解析方式。
例如，对于涉及到几何形状的问题，我们可以利用几何解析来解决；而对于需要建立数学模型的问题，我们可以选择代数解析。
二、概率解决实际问题的基本思路在解决实际问题时，概率论可以为我们提供一种定量的分析和判断方式。
基本的思路是将实际问题转化成概率问题，通过计算概率来解决问题。
具体而言，解决实际问题的概率方法包括以下几个步骤：1. 确定事件和样本空间：首先，我们需要明确问题涉及的事件和样本空间。
事件是我们关注的结果，样本空间是所有可能结果的集合。
2. 确定概率模型：根据问题的特点，确定合适的概率模型。
常用的概率模型包括等可能概型、几何概型和复杂概型等。
3. 计算概率：利用已知的信息和概率模型，计算事件发生的概率。
概率可以通过频率统计或者理论计算得出。
4. 分析和判断：根据计算结果对实际问题进行分析和判断。
可以通过比较概率大小、计算期望值等方式进行进一步分析。
5. 检验和评估：对解决方案进行检验和评估。
可以通过模拟实验、实际观察等方式验证结果的可靠性。
三、概率在实际问题中的应用举例1. 抽样调查：在进行社会调查或市场研究时，我们常常需要通过抽样调查来获取数据。
利用概率方法，我们可以根据样本数据推断总体特征，并估计误差范围。
2. 游戏与赌博：在各种游戏和赌博中，概率论有着广泛的应用。
通过计算概率，我们可以确定赢的可能性，并制定合理的策略。
3. 风险评估：概率论可以用于风险评估和风险管理。
高中数学人教新课标B版必修3--《3.3.1 几何概型》教学设计
§3.3.1 几何概型教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第三节几何概型。
学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。
现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型的目的。
教学目标知识与技能目标１．初步体会几何概型及其基本特点；2．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
教学重点：初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度。
教学过程：一、复习引入古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.小试牛刀1、从区间[-10,10]上任取一个整数,求取到大于1小于5的数的概率. 思考：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢? (设计意图：通过古典概型的特点以及概率公式的应用巩固，为后面的对比学习奠定基础，同时也引出的新的概率模型，增强学生的好奇心。
）（师生互动：学生回答并完成练习，师生共同总结）二、创设情景，引入新课探究实验11. 取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？探究实验22.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?()AP A包含基本事件的个数公式：基本事件的总数探究实验33、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中,始终保持与正方体的6各面的距离都大于1,则称其为“安全飞行”,求蜜蜂安全飞行的概率.由以上3个实验回答：（1）实验中的基本事件是什么:（2）每个基本事件发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？（设计意图：通过实验操作，让学生能直观感受几何概型的基本事件覆盖的区域）（师生互动：学生观察并回答问题，教师及时修正和确认答案）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考：在几何概型中，如何求得某事件A的概率？在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:学生活动（分组讨论）求几何概型概率问题的步骤：1、判断实验的概率模型是否满足几何概型的两个特征；2、2、利用作图法描述基本事件对应的区域；3、3、把随机事件A转化为与之对应的区域d；4、4、利用几何概型概率公式计算。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
几何概率的计算与应用
几何概率的计算与应用几何概率是概率论中的一个重要分支，用于描述和计算几何事件的概率。
在实际应用中，几何概率常常用于分析空间中的事件和概率分布，能够为我们带来许多有用的信息。
本文将探讨几何概率的计算方法及其在实际生活中的应用。
一、几何概率的计算方法几何概率的计算方法主要有几何模型和几何公式两种。
