2019-2020学年扬州市高一上数学期末试卷&答案
扬州市2019—2020学年度第一学期高三数学期末检测试题含答案
+
1 an+1
=
2(n
N * ) ，且 a1
=
1 2
.
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设数列 {an } 的前
n
项和为
Sn
，求证：当
n
2
时，
S2n−1
−
Sn−1
n
−
4 5
.
扬州市 2019—2020 学年度第一学期期末检测试题
高三数学参考答案
一、 填空题：
1. 4
2. 2
3. 1800
段 EB 的长度， M 是 BC 的中点， N 是 ED 的中点。 求证：（1） AM ⊥ 平面 EBC ；
（2） MN / / 平面 DAC 。
17.如图是一个半径为 1 千米的扇形景点的平面示意图，AOB = 2 .原有观光道路 OC,且 OC ⊥ OB 。 3
为便于游客观赏，景点 2 部门决定新建两条道路 PQ,PA,其中 P 在原道路 OC(不含端点 O,C)上，Q 在景点边界
扬州市2019—2020学年度第一学期期末检测试题
高三数学试卷
一、填空题：
1.已知集合 A = 1, k − 2, B = 2, 4 ，且 A B = 2, 则实数 k 的值为
2.设 (1+ 3i)2 = a + bi ，则 a+b=
3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。在高一抽
所以 EB∥DA ，所以 EN BN ，……9 分 ND NI
又 N 为 ED 的中点，所以 BN NI ，即 N 为 BI 的中点. 又 M 是 BC 的中点，所以在 △BCI 中， MN∥CI .……11 分
扬州市2019—2020学年度高三数学第一学期期末调研测试试题参考答案2019年12月15日(1
又 MN 平面 DAC ， CI 平面 DAC ，所以 MN∥平面 DAC . ……14 分
数学参考答案第 1 页（共 9 页）
I
D N
D
N
Q
D N
P
E
E
E
B M C
图 16-1
A
A
H
A
B M
B O
M
C
C
图 16-2
图 16-3
证法二：如图 16-2，因为 EB 平面 ABC ， DA 平面 ABC ，所以 EB∥DA ， 所以 A, B, E, D 四点共面. 在平面 ABED 中，分别过 E, N 作 EP∥BA ， NQ∥BA ，分别交 AD 于 P,Q . 取 AC 的中点 O ，连结 MO,OQ . 因为 EP∥BA ， EB∥PA ，所以四边形 ABEP 为平行四边形，所以 EP∥BA .
所以 AP AO sin AOP 1 sin APO 2sin
OP
AO
sin
OAP
sin
6
3 sin cos ……4 分
sin APO
sin
2 sin
所以 f ＝ a 3 sin cos 2a 2 3 sin cos 6a
上面三行也可以叙述为： 在 AD 上取一点 P ，使 AP BE . 在平面 ABED 中，过 N 作 NQ∥BA ，交 AD 于 Q . 取 AC 的中点 O ，连结 MO,OQ . 因为 EB∥DA ， AP BE ，所以四边形 ABEP 为平行四边形. 所以 EP∥BA .
因为 EP∥BA ， NQ∥BA ，所以 NQ∥EP ，
2020-2021学年扬州市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年扬州市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|y =lgx},B ={y|y =√x −1}，则A ∪B =( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [0,+∞)D. (0,+∞)2.与610°角终边相同的角表示为( )A. k ·360°+230°，k ∈ZB. k ·360°+250°，k ∈ZC. k ·360°+70°，k ∈ZD. k ·360°+270°，k ∈Z3.函数y ={3 (x ≤1)−x +5 (x >1)，求f(f(6))的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 64.已知实数a ，b ∈R +，a +b =1，M =2a +2b ，则M 的整数部分是( )A. 1B. 2C. 3D. 45.函数y =|tanx|cosx 的部分图象是( )A.B.C.D.6.若a =log 13√3，b =(14)√3，c =(√3)13，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. a >b >cD. c >b >a7.半径为6cm ，中心角为40°的扇形的弧长为( )A.2π3cm B.4π3cm C. πcm D.2π9cm8.函数在[0,2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )A. f(1)<f()<f()B. f()<f(1)<f()C. f()<f()<f(1)D. f()<f(1)<f()9. 若sin(π−α)+sin(π2−α)sinα−cosα=12，则 tan2α( )A. −34B. 34C. −43D. 4310. 已知函数f(x)={2x −2,x ≤1,−log 2(x +1),x >1.且f(a)=−3，则f(6−a)=( )A. 12B. 0C. 32D. −3211. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，C 为AB ⃗⃗⃗⃗⃗上距A 较近的一个三等分点，D 为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上距C 较近的一个三等分点，则用a ⃗ ，b ⃗ 表示OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式为( ) A. 4a ⃗ +5b⃗9B. 9a⃗ +7b⃗16C. 2a⃗ +b⃗ 3 D. 3a⃗ +b ⃗ 4 12. 已知命题，则p 的否定形式为( ) A. B. C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∠AOB =∠BOC =60°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ= ______ ．14. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosB +bcos(B +C)=0，则△ABC 一定是______三角形．15. 设，函数的值域为.若，则的取值范围是 ．16. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数x 满足f(log 12|x +1|)<f(−1)，则x 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知：全集U =R ，集合A ={x|4x >2}，集合B ={x|xx+2<0} (1)求A ，B(2)若M ∪(A ∪B)=R ，且M ∩(A ∪B)=⌀，求集合M ．18. (1)已知角α的终边过点P(3a −9,a +2)，且cosα<0，sinα>0，求a 的取值范围； (2)已知角θ的终边经过点P(−√3,√6)，求cos(θ−π6)的值．19. 已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．20. 已知函数f(x)=cosωx(√3cosωx +sinωx)−√32(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)≤√22，求x 的取值范围．21. 设不等式|2x −1|<1的解集是M ，a ，b ∈M ． (Ⅰ)试比较ab +1与a +b 的大小；(Ⅱ)设maxA 表示数集A 中的最大数．ℎ=max{4√a22√ab4√b}，求ℎ的最小值．22. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx (a,b 为常数，且a ≠0)，满足条件f(1+x)=f(1−x)，且方程f(x)=x 有等根． (1)求f(x)的解析式；(2)设k >0，函数g(x)=kx +1，x ∈[−2,1]，若对于任意x 1∈[−2,1]，总存在x 0∈[−2,1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求k 的取值范围．(3)是否存在实数m 、n(m <n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m 、n 的值，如果不存在，说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：集合A ={x|y =lgx}={x|x >0}=(0,+∞)， B ={y|y =√x −1}={y|y ≥0}=[0,+∞)， ∴A ∪B =[0,+∞)． 故选：C ．求函数的定义域和值域，再计算A ∪B ．本题考查了求函数的定义域和值域的问题，也考查了并集的运算问题，是基础题．2.答案：B解析：试题分析：因为，610°=360°+250°，即610°与250°终边相同。
江苏省扬州市19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
江苏省扬州市19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合A ={1,2，3}，B ={2,4，5}，则A ∪B =( )A. {2}B. {6}C. {1,3，4，5，6}D. {1,2，3，4，5}2. 与角−390°终边相同的最小正角是( )．A. −30°B. 30°C. 60°D. 330°3. 已知f(x)={x −5(x ≥6),f(x +4)(x <6)则f(3)的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x)=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f(x)为增函数，则m 等于( )A. −13B. −1C. −13或1D. 15. 函数的最小正周期为π，则函数f(x)的单调递增区间为( )A. (kπ−π6,kπ+5π6)(k ∈Z) B. [kπ−π6,kπ+5π6](k ∈Z) C. (kπ−5π6,kπ+π6)(k ∈Z)D. [kπ−5π6,kπ+π6](k ∈Z)6. a =log 70.3，b =0.37，c =70.3，则( )A. a <c <bB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c7. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为( )cm 2A. πB. 4πC. 2πD. √2π8. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2−1x ，则f(−2)=( )A. 72B. 32C. −72D. −929. 计算sin π12−√3cos π12的值为( )A. 0B. −√2C. 2D. √210. 设函数f(x)={2x ,x ⩾3,f(x +1),x <3,则f(log 26)的值为( )A. 6B. 9C. 12D. 1511. 向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，若c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，则λ−μ=( )A. −32B. −52C. 4D. 1412. 设函数y =f(x)的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有f(x +T)=T ·f(x)，则称函数y =f(x)是“似周期函数”，非零常数T 为函数y =f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y =f(x)的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)=x 是“似周期函数”；③函数f(x)=2−x 是“似周期函数”；④如果函数f(x)=cosωx 是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k ∈Z ”.其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tb(t ∈R)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a +b)，那么当实数t =_____时，A ，B ，C 三点共线.14. 如果tan(α+β)=25,tan(β−π4)=14,那么tan(α+π4)的值是______ ．15. 已知物体初始温度是T 0(单位：℃)，经过t 分钟后物体的温度是T(单位：℃)，且满足T =T a +(T 0−T a )·2−kt (T a (单位：℃)为室温，k 是正常数).某浴场的热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的是95℃的热水，在15℃室温下，100分钟后降至25℃，则k 的值为_________． 16. 已知函数y =f(x)在R 上为偶函数，当x ≥0时，f(x)=log 3(x +1)，若f(t)>f(2−t)，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若函数f(x)=√6x+1−1的定义域为集合A ，函数g(x)=lg(−x 2+2x +3)的定义域为集合B ． (1)求A ∩(∁R B)；(2)若集合C ={x|2m −1<x <m +1}，且B ∩C =C ，求实数m 的取值范围．18. 已知角α的终边经过点P (4,−3)(1)求sinα的值；(2)求sin(π2−α)tan(π+α)sin(α+π)cos(3π−α)的值．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1,0)，B(2,5)，C(−2,1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)在△ABC 中，设AD 是边BC 上的高线，求点D 的坐标．20. 某同学用“五点法”画函数f (x )=Asin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求当x∈[−π3,π3]时，函数g(x)的值域；(3)若将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=ℎ(x)的图象，若y=ℎ(x)图象的一个对称中心为(π12,0)，求θ的最小值．21.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2+2是奇函数；(1)求实数b的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)若关于x的方程f(x)=m在x∈[0,1]上有解，求实数m的取值范围．22.已知二次函数y=f(x)对任意x∈R，有f(1+x)=f(1−x)，函数f(x)的最小值为−3，且f(−1)=5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=kx−3在区间(0,2)上有两个不相等实数根，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用并集定义直接求解．解：∵集合A={1,2，3}，B={2,4，5}，∴A∪B={1,2，3，4，5}．故选：D．2.答案：D解析：本题考查的知识点是终边相同的角，属于基础题，根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，表示出与−390°的角终边相同的角α的集合即可．解：∵与−390°的角终边相同的角α的集合为：{α|α=−390°+k⋅360°,k∈Z}，当k=1时，α=−30°当k=2时，α=330°，∴与角–390°终边相同的最小正角是330°．故选D．3.答案：A解析：本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题．根据自变量所在的范围，代入相应解析式，由此求得结果．解：由题意得f(3)=f(3+4)=f(7)=7−5=2，故选A．4.答案：D解析：本题考查幂函数的单调性以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查，属于基础题．直接利用幂函数的定义与性质求解即可．解：幂函数f(x)=(3m2−2m)x m为增函数，所以3m2−2m=1，并且m>0，解得m=1.故选D．5.答案：A解析：本题主要考查正切函数的周期性和单调性，属于基础题．根据正切函数的周期性求得ω，再利用正切函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间．解：∵函数f(x)=tan(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π，∴πω=π，∴ω=1，∴f(x)=tan(x−π3)，令kπ−π2<x−π3<kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6<x<kπ+5π6，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−π6,kπ+5π6)(k∈Z)，故选A．6.答案：C解析：解：∵a=log70.3<log71=0，0<b=0.37<0.30=1，c=70.3>70=1，∴a<b<c．故选：C．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意对数函数和指数函数性质的合理运用．7.答案：C解析：本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．8.答案：C解析：根据题意，由函数的解析式可得f(2)的值，结合函数的奇偶性可得f(2)=−f(−2)，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进行分析．解：根据题意，当x>0时，f(x)=x2−1x ，则f(2)=4−12=72，又由函数f(x)为奇函数，则f(2)=−f(−2)=−72；故选：C．9.