数学知识点人教A版数学必修一2.1《几类不同增长的函数模型》第1课时示范教案-总结
高中人教版数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案
3.2.1几类不同增长的函数模型教案教学目标知识与技能掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。
过程与方法通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。
情感、态度与价值观提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。
教学重点与难点：利用函数模型分析问题。
教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。
1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。
可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。
这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。
二、例题分析例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 问题2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x 天所得回报是y 元，方案一可以用函数40(*)y x N =∈进行描述；确实能符合公司的要求。
高中数学 322几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1 教案
3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y= log7x+ 1，y= 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1– 0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表1．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有动手尝试提升解题备选例题例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y =ax 2+ bx + c ，y = a21x + b ，y = ab x+ c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2+ bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x+ c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x+1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。
高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。
高中人教版数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案
3.2.1几类不同增长的函数模型教案教学目标知识与技能掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。
过程与方法通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。
情感、态度与价值观提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。
教学重点与难点：利用函数模型分析问题。
教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。
1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。
可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。
这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。
二、例题分析例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 问题2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x 天所得回报是y 元，方案一可以用函数40(*)y x N =∈进行描述；方案二可以用函数10(*)y x x N =∈进行描述； 方案三可以用函数10.42(*)x y x N -=⨯∈进行描述。
问题3、三个函数模型的增减性如何？三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型。
问题4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？ 1、日回报效益分析：（1）三个方案所得回报的增长情况：（2）作出三个函数的图象：函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。
人教A版高中数学必修一几类不同增长的函数模型教案第课时(1)
《函数与方程》第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.959 6.063 8 10.556y=x20.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.67 9 11.56y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766图3-2-1-12③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256y=x20 1 4 9 16 25 36 49 64图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<x2，有时x2<2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.x 0 10 20 30 40 50 60 70 80y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24 y=x20 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400图3-2-1-14一般地，对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y=log ax(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log ax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，log ax可能会大于x n，但由于log ax的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log ax<x n.综上所述，尽管对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，而y=log ax (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，就会有log ax <x n <a x .虽然幂函数y=x n (n>0)增长快于对数函数y=log ax (a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x ；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y 为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x ∈［250，400］. 