几何模型是指通过几何图形的性质来计算概率，而几何公式则是根据几何概率的基本原理得出的数学公式。
1. 几何模型基于几何模型的几何概率计算方法常常使用几何图形，如矩形、圆形等来表示随机事件和样本空间。
通过计算图形的面积比例来得出概率。
例如，在一个正方形中随机撒点，在正方形内落在某个矩形区域内的点的数量与总点数的比例就是该事件的概率。
2. 几何公式几何公式是用于计算几何概率的数学公式。
常见的几何公式有概率相似原理、概率加法原理和概率乘法原理等。
这些公式通过数学计算来得出几何概率。
例如，当两个事件相互独立时，它们同时发生的概率可由两个事件概率相乘得出。
二、几何概率在实际生活中的应用几何概率的计算方法在实际生活中有广泛的应用，涉及到许多领域，如物流、生产、金融等。
以下将分别介绍几何概率在这些领域中的应用。
1. 物流领域在物流领域中，几何概率可用于分析仓库的货物摆放和取货策略。
通过计算货物摆放区域与整个仓库空间的比例，可以得出某种货物在仓库中的分布概率。
这个概率信息对于提高取货效率和优化仓库布局具有重要意义。
2. 生产领域在生产领域中，几何概率可以用于分析产品质量的控制。
通过计算某种缺陷在产品中出现的概率，可以提前采取措施进行相应的质量控制。
例如，在制造汽车零件时，计算零件表面缺陷的概率，可以帮助厂家调整生产工艺，提高产品的质量。
3. 金融领域在金融领域中，几何概率常用于分析股票价格变动的趋势。
通过计算价格在一定时间内上涨或下跌的概率，可以为投资者提供参考。
这种分析方法可以帮助投资者制定相应的投资策略，降低投资风险。
总结：几何概率作为概率论的一个分支，主要用于描述和计算几何事件的概率。
小学数学认识几何与概率的联系
小学数学认识几何与概率的联系数学作为一门学科，包含了众多不同的分支，例如代数、几何和概率等。
在小学阶段，学生开始接触基础的数学概念，其中几何和概率也是不可或缺的一部分。
几何和概率之间存在着密切的联系，本文将探讨小学数学中几何与概率之间的关系，并说明它们在解决实际问题中的应用。
一、几何在概率中的应用几何是研究空间与形状的学科，而概率则是研究随机事件发生可能性的学科。
在概率中，我们经常会涉及到各种几何形状。
下面我们将介绍几何在概率中的应用。
1.1 投掷骰子当我们投掷一个标准的六面骰子时，每个面都有相等的概率出现。
我们可以利用几何形状来探索骰子投掷的概率分布。
骰子有六个面，每个面都是一个正方形，每个正方形上都有一个数字。
通过观察骰子的几何形状，我们可以知道每个数字出现的概率是相等的。
1.2 组合和排列在概率中，我们经常需要计算事件发生的可能性。
而在计算排列和组合的问题时，几何形状可以帮助我们理解问题并找到解决方案。
例如，在一组数字中选择三个数字的可能排列和组合数目，我们可以使用几何形状来帮助我们直观地理解这些数字之间的关系。
二、概率在几何中的应用概率是一种描述事件发生可能性的数学工具，而几何则可以帮助我们在解决问题时可视化相关概念。
下面我们将介绍概率在几何中的应用。
2.1 点的位置与概率在几何中，我们可以通过描述点在平面或空间中的位置来解决问题。
而在概率中，我们可以用点的位置来表示事件的可能性。
例如，在一个正方形中，我们可以将点的位置表示为事件发生的可能性大小。
如果一个点在正方形的中心，那么这个事件发生的可能性会更大。
2.2 圆的概率在几何中，圆是一个常见的形状。
而在概率中，我们经常需要计算一个事件发生在特定范围内的概率。
使用圆的概念，我们可以将事件发生的范围表示为一个圆形区域，进而计算事件发生的概率。
三、几何与概率的实际应用几何和概率的联系不仅仅是理论上的，它们也在解决实际问题时有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个实际应用的例子。
几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率
几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率几何概型与概率是数学中重要的概念，在统计学与概率论中起到了至关重要的作用。
几何概型是一种利用图形之间的空间关系来描述和解决问题的方法；而计算概率则是通过数学计算的方法，计算事件发生的可能性。
本文将从几何概型的理解和计算概率的角度，对几何概型与概率的关系进行探讨。
一、几何概型的理解几何概型是一种将问题转化为图形的方法，通过图形来解决问题，从而便于我们理解和分析问题。
在几何概型中，我们将问题中的要素抽象为几何图形，通过观察图形之间的关系，得出问题的解答。
例如，我们考虑一个实验，抛掷一枚公正的骰子，求得到1点的概率。
在几何概型中，我们可以将骰子抽象为一个立方体，立方体的每个面上分别标有1-6的数字。
问题转化为找到骰子上标有1的面的概率，即几何概型中的一个点。
通过观察立方体的几何形状，我们可以发现骰子上标有1的面只有一个，而骰子一共有六个面，因此得到1点的概率为1/6。
几何概型的优势在于通过图形直观地展示问题的解法，便于我们理解和记忆。
