第三章 第一节 空间力的分解与投影
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理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
F Fx2 Fy2
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
第06讲-空间力系
第3章 空间力系
1.力在空间直角坐标轴上的投影 1.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法： 一次投影法：力F与三个 坐标轴所夹的锐角分别 为α、β、γ, 则力F在三 个轴上的投影等于力的 大小乘以该夹角的余弦 z
Fz F
γ
o
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cos γ
FR ' = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz + [∑ M y (F )]2 + [∑ M z (F )]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件： 平衡的必要与充分条件：
′ M o ＝０， FR ＝０
平衡方程： 平衡方程：
若已知力在三个坐标 Fx 轴上的投影Fx、Fy、Fz， 也可求出力的大小和方向， x 即 :
2 2
F
γ
o y
ϕ
Fy Fxy
F = Fx + Fy + Fz Fy Fx Fz cosα = ,cosβ = ,cosγ = F F F
2
2.力对轴之矩 2.力对轴之矩
门上作用一力F，使其绕 固定轴z转动。Fxy对z轴之矩 就是力F对z轴之矩,用Mz（F） 表示。则：
M z ( FR ) = ∑ M z ( F )
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
5
Fy
Fxy
y
Fx Fx
Fxy
x 10
Fy
x
3.空间力系的平衡 3.空间力系的平衡
空间力系的简化： 空间力系的简化 ： 与平面任意力系的简化方法一样， 空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
1.力在空间直角坐标轴上的投影 1.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法： 一次投影法：力F与三个 坐标轴所夹的锐角分别 为α、β、γ, 则力F在三 个轴上的投影等于力的 大小乘以该夹角的余弦 z
Fz F
γ
o
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cos γ
FR ' = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz + [∑ M y (F )]2 + [∑ M z (F )]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件： 平衡的必要与充分条件：
′ M o ＝０， FR ＝０
平衡方程： 平衡方程：
若已知力在三个坐标 Fx 轴上的投影Fx、Fy、Fz， 也可求出力的大小和方向， x 即 :
2 2
F
γ
o y
ϕ
Fy Fxy
F = Fx + Fy + Fz Fy Fx Fz cosα = ,cosβ = ,cosγ = F F F
2
2.力对轴之矩 2.力对轴之矩
门上作用一力F，使其绕 固定轴z转动。Fxy对z轴之矩 就是力F对z轴之矩,用Mz（F） 表示。则：
M z ( FR ) = ∑ M z ( F )
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
5
Fy
Fxy
y
Fx Fx
Fxy
x 10
Fy
x
3.空间力系的平衡 3.空间力系的平衡
空间力系的简化： 空间力系的简化 ： 与平面任意力系的简化方法一样， 空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
《理论力学》第一章 力的分解与力的投影解析
§ 1 –3
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
静力学第三章
静力学第三章空间力系空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。
这是力系中最一般的情形。
许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用，例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。
对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
本章研究空间力系的简化和平衡问题，并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。
与研究平面力系相似，空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。
第一节空间力的分解与投影一、空间力的分解如图3-1所示，设力F 沿直角坐标轴的分力分别为F x、F y、F z，则(3-1)图3-1力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示：(3-2)则(3-3)其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。
