平面向量的数量积及其物理意义、几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义平面向量的数量积是指在平面上的两个向量之间进行的一种运算，也叫做点乘或内积。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角的余弦值与两个向量长度的乘积。
平面向量的数量积可以通过向量的坐标表示进行计算，公式如下：将向量a的坐标表示为a=(a1,a2)将向量b的坐标表示为b=(b1,b2)则两个向量的数量积表示为a·b=a1*b1+a2*b2几何意义：1.夹角：数量积的大小与两个向量之间的夹角有关。
若两个向量夹角为锐角，则其数量积为正值；若夹角为钝角，则其数量积为负值；若夹角为直角，则其数量积为零。
这是因为余弦函数在0°~90°范围内是递增的，所以夹角越小，余弦值越大。
2.正交性：若两个向量的数量积为零，则它们相互垂直，即两个向量是正交的。
这表示两个向量的方向相互垂直，没有共线的分量。
这个性质在几何中非常重要，特别是在研究平面直角坐标系中的直线和曲线时。
3. 向量的投影：平面向量的数量积还可以用于计算向量在另一个向量上的投影。
两个非零向量a和b的数量积可以表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别是向量a和b的长度，θ是a和b之间的夹角。
根据这个公式，可以得到向量a在向量b上的投影p的长度为p=，a，cosθ。
4.长度：向量本身的长度也可以通过数量积来计算。
一个非零向量a 的数量积a·a=，a，^2，其中，a，是向量a的长度。
这个公式也适用于负向量，只需要取绝对值即可。
所以，一个向量的长度等于它自身的数量积的平方根。
值得注意的是，数量积的结果是一个标量，而不是一个向量。
它只表示两个向量之间的关系，而不表示它们自身的性质。
数量积在解决几何问题、力学分析以及线性代数等领域中都有广泛的应用。
通过理解数量积的概念和几何意义，我们可以更好地应用向量进行问题的分析和解决。
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义平面向量数量积是向量分析中一个重要的概念，也称为点乘或内积。
数量积是两个向量的乘积，其结果是一个标量数值。
本文将介绍平面向量数量积的概念及其几何意义。
平面向量数量积是指两个向量在共面情况下的乘积，也就是点乘运算。
若有两个向量，分别为a和b，则它们的数量积可以表示为a•b，其中a•b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为两个向量之间的夹角。
由此可以看出，数量积的结果是一个标量。
1.求夹角从数量积的定义式可以看出，两个向量的数量积是它们的模长和夹角的乘积。
由此，可以推导出两个向量之间的夹角θ=arccos(a•b/|a|*|b|)。
因此，通过数量积可以求出两个向量之间的夹角。
2.平面内向量正交当两个向量的数量积为0时，即a•b=0，此时两个向量互相垂直或正交。
这是因为cos90°=0，在这种情况下，数量积的结果是零，即两个向量之间的夹角为90°。
3.求投影设有向量a和向量b，向量a在向量b上的投影可以表示为|a|cosθ，其中θ为a和b两个向量之间的夹角。
因此，向量a在向量b上的投影可以表示为a•(b/|b|)，这表明向量a在向量b上的投影等于向量a与向量b的单位向量的数量积。
4.求面积对于一个平面内的三角形ABC，如果AB和AC分别表示为向量a和向量b，则三角形ABC 的面积可以表示为S=1/2|a|*|b|sinθ，其中θ为向量a和向量b之间的夹角。
这表明，可以借助数量积来求平面内三角形的面积。
以上四种几何意义，展示了平面向量数量积在向量分析中的重要性。
数量积往往用于推导和计算向量之间的夹角、向量在平面内的正交关系、向量在平面内的投影以及平面内三角形的面积等。
并且，数量积的结果是一个标量，与向量的方向没有关系，因此常用于求解平面内的问题。
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。
在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。
以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。
当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。
根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。
因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。
当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。
这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。
然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。
我们知道，加速度a等于速度v的变化率。
因此，v = at。
将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。
这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。
几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。
以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。
通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。
平面向量数量积及其几何意义
平面向量数量积及其几何意义平面向量的数量积，也称为点积、内积，是向量运算中的一种运算，用于比较两个向量的方向以及大小关系。
平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦的乘积。
可以表示为：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A和B是平面上的两个向量，A·B表示它们的数量积，A，和，B，表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积具有以下几何意义：1.比较两个向量的方向：数量积大于0时，表示两个向量的方向相近；数量积小于0时，表示两个向量的方向相反；数量积等于0时，表示两个向量垂直。
2.比较两个向量的大小关系：根据数量积公式，可以看出如果夹角θ固定，向量A、B的模越大，数量积就越大。
因此，数量积可以衡量两个向量的大小关系。
3.求角度：根据数量积公式，可以反推夹角θ的大小。
通过解反三角函数可以求得θ的值。
