高中数学选修22-.2定积分在物理中的应用课件
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hao定积分的物理中的应用课件_2新人教A版选修2-2
60
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可 法二：由定积分的几何意义， 以得出路程即为如图所示的梯形的面积， 以得出路程即为如图所示的梯形的面积， 即
( 30 + 60) ×30 = 1350 s=
2
求变速直线运动路程的步骤
1.确定积分区间 确定积分区间 2.确定所求是路程还是位移 确定所求是路程还是位移 3.用积分表示相应的路程或位 用积分表示相应的路程或位 移 4.计算相应的路程或位移 计算相应的路程或位移
r
r ∈ [a , b],
kq 1 1 1 所求功为 w = ∫ 2 dr = kq − = kq − . a r a r a b
b
b
课堂小结
1.
2.当 2.当v（t）<0时,从时刻t=a到时刻t=b,所经过的路程怎样表 <0时 从时刻t=a到时刻t=b,所经过的路程怎样表 t=a到时刻t=b, 示?
10
(0 ≤ t ≤ 10) (10 ≤ t ≤ 40) (40 ≤ t ≤ 60)
40
10
40
60
S = ∫ 3tdt + ∫ 30dt + ∫ (−1.5t + 90)dt
0 10 40
3 2 = t 2
10
+ 30t 10
0
40
3 2 + (− t + 90t ) = 1350(m) 4 40
L
W = ∫ F ( x)dx = ∫
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx = kx |0 = kL 2 2
求变力做功的步骤
1.根据物理学的实际意义，求出变 根据物理学的实际意义， 根据物理学的实际意义 力F的表达式 的表达式 2.确定物体位移的起始位置与终止 确定物体位移的起始位置与终止 位置， 位置，从而确定积分区间 3.统一力，位移单位 统一力， 统一力 4.根据公式求变力所作的功 根据公式求变力所作的功
(人教)高中数学选修2-2课件1.7.2定积分的简单应用
1.7.2定积分在物理中的应用预习导引重点难点1・变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(O(v(O三0)在时间区间00］上的定积分，即思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时，如何区分位移和路程？一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为____ :.(2)变力F(Q的做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从兀="移动到x=b(“vb),那么变力F(x)所做的功为厂______ :课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE交流2 思考:求变力做功问题的关键是什么?课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测一、求变速直线运动的路程E2活动与探究求变速直线运动的物体在时间区间由，切上的路程S课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU 时尸广v(r)d?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测正确吗?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测______ I例1 一质点在直线上从时刻QO(s)开始以速度v=r-4r+3(m/s)运动,求点在匸4 s时的位置及经过的路程.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测又\v(r)=r2-4r+3=(M)(r-3),/在区间［0,1 ］及［3,4］上的v(t)三0, 在区间［1,3］上，叩）W0. ••在t=4 s时的路程为(几4丫+3)&+|『t2-4t+3)dt| +『(t2-4t+3)dt =f^ (?-4z+3)dr-J13 (r-4z+3)d?+J^ (r-4r+3)dr =4(m).课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIUS3迁移与应用若某一物体以速度v(0=4-r2做直线运动,求它在t=l到?=4这段时间内的路程.问题导学当堂检测------------- 名師修津----------------物体做变速直线运动的速度叫等于加速度函数a=a(t)在时间妝切上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v= v(r) 在时间区间［"0］上的定积分.用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.问题导学当堂检测二、求变力做功吧活动与探究当力F的方向与运动方向夹角为0时，怎样求力F所做的功?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU----- 例2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长 量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 eg 试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功.当堂检测问题导学当堂检测唸迁移与应用1・已知弹簧拉长0.02 g需要98 N的力，则把弹簧拉长到0.1 m所做的功为（）A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J问题导学当堂检测2•在原点O有一个带电量为+g的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力•现有一个单位正电荷从距离为0处沿着射线方向移至距O点为b@<b）的地方，求电场力做的功.（电场力F = /c・卷（k为常数））问题导学当堂检测------------- 名師❷障---------------- 由于力F的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为F(Q,F(Q 在［G0］上所做的功W=f^ F(x)(k・要解决好变力做功问题,必须熟悉相关问题导学当堂检测的物理知识，正确写出被积函数.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 当堂检测2问题导学1 •物体以速度v(?)=3?-2r+3做直线运动，它在t=0到匸3这段时间内的位移是()A.9B.18C.27D.362•物体以速度v(?)=2-f 做直线运动，则它在t=l 到t=3这段时间的路程为 ()问题导学3•做直线运动的质点在任意位置兀处，所受的力F(x)=l+e^则质点沿着 与F(x)相同的方向，从点x 1=0处运动到点x 2=l 处，力F(x)所做的功是 () 1A. 1+eB.eC -D.e-1问题导学4•如果1 N 力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 eg 所耗费的功为问题导学5•质点做直线运动,其速度叩）=汽2丫+1（单位:凶3）・则它在第2秒内所走 的路程为 ・问题导学£_© _________。
