2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程 专题卷(乙卷文科)
2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2018，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y=k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l ，求a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
20122017年高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版
学科教师辅导教案 学员姓名 年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2017年 月 日 ： — ：1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ()2,4- ．2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y x +-=,联立解历年高考试题集锦——坐标系和参数方程3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.试题解析：(I)由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=，从而有2223x y y +=所以()2233x y +-=(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则22213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1222,2ρρ==.故122ρρ-=，即2MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12.5、（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+=即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a =6、（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±． 7、（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.8、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.所以1216||7AB t t =-=.9．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x （θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学函数及其性质汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编函数及其性质（含解析）一、选择题【2017，8】函数sin2 1cosxyx=-的部分图像大致为（）【2017，9】已知函数()()ln ln2f x x x=+-，则（）A．()f x在()0,2单调递增B．()f x在()0,2单调递减C．()y f x=的图像关于直线1x=对称D．()y f x=的图像关于点()1,0对称【2016，8】若0a b>>，01c<<，则（）A．log loga bc c<B．log logc ca b<C．c ca b<D．a bc c>【2016，9】函数22e xy x=-在[]2,2-的图像大致为（）-221O xy-221O xy-221O xy-221O xyA．B．C．D．【2015,10】已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且f(a)=-3，则f(6-a)=( )A．74-B．54-C．34-D．14-【2015，12】设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( ) C A．-1 B．1 C．2 D．4【2014，5】5．设函数()f x,()g x的定义域为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．()()f xg x是偶函数B．()()f xg x是奇函数C．()()f xg x是奇函数D．()()f xg x是奇函数【2013，9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为()【2013，12】已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]【2012，11】11．当12x<≤时，4logxax<，则a的取值范围是（）A．（0，22）B．（22，1）C．（12）D．2，2）【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（）A．3y x=B．||1y x=+C．21y x=-+D．||2xy-=【2011，10】在下列区间中，函数()e43xf x x=+-的零点所在的区间为（）．A．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【2011，12】已知函数()y f x=的周期为2，当[1,1]x∈-时函数2()f x x=，那么函数()y f x=的图像与函数lgy x=的图像的交点共有（）．A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题【2015，14】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ．【2014，15】设函数113,1(),1xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x≤成立的x的取值范围是_____．【2012，16】16．设函数22(1)sin()1x xf xx++=+的最大值为M，最小值为m，则M m+=_______．2．函数及其性质（解析版） 一、选择题【2017，8】函数sin21cos x y x =-的部分图像大致为（ ）【解法】选C 由题意知，函数sin 21cos x y x =-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．． 【2017，9】已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点()1,0对称【解析】（法一）函数的定义域为)2,0(，)2(ln )2ln(ln )(x x x x x f -=-+=，设2)1(2)2()(22+--=+-=-=x x x x x x t ，)(t f 为增函数，当)1,0(∈x 时，)(x t 为增函数，∴)(x f 为增函数，当)2,1(∈x 时，)(x t 为减函数，∴)(x f 为减函数．排除A,B ，因为)(x t 是二次函数，图像关于直线1=x 对称，故)2()(x t x t -=，所以)2()(x f x f -=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，故选 C ；（法二）)2(22211)(x x x x x x f --=--='，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数． 当)2,1(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数，故排除A,B ． 故选 C ；【2016，8】若0a b >>，01c <<，则（ ）1 1- x y o 1= 10 若102x <≤时，4log x a x <， 当且仅当011log 22a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩， 2011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即20112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩． 21a <<，故选择B ． 【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，12()2x x y -==单调递减．故选B ．【2011，10】在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）． A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内．故选择C ． 【2011，12】已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【解析】 考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，如下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个． 故选A ．二、填空题【，14】已知函数f (x )=ax 3+x +1的图像在点(2,7)，则a = ．(1, a +2)，且切线过点(2,7)，∴7-(a +2)=3a +1，解得a =1．【2014，15】设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_____． 解：(-∞,8]，当x<1时，由e x -1≤2可得x ≤1+ln 2，故x<1；当x≥1时，由13x ≤2可得x ≤8，故1≤x ≤8，综上可得x ≤8．【2012，16】16．设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______． 【解析】2． 2222(1)sin 12sin ()11x x x x x f x x x +++++==++222sin 111x x x x =++++． 令222sin ()11x x g x x x =+++，则()()1f x g x =+，因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=． 所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=．。
2010-2017年高考数学全国卷试题汇编(极坐标与参数方程部分)
2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（极坐标与参数方程部分）1、【2010年新课标】已知直线1:C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2:C x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2、【2011年新课标】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C . （1）求2C 的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .3、【2012年新课标】曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.4、【2013年新课标1】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程； (2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<).5、【2013年新课标2】已知动点,P Q 都在曲线C ：2sin y t ⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t α=与2t α=()02απ<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6、【2014年新课标1】已知曲线C ：22149x y +=，直线:l ⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．7、【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.8、【2015年新课标1】在坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积。