答案：B解析：本题考查三角函数利用辅助角公式化简求值，根据辅助角公式直接化简求值即可，属基础题．解：sinπ12−√3cosπ12=2(12sinπ12−√32cosπ12)=2(sinπ6sinπ12−cosπ6cosπ12)=−2cosπ4=−√2．故选B．10.答案：C解析：本题考查分段函数求值，属于基础题．根据解析式求值即可，注意对应的自变量的取值范围．解：由函数f(x)={2x ,x ⩾3,f(x +1),x <3,得f(log 26)=f (log 26+1)=f(log 212)=2log 212=12． 故选C ．11.答案：A解析：本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，属于中档题．以向量a ⃗ ，b ⃗ 的交点为坐标原点建立的平面直角坐标系，表示出O ，A ，B ，C 各点的坐标，由题意可得−λ+6μ=−1，λ+2μ=−3，即可解出λ、μ，从而求出答案．解：以向量a⃗ ，b ⃗ 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设每个小正方形的边长为1，向量a ⃗ 的起点为A ，向量b ⃗ ，c ⃗ 的终点分别为B ，C ， 则O(0,0)，A(1,−1)，B(6,2)，C(5,−1)，所以a ⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2)，c ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)． 因为c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，所以(−1,−3)=λ(−1,1)+μ(6,2)， 则−λ+6μ=−1，λ+2μ=−3， 解得λ=−2，μ=−12，所以λ−μ=−32． 故选A ．12.答案：D解析：分析：由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，正确理解似周期函数的定义是解决本题的关键．解：①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为−1，则f(x−1)=−f(x)，即f(x−1)=−f(x)=−(−f(x+1))=f(x+1)；故它是周期为2的周期函数；故①正确，；②对于“似周期”为T的函数y=f(x)，若f(T)>0，则f(2015T)=T2014′f(T)>0；故②正确，③若函数f(x)=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T⋅f(x)，即x+T=Tx；故(1−T)x+T=0恒成立；故不存在T.故假设不成立，故③错误；④若函数f(x)=2−x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T⋅f(x)，即2−x−T=T⋅2−x，即(T−2−T)⋅2−x=0；而令y=x−2−x，作图象如下，故存在T>0，使T−2−T=0；故④正确；⑤若函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T⋅f(x)，即cos(ωx+ωT)=Tcosωx；故T=1或T=−1；故“ω=kπ，k∈Z”.故⑤正确；故选：D．2解析：本题考查三点共线的条件，A 、B 、C 三点共线时，存在实数λ，使OC →=λOA →+(1−λ)OB →，待定系数法求实数t ．A 、B 、C 三点共线时，存在实数λ，使OC →=λOA →+(1−λ)OB →，解方程求实数t ．解：由A 、B 、C 三点共线，可知存在实数λ，使OC →=λOA →+(1−λ)OB →，即13(a →+b →)=λa →+(1−λ)tb →， 即{λ=13(1−λ)t =13， 则λ=13，t =12．故答案为12．14.答案：322解析：解：∵tan(α+β)=25，tan(β−π4)=14，∴tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]=25−141+25×14=322． 故答案为：322将所求式子中的角(α+π4)变形为(α+β)−(β−π4)，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．100解析：本题考查指数函数模型，属于基础题．将已知条件代入T=T a+(T0−T a)·2−kt，得25=15+(95−15)·2−100k，解出k值即可．解：将T a=15，T0=95，T=25，t=100，代入T=T a+(T0−T a)·2−kt，得25=15+(95−15)·2−100k，整理得2−100k=18=2−3，解得k=3100．故答案为3100．16.答案：(1,+∞)解析：解：由于函数y=f(x)的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，∴不等式f(t)>f(2−t)等价为f(|t|)>f(|2−t|)，即|t|>|2−t|，由此解得t>1，∴t的取值范围是(1,+∞)．故答案为：(1,+∞)．根据函数的奇偶性将不等式转化为f(|t|)>f(|2−t|).利用函数的单调性解不等式即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．17.答案：【解】(1)对函数f(x)=√6x+1−1=√5−xx+1，由5−xx+1≥0，且x+1≠0，解得：−1<x≤5．那么：集合A={x|−1<x≤5}对函数g(x)=lg(−x2+2x+3)，由−x2+2x+3>0，解得：−1<x<3那么：集合B={x|−1<x<3}．则：∁R B={x|x≥3或x≤−1}所以：A∩(∁R B)={x|3≤x≤5}(2)集合C={x|2m−1<x<m+1}，∵B ∩C =C ，∴C ⊆B当C =⌀时，2m −1≥m +1，解得：m ≥2当C ≠⌀时，要使C ⊆B ，需要{2m −1<m +1m +1≤32m −1≥−1，解得：0≤m <2 综上所述：实数m 的取值范围是[0,+∞)解析：(1)根据函数f(x)=√6x+1−1的定义域求出集合A ，根据函数g(x)=lg(−x 2+2x +3)的定义域求出集合B ，再求A ∩(∁R B)的集合．(2)集合C ={x|2m −1<x <m +1}，且B ∩C =C ，说明：C ⊆B(同时注意C 可以是空集).从而求实数m 的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．18.答案：解：(1)∵|OP|=√4)2+(−3)2=5，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα=−35(2)原式=cosα−sinα⋅tanα(−cosα)=sinα=1 由余弦的定义可知，cosα=45即所求式的值为54．解析：本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．(1)求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．(2)利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=45，可得结果．19.答案：解：(1)由题意，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,6),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2， 即两条对角线的长为2√10和4√2；(2)设点D 的坐标为(x,y)，由点D 在CB 上，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(x +2,y −1)=λ(4,4)，∴x =4λ−2，y =4λ+1，即D(4λ−2,4λ+1)，，∵AD ⊥BC ，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ−3,4λ+1)⋅(4,4)=0， 即(4λ−3)×4+(4λ+1)×4=0，解得λ=14，即点D 的坐标为(−1,2)．解析：本题考查了平面向量的坐标表示与坐标运算，考查平面向量的加减法运算，向量垂直的判断，向量模的求法，属中档题．(1)由条件可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,6),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)，然后求出两向量的模即可； (2)设点D 的坐标为(x,y)，由点D 在CB 上，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据AD ⊥BC ，可由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0求出λ，进而得到D 的坐标．20.答案：解：(1)根据表中已知数据可得：A =3，π6ω+φ=π2，2π3ω+φ=3π2， 解得ω=2，φ=π6.所以函数f(x)的解析式为．(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=3sin(x +π6)．当x ∈[−π3,π3]时，x +π6∈[−π6,π2]，所以． 于是函数g(x)的值域为[−32,3]．(3)由(1)可得， 由ℎ(x)图象的一个对称中心为(π12,0)可得，ℎ(π12)=0，所以，即，可得，解得，由θ>0可得，当k=1时，θ取得最小值π3．解析：本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．(1)根据表中已知数据可得：A=3，π6ω+φ=π2，2π3ω+φ=3π2，进而可得ω、φ，可得函数解析式；(2)由三角函数图象变换可得，可得函数g(x)的值域；(3)由(1)和三角函数图象可得ℎ(π12)=0，可解得θ的最小值．21.答案：解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0，此时有f(0)=−1+b4=0，解得b=1；(2)由(1)知：f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=12(−1+22x2+1)−12(−1+22x1+1)=12(22x2+1−22x1+1)=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)，∵x1<x2 ∴2x1−2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)为减函数；(3)由(2)知：f(x)为减函数；x∈[0,1]时，f(x)max=f(0)=0，f(x)min=f(1)=−16；故f(x)∈[−16,0]，∵关于x的方程f(x)=m在x∈[0,1]上有解，故只需要m∈[−16,0]．解析：本题主要考查函数奇偶性，单调性和最值的判断和应用，综合考查函数的性质．(1)根据函数是奇函数，利用f(0)=0，解方程即可求实数b的值；(2)根据函数单调性的定义即可证明函数f(x)的单调性；(3)求出函数f(x)在x∈[0,1]上的取值范围即可求实数m的取值范围．22.答案：解：(1)设二次函数解析式为y=a(x−b)2+c，a≠0．∵对于任意x∈R，有f(1+x)=f(1−x)．∵二次函数对称轴x=1∴b=1．∵函数最小值为−3，∴a>0c=−3．∵f(−1)=5，∴a=2.，∴f(x)=2(x−1)2−3=2x2−4x−1．综上：函数解析式f(x)=2x2−4x−1．(2)由题意得：f(x)=kx−32x2−(k+4)x+2=0．令g(x)=2x2−(k+4)x+2∵2x2−(k+4)x+2=0在(0,2)上有两个不相等的实数根∴{g(2)>0g(0)>0Δ>00<k+42×2<2⇒{k<12>0k<−8或k>00<k<4．∴0<k<1．∴k的取值范围(0,1)．解析：本次主要考查二次函数的性质，是中档题．(1)利用待定系数法求二次函数的解析式，首先根据对称性得b=1，再根据最值得c=−3．且f(−1)=5得a=2，从而得解．(2)根据二次函数及函数的零点与方程的根的关系即可得解．。
2019-2020学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若集合{1A =−，0，1}，{0B =，2}，则集合A B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）与角330−︒终边相同的最小正角是( )A ．30−︒B ．330︒C ．30︒D ．60︒3．（5分）若1)1f x +=+，则f （3）的值为( )A ．4B ．5C ．9D ．104．（5分）已知幂函数2()(3)m f x m x −=−在(0,)+∞为单调增函数，则实数m 的值为( )A B ．2±C ．2D ．2−5．（5分）若()tan()(0)f x x ωω=>的最小正周期为1，则1()3f 的值为()A ．B ．CD 6．（5分）已知 1.2log 0.6a =，0.61.2b =， 1.20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<7．（5分）已知弧长为cm π的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为( 2)cm A ．2πB ．π C ．2πD ．4π8．（5分）已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()1f x x mx =++，且f （1）2=−，则实数m 的值为( ) A ．4− B ．0C ．4D ．29．（5分）1cos80cos10−︒︒的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．810．（5分）已知函数2,0()(2)2,0x x f x f x x ⎧=⎨−+>⎩，则2(log 12)f 的值为( )A ．12B ．5C ．194D ．11411．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB =2AD =，135A ∠=︒，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，且AE AB λ=，AF AD μ=，（其中λ，(0,1))μ∈，且41λμ+=．若线段EF 的中点为M ，则当||MC 取最小值时，μλ的值为( ) A ．36B ．37C ．38D ．3912．（5分）已知函数()cos([])2f x x π=，(2)()f x f x +=−，其中表示[]x 不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是( )①函数1()2y f x =+为偶函数；②()f x 的值域为[1−，1]；③()f x 为周期函数，且周期4T =；④()f x 与7log |1|y x =−的图象恰有一个公共点． A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 13．（5分）设12,e e 是平面内的一组基底，若A ，B ，C 三点共线，且121232,12()AB e e BC e me m R =−=+∈，则实数m 的值为 ． 14．（5分）若2tan()5αβ+=，1tan()44πβ−=，则tan()4πα+= ． 15．（5分）已知物体初始温度是0T ，经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2kt T T T T αα−=+−，(T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90C ︒的热水，在10C ︒室温下，温度降到50C ︒需要30分钟，那么降温到20C ︒时，需要 分钟．16．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++−=．且当01x 时，3()log ()f x a x =−．若对于任意[1x ∈−，0]，都有231()1log 53f x tx −−−，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为集合A ，函数0.2()log (4)g x x =−+的定义域为集合B ，全集U R =． （1）若1a =，求A B ；（2）若UA B ⊆，求a 的取值范围．18．（12分）已知角α的终边过点(3,4)P −． （1）求tan(2)sin(7)cos()2απππαα−−+−的值； （2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求cos()αβ+的值． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A −，(5,4)B −，(1,1)C −． （1）分别求出以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB −与向量OB 垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．20．（12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[0x ∈，2]π时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象．若()y k x =图象的一个对称中心为(,0)6π，求θ的最小值．21．（12分）已知函数()2()2x xaf x a R =+∈为定义在[1−，1]上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2(1)(1)0f x f x ++−<；（3）设()(sin 2)g x f x =，当[,]12x πθ∈时，函数()y g x =的最小值为2，求θ的取值范围．22．（12分）已知函数2()2(1)1f x x a x a =−+−+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1−，1]上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]||g x x ax a f x x =−−−，若函数()y lgg x =在区间[t ，1]恒有意义，求实数t 的取值范围； （3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)−有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若集合{1A =−，0，1}，{0B =，2}，则集合A B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：集合{1A =−，0，1}，{0B =，2}， {1AB ∴=−，0，1，2}，∴集合A B 中元素的个数为4．