分数次积分交换子在Herz空间及Morrey—Herz空间上的有界性

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非双倍测度下分数次极大算子交换子在Morrey-Herz空间上的有界性

赵凯；王永刚王，磊
（．青岛大学数学科学学院，１山东青岛２６７；．青岛大学师范学院数学系，山东青岛２６７）６０１２６０１
摘要：应用ＭｏｒｙＨｒ间和ＲＭＯ（）ｒ — ｅｚ空ｅＢ／函数的特征，并利用非双倍测度下方体系数Ｋ的ｘ性质，得到了非双倍测度下ＨｒｙＬｔｅｏｄ分数次极大算子交换子在ＭｏｒｙＨｒ间上的ａｄ —ｉｌｗｏｔｒ－ｅｚ空ｅ
ｔｒｐｒｉｓｏＲｆｒａｗｏｃｂｓｗｉｈｎｎ— ｏｂｉｇｍｅｓｒｈｅｐｏｅｔｅｆＫＱｏｎｙｔｕｅｔｏｄｕｌｎａｕｅ，ｔｅｂｕｄｅｎｓｆｔｅＨａｄ — ｉｔｗｏｄｈｏｎｄｅｓｏｈｒｙＬｔｌｏｅ
Ａｂｔｃ：ｔｔｅｈｌｏｅｃａａｔｉｉｆｈｒｙＨｒｓａｅｎｈＢｓｒｔＷｉｈｅｐｆｈｈｒｃｒｔｓｏｔｅＭｏｒ・ｅｚｐｃｓａｄｔｅＲＭＯ（ａｈｔｅｓｃｅ）ｆｎｔｎ，ａｄｕｃｉｓｎｏ
为了研究二阶椭圆偏微分方程解的局部行为，义了Ｍｏｒｙ空间．由于Ｍｏｒｙ间可以视为Ｌｂｓｕ定ｒｅｒ空ｅｅｅｇｅ空间的推广，因此，这类空间在研究偏微分方程解的正规性方面具有重要作用．陆善镇等刮对Ｈｅｚｒ空间和Ｈｒ型Ｈｒｙ空间及其算子理论做了进一步研究，Ｈｒ空间理论越来越受到人们的关注．ｅｚａｄ使ｅｚ近几年，ｅｚ间又得到了推广，义了一类新的空间—— ＭｒｙＨｒ空间．陆善镇等把线性算子Ｈｒ空定ｏｒｅｚｅ

