相似三角形提优导学案
相似三角形导学案
课题:相似三角形(2)【使用说明及学法指导】1.结合自身情况自学课本,用红笔勾画出疑惑点;独立思考完成自主学习和合作探究任务,并总结规律方法。
2.针对自主学习中找出的疑惑点,课上小组讨论交流,答疑解惑。
【复习目标】1.会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2.能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3.能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
【复习重、难点】三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
【导学流程】】 一.【唤醒热身】】 (一)【知识梳理】】1、定义:比例、第四比例项、比例中项、比例线段;2、比例性质:(1)基本性质:______________________________ (2)合比定理:______________________________ (3)等比定理:______________________________3、相似三角形定义:________________________________.4、判定方法:______________________________________________________________________ 5、相似三角形性质:(1)对应角相等,对应边成比例; (2)对应线段之比等于 ;(对应线段包括哪几种主要线段?) (3)周长之比等于 ; (4)面积之比等于 . 6、相似三角形中的基本图形. (1)平行型:(A 型,X 型) (2)交错型:(3)旋转型: ( 4)母子三角形:(二)【回眸诊断】A BC DE A B C D E ABCD A B C DE D A B C训练1:判断1.两个等边三角形一定相似。
( )2.两个相似三角形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为1∶2。
( ) 3.两个等腰三角形一定相似。
( )4.若一个三角形的两个角分别是40°、70°,而另一个三角形的两个角分别是70°、70°,则这两个三角形不相似。
华师大版九年级上册数学23.3.1相似三角形集体备课导学案
相似三角形集体备课导学案案例课题:相似三角形一、学习目标1.理解相似三角形的概念,掌握相似比的意义。
2.会按给出的相似比将一个三角形放大或缩小,了解两个三角形相似的条件。
3.会灵活运用相似三角形的性质和判定定理进行简单的计算和证明。
二、学习重难点重点:相似三角形的概念和相似比的意义。
难点:两个三角形相似的条件。
三、学习过程1.知识回顾(1)什么是相似多边形?两个多边形相似的条件是什么?(2)相似多边形的性质有哪些?2.自主学习(1)相似三角形的定义:如果两个三角形的三组对应边的比都相等,那么这两个三角形就是相似的。
这两个三角形称为相似三角形。
(2)相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例。
(3)相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形是相似的。
3.合作探究(1)如何将一个三角形放大或缩小?(2)两个三角形相似的条件是什么?如何证明两个三角形相似?4.达标检测(1)下列说法中正确的是( )A.各边对应成比例的两个多边形相似B.各角对应成比例的两个多边形相似C.如果两个多边形的所有对应边的比相等,那么这两个多边形相似D.如果两个多边形的所有对应角的比相等,那么这两个多边形相似5.课堂小结本节课学习了相似三角形的概念和相似比的意义,以及两个三角形相似的条件。
通过自主学习和合作探究,我们掌握了相似三角形的性质和判定定理的应用。
通过达标检测,我们巩固了所学知识并提高了解决问题的能力。
在今后的学习中,我们要善于运用所学知识解决实际问题,培养自己的数学思维和创新能力。
华师大版数学九年级上册23.3《相似三角形》导学案
23.3.1 相似三角形
一、知识回忆:
1、什么叫做全等三角形?
2、全等三角形的性质:
3、什么叫做相似多边形?
4、相似多边形的性质:
5、什么叫做相似多边形的相似比?
二、探究新知:
1、相似三角形的定义:_________________表示法:,读作:
如:△ABC △DEF读作; △ABC △DEF
相似比:相似三角形对应边的比k叫做或.
三、学习新知
1、如图,△ABC中,D为边AB上任一点,作DE∥BC,
交边AC于E,用刻度尺和量角器量一量,判断△ADE与
△ABC是否相似?
图23.3.2
2、如图△ABC中,假设D,E是AB、AC的中点,那么它们的相似比为多少?
3、如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1,你会发现什么呢?
4、证明1中的结论:
如1中图:在△ABC中,DE∥BC,D、E分别在AB、AC上,
求证:△ADE∽△ABC
5、思考:如下列图,DE∥BC,△ADE与△ABC是否还相似?
E
D
A
B C
得出结论:平行于三角形一边的直线和其它两边〔或两边的延长线〕相交,所构成的三角形与原三角形相似。
6、知识运用:
例1 如图,D为△ABC的边AB的三等分点,DE//BC,DE=5,求BC的长
四、练一练
1、如果一个三角形的三边长分别是5、1
2、13,与其相似的三角形的最长边是39,那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?
