2015年中考数学复习课件：第38课时 直角三角形的边角关系的应用 (北师大版)
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北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件
则在R
BD AD • tan BAD x • tan55
在R
CD AD • tan CAD x • tan 25
由BC=BD-CD,得
BC x • tan 55 x • 25 20,
解得 x 20.79 10
所以，这船继续向东航行是安全的.
北
A
55°
B
个人简历：/jianli/
试卷下载：/shiti/
教案下载：/jiaoan/
手抄报：/shouchaobao/
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
PPT素材：/sucai/
PPT背景：/beijing/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
54°
D 40m
C
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题
.
例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米,
D
12米
3 1.732 , 2 1.414 ）.
C
4米
45°
A
30°
B
讲授新课
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，
然后根据已知条件解直角三角形．
讲授新课
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰
角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼
BD AD • tan BAD x • tan55
在R
CD AD • tan CAD x • tan 25
由BC=BD-CD,得
BC x • tan 55 x • 25 20,
解得 x 20.79 10
所以，这船继续向东航行是安全的.
北
A
55°
B
个人简历：/jianli/
试卷下载：/shiti/
教案下载：/jiaoan/
手抄报：/shouchaobao/
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
PPT素材：/sucai/
PPT背景：/beijing/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
54°
D 40m
C
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题
.
例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米,
D
12米
3 1.732 , 2 1.414 ）.
C
4米
45°
A
30°
B
讲授新课
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，
然后根据已知条件解直角三角形．
讲授新课
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰
角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼
直角三角形的边角关系复习北师大版数学课件
【解析】设小正方形的边长为1，
则tan∠BAC=
3 答案： 2
DE 3 . AE 2
7.(2010·中山中考)如图，已知Rt△ABC中，斜边AB上的高 CD=4，cosB=
4 ，则AC=___________. 5 4 ， 5
【解析】由题意可知，∠B=∠ACD， 所以,cos∠ACD=cosB=
【解析】由作法可知OA=OB=AB,
所以∠AOB=60°，所以cos∠AOB= .
1 答案： 2 1 2
8.(2010·江西中考)计算：sin30°·cos30°-tan30°
=_______(结果保留根号).
【解析】原式=
1 2 3 3 3 3 3 . 2 3 4 3 12
3
【解析】选C.由三角函数的定义知cos30°= 3 .
2
6.(2011·枣庄中考)将一副三角尺如图 所示叠放在一起，若AB＝14 cm,则阴影
部分的面积是______cm2.
【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=14× 1 =7(cm).
2
因为∠ACB=∠AED=90°,所以CB∥ED,
比例，涉及的知识点不多，是解决与直角三角形有关的实际 问题的基础. 复习的重点是锐角三角函数的概念，30°、45°、60° 角的三角函数值，用计算器求锐角三角函数值，注意三角函 数值与角的度数之间的相互转化，难点是灵活运用三角函数 的概念解决问题.
易混点：直角三角形中，三角函数是哪两条边的比值， 容易混淆.30°、45°、60°角的三角函数值记忆不准确，常 有混淆.
sin32 0.5
∵∠FAD=90°-∠BAE,∠α=90°-∠BAE, ∴∠FAD=∠α=32°. 在Rt△AFD中，cosFAD AF ,
直角三角形的边角关系的应用复习北师大版数学课件
20 27.3 m . 3 1
考 点 · 知 识 清 单
答：该古塔的高度约为27.3 m.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
仰角、俯角：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，
视线在水平线下方的角叫俯角(如图).
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
6.(2011·宁波中考)如图，某游乐场一山
例 题 · 典 例 导 练
顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α ,那么滑
梯长l为( )
考 点 · 知 识 清 单
A
h sin
B
h tan
C
h cos
点击进入相应模块
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
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解直角三角形
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【例1】(2010·日照中考)如图，在等腰
Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，
考 点 · 知 识 清 单
答：该古塔的高度约为27.3 m.
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仰角、俯角：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，
视线在水平线下方的角叫俯角(如图).
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
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6.(2011·宁波中考)如图，某游乐场一山
例 题 · 典 例 导 练
顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α ,那么滑
梯长l为( )
考 点 · 知 识 清 单
A
h sin
B
h tan
C
h cos
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解直角三角形
策 略 · 专 家 指 导
【例1】(2010·日照中考)如图，在等腰
Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用教学课件(新版)北师大版
解：如图，在 Rt△ABC 中，sin 40°= AB . AC
∵AC = 4 m， ∴AB = 4sin 40°（m）， 原楼梯占地长 BC = 4cos 40°（m）.
AB 调整后，在 Rt△ADB 中，sin 35°= AD ， 则 AD= AB 4sin 40 （m），
sin 35 sin 35
楼梯占地长 DB= 4sin 40 （m），
tan 35
∴调整后楼梯加长为 AD-AC= 4sin 40 -4≈0.48（m）.
sin 35
楼梯比原来多占地面为
DC=DB-BC=
4sin 40 tan 35
-4cos 40°≈0.61（m）.