因函数y 在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y 有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4,t 1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2-4)+320=4,解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2-4)+32032-(t 2-9)+320=4,解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9， 由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max =f(10)=59；当10<x≤16时，f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107， 由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟. (2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例3 2007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x 个时,零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a 个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+02.05160-50个. (2)p=f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<,550,51,550100,5062,1000,60x x x x 其中x ∈N *.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<.550,11,550100,5022,100,202x x x x x x x 其中x ∈N *,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x 、y 的等式. 例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型. 解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为y 甲=0.2x+0.8, 乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为y 乙=-4x+34. (1)当x=2时，y 甲=0.2×2+0.8=1.2,y 乙=-4×2+34=26， y 甲·y 乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只. (2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m 年时的规模总产量为n, 那么n=y 甲·y 乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m 2+3.6m+27.2=-0.8(m 2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,n max =31.2, 即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. 知能训练2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)； 写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正. 解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000.3000t t t t由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025722001,2000,2175********t t t t t t当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理,得h(t)=2001-(t-350)2+100, 所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法.解：(1)f(t)=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g(t)=203-t 2+6t(0≤t≤40).(2)每件A 产品销售利润h(t)=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t .该公司的日销售利润F(t)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ,当0≤t≤20时，F(t)=3t(203-t 2+8t),先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20,则F(t 1)-F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)-3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1-t 2)2.∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max =F(20)=6 000<6 300.当20<t≤30时，令60(203-t 2+8t)>6 300，则370<t<30; 当30<t≤40时，F(t)=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.2.在t∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P107习题3.2A组3、4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.。
数学3.2.1《几类不同增长的函数模型(1)》教案(新人教必修1).doc1
3.2.1几类不同增长的函数模型（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。
教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。
建立实际问题的函数模型是难点。
教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝1.002x。
其中哪个模型利润的25%。
现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
高中数学新人教版A版精品教案《3.2.1 几类不同增长的函数模型》
教学环境：多媒体教室
教学资源准备：PPT课件，几何画板软件
七．教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
创设问题情景
创设问题情景
例1的教学
多媒体展现例1投资方案的选择问题
1.提问:投资方案选择的标准如何确定？
三种方案中每天的回报量分别是多少？如何计算？
2.模型建立了，如何对模型进行分析研究，比较三个函数的增长差异？
2.通过对模型进行探究，能体会到不同函数的增长差异：常函
数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函
数缓慢增长。
3.通过对问题的分析掌握：解析式法、列表法、图像法是研究
函数模型的基本方法。
（二）过程和方法：在引导学生建立函数模型解决实际问题的过程中，教师采用问题串的形式引导学生思考，同时充分利用信息技术手段通过对图像和表格的分析，了解不同函数模型的增长差异。