RD空间上分数次积分算子及其交换子在广义Morrey空间的加权有界性

第61卷第6期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .62023年11月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )N o v 2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023007R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性方光杰,陶双平(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:利用H öl d e r 不等式和权函数的相关性质,给出R D (r e v e r s e d o u b l i n g c o n d i t i o n )空间上的分数次积分算子及B MO 交换子在广义加权M o r r e y 空间上的有界性,并给出相应的端点估计.关键词:分数次积分算子;交换子;广义加权M o r r e y 空间;R D 空间中图分类号:O 174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)06-1287-09W e i g h t e dB o u n d e d n e s s o f F r a c t i o n a l I n t e g r a lO pe r a t o r s a n d I t sC o m m u t a t o r o nG e n e r a l i z e dM o r r e y S p a c e s o v e rR D -S pa c e s F A N G G u a n g j i e ,T A OS h u a n g p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g H öl d e r s i n e q u a l i t y a n d t h e r e l a t e d p r o p e r t i e s o fw e i gh t e d f u n c t i o n s ,w e g a v e t h e b o u n d e d n e s s o f f r a c t i o n a l i n t e g r a lo p e r a t o r sa n dB MOc o mm u t a t o ro n g e n e r a l i z e d w e i g h t e d M o r r e ys p a c e s o v e rR D (r e v e r s e d o u b l i n g c o n d i t i o n )-s p a c e s ,a n d g a v e t h e c o r r e s p o n d i n g e n d p o i n t e s t i m a t e s .K e yw o r d s :f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r ;c o mm u t a t o r ;g e n e r a l i z e dw e i g h t e d M o r r e y s p a c e ;R D -s p a c e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-10.第一作者简介:方光杰(1995 ),男,汉族,硕士研究生,从事调和分析的研究,E -m a i l :g j F 177********@163.c o m.通信作者简介:陶双平(1964 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事调和分析及其应用的研究,E -m a i l :t a o s p@n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201500).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230707.1455.002.h t m l .1 引言与主要结果设(X ,d ,μ)为齐型空间[1-2],其测度μ满足双倍条件:对任意的x ɪX ,存在常数C 1ɪ(1,ɕ),使得μ(B (x ,2r ))ɤC 1μ(B (x ,r )),(1)其中B (x ,r )={y ɪX :d (x ,y )<r }⊆X ,r ɪ(0,ɕ).如果齐型空间(X ,d ,μ)的测度μ满足反双倍条件:对任意的x ɪX ,存在常数C 2ɪ(1,ɕ),r ɪ(0,d X /2),λɪ[1,d X /(2r )),使得μ(B (x ,λr ))ȡC 2μ(B (x ,r )),(2)则称齐型空间(X ,d ,μ)为R D (r e v e r s ed o u b l i n g c o n d i t i o n )空间[3],其中d X ʒ=s u p x ,y ɪXd (x ,y ),这里常数C 1,C 2与x ,r 无关.关于R D 空间的研究目前已有很多结果[4-9],例如:文献[4]引入了R D 空间上的广义加权M o r r e y空间;文献[6]得到了R D 空间上θ-型C a l d e r ón -Z y g m u n d 算子的B MO 交换子在广义加权M o r r e y 空间中的有界性.本文主要考虑分数次积分算子及其B MO 交换子在R D 空间上的广义M o r r e y 空间中的加权有界性,同时给出分数次积分算子及其B MO 交换子在该空间的端点估计.对任意的球B ⊂X ,M u c k e n h o u p t 权类A p (μ),A 1(μ),A (p ,q )(μ),A (1,q )(μ)分别由满足下列条件的非负局部可积函数构成[10]:A p (μ):s u p B 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷)1μ(B )ʏB ω(x )1-p ᶄd μ(x æèçöø÷)p-1ɤC , 1<p <ɕ;A 1(μ):s u p B 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷)ɤC e s s i n f x ɪB ω(x ), p =1;A (p ,q )(μ):s u p B 1μ(B)ʏB ω(x )q d μ(x æèçöø÷)1/q 1μ(B )ʏB ω(x )-p ᶄd μ(x æèçöø÷)1/pᶄɤC , 1<p <q <ɕ;A (1,q )(μ):s u p B 1μ(B)ʏB ω(x )q d μ(x æèçöø÷)1/qɤC e s s i n f x ɪB ω(x ), p =1, 1<q <ɕ,其中p ᶄ=p /(p -1)为p 的对偶指标.设1<r <ɕ,对任意的球B ⊂X ,存在常数C >0,使得下列反向H öl d e r 不等式成立[11]:1μ(B )ʏB ω(x )r d μ(x æèçöø÷)1/rɤC 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷),记ωɪR H r .设b ɪL 1l o c (μ),则B MO (μ)空间定义[12]为B MO (μ)=b : b B MO (μ)=s u p B 1μ(B )ʏBb (x )-b B d μ(x )<{}ɕ,这里上确界取遍所有的球B ⊂X ,其中b B =1μ(B )ʏB b (y )d μ(y ).定义1[13] 设0<α<1,K αɪL 1l o c (X ˑX \{(x ,y ):x =y })是可测函数,并满足条件K α(x ,y )ɤC (V (x ,y ))1-α, x ʂy ,(3)且存在常数0<β<1,使得当d (x ,y )>2d (x ,z )时,有K α(x ,y )-K α(z ,y )+K α(y ,x )-K α(y ,z )ɤC (d (x ,z ))β(V (x ,y ))1-α(d (x ,y ))β.(4)设f ɪL ɕb (μ),x ∉s u p p (f ),分数次积分算子和交换子分别定义为I αf (x )=ʏXK α(x ,y )f (y )d μ(y ),(5)[b ,I α](f )(x )=ʏX(b (x )-b (y ))K α(x ,y )f (y )d μ(y ),(6)其中V (x ,y )=μ(B (x ,d (x ,y ))),L ɕb (μ)是所有具有有界支集的L ɕ(μ)函数构成的集合.定义2[6] 设1ɤp <ɕ,ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续增函数,给定非负可测函数ν,u ɪX ,广义加权M o r r e y 空间Mp ,ϕ(ν,u )定义为M p ,ϕ(ν,u )={f ɪL p l o c (ν,u ): f M p ,ϕ(ν,u )<ɕ},其中 fM p ,ϕ(ν,u)=s u p B ⊂X 1ϕ(u (B ))ʏBf (x )p ν(x )d μ(x {})1/p;相应地,广义加权弱M o r r e y 空间W M p ,ϕ(ν)定义为f W M p ,ϕ(ν)=s u p B ⊂X s u p t >01[ϕ(ν(B ))]1/p t [ν(x ɪB :f (x )>t )]1/p <ɕ. 当1ɤp <ɕ时,有L ɕb (μ)⊆M p ,ϕ(ν,u )⊆W M p ,ϕ(ν).给定连续增函数ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ),存在常数κɪ[0,1)和C >0,满足下列条件[14]:ϕ(s )s κɤC ϕ(t )t κ, 0<t ɤs <ɕ.(7)同理,对1ɤp <q <ɕ,当κɪ[0,p /q )时,存在常数C >0,满足下列条件:ϕ(s )s p /q ɤC ϕ(t )tp /q , 0<t ɤs <ɕ,(8)8821 吉林大学学报(理学版) 第61卷ʏɕr ϕ(t )t p /qd t t ɤC ϕ(r )r p /q, 0<r <ɕ.(9)往证当条件(7)成立时,条件(8)和条件(9)也成立.条件(7)⇒条件(8)显然成立,由于ʏɕr ϕ(t )t p /qd t t=ʏɕr ϕ(t )t κd t t 1+p /q -κɤC ϕ(r )r κ1κ-p /q t κ-p /æèçöø÷q ɕrɤC ϕ(r )r p /q,则条件(7)⇒条件(9)也成立.设ωɪA ɕ(μ),给定Y o u n g 函数Φ和球B ,则可测函数f 在B 上的加权平均L u x e m b u r g 范数定义[10]为f Φ(ω),B =i n f λ>0:1ω(B )ʏB Φf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )ɤ{}1.当Φ(t )=t 时, f Φ(ω),B = f L (ω),B ;当Φ(t )=t (1+l o g +t )时, f Φ(ω),B = f L l o g L (ω),B .对ωɪA ɕ(μ)以及任意的球B ⊂X ,有如下广义加权H öl d e r 不等式[15]成立:1ω(B )ʏBf (x )g (x )ω(x )d μ(x )ɤC f L l o g L (ω),B g e x p {L (ω)},B .(10)设b ɪB MO (μ),由加权J o h n -N i r e n b e r g 不等式知,存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,有[6] b -b B e x p {L (ω)},B ɤC b B MO (μ).(11) 定义3[6]设1ɤp <ɕ,ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,给定非负可测函数ν,u ,则L l o g L 型广义加权M o r r e y 空间M 1,ϕL l o g L (ν,u )可定义为M 1,ϕL l o g L (ν,u )ʒ={f ɪL p l o c (ν): f M 1,ϕL l o g L(ν,u )<ɕ},其中 f M 1,ϕL l o g L (ν,u )=s u p B ⊂X ν(B )ϕ(u (B )) f M L l o g L (ν),{}B .(12) 注意到当t >0时,有t ɤΦ(t )=t (1+l o g +t ),且对任意的球B ⊂X 和νɪA ɕ(μ),有 f L (ν),B =1ν(B )ʏBf (x )ν(x )d μ(x )ɤ f L l og L (ν),B .进一步可得1ϕ(u (B ))ʏB f (x )ν(x )d μ(x )=ν(B )ϕ(u (B )) f L (ν),B ɤν(B )ϕ(u (B )) f L l o g L (ν),B ,(13)因此M 1,ϕL l o g L (ν,u )⊂M1,ϕ(ν,u ).本文主要结果如下:定理1 设0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则I α从Mp ,ϕ(ωp ,ωq )到M q ,ϕq /p(ωq )有界.定理2 设0<α<1,p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则I α从M1,ϕ(ω,ωq )到W M q ,ϕq(ωq )有界.定理3 设0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),b ɪB MO (μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则[b ,I α]从M p ,ϕ(ωp ,ωq )到M q ,ϕq /p(ωq )有界.定理4 设0<α<1,p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),b ɪB MO (μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则[b ,I α]从M 1,ϕL l o g L (ω,ωq )到W M q ,ϕq(ωq )有界.本文C 表示一个不依赖于主要参数的正常数,在不同之处可表示不同值.2 主要结果的证明引理1[6] 若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),则存在正常数C 3,C 4,使得对任意的球B ⊂X 和任意球B 的可测子集E ,有ω(E )ω(B )ɤC 3μ(E )μ(B æèçöø÷)1/p ,ω(E )ω(B )ȡC 4μ(E )μ(B æèçöø÷)p .引理2[6] 设(X ,d ,μ)为R D 空间,若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),则存在常数C 5,C 6>1,使得对任意的球B ⊂X,有ω(2B )ȡC 5ω(B ),(14)9821 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性ω(2B )ɤC 6ω(B ).(15) 引理3 设ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数且满足条件(9),则存在ε>0及充分小正数γ,使得ʏɕr1+l n t æèçöø÷r ϕ(t )t t ε+γd t t ɤC ϕ(r )rr ε+γ,0<r <ɕ.特别地,令p /q =1-γ,则对任意的0<ηɤ1,存在常数Cη>0,使得ʏɕr1+l n t æèçöø÷r ϕ(t )t p /æèçöø÷q ηd t t ɤC ηϕ(r )r p /æèçöø÷q η, 0<r <ɕ. 证明:利用文献[6]中引理2.7的证明方法可得结论,故略.引理4 设(X ,d ,μ)为R D 空间,若1ɤp <q <ɕ,ωɪA (p ,q )(μ),ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,有ðɕj =1j [ϕ(ωq (2j B ))]1/p (ωq (2j B ))1/q ɤC [ϕ(ωq (B ))]1/p (ωq (B ))1/q .(16) 证明:该引理的部分证明类似文献[6]中引理2.9的证明.由于式(16)等价于ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤC ϕ(ωq (B ))(ωq (B ))p /éëêêùûúúq 1/p ,(17)且ϕ满足式(9),因此由引理3,只需证明ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t t.设b j =ωq (2j B ),这里j ɪℕ,由式(8),(15),有ʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t t =ðɕj =0ʏb j+1b j1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q1/p d t tȡ C ðɕj =0ϕ(b j +1)(b j +1)p /éëêêùûúúq 1/p ʏb j+1b j1+l n t ωq (B æèçöø÷)d t t =12C ðɕj =0ϕ(b j +1)(b j+1)p /éëêêùûúúq1/p 1+l n b j +1ωq (B æèçöø÷)2-1+l n b j ωq (B æèçöø÷)éëêêùûúú2= 12C ðɕj =0ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))p /éëêêùûúúq 1/p 2+l n ωq (2j +1B )ωq (B )ωq (2j B )ωq (B éëêêùûúú)l n ωq (2j +1B )ωq (2j B æèçöø÷)ȡ C ðɕj =0(j +1)ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))p /éëêêùûúúq 1/p =C ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p .再由引理3,可得ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤC ʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t tɤC ϕ(ωq (B ))(ωq (B ))p /éëêêùûúúq 1/p . 引理5[6]若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),b ɪB MO (μ),则存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,j ɪℕ,有b 2j +1B -b B ɤC (j +1) b B MO (μ),(18)ʏBb (x )-b B p ω(x )d μ(x())1/pɤC b B MO (μ)(ω(B))1/p .(19) 引理6[10,16] 设1<p <q <ɕ,若ωɪA (p ,q )(μ),则有ωp ɪA p (μ),ωq ɪA q (μ);若p =1,ωɪA (1,q )(μ),则有ωq ɪA 1(μ).此外,ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .引理7[17] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),则I α从L p (ωp )到L q (ωq )有界.特别地,当p =1时,I α从L 1(ω)到W L q (ωq )有界.引理8[18] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),b ɪB MO (μ),则交换子[b ,I α]从L p (ωp )到L q (ωq )有界.引理9[19] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,令Φ(t )=t (1+l o g +t ),l o g +t =m a x {0,l o g +t }.若0<α<1,0921 吉林大学学报(理学版) 第61卷p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),b ɪB MO (μ),则对任意的B ⊂X ,λ>0,f ɪL ɕb (μ),有[ωq ({x ɪB :[b ,I α](f )(x )>λ})]1/q ɤC ʏBΦf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x ).2.1 定理1的证明设B =B (x 0,r B )={x ɪX :d (x ,x 0)<r },分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B,则1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBI α(f )(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBI α(f 1)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/q+1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏB I α(f 2)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qʒ=D 1+D 2. 