2、两个直角三角形一定相似吗?为什么?两个等腰直角三角形呢?
3、两个等腰三角形一定相似吗?为什么?两个等边三角形呢?
五、预习小结。
《相似三角形》导学案
4.3相似三角形【学习目标】 1.使学生理解并掌握相似三角形的概念,理解相似比的概念.2.使学生掌握预备定理,并了解它的承上启下的作用.3.通过预备定理的条件所构成的图形的三种情况,教给学生对一致性问题的思考方法.【学习重点难点】重点:相似三角形的概念及预备定理,教学中要让学生加深对相似三角形概念的本质的认识.难点:是相似比的概念及找对应边.ABC经某一′对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?两个三角形,叫做相似三角形.2A B C D E C A D EB (2)C ADE B(2)45°85°n °3a 10A B CA概念:相似三角形对应边的比,叫做两个三角形的 。
(或相似系数)做一做如图, △ADE ∽ △ABC,点D 与点B 是对应点, 根据图形分别说出两个三角形的对应边和对应角?如果△ABC ∽△A'B'C'则△ABC 与△A'B'C'的相似比k 1△A'B'C'与△ABC 的相似比k 2=?归纳:三角形的前后次序不同,所得相似比不同。
交流讨论1、两个全等三角形一定相似吗?为什么?2.两个直角三角形一定相似吗?为什么?两个等腰直角三角形呢?3.两个等腰三角形一定相似吗?为什么?两个等边三角形呢?例1 已知:如图,D 、E 分别是AB 、AC 边的中点。
求证:△ADE ∽△ABC随堂练习1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n 的值.''C B BC =BC C B ''=3A B CD E A D C B 第1题C B O AD 第2题例2:如图,D 、E 分别是△ABC 的AB,AC 边上的点, △ABC ∽ △ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9cm,求DE 的长练习:1.如图,D 是AB 上的一点。
△ABC ∽ △ACD ,且AD :AC =2:3,∠ADC= 65°, ∠B =43 °. (1)求∠ABC , ∠ACD 的度数;(2)写出△ABC 与 △ACD 的对应边成比例的比例式,求出相似比。
相似三角形导学案
4.5 《相似三角形》导学案一、教学目标1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似.2.能根据相似比进行计算.二、教学过程1.相似三角形的定义及记法如果△ABC ∽△DEF ,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?由前面相似多边形的性质可知,对应角应相等,对应边应成比例.所以∠A =∠D 、∠B =∠E 、∠C =∠F .EFBC DF AC DF AC DE AB ===. 2.(1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?(2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?(3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?解:(1)两个全等三角形一定相似.因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似.(2)两个直角三角形不一定相似.因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似.两个等腰直角三角形一定相似.因为两个等腰直角三角形Rt △ABC 和Rt △DEF 中,∠C =∠F =90°,则∠A =∠B =∠D =∠E =45°,所以有∠A =∠D ,∠B =∠E ,∠C =∠F .再设△ABC 中AC =b ,△DEF 中DF =a ,则AC =BC =b ,AB =2bDF =EF =a ,DE =2a ∴DEAB EF BC DF AC == 所以两个等腰直角三角形一定相似.(3)两个等腰三角形不一定相似. 因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.两个等边三角形一定相似.因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似.[师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.两个全等三角形一定相似.两个等腰直角三角形一定相似.两个等边三角形一定相似.两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.3.例题1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20 m ,在这个草坪的图纸上,这条边长5 cm ,其他两边的长都是3.5 cm ,求该草坪其他两边的实际长度.解:草坪的形状与其图纸上相应的形状相似,它们的相似比是2000∶5=400∶1 如果设其他两边的实际长度都是x cm ,则14005.3 x x =3.5×400=1400(cm )=14(m )所以,草坪其他两边的实际长度都是14 m .2.如图,已知△ABC ∽△ADE ,AE =50 cm,EC =30 cm,BC =70 cm,∠BAC =45°,∠ACB =40°,求(1)∠AED 和∠ADE 的度数;(2)DE 的长.解:(1)因为△ABC ∽△ADE .所以由相似三角形对应角相等,得∠AED =∠ACB =40°在△ADE 中,∠AED +∠ADE +∠A =180°即40°+∠ADE +45°=180°,所以∠ADE =180°-40°-45°=95°.(2)因为△ABC ∽△ADE ,所以由相似三角形对应边成比例,得 BCDE AC AE = 即70305050DE =+ 所以 DE =30507050+⨯=43.75(cm ).。
人教版初三数学下册相似三角形导学案
学科养成:△ ABC 中,/ ACB= 90°, CDLAB 于 D,找出图中所有的相似三角形。
