海壁：高考文科解析几何选填题
立体几何文科高考题
立体几何文科高考题(文科)(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高考立体几何文科汇编（江苏）16、如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD（安徽卷）（19）（本小题满分13分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF 都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线BC EF ∥；（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积.（北京卷）17．（本小题共14分）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.ABCD P-（福建卷）20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积（广东）18．（本小题满分13分）图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为CD ,''C D ,DE ,''D E 的中点，''112,2,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点．（1）证明：''12,,,O A O B 四点共面；（2）设G 为A A′中点，延长\''1AO 到H′，使得''''11O H AO =．证明：''''2BO H BG⊥平面（湖北）18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E 在侧棱上，点F 在侧棱上，且,． （I ） 求证：；（II ） 求二面角的大小。
解析几何填空选择压轴题(含答案)解析-
201５解析几何填空选择压轴题（含答案）一.选择题(共1５小题)1.(2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A. Ｂ．C．D．2.（201５•绥化一模)已知椭圆,F1,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ2的重心为G,内心Ｉ，且有（其中λ为实数)，椭圆C的离心率ｅ=（)Ａ．Ｂ．Ｃ. Ｄ.３.（2015•鹰潭二模)已知点Ａ（﹣１,０),Ｂ（1,０）及抛物线ｙ２=2ｘ，若抛物线上点P满足|PＡ|=m|PＢ|,则m的最大值为（)A. 3B. 2C. D．4.（2０15•大庆校级模拟)已知双曲线的标准方程为,Ｆ为其右焦点，A1,A２是实轴的两端点,设P为双曲线上不同于Ａ1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x＝a分别交于两点M，N，若，则a的值为( ）A． B. Ｃ. D.5.（2０1４•瓦房店市校级二模)已知抛物线y2=２px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点,且AF⊥ｘ轴,则椭圆的离心率为（）A．Ｂ. C. D.6.(201４•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AB|=2０，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点Ｍ、N与直线l的距离|MP｜、｜NQ｜满足条件,则｜ＡM|＋|ＡＮ｜的值为（)A. ２2 Ｂ．20 C．１８Ｄ. 16 7．(2013•东城区模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点，A，Ｂ,C为该抛物线上三点，若++＝,则的值为(）A． 3 Ｂ．4C． 6 D． 9８．（20１３•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点Ｏ，若有且只有一对相交于点Ｏ,所成的角为60°的直线Ａ１B1和A2B2,使｜A1B1｜=|A2Ｂ2｜，其中A１、B１和A２、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ）A. B．C．D．９．（2011•江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）A . Ｂ.C．D.１0．(2０10•陕西)已知抛物线y2=2ｐx（p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）2+y2=１６相切，则p 的值为( ）A．Ｂ．1 C. 2 D. ４11．(2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线１2．（２009•天津)设抛物线y2=2x的焦点为F，过点Ｍ(,0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，｜BF|=２，则△ＢCF与△ＡCF的面积之比=()Ａ．Ｂ．C．D．1３.(2０0８•四川）已知抛物线Ｃ：y２＝8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K，点Ａ在C上且，则△AＦＫ的面积为(）A． 4 B. 8 C． 1６D．３214．(2008•海南)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）Ａ. B．C． (1,2) Ｄ. (１，﹣２)15．（2０08•福建）双曲线(a>0，b>０)的两个焦点为F1、Ｆ2，若Ｐ为其上一点，且|PF1｜=2｜PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A．（1,3) B. (1，3]C．(3,+∞）D． [３，＋∞］二.填空题（共1５小题）16．(20１５•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在ｘ轴上,左右焦点分别为Ｆ1，F２，且它们在第一象限的交点为P,△ＰF１F2是以PＦ2为底边的等腰三角形.若|ＰF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(１,2）.则该椭圆的离心率的取值范围是.１7．（20１5•上饶二模）以抛物线y２=２0x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．１8．（2015•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点Ｆ且斜率为k（k>0）的直线与Ｃ相交于A、B两点,若=.19．(2０14•福建模拟)若函数f(x）=lｏｇ2（x+１）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a＝.20.（2０１3•建邺区模拟)过抛物线y2=２ｐｘ(ｐ>０）的对称轴上的定点M（ｍ,0）(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.(1)试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（２)若点Ｎ是定直线l:ｘ=﹣m上的任一点,试探索三条直线ＡN,MN,BＮ的斜率之间的关系，并给出证明.２１．(2０1２•湖北)如图,双曲线﹣=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1F2B2，切点分别为Ａ，Ｂ，C，D.则:（Ⅰ)双曲线的离心率e=;(Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２Ｂ２的面积S1与矩形ABＣD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）＋＝1上有一动点P，圆E:(ｘ﹣1)2+y2＝1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆Ｆ：(x＋１）2＋y2=1,过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为.２3.(2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1Ｂ2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A２在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．２4．（2013•江西）抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线=１相交于A，B两点,若△AＢF为等边三角形,则p= .２5．（2０13•湖南)设F1,F2是双曲线C：(a＞0，b＞０）的两个焦点．若在C上存在一点P.使PＦ1⊥PＦ2，且∠PＦ１F2＝３0°,则C的离心率为.2６．（２0１１•浙江)设F1，Ｆ２分别为椭圆+y2=１的焦点，点Ａ，Ｂ在椭圆上,若=5;则点Ａ的坐标是．2７．（2010•湖北）已知椭圆Ｃ:的两焦点为Ｆ1，F２,点P（x０,ｙ０)满足,则|PF1|＋PF2｜的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数.28．(201１•重庆)动圆的圆心在抛物线y２=８ｘ上,且动圆恒与直线ｘ+2=0相切，则动圆必过点.２9．（２0１0•上海)在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、ｂ∈R),则a、b满足的一个等式是 .30．(2０07•重庆）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为1０50的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP｜•｜FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题(含答案）参考答案与试题解析一.选择题（共15小题）1.（201５•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1,Ｆ２,若椭圆Ｃ上恰好有6个不同的点P,使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是（) A. B. C. D．考点：椭圆的简单性质.专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分等腰三角形△F1F2Ｐ以F１F2为底和以F１Ｆ2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于ａ、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.解答：解:①当点P与短轴的顶点重合时，△Ｆ1F2Ｐ构成以F１F２为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;②当△F1F2P构成以F１F2为一腰的等腰三角形时，以F２P作为等腰三角形的底边为例,∵F１F2=F1Ｐ,∴点Ｐ在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在２个满足条件的等腰△F1Ｆ２P,在△Ｆ1F2Ｐ1中，F1F2+PF1＞PF２,即２c+２c>２ａ﹣2c,由此得知3c＞ａ．所以离心率e＞.当e＝时,△Ｆ１F2Ｐ是等边三角形,与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时,在ｅ且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△Ｆ1Ｆ2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e∈（，）∪（,1)点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有６个不同点P使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题．2．（2015•绥化一模）已知椭圆,F１,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ２的重心为G,内心I,且有(其中λ为实数）,椭圆C的离心率e=()A. B. Ｃ．Ｄ.考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△F1PF2中，设Ｐ(ｘ0，y0),由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标,因为,故内心I的纵坐标与G相同,最后利用三角形F１ＰＦ2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立ａ、b、ｃ的等式,即可解得离心率解答：解:设P（x0,ｙ０),∵G为△Ｆ１PＦ2的重心，∴Ｇ点坐标为Ｇ（,),∵，∴IG∥x轴,∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|ＰF１|+｜PＦ2｜=2ａ,｜F１F2|=2c∴=•｜Ｆ1Ｆ2|•｜y0|又∵Ｉ为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1ＰF２分为三个底分别为△F１ＰＦ２的三边,高为内切圆半径的小三角形∴=(|PF1｜+|F１Ｆ2｜＋|PＦ2|)｜｜∴•｜F1F2|•|y0|=（|PF１｜＋|F1F２|+|PF2|)||即×2c•|y0|=(2a+2c)||,∴２c=a，∴椭圆C的离心率e==故选Ａ点评:本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用,椭圆离心率的求法３.