二、空间力的投影1.直接投影法如图3-2所示，若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ，以F x、F y、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影，则(3-4)力在坐标轴上的投影为代数量。
在式(3-4)中，当α、β、γ为锐角时，投影为正，反之为负。
图3-22.二次投影法若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示，其中γ为力F与z轴的夹角，φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角，则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
先将力F向z轴和xy平面投影，得注意：力在平面上的投影F xy为矢量。
再将F xy向x、y轴投影，得因此(3-5)图3-3反之，若已知力在直角坐标轴上的投影，则可以确定该力的大小和方向。
(3-6)其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。
静力学第三章空间力系第二节力对点之矩与力对轴之矩一、力对点之矩在平面问题中，力F与矩心O 在同一平面内，用代数量M O(F)就足以概括力对O 点之矩的全部要素。
但在空间问题中，由于各力与矩心O所决定的平面可能不同，这就导致各力使刚体绕同一点转动的方位也可能不同。
为了反映转动效应的方位，力对点之矩必须用矢量表示。
空间力系沿坐标的分解与投影
6-1
空间力系沿坐标的分解与投影
空间力系 空间力的 分解 二次投影法 应用举例
A
空间力系
各力的作用线不在同一平面内 可分成
空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系(最一般的系)
与平面一般力系的不同
研究方法基本相同 概念、理论和方法要推广和引伸
B
空间力的分解
空间的力F
z
• 把其向各坐标轴分解 Z Fx,Fy,Fz •投影为 X=F cosα Y=F cosβ Z=F cosγ
x O
Fz Fx
C
E
γ
F
A
B
α
β
Fy
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y Y X
C
二次投影法
把力向z轴上投影 • 把力向oxy平面投影 • 把oxy平面上的投影
– 向x轴投影 – 向y轴投影
O z Z A C X E B
F
θ
Y
D
ϕ
Fxy
y
Z = F sin θ , X = Fxy cos ϕ = F cos θ cos ϕ , Fxy是矢量吗? Y = Fxy sin ϕ = xF cos θ sin ϕ
B
ϕ
3m
y
Y3 = − 1500 cos θ sin ϕ = − 1073 N Z 3 = 1500 sin ϕ = 671 N
z 4m
AB 5 .5 9
3 5 4 = CB 5 =
60
A
o
D 2.5m
X
1
= 500 cos 90 o = 0
Y1 = 5 0 0 c o s 9 0 o = 0 Z 1 = 500 cos180 o = −500 N
空间力系沿坐标的分解与投影
空间力系 空间力的 分解 二次投影法 应用举例
A
空间力系
各力的作用线不在同一平面内 可分成
空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系(最一般的系)
与平面一般力系的不同
研究方法基本相同 概念、理论和方法要推广和引伸
B
空间力的分解
空间的力F
z
• 把其向各坐标轴分解 Z Fx,Fy,Fz •投影为 X=F cosα Y=F cosβ Z=F cosγ
x O
Fz Fx
C
E
γ
F
A
B
α
β
Fy
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y Y X
C
二次投影法
把力向z轴上投影 • 把力向oxy平面投影 • 把oxy平面上的投影
– 向x轴投影 – 向y轴投影
O z Z A C X E B
F
θ
Y
D
ϕ
Fxy
y
Z = F sin θ , X = Fxy cos ϕ = F cos θ cos ϕ , Fxy是矢量吗? Y = Fxy sin ϕ = xF cos θ sin ϕ
B
ϕ
3m
y
Y3 = − 1500 cos θ sin ϕ = − 1073 N Z 3 = 1500 sin ϕ = 671 N
z 4m
AB 5 .5 9
3 5 4 = CB 5 =
60
A
o
D 2.5m
X
1
= 500 cos 90 o = 0
Y1 = 5 0 0 c o s 9 0 o = 0 Z 1 = 500 cos180 o = −500 N
第三章 空间力系
Ft tan Fa Ft tan Fr cos
第三章 空间力系
【课堂练习】图示力F作用在A点，此力在x轴、y轴、z轴 上的投影分别是多少？
第三章 空间力系
三、交于一点且互相垂直的三力的合成
力直角平行六面体法则
F＝
Fx2 Fy2 Fz2
Fx cosα＝ F
Fy cosβ＝ F
第三章 空间力系
（2）力F对各坐标轴之矩为： Mz(F )= Mz(Fx)+Mz(Fy)= -Fx· y+Fy· x= -10.98 N· m Mx(F )=Mx(Fy)+Mx(Fz)= -Fy· z-Fz· y= -105 N· m My(F)=My(Fx)+My(Fz)=Fx· z+Fz· x=53.3 N· m。
解：