学生通过对表格的观察得出：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长。
学生通过图象的平缓与陡峭与函数变化的关系角度指出三类函数的增长差异。
学生做出回答
学生积极审题，并作出思考
学生作出回答
学生思考并积极作出回答
学生提出探究方法利用函数图像
学生根据图像做出判断y=0.25x显然不满足条件。然后通过函数的相关性质及计算得出结论。
（三）情感态度价值观：通过问题的解决让学生体会到数学是有用的，并学会用科学的方法去观察、分析、研究生活中的实际问题，从而提高解决问题的能力。
四．教学重难点
（一）教学重点：1.将实际问题转化为数学模型。
2。通过对模型的探究掌握几类不同增长的函数模型的增长差异：常函
高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教版必修1
321几类不同增长的函数模型（教学设计）教学目标:知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.一、新课导入：材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋. 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只•可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口•这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.二、师生互动，新课讲解：例1 （课本P95例1）,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？2）分析解答（略）（见P95--97 ）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？例2 :（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型：y 0-25x y log7X 1 y「oo, •问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪几类函数模型？2）本例的实质是什么？3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？解答：（课本P97—98）幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幕函数y ^（n°）、指数函数y a><（a 1）、对数函数y lOg a X（a 1）在区间（°，）上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。
人教课标版高中数学必修一《几类不同增长的函数模型(第1课时)》教案-新版
3.2.1几种不同增长的函数模型第一课时一、教学目标（一）核心素养本节课主要是在指、对函数及幂函数的概念和性质的基础上，进一步加以研究的.在实际的问题中，体验函数模型的实际应用，对比分析具体的函数模型.通过对“指数爆炸”和“直线上升”等函数的感性认识，提高数学探究能力、数学建模能力和数形结合的能力.（二）学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2．理借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3．体验指、对函数等与现实的密切联系，和在刻画现实问题中的作用.（三）学习重点1.将实际问题转化为函数模型.2.比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异.3.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.（四）学习难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务读一读：阅读教材第95页至第98页，找出疑惑之处：阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 2．预习自测（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ） A ．12+=x y B ．12-=x y C ．x y 2= D ．x y 2= 【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【解题过程】由题知，细胞每次分裂后，数目都变为原来的2倍.故x 次分裂后，细胞个数为1222+=⨯=x x y .故选A.【思路点拨】细胞每次分裂后，数目都变为原来的2倍． 【答案】A（2）某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（ ）A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数 【知识点】函数模型的选择与应用.【解题过程】由题意知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数函数模型来建立函数模型.【思路点拨】明确一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数的图象变化特点. 【答案】D（3）一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ） A ．）10(220≤-=x x y B ．）10(220<-=x x y C ．）105(220≤≤-=x x y D ．）105(220<<-=x x y 【知识点】一次函数的性质与图象.【解题过程】等腰三角形周长为202=+=y x C ，得x y 220-=.根据三角形的基本性质——两边之和大于第三边，x x x y 2=+<即x x 2220<-，可得5>x .又,0220>-=x y 得10<x . 【思路点拨】本题主要考查函数的建构． 【答案】D（4）某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售800台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成（ ）A ．x y 100=B ．10050502+-=x x yC ．x y 250⨯=D ．100log 1002+=x y 【知识点】根据实际问题选择函数类型. 【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】将4=x 代入A 得400=y 不满足;将4=x 带入B 得700=y 不满足;将4=x 代入D 得300=y 不满足;将4=x 带入C 得800=y 满足，且当321、、=x 时也满足，所以选C. 【思路点拨】将数据与选项结合，并利用排除法求解． 【答案】C (二)课堂设计 1．知识回顾（1）一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量,函数的定义域是R.（2）一般地，把函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数（logarithmic function ），其中x 是自变量,函数的定义域是（0，∞+）.（3）一般地，函数αx y =叫幂函数（power function ），其中x 是自变量,α是常数. 2．问题探究探究一 回顾旧知，提出新问 ●活动① 回顾三类重要的函数问题：上一章我们学习了函数的“三巨头”，它们分别是哪三个呢？它们分别是指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且 ，对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，以及幂函数αx y =.【设计意图】检验学生上章的掌握情况，并为后续函数模型的建立和应用做好铺垫. ●活动② 回顾解决应用题的一般程序 问题： 解决应用题的一般程序是什么？