2018-2019学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试(期末)数学试题Word版含答案
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可． 【详解】 由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ． 【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值． 【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ． 【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （ ） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况， 所以他们选择相同交通工具的概率为3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为： 【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案． 【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n na a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n na -=， 即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末考试数学试题(PDF版)
（1）求 AB 的长度；
A
（2）求 ABC 的面积.
B
C
D
21．（12 分）
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC 的 顶 点 A(1，3) 、 B(3， 4) ， 边 AC 上 的 高 线 所 在 的 直 线 方 程 为 2x 3y 6 0 ，边 BC 上的中线所在的直线方程为 2x 3y 7 0 .
2AB AD
3
3
AC AB c
AC
sin
A
2
.
2
……12 分
21．（12 分）
解：（1）由题知 kAC
3 2
，直线
AC
方程为
y
3
3 2
(x 1)
，即 3x 2 y
9
0，
点 B 到直线 AC 的距离 d | 33 2 (4) 9 | 2 13 ； ……6 分 32 22
维护费用 y（万元）
4.5
4
3
2.5
使用年限 x（年）
34 5 6
（1）求出 y 关于 x 的回归直线方程 yˆ bˆx aˆ ；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10 万元？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 yˆ bˆx aˆ 的斜率和截
A． 6
B． 8 3
C． 8 3
D． 6
2． 已知 a，b R ，若关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集为 (1，3) ，则 a b
A． 7
B． 1
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2018-2019学年重庆市区县高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．62．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．73．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．284．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为( )A ．600B ．800C ．1000D ．12005．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．966．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．6010．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．912．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()ABBCACCBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x+>的解集为 ． 14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为 ．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆的面积为3cos bc A ，则cos sin B C +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=． （1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度； （2）求ABC ∆的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=． （1）求点B 到直线AC 的距离； （2）求ABC ∆的面积．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n na -为等比数列； （2）证明：2(61)n S <-．2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．6【解答】解：Q 向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，,a b r r 共线， ∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ．2．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．7【解答】解：由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．28【解答】解：{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ．4．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为()A ．600B ．800C ．1000D ．1200【解答】解：根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则 321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ．5．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．96【解答】解：1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ．6．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【解答】解：由已知220a b +>且a b >， 所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个【解答】解：4A π=Q，5a =，4c =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：22251624b b =+-⨯⨯⨯，可得：24290b b --=，(*)∴由△24680b ac =-=>，且两根之和为正、两根之积为负数，∴方程(*)有两个不相等的实数根，且只有一个正实数根，即有一个边b 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有一个解． 故选：B ．8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ．9．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．60【解答】解：由频率分布直方图得：这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得：222222a c b c a b ac +-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．9【解答】解：1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=； 122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ．12．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()AB BC AC CBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 【解答】解：由||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得： cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x +>的解集为 1(,)(0,)2-∞-+∞U ． 【解答】解：210x x+>同解于 2100x x +>⎧⎨>⎩或2100x x +<⎧⎨<⎩解得12x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为13． 【解答】解：甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为【解答】解：由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=， 联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l的最大距离d ==故答案为：16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +【解答】解：ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan A ∴=，6A π∴=．则11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin ))6223B C B A B B B B B B B B B ππ+=++=++=+++…，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）所有的选法有26C 种，A 同学被选中的方法有1115C C 种，故A 同学被选中的概率是 152613C P C ==．（2）所有的选法有26C 种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有1142C C 和22C 种选法， 故至少有1名女同学被选中的概率是1124222635C C C P C +==． 18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n a n b =32n n b -∴=则111(12)14(21)124n n n T ---==--． 19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,n i ii n ii x y nxyb a y bx x nx ==-==--∑∑． 【解答】解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+； （2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意可得222cos 1D sin D =-= 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g 2212622362=+-⨯=，则2AB = （2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-===g g ， 23sin 1A cos A =-=3cos AB AC A == ABC ∆的面积为1132sin 2322S AB AC A ===g g g g 21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d == （2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即(1,6)C ，||AC ∴= ABCd ∴∆的面积1||132S AC d ==g ． 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+． （1）证明：数列1{3}n n a -为等比数列； （2）证明：n S <． 【解答】证明：（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n n a a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n n a -=， 即132n n na =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=--．。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
2018-2019学年重庆一中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．102．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．203．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．27．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1169．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:311．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 ．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =-，521a =+，则2326372a a a a a ++等于 ．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2:1AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 ．16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2nn S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20．（12分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点．（1）若2BE BC CD ===，求三棱锥D BFC -的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(3n a b =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．10【解答】解：由等差数列{}n a 的性质，及1353a a a ++=， 333a ∴=， 31a ∴=，15535()552a a S a +∴===． 故选：A ．2．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．20【解答】解：每个个体被抽到的概率等于9013602701809=++，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为1270309⨯=，故选：C ．3．（5分）已知向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，∴(4,2)a b m +=+rr，若“//()a a b +r r r ”则2240m +-⨯=，解得：6m =，故“6m =”是“//()a a b +rr r ”的充分必要条件，故选：A ．4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r )A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【解答】解：在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r3144AB AC =-u u ur u u u r ， 故选：A ．6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．2【解答】解：Q 在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，∴1sin 2AB AC A =g g ，即122AC ⨯⨯=， 解得：1AC =，由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-=+-=g g ，则BC = 故选：B ．