【教学过程】时间过程目标 教师活动及方法 学生活动及方法命题立意及思路 点拨形成性评价板书【目标1】知识回顾:1 •相似三角形的概念。
类比全等三角 【例1】已知:△ ABC A ' B ' C ',且相5/形的判定方法 似比为k ,AD 、A ' D '分别是△ ABC 、 △理2 •如何判定两个三角形相似? 探索其它判定 A ' B ' C '对应边BC 、 B ' C ' 上的高,求证:1、性质1: 相解相似三角 形对应高的3、相似图形的性质有哪些?方法S ABC| 2-------- =k似三角形对应咼的比、对应中线提出问题:【探究】△ ABC 和厶A ' B ' C '是两个相似三角形,比等于相似比15/的比、对应角 1、问题:两个三相似比为k ,其中AD 、A ' D '分别为BC 、B ' C 'A2、性质2: 相平分线的比等于相似比角形相似,除了对边上的高,那么 AD 、A ' D '之间有什么关系?培养学生自/ %似三角形对应角分的这个性质, 应边成比例、对应4主探索问题,积线的比等于相似比并会应用这极参与,归纳概H 一些性质解决角相等之外,还有/括能力图 24.3.93、性质3:相问题.相其他的结论吗?似三角形对应中线同桌讨论,大胆图 24.3.9巩固新知的比等于相似比【目标2】 猜想【讨论】得 AD _AB1 •如果两个三角形相似,相似比为 3 : 5,那么对应4、性质4: 相知识点一:A D A B角的角平分线的比等于多少?经历探索相所以-AD-t =AB 知识系统化、准 2•相似三角形对应边的比为0. 4,那么相似比为似三角形的周长比似三角形的AD r A B确化,对应角的角平分线的比为,周长的比有关性质的知识迁移【结论】相似三角形对应咼的比等于为,面积的比为.等于相似比过程,掌握相2433相似三角形的性质--(导学案)【课程目标】15 似三角形性质的应用方法.【目标3】以探究的思想,培养学生积极进取的学习态度,发展学生的认知,使学生体会数学知识的应用价值.合作、交流、动手实践(画图说明)知识点二:三边对应成比例的两个三角形相似知识点三:判定两个三角形相似例题讲解【猜想】相似三角形对应中线、对应角分线、周长的比等于什么呢?【结论】相似三角形对应中线的比等于相似三角形对应角分线的比等于三角形相似性3 .如图,在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2 ,这两个三角形相似吗?如果相似,请给出证明,并求出-■: A1B1C1 和-■:A2 B2C2 的面积5、性质5:相似三角形的面积比等于相似比的平方例题相似三角形周长的比等于问题:图24. 3. 10中(1)、(2)、( 3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,它们都相似.图24.3.10质方法的应用检验(2)与(1)(2)与(1)(3)与(1)(3)与(1)的相似比=的面积比=的相似比=的面积比=【猜想】相似三角形的面积比等于相似比的平方?【结论】相似三角形的面积比等于小结:1、性质1:相似三角形对应高的比等于相似比2、性质2:相似三角形对应角分线的比等于相似比3、性质3 :相似三角形对应中线的比等于相似比4、性质4 :相似三角形的周长比等于相似比5、性质5 :相似三角形的面积比等于相似比的平方本课的学习你体会到了哪些重要的数学思想?VL^识框^ 一厂相似三角形的性质性质方法的应用c作业:P59――练习1、2.比.AB 14、已知△ ABC A ' B ' C', 一,一,• = ,AB 边上AB 2的中线CD=4厘米,△ ABC的周长为20厘米,△ A'B 'C '的面积是64平方厘米,求:(1) A ' B '边上的中线C'D'的长(2)^ A ' B ' C'的周长(3)^ ABC的面积教学反思:。
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
2、掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比。
3、了解相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
二、学习重难点1、重点(1)相似三角形的性质的理解和应用。
(2)相似三角形的对应线段的比、周长比、面积比与相似比的关系。
2、难点相似三角形性质的综合应用,特别是涉及到面积比与相似比的关系。
三、知识回顾1、什么是相似三角形?三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法有哪些?(1)两角分别相等的两个三角形相似。
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(3)三边成比例的两个三角形相似。
四、新课导入我们已经知道了如何判断两个三角形相似,那么相似三角形又有哪些性质呢?这就是我们今天要学习的内容。
五、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等因为两个三角形相似,所以它们的对应角是相等的。
例如,若△ABC∽△A'B'C',则∠A =∠A',∠B =∠B',∠C =∠C'。
2、相似三角形的对应边成比例若△ABC∽△A'B'C',则有:AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C',这个比例值就是它们的相似比。
3、相似三角形的对应线段的比等于相似比(1)相似三角形对应高的比等于相似比如图,△ABC∽△A'B'C',AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高。
因为∠B =∠B',∠ADB =∠A'D'B' =90°,所以△ABD∽△A'B'D',所以 AD/A'D' = AB/A'B',即相似三角形对应高的比等于相似比。
相似三角形导学案
《相似三角形》复习导学案教学设计滨海三中孙乐学学习目标:1、梳理相似三角形的定义、判定、性质,构建知识网络。
2、能够利用相似三角形的判定和性质解决问题,提高综合运用知识的能力。