4.计算投影：根据数量积的几何意义，可以推导出计算一个向量在另一个向量上的投影的公式。
投影表示一个向量在另一个向量上的阴影长度，可以用于解决现实中的很多问题，如力的分解、力的合成等。
5.判断两条直线的关系：如果两条直线的法向量相同，那么它们是平行的；如果两条直线的法向量垂直，那么它们是垂直的。
6.判断图形的性质：根据向量的数量积可以判断图形的性质。
如两个向量垂直，则表示两个直线垂直；两个向量平行，则表示两个直线平行。
除了以上几何意义外，数量积还有一些其他重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.数量积为0时，向量垂直：如果两个向量的数量积为0，即A·B=0，那么向量A和向量B垂直。
3.数量积的性质：(aA)·B=a(A·B)，(A+B)·C=A·C+B·C总结来说，平面向量的数量积可以用来比较两个向量的方向和大小关系，求解向量的夹角和投影，判断直线和图形的性质。
它在几何学中具有重要的应用，也是向量运算中的基础概念之一。
平面向量数量积的定义及几何意义
知识点——
平面向量数量积的定 义及几何意义
平面向量数量积的定义及几何意义
【定义】
已知两个非零向量 a与b ，它们的夹角为 α，我们
把数量 abcos叫 做 a 与 b的数量积（或内积），
记作：a b 即 ： a b = ab c o s.
平面向量数量积的定义及几何意义
【几何意义】
b
2
b
1212cos604 3
| ab| 3
【解题后的思考】本例主要考查平面向量数量 积的定义等基础知识，对于这些基础知识的考 查主要以选择、填空题为主.
平面向量数量积的定义及几何意义
【变形训练】
1 .已 知 ： |a | 1 ,a b 1 ,(a b )(a b ) 1
如图，我们把 bcos(acos)叫做向量
b 在 a 方 向 上 （ a 在 b 方 向 上 ） 的 投 影 ，
记做：OB1bcos
平面向量数量积的定义及几何意义
【典型例题】
1.在 R t A B C 中 ， C90,A C ＝ 4 ， 则 A B A C_______. 2.已 知 向 量 a,b满 足 ： |a|1,|b|2,a与 b的 夹 角 是 60，
平面向量数量积的定义及几何意义
【变形训练】 【思路分析】 1.（1）由已知可求 |b |， 再 利 用 c o s a ,b a b求 解 ；
平面向量的数量积的几何意义
平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积是向量代数中的一种运算，也被称为内积、点积或标量积。
它是两个向量之间的一种乘法运算，具有一定的几何意义。
在本文中，我们将探讨平面向量的数量积的几何意义。
数学上，平面向量可以由其坐标表示为一个有序实数对或有序复数对。
假设有两个平面向量a和a，它们的数量积记为a·a。
数量积的定义如下：a·a = |a| |a| cos(a)其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模，a表示向量a和a之间的夹角。
平面向量的数量积具有以下几何意义：1. 向量的投影：数量积可以用于计算一个向量在另一个向量的投影长度。
对于向量a和a，a·a/|a|表示向量a在向量a上的投影长度。
2. 判断垂直关系：通过数量积的值可以判断两个向量是否垂直。
如果a·a=0，则向量a和a垂直。
这是因为余弦函数值为0意味着夹角为90度，即两个向量垂直。
3. 判断夹角大小：根据数量积的值可以推导出夹角的大小关系。
由于a·a=|a| |a| cos(a)，当a为锐角时，余弦值为正，a·a>0；当a为钝角时，余弦值为负，a·a<0。
因此，数量积正负可以用来判断夹角的锐钝程度。
4. 面积计算：数量积的绝对值等于平行四边形的面积。
设平行四边形的两条邻边为a和a，夹角为a，则面积为|a| |a| sin(a)。
由于a·a=|a| |a| cos(a)，可以推导得到a·a=|a| |a| sin(a)。
因此，可以利用数量积来计算平行四边形的面积。
5. 判断共线：两个向量共线的充要条件是它们的数量积比值为常数。
如果a·a/|a| |a|=k，其中k为常数，则向量a和a共线。
平面向量的数量积是一种重要的运算，它不仅能够描述向量之间的一些重要关系，还能在几何中应用于诸多问题的求解。
通过数量积，我们可以更深入地理解和应用平面向量的性质，并进行准确的几何分析和计算。
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积是指两个平面向量之间的数积，也被称作点积或内积。
它可以用公式表示为：
$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta$，其中
$|vec{a}|$和$|vec{b}|$分别是向量$vec{a}$和$vec{b}$的模长，$theta$是它们之间的夹角。
平面向量数量积在几何学中有着重要的应用。
它可以用来计算两个向量之间的夹角，从而判断它们的方向关系。
当夹角为$0$时，两个向量是同向的；当夹角为$180$度时，两个向量是反向的；当夹角为$90$度时，两个向量是垂直的。
此外，平面向量数量积还可以用来计算向量在某一方向上的投影长度。
设$vec{a}$是一个向量，$vec{b}$是一个单位向量，那么$vec{a}cdotvec{b}$就是$vec{a}$在$vec{b}$方向上的投影长度，即$|vec{a}|costheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。
在向量的加减法中，平面向量数量积也有着重要的应用。
设$vec{a}$和$vec{b}$是两个向量，$vec{c}$是它们的和向量，那么有$vec{c}cdotvec{a}=vec{c}cdotvec{b}=|vec{c}|^2$。
这个结论可以用来求解平面向量的加减法，从而简化计算。
总之，平面向量数量积在数学和几何学中都有着广泛的应用，是平面向量基本概念之一，深入理解它的几何意义对于学习向量和空间几何有着重要的作用。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量的数量积与向量积的几何解释
平面向量的数量积与向量积的几何解释引言在数学中，向量运算是一个重要的概念，而平面向量的数量积和向量积是其中的两个重要运算。
本文将讨论平面向量的数量积和向量积，并探讨它们在几何上的解释。
一、平面向量的数量积数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量表示形式。
对于平面向量的数量积，可以用下列公式表示：A ·B = |A| × |B| × cosθ其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角。
几何解释：平面向量的数量积可以用于计算两个向量之间的相似程度。
当两个向量的夹角为 0 度时，数量积最大，即向量的方向相同，模长相似；当两个向量的夹角为 90 度时，数量积为 0，即向量垂直或正交；当两个向量的夹角为180 度时，数量积最小，即向量方向相反，模长相似。
