高中数学选修22-.2定积分在物理中的应用课件

a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
2．一物体在力 F(x)＝92，x＋0≤5，x≤x>22， (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x＝0 处运动到 x＝6(单位：m)处，求力 F(x)做的功．
解析：W＝6F(x)dx＝29dx＋6(2x＋5)dx
课时作业
定积分在物理中的应用
[自主梳理]
变速直 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
线运动
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
S＝bv(t)dt a
变力 做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力
F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
3 C.2g 解析：物体下落的距离 s＝2gtdt，
1
则有 s＝12gt221 ＝12g(22－12)＝32g.
D．2g
答案：C
2．一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°. 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得
W＝50
(14x＋5)cos
30°dx＋90(14x＋5)cos
45°dx＋12020dx
0
50
90
＝
350
8
(x＋20)dx＋
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
源自文库
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
考纲定位
重难突破
重点：利用定积分求变速直线 1.通过具体实例了解定积分
运动的路程、位移和变力所做 在物理中的应用．
的功． 2．会求变速直线运动的路程、
难点：正确区分实际问题的路 位移和变力做功问题.
程和位移.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
时间内的位移为( )
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
8290(x＋20)dx＋12020dx
0
50
90
＝ 83(21x2＋20x)500 ＋ 82(21x2＋20x)9500 ＋20x19200
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
怎样求变力所做的功？ (1)首先要明确变力的函数式 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
当 t＝6 时，
点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即
4t2－23t3＝0，
0
解得 t＝0 或 t＝6.
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
怎样求变速直线运动的路程、位移？
(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，