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.学习重点:相似三角形判定和性质的灵活应用学习难点:相似三角形判定和性质的综合应用【课前延伸学案】1. 对应角________、对应边_________的三角形叫做相似三角形。
2. 相似三角形的_________的比,叫做相似三角形的相似比。
可以用字母K表示。
△ ABC∽△A′B′C′,如果BC=3,B′C′=1.5,那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为________.【课内探究学案】【自主探究】胡夫金字塔是世界上最大、最高的金字塔,埃及法老用10万个工匠耗费20年的时间终于建造完成。
但随之也产生一个难题:金字塔有多高?由于受当时条件限制(没有测量角度的仪器),在金字塔建成的1000多年里,人们都无法测量它的高度。
约公元前600年,当古希腊数学家泰勒斯看到金字塔在阳光下的影子时,他突然想到了一种简单的方法快速的测出金字塔的高度。
一、你能测量出金字塔的高度吗?(测量工具:皮尺、标杆、小平面镜)。
请画出测量示意图,说出实施方案,并用含有字母的式子表示出金字塔的高度。
除此之外还有别的方法吗?二、在测量过程中,用到了数学中的哪些知识?三、结合上题,你能回顾出相似三角形的判定和性质吗?【巩固练习】1、(中考变形题)在△ABC 和△DEF 中,请从中任选取两个条件组成一组,判定△ABC ∽△DEF ,最多有几种组合?并口述你的依据(1)AB BC DE EF =(2)AC EF DFBC =(3)∠A= ∠D (4)∠C=∠F 2、(2011·潍坊)如图,△ABC 中,BC=2.DE 是它的中位线.下面三个结论:(1)DE=1;(2)△ADE ∽△ABC ;(3)△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为l :4.其中正确的有( ).A .0个B .1个C .2个D .3个3、(2013•南宁)如图,△ABC 三个定点坐标分别为A (-1,3),B (-1,1),C (-3,2).(1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1;(2)以原点O 为位似中心,将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍,得到△A 2B 2C 2,请在第三象限内画出△A 2B 2C 2。
45相似三角形导学案.docx
课题4.5相似三角形编写人:赵春丽审核组长: 审核主任: 温馨寄语:今天的成功是因为昨日的积累,明天的辉煌源于今天的努力 【使用说明】1•结合问题导学自学课本127-1308页,用红色笔勾画出疑惑点,独立思考完成合作探究, 总结规律方法.2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点,课上小组讨论交流,答疑解惑. 【学习目标】 1 .掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似. 2. 能根据相似比进行相关计算.3. 通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊 与一般的关系. 【学习重点、难点】 重点:相似三角形定义的理解和认识难点:1.相似三角形的定义所揭示的木质属性的理解和应用;2. 渗透三角形相似与平行的内在联系【学法指导】类比讨论法【知识链接】1.什么叫相似多边形?2.如杲两个多边形相似,那么他们的边和角有什么关系?一、问题导学1. 请同学们观察下列图形,并指出哪些图形相似?导I I 学I J装I J I 线i I2. 相似三角形是相似多边形吗?3. 那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗?4. ___________________________________ 相似三角形的定义: _ 、 __________________________________________ 的两个三角形叫做相似三角形“△DEF 6. 如图:如杲△ ABC^ADEF,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角 有什么关系?对应边呢?相似三角形性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例注意:各边比的前项是同一个三角形的边,比的后项是另一个三角形的.二、合作探究探究一:(动丁•画一画、量一量、算一算,并小组讨论)(1) 两个全等三角形一定相似吗?为什么?(2) 两个直角三角形一定和似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?(3) 两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么? 5. 相似三角形的表示方法: 如ZiABC 与ADEF 相似,记作AABC温馨捉示:表示两个三角形相似时,要 象表示全等三角形那样把对应顶点写在 对应的位置上.各有两个相似三角形,试确定x, y, 111,刀的值• 探究二:1・如图,有一块呈三角形形状的草坪,其屮一边的长是20 m,在这个草坪的图 纸上,这条边长5cm,其他两边的长都是3. 5 cm,求该草坪其他两边的实际长度. 解:草坪的形状与具图纸上相应的形状相似,它们的相似比是2000 : 5=400 : 1 如果设其他两边的实际长度都是xcm,则所以,草坪其他两边的实际长度都是 ______________ 2•已知:如图,'ABCs\ADE,畀启50 cm, Q30 cm, 妒70 cm,ZBAO45° , ZAC^40° ,求:(1)(2)(3)(4) 三、巩固练习:ZAED 和ZMF 的度数; 处的长;图屮有哪些线段成比例?图屮有互相平行的线段吗?BI) A 0DC 48 301.在下面的两组图形中, BA 22 3a 10 45° 80 myD四、拓展延伸L bABCs厶A\BG,相似比为Z, 'ARC'SMBC,相似比为则3 4其相似比为____________2•如图,在△肋C中,ZACB=90° A(=6,戶是肋的屮点,0是%上不与〃、C重合的点,若以C、B、0为顶点的三角形与△肋C相似,这样的0点冇几个?分别求出CQ的长B五、课后反思通过这节课的学习你有什么收获? 你还有什么困惑?你的表现怎么样? 四、课堂小结 相似三角形定义 J 对应角相等L 对应边成比例 表不法 --- “ △ .... S △ ..... 相似比(对应边的比) 判定方法——定义法。