①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；【设计意图】回顾解决应用题的一般程序，可以使学生在面临接下来的实际问题时有非常清晰的思路.探究二 探究常数函数、一次函数、指数函数三种不同类型的函数模型★▲ ●活动① 创设情境，提出问题假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？【设计意图】结合学生已有知识经验，通过生活中的一个实际问题激发学生的求知欲． ●活动② 互动交流，初步实践提出问题后，让学生尝试解决应用题的三部曲——审题、建模、解模. 设第x 天所得回报为y 元，则方案一：每天回报40元：)(40*N x y ∈=；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：)(10*N x x y ∈=； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番：)(24.0*1N x y x ∈⨯=-. 【设计意图】学以致用，一方面可以加深学生对所学知识的理解，另一方面可以培养学生善于思考和解决实际问题的能力． 活动③ 师生合作，突破重点为了选择投资方案，需要在建立三种投资方案对应的涵数模型基础上，再比较它们的增长情况，因此，可以先用计算器或计算机计算三种方案所得汇报的增长情况，并用表格表示.再做出三个函数的图像：问题：根据累计回报数的表格和图象所给的信息，请问，你会选择哪种投资方案？（让学生分小组讨论，并汇报小组结论）【设计意图】函数图象是分析问题的好帮手.培养学生学会数形结合，通过分析，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快.对 “指数爆炸” 有一个感性认识；通这这样，突破本节课的重点. 探究三 实例应用，巩固提高★▲ ●活动1例1有一组实验数据如下表所示：A ．)1(log >=a x y aB ．)1(>+=a b ax yC ．)0(2>+=a b ax yD ．)1(log >+=a b x y a【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，而B 中的函数增长速度保持不变，故选C.【思路点拨】结合表中的数据和选项中的函数增长特点，对比排除． 【答案】C同类训练 以下是三个变量1y ，2y ，3y 随变量x 变化的函数值表：其中，关于x 呈指数函数变化的函数是____________________． 【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】从表格可以看出，三个变量1y ，2y ，3y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量1y 呈指数函数变化，故填1y . 【思路点拨】通过画函数图像即可解决． 【答案】1y【设计意图】再次加深学生对函数模型的理解，逐步体会如何选择恰当的函数模型来刻画简单的实际问题. ●活动2例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0=；1log 7+=x y ；x y 002.1=. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，由于公司总的 利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果.【思路点拨】明确该问题中涉及了哪几类函数模型，并挖掘出判定所给的奖励模型是否符合公司要求的实质，最后根据函数模型及其图像分析即可. 【答案】1log 7+=x y 符合公司要求.同类训练 电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(其中MN ∥CD)．(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x (分钟)的函数表达式)(x f 和)(x g ； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案的？并说明理由．【知识点】一次函数的性质与图象． 【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想.【解题过程】由图可得⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.100,10103,1000,20)(x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.500,1001035000,50)(x x x x g当)()(x g x f =时，5010103=-x ，即200=x .所以，当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为2000≤≤x 分钟时，)()(x f x g >，故选择方案A ；当客户通话时间为200>x 分钟时，)()(x f x g <，故选方案B.【思路点拨】根据图像即可求得)(x f 和)(x g 的解析式，再求出)()(x g x f =的解，即可得出选择方案.【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.100,10103,1000,20)(x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=.500,1001035000,50)(x x x x g （2）当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为2000≤≤x 分钟时，)()(x f x g >，故选择方案A ；当客户通话时间为200>x 分钟时，)()(x f x g <，故选方案B.【设计意图】培养学生学会数形结合，列出函数表达式.利用图象从整体上把握不同的函数模型的增长，为方案选择提供依据.培养学生分析整理数据并根据其中的信息做出推理判断的能力． ●活动3例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数),,(为常数c b a c ab y x +=．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由． 【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异值. 【数学思想】化归与转化思想．【解题过程】设两个函数：)0()(21≠++==p r qx px x f y ，c ab x g y x +==)(2.依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=.3.139)3(,2.124)2(,1)1(r q p f r q p f r q p f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.7.0,35.0,05.0r q p所以，7.035.005.0)(21++-==x x x f y ,)(3.1)4(万件=f .依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==+=3.1)3(2.1)2(1)1(32c ab g c ab g c ab g ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.4.1,5.0,8.0c b a所以，4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y ，)(35.14.15.08.0)4(4万件=+⨯-=g .经比较，)(35.1)4(万件=g 比)(3.1)4(万件=f 更接近于4月份的产量1.37万件． 所以，选4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y 作为模拟函数较好．