最新—2017高考全国卷ⅰ文科数学坐标系与参数方程汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
20122017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版.doc
C的极坐标方程为C的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求点ρ=(I)由2：化为普通方程为2=由题意：y x，（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【简解】（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=. （II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=≤,解得2525a -≤≤12. (2014新标1理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255. 13.(2013新标2理)已知动点P 、Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【简解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 14、已知点A 的极坐标为(2,)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．2=，15．（2012辽宁）在直角坐标-3）(-3≤≤3) 16．(2013新标1) 已知曲线⎝⎛⎭⎫2，π4⎭⎫，π217．（2013辽宁）⎭⎪⎫－422. ＝2t3解⎨⎪⎧x2＋－＝4，得⎨⎪⎧x1＝0，⎨⎪⎧x2＝2，所以C 与C 交点的一个极坐标为 ⎛⎪⎫4，π，＝12|OA ⎭⎫－π3⎪⎪⎭⎫－π3－32＋ 3. ＝－π12时，＋ 3.＋ 3.23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系＝m k －2＝＝1k (设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝1k＋消去k 得x －y ＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x －y ＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧－＝4，＋－2＝0，得＝－13，从而＝910，＝110.的极径为 5.24．(2017·江苏，21)在平面直角坐标系中＝t222s22s 从而点P 到直线的距离d ＝|2s2－42s ＋8|5＝－2＋4|，当s ＝2时，d ＝45.。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程
2011年—2018年新课标全国卷文科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2018·新课标Ⅰ，文22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=（I ）求2C 的直角坐标方程；（II ）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。
（2018·新课标Ⅱ，文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()12，，求l 的斜率．（2018·新课标Ⅲ，文22） [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．(1)α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017·新课标Ⅲ，22）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（2016·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．（2016·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB，求l 的斜率.（2016·新课标Ⅲ，23）在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)。
2017年—2011年新课标高考数学全国卷1文科数学分类汇编全集(附答案)
1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（ ）A ．3{|}2AB x x =< B ． AB =∅C ．3{|}2A B x x =< D ． AB =R【2016，1】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =剟，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,7【2015，1】已知集合A={x |x=3n +2, n ∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 【2014，1】已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则MB =（ ）A ． (2,1)-B ． (1,1)-C ． (1,3)D ． )3,2(- 【2013，1】已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【2013，5】已知命题p ：x R ∀∈，23xx<；命题q ：x R ∃∈，231xx =-，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【2012，1】1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B φ=【2011，1】已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P MN =，则P 的子集共有 （ ）．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个1．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2017，1】已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（ ）A ．3{|}2AB x x =< B ． A B =∅C ．3{|}2A B x x =< D ． AB =R解：由320x ->得32x <，所以3{|}2A B x x =<，故选A ．【2016，1】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =剟，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,7解析：把问题切换成离散集运算，{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B ⊆，所以{}3,5AB =．故选B ．【2015，1】已知集合A={x |x=3n +2, n ∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) DA ．5B ．4C ．3D ．2 解： A ∩B={8,14}，故选D ． 【2014，1】已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则MB =（ ）A ． (2,1)-B ． (1,1)-C ． (1,3)D ． )3,2(-解：取M ， N 中共同的元素的集合是(-1,1)，故选B【2013，1】已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}答案：A 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．【2013，5】已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q解析：选B ，由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解． ∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．． 【2012，1】1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．AB φ=【解析】因为{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，所以B A ，故选择B ． 【2011，1】已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P MN =，则P 的子集共有 （ ）．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【解析】因为{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，所以{}1,3M N =．所以MN 的子集共有224=个． 故选B ．2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编3．导数及其应用一、选择题【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【2014，12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞- D ．(,1)-∞- 二、填空题【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为 ． 【2012，13】13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________． 三、解答题【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【2016，21】已知函数()()()22e 1xf x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2015，21】设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;（2）求证：当0a >时，()22ln f x a a a≥+．【2014，21】设函数2(1)()ln 2a f x a x x bx -=+-(1)a ≠，曲线()y f x =在点(1, f (1))处的切线斜率为0．(Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若存在x 0≥1，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围．【2013，20】已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4．(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．【2012，21】21．设函数()2x f x e ax =--． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()'()10x k f x x -++>，求k 的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编3．导数及其应用（解析版）一、选择题【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解析：选C ．问题转化为()21cos2cos 03f x x a x '=-+…对x ∈R 恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+…，即245cos cos 033a x x -+…恒成立． 令cos x t =，得245033t at -++…对[]1,1t ∈-恒成立． 解法一：构造()24533g t t at =-++，开口向下的二次函数()g t 的最小值的可能值为端点值， 故只需保证()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……，解得1133a -剟．故选C ．