根据这个特性，数量积可以用于判断向量的方向和判定向量是否垂直或平行。
二、平面向量的向量积向量积也称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量表示形式。
对于平面向量的向量积，可以用下列公式表示：A ×B = |A| × |B| × sinθ × n其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角，n 为垂直于平面的单位向量，确认向量积的方向。
几何解释：平面向量的向量积用于计算两个向量所构成平行四边形的面积和面的方向。
两个向量的向量积结果为一个新的向量，其模长表示两个向量构成的平行四边形的面积，而方向则垂直于所构成平行四边形的平面。
根据这个特性，向量积可以用于计算平行四边形面积、寻找垂直于两个向量所构成平面的法向量等。
三、平面向量的数量积与向量积的关系对于平面向量 A 和 B，它们的数量积与向量积之间存在关系：|A × B| = |A| × |B| × sinθ其中，|A × B| 表示向量积的模长。
平面向量数量积的物理意义及定义
平面向量数量积的物理意义及定义平面向量数量积是向量分析中的一个重要概念，具有广泛的应用和深刻的物理意义。
在物理学中，平面向量数量积用于描述在力学和电磁学中的物理量，例如力矩、功、功率等，并且在分析力学、电学和力学等领域中有着重要的作用。
1.力的做功：平面向量数量积在力学中的一种重要应用是描述力的做功。
假设有一个力F作用在物体上，并且物体沿着力的方向移动了一个距离s。
那么力F对物体所做的功W定义为F和s的平面向量数量积，即W=F·s。
根据平面向量数量积的定义，可以得到W=，F，s，cosθ，其中θ是力F和位移s之间的夹角。
这个式子表示了力对物体所做的功与力的大小、位移的长度和夹角的余弦有关。
2.力矩：平面向量数量积在描述力矩时也有着重要的应用。
力矩定义为力和力臂（即力的作用点到旋转轴的垂直距离）的乘积。
如果有一个物体受到力F作用于点P上，并且点P到旋转轴O的距离为r，那么力矩M 可以表示为M=，F，r，sinθ，其中θ是力F和力臂r之间的夹角。
可以看出，力矩的大小与力的大小、力臂的长度和夹角的正弦有关。
3.向量投影：平面向量数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影。
设有两个向量A和B，A在B上的投影定义为A在B的方向上的投影长度与B的长度的乘积。
根据平面向量数量积的定义，可以得到A在B上的投影长度为，A，cosθ，其中θ是A和B之间的夹角。
因此，A在B上的投影为，A，cosθ * ，B，即PA=，A，B，cosθ。
以上是平面向量数量积在力学中的物理意义和定义的简要介绍。
平面向量数量积在其他领域，如电学和力学中也有着广泛的应用。
在电学中，平面向量数量积可以用于计算电场强度和电位移之间的关系；在力学中，平面向量数量积可以用于计算刚体的角动量和角加速度。
总之，平面向量数量积作为向量分析的重要工具，在物理学中有着重要而深刻的应用，可以描述和计算出许多重要的物理量。
3.1.3空间向量的数量积
(a b) c a c b c
注意： (a b) c a (b c)
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义: 如图 ,已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取 一点 O , 作 OA a , OB b , 则角 AOB 叫做向
CD a2 b2
【例3】如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中， 若AB 2 BB1 , 则AB1与C1 B所成角的大小为 ( A)60 ( B)90 (C )105
A1
B1
A B
( D)75
C1
解析：易知AB C1C , BB1 CB, AB, CB 120, BB1 , C1C 180 | AB | 2 | BB1 | AB1 C1B ( AB BB1 ) (C1C CB)
4)空间向量的数量积满足的运算律
( a ) b ( a b ) a b b a (交换律） a (b c) a b a c (分配律）
判断： (1)a b a c b c k (2)a b k a b (3)向量的数量积满足结合律，即(a b)c a (b c)
复习回顾：平面向量的数量积运算
1、平面向量的数量积定义: a b | a || b | cos 其中 是a和b 的夹角, 范围是0 2、平面向量的数量积的几何意义：
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的 投影 b cos 的乘积.
3、平面向量的数量积的主要性质:
B E A F D
C
G
3)空间两个向量的数量积性质
设 a, b是空间中的两个非零向量 ，则
向量数量积
平面向量的数量积考试要求1.平面向量数量积的含义及其物理意义，B 级要求；2.平面向量的数量积与向量投影的关系，A 级要求；3.数量积的坐标表示，数量积的运算，C 级要求；4.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直，B 级要求．知识梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ²b ，即a ²b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0²a ＝0.(2)几何意义：数量积a ²b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ²b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ²a (3)夹角：cos θ＝a ²b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ²b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21²x 22＋y 22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ²b ＝b ²a (交换律)．(2)λa ²b ＝λ(a ²b )＝a ²(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )²c ＝a ²c ＋b ²c (分配律)．课前自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“³”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(³)(4)若a ²b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ²b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(³) (5)a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则b ＝c .