九年级数学上册25.3相似三角形课堂导学案新版冀教版
25.3 类似三角形能力点 确定类似三角形的对应边和对应角题型导引寻觅类似三角形的对应边和对应角的方法:对应角对的边是对应边,两对应角所夹的边是对应边,大边对大边,大角对大角.【例题】如图,△ADE∽△ACB,其中∠A ED =∠B,那么能成立的比例式是( )A .AD AC =AE AB =DE BC B .AD AB =AE AC =DE BCC .AD AE =AC AB =DE BC D .AD AB =AE EC =DE BC解析:由于△ADE∽△ACB,且∠AED=∠B,即两个类似三角形中的对应顶点分别是点A 与点A ,点B 与点E ,点C 与点D ,由对应顶点确定对应边,选项B ,C ,D ,可逐一排除.答案:A规律总结在类似三角形中找对应线段或对应角时,必然要结合图形来分辨.本题采用了数形结合法,经过图形寻觅类似三角形的对应边.变式训练如图,△A BC ∽△ACD,请写出两个三角形的对应角和对应边的比例式.分析:根据类似三角形的对应边和对应角的寻觅方法,我们可以发现∠A=∠A,∠B=∠ACD,∠ACB=∠A DC ,根据对应角寻觅对应边.解:对应角有:∠A =∠A,∠B=∠AC D ,∠ACB=∠ADC,AB AC=AC AD =BC CD.科学睡眠 健康成长——在国旗下的发言各位尊敬的老师、各位亲爱的同学:大家上午好!我是来自预备二班的***。
今天,我非常的荣幸,能在3月21日世界睡眠日这一重要节日即将来临的时刻,和大家共同学习、分享《科学睡眠 健康成长》这一主题内容。
睡眠是人体的一种主动过程,人的一生几乎有3分之1的时间在睡觉中度过。
睡眠是生命所必需的过程,是健康不可缺少的组成部分。
本届冬奥会的18岁天才少女谷爱凌在赛后回答夺冠秘诀时,她说:“从 8 岁到 14 岁,我一直都只有周末才滑雪。
而我能比那些年纪更大、更专业的运动员做的更好的秘密武器,就是每天睡十小时,真的每天睡十小时。
《相似三角形》导学案
23.3 相似三角形23.3.1相似三角形教学目标:1.知道相似三角形的概念;会根据概念判断两个三角形相似。
2.能说出相似三角形的相似比,会由相似比求出未知的边长。
教学过程:一、复习什么是相似图形? 什么是相似多边形?判别两个多边形是否相似的条件是什么? 二、新课1.相似三角形的有关概念:由复习中引入,如果两个多边形的对应边成比例,对应角都相等,那么这两个多边形相似。
在相似多边形中,三角形是最简单的多边形。
由此可以说什么样的两个三角形相似? 如果两个三角形的三条边都成比例,三个角对应相等,那么这两个三角形相似.A CB C'A'B'如图,在△ABC 与△A ′B ′C ′中,∠A =A ′,∠B =∠B ′,∠C =∠C ′AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′,那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似,记作△ABC ∽△A ′B ′C ′;“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”,这样两三角形相似就读作:“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”。
由于∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∠C =∠C ′,所以点A 的对应顶点是点A ′,点B 与点B ′是对应顶点,点C 与点C ′是对应顶点,书写相似时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′=K ,那么这个K 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′,它的相似比为K ,即指AB A ′B ′=K ,那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是A ′B ′AB ,就不是K 了,应为多少呢?同学们想一想? 2.如图(1),△ABC 中,点D ,E 分别是AB 、AC 的中点,连结DE ,那么△ADE 与△ABC 相似吗?为什么?如果相似,它们的相似比为多少? (1)E D CB A (2)E CB A D 如图(2),如果点D 不是AB 的中点,是AB 上任意一点,过D 作DE ∥BC ,交AC 边于E ,那么△ADE 与△ABC 是否也会相似呢? 判断它们是否相似,由①对应角是否相等,②对应边是否成比例去考虑。
初中数学 【导学案】相似三角形
ABC相似三角形 (预习学案)备课时间: 复习目标:1、归纳、总结本章知识,使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识,并能灵活运用。
复习提示:快速浏览本章内容完成下面问题: 一、相似三角形的定义三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC (A 型和X 型)则______________.2.若CD 为Rt △ABC 斜边上的高(双直角图形)则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________,CD 2=_______,BC 2=__ ____.E A D CBEADCBA D CB3. 两个角对应相等的两个三角形__________.4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.5. 三边对应成比例的两个三角形___________. 