解法二：①当0t =时，不等式恒成立；②当01t <…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立，由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在01t <…上单调递增，所以()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，故13a -…；③当10t -<…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立．由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在10t -<…上单调递增，()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，所以13a …． 综上可得，1133a -剟．故选C ． 【2014，12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-解：依题a≠0，f '(x )=3ax 2-6x ，令f '(x )=0，解得x =0或x =2a，当a >0时，在(-∞, 0)与(2a ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．在(0,2a) 上，f '(x )<0，f (x )是减函数．且f (0)=1>0，f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，在(-∞,2a )与(0,+∞)上，f '(x )<0，f (x )是减函数．在(2a,0)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只要2()0f a>，即a 2>4，所以a <-2．故选C另解：依题a≠0，f (x )存在唯一的正零点，等价于3113a x x =-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于a =-t 3+3t 有唯一的正零根，即y =a 与y =-t 3+3t 有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记g (t )=-t 3+3t ，g'(t )=-3t 2+3，由g '(t )=0，解得t =±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t )<0，g (t )是减函数．在(-1,1)上，g '(t )>0，g (t )是增函数．要使a =-t 3+3t 有唯一的正零根，只要a <g (-1)=-2，故选C 二、填空题【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为 ． 【解】1y x =+．求导得212y x x'=-，故切线的斜率1|1x k y ='==，所以切线方程为21y x -=-，即1y x =+．【2012，13】13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________．【解析】430x y --=．由已知'3ln 4y x =+，根据导数的几何意义知切线斜率1'|4x k y ===，因此切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=． 三、解答题【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）()()()()2222'=--=+-xx x x f x e ae a e a e a①当0>a 时，20+>x e a ，令()0'>f x ，即0->x e a ，解得ln >x a ， 令()0'<f x ，即0-<x e a ，解得ln <x a ，所以当0>a ，()f x 在()ln ,+∞a 上递增，在(),ln -∞a 上递减． ②当0=a 时，()()220'=>xf x e ， ()f x 在R 上递增．③当0<a 时，0->x e a ，令()0'>f x ⇒20+>x e a ⇒2>-xa e ⇒ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ， 令()0'<f x ⇒20+<x e a ⇒2<-xa e ⇒ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ，所以当0<a 时，()f x 在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增，在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减． 综上所述：当0>a ，()f x 在(),ln -∞a 上递减，在()ln ,+∞a 上递增；当0=a 时， ()f x 在R 上递增； 当0<a 时，()f x 在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减，在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增．（2）由（1）得当0a >时，()()()ln ln 2min ln ln ==--aa f x f a ee a a a 2ln 0=-≥a a ， ∴ln 0≤a ，得01<≤a ．当0=a 时，()()20=>x f x e 满足条件．当0<a 时，()ln ln 222minln ln 22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a a f x f e ea a 223ln 042⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭a a a ， ∴3ln 24⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭a ⇒342-≤ae ⇒342≥-a e ，又因为0<a ，所以3420-≤<e a ．综上所述，a 的取值范围是342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【2016，21】已知函数()()()22e 1xf x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解析：（1）由题意()()()1e 21x f x x a x '=-+-()()=1e 2xx a -+．①当20a …，即0a …时，e 20xa +>恒成立．令()0f x '>，则1x >， 所以()f x 的单调增区间为()1,+∞．同理可得()f x 的单调减区间为(),1-∞． ②当20a <，即0a <时，令()0f x '=，则1x =或()ln 2a -． （ⅰ）当()ln 21a ->，即e2a <-时，令()0f x '>，则1x <或()ln 2x a >-， 所以()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞．同理()f x 的单调减区间为()()1,ln 2a -； （ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时，当1x …时，10x -…，1e 2e e 0x a +-=…，所以()0f x '…．同理1x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时．令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -． 综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -； 当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -； 当0a …时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞． （2）解法一（直接讨论法）：易见()1e 0f =-<，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况． ①当e2a <-时，由()f x 单调性可知，()()()ln 210f a f -<<，故不满足题意； ②当e2a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，显然不满足题意； ③当e02a -<<时，由()f x 的单调性，可知()()()1ln 2f f a <-， 且()()()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a -=---+--()2ln 220a a a =--+<⎡⎤⎣⎦，故不满足题意；下面研究0a …， 当0a =时，()()2e xf x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有1个零点，故舍去；当0a >时，()1e 0f =-<，()20f a =>，所以()f x 在()1,+∞上有1个零点；（i ）当01a <…时，由ln 02a<，而2ln ln 2ln 12222a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23ln ln 0222a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；（i i ）当1a >时，由20-<，而()()22424e990ef a a --=-+=->，所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；可见当0a >时()f x 有两个零点．所以所求a 的取值范围为()0,+∞． 解法二（分离参数法）：显然1x =不是()f x 的零点， 当1x ≠时，由()0f x =，得()22e 1x xa x -=-()1x ≠．设()()22e 1xxg x x -=-()1x ≠，则问题转化为直线y a =与()g x 图像有两个交点， 对()g x 求导得()()()()2e 1211x x x g x x ⎡⎤---+⎣⎦'=-， 所以()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减．①当0a …时，若(),1x ∈-∞，()0g x >，直线y a =与()g x 图像没有交点， 若()1,x ∈+∞，()g x 单调递减，直线y a =与()g x 图像不可能有两个交点， 故0a …不满足条件；②若0a >时，取13min 12x ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()()12111g x a x >-…， 而()20g a =<，结合()g x 在()1,+∞单调递减， 可知在区间()1,2x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点，取2min 1x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，3x = 则()()22221g x a x -厖，()33223322x g x a x x -<<<， 结合()g x 在(),1-∞单调递增，可知在区间()32x x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点， 综上所述，0a >时直线y a =与()g x 图像有两个交点，函数()f x 有两个零点．【2015，21】设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;（2）求证：当0a >时，()22ln f x a a a+…．解：(Ⅰ) f '(x )=2e 2x ax-， x >0 …2分 (1)若a ≤0时，f '(x )>0在(0,+∞)恒成立，所以f '(x )没有零点； …3分(2)若a >0时，f '(x )单调递增．当x →0, f '(x ) →-∞；当x →+ ∞,f '(x ) →+∞， 所以f '(x ) 存在一个零点． …6分(Ⅱ) 设f '(x )的唯一零点为k ，由(Ⅰ)知(0, k )上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(k ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )取最小值f (k )． …8分 所以f (x )≥f (k )= e 2k -a ln k ，又f '(k )= 2e 2k a k -=0，所以e 2k =2ak，22ln ln k k a =-，所以f (k )=2(ln 2)2ln 2ln 2222a a a aa k ka a a a k a k --=++≥+， 所以f (x )≥22lna a a+． …12分 21． 