七年级数学综合与实践：探寻神奇的幻方教案

综合与实践：探寻神奇的幻方教学目标1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。

2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。

3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。

教学重点探索三阶幻方的本质特征教学难点构造符合要求的三阶幻方教法与学法指导:教法：情景体验法、引导发现法。

具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。

学法：小组讨论、自主探究、合作交流．教具准备：投影片教学过程：一、巧设情景，引入新课［师］语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？［生］能。

背诵一首古诗。

［师］其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示投影片）四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

学生先默读这首诗，再齐声读这首诗。

［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。

（引入神话传说） 相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。

龟背上刻有神奇的图案。

（出示投影片：龟背图）975432这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这9个数。

你能说出它们分别代表哪些数吗？学生回答。

白色是单数，黑色是双数。

［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图2（出示投影片2）。

学生认识图2。

［师］由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。

我国的少数民族如：藏族和纳西族都曾有“九宫图”。

这首诗就是当时赞美九宫图的。

九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。

幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。

但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。

今天我们就来探寻神奇的幻方。

教师板书课题。

【设计意图：用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。

】二、明确任务小组探究［师］同学们仔细观察图2的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题，10分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！教师出示学习任务。

(投影片出示课本“议一议”)在如图的三阶幻方中：（1）每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？（3）你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？（5） 你还有什么新的发现？学生对于1、2两个问题可以独立思考得到答案，问题3对于一般的学生只能得到1～2种答案，所以要发挥小组集体的力量来获取更多的答案，为发现第4题的规律做准备。

第5题也要求小组讨论发现新规律。

【设计意图：学生根据教师布置的学习任务，通过独立思考、小组讨论、合作探究等形式，基本能掌握三阶幻方的特点和构造三阶幻方的方法，为下一步探究埋下伏笔。

】三、展示交流 适时点拨［师］同学们讨论时间到了，你们完成任务了吗？学生自信地齐声回答：完成了。

［师］好，我们找小组的同学到黑板展示第1题，哪一个小组愿意带头？学生纷纷举手，跃跃欲试。

教师找一名学生展示答案。

［生1］我们小组发现每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于15，所以它们都相等。

［师］哪组同学到黑板连线一下，展示第2题。

［生2］（画图如下）特点：“5”在中间，四个角上的数是偶数，其他位置的数是奇数。

987654321［师］你们小组画出几个符合条件的幻方？第x 组同学展示你们的成果。

生3到黑板画幻方。

其他小组同学观察、思考、计算幻方是否符合条件。

画错的其他同学订正。

他没有想到的其他同学补充。

［师］谈谈你是怎样构造幻方的？［生4］我是把4和6会换，9和1互换，2和8互换，3和7互换构造的。

［师］同学仔细看答案，你发现了什么现象？学生讨论后回答。

［生5］相当于外边的数绕“5”转圈圈。

［师］很好，哪个小组的同学说一说第4题的答案呀？［生6］最核心位置的是正中间的那一个，有四对成对的数出现：4和6、3和7、2和8、1和9。

［师］为什么“5”在正中间的位置呢？（估计大部分学生没有认真思考这个问题，教师要引导学生从两个方面思考）三个数的和等于15 的算式有哪些？［生］ 15852=++ 15753=++ 15654=++ 15951=++15861=++ 15762=++ 15942=++ 15843=++这8个算式中“5”在四个算式中出现，它出现的次数最多，而中间位置的数字与4条线段关联，因此最中间的数字必定是“5”。

［师］我们能不能用字母表示数来解决这个问题呢/？我们不妨设这9个位置的数分别是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i （如图3），因为每行、每列、每条对角线三个数的和都等于15，你能写出它们满足的算式吗？h ig f e dc b a［生］写出算式：15=++c b a 15=++i h g15=++g d a 15=++h e b 15=++i f c15=++i e a 15=++g e c［师］我们最关心的数是中间位置的“e ”，把含有“e ”的算式找出来，然后相加。