通过将问题与具体的几何图形对应起来，可以更加深入地理解问题本质，为问题的解答提供了方便。
二、计算概率的方法计算概率是通过数学计算的方法，确定事件发生的可能性。
计算概率的方法有很多种，根据具体的情况选择合适的计算方法对于求解问题至关重要。
1.数学定义法数学定义法是最常见的计算概率的方法，根据概率的数学定义求解。
概率的数学定义是事件发生的次数与试验次数的比值。
例如，抛掷一枚公正的硬币，求出现正面的概率。
假设对硬币进行N次试验，观察到正面的次数为M次，那么正面出现的概率为M/N。
2.等可能性原理等可能性原理是计算概率的常用方法之一，该原理认为在一组等可能性的情况下，每个事件发生的概率是相等的。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
在52张牌中，红心牌一共有13张，而总共的牌数是52张，因此抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
几何概型与概率计算
几何概型与概率计算几何概型和概率计算是数学中重要的两个概念，它们相互关联，有着广泛的应用。
几何概型是通过几何图形的性质和关系来解决问题的方法，而概率计算则是通过数学方法计算事件发生的可能性。
本文将介绍几何概型的基本概念和一些常见的概率计算方法。
一、几何概型几何概型是指通过几何图形的性质和关系解决问题的方法。
常见的几何概型包括点、线、平面和体的性质，以及它们之间的关系和运算。
几何概型在解决实际问题时，通常需要建立模型，通过几何图形的性质和关系推导出问题的解决方案。
几何概型的应用非常广泛，涵盖了多个学科领域。
例如，在物理学中，几何概型可以用来描述物体的形状和位置；在计算机图像处理中，几何概型可以用来实现图像的变换和处理；在统计学中，几何概型可以用来处理多维数据的可视化和分析等。
二、概率计算概率计算是通过数学方法计算事件发生的可能性。
在概率计算中，我们通常使用概率来表示事件发生的可能性。
概率是一个介于0和1之间的数，表示事件发生的相对可能性。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率计算方法包括频率法和几何法。
频率法是通过重复实验来确定事件发生的概率，即通过实际观察事件发生的次数来计算概率。
几何法是通过几何概型来计算事件发生的概率，即通过几何图形的性质和关系计算概率。
概率计算在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在赌博游戏中，我们可以通过概率计算来确定赌博的胜率；在保险业中，我们可以通过概率计算来确定保险的费率和风险。
三、几何概型与概率计算的关系几何概型和概率计算有着密切的关系。
几何概型提供了一种描述事件发生可能性的方法，而概率计算则提供了一种计算事件发生可能性的方法。
通过几何概型，我们可以建立事件的几何模型，并通过几何图形的性质和关系来计算事件发生的概率。
例如，当我们抛掷一枚硬币时，事件A表示正面朝上，事件B表示反面朝上。
我们可以通过几何概型建立一个二维平面，并在平面上划分出两个区域，分别表示事件A和事件B。
概率与推理问题的解决方法与应用技巧知识点总结
概率与推理问题的解决方法与应用技巧知识点总结概率与推理问题是数学和逻辑中的重要内容之一。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的解题方法和应用技巧。
本文将对概率与推理问题的解决方法和应用技巧进行总结。
一、概率问题的解决方法概率问题是指关于事件发生可能性的计算与判断。
解决概率问题时，我们可以采用以下几种方法：1. 计数法：通过计算不同事件发生的次数，再与总次数相除，得到事件发生的概率。
这种方法适用于事件的样本空间有限的情况。
2. 几何法：将概率问题转化为几何问题，通过几何图形的面积或长度进行计算。
这种方法适用于事件的样本空间具有几何属性的情况。
3. 统计法：通过实验或观察，获得事件发生的频率，再将频率与总次数相除，得到概率的近似值。
这种方法适用于事件无法准确计算概率的情况。
二、推理问题的解决方法推理问题是指通过已知条件来推断未知结论的问题。
解决推理问题时，我们可以采用以下几种方法：1. 归纳法：通过观察若干个具体的案例或实例，总结规律，推断出普遍性的结论。
这种方法适用于问题的解决需要基于已有的事实和经验的情况。
2. 演绎法：根据已知条件和逻辑规则，通过推演过程得出结论。
这种方法适用于问题的解决需要基于已有的逻辑关系和定理的情况。
三、概率与推理问题的应用技巧在解决概率与推理问题时，我们需要掌握一些应用技巧，以提高解题效率和准确性。
以下是一些常用的应用技巧：1. 拆分复杂问题：将复杂的问题拆分成几个简单的子问题，通过分步求解来获得最终结果。
这样可以降低问题的难度和复杂度。
2. 制定合理假设：对于一些无法直接得到明确答案的问题，我们可以根据已有的条件和经验，制定一些合理的假设，再根据这些假设进行推理和计算。