（2015•鹰潭二模）已知点A(﹣1,０)，Ｂ（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足｜PA|=ｍ|ＰB|，则m的最大值为( )Ａ．３Ｂ. 2 Ｃ．Ｄ.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题;压轴题．分析：由题意可得m2=＝＝=1＋≤3,可得m≤．解答:解：设P（,y）,由题意可得m2==＝=1+≤1+=３,∴m≤，当且仅当y2=2时,等号成立，故选Ｃ.点评:本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用,运用基本不等式求出ｍ2≤3，是解题的关键．4.(2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点,Ａ1，Ａ2是实轴的两端点，设Ｐ为双曲线上不同于A1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x=a分别交于两点M,N,若，则ａ的值为()Ａ．B．C．D．考点: 双曲线的简单性质.专题：综合题；压轴题.分析：双曲线，右焦点F（5．０),A1（﹣3，0),Ａ2(３，0),设P(ｘ,ｙ），Ｍ（a，m)，N（ａ，n），由P,A1,M三点共线,知，故m=,由P，A2,N三点共线,知，故n＝,由,和,能求出a的值．解答：解：∵双曲线，右焦点F(5,0），A１（﹣3,0)，A２（3，0），设P（x,ｙ),M（ａ,m），N(a,ｎ),∵P，A1,M三点共线，∴m=，∵P，Ａ2,N三点共线,∴,∴ｎ=,∵，∴,∴，，，∴=(a﹣5)2＋=（a﹣5)２＋，∵，∴(ａ﹣5）2+=0，∴２５a2﹣90ａ+81=０,∴a=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.解题时要认真审题,注意向量知识的合理运用．5．(2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0)与椭圆有相同的焦点F,点Ａ是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为( ）A．B．C． D.考点: 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:设点Ａ坐标为(x0，y0）依题意可知＝,把ｘ0=代入椭圆方程求得关于y0的等式,根据抛物线定义可知y0＝2c代入等式整理可得关于离心率ｅ的一元二次方程求得e.解答:解：设点A坐标为（x０，y０)依题意可知=,x0＝代入椭圆方程得(*)根据抛物线定义可知ｙ0=ｐ=2=2ｃ∴y20=4c2，代入（*）式整理得a２﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得ｅ2+2e﹣1=0,解得ｅ=或﹣﹣1(排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．6.（2０１4•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AＢ|=2０,l为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T,｜AT｜＝４,半圆上相异两点M、N与直线ｌ的距离|MP|、|ＮQ｜满足条件,则|AM|+|AN｜的值为（）A．２2 B. 2０Ｃ．18 Ｄ．16考点: 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题: 计算题;压轴题.分析：先以ＡT的中点O为坐标原点，AＴ的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+ｙ２=100,根据条件得出M,N在以A为焦点，PＴ为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解:以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴,可得半圆方程为(x﹣１2）2+y2=10０又,设M(x1，y１)，N（x2，y2),M,N在以A为焦点,ＰＴ为准线的抛物线上;以ＡT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系,则有物线方程为ｙ2=８ｘ（ｙ≥０),联立半圆方程和抛物线方程,消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+ｘ2=1６，｜AM｜+｜ＡN|=|ＭP|+|ＮＱ|=x1+ｘ2+４=2０．故选：B.点评:本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．7.(2０13•东城区模拟）设F为抛物线ｙ2=4x的焦点,Ａ，B,C为该抛物线上三点，若＋＋＝,则的值为( )Ａ. 3 Ｂ．4 C. ６ D. 9考点：抛物线的简单性质；向量的模.专题: 计算题；压轴题.分析:先设A(ｘ，y1)，Ｂ(ｘ2,y2）,Ｃ（x３,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,１再依据=0,判断点F是△ＡBC重心，进而可求x1+x２+x３的值.最后根据抛物线的定义求得答案．解答:解:设A（x1,y1）,B(x2，y2）,Ｃ(x3,ｙ3）抛物线焦点坐标Ｆ(１，0),准线方程：ｘ=﹣１∵=,∴点F是△AＢC重心则ｘ１+x2+x3＝３y1＋y2＋y3＝0而|FA｜=ｘ１﹣（﹣1)＝ｘ1+1|ＦB|=x２﹣（﹣1）=ｘ2+1|FC|＝x3﹣（﹣1)=ｘ3+1∴|ＦA|+|FB|+｜FC|=x１+1+x2+1＋x3＋1＝(x１+ｘ2+ｘ３）+3＝3+3=６故选Ｃ点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．８.(2０１3•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为６0°的直线A1B1和A2B2,使|A１B1|=|A2B２|，其中A1、B1和A２、B2分别是这对直线与双曲线Ｃ的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B．C．Ｄ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=｜A２B2｜及双曲线的对称性知A1,A2，Ｂ1,B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得,由此能求出双曲线的离心率的范围.解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|Ａ1B1|＝|Ａ2B2|及双曲线的对称性知A1，Ａ２,Ｂ１，B2关于x轴对称，如图,又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为３0°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于３0°，双曲线与直线才能有交点A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点,则不可能存在|A１B1|=｜Ａ2B2｜，当直线与ｘ轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于６0°，双曲线与直线有一对交点A1，Ａ2，B1,B2，若双曲线的渐近线与ｘ轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于6０°，则有两对直线．不符合题意,∴tan３0°，即,∴,∵b2=ｃ２﹣a２,∴，∴,∴,∴双曲线的离心率的范围是.故选：A.点评:本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.9．（2011•江西)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点Ｏ处，一顶点及中心M在Ｙ轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（)A ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.考点：圆锥曲线的轨迹问题.专题: 作图题；综合题；压轴题．分析：解答本题宜用排除法，本题中图形的中心M到三个顶点的距离最远，到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M点离Ｘ轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出，三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M在最高点与最低点时,凸轮最高点到X轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项.解答：解：令图中最高点为Ａ,根据题意，可令三角形边长为1,即AO＝1，由于M是中心,故可得AM=＞，故中心Ｍ的位置并非是处于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏下，随着转动，M的位置会先变高，当点C为最低点时，Ｍ最高,由此排除CD 选项,而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同都是1,因此排除Ｂ，故选Ａ点评：本题考点是圆锥曲线的问题，考查根据实物的特征,探究其上某一点的位置变动规律，由此得出其轨迹的大体形状,本题轨迹方程不易求出,直接求解有困难,故根据其变化特征选择用排除法求解,做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题．１0．(2０10•陕西)已知抛物线y２=2px(p＞０）的准线与圆(x﹣3）2+ｙ2=１６相切，则p的值为()A．Ｂ．1C． 2 D. 4考点：抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:根据抛物线的标准方程可知准线方程为,根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．解答:解:抛物线ｙ2＝2pｘ(p>０）的准线方程为，因为抛物线ｙ2=2px(p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）２+y2=１6相切，所以;故选C．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.11．（2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（)A．直线B．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线考点：抛物线的定义;双曲线的标准方程.专题：计算题;压轴题;分类讨论.分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为ｘ轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为ｚ轴,过ｘ且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是(x,y，ｚ）根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把ｚ=0和ｚ=ａ代入即可求得ｘ和y的关系，根据其方程判断轨迹．解答：解:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴，公垂线与ｘ轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoｙ平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y＝0,z=０和x=０，z=a(a是两异面直线公垂线长度，是个常数)空间内任意点设它的坐标是（x，y,ｚ）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即＝两边平方,化简可得z=(y２﹣x２+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z＝0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x２＝﹣a２，图形是个双曲线ｚ=a时代入可以得到y２﹣x2=ａ２，图形也是个双曲线故选D点评：本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.12.（20０９•天津)设抛物线y２=2x的焦点为F，过点M(,０）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C,｜BＦ|=2，则△BCF与△ACＦ的面积之比＝（)A．B．C．Ｄ.考点：抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得Ｂ的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入,即可求得Ａ的坐标,进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答:解：如图过B作准线l：ｘ=﹣的垂线，垂足分别为A1，B１，∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|＝|BB1|＝2知ｘB=,ｙＢ=﹣,∴AB：y﹣０=（ｘ﹣）．