（1）确定车刀刀尖为研究对象，以工件主轴为水平轴空间 直角坐标系。
第三章 空间力系
（ 2）刀尖受力分析
刀尖受到径向力Fx（沿x轴方向）、轴向力Fy（沿y轴方 向）、圆周力Fz（沿z轴方向）的作用。 （3）用力直角平行六面体法则求合力F 以三力Fx、Fy、Fz为棱边作一直角平行六面体，则此六面 体的对角线即为三力的合力F＝19.6 kN
第三章 空间力系 三、空间力系的平衡条件和平衡方程
力矢的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零。
FR' 0
，
Mo 0
Fy =0 Fy=0 Fz=0 Fz =0 Mx(F )=0 Mz(F )=0
• 空间汇交力系力系 Fx =0 • 空间平行力系力系 Fy=0 • 空间任意力系力系 Fx=0 • 空间力偶系力系
第三章 空间力系 四、空间力系平衡的平面解法
1．确定研究对象，画出受力图。
空间力系课件
第三章空间力系【学时】8（其中习题课2）【基本要求】1．能计算力在空间坐标轴上的投影2．了解空间力系的平衡方程[3]。
3．力对轴之矩4．能求解简单的空间问题[3]。
5．能计算简单形体的重心[1]。
【重点】简单形体的重心。
【难点】力对轴之矩，力对点之矩。
§3–1 力在坐标轴上的投影与力的分解一、力在坐标轴上的投影1．直接投影法若已知力F 与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为α、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为可采用直接投影法。
γβαcos F F cos F F cos F F z y x ===如果已知力F 在三个坐标轴上的投影X 、Y 和Z 也可以反过来求出力F 的大小和方向，即F Z FY F X Z Y X F ===++=γβαcos cos cos 222 2．二次投影法先将力F 投影到某一坐标面上，而后再将坐标面上的投影投影到坐标轴上。
如图2-2所示，先求力F 在Oxy 面上的投影xy F ，显然γsin F F xy =，而后再将xy F 投影到x 和y 轴上，于是可得ϕϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F X ===在其些实际问题中，当力F 与坐标轴之间的夹角不易直接确定时，应用二次投影法往往是较为方便的。
二、力沿坐标轴上的分解在空间矢量运算中，力矢有时须用矢量分解式表示。
为此，将力F 按坐标轴x 、y 、z 的方向分解为空间正交分量x F 、y F 和z F （图2-3），这些分量称为力F 的坐标轴向分量。
写成关系式有z y x F F F F ++=容易看出，力F 的坐标轴向分量的模，分别与该力在相应坐标轴上投影的绝对值相等，即X F x =、Y F y =、X F z =令i 、j 、k 分别表示直角坐标轴x 、y 、z 的单位矢量，则上式可写为Xi F x =、Yj F y =、Zk F z =因而（2.4）式又可写为力沿坐标轴向的分解式Zk Yj Xi F ++=§3–2 空间力偶一、力偶的等效条件作用在物体上同一平面或平行平面内的两个力偶，若它们的转向相同和力偶矩的大小相等，则两力偶等效。
理论力学3—空间力系1
i
因为: 因为 M = (∑ M x ) 2 + (∑ M y ) 2 + (∑ M z ) 2 所以: 所以
∑ M x = 0, ∑ M y = 0, ∑ M z = 0
上式即为空间力偶系的平衡方程。 上式即为空间力偶系的平衡方程。 空间力偶系的平衡方程
3.4 空间任意力系的简化 3.4.1 空间任意力系的简化
第 3 章
空间力系
工程实际中的空间力系问题
工程实际中的空间力系问题
实际工程中， 实际工程中，绝大多数结构所受力系的作 用线往往不在同一平面内， 用线往往不在同一平面内，构成了空间力 空间力系是最一般的力系。 系，空间力系是最一般的力系。
3.1 空间力的投影及其分解 空间力的投影 投影及
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角 三轴间夹角, 若已知力与正交坐标系 三轴间夹角 则用直接投影法 一次投影法) 直接投影法(一次投影法 则用直接投影法 一次投影法
z
Fy Fx Fz
F y
a 2 + b2 a 2 + b2 + c2
− Fc
c x
a 2 + b2 + c2 Fa Fx = F cos θ cos ϕ = a 2 + b2 + c2 Fb Fy = F cos θ sin ϕ = a 2 + b2 + c 2
θ a ϕ Fxy b
cos θ =
M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = − Fy c
F'R＝0, MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶, 简化结果为一个与原力系等效的合力偶 其合 力偶矩矢等于对简化中心的主矩。 力偶矩矢等于对简化中心的主矩 。此时力偶 矩矢与简化中心位置无关。 矩矢与简化中心位置无关。
因为: 因为 M = (∑ M x ) 2 + (∑ M y ) 2 + (∑ M z ) 2 所以: 所以
∑ M x = 0, ∑ M y = 0, ∑ M z = 0
上式即为空间力偶系的平衡方程。 上式即为空间力偶系的平衡方程。 空间力偶系的平衡方程
3.4 空间任意力系的简化 3.4.1 空间任意力系的简化
第 3 章
空间力系
工程实际中的空间力系问题
工程实际中的空间力系问题
实际工程中， 实际工程中，绝大多数结构所受力系的作 用线往往不在同一平面内， 用线往往不在同一平面内，构成了空间力 空间力系是最一般的力系。 系，空间力系是最一般的力系。