解析 （1）()()2e ln 0x f x a x x =->，()22e xa f x x'=-． 显然当0a …时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点．当0a >时，取()()22e xa g x f x x '==-，则()224e 0xa g x x'=+>，即()f x '单调递增． 令()()22e 0x a g x f x x '==-=，即22e xa x =．画出22e x y =与ay x=的图像，如图所示．由图可知，()f x '必有零点，所以导函数()f x '存在唯一零点．（2）由（1）可知()f x '有唯一零点，设零点为0x ， 由图可知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，即()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增．所以()f x 在0x x =处取得极小值，即()()0200min e ln x f x f x a x ==-．又()02002e 0xa f x x '=-=，解得020e 2x a x =．① ①两边分别取自然对数，得002ln ln 2x a x =-，即00ln ln 22ax x =-． 所以()00000ln 22ln 2222a a a a f x a x ax a x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭… 22ln2ln 2a a a a a a -=+（当且仅当0022a ax x =，即012x =时取等号）．【2014，21】设函数2(1)()ln 2a f x a x x bx -=+-(1)a ≠，曲线()y f x =在点(1, f (1))处的切线斜率为0．(Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若存在x 0≥1，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 解：(Ⅰ) ()(1)af x a x b x'=+--(x >0)，依题f '(1)=0，解得b =1， …3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2(1)()ln 2a f x a x x x -=+-，2(1)(1)[(1)]()a x x a x a x a f x x x--+---'==， 因为a ≠1，所以f '(x )=0有两根：x =1或1ax a=-。
2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——13.坐标系与参数方程
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编1．集合与简易逻辑一、选择题（2017·2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5（2016·2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}（2015·1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（ ）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}（2014·1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则MN =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}（2013·1）已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ）A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}（2012·1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10（2011·10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA ． P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 42011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编1．集合与简易逻辑（逐题解析）（2017·2）C 【解析】∵ {}1A B =，∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴ {}2430B x x x =-+=，故{}1,3B =，选C.（2016·2）C 解析：()(){}120Z B x x x x =+-<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（2015·1）A 解析：由已知得{}21B x x =-<<，故，故选A.（2014·1）D 解析：∵2={|320}{|12}N x x x x x -+≤=≤≤，∴{1,2}MN =.（2013·1）A 解析：解不等式(x -1)2<4，得-1<x <3，即M ＝{x |-1<x <3}．而N ＝{-1, 0, 1, 2, 3}，所以M ∩N ＝{0, 1, 2}，故选A.（2012·1）D 解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.（2011·10）A 解析：由||1+==>a b 得1cos 2θ>-2[0,)3πθ⇒∈.由||1-=a b 得1cos 2θ<(,]3πθπ⇒∈，故选A.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编2．复数一、选择题 （2017·1）31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -（2016·1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-1，3）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-3）（2015·2）若a 为实数且(2+ai )(a -2i ) = -4i ，则a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2（2014·2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．- 5B ．5C ．- 4 + iD ．- 4 - i（2013·2）设复数z 满足(1i)2i z -=，则z =（ ）A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -（2012·3）下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 . A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 4（2011·1）复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编2．复数（逐题解析）（2017·1）D 【解析】()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-． （2016·1）A 解析：∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2015·2）B 解析：由已知得4a + (a 2 -4)i = -4i ，所以4a = 0，a 2 -4 = -4，解得a = 0，故选B. （2014·2）A 解析：∵12i z =+，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴22z i =-+，∴2212(2)(2)2145z z i i i =+-+=-=--=-.（2013·2）A 解析：由(1-i )·z =2i ，得221=111i i i z i i i (+)=-(-)(+)＝222i-+＝－1＋i . （2012·3）C 解析：经计算2221,||2(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =，，复数z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，综上可知P 2，P 4正确.（2011·1）C 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编3．程序框图（2017·8）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5结束输出S 1M =，3S =开始输入x ，t1k =k t ≤M M x k=S M S =+1k k =+是否 （2017·8） （2016·8） （2015·8） （2014·7）（2016·8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） A ．7B ．12C ．17D ．34（2015·8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．14（2014·7）执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7开始,x n输入00k s ==，a输入s s x a=⋅+1k k =+k n>s输出结束否是（2013·6） （2012·6） （2011·3） （2013·6）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）A .11112310++++ B .11112!3!10!++++ C .11112311++++D .11112!3!11!++++（2012·6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1， a 2，…，a N ，输入A 、B ，则（ ）A. A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B.2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最小的数和最大的数（2011·3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040否是开始 k<N输出p 输入N 结束k =1, p =1 k =k+1p=p·k2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编3．程序框图（2017·8）【解析】解法一：常规解法∵ 00S =，01K =，01a =-，S S a K =+⋅，a a =-，∴ 执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑ 12K =；执行第二次循环：21S =﹑21a =-﹑23K =；执行第三次循环：32S =-﹑31a =﹑ 34K =；执行第四次循环：42S =﹑41a =-﹑45K =；执行第五次循环：53S =-﹑51a =﹑56K =；执行第五次循环：63S =﹑61a =﹑67K =；当676K =>时，终止循环，输出63S =，故输出值为3.解法二：数列法()11nn n S S n -=+-⋅，1n K n =+，裂项相消可得()121nin i S S i =-=-⋅∑；执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑12K =，当6n K >时，6n =即可终止，61234564S +=-+-+=，即63S =，故输出值为3.（2016·8）C 解析：第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（2015·8）B 解析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a =14，b =18，b =4，a =10，a =6，a =2，b =2，此时a =b =2程序结束，输出a 的值为2，故选B ．（2014·7）D 解析：输入的x ，t 均为2．判断12≤？