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为802060-=，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D错误，故选：D．8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为()A．53B．103C．56D．116【解答】解：设五个人所分得的面包为2a d-，a d-，a，a d+，2a d+，（其中0)d>；则，(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a-+-+++++==，20a∴=；由1(2)27a a d a d a d a d++++=-+-，得337(23)a d a d+=-；2411d a∴=，55/6d∴=；所以，最小的1分为110522063a d-=-=．故选：A ．9．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+【解答】解：340a b +>Q ，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b ab +=Q ， 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)121212123(4)72(4)743744444a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-+=+-----g …，当且仅当423a =+取等号． 故选：D ．10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:3【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，ABC ACD S S ∆∆∴=． D PAC P ACD P ABC V V V ---∴==． 2NB PN =Q ，23NB PB ∴=，23N ABC P ABCV V --∴=，13N PAC P ABC N ABC P ABC V V V V ----∴=-=．∴13N ABC D PAC V V --=． 故选：D ．11．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π【解答】解：取AD 的中点E ，Q 平面PAD ⊥平面ABC ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆ 为等腰直角三角形，∴四棱锥P ABCD -的外接球的球心为正方形ABCD 的中心O ，设半径为R ，则OE AD ⊥Q ，1PE = 112R ∴=+=，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为8π．故选：D ．12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：ABC ∆中设AB c =，BC a =，AC b =sin cos sin B A C =Q g ，sin()sin cos A C C A +=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A += sin cos 0A C ∴=sin 0cos 0A C ≠∴=Q 90C =︒Q 9AB AC =u u u r u u u rg ，6ABC S ∆=cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =5c ∴=，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0C ，0)(3A ，0)(0B ，4)P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3CP CA CB λλλ=+-=u u u r u u u r u u u r ，44)(01)λλ-剟 设1||CAe CA =u u u r u r u u ur ，2||CB e CB =u u u ru u r u u u r 则12||||1e e ==u r u u r ， 1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r，∴(||||CA CBCP x y x CA CB =+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，0)(0+，)(y x =，)y 可得3x λ=，44y λ=-则4312x y +=， 1243212x y xy =+…，3xy „故所求的xy 最大值为：3． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 2 ．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，1170(12451011)1757x +⨯++++++=，即1(33)57x ⨯+=， 即3335x +=， 解得2x =． 故答案为：2．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =，521a ，则2326372a a a a a ++等于 8 ．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中， 321a Q ，521a =，2326372a a a a a ∴++2233552a a a a =++235()a a =+2(2121)= 8=．故答案为：8．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 60︒ ．【解答】解：取11A C 的中点1D ，连接11B D ，D Q 是AC 的中点，11//B D BD ∴，11AB D ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成的角．连接1AD ，设AB a =，则12AA a =，13AB a ∴=，113B D ，2213242a AD a a =+=． 22211393144cos 23232a a a AB D a a+-∴∠==⨯⨯， 1160AB D ∴∠=︒．故答案为：60︒16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BE CF 的取值范围为 1(4，7)8． 【解答】解：设AB c =，AC b =，BC a =， 由题意得，3cos 3cos 2a B b A b +=，则由正弦定理可得：3sin cos 3sin cos 2sin A B B A B +=，即3sin()3sin 2sin A B C B +==，由正弦定理得，32c b =，即32b c =，Q 点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴由中线长定理得，222221112()2224BE a c b a c =+-=- 222221172()2222CF a b c a c =+-+∴BE CF ==a b c <+Q 且a c b +>，∴1522c a c <<，则1522a c <<， ∴2125()44a c <<， 2742()162a c ∴<+<，则1748， 则BF CF 的取值范围是1(4，7)8． 故答案为：1(4，7)8．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2n n S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，11a S =，由111111122S a a a +=+=，得：123a =．当2n …时，11111,122n n n n S a S a --=-=-．则111()2n n n n S S a a ---=-，即11()2n n n a a a -=-，所以11(2)3n n a a n -=…．Q 1203a =≠，∴113n n a a -=．故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．故11*1211()2()()333n n n n a a q n N --===∈g g ．（Ⅱ）Q 112n n S a +=，∴112n n S a -=．∴1111331(1)()13n n n b log Slog n ++=-==+．∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++． 所以，1223111111111111()()()233412222(2)n n n nT b b b b b b n n n n +=++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．【解答】证明：（1）1BB ⊥Q 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 1AB BB ∴⊥又AB BC ⊥，1BB BC B =I ，AB ∴⊥平面11B BCC而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC（2）取AC 的中点G ，连结1C G 、FG ，F Q 为BC 的中点，//FG AB ∴又E 为11A C 的中点1//C E AG ∴，且1C E AG =∴四边形1AEC G 为平行四边形，1//AE C G ∴∴平面1//C GF 平面EAB ，而1C F ⊂平面1C GF ，1//C F∴平面EAB．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，解得0.035a=．（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁，设中位数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5x⨯+⨯+-⨯=，解得42.1x=岁．20．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC CE=，点F为CE的中点．（1）若2BE BC CD===，求三棱锥D BFC-的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC BC ⊥，DC ∴⊥平面BCE ，2BE BC CD ===Q ，∴1113(13)2332D BFC BFC V S DC -==⨯⨯⨯⨯=g ； （2）当P 为AE 中点时，有PM BE ⊥．证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，P Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，//PH AB ∴，又//AB CD ，//PH CD ∴，则P ，H ，C ，D 四点共面． Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =， CD ⊂平面ABCD ，CD BC ⊥，CD ∴⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，CD BE ∴⊥，BC CE =Q ，H 为BE 的中点，CH BE ∴⊥，又CD CH C =I ，BE ∴⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，BE PM ∴⊥，即PM BE ⊥．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．【解答】解：（1）Q (sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =-r ，)b c +，且m n ⊥r r，sin ()(sin sin )()0A a B C b c ∴+-+=，利用正弦定理化简得：()()()0a a b c b c ++-=，即222a b c +-=，222cos 22a b c C ab +-∴==， (0,)C π∈Q ，6C π∴=；（2）由（1）得56A B π+=，即56B A π=-， 又ABC ∆为锐角三角形， ∴506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：32A ππ<<，1c =Q ，∴由正弦定理得：12sin sin sin sin 6a b c A B C π====， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos 2sin()6666b A B A A A A A A A A ππππ-=-=-+=---=-， Q32A ππ<<，∴663A πππ<-<，∴1sin()26A π<-<12sin()6A π<-<b -的取值范围为．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…【解答】解：（1）证明：121111222244222222n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a ++++++-----===-----， 而124b -={2}n b ∴-是以4为首项2为公比的等比数列，112222n n n n b b ++-==+即11222n n n a a ++-=+，1111222n n n n n a a ++-=+累加法可求出111()222n n n a n -=+- ∴1(21)22n n a n -=+-；（2）111(21)22n n n c a n -==+-， 123111,,826c c c ===1458.09364k T k ⇒剠，2459.1364k T k ⇒剠，3459.41364kT k ⇒剠由条件知当4n …时，122n n -…， 即121111111()(21)22422(22)(21)(21)(21)22121n n c n n n n n n n n n -==<=-+-+-+-+--+„ ∴123451121111899189945()()9.910427217282(21)728364n n n kT c c c c c c c k n n -=+++++⋯++<+-=-<⇒++剠而*k N ∈综上所述k 的最小值为10．。
2018-2019学年重庆市高一下学期期末联考数学试题(文科)
2018-2019学年重庆市高一下学期期末联考数学试题（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．向量=（5，2），=（﹣4，﹣3），=（x，y），若3﹣2+=，则=（）A．（23，12） B．（7，0）C．（﹣7，0） D．（﹣23，﹣12）3．已知向量，不共线， =k+，（k∈R），=﹣如果∥那么（）A．k=﹣1且与反向B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向D．k=1且与同向4．在等差数列{an }中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（）A．﹣2 B．C．2 D．﹣5．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C． D．16．已知等差数列{an }的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．9 B．3 C．﹣3 D．﹣97．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．若点M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A．B．C．D．210．已知公差不为零的等差数列{an }与公比为q的等比数列{bn}有相同的首项，同时满足a1，a 4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2=（）A．B．C．D．11．设Sn 表示等差数列{an}的前n项和，已知，那么等于（）A．B．C．D．12．已知数列{an }的通项an=10n+5，n∈N *，其前n项和为Sn，令，若对一切正整数n，总有Tn≤m成立，则实数m的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C= 度．14．三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．15．若，则= ．16．设等比数列{an }满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．18．（12分）已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且a11=﹣26，a51=54，求an 和S20的值．19．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），若⊥，边长c=2，角C=，则△ABC的面积是．20．（12分）已知数列{an }满足a1=2，an+1=4an+3，求数列{an}的通项公式．21．（12分）等差数列{an }的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求an 与bn；（2）求和：．22．