3. 利用对称性：对称性在概率与推理问题中经常会出现。
在解题过程中，我们可以通过利用对称性来简化计算或推理的步骤。
4. 注意思维定势：在解决概率与推理问题时，我们要避免陷入固定的思维定势，要保持灵活、开放的思维，尝试不同的方法和角度来解决问题。
内蒙古准格尔旗高中数学第三章概率3.3几何概型教案新人教B版必修3
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何概型知识的应用，提高实践能力。
在几何概型新课呈现结束后，对几何概型知识点进行梳理和总结。
强调几何概型的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对几何概型知识的掌握情况。
3. 几何概型的性质：几何概型具有包含关系、并集、交集等性质。包含关系指的是一个几何概型可以包含另一个几何概型；并集和交集指的是多个几何概型可以形成新的几何概型。
4. 几何概型的概率计算：几何概型的概率计算通常涉及到排列组合知识。通过计算几何概型中元素的个数和样本空间中所有可能的元素的个数，可以得到几何概型的概率。
八、作业布置与反馈
作业布置：
1. 概念理解作业：让学生通过完成相关习题，加深对几何概型概念的理解。
2. 性质应用作业：让学生通过解决实际问题，掌握几何概型的性质。
3. 概率计算作业：让学生通过计算几何概型的概率，提高概率计算能力。
4. 应用拓展作业：让学生通过分析现实生活中的几何概型问题，提高数学应用能力。
（2）新课讲解：运用讲授法，详细讲解几何概型的概念、特点和性质，辅以典型例题，让学生加深理解。
（3）小组讨论：布置一道几何概型问题，组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法。
（4）实践活动：让学生动手进行几何概型实验，观察和分析实验结果，巩固所学知识。
（5）总结与拓展：对本节课的知识点进行总结，提出拓展问题，激发学生的创新思维。
3. 概率计算题
题目：一个骰子有两个面涂有红色，其余四个面涂有蓝色，将骰子抛一次，求恰好掷出红颜色的概率。
答案：骰子有六个面，其中两个面涂有红色，四个面涂有蓝色。恰好掷出红颜色的概率为红色面数除以总面数，即2/6 = 1/3。
几何概型概率
几何概型概率几何概型概率是概率论中的一个重要分支，它研究的是在几何空间中的事件和概率。
几何概型概率的应用非常广泛，涉及到很多领域，比如物理、化学、生物、经济等。
本文将从几何概型概率的基本概念、公式、应用等方面进行详细介绍。
一、基本概念1.点、线、面在几何空间中，点、线、面是最基本的几何元素。
点是没有大小和形状的，只有位置的几何元素；线是由无数个点组成的，具有长度和方向的几何元素；面是由无数个线组成的，具有面积和形状的几何元素。
2.事件在几何空间中，事件是指一个或多个点、线、面的集合。
事件可以是简单的，也可以是复杂的。
3.概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率通常用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
二、公式1.点的概率公式在一个几何空间中，如果一个点在该空间中随机出现的概率相等，则该点的概率可以用以下公式计算：P(A) = S(A) / S其中，P(A)表示事件A发生的概率；S(A)表示事件A所包含的点数；S表示整个几何空间所包含的点数。
2.线的概率公式在一个几何空间中，如果一条线段在该空间中随机出现的概率相等，则该线段的概率可以用以下公式计算：P(A) = S(A) / S其中，P(A)表示事件A发生的概率；S(A)表示事件A所包含的线段长度之和；S表示整个几何空间所包含的线段长度之和。
3.面的概率公式在一个几何空间中，如果一个面在该空间中随机出现的概率相等，则该面的概率可以用以下公式计算：P(A) = S(A) / S其中，P(A)表示事件A发生的概率；S(A)表示事件A所包含的面积之和；S表示整个几何空间所包含的面积之和。
三、应用1.物理学中的应用在物理学中，几何概型概率被广泛应用于粒子物理学、量子力学等领域。
比如，在粒子物理学中，研究粒子碰撞时发生不同反应的可能性大小；在量子力学中，研究微观粒子在不同状态下发生转变的可能性大小。
2.化学中的应用在化学中，几何概型概率被广泛应用于分子结构、反应速率等方面。
几何概型的应用分类导析
几何概型的应用分类导析几何概念已经深深地融入了日常生活，从学前教育、工业设计，到几何拼图和其他各种数量游戏，多种不同的几何形状到处可见，几何学研究和应用范围也是继续扩展的。
几何的应用基础可以概括地分为三大类：1）几何投影学和地图学；2）几何模型；3）几何变换。
首先，几何投影学和地图学是几何尺寸±距离，它被用来从真实世界的各种地理特征中提取几何特征，并把它变成地图上的形象。