是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；判断22≤？是，2222M =⋅=，257S =+=，213k =+=，判断32≤？否，输出7S =.（2013·6）B 解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；… … … … ； 当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++， k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，故选B ．（2012·6）C 解析：由程序框图判断x >A 得A 应为a 1，a 2，…，a N 中最大的数，由x <B 得B 应为a 1，a 2，…，a N 中最小的数.（2011·3）B 解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，故选B.【题目7】(2017·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力. 【解析】解法一：假设法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道 自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一 定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判 断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩. 解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- （2016·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ） A ．-8B ．-6C ．6D ．8（2014·3）设向量a ,b 满足10|a b |+=，6|a b |-=，则a b ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2015·13）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ____________． （2013·13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______. （2012·13）已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量（逐题解析版）一、选择题（2017·12）【解析】解法一：建系法，连接OP ，(0,OA =，()1,0OB =-，()1,0OC =.2PC PB PO +=，∴()(),,3PO PA x y x y ⋅=--⋅-- ，∴22223334PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭∴34PO PA ⋅≥-，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-，∴最小值为32-解法二：均值法：∵2PC PB PO +=，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅ 由上图可知：OA PA PO =-；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵ ()()222PA POPA PO +≥-⋅，∴ 322PO PA ⋅≥-，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-，∴最小值为32-.（2016·3）D 【解析】(42)a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=，解得8m =，选D ．（2014·3）A 解析：2222||10||6210,26,a b a b a b a b a b a b +=-=∴++⋅=+-⋅=，两式相减得：1a b ⋅=.二、填空题（2015·13）12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以(2)a b k a b λ+=+，则12k kλ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．（2013·13）2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(-2, 2)，所以=2AE BD ⋅.（2012·13）32由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+2422|||10b b =-+=，解得||32b =.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编5．线性规划一、选择题（2017·5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9（2014·9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2013·9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A .14B .12C .1D .2二、填空题（2015·14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．（2014·14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . （2011·13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编5．线性规划一、选择题（2017·5）A 【解析】根据约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩画出可行域（图中阴影部分）, 作直线:20l x y +=，平移直线l ，将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+， 可得15Z =-，即min 15Z =-.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点A 的坐标为()6,3--，点B 的坐标为()6,3-，点C 的坐标为()0,1，所求值分 别为15-﹑9﹑1，故min 15Z =-，max 9Z =.（2014·9）B 解析：作出x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域为如图阴影部分，做出目标函数l 0：y =2x ，∵y =2x -z ，∴当y =2x -z 的截距最小时，z 取最大值.当y =2x -z 经过C 点时，z 取最大值.由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C (5,2)，此时z 取最大值为2×5-2=8.（2013·9）B 解析：由题意作出13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的区域如图阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点A 时，取得最小值，而点A 的坐标为（1,-2a ），所以2-2a =1，解得12a =. 故选B.l 0l 1 3x-y-5=0yxo 12 x-3y+1=0l 2x+y-7=052CA BA (1, -2a )lAy = -32x +3y -3=02x -3y +3=0xOyCB二、填空题 （2015·14）32解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y =-x +z ，当z 取到最大时，直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z =x +y 的最大值为32.（2014·14）[3,3]-解析：画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时，Z 取最小值-3；当直线2Z x y =-经过点(3,0)时，Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-.（2011·13）-6】解析：画出可行域如图，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时，min 6z =-.6．二项式定理一、选择题（2013·5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）A .4-B .3-C .2-D .1-（2011·8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．- 40B ．- 20C ．20D ．40二、填空题（2015·15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编6．二项式定理（逐题解析）一、选择题（2013·5）D 解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r r x (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1. 故选D.（2011·8）D 解析：由51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，得a =1（令x =1）. 故原式=511()(2)x x x x+-，所以通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r =1得r =2，对应的常数项=80，由5-2r =-1得r =3，对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，故选D .二、填空题（2015·15）3解析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． （2014·13）12解析：∵10110r r r r T C x a -+=，∴107r -=，即3r =，∴373741015T C x a x ==，解得12a =.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数一、填空题（2017·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1（2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞（2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2014·12）设函数()x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,+)-∞-∞B ．(,4)(4,+)-∞-∞C ．(,2)(2,+)-∞-∞D ．(,1)(4,+)-∞-∞ （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= （2012·10）已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A.C. D.（2012·12）设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．6（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. （2016·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = . 三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；xx x x（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.14．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．15．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.17.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值.18．