江苏专用高考数学二轮复习填空题满分练4理8含答案

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(江苏专用)2021高考数学二轮复习填空题训练综合仿真练(四)

综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________．解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：52．复数z ＝21－i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i ＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．解析：从2个红球和2个白球中随机摸出2个球，共有6种结果，其中摸出的2个球中没有红球的结果有1种，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝143.答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．(2021·高邮中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019＝________.解析：由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019，所以2S ＝4 037×(－4)＝－16 148，S ＝－8 074.答案：－8 0748．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43. 答案：439．若直线l 1：2x －y ＋4＝0，直线l 2：2x －y －6＝0都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则⊙M 的标准方程为________________________．解析：根据题意，l 1∥l 2，且l 1，l 2都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则直线l 1与直线l 2之间的距离就是⊙M 的直径，即d ＝2r ，而d ＝|4－－6|22＋12＝25，则r ＝5，且圆心(a,1)在直线2x －y ＋4＋－62＝0，即2x －y －1＝0上，则有2a －1－1＝0，解得a ＝1，即圆心的坐标为(1,1)，则⊙M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．解析：由已知等式得2a ＋2b ＋1＝2ab ＋2a ＋b 2＋b ，从而a ＝b －b 2＋12b，所以a ＋2b ＝b －b 2＋12b ＋2b ＝12＋32b ＋12b ≥12＋234＝23＋12，当且仅当b ＝33时等号成立，故a ＋2b 的最小值为23＋12.答案：23＋1211．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2θ－π4＝________.解析：由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2知θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. 又cos θ＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝－45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210. 答案：21012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞) 13.(2021·如东模拟)如图，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C )，且BM ⊥BN ，则AM ―→·CN ―→的最大值为________．解析：法一：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1.因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，若设∠MAB ＝θ，则∠NBC ＝θ.如图，建立平面直角坐标系xBy ，则点A (－1,0)，M (－sin 2θ，sin θcosθ)，C (1,0)，N (cos θ，sin θ)，所以AM ―→＝(－sin 2 θ＋1，sin θcos θ)＝(cos 2θ，sin θcos θ)，CN ―→＝(cos θ－1，sin θ)．于是，AM ―→·CN ―→＝cos 2θ·(co s θ－1)＋sin 2θcos θ＝cos 3θ－cos 2θ＋(1－cos 2θ)cos θ＝－cos 2θ＋cos θ＝14－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－122.又易知0<θ<π2，所以，当θ＝π3时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法二：如图，建立平面直角坐标系xBy ，设直线BN 的方程为y ＝kx (k >0)，则因为BM ⊥BN ，所以直线BM 的方程为y ＝－1kx .点N 是直线BN 与以AC 为直径的半圆的交点，所以将y＝kx 与x 2＋y 2＝1联立，可求得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫11＋k2，k 1＋k 2.点M 是直线BM 与以AB 为直径的半圆的交点，所以将y ＝－1k x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14联立，可求得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2k 2＋1，k k 2＋1.又点A (－1，0)，C (1,0)，所以向量AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，k k 2＋1，CN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1，k 1＋k 2，所以AM ―→·CN ―→＝1k 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1＋k k 2＋1·k 1＋k 2＝1k 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋11＋k 2－1＝11＋k 2－1k 2＋1＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－122，故当11＋k 2＝12，即k ＝3时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法三：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1，因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，所以AM ―→·BN ―→＝|AM ―→|×1×cos 0°＝|AM ―→|.因为AM ⊥BM ，AB ＝1，所以|AM ―→|＝1×cos∠MAB ＝cos ∠MAB ，所以AM ―→·BC ―→＝AM ―→·AB ―→＝|AM ―→|×1×cos∠MAB ＝|AM ―→|2.于是，AM ―→·CN ―→＝AM ―→·(BN ―→－BC ―→)＝AM ―→·BN ―→－AM ―→·BC ―→ ＝|AM ―→|－|AM ―→|2＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AM ―→|－122.又0<|AM ―→|<1，所以，当|AM ―→|＝12时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法四：如图，分别延长AM ，CN ，设其交点为E ，并设ME 与大半圆的交点为D ，连接CD ，则易知AM ⊥MB ，AD ⊥DC ，所以BM ∥CD ，又B 为AC 的中点，所以M 为AD 的中点，所以AM ―→＝12AD ―→.又易知AE ―→∥BN ―→，且B 为AC 的中点，所以N为CE 的中点，所以CN ―→＝12CE ―→.于是，AM ―→·CN ―→＝14AD ―→·CE ―→＝14AD ―→·(CD ―→＋DE ―→)＝14AD ―→·CD ―→＋14AD ―→·DE ―→＝0＋14|AD ―→|·|DE ―→|cos 0°＝14|AD ―→|·|DE ―→|.因为BN 为△ACE的中位线，所以|AD ―→|＋|DE ―→|＝|AE ―→|＝2|BN ―→|＝2.从而，AM ―→·CN ―→＝14|AD ―→|·|DE ―→|≤14⎝⎛⎭⎪⎫|AD ―→|＋|DE ―→|22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14，当且仅当|AD ―→|＝|DE ―→|，即D 为AE 的中点时不等式取等号．故所求AM ―→·CN ―→的最大值为14.法五：如图，以BC 为直径画半圆，交BN 于点D ，连接CD ，则BD ⊥CD .又易知AM ∥BD ，且AM ＝BD ，所以AM ―→·CN ―→＝BD ―→·(CD ―→＋DN ―→)＝BD ―→·CD ―→＋BD ―→·DN ―→＝0＋|BD ―→|·|DN ―→|cos 0°＝|BD ―→|·|DN ―→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|BD ―→|＋|DN ―→|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当|BD ―→|＝|DN ―→|，即D 为BN 中点时不等式取等号．故所求AM ―→·CN ―→的最大值为14.答案：1414．(2021·靖江中学模拟)若关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：法一：由题意知，当k ＝0时，原方程仅有一个解，不符合题意，∴k ≠0.k |x ＋1|x －2＝x 可化为k |x ＋1|＝x (x －2)(x ≠2)，令y 1＝k |x ＋1|(x ≠2)，y 2＝x (x －2)(x ≠2)，分k >0，k <0两种情况，分别在平面直角坐标系内作出两个函数的大致图象，如图所示．①k >0时，易知当x ≥－1时，函数y 1＝k |x ＋1|的图象与y 2＝x (x －2)的图象有两个不同的交点．当x <－1时，设y 1＝－k (x ＋1)的图象与y 2＝x (x －2)的图象相切，令－k (x ＋1)＝x (x －2)，即x 2＋(k －2)x ＋k ＝0，由Δ＝(k －2)2－4k ＝0，得k ＝4±23(在图2中作出k ＝4＋23时，y 1＝k |x ＋1|的大致图象)，由图2可知，k ＝4＋23，且当k >4＋23时，在x ∈(－∞，－1)上，两个函数的图象又有两个不同的交点，故两个函数的图象共有四个不同的交点，与方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根矛盾，不符合题意，故仅当0<k <4＋23时符合题意．②当k <0时，设y 1＝k (x ＋1)(x ≥－1时)的图象与y 2＝x (x －2)的图象相切，令k (x ＋1)＝x (x －2)，即x 2－(k ＋2)x －k ＝0，由Δ＝(k ＋2)2＋4k ＝0，得k ＝－4±2 3. 由图2可知，k ＝－4＋23，且当－4＋23<k <0时，两个函数的图象有两个不同的交点，关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根．综上所述，k 的取值范围是(－4＋23，0)∪(0,4＋23)．法二：∵关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根，∴k ≠0，又x ≠2，且易知x ＝－1不是原方程的根， ∴当x ≠－1且x ≠2时，k ＝x x －2|x ＋1|，则k ＝[x ＋1－1][x ＋1－3]|x ＋1|，令t ＝x＋1，则k ＝t －1t －3|t |(t ≠3，t ≠0)．令f (t )＝t －1t －3|t |＝t 2－4t ＋3|t |，t ≠3，且t ≠0，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋3t－4，t >0，t ≠3，－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4，t <0.作出函数f (t )的大致图象，如图所示，∵当t >0时，t ＋3t－4≥23－4，当且仅当t ＝3时等号成立，∴由图象可知，当23－4<k <0时，函数y ＝k 的图象与f (t )的图象有两个不同的交点，故当23－4<k <0时符合题意．当t <0时，－t －3t＋4≥23＋4.当且仅当t ＝－3时等号成立，∴由图象可知，当0<k <23＋4时符合题意．综上，k 的取值范围是(－4＋23，0)∪(0,4＋23)．答案：(－4＋23，0)∪(0,4＋23)。

江苏专用2019高考数学(理科)二轮复习填空题满分练(2)含答案

填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案 1解析由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案 2解析由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故P ＝A ∩B ＝{－2}，所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案1314解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________.答案－1解析根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2；②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案 ④解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确. 7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30解析第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n＝4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案 6解析不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案 x 216＋y 24＝1解析由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是________. 答案 4解析设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案 4 2解析由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0，此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0， x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2＝4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案 16解析由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案102解析设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝⎛⎭⎫12×1×2×sin A 2＋⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝⎛⎭⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝⎛⎭⎫b 2－522＋1216，所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值. 14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ，而2 018t >0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立. 令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174，因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2.。

江苏省高三数学二轮专题训练解答题(4)