(³)2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为：|b |cos θ＝4³cos 120°＝－2.3．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于________． 解析 利用向量垂直及倍角公式求解．a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)．∵a ⊥b ，∴a ²b ＝－1＋2cos 2θ＝0＝cos 2θ.4．(新课标全国Ⅱ卷改编)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ²b ＝________. 解析 ∵|a ＋b |＝10，∴a 2＋2a ²b ＋b 2＝10.① 又|a －b |＝6，∴a 2－2a ²b ＋b 2＝6.② 由①－②，得4a ²b ＝4，即a ²b ＝1.5．(山东卷改编)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝________.解析 ∵a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，∴|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ²b ＝3＋3m ， 又a ，b 的夹角为π6，∴a ²b |a |²|b |＝cos π6，即3＋3m 2³9＋m 2＝32， ∴3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.高考典型考点透析考点一 平面向量的数量积【例1】 (1)(重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ²b ＝________.(2)(2015²苏北四市调研)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为__________；DE →²DC →的最大值为________．思考：对于第(2)小题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法：法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试． 分析 (1)由a ＝(－2，－6)，得|a |＝ －2 2＋ －6 2＝210，故a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210³10³cos 60°＝10.(2)法一：如图，DE →²CB →＝(DA →＋AE →)²CB →＝DA →²CB →＋AE →²CB →＝DA →2＝1，DE →²DC →＝(DA →＋AE →)²DC →＝DA →²DC →＋AE →²DC →＝AE →²DC →＝|AE →|²|DC →|≤|DC →|2＝1.法二：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →²CB →＝(t ，－1)²(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →²DC →＝(t ，－1)²(1,0)＝t≤1，故DE →²DC →的最大值为1.法三：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →²CB →＝|CB →|²1＝1.当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →²DC →)max ＝|DC →|²1＝1.规律方法小结：(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算----基底法．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式训练1】：(1)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________.(2)已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →²BC →＋BC →²CA→＋CA →²AB →的值是________．分析：(1)b 1²b 2＝(e 1－2e 2)²(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1²e 2－8e 22＝3－2³1³1³cos π3－8＝－6.(2)法一：如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →²BC →＋BC →²CA →＋CA →²AB →＝BC →²CA →＋CA →²AB →＝4³5cos(π－C)＋5³3cos(π－A) ＝－20cos C －15cos A ＝－20³45－15³35＝－25.法二：易知AB →＋BC →＋CA →＝0，将其两边平方可得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2(AB →²BC →＋AB →²CA →＋BC →²CA →)＝0，故AB →²BC →＋AB →²CA →＋BC →²CA →＝－12(AB →2＋BC →2＋CA →2)＝－25.考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )²(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．分析：(1)因为|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )²(a －2b )＝－7，所以a 2－a ²b －2b 2＝－7，所以1－2cos 〈a ，b 〉－2³22＝－7，所以cos 〈a ，b 〉＝0.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π2.(2)由AP →⊥BC →，知AP →²BC →＝0，即AP →²BC →＝(λAB →＋AC →)²(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →²AC →－λAB →2＋AC →2＝(λ－1)³3³2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ³9＋4＝0，解得λ＝712.