（12分）在等差数列{an }中，a10=30，a20=50．（1）求数列{an }的通项an；（2）令 bn =2，证明数列{bn}为等比数列；（3）求数列{（2n﹣1）bn }的前n项和Tn．2018-2019学年重庆市高一下学期期末联考数学试题（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】通过观察可得：奇数项为0，偶数项为1，即可得出通项公式．=．【解答】解：0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是an故选：A．【点评】本题考查了通过观察求数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．向量=（5，2），=（﹣4，﹣3），=（x，y），若3﹣2+=，则=（）A．（23，12） B．（7，0）C．（﹣7，0） D．（﹣23，﹣12）【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的四则运算法则，即可求得向量．【解答】解：3﹣2+=0，则（15，6）﹣（﹣8，﹣6）+（x+y）=，∴，解得：，则=（x，y）=（﹣23，﹣12），故选D．【点评】本题考查向量的四则运算法则，考查计算能力，属于基础题．3．已知向量，不共线， =k+，（k∈R），=﹣如果∥那么（）A．k=﹣1且与反向B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向D．k=1且与同向【考点】96：平行向量与共线向量；9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据条件和向量共线的等价条件得，，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k和λ的值即可．【解答】解：∵，∴，即k=，得，解得k=λ=﹣1，∴=﹣=﹣，故选A．【点评】本题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．4．在等差数列{an }中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（）A．﹣2 B．C．2 D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a3=0，a7﹣2a4=﹣1，∴a1+2d=0，a1+6d﹣2（a1+3d）=﹣1，∴a1=1，d=﹣，故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选B【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ） A ．9B ．3C ．﹣3D ．﹣9【考点】8G ：等比数列的性质．【分析】先把等差数列{a n }中a 3，a 4用a 1，d 表示，再根据a 1，a 3，a 4成等比数列，得到关于a 1的方程，解出a 1即可．【解答】解；∵等差数列{a n }的公差为3，∴a 3=a 1+6，a 4=a 1+9 又∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 32=a 1a 4，即（a 1+6）2=a 1（a 1+9） 解得，a 1=﹣12，∴a 2=a 1+3=﹣12+3=﹣9 故选D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的概念，属于数列的基础题．7．在△ABC 中，若b=asinC ，c=acosB ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【考点】GZ ：三角形的形状判断．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=．再由sinC=sinB ，利用正弦定理可得c=b ，可得△ABC 的形状为等腰直角三角形． 【解答】解：在△ABC 中，∵b=asinC ，c=acosB ， 故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC ，sinC=sinAsinB ， ∴sinB=sinAsinAsinB ，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB ，∴由正弦定理可得c=b ，故△ABC 的形状为等腰直角三角形， 故选：C ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8．若点M 是△ABC 的重心，则下列向量中与共线的是（ ）A ．B ．C ．D．【考点】96：平行向量与共线向量；L%：三角形五心．【分析】利用三角形重心的性质，到顶点距离等于到对边中点距离的二倍，利用向量共线的充要条件及向量的运算法则：平行四边形法则将用三边对应的向量表示出．【解答】解：∵点M是△ABC的重心，设D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，∴=，同理，，∴=，∵零向量与任意的向量共线，故选C．【点评】本题考查三角形的重心的性质：分每条中线为1：2；考查向量的运算法则：平行四边形法则．9．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A．B．C．D．2【考点】HP：正弦定理．【分析】由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．【解答】解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc•sinA=•，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc•cosA=13，∴a=．∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．10．已知公差不为零的等差数列{an }与公比为q的等比数列{bn}有相同的首项，同时满足a1，a 4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2=（）A．B．C．D．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an }的公差为d（d≠0），由a1=b1，结合a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差列式求得答案．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d（d≠0），且a1=b1，由a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，得①，②，又a1=b1，解得：．故选：C．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题．11．设Sn 表示等差数列{an}的前n项和，已知，那么等于（）A．B．C．D．【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】先根据等差数列的前n项和公式由可得a1与d的关系，再代入到即可求得答案．【解答】解：根据等差数列的前n项和公式得到=∴a1=3d==故选B．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式．属基础题．12．已知数列{a n }的通项a n =10n+5，n ∈N *，其前n 项和为S n ，令，若对一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，则实数m 的最小值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．不存在【考点】8E ：数列的求和．【分析】数列{a n }的通项a n =10n+5，n ∈N *，其前n 项和为S n =5n 2+10n ．可得=，作差T n+1﹣T n ，利用其单调性即可得出．【解答】解：数列{a n }的通项a n =10n+5，n ∈N *， 其前n 项和为S n ==5n 2+10n ．=，T n+1﹣T n =﹣=，可得：T 1＜T 2＞T 3＞T 4＞…． 可得T n 的最大值为T 2．∵对一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，则实数m ≥T 2=2． ∴m 的最小值是2． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、作差法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=7：8：13，则C= 120 度． 【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理可将sinA ：sinB ：sinC 转化为三边之比，进而利用余弦定理求得cosC ，故∠C 可求．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c ， ∴a ：b ：c=7：8：13，令a=7k ，b=8k ，c=13k （k ＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案为120．【点评】此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求角，体现了正、余弦定理的综合运用．14．三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．【考点】84：等差数列的通项公式；8G：等比数列的性质．【分析】根据题意设3个数为：a﹣d，a，a+d，根据条件列方程，解之即可（注意取舍）．【解答】解：设这三个数为：a﹣d，a，a+d，则，解之得或（舍去）故所求的三个数为3，5，7．【点评】本题考查数列的设法，以及等差数列，等比数列的性质，本题的设法大大减少了运算量！15．若，则= 4037 ．【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（）+f（x）=2，由此能求出的值．【解答】解：∵，∴f（）+f（x）=+==2，∴=2018×2+f（1）=4036+=4037．故答案为：4037．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．设等比数列{an }满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为64 ．【考点】8I：数列与函数的综合；8G：等比数列的性质．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比数列{an }满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a 1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•巫溪县校级期中）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量相等即可得出．（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）=m+n，∴（1，3）=m（﹣1，2）+n（2，1）．∴，解得m=n=1．（2）+k=（1+2k，3+k），2﹣=（﹣3，1），∵（+k）∥（2﹣），∴﹣3（3+k）=1+2k，解得k=﹣2．【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）（2017春•巫溪县校级期中）已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn ，且a11=﹣26，a51=54，求an和S20的值．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a11=﹣26，a51=54，∴，解得a1=﹣46，d=2．∴an=﹣46+2（n﹣1）=2n﹣48．S20==﹣540．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2012•徐汇区一模）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），若⊥，边长c=2，角C=，则△ABC的面积是．【考点】HX：解三角形；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，由此即可求出三角形的面积．【解答】解：∵ =（a，b），=（b﹣2，a﹣2），⊥，∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴ab2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S△ABC=absinC=×4×sin=故答案为：【点评】本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用向量知识是关键．20．（12分）（2017春•巫溪县校级期中）已知数列{an }满足a1=2，an+1=4an+3，求数列{an}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【分析】根据数列递推式，变形可得数列{an+1}是以3为首项，以4为公比的等比数列，由此可得结论．【解答】解：由题意an+1=4an+3可以得到an+1+1=4an+3+1=4（an+1）所以数列{an +1}是以a1+1=3为首项，以4为公比的等比数列．则有an+1=3×4n﹣1，所以an=3×4n﹣1﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2008•江西）等差数列{an }的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求an 与bn；（2）求和：．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）设{an }的公差为d，{bn}的公比为q，由题设条件建立方程组，解这个方程组得到d和q的值，从而求出an 与bn．（2）由Sn=n（n+2），知，由此可求出的值．【解答】解：（1）设{an }的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n﹣1）d，bn=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故an =3+2（n﹣1）=2n+1，bn=8n﹣1（2）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．22．（12分）（2017春•巫溪县校级期中）在等差数列{an }中，a10=30，a20=50．（1）求数列{an }的通项an；（2）令 bn =2，证明数列{bn}为等比数列；（3）求数列{（2n﹣1）bn }的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）等差数列{an }中，由a10=30，a20=50．解得a1=12，d=2，由此能求出数列{an}的通项an．（2）由an =2n+10，知bn=═22n=4n，由此能够证明数列{bn}是等比数列．（3）（2n﹣1）bn =（2n﹣1）4n，由此利用错位相减法能求出数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn ．【解答】解：（1）设等差数列{an }的首项为a1，公差为d，由an =a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得，解得．∴an=12+2（n﹣1）=2n+10；数列{an }的通项an=2n+10；（2）证明：∵an=2n+10，∴bn==22n=4n，∴∴==4，∴数列{bn }是以首项b1=4，公比为4的等比数列．（3）∵（2n﹣1）bn=（2n﹣1）4n，∴Tn=1•4+3•42+…+（2n﹣1）4n，①4Tn=1•42+3•43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，②①﹣②，得﹣3Tn=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1，=﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=×4n+1﹣，Tn=×4n+1+，数列{（2n﹣1）bn }的前n项和Tn，Tn=×4n+1+．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．。
重庆市四区2018_2019学年高一数学下学期联合期末考试评估试题含解析
【答案】C
【解析】
∵ 为等比数列,公比为 ,且
∴
∴ ，则
∴
∴
∴ ，
∴数列 是以4为首项,公差为 的等差数列
∴数列 的前 项和为
令
当 时，
∴当 或9时， 取最大值。
故选C
点睛：（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时,有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；
2.函数 的定义域为( ）
A。 B。 C. D.
