1.6.2垂直关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
1.6.2垂直关系的性质课件(高中数学必修2北师大版)
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？
【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
1 (2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊 AB綊PC， 2 所以PMNC为平行四边形． 所以PM∥CN. 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM ∥平面BCE.
1．本题(1)中充分利用了线线垂直、线面垂直、面面垂 直的相互转化，从而到达证明目的． 2．线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置 关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定 理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．
1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如 本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D. 2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和 另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．
在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置 时，能使EG⊥平面AB1C?
【解】 若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所 以EG∥BD1. 因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的 中点时，EG⊥平面AB1C.
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计前言垂直关系是高中数学中的一个重要概念，对应的性质也是非常关键的。
学生对此的理解和把握，对于后续的数学学习同样意义重大。
因此，我们需要针对垂直关系的性质，制定科学合理的教学方案，以帮助学生更好地学习和掌握该知识点。
教学目标1.理解垂直关系的定义和性质2.掌握垂直关系性质的证明方法3.训练学生熟练应用垂直关系性质解题的能力教学过程1. 导入垂直关系性质的教学，可以通过以下问题来引入：•如何确定两条直线是否垂直？•如何确定一个向量的垂直向量？•垂线段的性质是什么？通过这些问题，可以帮助学生加深对垂直关系的认识，为后续学习做好准备。
2. 学习2.1 垂直关系的定义讲授垂直关系的定义和符号表示，由简单到复杂，帮助学生建立直观的概念。
2.2 垂直关系的性质让学生通过大量的实例探究垂直关系性质，尤其是：•一条直线与平面上一点垂直，则过该点的所有直线都与该直线垂直。
•如果两条直线相互垂直，则它们的方向向量垂直。
在讲解性质的过程中，要结合具体的实例进行讲解，以便学生更好地理解。
2.3 垂直关系的证明介绍垂直关系性质的证明方法，让学生通过严密的证明步骤，了解性质背后的原因和内在联系。
3. 实践3.1 课堂练习通过设计一些小组互动、小组对抗等活动形式，让学生在课堂上进行练习，巩固知识点，提高应用能力。
3.2 作业布置相关的练习和题目，以调动学生的自主学习积极性，培养学生的自主学习能力。
4. 总结对课程的内容进行总结，让学生通过回顾所学内容，进行知识结构的梳理和信息的整合。
教学方法通过探究式的学习方法，让学生在教师引导下，通过自己动手实践、研究，掌握垂直关系的相关知识和技能。
教学评价通过检查课堂互动情况和学生完成作业效果，在教师、同学和自评的基础上，进行教学评价和反思。
结语垂直关系是高中数学中至关重要的知识点，教师通过科学的教学方案，可以为学生的数学学习奠定良好的基础。
推荐-高中数学北师大版必修2课件1.6.2 垂直关系的性质
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO
(3)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下: 取 PC 的中点 F,连接 DE,EF,DF, 则由平面几何知识, 在△PBC 中,EF∥PB, 在菱形 ABCD 中,GB∥DE, 而 EF⫋平面 DEF,ED⫋平面 DEF, EF∩DE=E, PB⫋平面 PGB,GB⫋平面 PGB, PB∩GB=B, ∴平面 DEF∥平面 PGB.
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探索
KETANG HEZUO TANSUO
预习交流 3
已知 α⊥β,α∩β=l,若 a⊥l,则 a⊥β,对吗? 提示:不对,当 a⫋α 时,a 与 β 垂直.
预习交流 4
如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线垂直于 第三个平面吗?
提示:交线垂直于第三个平面.
目标导航 预习引导
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探索
KETANG HEZUO TANSUO
1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平 行. (2)符号表示:若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b.
(3)图形表示: (4)作用:线⊥面⇒ 线∥线.
问题导学 当堂检测
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO
1.由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直,这种直线与平面的 位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化,是解决空间图形问题 的重要思想方法,也为我们提供了作平面垂线的一种方法.