规律方法小结：(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ²b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ²b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【变式训练2】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．(2)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b .若b ²c ＝0，则t ＝________. 分析：(1)由a²b <0，即2λ－3<0，解得λ<32.由a∥b ，得6＝－λ，即λ＝－6，此时，b ＝－3a ，a ²b ＜0，但a 与b 的夹角为π.因此λ<32，且λ≠－6.(2)∵b ²c ＝b ²[t a ＋(1－t)b ]＝t a ²b ＋(1－t)b 2＝t|a |² |b |cos 60°＋(1－t)|b |2＝12t ＋1－t ＝－12t ＋1＝0，∴t ＝2.考点三 平面向量的模及应用【例3】 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.(2)(湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是________． 分析：(1)因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝ a ＋b 2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)由|CD →|＝1知，点D 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，设D(x ，y)，则(x －3)2＋y 2＝1.|OA →＋OB →＋OD →|＝ x－1 2＋ y＋3 2表示点D 到点P(1，－3)的距离． 又|PC →|＝（3－1）2＋（0＋3）2＝7，因此7－1≤|PD →|≤7＋1.规律方法小结：(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ²a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ²b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【变式训练3】：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．分析：以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ，∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).PA →＝(2，－x)，PB →＝(1，a －x)，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x)，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x)2≥25， 当x ＝3a4时取等号．∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.课堂小结思想方法方面：1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．易错防范方面：1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ²0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a ²b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ²b ＝0 时，有可能a ⊥b . 3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．课后作业（限时训练）基础巩固题组(建议用时：40分钟)1．(大纲全国卷改编)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )²b ＝________. 解析 (2a －b )²b ＝2a ²b －|b |2＝2³1³1³cos 60°－12＝0.2．(泰州检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝________.解析 由题意可得a ²b ＝|a |²|b |cosπ3＝3，所以|2a －3b |＝ 2a －3b 2＝4|a |2＋9|b |2－12a ²b ＝16＋81－36＝61.3．(2015²苏州调研)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b .若b ²c ＝0，则实数t 的值为________．解析 依题意得b ²c ＝t a ²b ＋(1－t)b 2＝1－t 2＝0，解得t ＝2.4．(上海八校联合调研)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析 依题意得a ²b ＝－1，|b |＝2，因此向量a 在向量b 方向上的投影为a ²b |b |＝－22.5．(江西卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析 由向量数量积的定义知e 1²e 2＝|e 1||e 2|cos α＝1³1³13＝13，而a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9e 21－12e 1²e 2＋4e 22＝9³12－12³13＋4³12＝9，所以|a |＝3.6．(2015²盐城质量检测)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →²AF →＝2，则AE →²BF →的值是________．解析 依题意得AE →²BF →＝(AB →＋BE →)²(AF →－AB →)＝AB →²AF →－AB →2＋BE →²AF →－BE →²AB →＝2－2＋1³2－0＝ 2.7．(大庆二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________．解析 由题意作图(如图)，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，为2π3.8．(四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.