江苏省高三数学二轮专题训练：解答题（4）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1、（本小题共14分）已知动点1(3,1)(0,)2P t t t t +≠≠在角α的终边上. （1）若6πα=，求实数t 的值；（2）记1sin 2cos21sin 2cos2S αααα-+=--，试用t 将S 表示出来.2、（本小题共14分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，侧面PAD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点. （1）求证：BG ⊥面PAD ；（2）E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ，使得PG //面DEF .3、（本小题共14分）为迎接上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.F EGDCBAP4、（本小题共16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2(a x a c=为长半轴，c 为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ．求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．5、（本小题共16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-.（Ⅰ）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求通项n b ；（Ⅱ）求证：1n n T T +>；（Ⅲ）求证：当2n ≥时，271112n n S +≥．6、（本小题共16分）已知1ln ()xf x x+=. （1）若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解，求实数k 的取值范围；（3）当*n N ∈，2n ≥时，求证：111()2231nf n n <+++⋅⋅⋅+-.1、解：（1）1(3,1)(0,)2P t t t t +≠≠是角α的终边上一点，则1tan 3t tα+=--------------------------3分又6πα=，则133t t +=，所以12t =. ---------------- 6分（2）1sin 2cos 21sin 2cos 2S αααα-+=--=2212sin cos 2cos 112sin cos 12sin αααααα-⋅+--⋅-+=cos (cos sin )sin (sin cos )αααααα-------9分111tan 3S t tα∴=-=-+-------------------12分31tS t ∴=-+ ----------------------------14分 2、（1）连结BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，所以三角形ABD 为正三角形，又因为点G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ；---------4分因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD 底面ABCD =AD ，所以BG ⊥面PAD . ----------------7分（2）当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF连结GC 交DE 于点H因为E 、G 分别为菱形ABCD 的边BC 、AD 的中点，所以四边形DGEC 为平行四边形所以点H 为DE 的中点，又点F 为PC 的中点所以FH 时三角形PGC 的中位线，所以PG //FH------------------------------10分因为FH ⊂面DEF ，PG ⊄面DEF 所以PG //面DEF . 综上：当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF .---------------------------14分3、解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为m ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.4、解：（1）又由点M 在准线上，得22a c= 故212c c+=，1c ∴= ……………2分从而a =所以椭圆方程为2212x y +=……………4分（2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=即222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1,)2t ,半径r =……………6分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离d = 2t =所以32552t t--=，……………8分解得4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= ……………10分（3）方法一：由平几知：2ON OK OM =……………11分直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=--由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+……………13分2224(1)2244ON t t ∴==+∙∙=+……………15分所以线段ON．……………16分方法二、设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=……………11分 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+= ……………13分又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=………15分所以，ON x ==16分5、解：（Ⅰ）由1n n b a =-，得1n n a b =+，代入121n n n a a a +=+，得12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，∴110n n n n b b b b +++-=，从而有1111n nb b +-=， ∵111211b a =-=-=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，∴1n n b =，即1n b n =.……………5分（Ⅱ）∵1112S n n =+++，∴2111122n n n T S S n n n=-=+++++， 1111112322122n T n n n n n +=+++++++++， 1111111021********n n T T n n n n n n +-=+->+-=++++++，∴1n n T T +>. ……………………………………………………………………10分（Ⅲ）∵2n ≥， ∴11221122222nn n n n S S S S S S S S ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=1221122n n T T T T S --++⋅⋅⋅+++.由（2）知12222n n T T T --≥≥⋅⋅⋅≥，∵11217,1,212T S T ===， ∴12211222nn n S T T T T S --=++⋅⋅⋅+++()2111n T T S ≥-++()7111122n =-++71112n +=. ……16分 6、解：（1）1ln ()x f x x +=，221(1ln )ln ()x x x x f x x x ⋅-+'∴==-∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<；∴函数()f x 在区间（0，1）上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数-------------------------3分∴当1x =时，函数()f x 取得极大值，而函数()f x 在区间(,1)a a +有极值. ∴111a a <⎧⎨+>⎩，解得01a <<.---------------------------5分（2）由（1）得()f x 的极大值为(1)1f =，令2()2g x x x k =-+，所以当1x =时，函数()g x 取得最小值(1)1g k =-，又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -≤，即2k ≤，所以实数k 的取值范围是：2k ≤. ----------10分（另解：2()2f x x x k =-+，21ln 2xk x x x+∴=+-，令()h x =21ln 2x x x x ++-，所以()h x '=2ln xx-22x +-，当1x =时，()0h x '=当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<∴当1x =时，函数()h x 取得极大值为(1)2h = ∴当方程2()2f x x x k =-+有实数解时，2k ≤.）（3）函数()f x 在区间(1,)+∞为减函数，而111(*,2)n N n n+>∈≥，1(1)(1)1f f n ∴+<=111ln(1)1n n ∴++<+，即1ln(1)ln n n n+-<ln ln 2ln1ln3ln 2ln ln(1)n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+--1111231n <+++⋅⋅⋅+---------------12分即1111ln 2231n n +<+++⋅⋅⋅+-，而()1ln n f n n ⋅=+， 111()2231nf n n ∴<+++⋅⋅⋅+-结论成立.----------------------16分。

江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练4 Word版含解析

小题训练4一、填空题2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．解：由，得=）＜f或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．根据向量、的坐标，得到，设=）可得•=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解：∵==∴﹣=设，可得•又∵，=λ，本题给出向量、的坐标，再•=0=λ．如图，该程序运行后输出的结果为16．值是1．8．函数f(x)=2s in()，x∈的单调递减区间单间为．﹣∴x﹣∈，，则∴由﹣≤≤﹣﹣≤x≤0．﹣9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．本题考查的知识点是古典概型，由集合素，然后我们分析各个元素，求出满足条件解：∵集合中共有10个元素时，故满足条件故所取元素恰好满足方程10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．根据双曲线与椭圆解：椭圆+∵中心在原点的双曲线与椭圆∵椭圆，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．∴解得：12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．13．已知函数当t∈时，f（f（t））∈，则实数t的取值范围是．又函数所以解得：的取值范围．故答案为：。

(江苏专用)高考数学二轮复习第一篇第4练数学文化试题理-人教版高三全册数学试题

第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《X邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________，y ＝________.答案 8 11解析方法一由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步. 答案 6解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________.答案 92解析类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图1的面积为92.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________. 答案258解析由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258. 11.我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为________尺. 答案 21.2解析设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺. 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺).∴2R ≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确的式子的序号是________. 答案 ②④解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确. ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2， ∴③不正确.正确式子的序号是②④. 考点三概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为________石. 答案 195解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为32256×1 560＝195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________. 答案 49解析三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10＝________.答案 505解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n 2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为________.答案2129解析如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________. 答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”________. 答案778解析设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了________升大米. 答案 3300解析设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢. 答案 4解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n－12－1＝2n－1；同理，小老鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为________.答案 78解析模拟程序的运行，可得当i ＝1时，S ＝2S －1，i ＝1满足条件i <3，执行循环体；当i ＝2时，S ＝2(2S －1)－1，i ＝2满足条件i <3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2(2S －1)－1]－1，i ＝3不满足条件i <3，退出循环体，输出S ＝0，∴2[2(2S －1)－1]－1＝0，∴S ＝78. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是________.答案 25解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为32＋12＝10，小正方形边长为2，故概率为2×210×10＝25. 7.欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为________.答案 14π解析由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π(cm 2)，而边长为1 cm 的正方形的面积为1×1＝1(cm 2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P ＝14π. 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺.答案 138π解析设四棱锥的外接球半径为r ，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案 510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.《书章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为________钱.答案 43解析设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝4a 3＝43. 11.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_____斛.(古制1丈＝10尺，1斛≈1.62立方尺，圆周率π≈3)答案 2700解析由题意，得2πr ＝54，r ≈9，圆柱形容器体积为πr 2h ≈3×92×18，所以此容器约能装3×92×181.62＝2700(斛)米. 12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：(1)b 2018是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)答案 (1)5045 (2)5k (5k －1)2解析由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知，b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 018＝b 2×1 009＝a 5×1 009＝a 5 045，即b 2 018是数列{a n }中的第5 045项.。