[知识拓展]
设∠C=α，∠ADB=β，CD=a.形如“双直角三 角形”的图形的解题规律：
历史上的海难事件非常多，最著名的海难事件应属 1912 年的泰坦尼克号沉没，但实际上，遇难人数远超泰 坦尼克号的遇难船只并不罕见. 在这一统计所含的 75起 海难中，遇难人数超过 1 000 人 的共有 18 起. 随着时 间的推移，因袭击所致的海难逐渐减少. 但 21世纪以来， 海难仍时有发生，如 2014 年韩国“岁月号”客轮， 2008 年菲律宾“群星公主号”客轮，2006 年埃及客轮 “萨拉姆 98 号”，2002 年的塞内加尔“乔拉号”等船 只遇难都造成了巨大的人员伤亡.
解：如图，过点 A 作 BC 的垂线，交 BC 的延
长线于点 D.
在 Rt△ABD 中,易知 tan 55°= BD ，
AD
∴BD=AD·tan 55°.
在 Rt△ACD 中,易知 tan 25°= CD ， AD
∴CD=AD·tan 25°.
设 AD=x，则 BD=xtan 55°，CD=xtan 25°.
北师大版九年级数学下册《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系ppt
你能求出上图中∠A的大小吗?
• [解]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为
•
14.47751219°，再按 键
可显示14°28′39″。
• 所以∠A=14°28′39″。
第六页，共十七页。
你还能完成下列已知三角函数值求角度
的题吗?
• 1.根据下列条件求锐角θ的大小：
• (1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；
第三页，共十七页。
• 用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的 大小。
• [师]已知三角函数求角度，要用到键的第二 功能 、 、 ”和 键。
• 键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键” 例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，
• 已知cosA＝0.8607，求锐角A； • 已知tanA：0.1890，求锐角A； • 已知tanA＝56.78，求锐角A。
第十页，共十七页。
• 分析：根据题意，可知AB＝20 mm， CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，要求 ∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可。
• 解：tanACD=≈0.5208，∴∠ACD＝27.5°， • ∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°。
第十一页，共十七页。
• [例2]如图，一名 • 患者体内某重要 • 器官后面有一肿 • 瘤。在接受放射性 • 治疗时，为了最大限度；(4)tanθ＝0.8972；
• (5)sinθ＝ 3 2
；(6)cosθ＝
3 2
；
• (7)tanθ=22.3；(H)tanθ= 3 ；
• (9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.
第七页，共十七页。
• 1.解：(1)θ＝71°30′2″；(2)θ＝23°18′35″； • (3)θ＝38°16′46″；(4)θ＝41°53′54″； • (5)θ＝60°；(6)θ=30°； • (7)θ=87°25′56″；(8)θ＝60°； • (9)θ＝36°52′12″； • (10)θ＝78°27′47″。
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
形的其他元素吗？
不能
两角
总结：在直角三角形的6个元素(即3条边和3个锐角)中，直角是已知元素，如
果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来.
说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，
按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
=
，则
=
．
( )
+( )
=
，
．
课堂总结
解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知
元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
的元素吗？
若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90 °-∠ A；
②c=
a
a
; ③b
.
sin A
tan A
若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-∠ A；
②a=c·sin A ;
③b=c·cos A.
例2.在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，
c，且b=30，∠B=25°
与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ A ）
A.3sina米
B.3cosa米
C.
米
D.
米
3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，
不能
两角
总结：在直角三角形的6个元素(即3条边和3个锐角)中，直角是已知元素，如
果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来.
说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，
按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
=
，则
=
．
( )
+( )
=
，
．
课堂总结
解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知
元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
的元素吗？
若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90 °-∠ A；
②c=
a
a
; ③b
.
sin A
tan A
若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-∠ A；
②a=c·sin A ;
③b=c·cos A.
例2.在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，
c，且b=30，∠B=25°
与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ A ）
A.3sina米
B.3cosa米
C.
米
D.
米
3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系PPT教学课件
c
B的对边 b
sin B
斜边
c
A的邻边 b
cos A
斜边
c
cos B
B的邻边 a
斜边
c
A的对边 a
tan A
A的邻边 b
tan B
B的对边 b
B的邻边 a
C
a
B
第一章
直角三角形的边角关系
解直角三角形
1
课堂讲解 已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形
∵ c
∴
∵
知2－讲
总 结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.
（来自《点拨》）
知2－讲
例5 在R
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
导引：
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的R
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
AB
A B 90 B 90 A 90 75
A
α =75°
C
合作探究
2.在图中的R
能
B
6
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
B的对边 b
sin B
斜边
c
A的邻边 b
cos A
斜边
c
cos B
B的邻边 a
斜边
c
A的对边 a
tan A
A的邻边 b
tan B
B的对边 b
B的邻边 a
C
a
B
第一章
直角三角形的边角关系
解直角三角形
1
课堂讲解 已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形
∵ c
∴
∵
知2－讲
总 结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.