把x=代入上式，求得y A=2,xＡ=2,∴|AF|=|AＡ1|=．故=＝＝.故选A.点评:本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．13．（200８•四川)已知抛物线C：ｙ２=8ｘ的焦点为Ｆ,准线与x轴的交点为K,点A在Ｃ上且，则△AFK的面积为( ）A. ４B．８ C. 16 D． 32考点：抛物线的简单性质．专题: 计算题；压轴题．分析:根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得Ｋ的坐标，设A（x0,y0)，过A点向准线作垂线AB,则Ｂ（﹣２，y０），根据及ＡＦ=AB=x0﹣（﹣2）=ｘ０+２,进而可求得A点坐标,进而求得△AＦK的面积．解答:解:∵抛物线Ｃ：y2=８x的焦点为F(２，0)，准线为x＝﹣2∴K（﹣2,0)设A(x0，y0)，过Ａ点向准线作垂线ＡＢ，则B(﹣2,y0）∵,又AF=AＢ=x0﹣(﹣2)=x0＋２∴由BK2＝AK2﹣AB２得y02＝（ｘ0+２）２,即8x0=(x０＋2）2,解得A(2,±4）∴△AＦK的面积为故选B．点评：本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置,在△ABK中集中条件求出x0是关键；14.（２００8•海南)已知点P在抛物线ｙ2=4x上,那么点Ｐ到点Q（2,﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为（)A．B．C． (1,2） D. （１,﹣２）考点: 抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题.分析:先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内,再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S,P,Q三点共线时取得,可得到答案.解答:解：点Ｐ到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF＋PＱ=PＳ＋PＱ,故最小值在S,P，Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是﹣1，故选A．点评:本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合. 15．（２008•福建）双曲线(ａ>0,b>0)的两个焦点为F1、Ｆ２，若Ｐ为其上一点,且｜PF１|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，３) B. （1，３]C．（３，+∞)D． [3，+∞]考点：双曲线的简单性质.专题: 计算题;压轴题．分析:可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系.解答：解：设|PF1|＝x,|ＰF2｜=y，则有，解得ｘ＝4ａ，ｙ＝２ａ，∵在△PＦ1F2中，x+y＞２c,即４a＋2ａ>2c,4a﹣2ａ＜2c，∴,又因为当三点一线时，4a+２a＝2c，综合得离心的范围是（1，3],故选B.点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.二．填空题(共15小题)16．（２015•鞍山一模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在ｘ轴上，左右焦点分别为F1,Ｆ2,且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１Ｆ2是以ＰF2为底边的等腰三角形.若｜ＰF1|=１０，双曲线的离心率的取值范围为（1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是(，) .考点: 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质.专题：压轴题;数形结合法．分析:作出图象,结合图象把问题转化为1＜＜２，求的取值范围.解答:解:如图，设双曲线的半实轴长,半焦距分别为ａ，c，２|PF1|=m，|PF２|=n,则⇒，问题转化为已知１＜<2，求的取值范围．设=x，则c=，=＝﹣.∵1＜ｘ<2,∴﹣<﹣<﹣,即＜﹣＜．故答案为：()．点评:本题考查双曲线的性质和应用,作出图象,数形结合,事半功倍.1７．(２015•上饶二模)以抛物线ｙ2=2０x的焦点为圆心,且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5)2+y2＝9.考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系．专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程,求出圆的半径，即可得到圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5,０）,双曲线:的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3,则所求方程为(x﹣5）２+y2＝9故答案为：(ｘ﹣5）2+y2＝9．点评:本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．1８.（２0１5•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点F且斜率为k（k＞０）的直线与Ｃ相交于A、Ｂ两点,若=.考点: 直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析:设l为椭圆的右准线，过Ａ、B作AA，BＢ1垂直于ｌ,A1，B1为垂足,过B作BE⊥AA1１于E,由=3知,||=，，由此可知．解答：解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BＢ1垂直于l,A1,Ｂ1为垂足，过B作BE⊥ＡA1于Ｅ,则|AA1|=，｜ＢB1|=,由=3知，||=，∴,∴，∴ｔａn.∴．故答案：.点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.１９．(20１4•福建模拟)若函数f(x）＝ｌog2（x+1)﹣1的零点是抛物线ｘ=ay２焦点的横坐标，则a=.考点: 抛物线的简单性质.专题：压轴题．分析:先求出函数ｆ(x）=ｌｏg２(x+1)﹣1的零点ｘ=１和抛物线ｘ=ay2焦点的横坐标,然后再求a.解答：解:由ｆ(ｘ）=ｌoｇ2（ｘ＋１)﹣1=0,知x＝１,抛物线x=ａy2焦点的坐标是F（），由题设条件知，∴a=．故答案为：.点评：本题考查抛物线的简单性质,解题时要认真审题，仔细解答,注意公式的合理运用.2０．（2013•建邺区模拟）过抛物线ｙ2=2pｘ（p>0)的对称轴上的定点Ｍ(ｍ,0)(ｍ>0），作直线AＢ与抛物线相交于A，Ｂ两点．(1）试证明Ａ,B两点的纵坐标之积为定值;（2）若点Ｎ是定直线l：ｘ=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN,BN的斜率之间的关系,并给出证明.考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;直线的一般式方程.专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1)设直线AB的方程为:x＝ｔy+m,与y2=２px联立,消去x得到关于ｙ的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明;(2)三条直线ＡN,MＮ,BN的斜率成等差数列．设点N（﹣m，n),则直线AN的斜率为,直线BN的斜率为,再利用（1）的结论即可证明．解答：（1）证明:.设Ａ（ｘ1，y1）,B(ｘ2,y2)有ｙ1•y2=﹣2ｐｍ，下证之:设直线ＡＢ的方程为：x＝ty+ｍ，与ｙ2=2px联立消去x得y2﹣２pty﹣2ｐm＝0，由韦达定理得y1•ｙ2=﹣2pm，(2）解:三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：设点N(﹣m，n)，则直线AN的斜率为，直线BN的斜率为,∴＝＝=又∵直线MN的斜率为,∴k AＮ＋ｋBN=2k MＮ即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键．21．（2012•湖北)如图，双曲线﹣=1（ａ，b＞0)的两顶点为A1，Ａ2,虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F１，F２．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1Ｆ２B２，切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，D.则：(Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1Ｆ2B2的面积Ｓ１与矩形AＢCD的面积S2的比值= .考点：圆锥曲线的综合.专题: 综合题;压轴题.分析:（Ⅰ)直线B２F1的方程为ｂｘ﹣cy+bｃ=0，所以O到直线的距离为，根据以Ａ1A２为直径的圆内切于菱形F1Ｂ１Ｆ2B2，可得,由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２B2的面积S１=２bｃ,求出矩形AＢCD的长与宽，从而求出面积S２=４mn=，由此可得结论．解答:解:(Ⅰ)直线B2F１的方程为bx﹣cy+ｂc＝0，所以O到直线的距离为∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,∴∴(c２﹣a2）c2=(２c2﹣a2)ａ2∴c4﹣3ａ２c2＋a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e>１∴e=（Ⅱ)菱形F1Ｂ１F２B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=２ｎ，BA=2m,∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2＝4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：,点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系.22．（2０13•沈河区校级模拟)＋=1上有一动点Ｐ，圆E:(x﹣1)2+y2＝1，过圆心Ｅ任意做一条直线与圆E交于A、B两点,圆F：（x+１）２+ｙ2=1，过圆心任意做一条直线交圆F 于C、D两点,则•+•的最小值为6．考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：计算题;压轴题．分析:先利用条件得出与互为相反向量，且长为1.再利用向量的三角形法则和向量的数量积的运算求出•的表达式；同理求出•,再与点P是椭圆上的点相结合即可求出结论．解答:解：设P(ａ，b）则由已知得与互为相反向量，且长为1．又∵=,=，∴=＋•（)＋＝+0﹣1=﹣１；同理可得=﹣1．故•＋•=+﹣２＝（a﹣1)２+b２+（a+1）２+ｂ2﹣2=２(a2＋b2)①．又因为点Ｐ(a，ｂ）在+＝1上,所以有=1⇒ｂ2=3(1﹣) ②．把②代入①整理得,•+•＝2（3+）≥6．故答案为6.点评:本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题.是对知识点的一个综合考查,属于中档题．23.(201２•庐阳区校级模拟)如图，椭圆的长轴为A1Ａ2，短轴为B1B２,将坐标平面沿ｙ轴折成一个二面角，使点A2在平面Ｂ１A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.考点：椭圆的应用;循环结构；二面角的平面角及求法．专题: 综合题;压轴题．分析:确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角,利用点Ａ2在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,可求得cos∠A2OＦ1＝，即可求得结论.解答：解:由题意,椭圆中ａ=４，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1Ａ1Ｂ2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△Ａ2OF1中，cos∠A2ＯＦ1=∴∠A2ＯＦ1=即二面角的大小为故答案为:点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角. 24.(2０13•江西)抛物线ｘ2=2py(p＞０）的焦点为Ｆ,其准线与双曲线=1相交于A,B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解:抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣,准线方程与双曲线联立可得:，解得x=±，因为△ABF为等边三角形,所以，即ｐ２=3x2，即,解得p＝6.故答案为:6.点评：本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．。
64高考文科数学解析几何练习题64
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的内部
x02 a2
y02 b2
1
.
x2 （2）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1(a
b 0)
的外部
x02 a2
y02 b2
1
.