高考数学(理)二轮复习(江苏专用)习题：填空题训练 Word版含解析

限时练(一)(建议用时：40分钟)1.若a ＋b i ＝51＋2i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝________. 解析a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.答案－22.在区间[20，80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50，75]内的概率为________.解析选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.答案5123.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c |＝________. 解析由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，所以c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，所以|c |＝8 2. 答案 8 24.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ∩A ＝B ，则实数m 的取值范围是________.解析当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ∩A ＝B ，则B ⊆A ，如图所示.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (－∞，4]5.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取________人.解析月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取320×100＝15(人). 答案 156.运行如图所示的伪代码，其结果为________.解析该伪代码输出的S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17. 答案 177.在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则边c ＝________.解析由题意可得sin B ＝45，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×35＋22×45＝7210.在△ABC 中，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，则c ＝a sin Csin A ＝5×721022＝7.答案 78.已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析法一因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列. 又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1. 答案 19.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，E 为棱CC 1的中点，则三棱锥A 1－B 1C 1E 的体积为________.解析由题意得S △A 1B 1C 1＝14×3×22＝3，又因为E 为棱CC 1的中点，所以EC 1＝1，所以V 三棱锥A 1－B 1C 1E ＝V 三棱锥E －A 1B 1C 1＝13EC 1·S △A 1B 1C 1＝33.答案3310.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________. 解析由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，又PF 1＋PF 2＝3b ，所以(PF 1＋PF 2)2－(PF 1－PF 2)2＝9b 2－4a 2，即4PF 1·PF 2＝9b 2－4a 2，又4PF 1·PF 2＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 答案5311.若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________. 解析因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时，取“＝”，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案 2 212.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，函数图象如图所示，其递减区间是[0，1).答案 [0，1)13.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.解析如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE→＝(1－λ)CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF→＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1). 因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE→＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)，AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎨⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56. 答案5614.设A (1，0)，B (0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1.若圆C 既与线段AB 有公共点，又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________. 解析由于圆与直线l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即有a 21＋a2≤1，所以a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52；由于圆C 与线段AB 相交，则a ≤2且|a －1|2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2≤a ≤2＋1，a ≤2⇒1－2≤a ≤2. 综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52 限时练(二)(建议用时：40分钟)1.设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]， ∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.解析一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即 0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时).答案 0.973.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝（－3＋4i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋10i5＝1＋2i.答案 1＋2i4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________.解析由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27. 答案 275.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________.解析从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310. 答案 3106.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________.解析依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC →＝bc cos A ＝－12bc ≥－23，当且仅当b ＝c ＝ 43时取等号，因此AB→·AC →的最小值是－23.答案－237.在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －4|5＝4，2m ＋1≥3，解得m ＝6.答案 68.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________. 解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154.答案 ±1549.已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________. 解析可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27. 答案 2710.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________.解析由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b a x ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1. 答案 x 220－y 25＝111.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________.解析由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]. 答案 (－∞，3]12.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________.解析由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin Csin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 22 613.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾. ②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋3214.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n ≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972. 答案 5972限时练(三)(建议用时：40分钟)1.设全集U ＝{n |1≤n ≤10，n ∈N *}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析由题意，得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A ＝{4，6，7，9，10}，所以(∁U A )∩B ＝{7，9}. 答案 {7，9}2.不等式4x －2≤x －2的解集是________.解析①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4； ②当x －2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x ＜2. 答案 [0，2)∪[4，＋∞)3.已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的________条件.解析若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，所以a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件. 答案充分不必要4.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是________.解析因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调增区间为(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则角B ＝________.解析由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，又因为A ＝π6，且b ＞a ，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3. 答案π3或2π36.执行如图所示的流程图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 的取值范围为________.解析由流程图可知S 是分段函数求值，且S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－2，t ∈[－2，0），t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6]. 答案 [－3，6]7.若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”时真命题，则实数a 的取值范围是________. 解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上－8≤a ≤0. 答案 [－8，0]8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.解析由题意可知m ＝(a ，b )有(2，1)，(2，3)(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况.因为m ⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个.故所求的概率为16. 答案169.已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为a ，则a ＝42，V ＝13a 2h ＝32，解得h ＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为h 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＝5. 答案 510.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，且圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________.解析C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝111.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，7个剩余分数的方差为________.8 97 7 4010x 91解析由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，所以s 2＝17×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367. 答案36712.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n ＞0得q ＞0，S n ＞0.又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3－S 3＝5，则S 3＝5q 3－1，由S 3＞0，得q 3＞1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝S 3q 6＝5q 6q 3－1＝51q 3－1q6，令1q 3＝t ，t ∈(0，1)，则1q 3－1q 6＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，所以当t ＝12，即q 3＝2时，1q 3－1q 6取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20. 答案 2013.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析法一由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A 即可，解得a ＝－1或a ＝2.法二目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2. 答案－1或214.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞1，f （－x ），x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________.解析由f (x )是定义在R 上的奇函数可得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (x )＝2x －12x ，f ′(x )＝2x ln 2＋ln 22x ＞0，则f (x )在R 上是递增函数.函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点即函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象只有一个交点，作出函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象如图所示，由图可知实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32限时练(四)(建议用时：40分钟)1.设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝______.解析因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以M∩N＝{0，1}.答案{0，1}2.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________.解析设应抽取的女运动员人数是x，则x98－56＝2898，易得x＝12.答案123.复数11＋i＝________.解析11＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＝1－i2＝12－12i.答案12－12i4.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________.I←1S←1While S≤24S←S×II←I＋1End WhilePrintI解析逐次写出运行结果.该伪代码运行5次，各次S和I的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I＝6.答案 65.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________. 解析利用古典概型的概率公式求解.将一颗骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果，其中点数相同的有6个，故所求概率为636＝16. 答案 166.已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________.解析利用等比数列的性质求解.由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211.答案 2117.对于任意x ∈[1，2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________. 解析由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1，2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1，2]恒成立，利用分离参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，128.若α是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，则sin α的值等于________.解析 ∵α是锐角，∴π3＜α＋π3＜5π6，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝63.∴sin α＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×32＝6＋36.答案6＋369.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________.解析由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB＝2BF ＜2BE ＝ 2. 答案 (0，2)10.过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________.解析当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案 x ＋y －2＝011.两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________. 解析在△ACD 中，容易求得AD ＝2010， AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 45°12.两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM→·AB →＋AN →·AB →＝________.解析连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB的中点，且MN ⊥AB ，故AM→·AB →＝|AB →||AM →|·cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN→·AB →＝|AB →||AN →|·cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AB →＝9. 答案 913.设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________. 解析由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c14.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________.解析原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x ，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e限时练(五)(建议用时：40分钟)1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝________. 解析由题意得B ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，则A ∩B ＝{2}. 答案 {2}2.已知复数z 满足：z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________. 解析由题意得z ＝2＋4i 1－i＝（2＋4i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i.所以|z |＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32＝10. 答案103.将四个人(含甲、乙)分成两组，每组两人，则甲、乙为同一组的概率为________. 解析设4个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本事件有(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，丙乙)，共3种.满足要求的事件只有(甲乙，丙丁)，共1种，所以其概率为13. 答案134.直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________. 解析设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案335.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案146.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有________个.解析分数在[80，100]内的频率为(0.025＋0.015)×10＝0.4，而分数在[90，100]内的频率为0.015×10＝0.15.设分数在[90，100]内的样本数据有x 个，则由16x ＝0.40.15，得x ＝6. 答案 67.如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________. 解析由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，因为正整数解是1，2，3，4，则4≤a 5＜5，所以80≤a ＜125. 答案 [80，125)8.已知将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 解析依题意可得原圆锥的母线长为l ＝2，设底面半径为r ，则2πr ＝π×2⇒r ＝1，从而高h ＝l 2－r 2＝22－12＝3，所以圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝3π3. 答案3π39.执行如图所示的流程图，如果输入的x ，t 均为2，那么输出的S ＝________.解析循环体部分的运算为：第一步，M ＝2，S ＝5，k ＝2；第二步，M ＝2，S ＝7，k ＝3.故输出的结果为7. 答案 710.已知向量a ，b 均为非零向量，且(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________.解析 (a －2b )·a ＝|a|2－2a·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b|2－2a·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a|＝|b |，故|a |2－2a·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π311.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝________.解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＞0，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－925＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝210.答案21012.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为________. 解析法一设线段PF 1的中点为Q ，则OQ 是△PF 1F 2的中位线，则PF 2∥OQ ，又由OQ ⊥x 轴，得PF 2⊥x 轴.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，得y ＝±b 2a ，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a .由tan ∠PF 1F 2＝PF 2F 1F 2＝33，得b 2a 2c ＝33，即3b 2＝23ac ，得3(a 2－c 2)＝23ac ，则3c 2＋23ac －3a 2＝0，两边同时除以a 2得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3(舍去)或e ＝33.法二设线段PF 1的中点为Q ，则OQ 是△PF 1F 2的中位线，则PF 2∥OQ ，则由OQ ⊥x 轴，得PF 2⊥x 轴.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，得y ＝±b 2a ，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a .由椭圆的定义，得PF 1＝2a －b 2a ，由∠PF 1F 2＝30°，得PF 1＝2PF 2，即2a －b 2a ＝2b 2a ，得2a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，得a 2＝3c 2，得c 2a 2＝13，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝33. 答案3313.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号. 答案 914.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 014积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________. 解析由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 014＝a 2 014，故a 1a 2a 3·…·a 2 013＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1，所以a 1 007＝1，公比q ∈(0，1)，所以a 1 006＞1且0＜a 1 008＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 006或1 007. 答案 1 006或1 007限时练(六)(建议用时：40分钟)1.已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则M ∩N ＝________. 解析 {1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}. 答案 {2，3}2.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________.解析平均数x －＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 53.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________. 解析由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋ii ＋2＝3－i ，所以|z |＝10. 答案104.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.解析这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1，3，5，7，9，11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36. 答案 365.已知m ∈{－1，0，1}，n ∈{－1，1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是________.解析依题意，注意到可形成数组(m ，n )共有6组，其中相应直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的数组(m ，n )共有2组(它们是(0，1)与(－1，1))，因此所求的概率是26＝13. 答案 136.在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________.解析利用向量的运算法则求解.因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以λ1＝13，λ2＝23，故λ1λ2＝29. 答案 297.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是________.解析作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1，1). 答案 (－1，1)8.在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.解析由已知得sin A ＝sin(B ＋C )＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24，又a ＝8，∴b ＝a sin B sin A ＝8×326＋24＝1636＋2＝122－4 6.答案 122－4 69.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________.解析圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长AB ＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 310.已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为________. 解析因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5. 答案 511.设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________(填序号).①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β ③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ④如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余解析如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确. 答案 ④12.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________.解析由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3. 答案 π313.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________. 解析利用二次函数图象求解.由题意可得(f (x )max －f (x )min )min ≥8.f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8. 答案 814.已知函数f (x )＝x 33＋ax 22＋2bx ＋c 在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取极小值，则z ＝(a ＋3)2＋b 2的取值范围为________.解析因为函数f (x )在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3，0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1，0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4限时练(七)(建议用时：40分钟)1.已知复数a ＋3i 1－2i是纯虚数，则实数a ＝________.解析a ＋3i 1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i 5，所以当a ＝6时，复数a ＋3i 1－2i 为纯虚数.答案 62.函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数有意义，需⎩⎨⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，－1≤x ≤1，解得0＜x ≤1，所以其定义域为(0，1]. 答案 (0，1]3.检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图上的高为h ，则|a －b |＝________.解析根据概率分布直方图的概念可知，|a －b |×h ＝m ，由此可知|a －b |＝mh . 答案m h4.已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________.解析集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]. 答案 (－∞，－2]5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为________. 解析依题意得，AC→·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 答案 56.根据如图所示的伪代码可知，输出的S ＝________.i ←1 While i ＜8 i ←i ＋2 S ←2i ＋3 End While Print S解析初始值i ＝1，第一次循环：i ＝3，S ＝9；第二次循环：i ＝5，S ＝13；第三次循环：i ＝7，S ＝17；第四次循环：i ＝9，S ＝21；此时不满足条件“i ＜8”，循环停止，输出S 的值为21. 答案 217.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________.解析由三角函数定义可知点Q 的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，328.在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为________.解析过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝1. 过点A 作AG ⊥AB 交BC 于点G ，则BG ＝4.要使△ABD 为钝角三角形，则点D 在线段BH 或CG 上(不含端点B ，H ，G )，故所求概率为P ＝1＋26＝12. 答案129.设α和β为不重合的两个平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充要条件是l 与α内的两条直线垂直. 则其中为真命题的是________(填序号).解析由面面平行，线面平行的判定定理可知①②是正确的；③错误；④l 与α内的两条直线垂直不能得到直线l 与α垂直，l 与α内的两条直线垂直是直线l与α垂直的必要不充分条件. 答案①②10.以双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________. 解析由双曲线方程x 23－y 2＝1得c ＝2 ，所以双曲线右焦点的坐标为(2，0)，即p 2＝2，所以2p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案y 2＝8x11.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________.解析在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1. 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112.若sin θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.解析因为sin θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2sin 2θcos π3＋2cos 2θsin π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×12＋2×725×32＝73－2425. 答案73－242513.在等差数列{a n }中，已知a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为________.解析由题意知a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝12＋12a 1－12da 1＋（2n －1）d .当d ＝0时，上式＝1；当a 1＝d 时，上式＝12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1214.已知正实数x ，y ，z 满足2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1z 的最小值为________.解析由题知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1z ＝x 2＋x z ＋x y ＋1yz＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋1z ＋1yz ，又2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1z ＝yz 2＋1yz .又因为x ，y ，z 为正实数，所以yz 2＋1yz ≥2yz 2·1yz ＝2，当且仅当yz ＝2时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1z 的最小值为 2.答案 2限时练(八)(建议用时：40分钟)1.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________. 解析 ∵B ＝[0，2]，∴A ∩B ＝[0，1]. 答案 [0，1]2.复数5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝________.解析 5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）（－2＋i ）（－2－i ）＝5（38－i ）5＝38－i. 答案 38－i3.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________.解析高三年级总人数为：900.05＝1 800；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810. 答案 8104.曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为________.解析根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解.因为y ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率. 答案－145.将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________.解析利用古典概型的概率公式求解.将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136. 答案 11366.已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________.解析根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解.由条件可得a ＋λb ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4.答案 47.已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为________.解析利用“1”的代换，结合基本不等式求解.因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，x ＋8yxy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2 x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy 的最小值为9. 答案 98.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________. 解析若α∥β，α∥γ，则β∥γ，即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确；若a∥α，a∥β，则α与β平行或相交，故②错误；若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误；若a⊥α，a⊥β，则α与β平行，故④正确.答案①④9.设某流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________.解析阅读算法中流程图知：运算规则是S＝S×k2故第一次进入循环体后S＝1×32＝9，k＝3；第二次进入循环体后S＝9×52＝225＞100，k＝5.退出循环，其输出结果k＝5.故答案为：5.答案 510.已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为________.解析利用a1，a2，a5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可.设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，所以a1，a2，a5成等比数列⇒a22＝a1a5⇒(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)⇒d＝2a1，代入不等式a1＋a2＋a5＞13，解得a1＞1.答案(1，＋∞)11.P为直线y＝b3a x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324. 答案 32412.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________. 解析由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°. 若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3. 答案533或－ 313.若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”.给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号).解析根据新定义逐一判断.因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos πx2存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”. 答案 ②③14.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析由于关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k 的图象和函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )的图象，如图所示，故0＜1k ＜1，解得k ＞1. 答案 (1，＋∞)限时练(九)(建议用时：40分钟)1.已知集合M ⊂≠{0，1，2，3，4}，则满足M ∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M 的个数为________.解析由题意易知M ＝{0，1}或{0，1，3}或{0，1，4}或{0，1，3，4}，所以满足M ∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M 的个数为4. 答案 42.若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析由3＋b i 1－i ＝（3＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3－b ＋（3＋b ）i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案 33.若命题p ：|x |＝x ，命题q ：x 2＋x ≥0，则p 是q 的________条件.解析设p ：{x ||x |＝x }＝x |x ≥0＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，因为A B ，所以p 是q 的充分不必要条件. 答案充分不必要4.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________. 解析因为2＋3＋7＋8＋a 5＝5，所以a ＝5，所以s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265. 答案2655.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期为________. 解析由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π. 答案π6.已知四边形ABCD 是半径为2的圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为________.解析由已知可得，正方形边长为22，再利用几何概型概率计算公式可得概率为（22）2π×22＝2π.答案2π7.执行如图所示的流程图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 的值为________.解析log 32＞4不成立，执行第一次循环，a ＝22＝4； log 34＞4不成立，执行第二次循环，a ＝42＝16；log 316＞4＝log 334＝log 381不成立，执行第三次循环，a ＝162＝256； log 3256＞4＝log 381成立，跳出循环，输出的a 的值为256. 答案 2568.在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________. 解析根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB→|·|AC →|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，。