三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k 表示.3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______•线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.4.你知道什么黄金分割吗?黄金比是多少?请你用图形来表示一下.典型例题研析:1、如图,△ABC 与△DEF 是位似图形,位似比为2∶3,已知AB =4,则DE 的长为 ____.2、如图,已知是矩形ABCD 的边上一点,第1题图CODEFA BBF AE ⊥于,试证明ABF EAD △∽△.3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,•要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、AC 上,•这个正方形零件的边长是多少?复习检验:1.两个相似三角形对应边上中线的比等于3:2,则对应边上的高的比为______,周长之比为________,面积之比为_________.2.若两个相似三角形的周长的比为4:5,且周长之和为45,则这两个三角形的周长分别为__________.3.如图,在△ABC 中,已知∠ADE=∠B ,则下列等式成立的是( )A .AD AE AB AC = B .AE ADBC BD =C .DE AE BC AB =D .DE ADBC AC=4.在△ABC 与△A′B ′C ′中,有下列条件: (1)''''AB BC A B B C =;(2)''''BC ACB C A C =;(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′. 如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组( ) A .1 B .2 C .3 D .4相似三角形 (展示学案)备课时间:一、请你说说课前预习时你总结本章所学的内容。
冀教版九年级上册数学(JJ)精品导学案 相似三角形
25.3 相似三角形学习目标:1.理解并掌握相似三角形的定义,并能够根据其解决简单问题.2.掌握运用平行线判定两个三角形相似的方法.学习重点:相似三角形的定义.学习难点:用平行线判定两个三角形相似的方法.一、知识链接1.什么叫全等三角形?答:________________________________________.2.全等三角形有哪些性质?答:________________________________________.3.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边有什么关系?二、新知预习3.下面的图形有什么相同点和不同点?(1)图(1)中各角的度数分别为______、______、______. 图(1)中各边的长度分别为______、______、______.图(4)中各角的度数分别为______、______、______. 图(4)中各边的长度分别为______、______、______.(2)图(2)中各角的度数分别为______、______、______. 图(2)中各边的长度分别为______、______、______.图(3)中各角的度数分别为______、______、______. 图(5)中各边的长度分别为______、______、______.(3)图(3)中各角的度数分别为______、______、______. 图(3)中各边的长度分别为______、______、______.图(6)中各角的度数分别为______、______、______. 图(6)中各边的长度分别为______、______、______.【归纳】对应角_______、对应边______的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做他们的相似比.三、自学自测1.若△ABC∽△A′B′C′相似,且相似比为35,那么△A′B′C′与△ABC的相似比为( )A .35B .53C .925D .2592..若△ABC 与△A ′B ′C ′相似,∠A=55°,∠B=100°,那么∠ C ′的度数是( )A.55°B.100°C.25°D.不能确定 四、我的疑惑_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1:相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.反过来,如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例.△ABC 与△A ′B ′C ′相似记作△ABC ∽△A ′B ′C ′,读作△ABC 相似于△A ′B ′C ′. 例1:如图,△ADE∽△ACB ,其中∠A ED =∠B,那么能成立的比例式是( )【归纳总结】在相似三角形中找对应线段或对应角时,一定要结合图形来分辨.本题采用了数形结合法,通过图形寻找相似三角形的对应边.【针对训练】如图,△ABC∽△ACD,若AB=5,BC=4,求CD的长度.探究点2:用平行线判定两个三角形相似问题:我们知道,平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么所截得的两个三角形相似吗?说明理由.答:如图,在△ADE和△ABC中,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AEC=∠C,又∠A=∠A,即△ADE和△ABC的三个角都对应相等.由上节课平行线截得的两个三角形的对应边成比例,∴△ADE∽△ABC.【归纳】平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.例2:如图所示,已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长.解:方法一:因为DE∥BC,所以_____________,_____________,所以△ADE∽△ABC,所以_____________,即_____________,所以BC=_______cm.