故选：D ．2．（5分）与角330−︒终边相同的最小正角是( )A ．30−︒B ．330︒C ．30︒D ．60︒【分析】利用终边相同的角的集合直接求解． 【解答】解：33036030−︒=−︒+︒， ∴与角330−︒终边相同的最小正角是30︒．故选：C ．3．（5分）若1)1f x +=+，则f （3）的值为( )A ．4B ．5C ．9D ．10【分析】13+=可得4x =，进而将4x =代入解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，1)1f x =+，13=，解可得4x =， 当4x =时，则有f （3）415=+=； 故选：B ．4．（5分）已知幂函数2()(3)m f x m x −=−在(0,)+∞为单调增函数，则实数m 的值为( )A B ．2±C ．2D ．2−【分析】利用幂函数的性质直接求解．【解答】解：幂函数2()(3)m f x m x −=−在(0,)+∞为单调增函数，∴2310m m ⎧−=⎨−>⎩，解得2m =−． ∴实数m 的值为2−．故选：D ．5．（5分）若()tan()(0)f x x ωω=>的最小正周期为1，则1()3f 的值为()A．B． CD【分析】由题意利用正切函数的周期性求得ω的值，可得它的解析式，从而求出1()3f 的值．【解答】解：()tan()(0)f x x ωω=>的周期为1πω=，ωπ∴=，即()tan f x x π=，则1()tan 33f π==故选：D ．6．（5分）已知 1.2log 0.6a =，0.61.2b =， 1.20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解： 1.2log 0.60a =<，0.61.21b =>， 1.20.6(0,1)c =∈， a c b ∴<<．故选：A ．7．（5分）已知弧长为cm π的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为( 2)cm A ．2πB ．π C ．2πD ．4π【分析】先求出圆半径4()4r cm ππ==，由此能求出这条弧所在的扇形面积．【解答】解：弧长为cm π的弧所对的圆心角为4π，∴圆半径4()4r cm ππ==， ∴这条弧所在的扇形面积为21142()22S lr cm ππ==⨯⨯=．故选：C ．8．（5分）已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()1f x x mx =++，且f （1）2=−，则实数m 的值为( ) A ．4−B ．0C ．4D ．2【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得(1)f f −=−（1）2=，结合函数的解析式可得(1)22f m −=−=，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是奇函数，且f （1）2=−， 则(1)f f −=−（1）2=，又由当0x <时，2()1f x x mx =++，则(1)22f m −=−=， 解可得：0m =； 故选：B ． 9．（5分）1cos80cos10−︒︒的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】通分，利用辅助角公式化简即可． 【解答】解：1cos10cos80cos10sin10cos10︒︒−=︒︒︒︒2sin(3010)41sin 202︒−︒==︒，故选：B ．10．（5分）已知函数2,0()(2)2,0x x f x f x x ⎧=⎨−+>⎩，则2(log 12)f 的值为( )A ．12B ．5C ．194D ．114【分析】根据题意，由函数的解析式可得22223(log 12)(log 122)2(log 124)4(log )44f f f f =−+=−+=+，据此结合对数的性质计算可得答案．【解答】解：根据题意，2,0()(2)2,0x x f x f x x ⎧=⎨−+>⎩，而2223log 8log 12log 164=<<=，则22223319(log 12)(log 122)2(log 124)4(log )44444f f f f =−+=−+=+=+=；故选：C ．11．（5分）在平行四边形ABCD中，AB =2AD =，135A ∠=︒，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，8且AE AB λ=，AF AD μ=，（其中λ，(0,1))μ∈，且41λμ+=．若线段EF 的中点为M ，则当||MC 取最小值时，μλ的值为( ) A ．36B ．37C ．38D ．39【分析】建立直角坐标系，求出E ，F ，M 的坐标，根据两点间的距离公式，结合函数的最值，求出结果．【解答】解：根据题意，建立如图直角坐标系，AB =2AD =，135A ∠=︒， 所以( 1.1)B −，(2,0)D ，(1,1)C ，由(1AE AB λλ==−，1)(λ=−，)λ，得(,)E λλ−， 由(2AF AD μμ==，0)(2μ=，0)，得(2,0)F μ， 所以2(2M μλ−，)2λ，2222222921(1)(1)()()(8244)22224CM μλλλλλλ−−=−+−=+=−+， 当141λ≡时，取到最小值，此时43714141μ=−=，故μλ的最小值为37， 故选：B ．12．（5分）已知函数()cos([])2f x x π=，(2)()f x f x +=−，其中表示[]x 不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是( )①函数1()2y f x =+为偶函数；②()f x 的值域为[1−，1]；③()f x 为周期函数，且周期4T =；④()f x 与7log |1|y x =−的图象恰有一个公共点． A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【分析】直接利用函数的周期和函数的图象和性质的应用求出结果．【解答】解：函数()cos([])2f x x π=，所以函数中的变量(0,1)x ∈函数的值为1．在[1x ∈，2)时，函数的值为0，在[2x ∈，3)时，函数的值为1−， 在[3x ∈，4)时，函数的值为0， 在4x =时，函数的值为1． 在0x =时，函数的值为1． 在(1,0)x ∈−时，函数的值为0，所以：1()2y f x =+的图象由函数()f x 的图象向左平移12个单位，由于函数的图象不关于y 轴对称，所以函数1()2y f x =+不为偶函数．故①错误．由于函数的值为点集，故()f x 的值域为[1−，1]错误．故②错误．由于(2)()f x f x +=−，所以(4)()f x f x +=所以函数的周期为4T =，故：③正确．根据函数函数()cos([])2f x x π=，的取值和7log |1|y x =−的图象，只有当8x =时，函数才有一个交点．故④正确．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 13．（5分）设12,e e 是平面内的一组基底，若A ，B ，C 三点共线，且121232,12()AB e e BC e me m R =−=+∈，则实数m 的值为 8− ．【分析】由A ，B ，C 三点共线，BC AB λ=，求出λ，再求出m ． 【解答】解：A ，B ，C 三点共线，121232,12()AB e e BC e me m R =−=+∈， 由BC AB λ=，12,e e 是平面内的一组基底， 得1232m λλ=⎧⎨=−⎩，故4λ=，8m =−，故答案为：8−． 14．（5分）若2tan()5αβ+=，1tan()44πβ−=，则tan()4πα+=322．【分析】把4πα+变为[()()]4παββ+−−，然后利用两角差的正切函数的公式化简所求的式子，整体代入即可求出值．【解答】解：因为[()()]44ππααββ+=+−−，且2tan()5αβ+=，1tan()44πβ−=， 则根据两角差的正切函数的公式得： tan()tan[()()]44ππααββ+=+−−21tan()tan()354421221tan()tan()1454παββπαββ−+−−===++−+⨯故答案为32215．（5分）已知物体初始温度是0T ，经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2kt T T T T αα−=+−，(T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90C ︒的热水，在10C ︒室温下，温度降到50C ︒需要30分钟，那么降温到20C ︒时，需要 90 分钟．【分析】本题根据题意理解题意后将初始温度090C T ︒=，室温10C T α︒=，代入公式，然后根据当50C T ︒=时，30t =分钟，代入公式得到参数k 的值，再将20C T ︒=代入公式可得相应的t 值． 【解答】解：由题意，初始温度090C T ︒=，室温10C T α︒=， 代入公式，可得10(9010)210802kt kt T −−=+−=+，当50C T ︒=时，30t =分钟， 301080250k −∴+=，即30122k −−=， 301k ∴−=−，解得130k =． 13010802t T −∴=+，∴当20C T ︒=时，1301080220t −+=，即，133022t −−=，1330t ∴−=−，解得90t =． 故答案为：90．16．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++−=．且当01x 时，3()log ()f x a x =−．若对于任意[1x ∈−，0]，都有231()1log 53f x tx −−−，则实数t 的取值范围为 7[,1]3−．【分析】先求得f （1）的值，由此求得a 的值，证得()f x 时周期为4的函数，将31log 5−转化为5()3f ，根据函数周期性和对称性，将原式转化为2543k x tx −+−，结合x 的取值范围即可求得t 的取值范围．【解答】解：因为(1)(1)0f x f x ++−=．令0x =，则2f （1）0=，即f （1）0=， 由于01x 时，3()log ()f x a x =−．所以f （1）3log (1)0a =−=，解得2a =， 即有当01x 时，3()log (2)f x x =−． 因为333335112251log 5(2)()(1)(1)()5333333log log log f f f f −==−=−−=−=−−=+=， 又因为()f x 为偶函数，所以55()()33f f =−，再根据(1)(1)0f x f x ++−=．()()f x f x −=，则(4)[1(3)][1(3)][(2)](2)[1(1)][1(1)]()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x +=++=−−+=−−+=−+=−++=−+=−=， 所以函数()f x 是周期为4的周期函数，当[1x ∈−，0]时，[0x −∈，1]，所以3()()log (2)f x f x x =−=+， 所以当[1x ∈−，1]时，3()log (2||)f x x =−．因为(1)(1)0f x f x ++−=，所以(2)()0f x f x −+=，故()(2)f x f x =−−， 所以当[1x ∈，3]时，2[1x −∈−，1]，所以3()log (2|2|)f x x =−−−． 作出函数()f x 的图象如图：由231()1log 53f x tx −−−，得251544()333k x tx k k Z −+−−+∈，对于任意[1x ∈−，0]成立当0x =时，51544333k k −+−+，解得1123k −，所以0k =，即2515333x tx −−−对于任意[1x ∈−，0]成立，当[1x ∈−，0)时，由25133x tx −−−得4()3t x x +的最大值，由于43y x x =+在[1−，0)单调递减，所以47133t −−=−， 由21533x tx −−得2()t x x −的最小值，由于2y x x=−在[1−，0)单调递增，所以2111t −−=−，综上，t 的取值范围是7[3−，1]，故答案为：7[3−，1]．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为集合A，函数0.2()log (4)g x x =−+的定义域为集合B ，全集U R =． （1）若1a =，求A B ；（2）若UA B ⊆，求a 的取值范围．【分析】（1）利用正弦函数的值域求出集合A ，再求出集合B ，即可求出A B ；（2）先求出U B ，再结合条件UA B ⊆，即可求出a 的取值范围．【解答】解：由函数sin y x =的值域为[1−，1]， 得函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为[1A a =−，1]a +， 又由40102x x −>⎧⎪⎨−⎪⎩，解得142x <，即1[,4)2B =， （1）当1a =时，[0A =，2]，所以1[,2]2A B =；（2）因为U R =，所以1{|2UB x x =<或4}x ， 由UA B ⊆，得112a +<，或14a −， 解得12a <−，或5a ，所以a 的取值范围为1(,)[5,)2−∞−+∞．18．（12分）已知角α的终边过点(3,4)P −． （1）求tan(2)sin(7)cos()2απππαα−−+−的值； （2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求cos()αβ+的值．【分析】（1）由三角函数定义可知，4sin 5y r α==−，3cos 5x r α==，再由诱导公式能求出tan(2)sin(7)cos()2απππαα−−+−的值．所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα−===+−+−． （2）由4sin 5β=，β是第二象限角，求出3cos 5β=−，再由余弦函数加法定理能求出cos()αβ+的值． 【解答】解：（1）因为角α的终边经过点(3,4)P −，所以5r OP ===， 由三角函数定义可知，4sin 5y r α==−，3cos 5x r α==， 所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα−===+−+−． （2）因为4sin 5β=，所以22249cos 1sin 1()525ββ=−=−=， 由β是第二象限角，知cos 0β<，所以3cos 5β=−，由（1）知，4sin 5α=−，3cos 5α=所以33447cos()cos cos sin sin ()()555525αβαβαβ+=−=⨯−−⨯−=．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A −，(5,4)B −，(1,1)C −． （1）分别求出以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB −与向量OB 垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出向量,AB AC ，利用向量的加法和减法，求出即可；（2）由向量AC tOB −与向量OB 垂直，得()0AC tOB OB −=，由向量建立关于t 的方程，求出即可．【解答】解：（1）(4,2)AB =−，(2,3)AC =−， 由(2,1)AB AC +=−−，得||5AB AC +=， 由(6,5)AB AC −=−，得||61AB AC −=故以线段AB ，AC（2）(5,4)OB =−，由向量AC tOB −与向量OB 垂直，得()0AC tOB OB −=，又因为(2,3)(5,4)(25,34)AC tOB t t t −=−−−=+−−， 所以(25)(5)(34)40t t +⨯−+−−⨯=， 所以2241t =−． 20．（12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[0x ∈，2]π时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象．若()y k x =图象的一个对称中心为(,0)6π，求θ的最小值．【分析】（1）由表中数据列关于ω、ϕ的二元一次方程组，求得A 、ω、ϕ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（2）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可求()g x ，利用正弦函数的性质即可求解． （3）由（1）及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得()k x ，令2,6k k z πθπ−=∈，解得,212k k z πθπ=−+∈，结合0θ>即可解得θ的最小值． 【解答】解：（1）表格中①填：712π，()f x 的解析式为：()2sin(2)6f x x π=−， （2）()2sin()6g x x π=−，令22262k x k πππππ−−+，k Z ∈，∴222,33k x k k z ππππ−+∈， [0x ∈，2]π，∴2[0,]3x π∈和5[,2]3ππ，即()g x 的单调递增区间为2[0,]3π和5[,2]3ππ，注：若学生写成25[0,][,2]33πππ，建议扣（1分）．（3）()()2sin(22)6k x f x x πθθ=−=−−，()y k x =图象的一个对称中心为(,0)6π，∴()2sin(2)066k ππθ=−=，∴2,6k k z πθπ−=∈，即,212k k z πθπ=−+∈，∴12min πθ=．21．（12分）已知函数()2()2x xaf x a R =+∈为定义在[1−，1]上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2(1)(1)0f x f x ++−<；（3）设()(sin 2)g x f x =，当[,]12x πθ∈时，函数()y g x =，求θ的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义建立方程解出即可；（2）先求出函数()f x 在[1−，1]上的单调性，进而转化为解不等式21111x x −+<−； （3）通过换元结合三角函数的图象及性质即可求解．