【高考汇编】江苏专用2019届高考数学(理科)二轮复习：填空题满分练汇编 48页(8套含答案解析))

2019届高考数学（理科）二轮复习：填空题满分练汇编目录【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练1理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练2理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练3理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练4理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练5理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练6理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练7理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练8理(含答案解析)填空题满分练(1)1.复数z =x＋(x＋2)i(其中i为虚数单位，x∈R )满足2＋iz 是纯虚数，则|z|=________.答案253解析根据题意可设2＋iz =bi(b∈R 且b≠0)，∴2＋i =[x＋(x＋2)i]×bi =－b(x＋2)＋xbi，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x＋2)，1＝xb，解得x =－23，∴z =－23＋43i，∴|z|=253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ={－1,0,1,2,3}，A ={－1,0,2}，则∁U A=________. 答案 {1,3}解析 ∵集合U ={－1,0,1,2,3}，A ={－1,0,2}，∴∁U A={1,3}.3.某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________. 答案 88解析根据分层抽样的特点，样本中A种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1=211，所以样本的容量n =16÷211=88. 4.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2sinA=3cosA ，且有a 2－c 2=b 2－mbc，则实数m =__________. 答案 1解析 ∵2sin A=3cos A ，∴2sin 2A=3cos A，∴2cos 2A＋3cos A－2=0， ∴cosA =12或cosA =－2(舍).由a 2－c 2=b 2－mbc，得cosA =m 2，∴m 2=12，∴m =1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5=14, a 2a 6=33，则a 1a 7=________. 答案 13解析由题意得a 2＋a 6=a 3＋a 5=14, a 2a 6=33，所以a 2=3，a 6=11或a 2=11，a 6=3. 当a 2=3，a 6=11时，d =11－36－2=2，a 1=1，a 7=13，∴a 1a 7=13；当a 2=11，a 6=3时，d =3－116－2=－2，a 1=13，a 7=1，∴a 1a 7=13.6.在△ABC中，点D满足BC →=3BD →，则AD →=________.(用AB →，AC →表示)答案 23AB →＋13AC →解析因为BC →=3BD →，所以AC →－AB →=3(AD →－AB →)，即AD →=23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案 i≤30和p =p＋i解析由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i≤30.又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1=2，第3个数比第2个数大2，即2＋2=4，第4个数比第3个数大3，即4＋3=7，…，故②中应填写p =p＋i.8.已知实数x, y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y－3≤0，x＋y－2≥0，－x＋2y－2≤0，则z =(x－1)2＋y 2的最小值为________.答案 12解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z表示可行域内的点(x，y)到点(1,0)的距离的平方，所以z min =⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122=12.9.已知双曲线C：x 2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C的离心率为22，则双曲线C的渐近线方程为________. 答案 y=±7x解析依题意知，双曲线C：x 2a 2－y2b 2=1(a>0，b>0)的一个焦点为(2,0)，∴c =2，∵双曲线的离心率为22，∴c a =2a =22，∴a =22， ∵c 2=a 2＋b 2，∴b =142， ∴渐近线方程为y =±bax=±7x.10.已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为________. 答案 6解析设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，高为3r，由圆柱M与圆锥N的体积相同，得4π×6=13πr 2×3r，解得r =23，因此圆锥N的高h =3r=6.11.将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k(k≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶段序.若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案 8 解析“3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2=8(种)，一方面，n个点可以构成n个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n =8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点. 12.已知椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C，若AF 2→=2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案55解析设C(x，y)，由AF 2→=2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y|b 2a ＝12，x＝2c，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c，±b 22a .又C为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2=1，解得e =55. 13.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x＋1)e x，则对任意m∈R ，函数F(x)=f(f(x))－m的零点个数至多有________个. 答案 3 解析当x<0时，f′(x)=(x＋2)e x，由此可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f(－2)=－e－2，f(－1)=0，且f(x)<1.又f(x)是R 上的奇函数，f(0)=0，而当x∈(－∞，－1)时，f(x)<0，所以f(x)的图象如图所示.令t =f(x)，则当t∈(－1,1)时，方程f(x)=t至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f(x)=t没有根，而对任意m∈R ，方程f(t)=m至多有一个根t∈(－1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))－m的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P－ABC的棱长均为a，O为正四面体P－ABC的外接球的球心，过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P－ABC，得到三棱锥P－A 1B 1C 1和三棱台ABC－A 1B 1C 1，那么三棱锥P－A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案27π32a 2解析设底面△ABC的外接圆半径为r，则a sinπ3=2r，所以r =33a. 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2=63a，设正四面体的外接球半径为R，则R 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a－R 2，∴R =64a.因为64∶63=3∶4，所以三棱锥P－A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342=27π32a 2.填空题满分练(2)1.若复数z满足1＋iz－i =i(i是虚数单位)，则z =________.答案 1解析由题设有z =1＋ii＋i =－i＋1＋i =1.2.已知集合A ={2,0，－2}，B ={x|x 2－2x－3>0}，集合P =A∩B，则集合P的子集个数是________. 答案 2解析由题设有B =(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故P =A∩B ={－2}，所以P的子集的个数为2.3.已知cos α=17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3=________.答案1314解析 ∵cos α=17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α=1－cos 2α=1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172=437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3=cos αcos π3＋sin αsin π3=17×12＋437×32=1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820=43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)=________. 答案－1解析根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22=1，a 2a 4－a 23=－1，a 3a 5－a 24=1，a 4a 6－a 25=－1，…，所以根据计算的规律可得，当n为偶数时，a n a n＋2－a 2n＋1=－1，当n为奇数时，a n a n＋2－a 2n＋1=1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)=－1.6.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f(x)的最小正周期为π2； ②直线x =－π12是函数f(x)图象的一条对称轴；③函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin2x.答案 ④解析 A=2, T 2=2π3－π6=π2，即πω=π2，即ω=2, π2＋2π32=7π12，当x =7π12时， 2×7π12＋φ=π2＋2k π，k∈Z ，又|φ|<π，解得φ=－2π3，所以函数是f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－2π3，函数的最小正周期为π；当x=－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3=－5π6，不是函数的对称轴；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x－2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f(x)先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3－2π3=2sin 2x，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30 解析第一次输出a =3，n =2；第二次输出a =3×2=6，n =3；第三次输出a =6×5=30，n =4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－y≥4，x＋2y≤4，y≤0，则z =3x－2y的最小值是________.答案 6解析不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y =32x－z2过点(2,0)时，z取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________.答案 x 216＋y24=1解析由题意得4a＋4b =24，即a＋b =6①，由c a =32得a =2b②，由①②解得a =4，b =2.所以椭圆Γ的方程为x216＋y24=1. 10.若曲线y =lnx＋1的一条切线是y =ax＋b，则4a＋e b的最小值是________. 答案 4解析设切点为(m，lnm＋1)(m>0)，f′(x)=1x ，f′(m)=1m ，故切线方程为y－(lnm＋1)=1m (x－m)，即y =1m x＋lnm，所以a =1m ，b =lnm,4a＋e b =4m ＋m≥24m ·m =4，当且仅当4m=m，即m =2时取等号. 11.过点M⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2=1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y 2=2px(p＞0)的焦点，l与抛物线E交于A，B两点，则AB的中点到抛物线E的准线的距离为________. 答案 4 2解析由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2=1的切线l，可得直线l的方程为x－y－2=0，此时直线l与x轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2=2，解得p =22，即y 2=42x，且准线方程为x =－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x，x－y－2＝0，整理得x 2－62x＋2=0，Δ=(62)2－8>0， x 1,2=62±82=32±4，则x 1＋x 2=62，所以x 1＋x 22=32，所以AB的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2=4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O，在其弧AB上任取一点P，则使∠AOP和∠BOP同时大于50°的概率为________. 答案 16解析由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP和∠BOP能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°=20°120°=16. 13.在四边形ABCD中，AB =2，BC =CD=DA=1，设△ABD，△BCD的面积分别为S 1，S 2，则当S21＋S22取最大值时，BD =________.答案102解析设BD =b，S 21＋S 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2=34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A＋14cos 2C =34－2b 4－10b 2＋1316=34－2⎝⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216，所以当b 2=52，即b =102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x<1，log 2018x，x≥1，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则4a 2＋b 2＋2a＋b的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，0<a<1<b，设f(a)=f(b)=t，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t，log 2 018b＝t(t>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a＝2 018－t，b＝2 018t，所以ab =1,2a＋b =22 018＋2 018t，而2 018t>0，所以2a＋b =22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t=2时等号成立. 令m =2a＋b，则m≥22，故4a 2＋b 2＋2a＋b =(2a＋b)2＋(2a＋b)－4=m 2＋m－4=⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174，因为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a＋b =⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ={x|2x≥4}，B ={x|x 2－3x≥0}，则A∩ (∁R B)=________. 答案 [2,3)解析 A={x|2x≥4}={x|x≥2}，B ={x|x 2－3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，∁R B=(0,3)，则A∩(∁R B)=[2,3). 2.已知i为虚数单位，复数1＋ai2－i (a∈R )为纯虚数，则a的值为________.答案 2解析因为1＋ai 2－i =(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )=(2－a )＋(2a＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a＝0，2a＋1≠0，所以a =2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n项和S n =14n 2，n∈N *，等比数列{b n }满足b 1=a 1＋a 2，b 2=a 3＋a 4，则b 3=________.(用数字表示) 答案 9解析由题意可得b 1=a 1＋a 2=S 2=14×22=1，b 2=a 3＋a 4=S 4－S 2=14×42－14×22=3，则等比数列的公比q =b 2b 1=31=3，故b 3=b 2q=3×3=9.4.设向量a =(3，1)，b =(x，－3)，c =(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 150°解析 ∵b ∥c ，∴－3x=(－3)×1，∴x =3， ∴b =(3，－3)，a －b =(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ=－124×23=－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ=150°.5.