6. 椭圆的切线方程
x2 椭圆 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上一点 P(x0 ,
y0 ) 处的切线方程是
x0 x a2
1(a
0, b
0)
与直线
Ax
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C
0 相切的条件是
A2a2
B2b2
c2
.
抛物线的标准方程和几何性质 1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的外部 y2 2 px( p 0) .
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的内部 y2 2 px( p 0) .
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的外部 y2 2 px( p 0) .
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的内部 x2 2 py( p 0) .
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的外部 x2 2 py( p 0) .
点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的内部 x2 2 py( p 0) .
(完整)上海高考解析几何试题.doc
1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。
3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、 两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。
2023年高考优质解析几何大题练习【含答案】
新高考优质解析几何大题练习一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．26．（2021•平邑县校级开学）已知椭圆（a＞b＞0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项．（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，，求λ+μ．27．（2022秋•青羊区校级月考）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF1|＝．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB 的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．28．（2022秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC 边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线Γ，直线MF1与曲线Γ的另一个交点为N，线段MF2的中点为E，记，求S的最大值．29．（2022秋•迎泽区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）与圆O：x2+y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C 相交于不同的两点M，N．（1）求抛物线C的方程．（2）过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P（x0，y0）是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．参考公式：（cx2）′＝2cx，其中c为常数．30．（2022秋•香坊区校级月考）动点M与定点A（1，0）的距离和M到定直线x＝9的距离之比是常数．（1）求动点M的轨迹G的方程；（2）设O为原点，点B（﹣3，0），过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴交于R、S两点，求证：|OR|⋅|OS|为定值．新高考优质解析几何大题练习参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【答案】（1）p＝2，m＝4；（2）证明见解析．【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2，又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4．（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4），所以，，又AM⊥AN，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0，令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0，所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n，则，，综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0，当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）；当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意；所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上，而AB中点为Q（6，0），即为定值，得证．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（Ⅰ）y＝±x．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因为点A（2，1）在双曲线上，所以﹣＝1，b2＝1，即双曲线C的方程为﹣y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．（Ⅱ）设直线AE的方程为y＝k1（x﹣2）+1，直线AF的方程为y＝k2（x﹣2）+1，联立，得（1﹣2k1）2x2+（8k12﹣4k1）x﹣8k12+8k1﹣4＝0，所以x A+x E＝﹣＝，所以x E＝﹣2＝，y E＝，所以E（，），同理可得F（，），联立，得M（3，k1+1），同理N（3，k2+1），所以|MN|＝|k1﹣k2|，＝|MN|×2＝|k1﹣k2|＝，所以S△AMN不妨设k1＞k2，即k1＝k2+，所以E（，），又E，F在直线l上，所以，解得，所以k的值为2．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．【答案】（1）2；（2）（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【解答】解：（1）由l⊥x轴，△AMN为等腰直角三角形，可得|AF|＝|NF|＝|MF|，所以a+c＝，即c2﹣ac﹣2a2＝0，可得e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2或e＝﹣1（舍），所以双曲线的离心率为2；（2）由AB＝4，可得2a＝4，即a＝2，所以直线PQ的方程为：x＝1，由（1）可得离心率为2，可得c＝4，b＝＝2，所以双曲线的方程为：﹣＝1；由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+4，m≠±，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，可得y1+y2＝﹣，y1y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+8＝，x1x2＝（my1+4）（my2+4）＝m2y1y2+4m（y1+y2）+16＝，直线AM的方程为y＝（x+2），直线AN的方程为：y＝（x+2），令x＝1，可得P（1，），Q（1，），∵D（t，0），∴＝（1﹣t，），＝（1﹣t，），∵•＝（1﹣t）2+×＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2﹣9，∵∠PDQ为锐角，∴•＞0，∴（1﹣t）2﹣9＞0，∴t＜﹣2或t＞4．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）；（2）证明解析；定点为（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）由题知，F2（c，0），其中一条渐近线为，即bx﹣ay＝0，所以，解得，所以，（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝mx+n代入，整理得：（5m2﹣4）x2+10mnx+5n2+20＝0，则，由Δ＝100m2n2﹣4（5m2﹣4）（5n2+20）＝80（n2﹣5m2+4）＞0得n2﹣5m2+4＞0，因为＝，所以，得n2＝4m2，即n＝±2m，所以直线l的方程为y＝m（x±2），所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝2m时，直线l过定点（﹣2，0）；所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝﹣2m时，直线l过定点（2，0）．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】（1）﹣y2＝1．（2）直线AD过定点（3，0）．点N在以QM为直径的圆上．【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，故设C的方程为﹣y2＝λ（λ≠0），又C过点P（3，）．所以﹣（）2＝λ，解得λ＝1，所以C的方程为﹣y2＝1．（2）证明：显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为x＝my+1，B（x1，y1），D（x2，y2），A（x1，﹣y1），联立，消去x整理得（m2﹣3）y2+2my﹣2＝0，依题意m2﹣3≠0且Δ＝4m2+8（m2﹣3）＞0，即m2＞2且m2≠3，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，直线AD的方程为y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，得x＝+x1＝＝＝＝＝3，所以直线AD过定点（3，0）．过Q点作QN⊥AD于N，设QM的中点为R，若N和M不重合，则△QNM为直角三角形，所以|RN|＝|MQ|，若N和M重合，|RN|＝|MQ|，所以点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）依题意，设圆心C（2，b），r＝b，，解得，所以所求圆方程为：．（2）证明：x＝0代入圆C方程，得y＝1或y＝4，所以B（0，1），A（0，4），若过B点的直线斜率不存在，此时A，P，Q在y轴上，∠PAB＝∠QAB＝0，射线AO平分∠PAQ；若过B（0，1）的直线l斜率存在，设其方程为y＝kx+1，联立整理得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，Δ＝16k2+24（2k2+1）＝8（8k2+3）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，＝，∴∠PAB＝∠QAB．所以射线AO平分∠PAQ．综上，射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．【解答】解：（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率或，即或；当时，由，得：a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为：；当时，方程无解；综上所述：双曲线C的方程为：．（2）由题意得：F2（2，0），假设存在定点M（m，0）满足题意，则恒成立；①当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，∴，∴，，∴＝＝0，∴（4k2+3）（1+k2）﹣4k2（2k2+m）+（m2+4k2）（k2﹣3）＝0，整理可得：k2（m2﹣4m﹣5）+（3﹣3m2）＝0，由，得：m＝﹣1；∴当m＝﹣1时，恒成立；②当直线l斜率不存在时，l：x＝2，则A（2，3），B（2，﹣3），当M（﹣1，0）时，，，∴成立；综上所述：存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）△AOB的面积为定值2，理由见解答．【解答】解：（1）∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点，∴c＝，又C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行，∴＝，又a2+b2＝c2＝5，解得a＝2，b＝1，∴双曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为y＝kx+m，联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴Δ＝64k2m﹣16（4k2﹣1）（m2+1）＝0，∴4k2＝m2+1，设直线l与x轴交点为D，则OD＝||，＝S△OAD+S△OBD＝＝，∴S△AOB又双曲线的渐近线方程为y＝±x，联立直线l：y＝kx+m，可得A（，），B（，），＝＝＝，∴S△AOB又4k2＝m2+1，＝2，∴△AOB的面积为定值．∴S△AOB9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．【答案】（1）x2+y2＝2（y≠0）；（2）直线MN恒过点（0，）．【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（﹣2，0），由sin B＝sin A，得，即，设C（x，y），则，整理得x2+y2＝2（y≠0）；（2）曲线E：x2+y2＝2（y≠0），由题意不妨设P（0，），Q（0，﹣），T（m，）（m≠0），TP：y＝，TQ：y＝，联立，得（m2+2）x2+4mx＝0，得M（，）；联立，得（m2+18）x2﹣12mx＝0，得N（，）．当m≠±3时，直线MN方程为y＝．∴直线MN恒过点（0，）．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意可知，P点轨迹为Γ是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，，所以a＝2，b＝1，所以Γ的方程为：；（2）因为直线l的斜率存在，设直线l的方程：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去y，整理得：（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，Δ＝（2k）2+4（k2+4）×3＝16（k2+3）＞0，所以，，所以，所以△QMN面积，设，所以在上单调递减，故当，即k＝0时，△BMN面积取得最大值，最大值为，所以△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）设M，N两点坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），代入椭圆方程，得，则，可得，因为，所以，所以a2＝4，椭圆C的方程为．（2）设MN方程为y＝kx+m，则，所以（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以，，所以，所以＝，所以＝，解得m＝2k（舍）或m＝﹣k，若F在以MN为直径的圆内，则，即，，即4k2﹣12+8k2+3k2﹣12k2+3+4k2＝0，即7k2﹣9＜0，且k≠0，解得且k≠0，所以k的取值范围为．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，a＝2，＝，解得c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）依题意，设直线l：x＝ty﹣1，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消去x并整理得：（t2+4）y2﹣2ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，|y1﹣y2|＝＝＝，由（1）知A（2，0），|AM|＝3，则有S＝＝＝，令u＝，显然函数y＝在[，+∞）上单调递增，，当且仅当，即＝±1时取等号．显然取等号情况不成立，故当＝时S取得最大值，即S≤，所以S的最大值为．