几何投影学分析、研究和绘制的几何模型，有助于用坐标或者空间坐标参数来定义地理特征，空间位置和空间变换，从而用计算机地图、卫星图像等来表示某一位置的准确形状，了解其图形学。
其次，几何模型还广泛应用于机械设计和制造、建筑和结构及精准零部件等领域中。
例如，机械设计和制造中使用几何模型来表示物体的空间分布，以准确地计算和定义物体的形状及其体积信息；在建筑结构的设计中，可以使用合适的几何模型来准确评估结构的安全性、强度和稳定性；在精准零部件的生产环节，几何模型被广泛用于夹具设计、金属切削等环节，以实现零部件的特殊加工过程。
最后，几何变换有形变、旋转和尺度变换三大类，它允许将一组坐标数据中的物体可以按照特定的几何模式进行变换，从而达到提取图像信息、两个物体之间的位置计算等功能。
目前，几何变换已被广泛应用于图像处理和模式识别、分类学习、机器翻译和推理等领域中，它可以根据不同的图像类型、不同的参数设置，得到相应不同的图像变换结果。
几何的概念和应用范围，包括但不限于以上三大类，越来越多的科学研究也在不断推动几何技术的进步发展，并为广义和特定的应用领域奠定了基础。
几何技术在各种现代应用和技术发展领域中发挥着重要作用，从而在社会和工业技术发展中发挥重要意义。
几何概率的应用
几何概率的应用引言：几何概率是概率论的一个重要概念，它研究了事件与样本空间的几何性质和关系。
几何概率可以应用于生活中的各个领域，如经济、统计学和科学等。
本文将介绍几何概率的基本概念及其在实际生活中的应用。
一、几何概率的基本概念几何概率是通过对事件发生的几何代数方法进行分析，得出事件发生的概率。
它与经典概率和条件概率相互关联，但它更加关注事件发生的几何性质和空间关系。
1.1 样本空间和事件在几何概率中，首先要确定样本空间，也就是所有可能结果的集合。
对于样本空间中的某些结果的集合，称之为事件。
事件可以是简单的，也可以是复合的。
1.2 几何概率的表示几何概率通常用P(A)来表示事件A发生的概率，它是一个介于0和1之间的数。
当P(A) = 0时，表示事件A不可能发生；当P(A) = 1时，表示事件A一定会发生。
1.3 几何概率的计算几何概率的计算通常通过测量事件发生的空间和样本空间的几何关系来实现。
例如，对于一个正方形骰子，事件A是得到一个偶数点数。
由于该骰子中偶数点数的个数为3，而总点数个数为6，所以P(A) =3/6 = 1/2。
二、几何概率在实际生活中的应用几何概率在生活中有着广泛的应用，下面将从经济、统计学和科学等方面介绍其具体应用。
2.1 经济学中的应用在经济学中，几何概率可以用于市场需求预测和资产价格预测等方面。
例如，在预测某个产品的市场需求时，可以根据销售数据和市场规模等指标，通过计算几何概率来确定不同需求水平的可能性。
这有助于企业合理安排生产和制定市场策略。
2.2 统计学中的应用在统计学中，几何概率可以应用于随机图形的分析和抽样分布的研究。
例如，在分析人口统计数据时，可以通过测量地理区域的面积和人口密度之间的几何关系，从而确定某个区域内的人口数量概率分布。
2.3 科学中的应用在科学研究中，几何概率可以应用于物质结构研究和分子运动模拟等方面。
例如，在研究晶体结构时，可以根据原子的几何排列关系，通过计算几何概率来确定晶体结构的可能性。
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M 瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题
范习昱
镇江市丹徒高级中学， 江苏 镇江 212121
摘要：几何概型是高中数学概率问题的基本模型之一，是各省市高考的常考知识点。
然而，笔者在教学中发现，学生由于缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，经常出错。
本文针对三类几何概型，归类例析, 对应转化，并给出了具体的教学对策与反思。
关键词：几何概型 概率 维度
在概率教学中，笔者发现很多学生对有关几何概型的概率应用问题经常毫无思绪，屡次出错。
就其原因，并不是因为几何概型难以理解，而是学生缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，即转化化归能力的缺失。
本文以案例的形式，详细解析了如何瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题。
1、转化为一维几何概型求长度或角度之比
案例1取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少?
分析 从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有无限个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生概率只与剪断位置所处的绳子段的长度有关,这就可以对应转化为一维的几何概型,求长度之比.