3.1 空间力的投影及其分解 空间力的投影 投影及
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角 三轴间夹角, 若已知力与正交坐标系 三轴间夹角 则用直接投影法 一次投影法) 直接投影法(一次投影法 则用直接投影法 一次投影法
z
Fy Fx Fz
F y
a 2 + b2 a 2 + b2 + c2
− Fc
c x
a 2 + b2 + c2 Fa Fx = F cos θ cos ϕ = a 2 + b2 + c2 Fb Fy = F cos θ sin ϕ = a 2 + b2 + c 2
θ a ϕ Fxy b
cos θ =
M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = − Fy c
F'R＝0, MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶, 简化结果为一个与原力系等效的合力偶 其合 力偶矩矢等于对简化中心的主矩。 力偶矩矢等于对简化中心的主矩 。此时力偶 矩矢与简化中心位置无关。 矩矢与简化中心位置无关。
工程力学—空间力系力的投影
第 1 节 力在直角坐标第轴三上章的空投间影力系 第三章 空间力系
空间一般力系：各力的作用线在空间任意分布的 力系。
平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都 是它的特殊情况。
第 1 节力系
设直角坐标系Oxyz
如图所示，已知力 F 与
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别
z
F
1643
arccos Fz arccos 1500
F
1643
arccos(0.9130) 155o55
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
谢谢观看！ 2020
F Fx2 Fy2 Fz2
arccos
Fx F
arccos
Fy F
注意
arccos Fz
F
力的投影和分量的区别：
力的投影是标量，而力的分量是矢量；
对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮
合力F =10 kN，齿轮压力角 = 20º，螺旋角 = 25º。
F Fz
Fx Fy
1643 N
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
合力的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 1643 N
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
arccos Fx arccos 300 79o29
F
1643
F Fz Fx
Fy
arccos Fy arccos 600 68o35
Fn F cos 9.4kN
由二次投影法得
Fx Fn sin 3.97kN Fy Fn cos 8.52kN
空间一般力系：各力的作用线在空间任意分布的 力系。
平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都 是它的特殊情况。
第 1 节力系
设直角坐标系Oxyz
如图所示，已知力 F 与
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别
z
F
1643
arccos Fz arccos 1500
F
1643
arccos(0.9130) 155o55
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
谢谢观看！ 2020
F Fx2 Fy2 Fz2
arccos
Fx F
arccos
Fy F
注意
arccos Fz
F
力的投影和分量的区别：
力的投影是标量，而力的分量是矢量；
对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮
合力F =10 kN，齿轮压力角 = 20º，螺旋角 = 25º。
F Fz
Fx Fy
1643 N
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
合力的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 1643 N
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
arccos Fx arccos 300 79o29
F
1643
F Fz Fx
Fy
arccos Fy arccos 600 68o35
Fn F cos 9.4kN
由二次投影法得
Fx Fn sin 3.97kN Fy Fn cos 8.52kN
理论力学第三章 空间力系汇总
Pxy Pcos45
Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
P 6 Pi 2 P j 2 Pk
4
4
2
r 0.05 i 0.06 j 0 k
MO(F) r F
i
j
k
0.05 0.06 0
6P 2P 2P
4
4
2
84.8 i 70.7 j 38.2 k
称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐 标轴上的投影的代数和分别为零.