【答案】C
【解析】
要使函数有意义，需使 ，即 ,所以
故选C
3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A。 B。 C。 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用前 项和 的性质可求 的值.
【详解】设 ，则
，故 ，故 ，
,故选C。
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
A。 北偏东 ； B。 北偏东 ；
C。 北偏东 ； D. 北偏东 ；
【答案】B
【解析】
解：因为利用解三角形正弦定理和余弦定理可知一轮船从A点沿北偏东70°的方向行10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行至海岛C则向北偏东40°；10
8.设x，y满足约束条件 ，则z=x-y的取值范围是
（2)求等差数列的前 项和最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法：当 时，满足 的项数 使得 取得最大值为 ；当 时，满足 的项数 使得 取得最小值为 .
2018-2019学年重庆市实验外国语学校高一下学期高中学业质量调研抽测数学试题 (解析版)
2018-2019学年重庆市实验外国语学校高一下学期高中学业质量调研抽测数学试题一、单选题1．若(),2a x =r ，()2,1b =r ，//a b r r，则x =（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】D【解析】由//a b r r可得1220x ⨯-⨯=，解出即可【详解】因为(),2a x =r ，()2,1b =r ，//a b r r所以1220x ⨯-⨯=，即4x = 故选：D 【点睛】若()()1122,,,a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是12210x y x y -=2．我国某城市2019年4月的空气质量状况统计如下表所示:当50T ≤时，空气质量为优；当50100T <≤时，空气质量为良；当100150T <≤时，空气质量为轻微污染.该城市2019年4月空气质量达到良或优的概率为（ ） A ．35B ．1180C ．119D ．56【答案】A【解析】由表知，4月空气质量达到良或优的有18天，即可算出概率 【详解】由表知，4月空气质量达到良或优的有351018++= 故概率为183305= 故选：A【点睛】本题考查的是概率中的古典概型，较简单3．把红､蓝､黑､白4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件B ．必然事件C ．互斥但不对立事件D ．不可能事件【答案】C【解析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生 【详解】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生， 也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件 故选：C 【点睛】两个事件互斥指的是不能同时发生，两个事件对立指的是不能同时发生，但必有一个发生.4．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且222c a b =+，则角C 的大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．34π D ．23π 【答案】B【解析】直接由余弦定理即可得出 【详解】由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-因为222c a b =+所以cos 2C =，因为()0,C π∈ 所以4C π=故选：B 【点睛】本题考查的是余弦定理的直接运用，较简单.5．某景点为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据，绘制了下面的折线图:根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．各年1月至8月月接待游客量逐月增加 B ．各年8月至12月月接待游客量逐月递减 C ．各年的月接待游客量最低峰期在12月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】观察折线图即可得出 【详解】由折线图可知，各年1月至8月月接待游客量并不是逐月增加， 各年8月至12月月接待游客量也不是逐月递减， 2016年的月接待游客量最低峰期在1月各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小， 变化比较平稳 故选：D 【点睛】本题考查的是折线图的知识，较简单.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =，466a a +=，当n S 取最大值时，则n =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】先求出公差d ，然后求出n S ，运用二次函数的知识求出即可 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d因为111a =，466a a +=所以461131156d a d a =+++=+ 所以2d =-， 所以2(1)11(2)122n n n n n S n -=+⨯-=-+ 所以当6n =时n S 取最大值 故选：B 【点睛】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，但要注意定义域是正整数集.7．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．12B ．18C ．14D ．38【答案】D【解析】先求出基本事件总数n ＝4×4＝16，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n ＝4×4＝16， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3） 共有m ＝6个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p 63168==． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 8．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*3log n S n n N =∈，则数列{}na 是（ ）A ．公比为3的等比数列B ．公差为3的等差数列C ．公比为13的等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列【答案】D【解析】由3log n S n =得3nn S =，然后利用n a 与n S 的关系即可求出n a【详解】因为3log n S n =，所以3nn S =所以当1n =时，113a S ==2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅所以13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 故数列{}n a 既非等差数列，也非等比数列 故选：D 【点睛】要注意由n S 求n a 要分两步：1. 1n =时11a S =，2. 2n ≥时1n n n a S S -=-.9．已知同一平面内的向量a r ，b r ，c r 满足2a =r ，2b =r ，3c =r ，且a r ，b r ，c r 两两所成的角相等，则a b c ++r r r等于（ ）A ． 1BC ．7或1D ．7【答案】C【解析】由a r ，b r ，c r 两两所成的角相等得a r ，b r ，c r两两所成的角为0︒或120︒，然后先算出()2a b c ++r r r 即可【详解】因为a r ，b r ，c r两两所成的角相等 所以a r ，b r ，c r两两所成的角为0︒或120︒①当a r ，b r ，c r两两所成的角为0︒时，4,6,6a b a c b c ⋅=⋅=⋅=r r r r()2222222a b ca b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅r r r r r r r r r r4498121249=+++++=所以7a b c ++=r r r②当a r ，b r ，c r两两所成的角为120︒时，2,3,3a b a c b c ⋅=-⋅=-⋅=-r r r r()2222222a b ca b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅r r r r r r r r r r4494661=++---=所以1a b c ++=r r r综上：a b c ++r r r=7或1故选：C 【点睛】本题考查的是向量数量积的有关运算，较简单. 10．已知数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，…，那么数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ） A ．1411n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．11421n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭C ．111n -+ D ．1121n -+ 【答案】A【解析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++L ，然后用裂项相消法即可求出11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 【详解】因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++L 所以114114()(1)1n n a a n n n n +==-++ 所以11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111114(1)412233411n n n ⎛⎫-+-+-++-=- ⎪++⎝⎭L故选：A数列求和的常见方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.11．已知A ，B ，C 三点共线，且573OA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r，其中5a ，7a 是各项都为正数的等差数列{}n a 中的两项，则21012a a +的取值范围为（ ） A．)3⎡++∞⎣ B．13⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭C ．[)4,+∞D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由A ，B ，C 三点共线，且573OA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r可得573a a +=，即2103a a +=然后将21012a a +与210a a +相乘，运用基本不等式即可解出范围 【详解】因为A ，B ，C 三点共线，且573OA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r所以573a a += 因为{}n a 为等差数列 所以2103a a +=因为()210210221010121223a a a a a a a a ⎛⎫+=+++≥+ ⎪⎝⎭+当且仅当102212a a a a =，即2103,6a a ==-所以210121a a +≥+故选：A 【点睛】若A ，B ，C 三点共线，且OA OB OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则1λμ+=12．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，cos sin a b C B =+，且b =22a c +的取值范围为（ ）A ．(]3,6B ．(]5,6C ．[]3,6D ．