【解答】解：（1）()f x 为定义在[1−，1]上奇函数，()()f x f x ∴−=−在[1−，1]上恒成立，∴2(2)22x xx xa a −−+=−+，∴1(2)(1)02x xa ++=在[1−，1]上恒成立，等价于10a +=，即1a =−； （2）由（1）知，1()22x xf x =−， 任取1211x x −<，则1212121221121211111()()2(2)22(22)(1)22222x x x x x x x x x x x x f x f x +−=−−−=−+−=−+， 1211x x −<，∴1222x x <，12()()f x f x ∴<，即()f x 在[1−，1]上为单调递增函数，()f x 为奇函数，2(1)(1)0f x f x ∴++−<等价于2(1)(1)f x f x +<−， ()f x 在[1−，1]上为单调递增函数，21111x x ∴−+<−，∴[1)x ∈−；（3）sin 2sin 21()(sin 2)22x xg x f x ==−，令sin 2x t =，∴1()22t th t =−由1()22t t h t =−=解得2t =2t=， ∴12t =，即1sin 22x =，[,]12x πθ∈，∴2[,2]6x πθ∈，1sin()62π=，∴由三角函数图象可知5266ππθ<，即51212ππθ<．22．（12分）已知函数2()2(1)1f x x a x a =−+−+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1−，1]上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]||g x x ax a f x x =−−−，若函数()y lgg x =在区间[t ，1]恒有意义，求实数t 的取值范围； （3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)−有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）结合二次函数的性质，只有检验对称轴与已知区间的关系即可求解，（2）函数()y lgg x =在区间[t ，1]恒有意义，等价于对于任意的实数[x t ∈，1]，不等式()(21)||0g x x x =−>恒成立，结合函数的性质可求解．（3）方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)−有两个不相等的实数根，等价于函数()h x 在区间(1,2)−上存在两个零点，结合二次函数的实根分布分类讨论求解．【解答】解：（1）因为()f x 在区间[1−，1]上不单调，则111a −<+<，解得20a −<<， 即a 的取值范围(2,0)−；（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||(21)||g x x ax a f x x x ax a x a x a x x x =−−−=−−−−+−+=−， 函数()y lgg x =在区间[t ，1]恒有意义，等价于对于任意的实数[x t ∈，1]，不等式()(21)||0g x x x =−>恒成立，(*)当12t 时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与(*)式矛盾，不合题意，当12t >时，由[x t ∈，1]可知，210x −>，||0x >，所以()0g x >恒成立，即(*)成立，又在区间[t ，1]上实数t 必须满足1t <， 综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2；（3）令2()()|2|h x f x x x =++方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)−有两个不相等的实数根， 等价于函数()h x 在区间(1,2)−上存在两个零点，因为222(2)1,10()()|2|221,02a x a x h x f x x x x ax a x −+−+−<<⎧=++=⎨−−+<⎩且()h x 在0x =处图象不间断，当2a =−时，23,10()243,02x h x x x x −<<⎧=⎨++<⎩无零点；当2a ≠−时，由于()2(2)1h x a x a =−+−+在(1,0)−单调，∴在(1,0)−内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26,10()22,02x x h x x x x −−<<⎧=⎨−<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)−上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x −<<，202x <<，则()()()()()()()()15100150919020*******a a h h a a a h h a a a ><−⎧−⋅<−+<⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<−−<<<⎪⎪⎩⎩⎪⎩或． ②若1202x x <<<，则()()()()()21148100402211100*********a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧−−=−−>⎪⎪⎪<<⎪<<⎪⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪−>−<<⎩⎪⎩．综合①②得，实数a的取值范围是91,)5−．。
2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B U 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求得A B U ，由此判断出A B U 中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-o 终边相同的最小正角是（ ） A ．30-o B ．330oC ．30oD ．60o【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-o 终边相同的最小正角. 【详解】与角330-o 终边相同的最小正角为33036030-+=o o o . 故选：C 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B【解析】13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值. 【详解】13=由解得4x =，所以()3415f =+=.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 4．已知幂函数()()23mf x m x-=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）A B ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值. 【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题. 5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A ．B ．-C D【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知0.6 1.21.2log 0.6, 1.2,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】利用“0,1分段法”判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于()0.60 1.21.2 1.2log 0.6log 10, 1.2 1.21,0.60,1a b c =<==>==∈，所以a c b <<.故选：A 【点睛】本小题主要考查0,1分段法比较指数式、对数式的大小，考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积. 【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C 【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．0C ．4D ．2【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和()12f =-列方程，求得解方程求得实数m 的值. 【详解】由于()f x 为奇函数，所以()()()2111122,0f f m m m ⎡⎤=--=---+=-=-=⎣⎦.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题. 9．1cos80cos10-o o的值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值. 【详解】1cos80o1sin10=o=()2sin 3010sin10cos10-=o oo o2sin 2041sin 202==o o. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．已知函数20()(2)20x x f x f x x ⎧≤=⎨-+>⎩，，，则()2log 12f 的值为（ ）A ．12B ．5C ．194D ．114【答案】C【解析】利用分段函数解析式，化简求得()2log 12f 的值. 【详解】 依题意()2log 12f ()()22log 1222log 32f f =-+=+()2log 324f =-+23log 44f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23log 431924444=+=+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用分段函数解析式求函数值，考查对数运算，属于基础题. 11．在平行四边形ABCD中，AB =2AD =，135A ∠=︒，,E F 分别是,AB AD上的点，且AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD μ=u u ur u u u r ，（其中,(0,1)λμ∈），且41λμ+=.若线段EF的中点为M ，则当||MC u u u u r取最小值时，μλ的值为（ ） A ．36 B ．37C ．38D ．39【答案】B【解析】利用MC =u u u u r ，结合向量线性运算、数量积运算，以及41λμ+=，求得当,λμ为何值时MC u u u u r 取得最小值，进而求得μλ的值.【详解】依题意可知cos1352AB AD AB AD ⋅=⋅⋅=-ou u u r u u u r u u u r u u u r ，MC AC AM =-u u u u r u u u r u u u u r ()12AB AD AE AF =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r 111122AB AD λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r，所以MC =u u u u r=.由于41,14λμμλ+==-，所以①，根据二次函数的性质可知，∆<0，当11414122λ-=-=⋅时，②取得最小值，此时371441μλ=-=，所以37μλ=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（ ）①函数1()2y f x =+为偶函数； ②()f x 的值域为[]1,1-； ③()f x 为周期函数，且周期4T =； ④()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点． A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确，由此得出正确结论. 【详解】对于①，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以11112222f f ⎛⎫⎛⎫-+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()2y f x =+不是偶函数.对于②，由于[]x 为整数，所以(){}0,1,1f x ∈-，②错误. 对于③，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确.对于④，由②得(){}0,1,1f x ∈-.令7|og |l 10x -=，得2x =或0x =，而()2cos π1f ==-，()0cos01f ==，不是公共点的横坐标.令7|og |l 11x -=，解得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1的两个函数图像的一个公共点.令7|og |1l 1x -=-，解得87x =，或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是公共点的横坐标.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故④正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查三角函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查对数函数的性质，属于中档题.二、填空题13．设12,e e u r u u r是平面内的一组基底，若,,A B C 三点共线，且()121232,12AB e e BC e me m R =-=+∈u u u r r r u u u r r r，则实数m 的值为___________．【答案】8-【解析】根据,,A B C 三点共线，得到BC AB λ=u u u r u u u r，由此列方程组，解方程组求得m 的值. 【详解】由于,,A B C 三点共线，所以BC AB λ=u u u r u u u r，即()12121232e me e e λ+=-u r u u r u r u u r ，所以3122m λλ=⎧⎨-=⎩，解得8m =-.本小题主要考查三点共线的向量表示，考查方程的思想，属于基础题. 14．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--，所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为：322. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.15．已知物体初始温度是0T ,经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2kt T T T T αα-=+-g ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90C o 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟，那么降温到20C o 时，需要___________分钟. 【答案】90【解析】根据已知条件求得k 的值，由此求得温到20C o 时，需要的时间. 【详解】由于“从发电厂出来的90C o 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟”，所以()30501090102k-=+-⋅，解得130k =.则降温到20C o 时，需要()130201090102t -=+-⋅，解得90t =分钟.本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查待定系数法求函数解析式，属于基础题. 16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=．且当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-．若对于任意[1,0]x ∈-，都有321()1log 35f x tx --≥-，则实数t 的取值范围为___________． 【答案】7[,1]3-【解析】先求得()1f 的值，由此求得a 的值.证得()f x 是周期为4的周期函数，将31log 5-转化为53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据()f x 的周期性和对称性，将321()1log 35f x tx --≥-转化为25154333k x tx -+≤--≤，结合[1,0]x ∈-求得t 的取值范围. 【详解】由(1)(1)0f x f x ++-=，令0x =，得()()210,10f f ==.由于当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-，所以()()31log 10,2f a a =-==.故当01x ≤≤时，()3log (2)f x x =-.33352211511log 2log 1log 5333333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 为偶函数，所以5533f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由()()(1)(1)0,f x f x f x f x ++-=-=，得()()()41313f x f x f x +=++=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()[]22f x f x =--+=-+⎡⎤⎣⎦()11f x =-++⎡⎤⎣⎦()[]()11f x f x f x =-+=-=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为4的周期函数.当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，所以()()()3log 2f x f x x =-=+.所以当[]1,1x ∈-，()()3log 2f x x =-.(1)(1)0f x f x ++-=得()()20f x f x -+=，故()()2f x f x =--.