高中数学北师大版必修2 1.6 教学设计 《垂直关系的性质》(北师大版)
《垂直关系的性质》垂直关系是立体几何的重要组成部分，是系统学习平行关系后的又一重要内容，也是后续研究线面角和空间距离的基础是培养学生抽象概括和空间想象能力的良好素材。
同时，也是高考中常考的热点之一。
【知识与能力目标】1、理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理；2、理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化。
【过程与方法目标】善于运用“转化”的思想解决垂直问题。
【情感态度价值观目标】渗透“事物之间是相互联系的”辩证唯物主义观点。
培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。
【教学重点】理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化。
【教学难点】能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P 39“练习2”以下至P 40“例3”以上部分，完成下列问题。
1、文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
2、符号语言：l ⊥α，m ⊥α⇒l ∥m 。
3、图形语言：如图1618所示。
图16184、作用：证明两直线平行。
巩固练习在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A 、相交B 、平行C 、异面D 、相交或平行【解析】 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B 正确。
【答案】 B教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P 40“例3”以下至P 41“例4”以上部分，完成下列问题。
1、文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.2垂直关系的性质》4
学生在小 组思考交 流，利用性 质定理解 题。
巩固检测， 给学生留 时间思考， 采用口答 形式，让学 生完成前 3 题，第 4 题 让学生说 解题思路 再整理（看 时间是否 充裕），根
据学生回 答情况进 行点评。
通过作业 布置，检测 学生对本 节内容的 掌握情况， 便于及时 调整教学 计划。
从知识、方 法和思想 等几个方 面完成本 节课的知 识归纳和 方法总结。 同时做好 课后教学 工作得失 反思。
编写人： 杨思兰 审核人： 数学组陈文标 编制时间：2021-3-19 姓名：
课题：直线与平面垂直的性质
班级：
学习内容
个性笔记
【学习目标】
通过目标
1. 理解直线与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语 展示,让学
言描述该定理
生明白要
2 掌握证明直线与平面垂直的性质定理的证明方法
学习的内
3 了解垂直的判定定理和性质定理的相互联系，能运用性质解决一 容,达到什
C l // m 菱形 ABCD
所D在垂平''直面，那M么 MA 与
'
D
BD
的位C置关
A 平行
B 垂直相交 α
P
M
引导学生 阅读教材, 体会线面 垂直的性 质定理得 运用,顺势 引出课题
引导学生
C 异面且垂直 D 相交但不垂直
D
画图,用符
C
号表 b
A
B
(2) 若 a , a b ，则 b //
出证明思
P
路帮助学
E
生梳理证
A
D
明方法，让
B
C
学生逐步
明确反证
法的使用
北师大版高中数学必修二垂直关系的性质学案
§1 垂直关系的性质（第三课时）班级组号姓名一、学习目标：1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。
2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：baα符号表示：3.何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：βNMαBA符号表示：三、知识应用例1. 如图所示，ΔPAC为等腰三角形，AC为底边，平面PAC⊥平面ABC ，PD为ΔPAC 的顶角平分线，试判断PD与平面ABC是否垂直？并说明理由。
（A级）ABCDP例2.如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM⊥平面A A1C1C（2）平面A1EC⊥平面AA1C1C；（B级）EMA1B1C1ABC四自测达标1.对于直线m, n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（A级）（）2.下列命题错误的是(B级) （）A．若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于βB. 若α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βC. 若α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD. 若α⊥β，那么α内有无数条直线都垂直于β3.若直线a//直线b，且a⊥平面α，则直线b与平面α的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直（A级）4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB⊥平面PCD（2）求证：若E为∆PCD的垂心，则CE⊥平面PAB（B级）EDCAP5. 有公共底边的两个等腰∆ABC和等腰∆BCD，已知AB=AC=13，BD=CD=6，BC=10，试求AD为何值时，平面BCD⊥平面ABC 。
（B级）DCB。
6.2垂直关系的性质-北师大版必修2教案
6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。
二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。
五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计 (2)
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计一、教学目标1.了解垂直关系的定义及其性质；2.能够判断两条直线是否垂直；3.能够求垂直的直线之间的夹角大小；4.能够应用垂直关系解决问题。
二、教学重难点1.垂直关系的定义及其性质；2.求垂直的直线之间的夹角大小。
三、教学内容3.1 引入通过展示建筑物中多个垂直的直线，引导学生认识垂直关系的重要性，并引出垂直关系的定义与性质。
3.2 讲解（1）定义：•垂直：两条直线或两个平面相互垂直，当且仅当它们的交角为90度时。
•垂线：过给定点，与给定直线相交而且与该直线垂直的线段称为垂线。
（2）性质：•垂直的直线之间的夹角为90度。
•垂直的直线上任意两点与直线的距离相等。
3.3 实例演练1.给定两条直线，如何判断它们是否垂直？–检查这两条直线之间的夹角是否为90度。
2.已知一条直线L和直线L’上两个点A、B，如何在直线L’上找到与点A构成的垂线？–连接AB，过B点做L’的垂线，交于点C，则AC即为所求垂线。
3.在三角形ABC中，AC垂直于BC，如何求∠CAB的度数？–利用垂直关系求出∠ABC的度数，然后用三角形内角和定理求解。
3.4 训练与拓展1.已知四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90度，AC垂直于BD，求证:AD=BC。