定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件ppt课件
10.04.2021
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A
的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A
的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速
定积分在物理中的应用 课件
高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车
继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln
11 3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2 (速度的正方向与x轴正方向一致).求： ①P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
②P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 解 依题意ʃt0(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值.
类型二 求变力做功 例2 如图所示，一物体沿斜面在拉
力F的作用下由A经B、C运动到D，
其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝ 30 m，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，
20， 90<x≤120 (单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与 运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动 到D所做的功.( 3≈1.732， 2≈1.414，精确到1 J)
定积分在物理中的应用
知识点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答 不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：
(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2 t1
v(t)dt求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
t2 t1
v(t)dt求解，这一时段的路程
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s) 运动.求： (1)在时刻t＝4时，该点的位置； 解 由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝ t33－2t2＋3t40＝43知，在时刻 t＝4 时，该质点离 出发点43 m.
v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车
继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln
11 3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2 (速度的正方向与x轴正方向一致).求： ①P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
②P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 解 依题意ʃt0(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值.
类型二 求变力做功 例2 如图所示，一物体沿斜面在拉
力F的作用下由A经B、C运动到D，
其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝ 30 m，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，
20， 90<x≤120 (单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与 运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动 到D所做的功.( 3≈1.732， 2≈1.414，精确到1 J)
定积分在物理中的应用
知识点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答 不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：
(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2 t1
v(t)dt求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
t2 t1
v(t)dt求解，这一时段的路程
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s) 运动.求： (1)在时刻t＝4时，该点的位置； 解 由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝ t33－2t2＋3t40＝43知，在时刻 t＝4 时，该质点离 出发点43 m.
人教A版高中数学选修2-2课件 定积分在物理中的应用课件
拉到离平衡位置lm 处,求弹
力所作的功.
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩) 弹簧所需的力F x 与
弹簧拉伸 或压缩 的长度 x
Q
l
成正比,即F x=kx,其中常
数k是比例系数.
图1.7 4
F
由变力作功公式, 得W l kxdx 1 kx2 l 1 kl2 J .
0
2
02
答 克服弹力所作的功为 1 kl2 J .