解 记事件A 为“剪得两段绳长都不小于1 m ”,把绳子三等份,于是当剪断位置处于中间一段时,事件A 发生.由于中间一段的长度为1m 所以事件A 发生的
概率为()3
1=A P . 案例2平面上画了一些彼此相距a 2的平行线,把一枚半径a r <的硬币任意投掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
分析 不失一般性,我们考察某两条平行线之间的情形:先在这两平行线之间作一条垂线.因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心在这个垂线上运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生,因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的线段长度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求线段长度之比.
解 记为事件A 为“硬币不与任一条平行线相碰”,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ,如图所示,这样线段OM 长度的取值范围就是[]a ,0,只有当a OM r <<时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是
()()的长度的长度],0[,a a r A P =a r a -=
案例3在直角坐标系内,射线OT 落在 60角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在XOT ∠内的概率.
分析 射线OA 可以绕原点O 从x 轴正向任意地旋转一周,等可能地到达每个位置,而每个位置对应于一个基本事件,且有无限个基本事件.因此事件的发生概率只与射线OA 旋转的角度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求角度之比.
解 记事件B 为“射线OA 落在XOT ∠内”,因为 60=∠XOT 所以
()6
136060==∠= 一个周角度数度数XOT B P 变式 若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ,则L 与线段BC 相交的概率是多少?（射线和直线对同类问题的不同影响）
2、转化为二维几何概型求面积之比
案例4设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线有公共点的概率.
分析 不失一般性,我们考察某一个正方形内（含边界）的情形:因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心可以在这个正方形内（含边界）运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生，因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的区域面积有关,这可以对应转化为二维的几何概型,求面积之比.
解 取其中的一格,把正方形的各边向内缩1个单位,得到一个边长为4的小正方形.若硬币的中心落在小正方形内，则硬币与格线没有公共点,否则与格线有公共点,故所求概率为：
案例5 甲、乙两人约定8时到9时之间在某处会面,并约定先到者应等候另
一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率． 分析 涉及到两人到达的时间,考虑引入两个变量表到达约会地点的时间,它们等可能地在8时到9时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域的测度有关,可以对应转化为二维的几何概型。
解 用x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的条件是15≤-y x ,在平面上建立直角坐标系如图所示，则()y x ,的所有可能结果956
4122=-=P
是边长为60的正方形,而可能会面的事件由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题,故所求概率为:
()16760
45-60222===正方形面积阴影部分面积A P
案例6 将长为10的木棒随机折成三段,求这三段能构成三角形的概率. 分析 问题中虽涉及到三个变量, 但易知,只要设出其中的两个变量,就可以得到第三个变量;这两个变量可以在()10,0上有条件（两变量的和小于10）等可能地取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域面积有关,又可以对应转化为二维的几何概型.从已知条件入手, 可以寻找到两变量之间的关系,利用“线性规划”作出图形, 找到两个变量决定的区域，从而解决问题.