所以当[]1,3x ∈时，[]21,1x -∈-，所以()()()32log 22f x f x x =--=---.结合()f x 是周期为4的周期函数，画出()f x 的图像如下图所示.由3215()1log 335f x tx f ⎛⎫--≥=- ⎪⎝⎭得251544333k x tx k -+≤--≤+（k Z ∈），对于任意[1,0]x ∈-成立.0x =时，51544333k k -+≤-≤+，解得1123k -≤≤，所以0k =，即2515333x tx -≤--≤对于任意[1,0]x ∈-成立.当[)1,0x ∈-时，由25133x tx -≤--得max 43t x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，由于43y x x =+在[)1,0-递减，所以47133t ≥-+=--；由21533x tx --≤得min 2t x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于2y x x =-在在[)1,0-递增，所以2111t ≤--=-.综上所述，t 的取值范围是7[,1]3-. 故答案为：7[,1]3-【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题17．已知函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为集合A ，函数()()02142.g x log x x =-+-B ，全集U =R ． （1）若1a =，求A B I ；（2）若U A B ⊆ð，求a 的取值范围．【答案】（1）1[,2]2A B =I ；（2）1(,)[5,)2-∞-+∞U .【解析】求()f x 的值域求得集合A ，求()g x 的定义域求得集合B . （1）根据交集的概念和运算，求得A B I .（2）首先求得U B ð根据U A B ⊆ð列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】由函数sin y x =的值域为[1,1]-，得函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为[1,1]A a a =-+ ,又由40102x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得142x ≤<，即1[,4)2B =. （1）当1a =时，[0,2]A =，所以1[,2]2A B =I ； （2）因为U =R ，所以1(,)[4,)2U B =-∞+∞U ð 由U A B ⊆ð，得112a +<，或14a -≥， 解得12a <-，或5a ≥ 所以a 的取值范围为1(,)[5,)2-∞-+∞U 【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查函数定义域的求法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 18．已知角α的终边过点()3,4P -.（1）求()()tan 2sin 7cos 2απαα-π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭的值；（2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求()cos αβ+的值. 【答案】（1）56；（2）725. 【解析】（1）根据三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.（2）首先求得cos β的值，然后利用两角和的余弦公式，求得()cos αβ+的值. 【详解】（1）因为角α的终边经过点(3,4)P -，所以5r OP === 由三角函数定义可知，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα-===+-+-；（2）因为4sin 5β=，所以22249cos 1sin 1()525ββ=-=-=由β是第二象限角，知cos 0β<，所以3cos 5β=-由（1）知，4sin 5α=-，3cos 5α=所以()33447cos cos cos sin sin 555525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(5,4)B -，(1,1)C -． （1）分别求出以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB -u u u r u u u r 与向量OB uuu r垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1；（2）存在,2241t =-. 【解析】（1）求得AB AC +u u u r u u u r 、AB AC -u u u r u u u r的坐标，进而求得它们的模，也即求得以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长.（2）利用()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，以及向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得t 的值.【详解】（1）(4,2)AB =-u u u r ，(2,3)AC =-u u u r，由(2,1)AB AC +=--u u u r u u u r，得AB AC +=u u u v u u u v由(6,5)AB AC -=-u u u r u u u r，得||AB AC -u u u r u u u r故以线段,AB AC. （2）(5,4)OB =-u u u r，由向量AC tOB -u u u r u u u r 与向量OB uuu r垂直，得()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，又因为()()()325,34AC tOB t t t -=--=+--u u u r u u u r 2，-5，4，所以()()()2553440t t +⨯-+--⨯=， 所以2241t =-. 【点睛】本小题主要考查向量坐标的加法、减法、模和数量积的运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[]0,2x π∈时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象. 若()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值.【答案】（1）表格中①填:712π，()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）12π.【解析】（1）利用5362ππ+求得①求得中填写的数值.根据表格所给数据，求得,,A ωϕ的值.（2）根据三角函数图像变换的知识，求得()g x 的解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得()g x 的单调递增区间.（3）根据三角函数图像变换的知识，求得()k x 的解析式，根据()k x 的对称中心列方程，由此求得θ的表达式，进而求得θ的最小值. 【详解】（1）依题意5736212πππ+=，故表格中①填:712π.由表格数据可知2A =，52632T πππ=-=，所以2,2T ππωω===，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，由22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,326πππϕϕ+==-.所以()f x 的解析式为:()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-≤-≤+222,33k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ []0,2x π∈Q 20,3x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即()g x 的单调递增区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()2sin 226k x f x x πθθ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， Q ()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 2sin 2066k ππθ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,6k k Z πθπ∴-=∈ 即,212k k Z πθπ=-+∈ min 12πθ∴=【点睛】本小题主要考查三角函数五点作图法，考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数的对称中心，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()22xx af x a R =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()2110f x f x++-<；（3）设()()sin 2g x f x =，当,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的最小值为2，求θ的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）)1⎡-⎣；（3）51212ππθ<≤. 【解析】（1）利用()()f x f x -=-列方程，由此求得a 的值.（2）利用函数单调性的定义证得()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，结合()f x 为奇函数化简所求不等式，由此求得不等式的解集.（3）利用换元法化简()g x 解析式，利用最小值列方程，结合x 的取值范围，求得θ的取值范围. 【详解】（1）()f x Q 为定义在[]1,1-上奇函数，()()f x f x ∴-=-在[]1,1-上恒成立，2222xx x x a a--⎛⎫∴+=-+ ⎪⎝⎭， ()12102x x a ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭在[]1,1-上恒成立，等价于10a +=，即1a =-；（2）()122xx f x =-，任取1211x x -??，()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭()1212211211122221222x x x x x x x x+⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1211x x -≤<≤Q 1222x x ∴< ()()12f x f x ∴< 即()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，Q ()f x 为奇函数，∴ ()()2110f x f x ++-<等价于()()211f x f x +<-， Q ()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，21111x x ∴-≤+<-≤，)1x ⎡∴∈-⎣（3）()()sin 2sin 21sin 222x xg x f x ==-令sin 2x t =()122tt h t ∴=-由()1222t th t =-=解得2t=或22t =-（舍去），12t ∴= 即1sin 22x =，,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 2,26x πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 62π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ∴由三角函数图像可知5266ππθ<≤，即51212ππθ<≤. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查定义法正函数的单调性，考查三角函数最值有关计算.22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t 的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,0)-；（2）1(,1)2；（3）91,)5.【解析】（1）根据()f x 的对称轴在区间()1,1-内列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）先求得()g x 表达式，将函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，转化为“对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立”，对t 分成11,22t t ≤>两种情况进行分类讨论，由此求得t 的取值范围.（3）构造函数()2=()|2|h x f x x x ++，将()h x 写出分段函数的形式，对a 分成2,2a a =-≠-两种情况进行分类讨论，结合()h x 在(1,2)-有两个不相等的实数根，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<< 即a 的取值范围(2,0)-；（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅(21)||x x =-函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（）当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ->，||0x >，所以()0>g x 恒成立，即（）成立又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2； （3）令()2=()|2|h x f x x x ++方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根 等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点因为222(2)1,10(=()2221,?02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23,?10()=243,? 02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点；当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26,?10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x -<<，202x <<，则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或. ②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=-->--⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数定义域问题的求解，考查方程的根的问题求解，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
江苏省扬州市第一中学2019-2020学年高三数学理上学期期末试题含解析
江苏省扬州市第一中学2019-2020学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设命题函数的最小正周期为；函数函数的图象关于直线对称.则下列的判断正确的是( )A 为真B 为假C 为假D 为真参考答案：A略2. “”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z，则“φ=”是“函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16πB．8πC．πD．π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为=，故选D．4. 设集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B只有一个元素，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜1} B．{a|a≥1}C．{a|0≤a＜1} D．{a|a≤1}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合A中元素的个数以及交集的个数求出a的范围即可．【解答】解：∵集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B只有一个元素，则0≤a＜1，故选：C．【点评】本题考察了集合的运算，注意“=”能否取到，本题是一道基础题．5. 在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.D.(-1,2)参考答案：解析:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.6. 已知函数恒成立，设，则的大小关系为A. B. C. D.参考答案：A略7. 已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数参考答案：C【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）最小正周期T=．∴A对．令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．故选：C．8. 已知函数f（x）＝x3＋3x，g（x）＝－f（｜x｜），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是A．（10，＋∞） B．（，10）C．（0，10）D．（0，）∪（10，＋∞）参考答案：B略9. 已知函数①y=x·sin x，②y=x·cos x，③y=x·|cos x|，④y=x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到名，对应的函数序号正确的一组是(A) ①④②③(B)①④③②(C) ④①②③(D) ③④②①参考答案：A略10. 已知,则( )A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．参考答案：16；12. 若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为．参考答案：﹣7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C（﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13. 设等差数列的前项和为，已知，，则．参考答案：14. 已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则参考答案：415. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。