[例]三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰支座B、C、
D固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。
结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求
（2）何时MZ (F) 0
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
z
F
Fz
Fxy o
h
P
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
（3) 解析表达式
M Z (F) MO (F xy ) MO (F x ) MO (F y )
xFy yFx
M x (F) yFz zFy
空间力偶的三要素
（1） 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积； （2） 力偶矩方向：右手螺旋； （3） 作用面：力偶作用面。
转向：右手螺旋；
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而 改变。
M x (P) 84.8(N.m) M y (P) 70.7(N.m) M x (P) 38.2(N.m)
理论力学
题型 空间汇交力系 空间平行力系 传动轴 六力矩式平衡方程
例3 空间支架由三根直杆组成，如图所示，已知W=1kN。α=30° β=60°，φ=45°，试求杆AB、BC、BD所受的力。 解 取B铰为研究对象。
∑ Fz = 0
FBD
∑ Fy = 0
FBD cos α W = 0 W W 2 = = = W = 1.155 kN cos α cos α 3 FBC sin β FBD sin α cos = 0
（2） R ≠0，主矩MO≠0，且 F′ ⊥M ′ FR O，得作用于O’点的一个合力 。 FR
其作用线离简化中心O的距离为： d =
MO FR
。
R R R
R
R
a)
b)
c)
3.空间力系简化为力螺旋的情形 空间力系简化为力螺旋的情形 力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。
R R R
60m m
例 2 如图所示，铅直力F=500N， 作用于曲柄上。试求此力对轴x、y、z 之矩及对原点O之矩。
30 0m m
30°
36 0m m
解：F对x、y、z之矩 分别为：
M x (F ) = F (300+ 60) = 500× 360 = 180×103 N mm = 180N m M y (F ) = F × 360cos30° = 500× 360× = 155.9 N m M z (F ) = 0
4、Mz(F)为零情况 、 为零情况 力的作用线与轴平行（Fxy=0）或相交（h=0）时，力对该轴的矩为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩为零。
5、力对轴之矩合力矩定理 、 定理： 定理：合力FR对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 即：M z ( FR ) =
第讲空间力投影力对点之矩汇交力系力偶系分解PPT学习教案
Fz Fn sin Fxy Fn cos
正视图
Fx Fxy sin Fn cos sin
Fy Fxy cos Fn cos cos 第9页/共52页
俯视图
§3. 1 空间汇交力系
四、空间汇交力系的合力与平衡条件
1、空间汇交力系的合力
F R
F i
2、合矢量（力）投影定理
Theoretical Mechanics
第讲空间力投影力对点之矩汇交力系力 偶系分解
会计学
1
Theoretical Mechanics
第8（2） 讲的内容、要求、重难点
教学内容：在空间直角坐标轴上的投影、空间汇交
力系 教学要求：
1、了解空间力系的概念和平衡条件。 2、理解应用空间汇交力系平衡 3、掌握力在空间直角坐标轴上的投影。
重点：力在空间直角坐标轴上的投影 难点：空间汇交力系、力偶系的平衡 学时安排：1
§3.2 力对点的矩和力对轴之矩
二、力对轴的矩 1、定义：力使物体绕定轴转动的效果的度量。力对轴的矩转 化为求力在垂直于轴平面内的分力，对轴与平面的交点之矩。
力与轴相交或与轴平行（力与轴在共面，力对该轴的矩为零。 2、力对轴的矩是一个代数量：M z (F) Mo (Fxy ) Fxy d 3、单位：N·m 4、正负规定：正负号可用右手螺旋法则来判定：用右手握住 转轴，四指绕向在力作用处的切线与力方向一致，若拇指指向 与转轴正向一致时力矩为正； 反之，为负。也可从转轴正端 看过去，逆时针转向的力矩为正， 顺时针转向力矩为负。
Fz2
第6页/共52页
§3. 13.1空空间间汇汇交交力力系系
2、力在空间坐标轴上的投影
力的投影
力在轴上的投影：力与该投影 轴单位矢量的标量积
理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
§ 1 –3
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