解析 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，a ²c ＝5m ＋8，b ²c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ²a |c |²|a |＝c ²b |c |²|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 9．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f(t)．(1)证明 ∵a ²b ＝3³12－1³32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c ²d ＝[a ＋(t 2－3)b ]²(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t(t 2－3)b 2＋[t －k(t 2－3)]a ²b ＝0. 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a ²b ＝0， ∴c ²d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0， ∴k ＝f(t)＝t 3－3t4(t≠0)．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ²b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ²b －27＝61， ∴a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝42＋2³(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.能力提升题组(建议用时：25分钟)1．(南京检测)若△ABC 满足A ＝π2，AB ＝2，则下列三个式子：①AB →²AC →，②BA →²BC →，③CA →²CB→中为定值的式子的个数为________．解析 依题意得知AB →²AC →＝0，BA →²BC →＝BA →²(BA →＋AC →)＝BA →2＋BA →²AC →＝BA →2＝4，CA →²CB →的值不确定．2．(2014²江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →²BP →＝2，则AB →²AD →的值是________．解析 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.所以AP →²BP →＝(AD →＋14AB →)²(AD →－34AB →)＝AD →2－12AD →²AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →²AB →－316³64，解得AD →²AB →＝22.3．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．解 (1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上，即向量BC →与AC →平行， ∴4(2－k)－2³3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)， ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)．若△ABC 为直角三角形， 则当A 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →²AC →＝0， ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2；当B 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →²BC →＝0， ∴k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1；当C 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →²BC →＝0，∴16－2k ＝0， 解得k ＝8.综上得k 的值为－2，－1,3,8.。
平面向量的数量积的概念及物理意义
通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极
探索的良好学习品质．
概念形成
已知两个非零向量 a和 b ，我们把数量 | a || b | cos
叫做a与 b的数量积 ( 或内积 )
记 作 a r b r ,即 a r b r a rb r c o s.其中，
是ar与
arr
b
r b cr
的结果是实数 (a rb r)c rc r与cr
的结果是实数 a r(b rc r)a r与ar
共线的向量 共线的向量
知识应用 例3 我们知道，对任意的a,b∈R，恒有
a b 2 a 2 2 a b 2 , b a b a b a 2 b 2
正确
课堂小结 本节课你有哪些收获？
课后作业
课本 : P108 习题2.4 A组 第2题 第3题 第6题 第7题
9 0 o a r b r 0
概念形成
Br
a
F
r
A
B1 O θb S
OB1 a cos
W= |F r||S r|cos
r
B
a
O
r
A
b B1
OB1 a cos
向量a在b方 向上的投影
1、向量的投影是一个向量还是数量？
2、向量的投影一定是正数吗？
概念形成
数量积 a ·b =| a || b |cos
观察思考
如图：一个物r体在r力F的作用下产生位移S,力F所做的功
W= |F||S|cos。
标量 F
θ S
位移S
目标展示
•知识与技能 （1）理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
平面向量的数量积和向量积的几何意义
平面向量的数量积和向量积的几何意义在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量的数量积和向量积是两个重要的运算，在几何上有着具体的意义和应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与夹角余弦的乘积。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B。
平面向量的数量积的几何意义是通过夹角的余弦值来衡量两个向量的相关性。
当夹角为零度时，夹角的余弦值为1，表示两个向量共线且方向相同；当夹角为90度时，夹角的余弦值为0，表示两个向量垂直；当夹角为180度时，夹角的余弦值为-1，表示两个向量共线但方向相反。
通过数量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及判断两个向量之间的关系。
具体应用包括求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、计算向量的投影等。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或矢积，是两个向量的乘积与夹角的正弦的乘积。