2019-2020学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A＝{−1, 0, 1}，B＝{0, 2}，则集合A∪B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.42. 与角−330∘终边相同的最小正角是（）A.−30∘B.330∘C.30∘D.60∘3. 若f(√x+1)=x+1，则f(3)的值为（）A.4B.5C.9D.104. 已知幂函数f(x)＝(m2−3)x−m在(0, +∞)为单调增函数，则实数m的值为（）A.√3B.±2C.2D.−25. 若f(x)＝tan(ωx)(ω>0)的周期为1，则f(13)的值为（）A.−√3B.−√33C.√33D.√36. 已知a＝log1.20.6，b＝1.20.6，c＝0.61.2，则a，b，c的大小关系为（）A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a7. 已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为()cm2A.π2B.πC.2πD.4π8. 已知函数y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2+mx+1，且f(1)＝−2，则实数m的值为（）A.−4B.0C.4D.29. 1cos80−√3cos10的值为（）A.2B.4C.6D.810. 已知函数f(x)={2x,x≤0f(x−2)+2,x>0，则f(log212)的值为（）A.12B.5C.194D.11411. 在平行四边形ABCD中，AB=√2，AD＝2，∠A＝135∘，E，F分别是AB，AD上的点，且AE→=λAB→，AF→=μAD→，（其中λ，μ∈(0, 1)），且4λ+μ＝1．若线段EF的中点为M，则当|MC→|取最小值时，μλ的值为（）A.36B.37C.38D.3912. 已知函数f(x)=cos(π2[x])，f(x+2)＝−f(x)，其中表示[x]不超过x的最大整数，下列关于f(x)说法正确的是（）①函数y=f(x+12)为偶函数；②f(x)的值域为[−1, 1]；③f(x)为周期函数，且周期T＝4；④f(x)与y＝log7|x−1|的图象恰有一个公共点．A.①③B.②③C.③④D.①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）设e1→,e2→是平面内的一组基底，若A，B，C三点共线，且AB→=3e→1−2e→2,BC→=12e→1+me→2(m∈R)，则实数m的值为________．若tan(α+β)=25，tan(β−π4)=14，则tan(α+π4)＝________．已知物体初始温度是T0，经过t分钟后物体温度是T，且满足T＝Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，（Tα为室温，k是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90∘C的热水，在10∘C室温下，温度降到50∘C需要30分钟，那么降温到20∘C时，需要________分钟．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)＝0．且当0≤x≤1时，f(x)＝log3(a−x)．若对于任意x∈[−1, 0]，都有f(x2−tx−13)≥1−log35，则实数t的取值范围为________．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)＝sin x+a(a∈R)的值域为集合A，函数g(x)＝log0.2(4−x)+√x−12的定义域为集合B，全集U＝R．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ⊆∁U B ，求a 的取值范围．已知角α的终边过点P(3, −4)． （1）求tan (α−2π)sin (7π−α)+cos (π2−α)的值；（2）若β为第二象限角，且sin β=45，求cos (α+β)的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−1, 2)，B(−5, 4)，C(1, −1)． （1）分别求出以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC →−tOB →与向量OB →垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．某同学用“五点法”画函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求当x ∈[0, 2π]时，函数g(x)的单调递增区间；(3)若将函数f(x)图象上的所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y =k(x)的图象．若y =k(x)图象的一个对称中心为(π6,0)，求θ的最小值．已知函数f(x)＝2x +a 2x(a ∈R)为定义在[−1, 1]上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式f(x +1)+f(1−x 2)<0；（3）设g(x)＝f(sin 2x)，当x ∈[π12,θ]时，函数y ＝g(x)的最小值为√22，求θ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2−2(a +1)x −a +1，a ∈R ． （1）若f(x)在区间[−1, 1]上不单调，求a 的取值范围；（2）设g(x)＝[(x 2−2ax −a)−f(x)]•|x|，若函数y ＝lg g(x)在区间[t, 1]恒有意义，求实数t 的取值范围；（3）已知方程f(x)+|x 2+2x|＝0在(−1, 2)有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{−1, 0, 1}，B＝{0, 2}，∴A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，∴集合A∪B中元素的个数为4．2.【答案】C【考点】终边相同的角【解析】利用终边相同的角的集合直接求解．【解答】−330∘＝−360∘+30∘，∴与角−330∘终边相同的最小正角是30∘．3.【答案】B【考点】求函数的值函数的求值【解析】根据题意，令√x+1＝3可得x＝4，进而将x＝4代入解析式分析可得答案．【解答】根据题意，f(√x+1)=x+1，若√x+1＝3，解可得x＝4，当x＝4时，则有f(3)＝4+1＝5；4.【答案】D【考点】幂函数的性质【解析】利用幂函数的性质直接求解．【解答】∵幂函数f(x)＝(m2−3)x−m在(0, +∞)为单调增函数，∴{m2−3=1−m>0，解得m＝−2．∴实数m的值为−2．5.【答案】D【考点】正切函数的单调性正切函数的周期性【解析】由题意利用正切函数的周期性求得ω的值，可得它的解析式，从而求出f(13)的值．【解答】∵f(x)＝tan(ωx)(ω>0)的周期为πω=1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，则f(13)=tanπ3=√3，6.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】：∵a＝log1.20.6<0，b＝1.20.6>1，c＝0.61.2∈(0, 1)，∴a<c<b．7.【答案】C【考点】扇形面积公式【解析】先求出圆半径r=ππ4=4(cm)，由此能求出这条弧所在的扇形面积．【解答】弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴圆半径r=ππ4=4(cm)，∴ 这条弧所在的扇形面积为S =12lr =12×π×4=2π(cm 2)．8.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得f(−1)＝−f(1)＝2，结合函数的解析式可得f(−1)＝2−m ＝2，解可得m 的值，即可得答案． 【解答】 故选：B ． 9.【答案】 B【考点】两角和与差的三角函数 【解析】通分，利用辅助角公式化简即可． 【解答】1cos 80−√3cos 10=cos 10−√3sin 10sin 10cos 10 =2sin (30−10)12sin 20=4，10. 【答案】 C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(log 212)＝f(log 212−2)+2＝f(log 212−4)+4＝f(log 234)+4，据此结合对数的性质计算可得答案． 【解答】根据题意，f(x)={2x ,x ≤0f(x −2)+2,x >0 ，而3＝log 28<log 212<log 216＝4，则f(log 212)＝f(log 212−2)+2＝f(log 212−4)+4＝f(log 234)+4=34+4=194；11. 【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】建立直角坐标系，求出E ，FM 的坐标，根据两点间的距离公式，结合函数的最值，求出结果． 【解答】根据题意，建立如图直角坐标系，AB =√2，AD ＝2，∠A ＝135∘， 所以B(−1.1)，D(2, 0)，C(1, 1)，由AE →=λAB →=λ(−1, 1)＝(−λ, λ)，得E(−λ, λ)， 由AF →=μAD →=μ(2, 0)＝(2μ, 0)，得F(2μ, 0)， 所以M(2μ−λ2, λ2)，CM 2=(2μ−λ2−1)2+(λ2−1)2=16λ2+(λ−22)2=(9λ2)2+(λ−22)2=14(82λ2−4λ+4)，当λ≡141时，取到最小值，此时μ=1−441=3741，故μλ的最小值为37， 12.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】直接利用函数的周期和函数的图象和性质的应用求出结果． 【解答】函数f(x)=cos (π2[x])，所以函数中的变量x ∈(0, 1)函数的值为1． 在x ∈[1, 2)时，函数的值为0， 在x ∈[2, 3)时，函数的值为−1， 在x ∈[3, 4)时，函数的值为0， 在x ＝4时，函数的值为1． 在x ＝0时，函数的值为1．在x ∈(−1, 0)时，函数的值为0，所以：y =f(x +12)的图象由函数f(x)的图象向左平移12个单位，由于函数的图象不关于y 轴对称，所以函数y =f(x +12)不为偶函数．故①错误．由于函数的值为点集，故f(x)的值域为[−1, 1]错误．故②错误．由于f(x +2)＝−f(x)，所以f(x +4)＝f(x)所以函数的周期为T ＝4，故：③正确．根据函数函数f(x)=cos (π2[x])，的取值和y ＝log 7|x −1|的图象，只有当x ＝8时，函数才有一个交点．故④正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 【答案】−8【考点】平面向量的基本定理 【解析】由A ，B ，C 三点共线，BC →=λAB →，求出λ，再求出m ． 【解答】A ，B ，C 三点共线，AB →=3e →1−2e →2,BC →=12e →1+me →2(m ∈R)， 由BC →=λAB →，e 1→,e 2→是平面内的一组基底， 得{12=3λm =−2λ ，故λ＝4，m ＝−8， 【答案】3 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】把α+π4变为[(α+β)−(β−π4)]，然后利用两角差的正切函数的公式化简所求的式子，整体代入即可求出值． 【解答】因为α+π4=[(α+β)−(β−π4)]，且tan (α+β)=25，tan (β−π4)=14，则根据两角差的正切函数的公式得： tan (α+π4)＝tan [(α+β)−(β−π4)]=tan (α+β)−tan (β−π4)1+tan (α+β)tan (β−π4)=25−141+25×14=322【答案】90【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】本题根据题意理解题意后将初始温度T 0＝90∘C ，室温T α＝10∘C ，代入公式，然后根据当T ＝50∘C 时，t ＝30分钟，代入公式得到参数k 的值，再将T ＝20∘C 代入公式可得相应的t 值． 【解答】由题意，初始温度T 0＝90∘C ，室温T α＝10∘C ，代入公式，可得T ＝10+(90−10)⋅2−kt ＝10+80⋅2−kt ， ∵ 当T ＝50∘C 时，t ＝30分钟，∴ 10+80⋅2−k⋅30＝50，即2−k⋅30＝2−1， ∴ −k ⋅30＝−1，解得k =130． ∴ T ＝10+80⋅2−130t，∴ 当T ＝20∘C 时，10+80⋅2−130t =20， 即，2−130t =2−3，∴ −130t ＝−3，解得t ＝90． 【答案】[−7,1] 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】先求得f(1)的值，由此求得a 的值，证得f(x)时周期为4的函数，将1−log 35转化为f(53)，根据函数周期性和对称性，将原式转化为−53+4k ≤x 2−tx ，结合x 的取值范围即可求得t 的取值范围．【解答】因为f(1+x)+f(1−x)＝0．令x ＝0，则2f(1)＝0，即f(1)＝0，由于0≤x ≤1时，f(x)＝log 3(a −x)．所以（1）＝log 3(a −1)＝0，解得a ＝2， 即有当0≤x ≤1时，f(x)＝log 3(2−x)．因为1−log 35=log 335=−log 353=−log 3(2−13)=−f(13)＝−f(1−23)＝f(1+23)＝f(53)， 又因为f(x)为偶函数，所以f(53)＝f(−53)，再根据f(1+x)+f(1−x)＝0．f(−x)＝f(x)，则f(x +4)＝f[1+(x +3)]＝−f[1−(x +3)]＝−f[−(x +2)]＝−f(x +2)＝−f[1+(1+x)]＝f[1−(1+x)]＝f(−x)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，当x ∈[−1, 0]时，−x ∈[0, 1]，所以f(x)＝f(−x)＝log 3(2+x)， 所以当x ∈[−1, 1]时，f(x)＝log 3(2−|x|)．因为f(1+x)+f(1−x)＝0，所以f(2−x)+f(x)＝0，故f(x)＝−f(2−x)， 所以当x ∈[1, 3]时，2−x ∈[−1, 1]，所以f(x)＝−log 3(2−|2−x|)． 作出函数f(x)的图象如图：由f(x 2−tx −13)≥1−log 35，得−53+4k ≤x 2−tx −13≤53+4k(k ∈Z)，对于任意x ∈[−1, 0]成立 当x ＝0时，−53+4k ≤−13≤53+4k ，解得−12≤k ≤13，所以k ＝0，即−53≤x 2−tx −13≤53对于任意x ∈[−1, 0]成立，当x ∈[−1, 0)时，由−53≤x 2−tx −13得t ≥(x +43x )的最大值，由于y ＝x +43x 在[−1, 0)单调递减，所以t ≥−1−43=−73，由x 2−tx −13≤53得t ≤(x −2x )的最小值，由于y ＝x −2x 在[−1, 0)单调递增，所以t ≤−1−2−1=1， 综上，t 的取值范围是[−73, 1]， 故答案为：[−73, 1]．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【答案】当a ＝1时，A ＝[0, 2]，所以A ∩B =[12,2]；因为U ＝R ，所以∁U B ＝{x|x <12或x ≥4}，由A ⊆∁U B ，得a +1<12，或a −1≥4，解得a <−12，或a ≥5，所以a 的取值范围为(−∞,−12)∪[5,+∞)．【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】（1）利用正弦函数的值域求出集合A ，再求出集合B ，即可求出A ∩B ； （2）先求出∁U B ，再结合条件A ⊆∁U B ，即可求出a 的取值范围． 【解答】当a ＝1时，A ＝[0, 2]，所以A ∩B =[12,2]；因为U ＝R ，所以∁U B ＝{x|x <12或x ≥4}，由A ⊆∁U B ，得a +1<12，或a −1≥4， 解得a <−12，或a ≥5，所以a 的取值范围为(−∞,−12)∪[5,+∞)． 【答案】因为角α的终边经过点P(3, −4)， 所以r =OP =√32+(−4)2=5，由三角函数定义可知，sin α=y r =−45，cos α=x r =35， 所以tan (α−2π)sin (7π−α)+cos (π2−α)=sin αcos αsin α+sin α=12cos α=56．因为sin β=45，所以cos 2β=1−sin 2β=1−(45)2=925，由β是第二象限角，知cos β<0，所以cos β=−35，由（1）知，sin α=−45，cos α=35所以cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=35×(−35)−45×(−45)=725． 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】（1）由三角函数定义可知，sin α=y r =−45，cos α=x r =35，再由诱导公式能求出tan (α−2π)sin (7π−α)+cos (π2−α)的值．