Fn Fr
例题
平面力系中的力矩
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
q
A B x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
例题
解：
F
q
平面力系中的力矩
在梁上距 A 端为 x 的微段
dx上，作用力的大小为 q’ dx，
cos
Fy F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2 Fn F
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
Fn Fr
例题
平面力系中的力矩
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
q
A B x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
例题
解：
F
q
平面力系中的力矩
在梁上距 A 端为 x 的微段
dx上，作用力的大小为 q’ dx，
cos
Fy F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2 Fn F
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3 cosa cos b cosg 3
O b
F
g a
y
3 Fx F cosa F 3 3 F y F cos b F 3 3 Fz F cosg F 3
x
方法二(二次投影法) z
sing cosg 2a 3a a 3a 2 3 3 3
F
O
b
Fx = Fcosa Fy = Fcosb Fz = Fcosg
Fy
x F = Fx + Fy + Fz
Fx =Fx i y Fy =Fy j iO j Fx Fz =Fz k x 力在轴上投影为代; Fz k
2.二次投影法 z Fz
g
Fz = Fcosg Fxy = Fsing 注意:力在平面上的投影Fxy为矢量 y Fx = Fxycosj = Fsing cosj Fy = Fxysinj = Fsing sinj
第三章 空间力系
空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。 方法：采用力系向一点简化的方法进行研究。
本章我们将要学习的内容 空间力系的基本概念 空间力系的简化 空间力系平衡问题 重心
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解 z Fz O Fx F Fy y
a
二、空间力的投影 1. 直接投影法 z Fz k g F
F Fy Fxy
O
Fxj x
已知力在的投影，则可以确定该力的大小和方向。
F Fx2 F y2 Fz2 Fx cos a F cos b Fy F Fz cos g F
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求该力分别在x、y、z轴上的投影。
z 解 方法一(直接投影法)
g j
y
Fxy
x
2 sinj cosj 2
Fx F sing cosj
3 F 3
3 F y F sing sinj F 3 3 Fz F cosg F 3
O b
F
g a
y
3 Fx F cosa F 3 3 F y F cos b F 3 3 Fz F cosg F 3
x
方法二(二次投影法) z
sing cosg 2a 3a a 3a 2 3 3 3
F
O
b
Fx = Fcosa Fy = Fcosb Fz = Fcosg
Fy
x F = Fx + Fy + Fz
Fx =Fx i y Fy =Fy j iO j Fx Fz =Fz k x 力在轴上投影为代; Fz k
2.二次投影法 z Fz
g
Fz = Fcosg Fxy = Fsing 注意:力在平面上的投影Fxy为矢量 y Fx = Fxycosj = Fsing cosj Fy = Fxysinj = Fsing sinj
第三章 空间力系
空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。 方法：采用力系向一点简化的方法进行研究。
本章我们将要学习的内容 空间力系的基本概念 空间力系的简化 空间力系平衡问题 重心
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解 z Fz O Fx F Fy y
a
二、空间力的投影 1. 直接投影法 z Fz k g F
F Fy Fxy
O
Fxj x
已知力在的投影，则可以确定该力的大小和方向。
F Fx2 F y2 Fz2 Fx cos a F cos b Fy F Fz cos g F
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求该力分别在x、y、z轴上的投影。
z 解 方法一(直接投影法)
g j
y
Fxy
x
2 sinj cosj 2
Fx F sing cosj
3 F 3
3 F y F sing sinj F 3 3 Fz F cosg F 3