设有两个平面向量A和B，它们的向量积表示为A×B。
平面向量的向量积的几何意义是通过夹角的正弦值来衡量两个向量构成的平行四边形的面积。
向量积的大小等于该平行四边形的面积，方向垂直于该平行四边形所在的平面，并符合右手规则。
通过向量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及求解与平面相关的问题。
具体应用包括求解三角形的面积、判断三个向量是否共面、求解平行四边形的对角线等。
三、数量积与向量积的关系数量积和向量积都是平面向量的运算，它们之间有着一定的关系。
首先，根据数量积和向量积定义的公式，可以得到以下关系：A·B = |A||B|cosθA×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A 和向量B之间的夹角，n表示单位法向量。
其次，数量积和向量积之间还存在一个重要的关系——勾股定理。
根据向量积的定义，可以得到：|A×B| = |A||B|sinθ = ABsinθ由此可以看出，向量A和向量B的模长和夹角的正弦值决定了向量积的大小，而根据勾股定理，向量A和向量B的数量积的平方也等于向量积的平方。
平面向量的数量积的概念及物理意义
平面向量的数量积的概念及物理意义设有两个平面向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A·B表示向量A和B的数量积，A，表示向量A的模长，B，表示向量B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到一些重要的性质。
1.对称性：A·B=B·A，即数量积满足交换律。
2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C，即数量积满足分配律。
3.与缩放的关系：(kA)·B=k(A·B)，即向量的数量积与向量的缩放是满足一定的关系的。
数量积的物理意义：1.向量投影：根据数量积的定义，可以利用数量积来计算一个向量在另一个向量上的投影。
设有向量A和B，A在B上的投影表示为A_B，可以使用数量积公式计算得到：A_B = ，A，cosθ2.向量夹角：数量积的定义中的夹角θ可以用来描述向量之间的夹角关系。
根据数量积的性质，当两个向量的数量积为0时，它们之间的夹角为90度，即两个向量相互垂直；而当两个向量的数量积大于0时，它们之间的夹角小于90度，即两个向量夹角为锐角；当两个向量的数量积小于0时，它们之间的夹角大于90度，即两个向量夹角为钝角。
3.功与力的关系：在物理力学中，力与位移的乘积称为功。
当力和位移方向相同时，功是正值；当力和位移方向相反时，功是负值。
根据数量积的定义，可以推导出功与力的数量积之间的关系：W = F·d = ，F，，d，cosθ其中，W表示功，F表示力，d表示位移，θ表示力和位移之间的夹角。
由此可以看出，功是力与位移之间的数量积。
4.正交分解：利用数量积，可以将一个向量分解为与另一个向量正交（垂直）和平行的两个分量。
设有向量A和B，向量A在向量B上的正交分量表示为A_⊥，在向量B上的平行分量表示为A_∥，可以利用数量积进行分解：A=A_∥+A_⊥其中,A_∥=(A·B/，B，²)BA_⊥=A-A_∥总结：平面向量的数量积是向量运算中的重要概念，具有许多重要的物理意义。
平面向量的数量积和叉积的物理意义
平面向量的数量积和叉积的物理意义平面向量的数量积和叉积是向量运算中的两个重要概念，它们在物理学中具有深远的物理意义。
数量积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的余弦，而叉积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的正弦。
下面将分别介绍平面向量的数量积和叉积，并探讨它们在物理学中的实际应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积、点积或标量积。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为：A·B = |A|·|B|·cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积给出了两个向量的相似程度，可以用于判断两个向量之间的夹角、平行关系以及向量投影等。
在物理学中，数量积的物理意义包括以下几个方面：1. 投影：数量积可以用于计算一个向量在另一个向量方向上的投影。
设有向量A和B，它们之间的夹角为θ，则向量A在向量B方向上的投影为|A|·cosθ。
2. 夹角：通过数量积的计算公式，可以得到两个向量之间的夹角θ。
这在物理学中常用于计算物体受力的方向或计算光线的折射角度等。
3. 正交性：若两个向量的数量积为零，即A·B=0，则可以判断它们是垂直或正交的关系。
这在力学和电磁学中经常用到，例如判断力矩是否为零或判断电场和磁场之间的关系等。
二、平面向量的叉积平面向量的叉积也称为外积、矢量积或向量积。
设有两个平面向量A和B，它们的叉积表示为A×B，计算公式为：A×B = |A|·|B|·sinθ·n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位法向量。
叉积给出了两个向量之间的垂直性以及它们所形成面积的大小。
在物理学中，叉积的物理意义包括以下几个方面：1. 垂直性：若两个向量的叉积为零，即A×B=0，则可以判断它们是平行或共线的关系。
平面向量数量积的物理意义
平面向量数量积的物理意义
平面向量数量积的物理意义是指两个向量之间的线性相关性，它可以用来表示两个向量之间的相互作用或影响力。
具体来说，数量积可以用来描述两个向量在相同方向上的强度或大小，或者描述两个向量在不同方向上的强度或大小之间的关系。
在物理学中，向量数量积可以用来描述两个向量之间的相互作用，例如在牛顿第二定律中，向量数量积可以用来表示力和加速度之间的关系。
在电磁学中，向量数量积可以用来表示电场和磁场之间的相互作用，并在麦克斯韦方程组中扮演着重要的角色。
此外，向量数量积也可以在几何学和线性代数中找到广泛的应用，例如在二维几何中，数量积可以用来表示两个向量之间的夹角。
在线性代数中，数量积可以用来表示向量之间的线性相关性，并被用来求解矩阵的行列式和特征值等问题。
总的来说，平面向量数量积是一种重要的数学工具，它在物理学、几何学和线性代数等领域中都有着广泛的应用。
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问题
数量积是数量还是向量？ 影响数量积大小的因素有哪些？
问题回应，回馈课堂效果关，还与夹角 有关呢~~
我也知道了， 数量积的正负 与向量夹角有 关呦一
b cos ( a cos )叫做向量b 在a方向上（a在 b 方向上）的投影。记做 ：OB1 b cos .