（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数（解析版）（2017·11）A 【解析】∵ ()()211x f x x ax e -=+- ∴ 导函数()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⎣⎦，∵ ()20f '-=，∴ 1a =-，∴ 导函数()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，∴ 12x =-，11x =， 当x 变化时，()f x ，()f x '随变化情况如下表：从上表可知：极小值为()11f =-.故选A（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2015·5）C 解析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（2015·10）B 解析：由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +；当点P 在CD 边上运动时，即344x ππ≤≤，2x π≠时，PA PB +=2x π=时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，PA PB +=tan x -，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ． （2015·12）A 解析：记函数()()f x g x x =，则2()()()x f x f x g x x '-'=，因为当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，故当x >0时，g ´ (x )<0，所以g (x )在(0, +∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞, 0)单调递增，且g (-1)=g (1)=0．当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1)，故选A ．（2014·8）D 解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a =.（2014·12）C 解析：∵()x f x m π'=，令()0x f x m π'==得1(),2x m k k Z =+∈，∴01(),2x m k k Z =+∈，即01|||||()|22m x m k =+≥，mxx f πsin 3)(= 的极值为3±， ∴3)]([20=x f ，，34)]([22020+≥+∴m x f x 22200[()]x f x m +<， 2234∴m m <+， 即：24m >，故：2m <-或2m >. （2013·8）D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+， 因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a . 故选D. （2013·10）C 解析：∵f ´(x )=3x 2+2ax +b ，∴y ＝f (x )的图像大致如右图所示，若x 0是f(x )的极小值点，则则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．（2012·10）B 解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B.（2012·12）B 解析：因为12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称，故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A ，则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122xxy e e ''===，2x e ∴=，即ln 2x =，故切点A 的坐标为(ln 2,1)，因此，切点A 点到直线y =x距离为d ==，所以||2ln 2)PQ d ==-.（2011·2）B 解析：由各函数的图像知，故选B.（2011·9）C 】解析：用定积分求解342420021162)(2)|323S x dx x x x =+=-+=⎰，故选C. （2011·12）D 解析：11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x =1的左侧有4个交点，则x =1右侧必有4个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故选D .二、填空题（2014·15）(1,3)- 解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(|1|)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴|1|2x -<，解得：13x -<<（2016·16）1ln2-解析：ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<.（2017·21）解析：(1)法一：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ， 所以()1ln 0a x x --≥，即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-；当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立. 令()1ln g x x x =--，()11'1x g x x x-=-=，当()0,1x ∈时，()'0g x <，()g x 递减，()()10g x g <=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx >-，所以1a ≤； 当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 递增，()()10g x g >=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx <-.所以，1a ≥. 综上，1a =.法二：洛必达法则：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ，所以：()1ln 0a x x --≥. 即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-； 当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立.令()ln 1x g x x =-，()()()()22111ln 1ln '11x x x x x g x x x ----==--. 令()11ln h x x x =--，()22111'xh x x x x-=-=. 当()0,1x ∈时，()'0h x >,()h x 递增，()()10h x h <=； 所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1limlimlim 111'x x x x xg x x x x→→→>===--，所以：1a ≤； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <,()h x 递减，()()10h x h <=；所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1lim lim lim 111'x x x x x g x x x x→→→<===--，所以：1a ≥.故1a =.（2）由(1)知：()()1ln f x x x x =--，()'22ln f x x x =--，设()22ln x x x ϕ=--，则()1'2x x ϕ=-.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>. 所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增.又()20e ϕ->，102ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10ϕ=，所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点0x ，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点1， 且当()00,x x ∈时，()0x ϕ>；当()0,1x x ∈时，()0x ϕ<； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>.又()()'f x x ϕ=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈得()014f x <.因为0x x =是()f x 在()0,1的唯一极大值点，由()10,1e -∈，()10f e -≠得()()120f x f e e -->=所以220()2ef x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax a g x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. （2016·21）证明：⑴()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>. ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=32(2)(e )2xx x a x x -+⋅++=，[)01a ∈，，由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，，当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增，()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．（2015·21）解析：（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x '=-+，若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10mxe -≥，()0f x '>. 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10mxe-<，()0f x '>，所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|1f x f x e -≤-的充要条件是(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即11mm e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①. 设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e '=-，当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤.当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1me m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1me m e -+>-，综上，m 的取值范围是[-1,1].（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）. （2014·21）解析：（Ⅰ）1()2()2=220.x x x x x x f x e e x x R f x e e e e --'=--∈∴=+-+-≥=，， ∴当且仅当x =0时等号成立，所以函数()f x 在R 上单调递增． （Ⅱ）22()(2)4()44(2),x x x x g x f x bf x e e x b e e x --=-=-----∴当x >0时，2244(2)0,x x x x e e x b e e x ------->22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'∴=+-++- 2(2)[(22)]x x x x e e e e b --=+-+--，2x x e e -+≥=，2(2)0x x e e -∴+-≥，(1) 当2b ≤时，()0g x '≥，当且仅当x =0时等号成立. 