2.在平面直角坐标系中，直线L：y=−2x+5，直线L’过点(2,3)且垂直于直线L，求直线L’的解析式及它与直线L的夹角大小。
3.学生自选问题解决，主要涉及垂直关系的应用。
四、教学方法1.案例教学法：通过实例演示和解题分析，引导学生掌握垂直关系的性质和应用。
2.问答教学法：通过提问，帮助学生理解概念，熟悉垂直关系的定义及其性质。
3.组织小组讨论：让学生在小组内讨论垂直关系的应用，激发学生思考和创新意识。
五、教学评价1.课堂练习，以掌握垂直关系的定义及其性质为主；2.课后习题，以巩固垂直关系的运用为主；3.课程设计，在实际问题中运用垂直关系解决问题，开发学生的思维能力和实际运用能力。
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2(2021年整理)
2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质学案北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质学案北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质学案北师大版必修2的全部内容。
6。
2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理(重点）；2。
能运用性质定理解决一些简单问题（重点);3。
了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点)。
知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言错误!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线【预习评价】(1）垂直于同一平面的两条直线一定共面吗?提示共面。
由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面。
(2)过一点有几条直线与已知平面垂直?提示有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线。
知识点二平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言错误!⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线（1）如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，对吗？提示正确.若设α∩β＝l，aα，bβ，b⊥l,则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线。
北师大版高中数学必修2教学课件：1.6.2 垂直关系的性质
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6.2 垂直关系的性质
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2.面面垂直的其他结论 (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第 二个平面的直线在第一个平面内; (2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直 于另一个平面; (3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平 面平行或在另一个平面内; (4)如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面要么平行, 要么它们的交线与第三个平面垂直.
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2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条
直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所
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6.2 垂直关系的性质
探究一
探究二
易错辨析
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纠错心得对面面平行的性质定理理解不透彻,如果两个平面平行 并不意味着一个面内的直线和另一个面内的直线都平行.
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6.2 垂直关系的性质 1234
面面垂直的内在联系,能运
用这些关系解决有关垂直的
综合问题.
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6.2 垂直关系的性质
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1.6.2垂直关系的性质学案(北师大版必修2)
6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．例3平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是______________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O 为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC，P A平面P AC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB．又PC∩P A＝P，∴AB⊥平面P AC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面P AB内，作AD ⊥PB 于D ．∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， ∴AD ⊥平面PBC ． 又BC平面PBC ，∴AD ⊥BC ．又∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ． 又AB 平面P AB ，∴BC ⊥AB ． 课时作业1．D [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ． ∵AB ∥l ，∴AB ∥m ．故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ．从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α．∴AB β，lβ．∴AB ∥β．故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．] 3．D 4．A 5．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．]6．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用， ②为面面平行的性质，③为公理4的应用． 7．6解析 由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。
高中数学 1.6.2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2
所以 CD 的长为 13cm.