所以tan (α−2π)sin (7π−α)+cos (π2−α)=sin αcos αsin α+sin α=12cos α=56．（2）由sin β=45，β是第二象限角，求出cos β=−35，再由余弦函数加法定理能求出cos (α+β)的值． 【解答】因为角α的终边经过点P(3, −4)， 所以r =OP =√32+(−4)2=5，由三角函数定义可知，sin α=y r =−45，cos α=x r =35， 所以tan (α−2π)sin (7π−α)+cos (π2−α)=sin αcos αsin α+sin α=12cos α=56．因为sin β=45，所以cos 2β=1−sin 2β=1−(45)2=925，由β是第二象限角，知cos β<0，所以cos β=−35， 由（1）知，sin α=−45，cos α=35所以cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=35×(−35)−45×(−45)=725．【答案】AB →=(−4,2)，AC →=(2,−3)，由AB →+AC →=(−2,−1)，得|AB →+AC →|=√5， 由AB →−AC →=(−6,5)，得|AB →−AC →|=√61．故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为√5，√61；OB →=(−5,4)，由向量AC →−tOB →与向量OB →垂直， 得(AC →−tOB →)⋅OB →=0，又因为AC →−tOB →=(2,−3)−t(−5,4)=(2+5t,−3−4t)， 所以(2+5t)×(−5)+(−3−4t)×4＝0，所以t =−2241．【考点】平面向量的基本定理 【解析】（1）求出向量AB →,AC →，利用向量的加法和减法，求出即可；（2）由向量AC →−tOB →与向量OB →垂直，得(AC →−tOB →)⋅OB →=0，由向量建立关于t 的方程，求出即可． 【解答】AB →=(−4,2)，AC →=(2,−3)，由AB →+AC →=(−2,−1)，得|AB →+AC →|=√5， 由AB →−AC →=(−6,5)，得|AB →−AC →|=√61．故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为√5，√61； OB →=(−5,4)，由向量AC →−tOB →与向量OB →垂直， 得(AC →−tOB →)⋅OB →=0，又因为AC →−tOB →=(2,−3)−t(−5,4)=(2+5t,−3−4t)， 所以(2+5t)×(−5)+(−3−4t)×4＝0， 所以t =−2241． 【答案】解：(1)表格中①填：π3+5π62=7π12. 当ωx +φ=π2时，解得A =2，由表格可得，{π3ω+φ=π2，5π6ω+φ=3π2，解得{ω=2，φ=−π6，则f(x)的解析式为：f(x)=2sin (2x −π6). (2)由题意可得，g(x)=2sin (x −π6). 令2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， ∴ 2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z .∵ x ∈[0, 2π]， ∴ x ∈[0,2π3]和[5π3,2π]， 即g(x)的单调递增区间为[0,2π3]和[5π3,2π]. (3)k(x)=f(x −θ)=2sin (2x −2θ−π6)， ∵ y =k(x)图象的一个对称中心为(π6,0)， ∴ k(π6)=2sin (π6−2θ)=0，∴ π6−2θ=kπ,k ∈Z ，即θ=−k 2π+π12,k ∈Z ，∴ θmin =π12．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性【解析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A 、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（2）根据函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律可求g(x)，利用正弦函数的性质即可求解．（3）由（1）及函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律得k(x)，令π6−2θ=kπ,k ∈z ，解得θ=−k2π+π12,k ∈z ，结合θ>0即可解得θ的最小值． 【解答】解：(1)表格中①填：π3+5π62=7π12.当ωx +φ=π2时，解得A =2，由表格可得，{π3ω+φ=π2，5π6ω+φ=3π2，解得{ω=2，φ=−π6，则f(x)的解析式为：f(x)=2sin (2x −π6). (2)由题意可得，g(x)=2sin (x −π6).令2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，∴2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z.∵x∈[0, 2π]，∴x∈[0,2π3]和[5π3,2π]，即g(x)的单调递增区间为[0,2π3]和[5π3,2π].(3)k(x)=f(x−θ)=2sin(2x−2θ−π6)，∵y=k(x)图象的一个对称中心为(π6,0)，∴k(π6)=2sin(π6−2θ)=0，∴π6−2θ=kπ,k∈Z，即θ=−k2π+π12,k∈Z，∴θmin=π12．【答案】∵f(x)为定义在[−1, 1]上奇函数，∴f(−x)＝−f(x)在[−1, 1]上恒成立，∴2−x+a2−x =−(2x+a2x)，∴(2x+12x)(a+1)=0在[−1, 1]上恒成立，等价于a+1＝0，即a＝−1；由（1）知，f(x)=2x−12x，任取−1≤x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−(2x2−12x2)=2x1−2x2+12x2−12x1=(2x1−2x2)(1+12x1+x2)，∵−1≤x1<x2≤1，∴2x1<2x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[−1, 1]上为单调递增函数，∵f(x)为奇函数，∴f(x+1)+f(1−x2)<0等价于f(x+1)<f(x2−1)，∵f(x)在[−1, 1]上为单调递增函数，∴−1≤x+1<x2−1≤1，∴x∈[−√2,−1)；g(x)=f(sin2x)=2sin2x−12sin2x ，令sin2x＝t，∴ℎ(t)=2t−12t由ℎ(t)=2t−12=√22解得2t=√2或2t=−√22（舍去），∴t=12，即sin2x=12，∵x∈[π12,θ]，∴2x∈[π6,2θ]，∵sin(π6)=12，∴由三角函数图象可知π6<2θ≤5π6，即π12<θ≤5π12．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用奇函数的定义建立方程解出即可；（2）先求出函数f(x)在[−1, 1]上的单调性，进而转化为解不等式−1≤x+1<x2−1≤1；（3）通过换元结合三角函数的图象及性质即可求解．【解答】∵f(x)为定义在[−1, 1]上奇函数，∴f(−x)＝−f(x)在[−1, 1]上恒成立，∴2−x+a2−x=−(2x+a2x)，∴(2x+12x)(a+1)=0在[−1, 1]上恒成立，等价于a+1＝0，即a＝−1；由（1）知，f(x)=2x−12x，任取−1≤x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−(2x2−12x2)=2x1−2x2+12x2−12x1=(2x1−2x2)(1+12x1+x2)，∵−1≤x1<x2≤1，∴2x1<2x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[−1, 1]上为单调递增函数，∵f(x)为奇函数，∴f(x+1)+f(1−x2)<0等价于f(x+1)<f(x2−1)，∵f(x)在[−1, 1]上为单调递增函数，∴−1≤x+1<x2−1≤1，∴x∈[−√2,−1)；g(x)=f(sin2x)=2sin2x−12sin2x，令sin2x＝t，∴ℎ(t)=2t−12t由ℎ(t)=2t−12t=√22解得2t =√2或2t=−√22（舍去）， ∴ t =12，即sin 2x =12， ∵ x ∈[π12,θ]，∴ 2x ∈[π6,2θ]，∵ sin (π6)=12，∴ 由三角函数图象可知π6<2θ≤5π6，即π12<θ≤5π12．【答案】因为f(x)在区间[−1, 1]上不单调，则−1<a +1<1，解得−2<a <0， 即a 的取值范围(−2, 0)；g(x)＝[(x 2−2ax −a)−f(x)]•|x|＝[(x 2−2ax −a)−(x 2−2(a +1)x −a +1)]•|x|＝(2x −1)|x|， 函数y ＝lg g(x)在区间[t, 1]恒有意义，等价于对于任意的实数x ∈[t, 1]，不等式g(x)＝(2x −1)|x|>0恒成立，(∗) 当t ≤12时，12∈[t,1]，此时g(12)=0，与(∗)式矛盾，不合题意，当t >12时，由x ∈[t, 1]可知，2x −1>0，|x|>0，所以g(x)>0恒成立，即(∗)成立， 又在区间[t, 1]上实数t 必须满足t <1， 综上，所求实数t 的取值范围为(12,1)；令ℎ(x)＝f(x)+|x 2+2x|方程f(x)+|x 2+2x|＝0在(−1, 2)有两个不相等的实数根， 等价于函数ℎ(x)在区间(−1, 2)上存在两个零点，因为ℎ(x)=f(x)+|x 2+2x|={−2(a +2)x −a +1,−1<x <02x 2−2ax −a +1,0≤x <2且ℎ(x)在x ＝0处图象不间断，当a ＝−2时，ℎ(x)={3,−1<x <02x 2+4x +3,0≤x <2无零点；当a ≠−2时，由于ℎ(x)＝−2(a +2)x −a +1在(−1, 0)单调，∴ 在(−1, 0)内ℎ(x)至多只有一个零点，不妨设ℎ(x)的两个零点为x 1<x 2，若ℎ(x)有一个零点为0，则a ＝1，于是ℎ(x)={−6x,−1<x <02x 2−2x,0≤x <2 ，零点为0或1，所以a ＝1满足题意，若0不是函数ℎ(x)零点，则函数ℎ(x)在区间(−1, 2)上存在两个零点有以下两种情形： ①若−1<x 1<0，0<x 2<2，则{ℎ(−1)⋅ℎ(0)<0ℎ(0)⋅ℎ(2)<0 ⇒{(1−a)(a +5)<0(1−a)(9−5a)<0 ⇒{a >1a <−51<a <95 ⇒1<a <95．②若0<x 1<x 2<2，则{△=4a 2−8(1−a)>00<a2<2ℎ(0)>0ℎ(2)>0ℎ(−1)ℎ(0)>0 ⇒{ a <−1−√3a >√3−10<a <4a <1a <95−5<a <1 ⇒√3−1<a <1． 综合①②得，实数a 的取值范围是(√3−1,95)．【考点】函数恒成立问题 【解析】（1）结合二次函数的性质，只有检验对称轴与已知区间的关系即可求解，（2）函数y ＝lg g(x)在区间[t, 1]恒有意义，等价于对于任意的实数x ∈[t, 1]，不等式g(x)＝(2x −1)|x|>0恒成立，结合函数的性质可求解．（3）方程f(x)+|x 2+2x|＝0在(−1, 2)有两个不相等的实数根，等价于函数ℎ(x)在区间(−1, 2)上存在两个零点，结合二次函数的实根分布分类讨论求解． 【解答】因为f(x)在区间[−1, 1]上不单调，则−1<a +1<1，解得−2<a <0， 即a 的取值范围(−2, 0)；g(x)＝[(x 2−2ax −a)−f(x)]•|x|＝[(x 2−2ax −a)−(x 2−2(a +1)x −a +1)]•|x|＝(2x −1)|x|， 函数y ＝lg g(x)在区间[t, 1]恒有意义，等价于对于任意的实数x ∈[t, 1]，不等式g(x)＝(2x −1)|x|>0恒成立，(∗) 当t ≤12时，12∈[t,1]，此时g(12)=0，与(∗)式矛盾，不合题意，当t >12时，由x ∈[t, 1]可知，2x −1>0，|x|>0，所以g(x)>0恒成立，即(∗)成立， 又在区间[t, 1]上实数t 必须满足t <1， 综上，所求实数t 的取值范围为(12,1)；令ℎ(x)＝f(x)+|x 2+2x|方程f(x)+|x 2+2x|＝0在(−1, 2)有两个不相等的实数根， 等价于函数ℎ(x)在区间(−1, 2)上存在两个零点，因为ℎ(x)=f(x)+|x 2+2x|={−2(a +2)x −a +1,−1<x <02x 2−2ax −a +1,0≤x <2 且ℎ(x)在x ＝0处图象不间断，当a ＝−2时，ℎ(x)={3,−1<x <02x 2+4x +3,0≤x <2无零点；当a ≠−2时，由于ℎ(x)＝−2(a +2)x −a +1在(−1, 0)单调，∴ 在(−1, 0)内ℎ(x)至多只有一个零点，不妨设ℎ(x)的两个零点为x 1<x 2，若ℎ(x)有一个零点为0，则a ＝1，于是ℎ(x)={−6x,−1<x <02x 2−2x,0≤x <2 ，零点为0或1，所以a ＝1满足题意，若0不是函数ℎ(x)零点，则函数ℎ(x)在区间(−1, 2)上存在两个零点有以下两种情形： ①若−1<x 1<0，0<x 2<2，则{ℎ(−1)⋅ℎ(0)<0ℎ(0)⋅ℎ(2)<0 ⇒{(1−a)(a +5)<0(1−a)(9−5a)<0 ⇒{a >1a <−51<a <95 ⇒1<a <95．②若0<x 1<x 2<2，则{△=4a 2−8(1−a)>00<a2<2ℎ(0)>0ℎ(2)>0ℎ(−1)ℎ(0)>0 ⇒{ a <−1−√3a >√3−10<a <4a <1a <95−5<a <1 ⇒√3−1<a <1． 综合①②得，实数a 的取值范围是(√3−1,95)．。
2020年1月9日江苏省扬州市2019～2020学年度高一数学第一学期期末调研试题参考答案
（2） OB (5, 4) ，由向量 AC tOB 与向量 OB 垂直，
得 AC tOB OB 0 ，
又因为 AC tOB 2， 3 t -5，4 2 5t, 3 4t ，
f x f x 在1,1 上恒成立，
2 x
a 2x
2
x
a 2x
，
2x
1 2x
a
1
0
在1,1 上恒成立，等价于
a
1
0 ，即
a
1
；
……3 分
（2）
f
x
2x
1 2x
，任取 1
x1
x2
g
x
2
sin
x
6
令 2k x 2k
2
6
2
2k x 2k 2 , k z
3
3
……………………6 分
x 0, 2
x 0,
2 3
和
5 3
, 2
即
g
x 的单调递增区间为
r5
r5
sin
所以
tan( 2 ) sin(7 ) cos(
)
cos sin sin
1 2 cos
5 6
；
……………………6 分
2
（2）因为 sin 4 ，所以 cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9
江苏省扬州市2019年高一上学期数学期末考试试卷B卷
江苏省扬州市2019年高一上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）的值等（）A .B .C .D .2. （2分）在斜三角形ABC中，，且，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·鹰潭模拟) 设集合A={x| ≥1}，B={y|y=log2x，0＜x≤4}，则A∩B=（）A . ∅B . （1，2]C . （﹣∞，1）D . [2，3]4. （2分）设（x﹣1）﹣ax+2a恰有小于1两个零点，则a的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·芮城期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·惠东月考) 函数的图象是（）A .B .C .D .7. （2分）已知则等于（）A . －1B . 1C . －2D . 28. （2分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x R，都有f(x)=f(x+4)，当x[4,6]时，，则函数f(x)在区间[-2,0]上的反函数的值（）A .B .C .D .9. （2分） (2017·榆林模拟) 函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A . （5，π）B . （4，π）C . （﹣1，2π）D . （4，2π）10. （2分）已知函数，点O为坐标原点，点. 若记直线的倾斜角为，则tanQ1+tanQ2+……tanQn=（）A .B .C .D .11. （2分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·福建模拟) 已知函数满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，∃唯一的x2∈R且x1≠x2 ，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A .B . -C . +3D . - +313. （2分） (2015高二下·上饶期中) 若函数f（x）=1+ +sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n=（）A . 0B . 1C . 2D . 414. （2分）对任意实数x规定y取4﹣x ， x+1，（5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（）A . 有最大值2，最小值1B . 有最大值2，无最小值C . 有最大值1，无最小值D . 无最大值，无最小值二、填空题 (共6题；共6分)15. （1分）设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是________．16. （1分）(2017·宝清模拟) 设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn ，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为________．17. （1分）函数y=secx⋅sinx的最小正周期T=________18. （1分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是________.19. （1分） (2019高一下·上海月考) 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.20. （1分）(2017·江苏) 设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是________．三、解答题 (共4题；共32分)21. （10分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增．（1）求实数m的值；（2）若函数在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．22. （10分）(2019·全国Ⅰ卷理) 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。
