七年级数学综合与实践：探寻神奇的幻方教案

综合与实践：探寻神奇的幻方

教学目标

1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。

2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。

3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。

教学重点

探索三阶幻方的本质特征

教学难点

构造符合要求的三阶幻方

教法与学法指导:

教法：情景体验法、引导发现法。具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。

学法：小组讨论、自主探究、合作交流．

教具准备：投影片

教学过程：

一、巧设情景，引入新课

［师］语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？

［生］能。背诵一首古诗。

［师］其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示投影片）

四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

学生先默读这首诗，再齐声读这首诗。

［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。（引入神话传说） 相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。龟背上刻有神奇的图案。 （出示投影片：龟背图）

97

54

32

这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这9个数。你能说出它们分别代表哪些数吗？

学生回答。白色是单数，黑色是双数。

［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图2（出示投影片2）。学生认识图2。

［师］由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。我国的少数民族如：藏族和纳西族都曾有“九宫图”。这首诗就是当时赞美九宫图的。九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。今天我们就来探寻神奇的幻方。教师板书课题。

【设计意图：用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。】

二、明确任务小组探究

［师］同学们仔细观察图2的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题，10分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！

教师出示学习任务。(投影片出示课本“议一议”)

在如图的三阶幻方中：

（1）每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？

（3）你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？

（5） 你还有什么新的发现？

学生对于1、2两个问题可以独立思考得到答案，问题3对于一般的学生只能得到1～2种答案，所以要发挥小组集体的力量来获取更多的答案，为发现第4题的规律做准备。第5题也要求小组讨论发现新规律。

【设计意图：学生根据教师布置的学习任务，通过独立思考、小组讨论、合作探究等形式，基本能掌握三阶幻方的特点和构造三阶幻方的方法，为下一步探究埋下伏笔。】

三、展示交流 适时点拨

［师］同学们讨论时间到了，你们完成任务了吗？

学生自信地齐声回答：完成了。

［师］好，我们找小组的同学到黑板展示第1题，哪一个小组愿意带头？

学生纷纷举手，跃跃欲试。教师找一名学生展示答案。

［生1］我们小组发现每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于15，所以它们都相等。［师］哪组同学到黑板连线一下，展示第2题。

［生2］（画图如下）特点：“5”在中间，四个角上的数是偶数，其他位置的数是奇数。

9876

54

3

21

［师］你们小组画出几个符合条件的幻方？第x 组同学展示你们的成果。

生3到黑板画幻方。其他小组同学观察、思考、计算幻方是否符合条件。画错的其他同学订正。他没有想到的其他同学补充。

［师］谈谈你是怎样构造幻方的？

［生4］我是把4和6会换，9和1互换，2和8互换，3和7互换构造的。

［师］同学仔细看答案，你发现了什么现象？

学生讨论后回答。

［生5］相当于外边的数绕“5”转圈圈。

［师］很好，哪个小组的同学说一说第4题的答案呀？

［生6］最核心位置的是正中间的那一个，有四对成对的数出现：4和6、3和7、2和8、1和9。

［师］为什么“5”在正中间的位置呢？（估计大部分学生没有认真思考这个问题，教师要引导学生从两个方面思考）三个数的和等于15 的算式有哪些？

［生］ 15852=++ 15753=++ 15654=++ 15951=++

15861=++ 15762=++ 15942=++ 15843=++

这8个算式中“5”在四个算式中出现，它出现的次数最多，而中间位置的数字与4条线段

关联，因此最中间的数字必定是“5”。

［师］我们能不能用字母表示数来解决这个问题呢/？我们不妨设这9个位置的数分别是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i （如图3），因为每行、每列、每条对角线三个数的和都等于15，你能写出它们满足的算式吗？

h i

g f e d

c b a

［生］写出算式：15=++c b a 15=++i h g

15=++g d a 15=++h e b 15=++i f c

15=++i e a 15=++g e c

［师］我们最关心的数是中间位置的“e ”，把含有“e ”的算式找出来，然后相加。 ［生］15=++f e d ，15=++h e b ，15=++i e a ，15=++g e c

四式相加得：15151515+++=+++++++++++g e c i e a h e b f e d

即：603)(=++++++++++e i h g f e e d c b a

45603-=e

5=e

因此最中间位置的数是5

教师根据学生情况可以适当的点拨和讲解。

［师］最中间的位置很重要，所以诗中称之为王子位。你能解释开头那首诗的意思了吧？ 学生解释古诗的意思，特别是最后一句。

［师］你还有什么新发现？

让学生大胆发言，教师要根据教学情况加以引导。

【设计意图：通过学生的展示交流，让学生体验综合利用数学知识（有理数的运算和字母表示数）分析、抽象出幻方的特征，感受数学知识的内在联系，加深了学生对三阶幻方本质特征的了解和掌握，同时也有利于教师了解学情，进行二次备课，有的放矢，适时引导学生探究三阶幻方本质特征。】

四、构造幻方 方法共享

活动一:三阶幻方的构造