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，可得a2＝2c2，又a2＝b2+c2，可得a2＝2b2，所以椭圆方程为，将代入方程得：，解得b2＝4，所以a2＝8，所以椭圆C的方程：；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值，且定值为．由（1）可得A（0，2），将代入抛物线可得6＝2p，p＝3，所以抛物线方程为x2＝6y，所以，则设直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN的方程，，消去y，整理得（2+4k2）x2+12kx﹣7＝0，所以，，，所以＝，所以，直线AM，AN的斜率之积为定值．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）（0，1）．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵a2＝c2+1，∴，∴椭圆方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则.．由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，则，⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【解答】解：（1）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距c＝1，即有短半轴长b＝1，所以椭圆C的标准方程为：．（2）依题意，设直线l方程为x＝my+1，由消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，假定存在点T（t，0），直线TM与TN的斜率分别为，，＝，要使k TM⋅k TN为定值，必有﹣1﹣2（1﹣t）+（1﹣t）2＝0，即，当时，∀m∈R，，当时，∀m∈R，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．【答案】（1）2；（2）（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．【解答】解：（1）设A（2py2，2py），则，令t＝y2∈[0，+∞），则，对于二次函数m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9，其对称轴为，当p≥3时，在[0，+∞）上单调递增，其最小值为9，即|AB|的最小值为3，不满足题意，当0＜p＜3时，，所以当时m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9取得最小值，即所以，解得p＝2或p＝4（舍），所以p＝2；（2）由（1）可得，当时，，点A（1，2），所以，直线AB的方程为y＝﹣x+3，由可得x2﹣10x+9＝0，解得x＝1或x＝9，所以D（9，﹣6），所以AD的中点为N（5，﹣2），所以直线EF的方程为y+2＝1⋅（x﹣5），即y＝x﹣7，设E（x1，y1），F（x2，y2），由可得y2﹣4y﹣28＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣28，所以线段EF的中点为，因为，所以d，D，E，F四点共圆，圆心为M（9，2），半径为8，所以该圆的方程为（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】；（2）四边形OMDN的面积是定值，其定值为．【解答】解：（1）因为圆E为△ABC的内切圆，所以|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|＝2|CP|+|AR|+|BR|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，所以，a＝2，则b＝1，所以曲线G的方程为．（2）由y≠0可知直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，由平面图形OMDN是四边形，可知m≠0，代入到，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，，．所以，所以，又点O到直线MN的距离，由，得，，因为点D在曲线G上，所以将D点坐标代入椭圆方程得1+4k2＝4m2．由题意四边形OMDN为平行四边形，所以OMDN的面积为，由1+4k2＝4m2，代入得，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．【答案】（1），（2）．【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，∵，∴，又，令，∴，又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．【答案】y1y2＝﹣8，证明见解析．【解答】证明：设l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得y2﹣4my﹣4n＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，∴x1+x2＝4m2+2n，x1x2＝n2．又•＝﹣4，∴x1x2+y1y2＝n2−4n＝−4，解得n＝2，∴y1y2＝﹣8．∴直线l方程为x＝my+2，∴直线l恒过点（2，0）．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．【答案】（1）k1+k2＝4．（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【解答】解：（1）因为x0＝1，所以y0＝﹣1．设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k（x﹣1）﹣1．联立方程组整理得x2﹣kx+k+1＝0，则Δ＝（﹣k）2﹣4（k+1）＝k2﹣4k﹣4＝0．由题可知，k1，k2即方程k2﹣4k﹣4＝0的两根，故k1+k2＝4．（2）因为，所以可设过点M并与C1相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，k1+k2＝4x0，．又，所以．当x0＞0时，，所以，当且仅当时，等号成立．当x0＜0时，，所以，当且仅当时，等号成立．故的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．【答案】（1）x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明过程见详解，定点（，0）．【解答】解：（1）动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2＜|F1F2|，所以动点M的轨迹为双曲线的左支，且2a＝2，c＝，所以可得a＝1，b2＝c2﹣a2＝10﹣1＝9，所以双曲线的方程为：x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明：由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程为：y＝kx+t，设P（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），联立，整理可得：（9﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣9＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，则直线BQ的方程为：y＝（x﹣x2）+y2，因为直线过N（4，0）点，所以0＝（4﹣x2）+y2，整理可得：（x2﹣4）（y2+y1）＝y2（x2﹣x1），即2kx1x2+（t﹣4k）（x1+x2）﹣8t＝0，所以+﹣8t＝0，整理可得：﹣2kt2﹣18k+2kt2﹣8k2t﹣72t+8tk2＝0，即k＝﹣4t，所以直线PB的方程为：y＝﹣4tx+t＝﹣4t（x﹣），可证得：直线PB恒过定点（，0）22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）．（2）存在点．【解答】解：（1）由题意，可得，而，所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，由，故，所以曲线E的方程为．（2）当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为x＝my+1，设定点Q（t，0），联立方程组消x可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得，所以＝（my1+1﹣t）（my2+1﹣t）+y1y2＝＝，要使上式为定值，则，解得，此时，当直线l的斜率为0时，，此时，也符合；所以，存在点，使得为定值．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．【答案】（1）．；（2）|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．【解答】解：（1）由已知可得，结合a2+b2＝c2，解得，故双曲线E的方程；．（2）设直线方程y＝kx+4，M（x1，y1），N（x2，y2），直线DM的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得P（0，1﹣），直线DN的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得Q（0，1﹣），联立，消去y，整理可得（1﹣3k2）x2﹣24kx﹣54＝0，则，可得，|BP|+||BQ|＝4﹣y M+4﹣y N＝6+＝6+3×＝6+3×＝6+3×＝＝＝8﹣，又，∴3k+5∴|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），则，，由＝2，得c＝，解得：c＝2．∴a2＝b2+c2＝6，∴椭圆的方程为，离心率为；（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝k2（）＝．由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即，解得：k＝，符合Δ＞0，∴直线PQ的方程为y＝．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）△CFD'的面积存在最大值，最大值为．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，因为抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），则y2＝16x且c＝4，因为椭圆C2的离心率为e＝，解得a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝9，故椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明：当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，令x＝﹣4，可得y＝﹣4k+b，则点M（﹣4，﹣4k+b），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得ky2﹣16y+16b＝0，则Δ＞0，所以，直线PA的斜率，同理可得直线PB的斜率为，直线PM的斜率为，因为k1+k3＝2k2，所以，即，整理可得，，所以b＝4k或b＝﹣4k，当b＝4k时，y1y2＝64，与A，B在x轴两侧矛盾；当b＝﹣4k时，直线l2的方程为y＝kx﹣4k，即直线l2恒过定点（4，0）；（ii）解：设C（x3，y3），D（x4，y4），D'（x4，﹣y4），设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），代入椭圆C2的方程可得，（9t2+25）y2+72ty﹣81＝0，。
高三文科数学(解析几何)练习.doc
高三文科数学（解析儿何）练习「已知椭圆C ：存$］心〉0）的离心仆孕原点到过点心。
），B （OT ）的直线的距离是琴.（I ）求椭圆C 的方程;（II ）若直线y = b + l 伙工0）交椭圆C 于不同的两点E, F, ME, F 都在以B 为圆心的圆上，求R 的值.解（I ）因为汁孚—22 ,2故所求椭圆C 的方程为二+上=1 ........................................................................ 6分16 4 （II ）由题意y = kx +1,<兀2 2 消去y ,整理得—+—= 1116 4 (1 + 4疋)兀 2+8&_12二0 ......................................................................... 7 分可知△>(). .................................. 8分EF 的中点是M (x w , y M ),所以心 + ky M + 2k = 0.-AL k即——+ -------- +220.1 + 4疋 1 + 4疋又因为kHO,1 逅所•以 k 2=-.^ 以 £=± 8 42 2 2.已知椭圆C ：l + £ = l （d>b>0）的四个顶点恰好是边长为2, —内角为60。
的菱形的四个顶点. dT b （T ）求椭圆C 的方程;所以a = 2h. ................................................................ 2分因为原点到直线AB ab \Ja 2+Z?2 4A /5解得a = 4, b = 2. ................................................................ 5分10分所以恋迸“ ................................................................ 11分.......................................... 13分(II)若直线y = kx 交椭圆C 于人B 两点，且在肓线/：x + y-3 = 0上存在点P,使得\PAB 为等边三角形，求£的 值.•内角为6(y 的菱形的四个顶点,所以a = ^b = l,椭圆C 的方程为—+/ = 1 ........................ 4分(I I)设 A (尢 I J),则 3(-兀］，一 ％ ),当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是V 轴, y 轴与直线/ ：兀+ y - 3 = 0的交点为P(0,3), 又因为\AB\=^,\PO 1=3,所以ZPAO = 6(T,所以MAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y = 0 .................... 6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为V = kxy = kx 3宀33/ + 1设AB 的垂直平分线为y = --x f 它与直线l ：x + y-3 = 0的交点记为P(x 0,j 0) k♦y = -x + 3所以 1 ，解得V y =——JC 则心临分 因为APAB 为等边三角形，所以应有\PO l=V3IA(9l代入得釦治"需，解得® (舍)，7 ................................................................... 13分14分2 2 _____________________________________________________________________________________________________________ _ ______3.已知椭圆C:罕+ £ = l@>b>0)的右焦点F (1,0),长轴的左、右端点分别为人显2，且两・亦=—1. cr b° (I )求椭圆C 的方程;(II )过焦点F 斜率为R 伙H0)的直线Z 交椭圆C 于4, 〃两点，弦AB 的垂总平分线与X 轴相交于点Q.试问椭圆解: ⑴因为椭圆C:= l(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,所以=1 化简得(3P + 1)X 2=3 3k = ----- ° k-\ -3 儿=— 则肿=吋爲 所以C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到 轴的距离；若不存在，请说明理由. 解：(I )依题设£(一。
新高考数学真题全刷——超难1000题09第九章 解析几何
4√百’ ｜DE｜＝2√百’则C的焦点到准线的距离
）.