首先估计D 1.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA q (μ).利用式(8),(15)和引理7,得D 1ɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏX I α(f 1)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qɤC 1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏ2Bf (x )p ωp(x )d μ(x ())1/pɤC fM p ,ϕ(ωp ,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B æèçöø÷))1/p ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 其次估计D 2.注意到当x ɪB ,y ɪ(2B )c时,有d (x ,y )~d (x 0,y ),V (x ,y )~V (x 0,y ).由式(1),(3),(5),得I α(f2)(x )ɤC ʏX f 2(y )(V (x ,y ))1-αd μ(y )~C ʏ(2B )c f (y )(V (x 0,y))1-αd μ(y )ɤC ðɕj =11(μ(2j B ))1-αʏ2j+1B \(2j B )f (y )d μ(y )ɤC ðɕj=11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j +1B f (y )d μ(y ).(20)注意到ωɪA (p ,q )(μ).利用A (p ,q )(μ)条件㊁式(16)和H öl d e r 不等式,有D 2ɤC (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pʏ2j+1Bω-pᶄ(y )d μ(y ())1/pᶄɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 结合D 1和D 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理1的结论.2.2 定理2的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B ),分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B .对任意的λ>0,有1ϕ(ωq(B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f )(x )>λ})]1/q ɤ1ϕ(ωq (B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f 1)(x )>λ})]1/q + 1ϕ(ωq (B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f 2)(x )>λ})]1/q ʒ=E 1+E 2. 首先估计E 1.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ).利用式(8),(15)和引理7,得E 1ɤ1ϕ(ωq (B ))ʏX I α(f 1)(x )ω(x )d μ(x ())ɤC 1ϕ(ωq (B ))ʏ2B f (x )ω(x )d μ(x ())ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B ))ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq ). 其次估计E 2.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .利用式(16),(20)㊁C h e b y s h e v 不等式,A 1(μ)条件和反H öl d e r 不等式,有1921 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性E 2ɤC 1ϕ(ωq (B ))λ㊃2λʏBI α(f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )=C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bf (y )ω(y )d μ(y )ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))1/q ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq ). 结合E 1和E 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理2的结论.2.3 定理3的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B )⊂X ,分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B,则1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏB[b ,I α](f )(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤ1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏB[b ,I α](f 1)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/q+1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏB[b ,I α](f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qʒ=F 1+F 2.首先估计F 1.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6知,ωq ɪA q (μ).由引理8和式(8),(15),可得F 1ɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏX[b ,I α](f 1)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC b B MO (μ)1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏ2Bf (x )p ωp(x )d μ(x ())1/pɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B éëêêùûúú))1/pɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 其次估计F 2.由交换子[b ,I α]的定义,对任意的x ɪB ,有[b ,I α](f 2)(x )ɤ(b (x )-b B )I α(f 2)(x )+I α((b B -b )f2)(x ).(21)由式(20)的估计,同理可得I α((b B -b )f2)(x )ɤC ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b B f (y )d μ(y ).(22)由式(20),(21),(22),得F 2ɤC 1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBb (x )-b Bq ωq(x )d μ(x ())1/qðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y æèçöø÷)+C (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb 2j +1B -b Bf (y )d μ(y )+C (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j +1B b (y )-b 2j +1B f (y )d μ(y )ʒ=F 21+F 22+F 23.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA q (μ).利用式(16),(18),(19)㊁H öl d e r 不等式和A (p ,q )(μ)条件,有F 21+F 22ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤ2921 吉林大学学报(理学版) 第61卷C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pˑʏ2j+1Bω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1(j +1)[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq ).对于F 23.设h (y )=ω(y )-p ᶄ,因为ωɪA (p ,q )(μ),则由引理6可知h ɪA p ᶄ(μ).利用A (p ,q )(μ)条件和式(19),得ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B pᶄh (y )d μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(h (2j +1B))1/p ᶄ= C b B MO (μ)ʏ2j+1Bω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(μ(2j +1B ))1-α(ωq (2j +1B ))1/q .(23)利用式(16),(23)和H öl d e r 不等式,得F 23=C (ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq(B ))1/q[ϕ(ωq(B ))]1/pðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pˑʏ2j+1Bb (y )-b 2j+1Bp ᶄω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(ωq (2j +1B ))1/q ʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pɤC b B MO (μ)f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ)f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 综合F 1和F 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理3的结论.2.4 定理4的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B ),分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B .对任意的λ>0,通过[b ,I α]的线性性质,可得1ϕ(ωq(B ))[ωq ({x ɪB :[b ,I α](f )(x )>λ})]1/q ɤ 1ϕ(ωq (B ))ωq x ɪB :[b ,I α](f 1)(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú21/q + 1ϕ(ωq(B ))ωq x ɪB :[b ,I α](f 2)(x )>λ{}æèçöø÷éëêùûú21/qʒ=G 1+G 2.首先估计G 1.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ).利用式(8),(12),(13),(15)和引理9,可得G 1ɤC b B MO (μ)1ϕ(ωq (B))ʏX Φf 1(x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )=C b B MO (μ)ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B ))1ϕ(ωq (2B ))ʏ2B Φf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )ɤC b B MO (μ)ϕ(ωq(2B ))ϕ(ωq (B ))ω(2B )ϕ(ωq (2B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2B ɤC b B MO (μ)ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ω(2B )ϕ(ωq (2B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2éëêêùûúúB ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).其次估计G 2.由式(20),(21),(22)和C h e b ys h e v 不等式,得G 2ɤ1ϕ(ωq (B))ωq x ɪB :b (x )-b B I αf 2(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú41/q+3921 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性1ϕ(ωq (B ))ωq x ɪB :I α([b B -b ]f 2)(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú41/qɤC 1ϕ(ωq (B ))4λʏBb (x )-b BqI α(f 2)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/q+C 1ϕ(ωq(B ))4λʏBI α((b B-b )f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC 1ϕ(ωq(B ))ʏBb (x )-b Bq ωq(x )d μ(x ())1/qðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )λd μ(y )+C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb 2j +1B -b Bf (y )d μ(y )+C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j +1B b (y )-b 2j +1B f (y )d μ(y )ʒ=G 21+G 22+G 23.注意到当t >0时,有t ɤΦ(t ).因为ωɪA (1,q )(μ),则由引理6可知ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .利用式(18),(19)㊁反H öl d e r 不等式和A 1(μ)条件,可得G 21+G 22ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1Bf (y )λd μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λd μ(y )=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(j +1)(μ(2j +1B ))αω(2j+1B )ʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λω(y )d μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(j +1)(μ(2j +1B ))αΦf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B .再利用式(12),(16)和反H öl d e r 不等式,有G 21+G 22=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ˑðɕj =1ω(2j+1B )ϕ(ωq (2j +1B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B (j +1)(μ(2j +1B ))αω(2j +1B )ϕ(ωq (2j +1B éëêêùûúú))ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM 1,ϕL l o g L(ω,ωq )ðɕj =1(j +1)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).对于G 23,因为ωɪA (1,q )(μ),故由引理6可知ωɪA 1(μ).利用A 1(μ)条件㊁广义加权H öl d e r 不等式和式(11),有G 23=C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))1λðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B Φf 1(x )æèçöø÷λω(y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))α㊃ b -b 2j +1B e x p {L (ω)},2j +1B Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αΦf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B .4921 吉林大学学报(理学版) 第61卷类似G 21+G 22的证明过程,可得G 23ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).综合G 1和G 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理4的结论.参考文献[1] C O I F MA N R R ,W E I S S G.A n a l y s e H a r m o n i q u e N o n -c o mm u t a t i v es u rC e r t a i n sE s p a c e s H o m o g èn e s [M ]//L e c t u r eN o t e s i n M a t h e m a t i c s ,V o l .242.B e r l i n :S p r i n g e r -V e r l a g ,1971:1-242.[2] C O I F MA N RR ,W E I S SG.E x t e n s i o n s o fH a r d y S p a c e s a n dT h e i rU s e i nA n a l y s i s [J ].B u l l e t i n o f t h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1977,83(4):569-645.[3] HA N YS ,MÜL L E RD ,Y A N GDC .A T h e o r y o f B e s o v a n dT r i e b e l -L i z o r k i nS p a c e s o nM e t r i cM e a s u r e S p a c e s M o d e l e do nC a r n o t -C a r a t h éo d o r y S p a c e s [J /O L ].A b s t r a c ta n d A p p l i e d A n a l y s i s ,(2009-05-04)[2022-09-10].d o i :10.1155/2008/893409.[4] C HO UJH ,L IX ,L I N H B ,e t a l .G e n e r a l i z 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(4):922-931.(L I U Z G ,T I A N M X .W e i g h t e d E n d -P o i n t E s t i m a t e sf o r C o m m u t a t o r s o f F r a c t i o n a lI n t e g r a l s o n S p a c e s o f H o m o g e n e o u sT y pe [J ].A c t aM a t h e m a t i c a S c i e n t i a ,2010,33A (4):922-931.)(责任编辑:李琦)5921 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性。

齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性

齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性陶双平;武江龙;孙小春【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2009(029)001【摘要】In this paper, we study the boundedness of higher order commutators.By using the truncated operator methods and the techniques of function compositions, we not only obtain the boundedness results for higher order commutators generated by the sublinear operators and BMO functions on homogeneous Morrey-Herz spaces, but also get the boundedness for higher order commutators type of convolution operators.%本文研究了高阶交换子的有界性, 利用截断算子方法和函数分解技术, 在齐次Morrey-Herz空间上, 得到了由次线性算子与BMO函数生成的高阶交换子的有界性以及卷积类算子高阶交换子的有界性.【总页数】6页(P21-26)【作者】陶双平;武江龙;孙小春【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070;牡丹江师范学院数学系,黑龙江牡丹江,157012;西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O174.2【相关文献】1.一类分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军2.N维分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军3.交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 杨明华;张学铭;刘冬华4.齐次Morrey-Herz空间上多线性交换子的有界性 [J], 王立伟;束立生5.带粗糙核的参数型Marcinkiwicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 张爱翠;陈金阳;王松柏;江秉华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分数次多线性交换子在齐型Herz-Morrey空间中的有界性

设ｄ是拓扑空间上的拟度量，即定义在Ｘ上的实值函数，对任意，，满足且）ｚ∈ ，
ｄ，）≤ Ｋｄ，（Ｙ［（ｚ）＋ｄｚＹ］（，）．式中，是与，，无关的正常数．ｙｚ明显的当Ｋ≤ １，，）时（ｄ是度量空间．对任意的 ∈Ｘ，＞０我们记ｒ，以为中心，为半径的球体Ｂｘｒｒ（，）＝｛：（，）＜ｒ．Ｙ∈ ｄｘＹ｝若正则Ｂｒ测度满足下述双倍条件，ｏｌｅ即对任意ａ＞０有，０≤肛Ｂ，ｔ）Ａ（（，）（（ａ） ≤ ｇＢｒ）＜∞ ，式中，是与、无关的正常数，Ａｒ则称（ｄ／为齐型空间．，，）．ｔ在本文中我们假设对任意 ∈ ，有（）＝，０ｇｘ）＝∞，（以及Ｐｎａ在文［］中引入的“ ｏｄｉ．１ＣｎｉｏＩｔｎ ” ＣｏｄｔｎＩ对球体Ｂ（ｒ，设ｔ１则存在常数ａ≥ ２Ａｎｉｏｉ，）假 ≥ ，，０＞１满足肛（（，ｔ）≥ ＡＢ，）．Ｂｘａ）０（（ｒ）事实上，Ａ与ｔ有关且（）＝Ａｌ，见文［］ｔ ¨ｏｇ２．设ｂ∈ＢＭＯ（，是具有标准核的Ｃａｅ６ —ｙｍｕｄＸ）ＴｌｄｒｎＺｇｎ奇异积分算子，由它们生成的交换子［，］定ｂＴ
ＧｅＲｅｆ ’ ×ｕＧｕｈａｎｕｏｕ２
．
（．ｅａｔｅｔｆｔｅａｉｌｉｙｎａｇＴａｈｒＣｌｇ，ｉｙｎａｇ２２０，Ｃｉａ１Ｄｐｒｎｈｍｔａ，ＬａｕｇｎｅｃｅｓｏｅｅＬａｕｇｎ２０６ｈｎ）ｍｏＭａｃｎｌｎ（．ｃｏｌｆｔｅａｉｌｃｅｃｓａｊｇＮｒｌｎｖｒｔ，ａｊｇ２０４Ｃｉａ２Ｓｈｏｏｈｍｔａｉｅ，ＮｎｉｏｍａＵｉｅｉＮｎｉ１０６，ｈｎ）ＭａｃＳｎｎｓｙｎ

双线性分数次Hardy算子交换子在Herz-Morrey空间上的估计

通信作者简介：周
疆（１９６８一），男，教授，主要从事调和分析的研究，Ｅ— ｍａｉｌ：ｚｈｏｕｊｉａｎｇ＠ｘｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
四川师范大学学报（自然科学版）
第４Ｏ卷
ｌｌ川甜（Ｒｎ）
ｋｏ
．ｆ。ｆ．．。．；．
ｄ－ｄｚ，
其中， ∈ Ｒ＼｛０｝，Ｊ（￡，￡２）Ｊ＝￣／￡＋．
）
Ｈａｒｄｙ算子
Ｊｌｙ．ｌｙ）ｄｙ， ∈ Ｒ、｛０｝．
ＭＫ（Ｒ）：
பைடு நூலகம்
｛，∈ 。（Ｒ＼｛０｝）：ｌ＿川廿（
其中
＜∞｝，
并建立了它们在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间和齐次Ｈｅｒｚ空间中
收稿日期：２０１６—１１ —１５基金项目：国家自然科学基金（１１６６１０７５）
相应结果．关键词：双线性分数次Ｈａｒｄｙ算子；ＣＭＯ空间；Ｈｅｒｚ —Ｍｏｒｒｅｙ空问；有界性
中图分类号：Ｏ１７４．２文献标志码：Ａ文章编号：１００１ —８３９５（２０１７）０５— ０６２１ —０７
数所生成的交换子的有界性，其中，０ ≤ ＜ｎ，ｆ是Ｒ上的局部可积数．
首先介绍ｎ维双线性分数次Ｈａｒｄｙ算子的