【思路点拨】先应用待定系数法分别求得)(x f 和)(x g 的解析式,再将4=x 分别带入)(x f 和)(x g 比较大小【答案】选4.15.08.0)(2+⨯-==x x g y 作为模拟函数较好.同类训练 为了发展电信事业，方便用户，某电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月的通话时间x （分）与通话费y （元）的关系如图所示．（1）分别求出通话费21,y y 与通话时间x 之间的函数关系式； （2）根据用户的使用情况，试分析在一个月内使用哪种卡便宜． 【知识点】一次函数的性质与图像.【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想． 【解题过程】（1）由题中图像可设2911+=x k y ，x k y 22=，把点B （30,35），C （30,15）分别代入21,y y 得511=k ，212=k .所以，29511+=x y ，x y 212=.（2）当3296=x 时，21y y =，两种卡收费一致；当3296<x 时，21y y >，即如意卡便宜；当3296>x 时，21y y <，即便民卡便宜．【思路点拨】先应用待定系数法分别求得21,y y 的解析式,再分情况讨论21,y y 的大小. 【答案】（1）29511+=x y ，x y 212=. （2）当3296=x 时，21y y =，两种卡收费一致；当3296<x 时，21y y >，即如意卡便宜；当3296>x 时，21y y <，即便民卡便宜．【设计意图】进一步培养数形结合的能力，锻炼分类讨论问题的能力．3.课堂总结知识梳理（1）两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；（2）几种函数模型：常数函数、一次函数、对数函数、指数函数；（3）应用建模（函数模型）；重难点归纳（三）课后作业基础型自主突破1．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )【知识点】一次函数的性质与图像．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据题意可得函数解析式为204,[0,5],=-∈其图像应为C.s t t【思路点拨】根据函数图像列出解析式．【答案】C2．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息4.14%，零存每月利息0.60%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )A ．5.3%)14.41(2+⨯万元B ．63%)60.01(%)14.41(2+⨯+⨯万元C ．5%60.02%)14.41(23⨯⨯++⨯万元D ．633%)60.01(%)14.41(2%)14.41(2+⨯+⨯++⨯万元【知识点】指数函数的图像与性质.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息4.14%计算，而半年按6个月(月息0.60%)计算，又由于是复利问题，故只有选B.【思路点拨】结合生活实际，注意3年半应该分为3年的年息和6个月的月息.【答案】B3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．【知识点】集合的表示法、子集与真子集.一次函数的性质与图象．【解题过程】对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获得最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的23倍时可获得最大利润．此时共获利24×0.4＋36×0.6＝31.2(万元)．【思路点拨】先分析甲乙项目各投资多少时，才使得所获利润最大，再算出最大利润．【答案】31.2．4．已知c bx x x f +-=2)(且3)0(=f ,)1()1(x f x f -=+，则有( )A ．)()(x x c f b f ≥B ．)()(x x c f b f ≤C ．)()(x x c f b f <D ．)(),(x x c f b f 大小不定【知识点】二次函数的性质.【解题过程】由)1()1(x f x f -=+，知对称轴.2,12==b b 由3)0(=f ，知3=c .此时32)(2+-=x x x f .当0<x 时，123<<x x ，函数)(x f y =在)1,(-∞∈x 上是减函数，)()(x x c f b f <； 当0=x 时，)()(x x c f b f =；当0>x 时，123>>x x ，函数)(x f y =在),0(+∞∈x 上是增函数，)()(x x c f b f <．综上，)()(x x c f b f ≤．【思路点拨】先根据函数的对称性及3)0(=f 求出该函数的表达式并分析它的单调性，在比较)()(x x c f b f 和的大小．【答案】B5.如右图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，以△APM 的面积为函数值的函数的图象大致是()【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【数学思想】数形结合思想【解题过程】如题图所示，当10≤≤x 时，x x y 21121=⋅⋅=； 当21≤<x 时，434141)2(41)1(211+-=-----=x x x y ； 当5.22≤<x 时，x x y 21451)25(21-=⨯-=. 故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+-≤≤=.5.22,4521,21,434110,21x x x x x x y 选A. 【思路点拨】根据左边的图形列出分段函数，再根据函数解析式画出图形．【答案】A ．6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为2115.006.5x x l -=和x l 22=，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51【知识点】二次函数在闭区间上的最值．【解题过程】设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售()x -15辆．由题意可知所获利润为606.45)2.10(15.0)15(215.006.522+--=-+-=x x x x l .当10=x 时，)(6.45max 万元≈l ．【思路点拨】先根据题意列出函数解析式，再利用配方法求出函数的最大值.【答案】B能力型 师生共研7.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．【知识点】幂函数的图像．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由]3,0[∈t 的图象联想到幂函数)10(<<=ααx y ，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由]8,3[∈t 的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．【思路点拨】结合图像的特点和选项选出正确的结果.【答案】②③8．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知210151000x x P ++=，bx a Q +=，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数b a 、的值．【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值．