A· m＞′′且ele2＞1
B·m＞〃且ele2＜1
C.m＜〃且ele2＞1
Dm＜门且ele2＜1
【700】 （2013.全国。8.”汕）
2
2
椭圆◎÷＋背＝l的左、右顶点分别为A｜ ’
A2 ’点P在C上且直线PA2斜率的取值范围
是［—2’—1］’那么直线PAl斜率的取值范围
是（
）.
A［＋,;］
风［;,÷］
瓣§
驴
恐
□屉
片
】
甜
《默龋哥问必答爆’
第9章解析几何143
【675】 （2013.课程标准二. 12。j》”》）
已知点A（—1’0）’B（1’0） ,C（0,1）’直线y＝
α工＋b（α＞0）将△ABC分割为面积相等的两
部分’则b的取值范围为（
）.
A. （0,1）
O（l—罕,＋］
／
徊 ］）
B.
′
— ‖ ］ — 〗 ｛
和圆M相切.
其中真命题的代号是
（写出所有真
命题的代号〉.
【685】 （2006.湖南。 10。””） 若圆工2＋y2 4工—4y—1（）＝0上至少有三个 不同的点到直线／: α工＋6y＝0的距离为2 √】’则直线／的倾斜角的取值范围是（ ）.
A~ ［古.于］ B~ ［备.苦］
C~ ［÷’;］
D［0,昔］
过点A（l1,2）作圆工2＋γ2＋2工—4y
的弦’其中弦长为整数的共有（
）
A. 16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条
164＝0
【702】 （2016。浙江·7.”》》）
专题14解析几何2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
专题4 解析几何一、单选题1．双曲线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A2．直线与圆相交于两点.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当，此时圆心到MN的距离要使得，则要求，故，解得，故选A.3．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于轴的光线从射出，经过抛物线上过的点反射后，再经抛物线上的另一点反射出，则直线的斜率为A．B．C．D．【答案】A【解析】代入解，得.即.由抛物线的光学性质知，直线经过焦点，所以直线的斜率.故选A.4．已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得e，即c a，则b2a，由渐近线方程y＝±x，可得y＝±x．故选：B．5. 若直线平分圆，则实数的值为（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得．本题选择A选项.6．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为点在以线段为直径的圆上，所以，又因为，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，因为，所以，，所以该椭圆的离心率．二、填空题7．已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且，则______．【答案】【解析】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．8．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，设以，为直径的两圆的内公切线的方程为，若，则直线的一般方程为____________．【答案】【解析】由题可得，故直线的方程为，设，．由消去可得，所以，所以，解得（负值舍去），所以直线的斜率为，故直线的方程为，即．9．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为__________．【答案】【解析】根据题意得到当直线和x轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a,高为半通径长此时四边形的面积为：再由离心率为，得到此时方程为：.10. 已知点Q（x 0，1），若上存在点，使得∠OQP＝60°，则的取值范围是________．【答案】【解析】由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OQP＝60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP＝60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP ＝1，＝．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是．故答案为：11．如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则当四边形面积最大时，的值为______．【答案】【解析】连接，设，则，由切线的性质知，所以，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示，此时，，，所以，. 12．抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，交抛物线于两点（在之间），则____．【答案】【解析】由题意可得，因为过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，所以，，所以在直角三角形中，可得，；因此直线的方程为；又直线交直线于点，所以，因此；又联立得，整理得，解得或，因为在之间且，所以，因此，即,又,所以，所以，所以.故答案为三、解答题13. 设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与C 交于两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）的周长等于，所以，从而．因为，所以，即，椭圆的方程为.（2）由（1）得，．设，，依题意，的方程为，将的方程代入并整理，可得，所以，．所以，综上，点在以为直径的圆上.14．已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相切于点（异于原点），与抛物线的准线相交于点，证明：. 【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由题知，设，因为的中点坐标为，所以，解得：，.所以抛物线的方程为：.（2）由，得，设点，则直线的方程为，即为，令，得，所以，，所以，所以.15．已知椭圆:，直线（）与椭圆交于不同的两点、.（1）若，求的值；（2）试求（其中O为坐标原点）的最大值.【答案】（1）；（2）1 .【解析】（1）由消去y并整理得，∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，即，设，则，即，解得.（2）∵又∴∵，∴=，即的最大值为1.（当且仅当时，取得最大值）16．已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．17．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：，，又，联立解得，，.∴椭圆的方程为.（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，，，，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；当时，，则，当斜率不存在时，显然，当时，的中垂线为轴.综上，的取值范围是.18．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为10.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.∵抛物线的准线为，∴，解得，∴抛物线的方程为.（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.设，，由消去得，，∴，.由于抛物线也是函数的图象，且，则：.令，解得，∴，从而.同理可得，，∴. ∵，∴的取值范围为.19.已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点，，设点P的坐标为则，解得（舍去），将点坐标代入抛物线方程式可得，又，联立可解得，所以椭圆的方程为；(2)设与抛物线相切的切点坐标为，则，整理得直线，与椭圆方程联立可得，设，所以，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即，因为所以，最小值为.20．已知椭圆的离心率为，过其左焦点的直线交于两点，且弦的中点为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的另一条弦，且与垂直，求以为顶点的四边形的面积的最大值，并求出此时直线的方程．【答案】（1）；（2）四边形的面积的最大值为，此时直线方程为．【解析】（1）设，由中点坐标公式可得，．将的坐标分别代入的方程中得，．两式相减，化简得．又四点共线，所以，所以，即．又，即由，解得，所以，，故椭圆的方程为．（2）由（1）知，则，所以直线的方程为，由消去整理得，解得或，可得，所以．又因为，则，设直线方程为，由消去整理得．因为直线与椭圆交于两点，所以，解得．设，则，．将的坐标分别代入中，对应的分别为，由弦与弦相交可得，满足．由弦长公式得，所以四边形的面积（当且仅当时取等号）．所以四边形的面积的最大值为，此时直线方程为．。
新课标高考试题分类汇编文科数学8选填题第8章 解析几何
2 63 第八章 解析几何▲ T1-2007 年 (7) 已 知 抛 物 线y 2 = 2 px ( p > 0) 的 焦 点 为 F , 点P 1 (x 1，y 1 )，P 2 (x 2，y 2 )，P 3 (x 3，y 3 ) 在抛物线上,且2x 2 = x 1 + x 3 ,则有( )Ａ. FP + FP = FPＢ. FP 2 + FP 2 = FP 21 2 3 1 23Ｃ. 2 FP = FP + FP Ｄ. FP 2= FP ⋅ FP213213▲T2-2007 年(13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为 .x 2 - y 2 =▲T3-2008 年(2)双曲线10 21的焦距为( )A. 3B. 4 2C. 3 3D. 4 3 ▲T4-2008 年(10)点 P (x , y ) 在直线 4x + 3y = 0 上,且满足 -14 ≤ x - y ≤ 7 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A. [0,5]B.[0,10]C.[5,10]D.[5,15]x 2 ▲T5-2008 年(15)过椭圆 y 2+ = 1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A , B 两 5 4点, O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 . ▲T6-2009 年(5)已知圆C : (x +1)2 + ( y -1)2=1,圆C 与圆C 关于直线 x - y -1 = 0 对称,1则圆C 2 的方程为( ) A. (x + 2)2+ ( y - 2)2=1 C. (x + 2)2+ ( y + 2)2=121B. (x - 2)2 + ( y + 2)2=1D. (x - 2)2+ ( y - 2)2=1▲T7-2009 年(14)已知抛物线C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y = x 与抛物线C 交于 A , B 两点,若 P (2, 2) 为 AB 的中点,则抛物线C 的方程为 . ▲T8-2010 年(5)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2) ,则它的离心率为( )A. B. 6 5 C.D.22▲ T9-2010 年 (13) 圆 心 在 原 点 且 与 直 线 .x + y - 2 = 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 x 2 ▲T10-2011 年(4)椭圆 y 2+ = 1的离心率为( )1 1 A. B.3 216 8 C. D. 3 2 ▲T11-2011 年(9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直. l 与C 交于 A , B 两点, | AB |= 12 , P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48x 2 y 2▲ T12-2012 年(4) 设 F 1、F 2 是椭圆 E : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, P 为直线x = 3a 上一点, △F PF 是底角为30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )2 2 11 2 A.B.233 4C.D.455222 3 5302 2 0▲T13-2012 年(10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2= 16x 的准 线交于 A , B 两点, | AB |= 4 ,则C 的实轴长为( ) A. B. 2x 2 y 2 C.4 D.8▲T14-2013 年 I(4)已知双曲线C : a 2 方程为( )- = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为b 2 ,则C 的渐近线2A. y = ± 1 x4B. y = ± 1x3C. y = ± 1 x2D. y = ± x▲T15-2013 年 I(8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2= 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若| PF |= 4 ,则 ∆POF 的面积为( )A.2B. 2x 2 y 2C. 2D.4▲T16-2013 年II(5)设椭圆C : + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2, P 是C 上的点, PF ⊥ F F , ∠PF F = 30,则C 的离心率为( )21 21 21A.B.631C.D.2 3▲T17-2013 年 II(10)设抛物线C : y 2= 4x 的焦点为 F ,直线l 过 F 且与C 交于 A , B 两点. 