解 可设长度为10的线段被分成三段的长度分别为()y x y x +-10,,, 设能构成三角形的事件为A ,则基本事件对应的测度是不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧<+<<<<<10010
0100y x y x 所决定的区域的面积S .
由一个三角形两边之和大于第三边,有()y x y x +->+10，即
5>+y x ;又由三角形两边之差小于第三边,有()y x y x +-<-10,即
5<x ,同理5<y .故事件A 对应的测度是不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<1055
050y x y x 所决定的区域的面积A S .
故所求概率为()41102
15212
2=⨯⨯==S S A P A 3、转化为三维几何概型求体积之比 案例7 在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -内任取一点M ,则点M
到这
点A 的距离小于等于a 的概率是多少?
分析 点M 在正方体内每个位置都能等可能地运动到，每个位置都表示一个基本事件,且基本事件有无限个,因此事件的发生概率只与点M 所决定的空间区域的体积有关,可以对应转化为三维的几何概型,Q 求体积之比.
解 如图,设点M 到点A 的距离小于等于a 为事件E ,E 事件对应的测度是
以点A 为球心、以a 为半径的球位于正方体内的部分的体积,即8
1个球的体积,故所求概率为:
案例8 甲、乙、丙三人定于6时到7时之间在某地约会,已知他们三人都不会违背约定,但是他们到达会面地点的具体时间不确定,求甲第一个到而丙第三个到的概率.
分析 本题实际是案例5的推广.涉及到三人到达的时间,考虑引入三个变量到达约会地点的时间,它们等可能地在6时到7时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件的发生概率只与三个变量决定的空间区域的测度即体积有关,可以对应转化为三维的几何概型.建立空间直角坐标系,利用体积比来求概率.
解 设甲、乙、丙三个人到达约会地点的时间分别是6时x 分,6时y 分,6时z 分,试验的全部结果所要满足的条件是不等式组
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤600600600z y x
对应的区域,即正方体1111D C B A ABCD -.而事件“甲第一个到丙最后一个到”的充要条件是600≤<<≤z y x ，对应的区域为三棱锥C BB A 11,故所求概率为:
6160
6060213132=⨯⨯⨯==正方体三棱锥
V V P
ππ61)34(8133=⨯=a
a P
反思与总结：
1、几何概型的基本特征
试验的基本事件是无限个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在某个区域内均匀随机分布，所以几何概型的概率与区域的形状、位置无关，只与该区域的测度有关。
这一测度在一维中表现为长度或角度，在二维中表现为面积，在三维中则表现为体积。
2、几何概型的概率公式
()度
件）所构成的区域的测试验结果（总的基本事角度、面积、体积）的区域的测度（长度、构成事件A A P = 3、求几何概型概率的一般步骤
（1）首先,定维度，即判断事件是一维还是二维、三维的几何概型问题;
（2）接着,先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域(长度、角度、面积、体积) ,若涉及到二维、三维的几何概型问题,先设出二维或三维变量, 再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件,作出两个区域, 最后计算两个区域的面积或体积;
（3）最后代入几何概型的概率公式求解.
4、变式教学，举一反三
（1）在区间()1,0中随机地取出一个数，求这个数与2
1的和大于1的概率。
变式1 在区间()1,0中随机地取出两个数，求这两个数之和小于6
5的概率。
变式2 在区间()1,0中随机地取出三个数，则三个数平方之和小于1的概率。
（2）将案例5转化为三维几何概型求解。
结束语：
几何概型是古典概型在无限空间里的推广，只要能立足古典概型的思路，将实际问题中的几何概型问题对应转化为三个维度的几何概型，熟悉以上案例的模型，很多几何概率应用问题便可迎刃而解。