所以此时g (x )在R 上单调递增，而g (0)=0，所以对任意x >0，有g (x )>0.(2) 当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-时，即0ln(1x b <<-时，()0g x '<，而g (0)=0，因此当0ln(1x b <<-时，g (x )<0.综上可知，当2b ≤时，才对任意的x >0，有g (x )>0，因此b 的最大值为2. （Ⅲ）由(Ⅱ)知，32(21)ln 22g b =-+-，当b =2时，36ln 202g =->，ln 20.6928>>；当14b =+时，ln(1b -=32)ln 202g =--<，18ln 20.693428<<，所以ln2的近似值为0.693.（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >. （2013·21）解析：（Ⅰ）f ′(x )＝1xe x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x -ln(x +1)，定义域为(-1，+∞)，f ′(x )＝11x e x -+.函数f ′(x )＝11xe x -+在(-1，+∞)单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x ∈(-1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(-1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．（Ⅱ）当m ≤2，x ∈(-m ，+∞)时，ln(x +m )≤ln(x +2)，故只需证明当m =2时，f (x )＞0.当m =2时，函数f ′(x )=12xe x -+在(-2，+∞)单调递增．又f ′(-1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )=0在(-2，+∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(-1,0)．当x ∈(-2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，+∞)时，f ′(x )＞0，从而当x =x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)=0得0x e =012x +，ln(x 0+2)=-x 0，故f (x ) ≥ f (x 0)=012x ++x 0=20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. （2012·21）解析：（Ⅰ） 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+，令x =1得，f (x )=1，再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，∴()1x f x e x '=-+，易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数，且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>，()00f x x '<⇔<，所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞. （Ⅱ） 若b ax x x f ++≥221)(恒成立，即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥ 恒成立，()(1)x h x e a '=-+.(1)当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，且当x →-∞时， ()h x →-∞，不合题意；(2)当10a +=时，()0h x >恒成立，则0b ≤，(1)0a b +=；(3)当10a +>时，()(1)xh x e a '=-+为增函数，由()0h x '=得ln(1)x a =+，故()0ln(1)f x x a '>⇔>+，()0ln(1)f x x a '<⇔<+，当ln(1)x a =+时，()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥，即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，10a +>，22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++，令22()ln 0u x x x x x =-> ()，则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-，()00()0u x x u x ''>⇔<<x ⇔>所以当x =()u x 取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e . 综上，若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e. （2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 解析：（Ⅰ）221(ln )()(1)x x b x f x x x α+-'=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--.考虑函数2(1)(1)()2ln k x h x x x --=+(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x-++=. (i)设0k ≤，由222(1)(1)()k x x h x x+--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x ∈(1，+∞)时，h (x )<0，可得21()01h x x >-，从而当x >0，且x ≠1时，ln ()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x kf x x x>+-.（ii ）设0<k <1. 由于当x ∈(1，k -11)时，(k -1)(x 2 +1)+2x >0，故h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，k-11)时，h (x )>0，可得211x- h (x )<0，与题设矛盾. （iii ）设k ≥1. 此时h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，+∞)时，h (x)>0，可得211x -h (x )<0，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为（-∞，0].2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形一、选择题（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC ，则AC =（ ）A ．5BC ．2D ．1（2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]（2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增二、填空题（2017·14）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.（2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 . 三、解答题（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B 解析：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（2016·9）D 解析：∵3cos()45πα-=，2ππ7sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()124425παααα=-=-=--=，故选D ．（2014·4）B 解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅，即：111sin 22B =⋅，∴sin 2B =，即45B =或135． 又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，∴2||1AC =或5，又∵ABC ∆为钝角三角形，∴2||5AC =，即：||AC =（2012·9）A 解析：由322,22442k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，15024∵，∴ωω>≤≤.（2011·5）B 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，故选B.（2011·11）A 解析：())(0,||)42f x x ππωϕωϕ=++><的最小正周期为π，所以2ω=，又()()f x f x -=，∴ f (x )为偶函数，=+,4k k Z πϕπ∴∈，())2f x x x π∴=+=，故选A.二、填空题（2017·14）1【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=，∴ ()21cos 4f x x x =-+，设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-++，函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x =．（2016·13）2113解析：∵4cos 5A =，5cos 13C =，∴3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =，解得2113b =．（2014·14）1 解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+=∵x R ∈，∴()f x 的最大值为1.。
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——13.坐标系与参数方程
10⎩2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（2018.22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |⋅|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2016·23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；⎧x =t cos α（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎨y =t sin α（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB ，求l 的斜率.（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.⎨y =2s in t ⎨y =3sin ϕ⎨y =2+2sin α（2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈[0,π].2（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y =确定D 的坐标.（2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线C :⎧x =2c o s t ⎩3x +2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，（t 为参数）上，对应参数分别为t =α与t =2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.（2012·23）已知曲线C 1的参数方程是⎧x =2cos ϕ（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极⎩轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π).3（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围.