若| AF |= 3 | BF | ,则l 的方程为( )A. y = x -1或 y = -x + 1B. y = (x -1) 或 y = - 3 (x -1) 3C. y = 3(x -1) 或 y = - 3(x -1)x 2 y 2D. y = 2(x -1) 或 y = - 22(x -1) 2▲T18-2014 年 I(4)已知双曲线 a 2 - = 1(a > 0) 的离心率为2,则 a = ( ) 3A.2B. 2C.D.12▲T19-2014 年 I(10)已知抛物线C : y 2= x 的焦点为 F , A (x , y ) 是C 上一点, | AF |= 5 x ,则 x 0 = ( )0 04 0 A.1 B.2 C.4D.8▲T20-2014 年 II(10)设 F 为抛物线C : y 2= 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点,则| AB |= ( )A.B.6C.12D. 7 3▲ T21-2014 年 II(12) 设 点 M (x 0 ,1) , 若 在 圆 O : x 2+ y 2= 1 上 存 在 点 N , 使 得∠OMN = 45 ,则 x 的取值范围是( ) 1 1 A.[-1,1] B.[- , ] 2 2C.[- 2, 2]D.[-, ]2 21▲ T22-2015 年 I(5) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 离心率为 , E 的右焦点与抛物线2C : y 2 = 8x 的焦点重合, A , B 是C 的准线与 E 的两个交点,则| AB |=( )3 25 2333 3 6 32 5 23 A.3 B.6 C.9D.122y 2 ▲ T23-2015 年 I(16) 已知 F 是双曲线 C : x -= 1 的右焦点, P 是 C 的左支上一8点, A (0, 6 6) .当△APF 周长最小时,该三角形的面积为.▲T24-2015 年 II(7)已知三点 A (1, 0), B (0, 3), C (2, 3) ,则 ∆ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) 5 A.B.334 C.D.33▲T25-2015 年 II(15)已知双曲线过点(4, 3 ),且渐近线方程为 y = ± 1 x ,则该双曲线的标 准方程为 .▲T26-2016 年 I(5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴 1长的 ,则该椭圆的离心率为( ) 41 12 3A.B.C.D.3234▲T27-2016 年 I(15)设直线 y = x + 2a 与圆 C : x 2 + y 2- 2ay - 2 = 0 相交于 A , B 两点,若 | AB |= 2 ,则圆C 的面积为.▲ T28-2016 年 II(5) 设 F 为抛物线 C : y 2= 4x 的焦点, 曲线 y = k(k > 0) 与 C 交于点xP , PF ⊥ x 轴,则 k =( ) 1 3A.B.1C.22D.2▲T29-2016 年 II(6)圆 x 2+ y 2- 2x - 8y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y -1 = 0 的距离为 1, 则 a =( )A. - 3B. -C. 4D.2x 2 y 2▲ T30-2016 年 III(12) 已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C : a 2 + = 1(a > b > 0) 的左焦b 2点, A , B 分别为C 的左,右顶点. P 为 C 上一点,且 PF ⊥ x 轴.过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) 1 1 2 3A.B.C. D.323 4▲ T31-2016 年 III(15) 已知直线 l : x - 3y + 6 = 0 与圆 x 2 + y 2= 12 交于 A , B 两点, 过 A , B 分别作l 的垂线与 x 轴交于C , D 两点,则| CD |= .2y 2 ▲T32-2017 年 I(5)已知 F 是双曲线C : x - = 1 的右焦点, P 是C 上一点,且 PF 与 x 轴3垂直,点 A 的坐标是(1, 3) ,则△APF 的面积为( ) 1 1 2 A.B.C.3233D.2x 2 y 2▲T33-2017 年 I(12)设 A , B 是椭圆C : 3 ∠AMB = 120 ,则m 的取值范围是( )+ = 1 长轴的两个端点,若C 上存在点 M 满足m21 3 3 456 233 2 A. (0,1] [9, +∞)B. (0, 3] [9, +∞)x 2 -C. (0,1] [4, +∞)D. (0, 3] [4, +∞)2▲T34-2017 年 II(5)若 a > 1,则双曲线 a 2y = 1的离心率的取值范围是( )A.（ 2，+∞） C.（1，2） D.（1，2）▲ T35-2017 年 II(12) 过抛物线 C : y 2= 4x 的焦点 F , 且斜率为 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. B. 2 C. 2 D. 3 x 2 y 2 ▲T36-2017 年 III(11)已知椭圆C : + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 , A 2,且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切,则C 的离心率为( )1 A.B.33C.D.33x 2 y 2 3▲ T37-2017 年 III(14) 双 曲 线 a = .- = 1(a > 0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 a 2 9 y = x , 则5▲T38-2018 年 I(4)已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1的一个焦点为 4(2, 0) ，则C 的离心率为（ ）1 1 A. B. 3 2C. 2 2D. 2 2 3 ▲ T39-2018 年 I(15) 直 线 | AB |= ．y = x + 1 与 圆 x 2 + y 2+ 2y - 3 = 0 交 于 A , B 两 点 ， 则 x 2 y 2 ▲T40-2018 年 II(6)双曲线 - a 2 b 2（ ）= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. y = ± 2x B. y = ± 3xC. y = ±2x 2 D. y = ±3x2▲T41-2018 年 II(11)已知 F 1 , F 2 是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 PF 1 ⊥ PF 2 ，且∠PF 2 F 1 = 60，则C 的离心率为（ ）A.1- 3 2B. 2 -C. 3 -1 2D. -1 ▲ T42-2018 年 III(8) 直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A , B 两点， 点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A.[2, 6] B.[4,8] C.[ 2, 3 2] D. [2 2, 3 2]x 2 y 2(4, 0) ▲T43-2018 年 III(10)已知双曲线C : - a 2 b 2到C 的渐近线的距离为（ ） = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，则点A. B.2 C. D. 2 B.（ 2，2） 3 2333 3 2 3 2222。
高三高考文科数学专项训练汇编之解析几何
解析几何)(A．)(B)(C ． )(D ． 17．)(B ；（普陀区2013届高三一模 文科）16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（ ） （A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.（黄浦区2013届高三一模 文科）5．若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________． 5．4（静安区2013届高三一模 文科）7．（文）设圆过双曲线116922=-y x 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 7．（文）316（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±=（黄浦区2013届高三一模 文科）13．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ．13．6448(,)2525； （闵行区2013届高三一模 文科）4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 . 4．2-；（静安区2013届高三一模 文科）4．（文）设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 4．（文）3（闸北区2013届高三一模 文科）7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．7．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 文科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．7． 24y x =（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（闸北区2013届高三一模 文科）4．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AF B ∆的面积为 ．4．310； （青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a a y a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（普陀区2013届高三一模 文科）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 . 12.1 （金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x （杨浦区2013届高三一模 文科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分（2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+， 516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y k AB ……………………………………………7分d =， ……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=． (16)分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。
北海市重点中学2025届高考语文必刷试卷含解析
北海市重点中学2025届高考语文必刷试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、对下图漫画寓意的理解，最贴切的一项是A．人与人之间有了距离才能产生美感。
B．人们总是羡慕别人的环境优于自己。
C．我们现实中面对面却不知相距多远。
D．有对比才有差别，有比较才能鉴别2、下列词语中，没有错误的一项( )A．裨益部署万户侯为山九仞，功亏一篑B．脉搏扫瞄舶来品捡了芝麻，丢了西瓜C．遨翔蕴藉钓鱼竿筚路蓝缕，以启山林D．神采亲睐订书机一叶障目，不见泰山3、下面是高三（1）班新年联欢晚会的一段开场白，请根据要求作答。