江苏省扬州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷
江苏省扬州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A . {（1，2）}B . （1，2）C . {1，2}D . {（1，2），（﹣1，﹣2）}2. （2分）(2020·汨罗模拟) 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为 .如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（）A . 9B . 10C . 11D . 123. （2分） (2019高一上·通榆月考) 函数的定义域为（）A . 且B . 且C .D .4. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个A . 1B . 2C . 3D . 05. （2分）设，则下列不等式中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·潮州期末) 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（）A . 两次都中靶B . 只有一次中靶C . 最多有一次中靶D . 至少有一次中靶7. （2分）右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是（）A . f(a)f(m)<0；a=m；是；否B . f(b)f(m)<0；b=m；是；否C . f(b)f(m)<0；m=b；是；否D . f(b)f(m)<0；b=m；否；是8. （2分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则f（﹣1）与f（a2﹣2a+3）的大小关系是（）A . f（﹣1）≥f（a2﹣2a+3）B . f（﹣1）≤f（a2﹣2a+3）C . f（﹣1）＞f（a2﹣2a+3）D . f（﹣1）＜f（a2﹣2a+3）9. （2分） (2017高二上·荔湾月考) 给出一个程序框图，如图所示，其作用是输入的值，输出相应的的值．若要使输入的的值与输出的的值相等，则输入的这样的的值有（）．A . 个B . 个C . 个D . 个10. （2分） 2011年3月11日，日本发生了9级大地震并引发了核泄漏。
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扬州市2019—2020学年度第一学期期末调研试题高 一 数 学2020.1（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效．一、选择题（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 4 2. 与角330-o 终边相同的最小正角是（ ）A ．30-oB ．330oC ．30oD ． 60o3. 若)11fx =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ． 10 4. 已知幂函数()()23mf x m x-=-在()0,+∞为单调增函数，则实数m 的值为（ ）A B ．2± C ．2 D ． 2-5. 若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A． B． CD6. 已知0.6 1.21.2log 0.6, 1.2,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ． c b a <<7. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8.已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（ ）A ．4-B ．0C ．4D ．29.1cos80-o ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．810. 已知函数0()(2)20x x f x f x x ⎧≤=⎨-+>⎩2， ，，则()2log 12f 的值为（ ）A ．12B ．5C ．194D ．11411. 在平行四边形ABCD中，AB =2AD =，135A ∠=︒，,E F 分别是,AB AD上的点，且AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD μ=u u u r u u u r，（其中,(0,1)λμ∈），且41λμ+=.若线段EF 的中点为M ，则当||MC u u u u r 取最小值时，μλ的值为（ ）A ．36B ．37C ．38D ．3912．已知函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（ ）①函数1()2y f x =+为偶函数； ②()f x 的值域为[]1,1-；③()f x 为周期函数，且周期4T =； ④()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点．A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）13.设12,e e u r u u r是平面内的一组基底，若,,A B C 三点共线，且()121232,12AB e e BC e me m R =-=+∈u u u r r r u u u r r r，则实数m 的值为 ．14.若()21544tan ,tan παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则4tan πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 15. 已知物体初始温度是0T ,经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2ktT T T T αα-=+-g ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90Co 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟，那么降温到20C o 时，需要分钟.16. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=．且当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-．若对于任意[1,0]x ∈-，都有321()1log 35f x tx --≥-，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6道题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）的定义域为集合B ，全集U R =．（1）若1a =，求A B I ； （2）若U A B ⊆ð，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分） 已知角α的终边过点()34P ,-.（1）求()()tan 2sin 7cos 2απαα-π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭的值；（2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求()cos αβ+的值.19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(5,4)B -，(1,1)C -． （1）分别求出以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB -u u u r u u u r与向量垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[]0,2x π∈时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象. 若()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值. 21．（本小题满分12分） 已知函数()()22x xaf x a R =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()2110f x f x ++-<；（3）设()()sin 2g x f x =，当,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的最小值为2，求θ的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t 的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高 一 数 学 参 考 答 案一、选择题1~5 DCBDD 6~10 ACBBC 11~12 BC 二、填空题13. 8-； 14.322； 15．90； 16．7[,1]3-． 三、解答题17. 解：由函数sin y x =的值域为[1,1]-，得函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为[1,1]A a a =-+ ……2分又由40102x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得142x ≤<，即1[,4)2B = …4分 （1）当1a =时，[0,2]A =，所以1[,2]2A B =I ； …6分（2）因为U R =，所以1(,)[4,)2U B =-∞+∞U ð由U A B ⊆ð，得112a +<，或14a -≥， ……8分 解得12a <-，或5a ≥ 所以a 的取值范围为1(,)[5,)2-∞-+∞U …………………10分18．解：（1）因为角α的终边经过点(3,4)P -，所以5r OP ===由三角函数定义可知，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α== ………………2分所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα-===+-+-；……………………6分 （2）因为4sin 5β=，所以22249cos 1sin 1()525ββ=-=-= 由β是第二象限角，知cos 0β<，所以3cos 5β=-……………9分 由（1）知，sin 54α=-，3cos 5α= 所以()33447cos cos cos sin sin 555525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……12分 19．解：（1）(4,2)AB =-u u u r ，(2,3)AC =-u u u r，…………………2分由(2,1)AB AC +=--u u u r u u u r，得5||=+AC AB ，…………4分由(6,5)AB AC -=-u u u r u u u r，得||AB AC -=u u u r u u u r故以线段AC AB ,……7分（2）(5,4)OB =-u u u r ，由向量AC tOB -u u u r u u u r与向量垂直，得()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，又因为()()()325,34AC tOB t t t -=--=+--u u u r u u u r2，-5，4， ………9分 所以()()()2553440t t +⨯-+--⨯=，所以2241t =-. ………………12分 20．解（1）表格中①填:_____712π_____，()f x 的解析式为:()f x =_____2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭………4分 （2）()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 令22262k x k πππππ-≤-≤+ 222,33k x k k z ππππ∴-≤≤+∈ ……………………6分 []0,2x π∈Q 20,3x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即()g x 的单调递增区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………8分 注：若学生写成20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦U 5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，建议扣1分. （3）()()2sin 226k x f x x πθθ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， Q ()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2sin 2066k ππθ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,6k k z πθπ∴-=∈ 即,212k k z πθπ=-+∈ ……………10分 min 12πθ∴=……………………12分21．解：（1）()f x Q 为定义在[]1,1-上奇函数，()()f x f x ∴-=-在[]1,1-上恒成立，2222x x x x a a --⎛⎫∴+=-+ ⎪⎝⎭， ()12102x x a ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭在[]1,1-上恒成立，等价于10a +=，即1a =-； ……3分（2）()122xxf x =-，任取1211x x -≤<≤，()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭ ()1212211211122221222x x x x x x x x +⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1211x x -≤<≤Q1222x x ∴< ()()12f x f x ∴< 即()f x 在[]1,1-上为单调递增函数， ……5分Q ()f x 为奇函数，∴ ()()2110f x f x ++-<等价于()()211f x f x +<-， Q ()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，21111x x ∴-≤+<-≤，)1x ⎡∴∈-⎣ …………………7分（3）解：()()sin 2sin 21sin 222xxg x f x ==-令sin 2x t =()122tt h t ∴=-由()1222tth t =-=解得2t=或22t =-（舍去），12t ∴= ………9分 即1sin 22x =,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 2,26x πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 62π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ∴由三角函数图像可知5266ππθ<≤，即51212ππθ<≤. ………12分22．解：（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<<即a 的取值范围(2,0)-； ……2分（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅ (21)||x x =-函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（*） 当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（*）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ->，||0x >，所以()0g x >恒成立，即（*）成立又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2； ……5分 （3）令2(=()|2|h xf x x x ++） 方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点 因为222(2)1,10(=()|2|221, 02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23, 10()=243, 02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点； ……6分当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26, 10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x -<<，202x <<， 则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或.………9分 ②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=--><->⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． ……11分 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5. ……12分。