又因为DF∥AC,所以四边形DFCE是平行四边形,所以FC=DE=___cm,所以BF=BC -FC=___(cm).方法二:因为DE∥BC,所以_____________.又因为DF∥AC,所以_____________,所以△ADE∽△DBF,所以__________,即___________所以BF=________cm.【归纳总结】求线段的长,常通过找三角形相似得到成比例线段而求得,因此选择哪两个三角形就成了解题的关键,这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.【针对训练】如图,DE∥BC,若AE=3,EC=5,DE=3.6,则BC的长为__________.二、课堂小结AB 上的一点,且满足△APC∽△ACB,则下列比例式:①AP PC =AC CB ;②AC AP =AB AC ;③PC PB =AC AP ;④AC AB =PC PB . 其中正确的是( ) A .①②B .③④C .①②③D .②③④2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.已知△ABC 中,AC =3,BC =4,AB =5,若△ABC∽△A 1B 1C 1,且△A 1B 1C 1的最大边长是15,求△A 1B 1C 1的面积.(1)求证:△DQP∽△CBP;当堂检测参考答案: 1. A 2.B3.因为32+42=52, 因为△ABC∽△A 1B 1C 1,所以△A 1B 1C 1也是直角三角形,A 1C 1与B 1C 1垂直,A 1B 1=15,A 1C 1AC =A 1B 1AB =B 1C 1BC ,所以A 1C 1=A 1B 1AB ·AC=9,B 1C 1=A 1B 1AB ·BC=12.所以S△A 1B 1C 1=12A 1C 1·B 1C 1=12×9×12=54.4.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AQ∥BC,∴△DQP∽△CBP. (2)∵△DQP≌△CBP, ∴DP=CP =12CD.∵AB=CD =8,∴DP=4.。
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教师: 学生: 日期: 2015 年 4 月 30 日 时段: 15:00~17:00 课 题 相似三角形的性质学情分析 学生数学基础较好,需要在现学基础上进行深化 学习目标与 考点分析 了解相似三角形的性质,学会利用相似三角形的性质解题学习重点 了解相似三角形的性质 学习难点 学会利用相似三角形的性质解题学习方法教师一对一个 性 化 辅 导 过 程一、 基础巩固三角形相似的情况分类E D CBAEDCBAED ACEDABC(1)平截A 型 (2)斜截A 型 (3)平截X 型 (4)斜截X 型BDCPABDCPA(5)旋转型 (6)反射型(∠APC ≠90°) (7)直角型(∠_ B_ C_ D_ E_ A龙文教育学科导学案(∠APB=∠CPD ) 请你写出每种类型中的你认为的相似三角形以及它们的对应边及对应角。
二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等 2.相似三角形的对应边成比例3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比.5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图5,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△.四、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似.3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例,两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”. 1.横向定型法欲证AB BCBE BF=,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;分母的两条线段是BE 和BF ,三个字母B E F ,,恰为BEF △的三个顶点.因此只需证ABC EBF △∽△. 2.纵向定型法 AB DEH 'H AB C C 'B 'A '右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ,,恰为DEF △的三个顶点.因此只需证ABC DEF △∽△. 3.中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型,模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明,往往需要先进行变形,将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式,然后对比值进行等量代换,进而证明之.复合式的证明比较复杂.通常需要进行等线代换(对线段进行等量代换),等比代换,等积代换,将复合式转化为基本的比例式或等积式,然后进行证明.六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中,常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形,同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图:AD 平分BAC ∠交BC 于D ,求证:BD ABDC AC=.证法一:过C 作CE AD ∥,交BA 的延长线于E .∴1E ∠=∠,23∠=∠.∵12∠=∠,∴3E ∠=∠.∴AC AE =.∵AD CE ∥,∴BD BA BADC BE AC ==. 点评:做平行线构造成比例线段,利用了“A ”型图的基本模型.证法二;过B 作AC 的平行线,交AD 的延长线于E . ∴12E ∠=∠=∠,∴AB BE =.∵BE AC ∥,∴BD BE AB DC AC AC ==. 