［生］15=++f e d ，15=++h e b ，15=++i e a ，15=++g e c四式相加得：15151515+++=+++++++++++g e c i e a h e b f e d即：603)(=++++++++++e i h g f e e d c b a45603-=e5=e因此最中间位置的数是5教师根据学生情况可以适当的点拨和讲解。

［师］最中间的位置很重要，所以诗中称之为王子位。

你能解释开头那首诗的意思了吧？ 学生解释古诗的意思，特别是最后一句。

［师］你还有什么新发现？让学生大胆发言，教师要根据教学情况加以引导。

【设计意图：通过学生的展示交流，让学生体验综合利用数学知识（有理数的运算和字母表示数）分析、抽象出幻方的特征，感受数学知识的内在联系，加深了学生对三阶幻方本质特征的了解和掌握，同时也有利于教师了解学情，进行二次备课，有的放矢，适时引导学生探究三阶幻方本质特征。

】四、构造幻方 方法共享活动一:三阶幻方的构造［师］试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。

学生根据刚才三阶幻方的特点，实践去构造满足条件的幻方。

［师］试将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。

【设计意图：让学生构造三阶幻方是让学生通过实践来逐步显现规律，教学中一定要留给学生充足的时间来操作、尝试。

】活动二：交流构造幻方的方法教师投影学生完成的作业，出示投影“想一想”，然后让学生交流构造幻方的方法。

［师］想一想：（1）你是怎样解决上述问题的？（2）你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方？应怎样把九个数填入幻方？结合你填好的幻方说说你的理由。

（3）你还有什么新的猜想？［生1］回答（1）最中间的位置填入2，因为2在这9个数的中间，其余的8个数分成4组，-2和6、-1和5、0和4、1和3，第1组和第3组应该填在中间，其余两组填在四个对角。

［生2］回答（2）连线的九个数可以满足三阶幻方。

等差数列的九个数可以满足三阶幻方。

对于这两个问题，教师要鼓励学生大胆发言，让更多的学生参与讨论和交流，以便方法共享，经验得到推广。

问题2的答案可能学生倾向于与原来的幻方对比是减去3、乘以2，这种类比、归纳、猜想的数学思想方法在教学中要注意渗透。

【设计意图：让学生谈谈自己构造幻方的方法和道理，培养学生分享成功的经验的良好学习习惯，在教学中要注意数学思想方法的渗透。

】活动三、构造幻方方法介绍［师］同学们，我国宋代数学家杨辉是世界上第一个对幻方详细研究的学者，并取得了丰硕成果，他总结出了“洛书”幻方的构造方法。

（出示投影片）学生自学方法，教师简单作解释。

［师］法国数学家梅齐利亚克创造了一种构造奇数幻方的方法-----阶梯法。

口诀为“画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助”（出示投影）658794231【设计意图：通过这两种方法的介绍，不是增加学生的负担，相反是为了提高学生课余时间研究幻方的兴趣，加深学生对构造幻方方法的深层探究，教师不可用时过多，只供学有能力的学生了解即可。

】 五、总结概括，整理知识1.本节课主要学习了什么知识？你有哪些收获？学生回顾两个目标：（1）幻方的特点：（2）构造幻方的方法2.这节课你的表现如何？今后还应怎样努力？学生谈谈本节课学会哪些方面，还有哪些不足之处，结合解题过程出现的问题，今后如何改正这些错误。

【设计意图：让学生梳理所学知识点，培养归纳概括能力和语言表达能力。

评价自己的学习表现，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养。

】六、布置作业1、（必做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60.2、（选做题）用1～25这25个数构造一个五阶幻方。

【设计意图：分层次作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。

】教学反思：本课是初中阶段数学学学习中“综合与探究”第一课，教学中首先以探寻三阶幻方的本质特征为中心，帮助学生感受数学之美，引导学生体验综合运用数学知识解决问题的过程，培养学生运用数学解决问题的能力。

教学中要给学生提供充足的探究时间，建议课前学生安排学生通过各种途径自学幻方，教学中鼓励学生从多个角度进行尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考和讨论交流。

对于补充两个构造幻方的方法，有条件的话教师介绍为学生，但不要过多讲解，主要目的是吸引学生的学习热情，让课外时间学生去探究幻方的构造。