【解题过程】设利润为y 元， 则1000)5(1011)1051000()(22--+-=++-+=-⋅=x a x b x x x b x a P x Q y ）（ 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==---.15040,150)1011(25b a b a 化简得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.40150,35300b a b a 解得⎩⎨⎧-==.30,45b a 即实数b a 、的值分别为45，－30.【思路点拨】列出利润与产量的函数关系式，再根据产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元两个条件求得．【答案】,45=a 30-=b .探究型 多维突破9. 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (单位：亿)．(1)求y 与x 的函数关系式)(x f y =；(2)求函数)(x f y =的定义域；(3)判断函数)(x f 是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．【知识点】指数型复合函数的性质及应用．【数学思想】函数思想．【解题过程】(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：%)11(13%11313+⨯=⨯+亿．经过2年，2001年底人口数：2%)11(13%1%)11(13%)11(13+⨯=⨯+⨯++⨯亿．经过3年，2002年底人口数：322%)11(13%1%)11(13%)11(13+⨯=⨯+⨯++⨯亿．…因为经过的年数与%)11(+的指数相同，所以经过x 年后人口数为x %)11(13+⨯亿，即x x f y %)11(13)(+⨯==.(2)因为此问题以年作为单位时间，所以*N x ∈是此函数的定义域．(3)因为x x f y %)11(13)(+⨯==，,1%11>+013>，所以x x f y %)11(13)(+⨯==是增函数， 即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．【思路点拨】先写出经过1年、2年、3年，我国的人口数，再以此类推到经过x 年后我国的人数．【答案】（1）x x f y %)11(13)(+⨯== （2）*N x ∈ （3）x x f y %)11(13)(+⨯==是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．10．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为1y 元2y 元，那么（1）写出1y 、2y 的函数关系式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.【知识点】集合的相等、集合关系中的参数取值问题．一次函数的性质与图象【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）设y 1代表全球通话费，y 2代表神州行话费，x 代表通话分钟.根据题意可得y 是关于x 的一次函数，实际生活中通话分钟数大于等于0，所以x 的取值范围x ≥0)0(4.0501≥+=x x y ，)0(6.02≥=x x y .（2）（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.（4）当通话费为200元时，由图象可知，1y 所对应的自变量的值大于2y 所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.当2001=y 时有200504.0=+x ，所以;3751=x 当2002=y 时有2006.0=x ，310002=x ，显然31000375>.所以，若某人预计一个月内使用话费200元，应选择全球通较合算. 【思路点拨】我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.【答案】（1）)0(4.0501≥+=x x y ，)0(6.02≥=x x y .（2）（3）一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择全球通较合算.自助餐1．一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖，每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器，同样充满容器时间是( )A ．27分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟【知识点】指数型复合函数的性质及应用．【解题过程】设需要经过x 分钟，由203222=⨯x ，得57=x (分钟)．【思路点拨】细胞增长是一个指数函数模型．【答案】D ．2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润率由原来的%r 增加到)%10(+r ，那么r 的值等于( )A ．12B ．15C ．25D ．50【知识点】函数与方程的综合运用．【数学思想】【解题过程】销售利润率＝销售价－进价进价×100%. 设销售价为y ，进价为x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯---=⨯-)%.10(%100%)81(%)81(%,%100r x x y r x x y 解得,15=r 选B. 【思路点拨】根据销售利润的表达式列方程组求出r ．【答案】B3.某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．)40000(2.0≤≤=x x yB ．)40000(5.0≤≤=x x yC ．)40000(12001.0≤≤+-=x x yD ．)40000(12001.0≤≤+=x x y【知识点】一次函数的性质与图象．【解题过程】12001.0)4000(3.02.0+-=-⨯+=x x x y ）（40000≤≤x ．【思路点拨】根据总存车费等于普通车存车费与变速车存车费之和求解．【答案】C4.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【知识点】一次函数的性质与图象、分段函数的应用．【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．【思路点拨】将选项和图像结合，一一检验．【答案】①②③5．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯；②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x 个，付款为y (元)，试分别写出两种优惠办法中的y 与x 的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？【知识点】一次函数的性质与图象.【解题过程】由优惠办法①得函数关系式为605)4(54201+=-+⨯=x x y （*∈≥N x x ,4）. 由优惠办法②得函数关系式为),4(6.736.4%92)5420(2*∈≥+=⨯+⨯=N x x x x y ．当顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款)(260604051元=+⨯=y ；采用优惠办法②应付款)(6.2576.73406.42元=+⨯=y ;由于12y y <，因此应选择优惠办法②.【思路点拨】先写出方案①、②函数关系式，再将40代入这两个函数关系式进行比较．【答案】应选择优惠办法②．6．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨)0%(>x x ，销售数量就减少%kx (其中k 为正常数).目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个.（1）当21=k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ （2）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围.【知识点】二次函数的性质．【解题过程】依题意，价格上涨)0%(>x x 后，销售总金额为]10000)1(100[10000%)1(%)1(2+-+-=-⋅⋅+⋅=x k kx ab kx b x a y . （1）取21=k ,)100005021(100002++-=x x ab y ,则50=x ,即商品价格上涨50%，=max y ab 89. （2）]10000)1(100[10000%)1(%)1(2+-+-=-⋅⋅+⋅=x k kx ab kx b x a y ,此二次函数的开口向下，对称轴为kk x )1(50-=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{}0|>x x 的一个子集内增大时，y 也增大.所以0)1(50>-k k ,解得10<<k .【思路点拨】根据题意列出函数表达式，当21=k 时，用配方法求得它的最大值.第二问通过分析二次函数的单调性，求解k 的取值范围．【答案】（1）上涨50%.（2）10<<k .。