设变量x，y满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x－y＋3≥0，x＋y－3≥0，则z =2x－y的取值范围是________.答案 [－3，＋∞)解析不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z =2x－y经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z =2x－y的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB =3，BC =2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O－EFG体积的最大值是________. 答案 4解析设Rt△EFG的两条直角边分别为a，b，则a 2＋b 2=16，三棱锥O－EFG的高为3，从而V O－EFG =13S △EFG ·3=12ab≤a 2＋b 24=4，当且仅当a =b=22时等号成立，故三棱锥O－EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S为________.答案 17解析开始时，S =27，i =1，第一次循环，S =47，i =2，第二次循环，S =17，i =3，第三次循环，S =27，i =4，第四次循环，S =47，i =5，第五次循环，S =17，5<5不满足条件，输出S =17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案 35解析因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01=0.05，所以n =10.05=20，成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)=0.2，所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2=4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a，成绩在[90,95)中有4个人，设为A，B，C，D，从5个人中任意取2个人有(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个基本事件，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610=35.9.将函数f(x)=23cos 2x－2sinxcosx－3的图象向左平移t(t>0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为________. 答案π6解析 f(x)=23cos 2x－2sinxcosx－3=23×1＋cos 2x2－sin 2x－3=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π6，平移后函数y =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2t＋π6为奇函数，所以2t＋π6=k π＋π2，k∈Z ，解得t =k π2＋π6，k∈Z ，所以当k =0时，t有最小值π6.10.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M(2,0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移13个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间为____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k－23，4k＋43(k∈Z ) 解析由图知A =3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P，Q，过P作PH⊥x轴于点H，如图所示.令HM =m(m>0)，则m 2＋(3)2=4，得m =1，所以P(1，3)，Q(3，－3)，设函数f(x)的最小正周期为T，则T2=2，T =4=2πω，ω=π2，所以f(x)=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x＋φ，将(2,0)代入得π＋φ=π＋2k π(k∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ=0，f(x)=3sin π2x，所以g(x)=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－13=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x－π6.由2k π－π2≤π2x－π6≤2k π＋π2(k∈Z )，解得4k－23≤x≤4k＋43()k∈Z .所以g(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k－23，4k＋43k∈Z .11.已知抛物线C：y 2=4x，过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S △MFN =________.答案833解析设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，所以S △MFN =12×p×|y 1－y 2|=12×2×|y 1－y 2|=|y 1－y 2|，直线方程是y =3(x－1)，与抛物线方程联立，消去x，整理得3y 2－4y－43=0，所以y 1＋y 2=43，y 1y 2=－4，所以|y 1－y 2|=(y 1＋y 2)2－4y 1y 2=163＋16=833. 12.在△ABC中，a,b,c分别为内角A, B,C的对边，且2absinC =3()b 2＋c 2－a 2，若a =13，c =3，则△ABC的面积为________.答案 3 3解析由题意得2absin C 2bc =3·b 2＋c 2－a22bc ，即asin Cc=3cosA，由正弦定理得sin A =3cosA, 所以tan A =3，A =π3.由余弦定理得13=32＋b 2－2×3bcos π3，解得b =4，故面积为12bcsinA=12×4×3×32=3 3.13.如图，已知双曲线x2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A，B，M在双曲线上且在x轴的上方，MF1⊥x轴，直线MA，M B与y轴分别交于P，Q两点，若OP =eOQ(e为双曲线的离心率)，则e =________.答案2＋1解析由已知得，A(－a,0)，B(a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c，b 2a . 由△BOQ∽△BF 1M可得，OQ MF 1=OBBF 1，即OQ b 2a=a a＋c ，解得OQ =b 2a＋c .由△AOP∽△AF 1M可得，OP MF 1=OAAF 1，即OP b 2a=a c－a ，解得OP =b 2c－a . 由已知得OP =eOQ，可得b 2c－a =e×b2a＋c ，所以a＋c =e(c－a)，即1＋e =e(e－1)，整理得e 2－2e =1，又e>1，所以e =2＋1.14.设函数g(x)=e x＋3x－a(a∈R ，e为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)=x2，且当x＜0时，f′(x)＜x，若∃x 0∈{x|f(x)＋2≥f(2－x)＋2x}，使得g()g ()x 0=x 0，则实数a的取值范围为________. 答案(]－∞，e＋2解析设F(x)=f(x)－x22，则F′(x)=f′(x)－x，所以当x<0时，F′(x)<0，故函数F(x)=f(x)－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f(－x)＋f(x)=x 2可知，F(－x)＋F(x)=f(－x)＋f(x)－2×x22=0，则函数F(x)=f(x)－x22是奇函数，所以函数F(x)=f(x)－x22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f(x)＋2≥f ()2－x ＋2x可得 F(x)≥F ()2－x ，解得x≤1，由g(g(x 0))=x 0，得g(x 0)=x 0，所以问题转化为x =e x＋3x－a在(]－∞，1上有解，即a =e x＋2x在(]－∞，1上有解，令h(x)=e x＋2x，x∈(－∞，1]，则h′(x)=e x＋2>0，故h(x)=e x＋2x在(]－∞，1上单调递增，则h(x)≤h(1)=e＋2，即a≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1=a＋i，z 2=3－4i，其中i为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a的值为________. 答案 43解析 ∵复数z 1=a＋i，z 2=3－4i，∴z 1z 2=a＋i 3－4i =(a＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )=3a－4＋(4a＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数， ∴3a－4=0且4a＋3≠0，即a =43.2.已知全集U =R ，集合A ={x||x－1|<1}，B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x－5x－1≥1，则A∩(∁U B)=________. 答案 {x|1≤x<2}解析由题意得A ={x||x－1|<1}={x|－1<x－1<1}={x|0<x<2}，B=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x－5x－1≥1=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x－4x－1≥0={x|x<1或x≥4}， ∴∁U B={x|1≤x<4}， ∴A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f(x)=x 2－3x－18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案 15解析由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x－18=0的两根， ∴a 4＋a 7=3，∴S 10=10(a 1＋a 10)2=5(a 1＋a 10)=5(a 4＋a 7)=5×3=15.4.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x 2＋y 2=4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长度的取值范围为________.答案 [6－2，6＋2] 解析设BC的中点为M(x，y). 因为OB 2=OM 2＋BM 2=OM 2＋AM 2，所以4=x 2＋y 2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y－122=32，所以点M的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①解析 ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，正确.∵n⊥β，且m⊥n，可得出m∥β或m ⊂β，又m⊥α，故可得α⊥β. ②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β，不正确.m⊥α且m⊥n，可得出n∥α或n ⊂α，又n∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案 24 解析分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C12C23A22=12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22=12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y =f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，函数单调递增，若f(1)=1，则满足－1≤f(x＋2)≤1的x 的取值范围是________.答案 [－3，－1]解析函数y =f(x)为定义在R 上的奇函数，由f(1)=1，可知f(－1)=－1.当x≥0时，函数单调递增，由y =f(x)为定义在R 上的奇函数，得y =f(x)在R 上单调递增. 则由－1≤f(x＋2)≤1，可得－1≤x＋2≤1，解得－3≤x≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案 n≤8(或n<9)解析由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)=2(1－2n)1－2=2n＋1－2，∴当n =7时，2n＋1－2=28－2=254，不合题意；当n =8时，2n＋1－2=29－2=510，符合题意.∴判断框中的条件为n≤8或n<9. 9.已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－3y＋4≥0，x－2≤0，x＋y≥0，x，y∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8 解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又OA =OB=22， ∴(x 2＋y 2)max =8.10.设直三棱柱ABC－A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB =AC=AA 1，∠BAC =120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解析设AB =AC=AA 1=x，在△ABC中，∠BAC =120°，则由余弦定理可得BC =3x.由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r =x， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R =10.设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2=10，解得x =22，即AA 1=2 2.∴直三棱柱的高是2 2. 11.已知双曲线x 2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为________. 答案 153解析由题意知在等腰△ABP中，AB =AP=2a，设∠ABP =∠APB =θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP=2θ，其中θ必为锐角.∵△ABP外接圆的半径为5a， ∴25a=2asin θ， ∴sin θ=55，cos θ=255， ∴sin 2θ=2×55×255=45， cos 2θ=2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1=35. 设点P的坐标为(x，y)，则x =－a－APcos 2θ=－11a5，y=APsin 2θ=8a5，故点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b2=1，整理得b 2a 2=23，∴e =c a=1＋b 2a 2=153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解析由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，则S EFOH =34S △DOF =34×14S ABDF =316S ABDF ，∴所求的概率为P =S EFOH S ABDF =316.13.在数列{a n }中，a 1=1，a n＋1=S n ＋3n(n∈N *，n≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案 S n =3n－2n解析 ∵a n＋1=S n ＋3n=S n＋1－S n ， ∴S n＋1=2S n ＋3n， ∴S n＋13n＋1=23·S n 3n ＋13， ∴S n＋13n＋1－1=23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1，又S 13－1=13－1=－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1=－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n－1=－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴S n =3n －2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y =f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈Q ，0，x∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题：①f(f(x))=0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)=f(x)对任意的x∈R 恒成立；④存在三个点A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))，C(x 3，f(x 3))，使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案 3 解析当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数时，f(x)=0，∴当x为有理数时，f(f(x))=f(1)=1；当x为无理数时，f(f(x))=f(0)=1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f(f(x))=1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R ，都有f(－x)=f(x)，故②正确；当T∈Q 时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)=f(x)对x∈R 恒成立，故③正确；取x 1=33，x 2=0，x 3=－33，f(x 1)=0，f(x 2)=1，f(x 3)=0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B(0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC恰好为等边三角形，故④正确.填空题满分练(5)1.i是虚数单位，(1－i)z =2i，则|z|=________. 答案2解析由题意知z =2i 1－i =2i (1＋i )(1－i )(1＋i )=－1＋i，则|z|=(－1)2＋12= 2.2.已知集合P ={x|－1≤x<2}，集合Q =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x≤52，则P∩Q =________. 