90(40 t 60)
探究1：汽车在[0，10]，[10，40]，[40，60]（单位：s）三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30 A
O 10
10
3tdt
0
B
40
30dt
C
10
40 60 t(s)
60
(
3t
90)dt
40
2
探究2：根据定积分计算，汽车在这1min内行驶的路程是多少m？
v(m/s) 30 A
O 10
10 3tdt ＝150
B
0
40
30dt ＝900
C
Hale Waihona Puke 1040 60 t(s)
60 ( 3 t
40
2
90)dt ＝300
思考4：根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
30 A
B
O 10
C 40 60 t(s)
s 30 60 30 1350(m) 2
2
课堂小结
1.在物理中，定积分主要应用于求变速直线运动的位移和变力所作的功， 其基本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在a≤t≤b时段内的位移是:
【数学】1.7.2《定积分在物理中的应用》课件(人教A版选修2-2)
1.7.2定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时 间区间[a, b]内运动的距离s为
s = v(t )dt
a
b
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A
30
B
C t/s
O 10 40 60
二、变力所做的功
W = F ( x)dx =
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx = kx |0 = kL 2 2
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动， 并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移 动到x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所作的 功
W = F ( x)dx
a
b
例：如图：在弹性限度内，将一弹 簧从平衡位置拉到离水平位置L 米 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸 （或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比． 即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时 间区间[a, b]内运动的距离s为
s = v(t )dt
a
b
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A
30
B
C t/s
O 10 40 60
二、变力所做的功
W = F ( x)dx =
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx = kx |0 = kL 2 2
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动， 并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移 动到x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所作的 功
W = F ( x)dx
a
b
例：如图：在弹性限度内，将一弹 簧从平衡位置拉到离水平位置L 米 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸 （或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比． 即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
定积分在物理中的应用 课件
0.2
500xdx
0
250x 2
|0.2
0
10(J).
所以在区间［0，1］及［3，4］上的v(t)≥0，
在区间［1，3］上，v(t)≤0．
所以在t=4 s时的路程为s=01(t2-4t+3)dt- (13t2-4t+3)dt+
(34t2-4t+3)dt
=(
t3 3
-2t2+3t)
|–10 (
-2t 3t2+3t)
3
+|(13
-2tt 32+3t)
3
=4(|m34 ).
物体产生的位移，求积分区间上的定积分W=
b
a
F(x)dx即可.
【知识拓展】如果做变速直线运动的物体的运动速度与时间的 函数关系为：v=v(t)，其在区间［a，b］上的运动路程可分 以下三种情况求解：
(1)当t∈［a，b］，v(t)≥0时，路程s= vab (t)dt，此时路程与
位移相等.
(2)当t∈［a，b］，v(t)<0时，路程s=-abv(t)dt.
【类题试解】在弹性限度内，弹簧拉长1cm要用5N的拉力，要
把弹簧拉长2dm，则拉力做的功为( )
A.0.1J
B.0.5J
C.5J
D.10J
【解析】选D. 设弹簧所受的拉力F(x)=kx，弹簧受5 N拉力的
伸长量为1 cm，由题意，得5=0.01k，得k=500，所以
F(x)=500x，依题意，得W
指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢
量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际
路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量).
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a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
2．一物体在力 F(x)＝92，x＋0≤5，x≤x>22， (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x＝0 处运动到 x＝6(单位：m)处，求力 F(x)做的功．
解析：W＝6F(x)dx＝29dx＋6(2x＋5)dx
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
课时作业
定积分在物理中的应用
[自主梳理]
变速直 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
线运动
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
S＝bv(t)dt a
变力 做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力
F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
时间内的位移为( )
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
8290(x＋20)dx＋12020dx
0
50
90
＝ 83(21x2＋20x)500 ＋ 82(21x2＋20x)9500 ＋20x19200
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
怎样求变力所做的功？ (1)首先要明确变力的函数式 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
[解析] 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°. 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得
W＝50
(14x＋5)cos
30°dx＋90(14x＋5)cos
45°dx＋12020dx
0
50
90
＝
350
8
(x＋20)dx＋
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
3 C.2g 解析：物体下落的距离 s＝2gtdt，
1
则有 s＝12gt221 ＝12g(22－12)＝32g.
D．2g
答案：C
2．一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]
当 t＝6 时，
点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即
4t2－23t3＝0，
0
解得 t＝0 或 t＝6.
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
怎样求变速直线运动的路程、位移？
(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
考纲定位
重难突破
重点：利用定积分求变速直线 1.通过具体实例了解定积分
运动的路程、位移和变力所做 在物理中的应用．
的功． 2．会求变速直线运动的路程、
难点：正确区分实际问题的路 位移和变力做功问题.
程和位移.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升