()3,5【解析】由条件cos sin a b C B =+可得出60B =︒，然后由余弦定理可得223a c ac +-=，然后运用基本不等式即可求出范围【详解】因为cos sin a b C B =+所以sin sin cos sin A B C C B =+因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+所以sin sin cos sin 3C B B C =，因为sin 0C ≠所以cos 3B B =，即tan B =因为()0,90B ∈︒︒，所以60B =︒ 所以由余弦定理得：223a c ac +-=所以222232a c a c ac ++-=≤（当且仅当a c =时等号成立）解得226a c +≤又因为ABC ∆是锐角三角形 所以2223a c b +>=所以22a c +的取值范围为(]3,6 故选：A 【点睛】在三角形中，角A 是锐角⇔222a b c <+，角A 是直角⇔222a b c =+，角A 是钝角⇔222a b c >+二、填空题13．已知2a =r ，a r 与e r 的夹角3πθ=，则a r 在e r 方向上的投影为______.【解析】a r 在e r方向上的投影为cos a θr ，算出即可【详解】因为2a =r ，a r 与e r 的夹角3πθ=所以a r 在e r 方向上的投影为1cos 212a θ=⨯=r故答案为：1 【点睛】本题考查的是向量投影的计算，较简单.14．某国产芯片车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，用最小二乘法求得线性回归方程为:$0.6246.4y x =+. 零件数x (个) 1020304050加工时间(min ) 52657078现发现表中有一个数据模糊不清，则该数据的值为______. 【答案】60【解析】由点(),x y 在直线$0.6246.4y x =+上即可算出 【详解】 因为1020304050305x ++++==点(),x y 在直线$0.6246.4y x =+上 所以0.623046.465y =⨯+= 设这个模糊不清的数为a ，则有52657078655a ++++=，解得60a =故答案为：60 【点睛】线性回归直线一定过点(),x y15．在“某世界园艺博览会”园区内，北京园在A 处，重庆园在B 处，现要测量A 与B 之间的距离，在河对岸选取相距3km 的C ､D 两点，并测得75ACB ∠=︒，30ADC ∠=︒，45BCD ADB ∠=∠=︒，则A 与B 之间的距离为______km .5【解析】先在BCD ∆中由正弦定理算出BC ，然后在ABC ∆中用余弦定理即可求出AB 【详解】在BCD ∆中，45BCD ADB ∠=∠=︒，30ADC ∠=︒ 所以有75BDC ∠=︒,60DBC ∠=︒ 所以由正弦定理得：sin sin CD BCDBC BDC=∠∠ 即3sin 60sin 75BC=︒︒，解得622BC = ACD ∆中可得3AC CD ==在ABC ∆中由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠2626262323++-=+-⎝⎭=5所以5AB =5【点睛】本题考查的是正余弦定理的实际应用，较简单. 记住6262sin 75cos15,cos 75sin1544︒=︒=︒=︒=. 16．已知0a >，0b >，下面四个结论:①22ab a b a b +≤+；②2222a b a b ++>a b >，则22c c a b ≤； ④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为22其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上) 【答案】①③④【解析】①可以由222a b ab +≥得2224a b ab ab ++≥，然后变形可得是正确的，②可以由222a b ab +≥得222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，然后变形可得是错误的，③可以由不等式的性质推导出来，④是将()1112211a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式推导出来. 【详解】因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥ 即2()4a b ab +≥ 所以22ab a ba b +≤+，故①正确 因为222a b ab +≥所以222222()2()a b a b ab a b +≥++=+2a b +≥，故②错误 因为0a b >>，所以11a b< 因为2c ≥0，所以22c c a b≤，故③正确因为()112(1)1122121111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=+++⎪++++⎝⎭3≥+，当且仅当2(1)111b a a b ++=++即a b == 取得最小值因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+即2a b +≥，故④正确 故答案为：①③④ 【点睛】0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥≥=++三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）212n a n =-（2）211434nn S n n =--⋅+【解析】（1）由36a =-，60a =求出1,a d 即可（2）先求出n b ，然后用分组求和法求出{}n n a b +的前n 项和 【详解】（1）设等差数列的{}n a 公差为d 则有316126,50a a d a a d =+=-=+= 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⨯=- （2）因为18b =-，2123b a a a =++所以212310(8)(6)24b a a a =++=-+-+-=- 所以等比数列{}n b 的公比为3 所以()183n n b -=-⨯所以{}n n a b +的前n 项和为1122n n n S a b a b a b =++++++L 1212n n a a a b b b =++++++L L(1)8(13)102213n n n n ---=-+⨯+- 211434n n n =--⋅+本题考查的是等差、等比数列的基本运算，较简单.18．把某校n 名学生的一次考试成绩(单位:分)分成5组得到的频率分布直方图如图所示，其中落在[)80,90内的频数为180.（1）请根据图中所给数据，求出本次考试成绩的中位数(保留一位小数)；（2）从这5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，在[)50,60与[]90,100内的样本中，再随机抽取两名学生的成绩，求所抽取两名学生成绩的平均分不低于70分的概率. 【答案】（1）76.4 （2）910【解析】（1）先求出a ，然后设出中位数，建立方程即可（2）分别算出这两组取的人数，然后把所有情况列举出来，数出满足的个数，即可算出概率 【详解】（1）因为()0.0050.02250.0350.0075101a ++++⨯= 所以0.03a =设本次考试成绩的中位数为x ，则有0.050.225(70)0.0350.5x ++-⨯=解得76.4x =（2）[)50,60这组中应抽：400.052⨯=人，记作,a b[]90,100这组中应抽：400.0753⨯=人，记作,,c d e那么从这两组中抽取2个人有：其中平均分不低于70分有9种 所以概率为910【点睛】频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，每个矩形的面积表示的是对应组的频率. 19．2019年4月25日至27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.这几年全球“一带一路”项目建设投入资金逐年增长，2014年至2018年投入资金统计如下表:（1）求y 关于t 的线性回归方程y a bt =+$$$；（2）用所求线性回归方程预测2019年的“一带一路”项目建设投入资金.附:回归方程y a bt =+$$$中()()()1122211ˆˆˆnni i i ii i nni ii i t t y y t y ntyb t t tnt ay bt ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1） 1.60.2y t =+$（2）9.8万亿元【解析】（1）先求出3,5t y ==，然后算ˆb，最后算ˆa （2）算出6t =时对应的值即可 【详解】（1）因为3,5t y ==所以1223354758535ˆ=1.6149162559b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=++++-⨯=5 1.630.2ˆˆay bt =--⨯= 所以y 关于t 的线性回归方程 1.60.2y t =+$ （2）当6t =时，9.8y =$所以预测2019年的“一带一路”项目建设投入资金为9.8万亿元本题考查的是线性回归方程的计算，较简单.20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a A c B b C =+. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，求ABC ∆周长的取值范围和面积的最大值. 【答案】（1）3A π=（2）(]6,9 【解析】（1）将2cos cos cos a A c B b C =+转化为2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+，即2sin cos sin A A A =，然后可求出（2）由余弦定理得229b c bc =+-，然后由基本不等式求出b c +的范围，即可得出周长的范围. 【详解】（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+ 所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+ 所以2sin cos sin()sin A A B C A =+= 因为sin 0A ≠，所以1cos 2A = 因为()0,A π∈，所以3A π=（2）因为3a =由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 即229b c bc =+- 所以229b c bc =+-2229()3b c bc b c bc =+-=+-因为()24b c bc +≤所以()229()34b c b c bc +=+-≥所以6b c +≤，当且仅当b c =时等号成立 又因为3b c a +>=，所以(]3,6b c +∈ 即周长的范围是(]6,9已知一边及其对角，求周长或面积范围的方法：1.用余弦定理结合基本不等式；2.用正弦定理转化为三角函数.21．已知点()0,0O ，()1,0A -，()1,B m ，()2,C x x ，设()f x AC OB =⋅u u u r u u u r.（1）若不等式()2232x x m f x ---+≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若m R ∈，解不等式()2f x mx <+. 【答案】（1）2m ≥（2）见解析【解析】（1）先求出()f x ，即2(2)410m x x m +++-≥对一切实数x 恒成立，分两种情况讨论，（2）()2f x mx <+可化为(+1)(1)0mx x -<，然后分五种情况讨论. 【详解】因为()()21,,1,AC x x OB m =+=u u u r u u u r所以()21f x AC OB x mx =⋅=++u u u r u u u r因为不等式()2232x x m f x ---+≥对一切实数x 恒成立即222321mx m x x x +-+--+≥ 即2(2)410m x x m +++-≥ 当2m =-时得34x ≥，不成立 当2m ≠-时有+2>0164(2)(1)0m m m ⎧⎨∆=-+-≤⎩解得2m ≥综上：实数m 的取值范围2m ≥ （2）因为212x mx m ++<+ 所以(+1)(1)0mx x -<①当0m >时解集为11x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭②当0m =时解集为{}1x x < ③当10m -<<时解集为{1x x m>-或}1x <⑤当1m <-时解集为{1x x >或1x m ⎫<-⎬⎭【点睛】解含参的一元二次不等式需要从以下几个方面讨论：1.