答案 (0,2) 解析 P∩Q =(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a =3e 1－e 2,b =2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 45°解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2=1，e 1·e 2=0， ∴||a =()3e 1－e 22=9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22=10，||b =()2e 1＋e 22=4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22=5，a ·b =()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2 =6||e 12－||e 22=5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=a ·b ||a ||b =510×5=22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ=45°.4.已知整数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－7≥0，x＋2y－5>0，则3x＋4y的最小值是________.答案 16解析可行域如图所示，令z =3x＋4y，当动直线3x＋4y－z =0过点A时，z有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－7＝0，x＋2y－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1，故A(3,1)，但点A(3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案 3解析样本x,1，y,5的平均数为2，故x＋y =2，故s 2=14[(x－2)2＋(y－2)2＋10]=52＋14(x 2＋y 2)≥52＋14×(x＋y )22=52＋14×2=3，当且仅当x =y=1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为________. I←2 S←0 While I<m S←S＋I I←I＋3 EndWhile Print S答案 2021解析由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I的终值为2018，故2018<m<2022，由于m是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0，x－y＋8≥0，2x＋y－14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m，则实数m的取值范围是________. 答案 [20，＋∞)解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0，x－y＋8≥0，2x＋y－14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x＋2y－19=0的距离为25，故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min =20，故实数m的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)(x∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)=________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3 解析 ∵由图象知，14T=π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12=π4，∴T =π，ω=2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ=2， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ=2k π＋π2，k∈Z .∵|φ|<π，∴φ=2π3，则f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π6＋2π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a>0，b>0)与抛物线y 2=8x有相同的焦点F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A,B两点，与双曲线交于C, D两点，当AB =2CD时，双曲线的离心率为________. 答案5＋12解析由题意知F(2,0), c =2，∵过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，与双曲线交于C, D两点，在y 2=8x中，令x =2，则y 2=16，即y =±4. ∴AB =8，∴CD =4，将x =2代入到双曲线的方程，可得y =±b 4a2－1，则2b4a2－1=4. ∵a 2＋b 2=c 2=4，∴a =5－1，∴双曲线的离心率为e =c a =25－1=5＋12.10.已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α的同侧，且AB =2，AC =3，若AB，AC与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为________. 答案 [1，7]解析如图，过B，C作平面的垂线，垂足分别为M，N，则四边形BMNC为直角梯形.在平面BMNC内，过C作CE⊥BM交BM于点E. 又BM =2sin∠BAM =2sinπ3=3，AM =2cos π3=1， CN=3sin∠CAN =3sinπ6=32，AN =3cos π6=32，所以BE =BM－CN =32，故BC 2=MN 2＋34. 又AN－AM≤MN≤AM＋AN，即12=AN－AM≤MN≤AM＋AN =52，所以1≤BC 2≤7，即1≤BC≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1=6m，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为__________. 答案 12(2m＋1－1)(3m＋1－1)解析 ∵公差d是a 1=6m的约数， ∴d =2i·3j(i，j =0,1,2，…，m)，∴d的所有可能取值之和为∑i＝0m2i ·∑j＝0m3j =12(2m＋1－1)·(3m＋1－1).12.已知点M为单位圆x 2＋y 2=1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x =2上，则AM→·AO→的最小值为________. 答案 2解析设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)，则AM →=(cos θ－2，sin θ－t)，AO →=(－2，－t)，所以AM →·AO →=4＋t 2－2cos θ－tsin θ. 又(2cos θ＋tsin θ)max =4＋t 2，故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s =4＋t 2，则s≥2，又4＋t 2－4＋t 2=s 2－s≥2，当s =2，即t =0时等号成立，故(AM →·AO →)min =2.13.已知函数f(x)=x 2－2mx＋m＋2，g(x)=mx－m，若存在实数x 0∈R ，使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立，则实数m的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)解析当m>0，x<1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，Δ>0，f (1)≥0，m<1，即m>3或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m 2－m－2>0，3－m≥0，m<1，故m>3.当m<0，x>1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m<0，此不等式组无解.综上，m的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a>0，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ex－1＋a2，x＜0，ex－1＋a 2x 2－()a＋1x＋a2，x≥0，若关于x的方程f(－f(x))=e －a＋a2有三个不等的实根，则实数a的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解析当x＜0时，f(x)为增函数，当x≥0时，f′(x)=ex－1＋ax－a－1, f′(x)为增函数，令f′(x)=0，解得x =1，故函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f(1)=0.由此画出函数f(x)的图象如图所示.令t =－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a 2，解得－a =t－1，所以t =－a＋1，所以f(x)=a－1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a－1＜1e ＋a 2，解得2＜a＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U =R ，N ={x|x(x＋3)<0}，M ={x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案 {x|－1≤x<0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z =1－i2－i ，则z的虚部为________.答案－15解析 z=1－i 2－i =(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )=3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m，n∈N *，都有a n ·a m =a n＋m ，且a 1=12，那么a 5=________.答案132解析由于a n ·a m =a n＋m (m，n∈N *)，且a 1=12.令m =1，得12a n =a n＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5=a 1q 4=⎝ ⎛⎭⎪⎫125=132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案 9解析这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30=9.5.已知椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解析由题意可得PF 1=F 1F 2=2c，再由椭圆的定义可得PF 2=2a－PF 1=2a －2c. 设∠PF 1F 2=θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ=c 2－a 2＋2ac 2c 2，由－12＜cos θ＜12，可得e的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z =yx－3的最小值是________.答案－2解析画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋2＝0，x－y＝0，解得A(2,2)，z=yx－3的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率. ∵k PA =2－02－3=－2，∴z =y x－3的最小值是－2.7.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD =7，AB =2，则S △ABC =________. 答案 3 3解析 ∵A，B，C成等差数列，∴B =60°，在△ABD中，AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos B，即7=4＋BD 2－2BD， ∴BD =3或－1(舍去)，可得BC =6，∴S △ABC =12AB·BC·sin B =12×2×6×32=3 3.8.已知三棱锥P－ABC内接于球O，PA =PB=PC=2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________. 答案 12π 解析由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA，PB ，PC可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2=3·22=12，故球的表面积为4πR 2=12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x的值为－5，则输出的y值是________.答案 0解析由流程图知，若输入的x的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5=25=32>2，程序继续运行x =－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3=23=8>2，程序继续运行x =－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1=2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y =log 2x 2=log 21=0.10.若函数f(x)=asin ωx＋bcos ωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x =π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f(x)的最小正周期是________.答案 π 解析由f(x)=a 2＋b 2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x =π4ω可知，π4＋φ=π2＋k π，k∈Z ，解得φ=π4＋k π，k∈Z ，即ba=tan φ=1，所以a =b.又f′(x)=a ωcos ωx－b ωsin ωx的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=0，即a ω⎝ ⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8=0，所以ωπ8=π4＋k π，k∈Z ，解得ω=2＋8k，k∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω=2，所以T =2πω=π.11.在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案 1－3π6解析满足条件的正三角形ABC如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC =34×4= 3. 满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P =1－3π6. 12.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足|CM →|=1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案2＋1解析设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且|CM→|=1，∴x 2＋(y＋2)2=1，x 2＋(y＋2)2=1，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆. ∵A(0,1)，B(1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →=(x＋1，y＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|=(x＋1)2＋(y＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y＋2)2=1上的点与点P(－1，－1)间的距离. 又点P(－1，－1)在圆C的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max =|PC →|＋1=(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1=2＋1. 13.已知P为函数y =4x的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x 2＋y 2=1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，则△OMN的面积为________. 答案 18解析不妨设点P在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2=x 20＋16x 20，PA 2=PB 2=PO 2－12=x 20＋16x 20－1，故以P为圆心，PA为半径的圆的方程为()x－x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y－4x 02=x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2=1，两圆方程作差可得直线AB的方程为x 0x＋4x 0y－1=0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04，所以△OMN的面积为12·1x 0·x 04=18.14.函数y =f(x)的定义域为D，若∀x∈D，∃a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，则称函数y =f(x)具有性质P ，现有如下函数：①f(x)=e x－1；②f(x)=2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x－π4－1(x≤0)； ③f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x<0，(x－1)3＋1，x≥0.则具有性质P的函数f(x)为________.(填序号) 答案 ①② 解析 ①设φ(x)=ex－1－x(x∈R )，则φ′(x)=ex－1－1.当x>1时，φ′(x)>0；当x<1时，φ′(x)<0. ∴φ(x)min =φ(1)=0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x，故∃a=1，使f(x)≥ax在R 上恒成立，①中函数f(x)具有性质P；②易知f(x)=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π4－1=sin 2x(x≤0). 令φ(x)=f(x)－2x =sin 2x－2x(x≤0)，则φ′(x)=2cos 2x－2.∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x)min =φ(0)=0，故f(x)≥2x恒成立. ∴∃a=2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f(x)具有性质P；③作函数y =f(x)与直线y =ax的图象，显然当y =ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a =1.根据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立. 因此③中函数f(x)不具有性质P. 综上可知，具有性质P的函数为①②.。