广义分数次积分算子及其交换子在Morrey空间中的有界性

第６期
陈瑞仰等：义分数次积分算子及其交换子在Ｍｏｒｙ空间中的有界性广ｒｅ
５３９
＜Ｐ＜／，／口１ｑ一１ｐ— ａ且一＞０Ｅ／／，，
定理４ｃ
假设条件式（）立，３成且设６）Ｅ（
（，，么Ｌ口０）那＿／。是从。）到Ｌ（＇（Ｒ１界）有
Ｌ。。系数的 × 矩阵，满足椭圆条件为存在０且＜ ≤ ｙｃ＜＞得ｏ使
性．在文献［］中，．ｈｎｌ４ＳＣａｉｏ引入了分数次交换ｌ子［，］并证明了当６）Ｏ（时，６Ｌ］６Ｌ，（ＥＭＢＲ）［，
是（ｐＬ）的．文献［］中，（Ｔ．ｕｎＬ，ｑ型在５）．Ｄｏｇ和Ｌ．
≤２的复矩阵，者当 ≥ ３，或时核是Ｈ６ｄｒ续１ｅ连
其中６ｚ（）∈ ＢＭＯ（．Ｒ）
的（见文献［］，核Ｐ（）Ｇａｓｉｎ６）则ｚ，有ｕｓ上界，ａ即
对任意ｚＥＲ，＞０，ｔ．
（）Ｉｚ， ≤ 文中主要定理如下
的，里ｌ２／．这一ｑｐ
ＢＭＯ（ ” ，交换子［，／Ｒ）则６Ｌ足］满ｌ６Ｌ２（）ｌｑ ≤ ｃＪｌｌ（ｌ，，厂ｌ（［］）ｂｌｌ）ＬＩ厂ｌＪ
这里０＜ａ７１Ｐ＜＜２＜，
＜口＜ｎ１Ｐ＜ｎ１１ｑ一１ｐ一１ｎ６）Ｅ，＜／，／２／２，（／
ＢＭｏ（．Ｒ）

marcinkiewicz积分在非齐型morrey—herz空间中的有界性

marcinkiewicz积分在非齐型morrey—herz空间中的有界性MARCINKIEWICZ积分是一类常用的数学工具，它在研究非齐型Morrey－Herz空间中有着重要的应用和作用。

下面将详细介绍MARCINKIEWICZ积分在非齐型Morrey－Herz空间中的有界性：一、MARCINKIEWICZ积分可以被定义为非齐型Morrey－Herz空间中的一种重要积分。

1、MARCINKIEWICZ积分有一个特定的定义，如：假设X和Y是两个不同的几何体，它们具有相同的尺寸和结构，那么MARCINKIEWICZ积分将是X和Y的差的总和，即$\int_{X}^{Y} (X-Y)dx$2、MARCINKIEWICZ积分的本质和性质在非齐型Morrey－Herz空间中可以被清晰地划分出来。

在非齐型Morrey－Herz空间中，MARCINKIEWICZ积分的本质是基于Morrey－Herz空间中函数的一种求和表示，其特点在于平均求和，并且具有有界性质，能够保证函数可求出有界值。

3、同时，MARCINKIEWICZ积分还具有一定的稳定性，即当函数的变化范围大于预设的范围时，其积分值也不会急剧变化，这一点保证了MARCINKIEWICZ积分在能够更加有效地求解函数的有界性。

二、在实际应用中，MARCINKIEWICZ积分在非齐型Morrey－Herz空间中的有界性一直被广泛使用。

1、MARCINKIEWICZ积分的有界性被用于求解一类特殊的函数。

例如，在求解线性函数的有界性时，MARCINKIEWICZ积分可以有效地保证其求解结果的有效性。

2、同时，MARCINKIEWICZ积分在实际应用中，也用于求解非线性函数的有界性，例如对重要的多元函数，如单项函数、二项函数以及三项函数，等等，都可以采用MARCINKIEWICZ积分的特性来求解其有界性。

3、此外，MARCINKIEWICZ积分在非齐型Morrey－Herz空间中的有界性在实际应用中有着极大的优势，它的特定的解析特性使得在求解实际问题时，运算速度更快，同时保证有效的计算精度。

marcinkiewicz积分交换子在herz型hardy空间的有界性

marcinkiewicz积分交换子在herz型hardy空
间的有界性
Marcinkiewicz积分交换子是一种特殊的积分形式，它使用固定带宽的多项式变换（FPT），以获得非窗口函数及其变体的优化性能。

该技术可以用于与Herz型Hardy空间有关的多种不同的应用场景。

Marcinkiewicz积分交换子在Herz型Hardy空间具有有界性。

在Herz型的Hardy空间中，Marcinkiewicz积分交换子允许使用固定带宽的多项式变换，以获得高质量的声音处理和音频表示。

这种变换可以将不同集合上的函数映射到一个统一的域，提供了对自由空间有界性的良好保证。

此外，它还可以将传统的多项式变换升级为窗口函数，以获得更强的计算性能和精确的空间内表示。

Marcinkiewicz积分交换子可以用于构建Herz型Hardy空间具有有界性的拓扑。

该技术的关键优点是其可以精确地映射Herz型Hardy 空间的函数，这样可以得到较准确的结果。

此外，它还可以实施快速算法来减少计算时间，并且可以提供优化的高质量表示。

因此，Marcinkiewicz积分交换子可以有效地用于Herz型Hardy 空间，使函数具有有界性。

它使用高度优化的算法来分析函数，从而提供准确有效的结果，因此可以有效地用于Herz型Hardy空间中的应用场景。

带变量核的Marcinkiewicz积分交换子在变指标Herz-Hardy空间上的有界性

上的有界性;陶双平等证 [11] 明了 Marcinkiewicz积分 μΩ 及其交换子在变指标 Morrey 空间上的有界性;邵旭馗等得 [12] 到了带变量核的 Marcinkiewicz积分μΩ 以及由μΩ 与 BMO 函数b 生成的交换子μbΩ 在变指标 Morrey空间上的有界性.受上述研究启发,本文研究带变量核的 Marcinkiewicz积分μΩ 与 BMO 函数b 生成的交换子μbΩ 在变指标 Herz-Hardy空间上的有界性.
邵旭馗
(陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000)
摘要:借助 Marcinkiewicz 积分交换子在变指标 Lebesgue 空间上的有界性,利用变指标 Herz-Hardy空间上的原子分解理论,给出带变量核的 Marcinkiewicz积分交换子μbΩ 在齐次和非齐次变指标 Herz-Hardy空间上的有界性. 关键词:Marcinkiewicz积分交换子;变指标 Herz-Hardy空间;BMO(ℝn)空间;变量核中图分类号:O174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2019)04-0767-06
变量核 Marcinkiewicz积分μΩ 定义为
∫ μΩ
(f)(x)=
æ
ç
è
∞ 0
FΩ,t(x)
2
dtö ÷
t3 ø
1/2
,
∫ 其中 FΩ,t(x)= x-y ≤tΩx(x-,xy-ny-1)f(y)dy.
(2) (3)
收稿日期 :2018-11-19. 作者简介:邵旭馗(1979—),男,汉族,博士,副教授,从事调和分析及其在偏微分方程中应用的研究,E-mail:shwangsp@. 基金项目 :国家自然科学基金 (批准号 :11561062;11661051)和甘肃省高等学校科研项目 (批准号 :2017A-100;2018A-248).

带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在加权Morrey-Herz空间的有界性

ｂｏｄｅｎｅｓｏｎｔｉｅｏｒｅ－ｅｚｓａｃ．ｕｎｄｓｈｅｗｅｇｈｔｄＭｒｙＨｒｐｅ
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：ｗｅｇｔｄＭｏｒｙＨｅｚｓａｅｉｈｅｒｅ－ｒｐｃ；Ｍａｃｎｉｗｉｚｉｔｇａｐｒｔｒｏｇｅｎｌｒｉｋｅｃｎｅｒｌｏｅａｏ；ｒｕｈｋｒｅ
１概念和引理
在叙述主要结果之前，给出一些必要的概念和引理．先
设ｋ ∈Ｚ，令
Ｂ＝Ｂ（，０２）一｛ ∈ Ｒ：Ｉ ≤ ２）ＣＩ，一Ｂ＼，ｚ女Ｂ一
收稿日期：０９１ — ０２０ — ２１
（１）
ｚ一）（
（。，
（２）
，ｕ和ＹｎＬａｇ研究了
其பைடு நூலகம் 中
Ｆｚ一ｌ＜ｚ．（．ａ）ｆｙ１Ｙ ‘ ｚ， — －ＩＹｌｆ
对于Ｍａｃｋｅｃ积分算子的加权有界性，ｉｇＬｒｉｉｚｎｗｉＤｎ，ｕ等给出了加权Ｌ一有界
设Ｓ为（ ≥２中的单位球面，ｄ＝ｄ（表示Ｓ上的Ｌｂｓｕ测度．ｎ∈Ｌ（一是零阶一）用ａａｘ）一ｅｅｇｅ设Ｓ）
齐次函数且满足
Ｉｎ）ｘ一０（ｄ，
其中ｚ一，＃Ｏ带粗糙核的Ｍａｃｎｉｃ积分算子定义为ｘ．ｒｉｋｅｚｗｉ
第２８卷第３期２１００年９月
徐州师范大学学报（自然科学版）