高中数学必修一(人教新课标A版)教学设计27 几类不同增长的函数模型
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
2）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
创设情景
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教学设计新人教A版必修1
3.2.1几类不同增长的函数模型（教学设计）教学目标：知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．一、新课导入：材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、师生互动，新课讲解：例1（课本P95例1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？2）分析解答（略）（见P95--97）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？例2：（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=．问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪几类函数模型？2）本例的实质是什么？3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？解答：（课本P97—98）幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数)0(>=n x y n 、指数函数)1(>=a a y x 、对数函数)1(log >=a x y a 在区间),0(+∞上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。
高中人教版数学教材必修一《几类不同增长的函数模型》教学设计
3.2.1几类不同增长的函数模型教学要求：①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程：一、新课引入：大家翻到课本P84-85，看到图片上有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．你们知道兔子的数量为什么增加得如此之快吗？有什么规律？据生物学家统计，在理想环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长将由指数增长转变为对数增长，并逐渐趋于稳定。
在我们的生活中无处不存在函数关系，我们来看看生活中的函数是如何增长的。
二、讲授新课：1、例题讲解：例1、当国家有难的时候，四川有难的时候，社会各界纷纷伸出援助之手，献出自己的一份爱心，看了下面几张图片，我感动得热泪盈眶。
正如温总理所说的“多难兴邦”，在这个时候，充分体现了中华民族强大的凝聚力，很多企甲企业说：我以后每天捐5万元；乙企业说：我第一天捐1万元，以后每天比前一天多捐1万元；丙公司说：我第一天捐0.1万元，以后每天捐款额都比前一天翻一番。
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3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异. 推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样结论.答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y 1=50＋0.4x(x≥0)，y 2=0.6x(x≥0). (2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4)当通话费为200元时，由图象可知，y 1所对应的自变量的值大于y 2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y 1=200时有0.4x ＋50=200,∴x 1=375； 当y 2=200时有0.6x=200,x 2=31000.显然375>31000, ∴选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).图3-2-1-6观察函数的图象，在区间［10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log 7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x ，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0=5,由于它在区间［10,1 000］上递增，因此当x>x 0时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log 7x+1，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=1 000时，y=log 71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log 7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1 000］时，是否有x y =xx 1log 7+≤0.25成立.图3217令f(x)=log 7x+1-0.25x,x∈［10,1 000］.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)<f(10)≈-0.316 7<0,即log 7x+1<0.25x. 所以当x∈［10,1 000］时，xx 1log 7+<0.25. 说明按模型y=log 7x+1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y=log 7x+1确实能符合公司的要求. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数).目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个. (1)当k=21时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围. 解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y=a(1+x%)·b(1-kx%)=10000ab ［-kx 2+100(1-k)x+10 000］.(1)取k=21,y=10000ab (21-x 2+50x+10 000),所以x=50,即商品价格上涨50%，y 最大为89ab.