江苏高考数学二轮新：第二部分填空题专练(二)

填空题专练(二)1.(2018南京第一学期期中)已知集合A={2,3,5},B={x|2≤x≤4},则A∩B= .2.(2018江苏如皋高三上学期教学质量调研(三))已知复数z=(2+i)(1-i),其中i为虚数单位,则z 的虚部为.3.(2018苏北四市高三第一次调研)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有人.4.(2018江苏盐城射阳二中调研(三))焦点为(0,-1)的抛物线的标准方程为.5.(2018南京第一学期期中)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6的值为.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3,则输出v的值为.7.(2018南京高三学情调研)记函数f(x)=√4-3x-x2的定义域为D.若在区间[-5,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率为.8.(2018苏北四市高三第一次调研)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3√5 cm,则这个正四棱柱的体积是cm3.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin A=√3sin C,B=30°,b=2,则△ABC的面积是.10.若a>0,b>0,且12a+b +1b+1=1,则a+2b的最小值为.11.(2018南京、盐城高三第一次模拟)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时, f(x)={x(3-x),0≤x≤3, -3x+1,x>3,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.(2018江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,M为直线x=3上一动点,以M为圆心的圆记为圆M,若圆 M截x轴所得的弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线,切点为P,则点P到直线2x+y-10=0的距离的最大值为.13.(2019江苏高三第四次模拟)已知菱形ABCD中,对角线AC=√3,BD=1,P是AD边上的动点(包括端点),则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为.14.(2018江苏启东中学高三第二次月考)已知函数f(x)={lnx,x>0,其中a>0,若函数y=f(x)ax2+x,x<0,的图象上恰好有两对关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案精解精析1.答案{2,3}解析由交集定义可得A∩B={2,3}.2.答案-1解析∵z=(2+i)(1-i)=2-2i+i+1=3-i,∴z的虚部为-1,故答案为-1.3.答案750解析由频率分布直方图可得成绩在[150,250)和[400,450]的频率之和为(0.001+0.001+0.003)×50=0.25,则成绩在[250,400)的频率是1-0.25=0.75,又样本容量是1 000,故频数是750.4.答案x2=-4y解析由抛物线的焦点在y轴负半轴上设抛物线方程为x2=-2py(p>0),因为p2=1,p=2,故抛物线的标准方程是x2=-4y.5.答案12解析设等差数列{a n}的公差为d,由题意知S3=3a2=12,a2=4,则d=a2-a1=2,则a6=a1+5d=12.6.答案48解析该流程图运行3次,第1次,v=5,i=1;第2次,v=16,i=0;第3次,v=48,i=-1,运行结束,故输出v的值是48.7.答案12解析要使函数f(x)有意义,则4-3x-x2≥0,解得D=[-4,1],则在区间[-5,5]上随机取一个数x,x∈D的概率为P=1-(-4)5-(-5)=1 2 .8.答案54解析由正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3√5 cm,得该正四棱柱的高为6 cm,则这个正四棱柱的体积是32×6=54(cm3).9.答案√3解析由sin A=√3sin C 可得a=√3c,由余弦定理可得4=a 2+c 2-2ac ×√32,联立解得c=2,a=2√3,所以△ABC 的面积是12ca ·sin B=12×2×2√3×12=√3. 10.答案12+√3解析 a+2b=2a+b 2+32(b+1)-32=[2a+b 2+3(b+1)2](12a+b +1b+1)-32=2+2a+b 2(b+1)+3(b+1)2(2a+b )-32≥12+2√2a+b2(b+1)·3(b+1)2(2a+b )=12+√3,当且仅当2a+b 2(b+1)=3(b+1)2(2a+b )时,取等号,所以a+2b 的最小值为12+√3. 11.答案 [1,94)解析画出x ≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y 轴对称可得x<0时的图象,如图,由图象可得m ∈[1,94).12.答案 3√5解析设M(3,t),P(x 0,y 0),因为OP ⊥PM,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得x 02+y 02-3x 0-ty 0=0,①又圆M 截x 轴所得的弦长为4, 所以4+t 2=(x 0-3)2+(y 0-t)2,整理得x 02+y 02-6x 0-2ty 0+5=0,②由①②得x 02+y 02=5,即点P 在圆x 2+y 2=5上,于是P 到直线2x+y-10=0的距离的最大值为√5+√5=3√5.13.答案 [12,32]解析以AC 所在的直线为x 轴,BD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (-√32,0),C (√32,0),B (0,-12),D (0,12),点P 在AD 边上(包括端点),可设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],则P (-√32+√32λ,12λ), PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32-√32λ,-12-12λ)·(√3-√32λ,-12λ)=34(λ-1)(λ-2)+14λ(λ+1)=λ2-2λ+32在λ∈[0,1]单调递减,当λ=0时,λ2-2λ+32=32,当λ=1时,λ2-2λ+32=12,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[12,32]. 14.答案 (0,1)解析 f(x)=ax 2+x,x<0关于y 轴的对称函数为y=ax 2-x,x>0,由题意可得y=ax 2-x,x>0与y=ln x,x>0的图象恰有2个交点,即方程ax 2-x=ln x(x>0)有两解,则a=lnxx 2+1x ,x>0,即函数y=a,y=lnxx 2+1x ,x>0的图象有两个不同的交点,y'=1-x -2lnx x 3,则函数y=lnx x 2+1x 在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,y max =1,作出函数大致图象如图,由图可得0<a<1.。