• [说明] 本题综合运用了面面垂直(chuízhí)的 性质以及直角三角形中的勾股定理．要求CD 的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角 形中去求解．另外，本题也可以通过连接AD
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易错疑难辨析
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• (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直． 第九页，共41页。
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质： • 两个平面垂直，则经过(jīngguò)第一个平面
内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内．也就是说：只要在其中一个平面内 通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂 线必在这个平面内．
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• 1．下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行
(píngxíng) • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行
(píngxíng) • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行
(píngxíng) • [答案] C
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• [解析] 在空间中，垂直于同一条直线 (zhíxiàn)的两条直线(zhíxiàn)，可能平行，相 交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于 同一条直线(zhíxiàn)的直线(zhíxiàn)和平面的 位置关系可以是直线(zhíxiàn)在平面内或直线 (zhíxiàn)和平面平行，所以选项D错．
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• 2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必 有直线m，使m与l( )
• A．平行
B．相交
• C．垂直(chuízhí) D．互为异面直线
• [答案] C
数学必修二北师大版 1.6 垂直关系直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教学设计一、本节主要内容本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面直的判定定理及其应用。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。
二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。
三、教学过程设计1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
《垂直关系的性质》示范公开课教学设计【高中数学必修2北师大版)
《垂直关系的性质》教学设计教材分析:本节内容在立体几何学习中，在垂直的判定方法的基础上进一步研究立体几何中垂直关系的性质:线面垂直、面面垂直的性质定理.结合有关的实物模型，归纳出垂直关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，以及之后的考试中都是最为核心的内容,当然也最为复杂.特别是面面垂直的性质定理应用.通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面垂直的性质定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.教学目标：【知识与能力目标】1. 掌握直线与平面垂直的性质定理；2. 掌握两平面垂直的性质定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面垂直的性质定理解决相关问题．【过程与方法】1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理.2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.【情感态度与价值观】学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.教学重难点：【教学重点】归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理.【教学难点】直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的合情推理及其应用.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：之前我们学习了线面垂直、面面垂直的判定定理.那今天我们一起来研究如果题目中告诉你线面垂直、面面垂直你能得到什么结论呢？比如,旗杆与地面的垂直,那旗杆和地面上他的影子是什么关系呢？问题1：我们知道，如果线⊥线，可推出线⊥面。
反过来，如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的直线有何关系？问题2：如果两条直线都和同一个平面垂直，那么这两条直线的位置关系如何？问题3：装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么？问题4：我们知道，如果面//面，可推出线//面。
1.6.1垂直关系的判定 教案 (高中数学必修二北师大版)
§6垂直关系6．1垂直关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．2．过程与方法通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．●重点难点重点：垂直关系的判定定理．难点：垂直关系的判定定理的应用．直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直⇒类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理⇒通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB ，地面为α，BC 、BD 为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．(1)旗杆所在直线AB 与影子BC 、BD 所在直线的位置关系是什么？(2)旗杆AB 与地面内任意一条不过旗杆底部B 的直线B 1C 1的位置关系是什么？ 【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB 与地面内不过B 的直线B 1C 1也垂直．1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.图1－6－13．判定定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba αbαa ∩b ＝P ⇒l ⊥α【问题导思】打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？【提示】 打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．3．二面角的记法如图1－6－2，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.图1－6－24．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．。
北师大版高中数学必修2：1.6.1.2平面与平面垂直的判定 教案
1.6.1.2平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点：平面与平面垂直的判定。
三、教学难点：如何度量二面角的大小。
四、学情分析：五、学法指导：学生观察、思考、探究六、教学方法：探究交流、讲练结合。
七、教学过程：（一）创设情景问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图1），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥L ” ，OB ⊥L ；（2）∠AOB 的大小与点O 在L 上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B获得两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案【名师授课教案】1教学目标1. 掌握面面垂直的性质定理;2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证,灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
2、能力目标:以学生的经验为基础,通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力;在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。
在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。
逐步培养抽象的逻辑思维,使学生学会提出问题,培养学生解决问题的能力。
通过变式练习培养学生的发散思维,培养学生的创新能力。