(1) a b a b 0
2 2 2 （2） a a a | a | | a | a
（ 3）
cos =
a b a b
问题
向量的数量积能解决哪些几何问题呢？
学生活动：发扬团队精神，互编习题，可 以参照教材，但要有改动，力求难倒对方
课后反思
让学生从生活中和物理知识中感 受数学的魅力，激发学生学习的 热情；同时也培养了学生由特殊 到一般的思维品质和类比创新的 意识。但数量积的定义和运算性 质的运用有待于进一步提高。
欢迎教师批评指正 谢谢各位
类比联想， 探索问题 创设情境， 提出问题
学法：
——自主探索，合作交流
情景引入：
如图：一个物体在力F的作用下产生位移S,力F所做的功 W=
F
F S cos 。
位移S
•设计意图：由特殊到一般，启发学生类比归纳，从知识的不同领域体会 向量的存在与价值。
b
1.概 念:
向量夹角:
范围0°≤θ ≤180°
几 何 画 板 演 示
当θ为锐角时投影为正值;
当θ为钝角时投影为负值; 当θ为直角时投影为0;
当θ=0°时投影为|b|;
当θ=180°时投影为-|b|. 设计意图：理解投影可正可负可为零，与向量夹角有关
生活中两个人同时拎一个提包，夹角越大越 费力，为什么呢？ 你能用本节课的知识解释 吗？
设计意图：生活中处处有数学，培养学生学习兴趣
分层作业
1.课本P108 1—4，6； 2.某同学在单杠上做引体向上， 手臂握杠的姿势怎样最合适？试 用本节课的知识解释。
X
板书设计
科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义 一、数量积的概念 二、数量积的性质 １、概念： ２、概念强调：（1）记法 （2）“规定” 3、几何意义： 4、物理意义： 三、数量积的运算律 四、学生自编例题： 例1： 例2： 例3：
高中数学人教A版必修4
说 课 流 程
教学过程
板书设计
教材分析：
教材的地位、作用及特点 借助向量对 图形的研究 推进到了有 效能算的水 平
平面向量的数 量积是向量计 算的重要组成 部分，有着很 重要的几何物 理意义
平面向量的 数量积在数 学、物理等 学科中应用 广泛。
学情分析： 学生在学习本节内容之前， 已熟知了实数的运算体系， 掌握了向量的概念及其线 性运算。 具备了功等物理知识，并 且初步体会了研究向量运 算的一般方法。
a
B b
图甲
O
’ a
A
1.观察上图甲向量a与向量b的夹
角是吗？ 2.应如何正确作出向量夹角呢？ 夹角范围是？
已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量| a || b | cos 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 )( 或点积 )
记作 a b , 即 a b a b cos . 其中， 是 a与b 的夹角
•知识与技能 （1）理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）能够运用定义和运算性质解决相关问题． 解决数学、物理和生活中问题。
• 过程与方法
•情感态度与价值观
培养学生自主探究与合作交流的良好学习品质．
教法
——问题引领，诱思启发
总结反思， 学以致用 教材重组， 典例引领 合作交流， 感知问题
向量在平面几何领域 的重大作用
应用1：用向量方法证明著名的勾股定理
A
如图所示，在直角三角形中， 已知∠ACB=90° 求证：AC2+BC2=AB2
b C
C
c B
应用2：用向量方法证明直径所对的圆周角为直角。
a
B
A
(1)交换律 a b b a (2)数乘结合律 ( a ) b (a b ) a ( b ) (3)分配律 (a b ) c a c b c
b c a b a c
(a b ) c a (b c )
（2012课标全国）
对功W=|F||s|cos结构分析
抽 象
平面向量数量积的定义 → → a ·b=| a | | b | cos 师 生 探 究 重 要 性 质 特 殊 化 运 算 律