（2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎧x =2cos α⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP =2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.（Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π与C 1的异于极点的交点为A ，3与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.x 2+y 2ρ12011年—2018年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2018.22）【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x sin α﹣y cos α+2cos α﹣sin α＝0．（2）把直线的参数方程（t 为参数），代入椭圆的方程得到：+＝1整理得：（4cos 2α+sin 2α）t 2+（8cos α+4sin α）t ﹣8＝0，则：，（由于t 1和t 2为A 、B 对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8cos α+4sin α＝0，解得：tan α＝﹣2，即：直线l 的斜率为﹣2．（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |⋅|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π，点B 在曲线C 上，求∆OAB 面积的最大值．(2,)23（2017·22）解析：（1）解法一：设P 点在极坐标下坐标为(ρ,θ)⎛16⎫由OM ⋅OP =16可得M 点的坐标为 ,θ⎪，代入曲线C 的极坐标方程，得：⎝⎭16cos θ=4，即ρρ=4c o s θ，两边同乘以ρ，化成直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，由题意知ρ>0，所以检验得x 2+y 2=4x (x ≠0)．解法二：设P 点在直角坐标系下坐标为(x ,y )，曲线C 1的直角坐标方程为x =4，因为O ,P ,M 三点共线，⎛4y ⎫所以M 点的坐标为 4,x ⎪，代入条件OM ⋅OP =16得：⋅=16，因为x >0，⎝⎭化简得：x 2+y 2=4x (x ≠0)．（2）解法一：由（1）知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ，故可设B 点坐标为(4cos θθ,，16+16y 2x 21015⎩⎨⎩⎩（2016·23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；⎧x =t cos α（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎨y =t sin α（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB ，求l 的斜率.⎧ρ2=x 2+y 2（2016·23）解析：⑴整理圆的方程得x 2+y 2+12+11=0，由⎪ρcos θ=x ⎪ρsin θ=y 可知，圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0．(2)记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx -y =0，由垂径定理及点到直线距离公式知：-6k=36k 2，即290，整理得k 2=5，则k =±．1+k 21+k 433（2015·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎧x =t cos α（t 为参数，t ≠0）其中0≤α<π，在以O 为1⎨y =t sin α极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=2sin θ，C 3:ρ=23cos θ.（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.25-⎛10⎫2 ⎪⎝⎭2=。
2012-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版
学 科 教 师 辅 导 教 案授课日期及时段2017年月日：一1.（ 2015年广东文）线G 的极坐标方程为 ?COST sinv - -2,曲线C 2的参数方程为X" （ t 为参数），则c ,与C 2交[y =2（2txOy 中，曲线 G ： x-tcos- ,（t 为参数，且t = o ）, y =tsinot,,在以o 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ' = 2sin 二，C 3:『=2 3cos .（I ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（II ）若C ,与C 2相交于点A C i 与C 3相交于 点B ,求AB 最大值.试题分析：（I ）把C 2与C 3的方程化为直角坐标方程分别为X 2 y 2-2y =0,x 2 y 2 - 2 - 3^0, 联 立 解学员姓名 年级咼二辅导科目 数学授课老师课时数2h第次课建立极坐标系.曲点的直角坐标为 2, -4 .其中 0 _ ：方程溟可帚玄毛住届 5)元踴定田连q 跆捋方程为&二列尸怎比口砂〕起一步求比点4田股生标 先(24n 蔭.cr ］点3的赣坐标为:2^3阳cc rxj 由lit 可届 |-切| ==4 sin ； a~—；I I »tv.门】曲纯G 的劃i 坐标才程为討+H -即"堆錢C 的臣角坐标2隍为Y 3 +j :- 烬=0慝注T孑百3、：厨以G 写Q 喪点的直审业悟［0』片丄二訂di: it 或G 粧生标古里対■立耳中。
三空v-兀 因i 汽亠田槻坐咄利2血尤②車g以坐标原点为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系(I )求C i ,C 2的极坐标方程.(II )若直线C 3的极坐标方程为日=』(PE R )，设C 2,C 3的交点为M,N ，求A C 2MN1;■ I=sidff-—xOy 吕，直线I 的参数方程为］x = 3十」t占2 (t 为参数)，以原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， L C 的极坐标方程为二=2 3sinx⑴ 写出L C 的直角坐标方程;(II) 为求点P 的坐标.试题解析： ⑴ 由—2、：3sinr ,得「2=2、.3飞inn ，从而有x 2 亠〔y - ；3 = 3卡寸二2 3y 所以 (II)设+号呼「『3昇卜A 2丿<2 丿t 2 12 , 故当t =0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).4、(2015新课标1)在直角坐标系xOy 中，直线C i:x = -2 ,圆 C2：(x-1$+(y -2)2=1 ,兰口=苓时⑷限待醍人直醍尢值拘1. 6Hi以「iff | - |2si]i!Z-2^ UJ > L £(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（H ）直线l 的参数方程是[xicosc ^t 为参数），|与C 交于A ,B 两点，|AB|=V10 , y = tsi na求l 的斜率. f = x 2• y 2解：⑴整理圆的方程得x 2y 212 1^0，由Tcosv-x 可知圆C 的极坐标"sin J - y方程为J 2 12 2osr 1仁0 .⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx — y=0， 由垂径定理及点到直线距离公式知：単=丄5 一回f , 即、时' I 2丿36k ： =90，整理得 k 2=5，则—15 . 1 k 24 337、（ 2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为日（日为参数）, [y =s in 日以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C 2的 极坐标方程为宀心尸2（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（II ）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ 的最小值及此时P 的直角坐8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参数方程为x =cos 入厂2sin '（二为参数）.设直线|与椭圆C 相 交于A, B两点，求线段AB 的长.x =1 - t23 F (t为参数），椭圆C 的参数方程为通方程，并求出它们的公共点的坐标。
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新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。
（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。
【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u v,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13．坐标系与参数方程（解析版）一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．曲线C 的标准方程是2219xy +=，联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则P 到l距离d =，其中3tan 4ϕ=． 依题意得：max d 16a =-或8a =．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=,∴1a =【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.解析：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ|MN |=1ρ－2ρ2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+- ，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。
（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。
【解析】（1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x 化为直角坐标方程为22149x y +=， 曲线2C 的极坐标方程2=ρ化为 直角坐标方程为224x y +=， 因为点A 的极坐标为（2，3π）， 所以点B 的极坐标为（2，56π），点C 的极坐标为（2，43π），点D 的极坐标为（2，116π），因此点A 的直角坐标为（1，点B 的直角坐标为（1），点C 的直角坐标为（－1，点D 1）。
（2）设P （2cos ϕ，3sin ϕ），则2222||||||||PD PC PB PA +++2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-+++-2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++++2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-+++-2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++++220sin 32ϕ=+[32,52]∈。
因此2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[32，52]。
【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u v,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩.从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=.。