Herz和MorreyHerz空间上几类交换子的有界性

西北师范大学硕士学位论文Herz和Morrey-Herz空间上几类交换子的有界性姓名：何儒彬申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：陶双平2008-06摘　要本文共分三章,主要讨论几类交换子在Herz和Morrey-Herz空间上的有界性问题.第一章得到了在非二倍测度下,一类由次线性算子T和RBMO(µ)函数a生成的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果.第二章给出了一类粗糙核多线性分数次奇异积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果,同时建立了这类算子和相应极大算子所生成的高阶交换子在M˙Kα,λp,q(R n)上的有界性.第三章证明了齐次Herz型Hardy空间上一类交换子的有界性.关键词:δ-Calder´o n-Zygmund算子;粗糙核算子;交换子;RBMO(µ);Lip-schitz函数;Morrey-Herz空间.AbstractThe thesis mainly discusses the boundedness of some commutators on Herz and Morrey-Herz spaces.In Chapter1,we obtain the boundedness of the commutator[a,T]on the homoge-neous Morrey-Herz spaces with non-doubling measures,where a∈RBMO(µ)and T is a sublinear operator.In Chapter2,we investigate the boundedness results on the homogeneous Morrey-Herz spaces for the fractional multilinear singular integral operators with rough kernel.In the meanwhile,we also establish the boundedness results of the higher order commutators generated by the operator with rough kernel and the corresponding maximal operator on the Morrey-Herz spaces.In Chapter3,we consider the boundedness of Calder´o n-Zygmund commutator fromH˙Kα,pq(R n)to h ˙Kα,pq(R n),where H˙Kα,pq(R n)is the Hardy space associated with Herzspace˙Kα,pq(R n)and h ˙Kα,pq(R n)is the local version of H˙Kα,pq(R n).Key words:δ-Calder´o n-Zygmund operator;Rough kernel operator;commutators; RBMO(µ);Lipschitz function;Morrey-Herz space.独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey--Herz空间上的有界性

摘要：先介绍了经典的分数次Ｈａｄｒｙ算子及交换子的概念，然后再结合齐次ＭｏｒｙＨｅｚ间ｒｅ — ｒ空的定义．到类分数次Ｈａｄ得ｒｙ算子和单侧二进ＣＭＯ函数所生成的交换子在齐次Ｍｏｒｙｒｅ —Ｈｅｚｒ空间上一些有界性结果．关键词：分数次Ｈａｄｒｙ算子；交换子；齐次Ｍｏｒｙｈｒ间；ｒｅ－ｅｚ空单侧二进ＣＭＯ函数
义１）时，Ｈ在齐次Ｈｅｚｒ空间上的有界性结果．本文在此基础上，出了６）给（是一个单侧ＣＭＯ函函数时。在齐次ＭｏｒｙＨｅｚｐｒｅ — ｒ空间上的有界性结果．
＊收稿日期：０８Ｏ — １２０一７０作者简介：军（９０）男，刘１７一，甘肃白银人，师．讲
Ａ
（）一｛Ｒ，∈ ＬＲ＼ｏ）ｌｌＲ（｛）：ｌｌａＭ
，．
ａ
＜。，。｝
其中
Ｉ２墨２Ｉｔ・脉一（ｂＪｆｘ
・
２・２
兰州工业高等专科学校学报
第１卷５
当Ｐ一。。时，按通常的形式来定义．
ｚ
１ｒ
（Ｈ，）ｘＩ（ｔ（）ｄ）ｉ ≤ｃ１（（）ｄ）（ｚ）ｘ，
其中
其中６ｏ（
。
ｂｔｄ・（）ｔ
若１Ｐ＜ｑ＜ｏ，ＣＣ：且 ≤ 。则ＭｑｃＭＯ，
ｃｃ＿南
，ｐ

带变量核的Marcinkiewicz积分算子交换子在Herz型Hardy空间上的有界性

））（６训），（＝ｆｌＩ窘ｚｏＦ（ｆ
收稿日期：００一Ｏ２１５—２Ｏ
基金项目：安徽省高校自然科学基金（Ｑ２１Ａ１８．ｔ０１３）作者简介：夏珩（９５，。１８一）女安徽淮南人，士；硕通讯作者：束立生（９７一）安徽舒城人，１５，教授，士，博主要研究方向：调合分析
摘
要：论了带变量核的Ｍａｃｋｅｃ积分算子与函数ｂ∈ Ｌ所生成的交换子在Ｈｅｚ讨ｒｉｉｚｎｗｉｒ型
Ｈａｄｒｙ空间上的有界性．
关键词：变量核；ｒｉｋｅｃ积分；Ｍａｃｉｚｎｗｉ交换子；ｒ型ＨａｄＨｅｚｒｙ空间；原子
中图分类号：７．Ｏ１４２
文献标识码：Ａ
文章编号：０１４３２１）１０１６１０ —２４（０１０ —００ —０
１引言及主要结果
设Ｓ是Ｒ” ≥ ２ ” （）上的单位球面，上具有规范的Ｌｂｓｕ测定如．义在Ｒ上的函数其ｅｅｇｅ定ＸＲ”
当ａ＝０时，我们称（ｚｚ，）满足Ｌ－ｉｉｒＤｎ条件．具有变量核的Ｍａｃｋｅｃ积分算子门的定义如下：ｒｉｉｚｎｗｉ
ｎ））（ｌｎｚＩ）（（＝ｊ，），厂。Ｆｃ（
其中
‰ （）＝ｚ
２
安徽师范大学学报（自然科学版）
２１００年

Marcinkiewicz积分算子交换子在Hardy空间及Herz型Hardy空间上的有界性

Ｐ
ｎ
基于上述工作，本文将进一步讨论该交换子在经典Ｈａｄｒｙ空间及Ｈｅｚ型Ｈｒｙ空间上ｒａｄ的有界性．其主要结果如下．定理１设Ｑ（）ｚ是上的零次齐次函数且满足（．式，Ｑ ∈Ｌｐ（ｎ１（１１）若ｉｓ－）０＜
基金项目：国家自然科学基金（０７０７、１６１４）１３１８０７０１、安徽省自科学研究项目（２０Ａ０）然ＫＪ０７０９和安徽师范大学青年科学基金（０７ｑ５）２０ｘｎ０资助
维普资讯
ｉ（一Ｑ）Ｃｘ～Ｑ）（，ｌｌＩ
成立，则ｎ是强（，）（中ｌ＜Ｐ２和弱（，）的ｐＰ型其）１型１
收稿日期：２０－２２；０５０ — １修订日期：２０－７１０７０－７
Ｅ— ａｉ：ｃｆ１￣２１ｎ．ｏ；ｓｌｈ＠ｍａｉ．ｈｎｅｍｌｍｌ２１ｃｃｍｈｕｓｌａｕ．ｄｕ．ｎｃ
Ｎ．ｏ２
程美芳等：Ｍａｃｋｅｃ积分算子交换子在Ｈｒｙ空间ｒｉｉｚｎｗｉａｄ
２３２
在文献［中Ｂｎｄｃ等人又证明了若Ｑ∈Ｃ（一，是，）２］ｅｅｅｋＳ）№ Ｐ有界的，１＜Ｐ＜∞．最近文献［的作者改进了以上结果，在Ｑ∈Ｈ（一的条件下给出了 № 的３］Ｓ）有界性．定理Ａｌ设Ｑ∈ＨＳ）３ｌ（一且满足（．），则对任意１＜Ｐ＜∞，１１式存在与，无关的常数Ｃ＞０使得ｌａｆ，Ｉ（）＃ｃＩＩｆ另一方面，Ｍａｃｎｉｉｒｉｋｅｃ分算子 № 与Ｌｐｃｉｗｚ积ｉｓｈｔｚ函数ｂ所生成的交换子 № －ｂ的有界性问题也受到人们的关注．下面先给出该交换子的定义