江苏专用高考数学二轮复习填空题满分练8理

填空题满分练(8)1.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈Z }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈N }，则集合A ∩B ＝________. 答案 {(1,2)}解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴集合A ∩B ＝{(1,2)}.2.设复数z ＝21－i ，则下列命题中正确的是________.(填序号)①|z |＝2； ②z ＝1－i ；③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部为2. 答案 ①②③解析由z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，知①②③正确.3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________.答案 7解析作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，易知目标函数z ＝x ＋2y 中的值随直线x ＋2y ＝0向上平移而增大，当过点C (1,3)时，z 取得最大值z max ＝1＋2×3＝7.4.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________. 答案 8解析 ∵a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4(a ＋b )ab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4(a ＋b )ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ×4a＋2b ×4b＝8，当且仅当a ＝2，b ＝2时取等号， ∴a ＋b ＋c 的最小值为8.5.某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.答案 4解析第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1；第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2；第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4，但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4.6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )，且f (4)＝5，则f (2018)的值为________. 答案 5解析由f (x ＋6)＝f (x )，知函数f (x )为周期函数，且周期T ＝6，则f (2 018)＝f (6×337－4)＝f (－4)，又函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2 018)＝f (－4)＝f (4)＝5.7.已知m ，n为直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n ；③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β，其中的正确命题为________.(填序号)答案 ③解析关于①，也会有n ⊂α的结论，因此不正确；关于②，也会有m ，n 异面的可能，因此不正确；容易验证③是正确的，故填③.8.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是________.(填序号)①函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上有最小值； ②函数f (x )的一条对称轴为x ＝π12；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增； ④函数f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0. 答案 ③解析设将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为g (x )为偶函数，且－π<φ<0，则2π3＋φ＝π2，即φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.分别验证四个说法，只有③正确. 9.设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝log 2(x 1＋1)，2ex -＝log 3x 2，3ex -＝log 2x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________. 答案 x 1<x 3<x 2解析在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝e －x，y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象，由图可知x 1<x 3<x 2.10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0).圆C ：(x －c )2＋y 2＝1上所有点都在椭圆E 的内部，过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，A ，B 为切点，若∠AMB ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，则椭圆C 的离心率为________. 答案 3－2 2解析如图可知，当且仅当点M 为椭圆的左顶点时，∠AMB 最小，即∠AM 1B ＝π3，在Rt△AM 1C 中，AC ＝1，∠AM 1C ＝30°，则M 1C ＝a ＋c ＝2，同理，当点M 为椭圆的右顶点时，∠AMB 最大，可得M 2C ＝a －c ＝2，解得a ＝2＋22，c ＝2－22，离心率e ＝c a＝3－2 2.11.已知数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)解析 ∵a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝n (n ＋1)2，又∵a 1＝1满足上式， ∴a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *).12.在三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________. 答案7π3解析在三棱锥D －ABC 中，当且仅当AB ⊥平面BCD 时，三棱锥体积达到最大，此时，设外接球的半径为R ，外接球的球心为O ，点F 为△BCD 的中心，则有R 2＝OB 2＝OF 2＋BF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝712，所以表面积S ＝4πR 2＝7π3.13.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝2B ，则b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2的最小值是________. 答案 3解析由A ＝2B 及正弦定理可得，b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝sin B sin (π－A －B )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2 ＝sin B sin (B ＋2B )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin B cos B sin B 2＝sin B sin B cos 2B ＋cos B sin 2B ＋4cos 2B ＝1cos 2B ＋2cos 2B＋4cos 2B ＝14cos 2B －1＋4cos 2B －1＋1≥3(∵A ＋B ＝3B <180°，则0°<B <60°，∴12<cos B <1，∴4cos 2B －1>0)，当且仅当14cos 2B －1＝4cos 2B －1，即cos B ＝22，即B ＝45°时取等号. 所以b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b2的最小值为3.14.已知函数f (x )＝ln x －x 2与g (x )＝(x －2)2＋12(2－x )－m (m ∈R )的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数m 的取值范围是________. 答案 [1－ln2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x －x 2与g (x )＝(x －2)2＋12(2－x )－m (m ∈R )的图象上存在关于(1,0)对称的点，∴f (x )＝－g (2－x )有解，∴ln x －x 2＝－x 2－12x＋m 在(0，＋∞)上有解，即m ＝ln x ＋12x 在()0，＋∞上有解，令h (x )＝ln x ＋12x ，则h ′(x )＝2x －12x2，x >0，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1，∴m ≥ln 12＋1＝1－ln 2.。

江苏省高三数学二轮专题训练填空题(84)

江苏省高三数学二轮专题训练：填空题（84）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。

1．已知集合},1{},2,0{2a B A ==，若}4,2,1,0{=B A ，则实数a= ▲2．经过点)1,2(-，与向量(1,2)AB =-垂直的直线方程是 ▲3．已知复数z 满足：2,()z i i =是虚数单位，则z= ▲4．已知向量(0,1),(1,3),(,),OA OB OC m m ===若A 、B 、C 三点共线，则实数m= ▲5．函数()sin (sin cos )f x x x x =-的周期T= ▲ 6．已知点(,)(0)P a b a b >>与椭圆22221x y a b +=的两个焦点12,F F 构成等腰三角形，则椭圆的离心率e= ▲7．设,αβ为两个不重合的平面，,,m n l 是不重合的直线，给出下列命题，其中正确的序号是 ▲① 若,,m n m α⊥⊥则n ∥α；② 若,,n m αβ⊂⊂,αβ相交不垂直，则n 与m 不垂直；③ 若,,,m n m n αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④ m 是平面α的斜线，n 是m 在平面α内的射影，若n l ⊥，则m l ⊥．8．设点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，则点P 到直线1y x =-的最小距离为 ▲ 9．在ABC ∆中，2223tan bc a ac B -+=，则角B= ▲ 10．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲11．把形如(,)n M m m n N +=∈的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M 的m 项划分”。

例如：293135,==++称作“对9的3项划分”；把64表示成364413151719,==+++称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是 ▲12．设11()(),()[()](2,)1n n x f x f x f x f f x n n N x-+===≥∈+，则 12(1)(2)()(1)(1)(1)n f f f n f f f +++++++= ▲ 13．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为 ▲14．若存在实常数k 和b ，使函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 恒有：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”。

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