甲：尊敬的老师们，感谢各位莅临寒舍，参加元旦联欢会！乙：作为老师们的高足，我们济济一堂，享受这美好时光！甲：_______________________！乙：来吧，怀揣内心涌动的春意，让我们跳起青春靓丽的舞蹈！（1）文段中有三个不得体的词语，请找出来并修改。
（2）请仿照画横线的句子的形式，在横线处补写一句话。
要求符合语境，句式相同。
4、阅读下面的文字，完成下面小题。
纪实摄影的本质是以真代美为特点，它的魅力和立足点，向人们提供一种确凿无疑的图像证言，在于真实呈现事物的本来形态。
与纯美的风景摄影所不同的是，纪实摄影崇尚，追求朴实无华的风格，且具有一定指向性，需要摄影师本着对人类生存及命运的体恤、关切和 ,以人道主义精神和认真负责的态度去如实记录，在表明立场的同时揭示拍摄事物的内在价值和时代意义，因此不宜对客观事物进行夸大、粉饰和虚构，也切勿形式大于内容。
高考数学(全国用,文科)一轮专题练习：专题9 平面解析几何 第65练
1．在直角坐标系xOy 中，点P (2,1)为抛物线C ：y ＝x 24上的定点，A ，B 为抛物线C 上的两个动点．(1)若直线P A 与PB 的倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值；(2)若P A ⊥PB ，直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.3.(2016·四川)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|P A|·|PB|，并求λ的值．4.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．答案精析1．(1)证明 设点A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)， 若直线P A 与PB 的倾斜角互补，则k P A ＝－k PB ，又k P A ＝x 214－1x 1－2＝x 1＋24，k PB ＝x 224－1x 2－2＝x 2＋24， 所以x 1＋24＋x 2＋24＝0， 整理得x 1＋x 2＋4＝0，所以k AB ＝x 214－x 224x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－1. (2)解 因为P A ⊥PB ，所以k P A ·k PB ＝x 1＋24·x 2＋24＝－1， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋20＝0，①直线AB 的方程为y －x 214x 224－x 214＝x －x 1x 2－x 1， 整理得4y －x 21＝(x 1＋x 2)(x －x 1)，即x 1x 2－x (x 1＋x 2)＋4y ＝0，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝2，4y ＝20，解得x ＝－2，y ＝5，即直线AB 经过定点(－2,5)．2．(1)解 由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2.由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2， 直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2 ＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)． 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.3．(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1， 点T 的坐标为(2,1)．(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3， 可得⎩⎨⎧ x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧ x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋4m 2－12＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322. 由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123. 所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1， 同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪ ⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3(x 1＋x 2) |＋x 1x 2＝54⎪⎪ ⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋⎪⎪⎪4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |. 4．(1)解∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)，即抛物线的焦点为(2,0)，∴p 2＝2，p ＝4. ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎨⎧ x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2p y 1＋y 2， 又∵P ，Q 关于l 对称，∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ，∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上，∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p . ∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )．②解∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，∴⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0有两个不等实根． ∴Δ>0，即(2p )2－4(4p 2－4p )>0，解得0<p <43， 故所求p 的范围为⎝⎛⎭⎫0，43.。
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海壁：全国高考解析几何选择填空题-文科
【2018全国1卷4】已知椭圆C ：22214
x y a +=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（）
A．1
3B．1
2C．2D．3
【2018全国2卷6】双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>）
A．y =B．y =C．22y x =±D．32
y x =±【2018上海13】设P 是椭圆22
153
x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）．
A. B. C. D.【2018浙江12】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（）
B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−)D．(0，−2)，(0，2)【2017全国1卷5】已知F 是双曲线C：x 2-23
y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（）A．1
3B．1 2C．2
3D．3
2
【2017天津5】已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（
）
A．B．C．D．
【2017全国3卷14】双曲线22
21(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35
y x =，则a =_______.【2016天津文科】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（）A．1422
=-y x B．1422=-y x C．1532032
2=-y x D．120
35322=-y x 【2015浙江文科】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
173
x y -=的焦距是_______.【2018北京12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52
，则a=_______.
【2018全国3卷8】直线x+y+2=0分别与x 轴，y 交于A，B 两点，点P 在圆（x-2）²+y²=2上，则∆ABP 面积的取值范围是（
）
A.[2，6]
B.[4，8]
C.
D.
【2018全国3卷10】双曲线C：2222x y a b
-=1（a>0，b>0）离心率为，点（4，0）到C 的渐近线距离为（）
A. B.2 C.32
2 D.【2018天津7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（）A.22139x y -= B.22193x y -= C.221412x y -= D.221124
x y -=【2018江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32
c ，则其离心率的值是_______.【2018江苏12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆
C 与直线l 交于另一点D．若
0AB CD ⋅= ，则点A 的横坐标为_______.【2018北京10】直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线C:2
4y ax =截得的线段长为4，则C 的焦点为______.【2017江苏8】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213
x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形Q PF F 21的面积是________.
【2017江苏13】在平面直角坐标系xOy 中，)0,12(-A ，)6,0(B ，点P 在圆50:22=+y x O 上，若20≤⋅，则点P 的横坐标的取值范围是_________.
【2016全国Ⅰ文科】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
41，则该椭圆离心率为()A．31
B．21C．32
D．4
3
【2016全国Ⅰ文科】直线y=x+2a 与圆C：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A，B 两点，若|AB|=2
，则圆C 的面积为_____．
【2016山东文科】已知圆M：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是
M 与圆N：
22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是()
A．内切B．相交C．外切
D．相离【2016山东文科】已知双曲线E：22x a –22y b
=1（a>0，b>0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______．
【2018全国2卷11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）
A．3
12-B．2-C．
312-1
【2018浙江17】已知点P(0，1)，椭圆24x +y 2=m(m>1)上两点A，B 满足AP =2PB ，则当m=_____时，点B 横坐标的绝对值最大．
【2017全国1卷12】设A、B 是椭圆C：2213x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（
）
A．(0,1][9,)+∞ B．[9,)
+∞ C．(0,1][4,)+∞ D．[4,)+∞
【2017全国2卷12】过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为
C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（）
A. B. C. D.【2017全国3卷11】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）
A．3B．3C．3D．1
3
【2017山东15】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．
【2017天津12】设抛物线y 2=4x 的焦点为F，准线为l．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．。