二次系数的符号，2.根的个数，3.根的大小.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，2432n n S a n +=+恒成立. （1）设1n n b a =-，求证:数列{}n b 为等比数列；（2）设()311log 11n n n a c a ++-=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证:1334n T ≤<.【答案】（1）证明见详解，（2）证明见详解【解析】（1）由2432n n S a n +=+可得132n n a a -=-，然后证明1nn b b -为常数即可 （2）先算出3n nnc =，然后用错位相减法求出n T 【详解】（1）由2432n n S a n +=+①得1124322n n S a n --+=+-②由①-②可得：12332n n n a a a -=-+ 即132n n a a -=-所以1111113331n n n n n n b a a a a b ------=--== 由①知，112432S a +=+ 所以12a =，所以11b =故{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列（2）由（1）中可得13n n b -=所以()313111log 1log 13n n n n n n a b nc a b ++++-===-所以231123133333n n n n n T --=+++++L ③所以234111231333333n n n n n T +-=+++++L ④ 所以③-④得23121111333333n n n nT +=++++-L111113312+31322313nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-⋅- 所以1323143n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为12303n n ++>，所以34nT < 又因为113n T T ≥=所以：1334n T ≤<【点睛】数列求和的常见方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.。
重庆市四区2018-2019年高一下学期高中联合调研评估测试(期末)数学试题及答案
2018-2019学年度上期重庆市高中联合调研评估测试高一数学 试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A.12B.22C.14D.242.函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A.(－4，－1) B.(－4，1) C.(－1，1) D.(－1，1] 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D.4 4.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A.－14 B.14 C.－23 D.235.已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 等于( ) A.9 B.21 C.27 D.366.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x －3y 的最小值为( )A.9B.－6C.－9D.6 7.如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ( ) A.北偏东60°；102 B.北偏东40°；10 3 C.北偏东30°；103 D.北偏东20°；1028.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3] 9.当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，6)B.(－∞，6]C.[6，＋∞)D.(6，＋∞)10.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ，b ＞0)的最大值为8，则a＋b 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8 11.等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A.－9 B.－15 C.15 D.±1512.在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1).若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A.8B.9C.8或9D.17 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为________.14.若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3有解，则实数a 的取值范围为________.15.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则使a n ＜25成立的n 的最大值为________. 16.已知△ABC 的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ，1)(k ＞1)，m ·n 的最大值为5，求k 的值. 18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋2－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A ，B ，C 三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A ，B ，C 三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A ，B ，C 三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？20.(12分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.(12分)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，并且sin A ·sinC ＝cos 2B ，S △ABC ＝43，求a ，b ，c .22.(12分)已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足a 1＝2，a n ≠1，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0.(1)求证a n ＋1＝34a n ＋14；(2)求数列{a n －1}的通项公式；(3)若b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求{b n }中的最大项.2018-2019学年度上期重庆市高中联合调研评估测试高一数学 答案1.解析 由正弦定理得sin C ＝c ·a sin A ＝4×2＝21. 答案 A2.解析 由题－x2－3x ＋4＞0x ＋1＞0，⇒－1＜x ＜1. 答案 C3.解析 设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2， ∴S 4＝16，S 6＝36，∴S4S6＝49. 答案 C4.解析 由题意知，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝2ab a2＋b2－c2＝2·3k ·2k （3k ）2＋（2k ）2－（4k ）2＝－41. 答案 A5.解析 S 3＋a n ＋a n －1＋a n －2＝4＝3(a 1＋a n )， ∴a 1＋a n ＝34，又S n ＝2n （a1＋an ）＝3＝18， ∴n ＝27. 答案 C6.解析 作出可行域如图所示的阴影部分.由目标函数z ＝x －3y 得：y ＝31x －3z， ∴－3z为直线在y 轴上的截距.∴平移直线l 0：y ＝31x ，当直线经过点A 时，z 取得最小值. ∵2x ＋y －9＝0，x －y ＝0，∴y ＝3，x ＝3，∴A (3，3). ∴z min ＝3－3×3＝－6. 答案 B7.解析 由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×1021＝300， 所以AC ＝10. 答案 B8.解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B9.解析 由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋x 9恒成立.又有x ＋x 9≥2 x 9＝6，当且仅当x ＝x 9，即x ＝3时，等号成立.则实数m 的取值范围是(－∞，6). 答案 A10.解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1，4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，即ab ＝4，所以a ＋b ≥2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立.所以a ＋b 的最小值为4.答案 B11.解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝210（a1＋a10）＝±15. 答案 D12.解析 ∵a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， ∴a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根. 又∵等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， ∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q 2＝a3a5＝41，∴q ＝21.∴a n ＝4·21＝21，∴b n ＝log 2a n ＝5－n . ∴S n ＝2（9－n ）·n ，∴n Sn ＝29－n .T n ＝1S1＋2S2＋…＋n Sn ＝41(－n 2＋17n )＝414289.∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值. 答案 C13.解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝2bc bc＝21，∴A ＝60°.由正弦定理得sin A a ＝sin B b ，∴sin B ＝2a 3b. ∴bsin B c ＝b22ac ＝32. 答案 3314.解析 由题意知，只需y ＝x 2－ax －a 的最小值不大于－3即可. 即4－4a －a2≤－3， 解得a ≤－6或a ≥2.答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞) 15.解析 易知{}为等差数列，首项为＝1，公差为1， ∴＝1＋(n －1)＝n ， ∴a n ＝n 2，令n 2＜25，∴n ＜5，∴n ≤4. 答案 416.解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a 为最长边，故a ＝b ＋4，c ＝b －4，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)cos 120°， 化简得b 2－10b ＝0， ∴b ＝10或b ＝0(舍去)， ∴c ＝6，S △ABC ＝21bc sin A ＝15.答案 1517.解 (1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 故cos B ＝21，所以B ＝3π.(2)m·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 其中A ∈32π，设sin A ＝t ，t ∈(0，1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2.又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值. 