分数次积分算子交换子在广义Morrey空间上的有界性

维普资讯
第２卷第５期７
２００８年５月
数学教学研究
５１
分数次积分算子交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性
冯进喜
西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７０７３００
摘
要：本文研究分数次积分交换子［，ａ在广义Ｍｏｒｙ空问上的有界性．６Ｉ］ｒｅ
由于ｌ ¨ 一ｂｌＣｋ１ｌＢｏ所以ＦＣｋ１ｌＢｏｌ‰ （Ｉ１Ｉｂｋ。 ≤ （＋）ｌｌＭ，ｌｂ ≤ （＋）ｌｌＭＩｌｌｂ２）／ｌｐ２ｌ
由Ｈ６ｄｒ等式及Ｊｈ－ｒｎｅｇ不等式可得１ｅ不ｏｎＮｉｂｒｅ
就是经典Ｍｏ— ｒ
若ｃ（，）．Ｌ・＝Ｌ；ｃ口ｒ＝，，Ｌ，＝Ｌ若ｃ（．）Ｅ口ｒ＝１则ｐ， ” ｐ若Ｅ．），（则ｐ；ｏａｒ一一，＜Ａ，Ｏ＜是
ｒｙ空间Ｌ（ｅｐ见面［］．５）本文主要结果叙述如下：定理１１设Ｏ＜，＜ｐ／，／＝１ｐａｎ假设存在常数ｃ，２ｃ，．＜口ｌ＜ｎａ１ｑ／－／．１ｃ，３使得ｃ满足Ｅ，
证明对于ｆＥＬ・（）ｐ和方体Ｊ设，＋，一ｆｚ由于［，．的（ｇ有界性，以 ” ，＝ｘｆ．６１３，）所
．
｝［ＪｆＩ ≤ｌ，６）ｄｌＬＩ，（］３ｘＥｂ
≤ ，
≤ （ＩＩ）ｃＪ，）ｄ，。（ｐｘ

带粗糙核的积分算子交换子在Morrey—Herz空间上的有界性

且＝为集合Ａ的特征函数．
定义２［７Ｉ１。设 ∈Ｒ，０＜Ｐ≤Ｏ０，０＜ｑ＜Ｏ０，Ａ
设ｂ ∈ＢＭＯ（Ｒ），定义粗糙核分数次积分交换
… … … ～
换子砖分别如下：
（／）（）＝
）一ｂ（ｙ））ｙ）ｄ），，
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１— ８３９５．２０１３．０５．０１０
１引言及主要结果
设ｓ是Ｒ（／＞２）中单位球面，其上具有标准Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度ｄｏ－（ｘ）．称定义在Ｒ“ ｘＲ上的函数力（，）∈Ｌ（Ｒ）×Ｌ（ｓ），如果１＂２（，）满足下列条件（ｉ）对于任意， ∈Ｒ及Ａ＞０，有１＂２（，Ａｚ）：（，）；
摘要：设和砭＝：是由奇异积分算子和分数次积分算子，分别与ＢＭＯ函数生成的高阶交换子，
在Ｍｏｒｒｅｙ — Ｈｅｒｚ空间上建立了高阶交换子
．儿
ห้องสมุดไป่ตู้
和三的有界性．已知奇异积分算子和分数次积分算子
在空间上的有界性结果，利用截断算子方法和函数分解技术，并借助于Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式和Ｈ８１ｄｅｒ
（ｉｉ）（ｎ）ｘ（。（，
［Ｒｌ
一
ｌ
（６（）一６（Ｙ））Ｙ），

变指标分数次Hardy算子高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间的加权有界性

变指数空间在流体动力学和具有非标准增长条件的微分方程等领域应用广泛 ,目前已取得了很多研究成果[1-10]:Diening[2]证明了分数次积分算子在变指数 Lebesgue空间的有界性;Lu 等引 [3] 入了经典的 Herz-Morrey空间,它既是 Lebesgue空间的推广,也是 Herz空间的延伸;Izuki通过引入变指数 Herz-Morrey空间,研究了向量值次线性算子的有界性[4],并证明了分数次积分在变指数 Herz-Morrey 空间上的有界性[5];Izuki等证 [6] 明了分数次积分在加权变指数 Herz空间的有界性.
BoundednessofHigherOrderCommutatorsof FractionalHardyOperatorswithVariableIndexon
Herz-MorreySpaceswithVariableExponent
XIN
(SchoolofInformationEngineering,LanzhouUniversityofFinanceandEconomics,Lanzhou730010,China)
自 Hardy[7]证明了 Hardy积分不等式以来,关于 Hardy 积分不等式和 Hardy 算子的研究受到广泛关注,并取得了丰富成果.例如:赵凯等[8]得到了非双倍测度下分数次极大算子交换子在 Morrey-Herz空间上的有界性;张璞等给 [9] 出了分数次 Hardy 算子的交换子在变指数 Herz-Morrey

带变量核的分数次积分算子在加权Morrey 空间上的有界性

带变量核的分数次积分算子在加权Morrey 空间上的有界性邵旭馗;王素萍【摘要】利用核函数Ω的性质，考虑了带变量核的分数次积分算子TΩ，α在加权Morrey空间上的有界性，证明了当Ω满足零阶齐次条件与消失距条件时，带变量核的分数次积分TΩ，α是从Lp，k（ωp，ωq）到Lq，kq／p（ωq）的有界算子，从而推广了以往非变量核的相关结果。

%By using the properties of the function Ω ,the weighted boundedness results on the Morrey spaces were considered for the fractional integral operators TΩ ,α with variable kernels .It was showed that the TΩ ,α were bounded operators from L p ,k (ωp ,ωq ) to L q ,kq/p (ωq ) when it met the zero order homogeneous conditions and vanishing m oment condition ,which extended no‐variable kernel results that had been achieved in previous research .【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P21-24)【关键词】加权 Morrey 空间;分数次积分算子;变量核【作者】邵旭馗;王素萍【作者单位】陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳 745000;陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O174记Sn－1为Rn（n≥2）中的单位球面，其上装备了Lebesgue测度dσ＝dσ（z′）.设定义在Rn×Rn 上的函数Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1），满足并设Ω满足条件Ω（x，λz）＝Ω（x，z），∀x，z∈Rn，∀λ＞0；消失条件为其中带变量核的分数次积分算子TΩ，α定义为1971年，Muckenhoupt和 Wheeden［1］研究了对于幂权ω（x）＝｜x｜β，TΩ，α的加权模不等式；Ding［2］得到了TΩ，α关于幂权的弱型估计.在此之后，Ding和Lu［3］又考虑了对于更一般的权函数而言，TΩ，α的加权模不等式. 2009年，Komori和Shirai［4］首先定义了加权 Morrey空间Lp，k（ω），它是Lebesgue空间的一种推广形式，他们还研究了调和分析中一些主要算子在这些加权空间上的相关性质，类似结果可参见文［5－7］.受以上研究的启发，论文研究了带变量核的分数次积分算子TΩ，α在加权Morrey空间上的有界性，从而推广了以往非变量核的结果.定义1［4］设1≤p＜∞，0＜k＜1，ω是一个权函数，定义加权 Morrey空间Lp，k（ω）为其中定义2［4］设1≤p＜∞，0＜k＜1，对两个权函数u和v，定义加权 Morrey空间Lp，k（u，v）为其中论文结果如下：定理1 对某个r∈（1，∞］，设Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1），若以及则TΩ，α是从到的有界算子.1 定理的证明引理1 设Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1）是一零阶齐次函数且满足（2），如果0＜α＜n，1≤r′＜p＜，以及则TΩ，α是从Lp（ωp）到Lq（ωq）的有界算子.注：引理1的证明可参见文献［3］.引理2［8］设ω∈Ap，且p≥1，那么对任意的球体B，存在一个绝对常数C＞0，使得一般地，对任意的λ＞1，有其中：常数C不依赖于B与λ.引理3［9］设ω∈RHs，且s＞1，那么存在常数C＞0，使得对于球体B的任意可测子集E都成立.定理1的证明固定一个球体记其中：f1＝fχ2B表示2B的特征函数.由TΩ，α是一线性算子，于是可记令p1＝p／r′，q1＝q／r′且ν＝ωr′，由于ν∈A（p1，q1），于是可得由引理1、2，有关于I2，由H¨older不等式可得当x∈B，y∈2k＋1 B／2kB 时，有由此可推出此外，如果x∈B，y∈（2B）c，则有于是将不等式（5）和（6）代入（4）中可得根据不等式和的定义可得故可得由此可知注意到因此一定存在某个正数s＞1，使得ωq∈RHs，因此由引理3可得所以因为s＞1，所以最后一个级数是收敛的，且结合I1与I2的估计，然后关于所有球体B⊆Rn取上确界，这就完成了定理1的证明.参考文献：［1］Muckenhoupt B，Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractionalintegrals［J］.Trans Amer Math Soc，1971，161：249－258.［2］Ding Y.Weak type bounds for a class of rough operaters with powerweights［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125：2939－2942. ［3］Ding Y，Lu S Z.Weighted norm inequalities for fractional integral operaters with roughkernel［J］.Canad J Math，1998，50：29－39. ［4］Komori Y，Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integral operater［J］.Math Nachr，2009，282：219－231.［5］王素萍，岳晓红，邵旭馗.变量核多线性分数次极大算子的一致有界性［J］.安徽大学学报：自然科学版，2013，37（4）：28－31.［6］邵旭馗，陶双平.带变量核的Marcinkiewicz积分交换子的加权Lipschitz估计［J］.系统科学与数学，2012，32（7）：915－921.［7］邵旭馗，陶双平，王素萍.带变量核的参数型Marcinkiewicz积分在弱Hardy空间上的有界性［J］.应用数学，2013，42（1）：177－181.［8］Garcia－Cuerva J，Rubio de Francia J L.Weighted norm inequalities and related topics［M］.Amsterdam：North－Holland Publishing Company，1985.［9］Gundy R F，Wheeden R L.Weighted integral inequalities for nontangential maximal function Lusin area integral，and Walsh－Paley series［J］.Studia Math，1974，49：107－124.。