(2)因为y=10000ab ［-kx 2+100(1-k)x+10 000］,此二次函数的开口向下，对称轴为x=kk )1(50-，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大. 所以kk )1(50->0,解得0<k<1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H 型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数).(1)写出g(x),h(x)解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意,知需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，216-x 人.∴g(x)=x 64000,h(x)=3)216(3000∙-x , 即g(x)=x 32000,h(x)=x-21610000 (0<x<216,x∈N *).(2)g(x)-h(x)=x 32000x --21610000=)216(3)5432(1000x x x --∙. ∵0<x<216,∴216-x>0.当0<x≤86时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x)； 当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x).∴f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧N ∈<≤-N ∈≤<.,21687,2161000;,860,32000**x x xx x x(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.当0<x≤86时，f(x)递减， ∴f(x)≥f(86)=86320000⨯=1291000.∴f(x)min =f(86),此时216-x=130. 当87≤x<216时，f(x)递增. ∴f(x)≥f(87)=872161000-=1291000.∴f(x)min =f(87),此时216-x=129, ∴f(x)min =f(86)=f(87)=1291000, ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129. 变式训练差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点，(1)根据题中条件填空，m=________(元/吨)； (2)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.解：(1)∵f(m)=(m -195.5)2+(m-200.5)2+(m-204.5)2+(m-199.5)2=4m 2-1 600m+160 041,∴m=200. (2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%),故y=200a(1+2x%)(10-x)%=10000200a(100+2x)(10-x)=501a(100+2x)(10-x)(0<x<10).(3)原计划税收为200a×10%=20a(万元)， 依题意得501a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,即x 2+40x-84≤0. 解得-42≤x≤2.又0<x<10,∴0<x≤2. ∴x 的取值范围是0<x≤2.2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)%.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围.解：(1)y=120m×104［1+(2x)%］×(8-x)%=120m(-2x 2-84x+800).(2)由题意知120m(-2x 2-84x+800)≥0.78×120m×104×8%, 解得0<x≤2.所以x 的取值范围是0<x≤2.例2某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图3-2-1-8，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图3-2-1-9,(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图3-2-1-8 图3-2-1-9解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元. 由题设f(x)=k 1x,g(x)=k 2x ，由图知f(1)=41,∴k 1=41. 又g(4)=25,∴k 2=54. 从而f(x)=41x(x≥0),g(x)=54x(x≥0).(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元,企业利润为y 万元.则y=f(x)+g(10-x)=4x +5410-x(0≤x≤10), 令x -10=t,则y=4102t -+54t=41-(t 25-)2+1665(0≤t≤10),当t=25时,y max =1665≈4,此时x=10425-=3.75(万元).∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元. 变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则 y 1=15%x ＋10%(x ＋15%x)=0.265x, y 2=0.3x －700.图3-2-1-10利用函数图象比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图象如图3-2-1-10所示，得两图象的交点坐标为(20000,5300).由图象,知当x>20000时，y 2>y 1.当x=20000时，y 1=y 2；当x<20 000时，y 2<y 1.∴当投资小于20000元时,月初出售;当投资等于20000元时,月初、月末出售均可;当投资大于20000元时,月末出售. 知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的31以下.(lg3≈0.4771). 解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k=0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k=0.92k;光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k=0.93k;光线经过x 块玻璃后强度为0.9xk.∴y=0.9x k(x∈N *).(2)由题意：0.9xk ＜3k .∴0.9x＜31.两边取对数，xlg0.9＜lg 31. ∵lg0.9＜0，∴x＞9.0lg 31lg .∵9.0lg 31lg =3lg 213lg ≈10.4，∴x min =11.∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的31以下.拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图3-2-1-11所示).假设其关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3,则有t 1+t 2=t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度. 哪些说法是正确的？图3-2-1-11解：①说法正确.∵关系为指数函数,∴可设y=a x(a>0且a≠1).∴由图知2=a1.∴a=2,即底数为2.②∵25=32>30,∴说法正确.③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.作业课本P107习题3.2A组1、2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.(设计者：林大华)。