由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝23. 18.解 (1)因为S n ＝2n ＋2－4，所以a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－4－(2n ＋1－4)＝2n ＋1，显然a 1也符合该表达式.所以a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝a n ·log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2，②②－①得，T n ＝－2·22－23－24－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－1－223（1－2n －1）＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝n ·2n ＋2.19.解 设从甲到A 调运x 吨，从甲到B 调运y 吨，从甲到C 调运(300－x －y )吨，则从乙到A 调运(200－x )吨，从乙到B 调运(450－y )吨，从乙到C 调运(100＋x ＋y )吨，设调运的总费用为z 元，则z ＝6x ＋3y ＋5(300－x －y )＋5(200－x )＋9(450－y )＋6(100＋x ＋y )＝2x －5y ＋7 150.由已知得约束条件为100＋x ＋y ≥0，450－y ≥0， 整理得x ＋y ≤300，0≤y ≤450，画可行域并平移直线2x －5y ＝0可得最优解为x ＝0，y ＝300.即从甲到B 调运300吨，从乙到A 调运200吨，从乙到B 调运150吨，从乙到C 调运400吨，总运费最小.20.解 (1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ，所以k ＝2，所以x ＝3－m ＋12， 每件产品的销售价格为1.5×x 8＋16x(万元)， 所以年利润y ＝x ·x 8＋16x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8m ＋12－m ＝－＋（m ＋1）16＋29(m ≥0). (2)因为m ≥0时，m ＋116＋(m ＋1)≥2＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当m ＋116＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元).所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 21.解 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°， ∴sin A ·sin C ＝cos 260°＝41.① 又S △ABC ＝4＝21ac sin B ，∴ac ＝16.②由①②，得sin A ·sin C ac ＝sin A a ＝sin C c＝64， ∴sin A a ＝sin C c＝8.∴b ＝sin A asin B＝8sin B ＝8sin 60°＝4， ∵cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝21， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴(a ＋c )2＝48＋48＝96，∴a ＋c ＝4.③联立③与②解得，a ＝2(＋)，c ＝2(－)或a ＝2(－)，c ＝2(＋). 22.(1)证明 由(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，g (a n )＝4(a n －1)，f (a n )＝(a n －1)2，得(a n －1)·(4a n ＋1－3a n －1)＝0. 又a n ≠1，∴a n ＋1＝43a n ＋41. (2)解 ∵a n ≠1，∴an －1an ＋1－1＝an －1－1＝an －1（an －1）＝43(n ≥1)， ∴{a n －1}是公比为43的等比数列.重庆市四区2018-2019年高一下学期高中联合调研评估测试（期末）数学试题及答案- 11 - / 11 又a 1－1＝1，∴a n －1＝43.(3)解 由(2)知a n ＝43＋1，由(1)知a n ＋1＝43a n ＋41，则b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)＝3(a n －1)2－4(a n ＋1－1) ＝3(a n －1)2－4－11＝3a n 2－9a n ＋6＝3＋13－9＋13＋6＝343－343.设u ＝43，y ＝b n ，则y ＝3u 2－3u ＝321－43，∵当n ≥1时，0＜u ＝43≤1，∴当u ＝1时，y max ＝0，此时n ＝1，则{b n }的最大项为b 1＝0.。
重庆市某重点中学近年-近年学年高一数学下学期期末考试试题(最新整理)
重庆市某重点中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市某重点中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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重庆市某重点中学2018—2019学年高一数学下学期期末考试试题数学试题共4页.满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2。
答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3。
答非选择题时，必须使用0。
5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求)1.设S n是等差数列{a n｝的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(）A。
5 B.7 C.9 D.112。
某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（)A。
40 B.36 C。
30 D。
203。
已知向量a＝（1，2），b＝(3，m），m∈R，则“m＝6"是“a∥(a＋b)"的( ）A。
充分必要条件 B.充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既不充分也不必要条件4。
重庆市高一下学期数学期末考试试卷
重庆市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共13题；共13分)1. （1分）(2017·杨浦模拟) 设集合S={x| ≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T=________．2. （1分）(2018·新疆模拟) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出________人.3. （1分） (2018高二上·沧州期中) 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．4. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知向量，，若，则实数________.5. （1分）(2017·淮安模拟) 如图是一个算法流程图，则输出的k值是________6. （1分）已知{}是等差数列，公差d不为0，若,，成等比数列，且2+=1，则= ________ 。
7. （1分）(2019·南昌模拟) 已知平面向量与的夹角为，，，则________．8. （1分） (2019高一上·公主岭月考) 已知角终边上一点，则 ________.9. （1分） (2018高二上·新乡月考) 在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是 .其中正确结论的序号是________ .10. （1分）已知f（x）=ln（x+-a），若对任意的m∈R，方程f（x）=m均为正实数解，则实数a的取值范围是________11. （1分） (2018高一下·芜湖期末) 已知函数，，则的最小值是________．12. （1分）若正项数列{an}满足lgan+1﹣lgan=1，且a2001+a2002+a2003+…+a2010=2015，则a2011+a2012+a2013+…+a2020的值为________ ．13. （1分） (2017高一下·泰州期末) 若正实数a，b满足 + = ，则ab+a+b的最小值为________．二、解答题 (共6题；共60分)14. （5分）设sinα+cosα= ，α∈（﹣，），求sin3α﹣cos3α的值．15. （10分） (2017高二上·揭阳月考) 已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．16. （10分） (2018高一下·雅安期中) 向量 , ,已知，且有函数 .（1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.17. （10分） (2015高三上·盐城期中) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知A= ，a= ．（1）若sinB= ，求边c的长；（2）若| + |= ，求• 的值．18. （10分）(2020·漳州模拟) 已知，， .（1）求证：；（2）若，求证： .19. （15分）(2018·南京模拟) 设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.参考答案一、填空题 (共13题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、解答题 (共6题；共60分)14-1、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
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2018-2019学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试（期末）数学试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A.12B.22C.14D.242.函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A.(－4，－1) B.(－4，1) C.(－1，1) D.(－1，1] 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D.4 4.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A.－14 B.14 C.－23 D.235.已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 等于( ) A.9 B.21 C.27 D.366.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x －3y 的最小值为( )A.9B.－6C.－9D.67.如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ( ) A.北偏东60°；102 B.北偏东40°；10 3 C.北偏东30°；103 D.北偏东20°；1028.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3]9.当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，6) B.(－∞，6] C.[6，＋∞) D.(6，＋∞)10.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8 11.等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A.－9 B.－15 C.15 D.±1512.在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1).