点评:做平行线构造成比例线段,利用了“X ”型图的基本模型.七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比,和线段的比进行相互转化来解决问题. 常用的面积法基本模型如下:如图:1212ABC ACD BC AHS BCS CDCD AH ⋅⋅==⋅⋅△△.321E DC A B BA CD E12图1:“山字”型HDCBA如图:1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△.如图:ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△.八、相似证明中的基本模型I H G FED CB AGF EDC BAEDCB A ED C BAEFDC BA F ED C BAOD C BAODC BAHE DCBAE DCBAEDCBAODCBAD C BD BA CAEDCB AD C B AG FEDCBAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBA图2:“田字”型G HODCBA图3:“燕尾”型CDEBAH PMNF EDCBAGHG FEDC BAE FDCBAFE DCBA【例题精讲】【例1】 如图,ABC △中,60ABC ∠=︒,点P 是ABC △内一点,使得APB BPC CPA ∠=∠=∠,86PA PC ==,,则PB = .【例2】 如图,已知ABC ∆中,:1:3AE EB =,:2:1BC CD =,AD 与CE 相交于F ,则AF EFFC FD +的值 A.52 B.1 C.32D.2【例3】 在ABC ∆中,BD CE =,DE 的延长线交BC 的延长线于P ,求证:AD BP AE CP ⋅=⋅.【例4】 如图,在ABC ∆的边AB 上取一点D ,在AC 取一点E ,使AD AE =,直线DE 和BC 的延长线相交于P ,求证:BP BDCP CE =【例5】 如图,M 、N 为ABC △边BC 上的两点,且满足BM MN NC ==,一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证:3EF DE =. PC BAA D EFC B PE D C B A N M E DCB AP E DC B A【例6】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证:111c a b=+.【例7】 如上图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分别为B 、D ,AC 和BD 相交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证明:111AB CD EF+=.【例8】 如图,已知三个边长相等的正方形相邻并排,求EBF EBG ∠+∠.【例9】 如图,已知////AB EF CD ,找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系,并证明你的结论.【例10】 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,直线l 平行于BD ,且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证:PM PN PR PS ⋅=⋅D C F EB A FDCEAB H GFED CB A lSR P N M O DC B ANM H D CF EB A【例11】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于E 、F ,对角线BD EF ∥,AC 的延长线交EF 于G .求证:EG GF =.【例12】已知:P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点,BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ,求证:1AD AEDC EB+=【例13】设P 、Q 分别是凸四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点,且AQ QD BP PC AB CD ==∶∶∶,求证:直线PQ 与AB 之间的夹角等于直线PQ 与CD 之间的夹角.【例14】如图,ABC △内有一点P ,过P 作各边的平行线,把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积123S S S ,,分别为112,,,则ABC △的面积是 . G F ECD B AP N M E D C B A QPEF D C B AP S 3S 2S 1I HGF E D CBA【例15】如图,梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22p q ,,则梯形的面积是( )A .()222p q + B .()2p q +C .22p q pq ++D .222222p qP q p q +++【例16】如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,两条对角线AC 、BD 相交于O ,若:1:9AOD COB S S =△△,那么:BOC DOC S S =△△ .【例17】如图所示,在ABC ∆中,60B ∠=︒,100A ∠=︒,E 为AC 的中点,80DEC ∠=︒,D 是BC 边上的点,1BC =,求ABC ∆的面积与CDE ∆的面积的两倍的和.【例17】如图,已知DE AB ∥,2OA OC OE =⋅,求证:AD BC ∥.q 2p 2O ABC D OAB C DE D C B A DOECB A【基础题型回顾】1、恒相似三角形第一:顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。
第二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似。