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收稿日期：０９１—０２０－２３
：
表示Ａ的特征函数．
基金项目：州师范大学自然科学基金资助项目（９Ｂ２徐０ＸＬ０）作者简介：翠兰，，师，士，吴女讲硕主要从事调和分析的研究．引文格式：翠兰．数次积分交换子在Ｈｅａ间及ＭｏｒｙＨｅｚ间上的有界性．州师范大学学报；吴分ｒ空ｒｅ－ｒ空徐自然科学版，００２（）２ —２．２１，８１：０４
有界性．
关键词：数次积分交换子；ＭＯ函数；Ｈｅｚ间；ｒｅ— ｒ空间分Ｂｒ空ＭｏｒｙＨｅｚ
中图分类号：７．Ｏ１４２文献标识码：Ａ文章编号：０７６７（０００—０００１０—５３２１）１０２—５
究．０５，ｕ。２０年Ｌ等研究了ＭｏｒｙＨｅｚｒｅ — ｒ空间上的奇异积分算子，文将讨论分数次积分交换子在Ｈｅｚ本ｒ
空间及ＭｏｒｙＨｅｚ空间的有界性．ｒｅ－ｒ
１定义及引理
对Ｖｋ∈ Ｚ记Ｂ，一Ｂ（，ｏ２）一｛ｚ∈ Ｒ：ＩＪ２）Ａ — Ｂ＼． ” ≤ ，Ｂ
ｌｌ＊一Ｉｌ一ｕＩｌ６Ｉｌｄｂ…
ｐｊＩ）Ｉ ≤ ＜。南ａ一ｃ。，
其一＿。ｚ称Ｉ＊６ＢＯ数中１６）ｌ为的Ｍ范口＿（・ｂｊｌｌ・
１７９１年，ｃｅｈｕｔＭｕｋｎｏｐ等给出了，的带幂权的（Ｌ）Ｌ，有界性；９３，ｈｎｌ１９年Ｃａｉｏ等证明了丁，是ｌｎ
ＢｏｎｅｎｅｓｏｏｍｕａｏｓｏｒｃｉｎａｎｔｇａｐｒｔｒｕｄｄｓｆｃｍｔｔｒｆｆａｔｏｌｉｅｒｌｏｅａｏｓｏｒｐａｅａｄＭｏｒｙＨｅｚｓａｅｎＨｅｚｓｃｎｒｅ。ｒｐｃ
弱１）算嘲对一的（ｑ，ｎ等出丁的权ＬＬ有性；｛ｉ（，型子．于般Ａ，权Ｄｇ给了力加（，）界 …｛ＪＥＴｐ）ｉ，ｔ￣Ｎｇｆ
当满足一类Ｌ一ｉｉＤｎ条件时，．Ｈａｄ在ｒｙ空间上的有界性问题嘲．有关交换子的有界性，已有不少研
ＷｕｕｌｎＣｉａ
（ｃｏｌｏａｈｅｔａｃｅｃＸｕｈｒｌｎｖｒｉｙ，ｚｏ２１１Ｊａｇｕ，ＳｈｏｆＭｔｍａｉｌＳｉｎｅ，ｚｏｕＮｏｍａｉｅｓｔＸｕｈｕ２１６，ｔｅｉｅｕｌｙｔｃｎｑｅｈｏｎｅｎｓｆｃｍｍｕａｏｓｇｎｒｔｄｂｒｃｉｎｌｉｔｇａｓａｄｓｒｃ：Ｂｓｄｏｈｎｑａｉｅｈｉｕ，ｔｅｂｕｄｄｅｓｏｏｔｔｔｒｅｅａｅｙｆａｔａｎｅｒｌｎｏＢＭＯｕｃｉｎｎＨｅｚｓａｅｎｒｅ — ｅｚｓａｅｅｐｃｉｅｙｉｓｕｉｄｆｎｔｓｏｒｐｃｓａｄＭｏｒｙＨｒｐｃｓｒｓｅｔｌｓｔｄｅ．ｏｖ
Ｖｏ．８Ｎｏ１１２，．
Ｍａ．。Ｏ１ｒ２０
分数次积分交换子在Ｈｅｚ空间及ｒＭｏｒｙＨｅｚ空间上的有界性ｒｅ— ｒ
吴翠兰
（州师范大学数学科学学院，苏徐州２１１）徐江２１６
摘要：用不等式技巧，究由分数次积分算子和Ｂ利研ＭＯ函数生成的交换子在Ｈｅｚ间及ＭｏｒｙＨｅｚ间上的ｒ空ｒｅ－ｒ空
（％
Ｌ
定义为
为带粗糙核的分数次积分算子．Ｔ．和Ｂ由ａＭＯ函数生成的高阶交换子
一写昔（一（Ｌ）ｂｙ
Ｑ
， ∈＋Ｎ．
当ｎ三１，Ｉ： Ⅲ，时记７，这里ｂ∈ ＢＭＯ（，ｂ∈ Ｌ。（）且对任意的方体Ｑｃ有Ｒ）即，Ｒ，
第２卷第１期８２１年３月００
徐州师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＸｕｈｕＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｉｏ）ｏｒａｚｏｒｌＵｎｖｒｉＮａｕａｉｎｅＥｄｔｎｏｙＳｉ
Ｋｅｒｓ：ｆａｔｏｌｉｅｒｌｃｍｍｕｔｔｒ；ＢＭＯｕｔｏｙｗｏｄｒｃｉｎａｎｔｇａｏａｏｆｎｃｉｎ；ＨｅｚｓｃＭｏｒｙＨｅｚｓｃｒｐａｅ；ｒｅ－ｒｐａｅ
设０Ｚ， ∈ Ｌ（一（ ≥ １是Ｒ＜＜ｎＳ）ｒ）上的零次齐次函数，一Ｒ”中的单位球面，Ｓ是称