若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A.8B.9C.8或9D.17 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为________.14.若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3有解，则实数a 的取值范围为________.15.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则使a n ＜25成立的n 的最大值为________. 16.已知△ABC 的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ，1)(k ＞1)，m ·n 的最大值为5，求k 的值. 18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋2－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A ，B ，C 三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A ，B ，C 三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A ，B ，C 三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？20.(12分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.(12分)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，并且sin A ·sinC ＝cos 2B ，S △ABC ＝43，求a ，b ，c .22.(12分)已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足a 1＝2，a n ≠1，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0.(1)求证a n ＋1＝34a n ＋14；(2)求数列{a n －1}的通项公式；(3)若b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求{b n }中的最大项.2018-2019学年度上期重庆市高中联合调研评估测试高一数学 答案1.解析 由正弦定理得sin C ＝c ·a sin A ＝4×2＝21. 答案 A2.解析 由题－x2－3x ＋4＞0x ＋1＞0，⇒－1＜x ＜1. 答案 C3.解析 设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2， ∴S 4＝16，S 6＝36，∴S4S6＝49. 答案 C4.解析 由题意知，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝2ab a2＋b2－c2＝2·3k ·2k （3k ）2＋（2k ）2－（4k ）2＝－41. 答案 A5.解析 S 3＋a n ＋a n －1＋a n －2＝4＝3(a 1＋a n )， ∴a 1＋a n ＝34，又S n ＝2n （a1＋an ）＝3＝18， ∴n ＝27. 答案 C6.解析 作出可行域如图所示的阴影部分.由目标函数z ＝x －3y 得：y ＝31x －3z ， ∴－3z为直线在y 轴上的截距.∴平移直线l 0：y ＝31x ，当直线经过点A 时，z 取得最小值. ∵2x ＋y －9＝0，x －y ＝0，∴y ＝3，x ＝3，∴A (3，3). ∴z min ＝3－3×3＝－6. 答案 B7.解析 由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×1021＝300，所以AC ＝10. 答案 B8.解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B9.解析 由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋x 9恒成立.又有x ＋x 9≥2 x 9＝6，当且仅当x ＝x 9，即x ＝3时，等号成立.则实数m 的取值范围是(－∞，6). 答案 A10.解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1，4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，即ab ＝4，所以a ＋b ≥2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立.所以a ＋b 的最小值为4.答案 B11.解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9， ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝210（a1＋a10）＝±15. 答案 D12.解析 ∵a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， ∴a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根. 又∵等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， ∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q 2＝a3a5＝41，∴q ＝21.∴a n ＝4·21＝21，∴b n ＝log 2a n ＝5－n . ∴S n ＝2（9－n ）·n ，∴n Sn ＝29－n .T n ＝1S1＋2S2＋…＋n Sn ＝41(－n 2＋17n )＝414289.∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值. 答案 C13.解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝2bc bc＝21，∴A ＝60°.由正弦定理得sin A a ＝sin B b ，∴sin B ＝2a 3b. ∴bsin B c ＝b22ac ＝32. 答案 3314.解析 由题意知，只需y ＝x 2－ax －a 的最小值不大于－3即可. 即4－4a －a2≤－3， 解得a ≤－6或a ≥2.答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞) 15.解析 易知{}为等差数列， 首项为＝1，公差为1， ∴＝1＋(n －1)＝n ， ∴a n ＝n 2，令n 2＜25，∴n ＜5，∴n ≤4. 答案 416.解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a 为最长边，故a ＝b ＋4，c ＝b －4，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)cos 120°， 化简得b 2－10b ＝0， ∴b ＝10或b ＝0(舍去)， ∴c ＝6，S △ABC ＝21bc sin A ＝15.答案 1517.解 (1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝21，所以B ＝3π.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 其中A ∈32π，设sin A ＝t ，t ∈(0，1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2.又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值. 由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝23. 18.解 (1)因为S n ＝2n ＋2－4，所以a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－4－(2n ＋1－4)＝2n ＋1，显然a 1也符合该表达式.所以a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝a n ·log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2，②②－①得，T n ＝－2·22－23－24－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－1－223（1－2n －1）＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝n ·2n ＋2.19.解 设从甲到A 调运x 吨，从甲到B 调运y 吨，从甲到C 调运(300－x －y )吨，则从乙到A 调运(200－x )吨，从乙到B 调运(450－y )吨，从乙到C 调运(100＋x ＋y )吨，设调运的总费用为z 元，则z ＝6x ＋3y ＋5(300－x －y )＋5(200－x )＋9(450－y )＋6(100＋x ＋y )＝2x －5y ＋7 150.由已知得约束条件为100＋x ＋y ≥0，450－y ≥0， 整理得x ＋y ≤300，0≤y ≤450，画可行域并平移直线2x －5y ＝0可得最优解为x ＝0，y ＝300.即从甲到B 调运300吨，从乙到A 调运200吨，从乙到B 调运150吨，从乙到C 调运400吨，总运费最小.20.解 (1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ，所以k ＝2，所以x ＝3－m ＋12， 每件产品的销售价格为1.5×x 8＋16x(万元)， 所以年利润y ＝x ·x 8＋16x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8m ＋12－m ＝－＋（m ＋1）16＋29(m ≥0). (2)因为m ≥0时，m ＋116＋(m ＋1)≥2＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当m ＋116＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元).所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 21.解 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°， ∴sin A ·sin C ＝cos 260°＝41.① 又S △ABC ＝4＝21ac sin B ，∴ac ＝16.②由①②，得sin A ·sin C ac ＝sin A a ＝sin C c＝64， ∴sin A a ＝sin C c＝8.∴b ＝sin A asin B＝8sin B ＝8sin 60°＝4， ∵cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝21， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴(a ＋c )2＝48＋48＝96，∴a ＋c ＝4.③联立③与②解得，a ＝2(＋)，c ＝2(－)或a ＝2(－)，c ＝2(＋). 22.(1)证明 由(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，g (a n )＝4(a n －1)，f (a n )＝(a n －1)2，得(a n －1)·(4a n ＋1－3a n －1)＝0. 又a n ≠1，∴a n ＋1＝43a n ＋41. (2)解 ∵a n ≠1，∴an －1an ＋1－1＝an －1－1＝an －1（an －1）＝43(n ≥1)， ∴{a n －1}是公比为43的等比数列. 又a 1－1＝1，∴a n －1＝43. (3)解 由(2)知a n ＝43＋1， 由(1)知a n ＋1＝43a n ＋41，则b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)＝3(a n －1)2－4(a n ＋1－1) ＝3(a n －1)2－4－11＝3a n 2－9a n ＋6 ＝3＋13－9＋13＋6 ＝343－343. 设u ＝43，y ＝b n ， 则y ＝3u 2－3u ＝321－43，∵当n ≥1时，0＜u ＝43≤1， ∴当u ＝1时，y max ＝0，此时n ＝1， 则{b n }的最大项为b 1＝0.。