3、情感目标:进一步丰富数学学习的成功体验,激发对空间图形研究的兴趣,形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识。
2学情分析1.充分利用现实情景,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示图形,强调学生的动手操作实验和主动参与。
通过实验-猜想-论证-运用,培养学生分析问题解决问题的能力;通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促自主探究。
2.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者;在本节的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流提供机会,搭建平台;鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题,尊重学生的个人感受和独特见解;帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值,作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适,自我选择3重点难点重点:掌握面面垂直的性质定理;难点:定理的应用。
4教学过程。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.2垂直关系的性质》
平面与平面垂的性质
【教学目标】1 理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线
垂直的关系，并会应用。
2 通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。
【知识梳理】
一复习回忆
前面我们学习了
1平面与平面垂直的定义：判定平面与平面垂直的方法
2平面与平面垂直的判定定理，解决了平面与平面垂直的问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
二学习目标
1掌握平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理重点〕
2能够灵活地应用面面垂直的性质定理证明有关问题难点〕
三课堂探究
探究点1：平面与平面垂直的性质
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线在平面α内，那么直线与平面β的位置关系有哪几种可能？
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上
是否存在直线与地面垂直？
思考3:长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
探究点2：平面与平面垂直的性质的应用
思考1:假设α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线，垂足为B，那么点B 在什么位置？说明你的理由
思考2:如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，此直线与该平面是何位置关系。
北师大版数学高一1.6 垂直关系的性质(二)学案
课题：垂直关系的性质（二） ---------平面与平面垂直的性质学习目标1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想. 学习过程一、课前准备（预习教材P 39~ P 40，找出疑惑之处）复习1：直线与平面垂直的性质定理是______________________________________________________.复习2：直线与平面垂直的判定定理是____________________________________________. 复习3：两个平面垂直的定义是什么? 二、新课导学 探索新知探究：平面与平面垂直的性质 问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？图13-1问题2：如图13-2，在长方体中，面A ADD ''与面ABCD 垂直，AD 是其交线，则直线AA '与AD 关系如何？直线AA '与面ABCD 呢？图13-2反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.黑板地面新知：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?典型例题例1 如图13-3，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a满足aβ⊥，aα⊄，求证：a∥面α.图13-3例2 如图13-4，四棱锥P ABCD-的底面是个矩形，2,2AB BC==PAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于底面ABCD.⑴证明：侧面PAB⊥侧面PBC；⑵求侧棱PC与底面ABCD所成的角.动手试试练1. 平面α⊥平面β，Pα∈，过点P作平面β的垂线a，求证：aα⊂.DCBAP练2. 如图13-5，平面α⊥平面β，AB αβ=， a ∥α，a AB ⊥，求证：a β⊥.图13-5三、总结提升 ※ 学习小结1. 两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；2. 判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化. 知识拓展两个平面垂直的性质还有：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直. 你能试着用图形和符号语言描述它们吗?学习评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题错误的是（ ）.A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于βB.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β 2. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（ ）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线 ②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于βA.3B.2C.1D.03. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定4. 若平面αβ⊥平面，直线aα⊂，则a与β的位置关系为_____________________.5. 直线m、n和平面α、β满足m n⊥，mα⊥,αβ⊥，则n和β的位置关系为__________.课后作业1. 如图13-6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，lαβ=，求证：lγ⊥.图13-62. 如图13-7，,,CD CD ABαββ⊥⊂⊥，CE,EF⊂α，90FEC∠=°，求证：面EFD⊥面DCE.图13-7βαDFEC BA。
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6．2垂直关系的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．
2．过程与方法
通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．
●重点难点
重点：垂直关系的性质定理．
难点：垂直关系的性质定理的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
●教学流程
创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质⇒通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识
在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
【提示】平行．
黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
【提示】画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
图1－6－16
【思路探究】证明BD1和EF
分别垂直于同一个平面即可．
【自主解答】如图所示，连接AB1、B1C、BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1 平面BDD1，
∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C.
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.
2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．
在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?
【解】若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.
因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.
已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.
【思路探究】欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．
【自主解答】如图所示，在BC上任取一点D，
作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，。