（来自《点拨》）
知2－讲
例5 在R
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
导引：
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的R
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
AB
A B 90 B 90 A 90 75
A
α =75°
C
合作探究
2.在图中的R
能
B
6
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
北师大版九年级数学下册 (利用三角函数测高)直角三角形的边角关系课件教学
利用三角函数测高
北师大版 九年级下册
回顾知识
1.直角三角形的边角关系：
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.
B
c
a
┌
A
b
C
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
回顾知识
2.仰角、俯角：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
只有2个是未知的.
2.用顶点式 y a(x h)2 k 时，知道顶点坐标（h,k）和图象上的另
一点坐标.
课堂练习
2．在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值 如表所示，则下列判断中不正确的是（ ）
x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 …
A．该二次函数的图象开口向下 B．b=3c C．该二次函数的图象与y轴交于正半轴 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
课堂练习
5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向 前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
A
D′
C′
B′
D
B C
中考链接
B
中考链接
2.（2018•丹东）如图，小明利用长为2m的标尺ED测量某建筑物BC的高度，观测点 A、标尺底端D与建筑物底端C在同一条水平直线上，标尺ED⊥AC．从点A处测得建筑物顶 端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上；从点D处测得建筑物顶端B的仰角为38.5°，求建筑 物BC的高度．（参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62， cos38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
北师大版 九年级下册
回顾知识
1.直角三角形的边角关系：
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.
B
c
a
┌
A
b
C
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
回顾知识
2.仰角、俯角：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
只有2个是未知的.
2.用顶点式 y a(x h)2 k 时，知道顶点坐标（h,k）和图象上的另
一点坐标.
课堂练习
2．在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值 如表所示，则下列判断中不正确的是（ ）
x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 …
A．该二次函数的图象开口向下 B．b=3c C．该二次函数的图象与y轴交于正半轴 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
课堂练习
5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向 前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
A
D′
C′
B′
D
B C
中考链接
B
中考链接
2.（2018•丹东）如图，小明利用长为2m的标尺ED测量某建筑物BC的高度，观测点 A、标尺底端D与建筑物底端C在同一条水平直线上，标尺ED⊥AC．从点A处测得建筑物顶 端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上；从点D处测得建筑物顶端B的仰角为38.5°，求建筑 物BC的高度．（参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62， cos38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
北师大版九年级下册数学《三角函数的计算》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
c
XX
XX
XX
XX
XX
XX
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=ABsin16°
.
你知道sin16°
等于多少吗?
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
需要用科学计
提炼概念
分析：已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按
键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．
典例精讲
例1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin 47°；
(2)sin12°30′；
(3)cos25°18′；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
两锐角的关系： __________.
c
A
b
边与角的关系：锐角三角函数
a
sin A cos B
c
b
cos A sin B
c
a
a
tan A
b
C
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m.
已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，那么缆车垂
直上升的距离 是多少？（结果精确到0.01 m)
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.运用计算器计算已知锐角的三角函数值.
2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
课堂小测
北师版初中数学九年级下册精品教学课件 第一章直角三角形的边角关系 5三角函数的应用
三角形,可适当地作 垂线 ,转化为直角三角形.
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轻松尝试·应用
1.已知岛P位于岛Q的正西方,
由岛P,Q分别测得船 R位于
南偏东30°和南偏西45°方
向上,则符合条件的示意图
是( D ).
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2.(2022贵州毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,
坡面AB的坡度为1∶ ,则AB的长度为(
3
).
A
A.10 m
B.10 3 m
C.5 m
D.5 3 m
∵坡面 AB
的坡度为
=
5
=
1
,∴AC=5
3
3 m,
∴AB= 2 + 2 =10 m.
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3.某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长为
5 3
( 3 -1.6)
m.(结果保留根号)
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4.汽车与墙平行停放的平面示意图如图,汽车靠墙一侧OB
与墙MN平行且距离为0.8 m,已知汽车车门宽AO为1.2 m,
当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说
明理由.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,
tan 40°≈0.84)
解 车门不会碰到墙.
理由:过点A作AE⊥OB于点E(图略),则在Rt△AOE中,sin∠AOE=
直角三角形的边角关系
5
三角函数的应用
快乐预习·感知
1.在平面图形中,方位的规定是上 北 下 南 ,左 西 右 东 .
2.解决实际应用问题:首先要根据题意,准确
画出图形 等概念,准确理解图中这些概念的几
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轻松尝试·应用
1.已知岛P位于岛Q的正西方,
由岛P,Q分别测得船 R位于
南偏东30°和南偏西45°方
向上,则符合条件的示意图
是( D ).
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2.(2022贵州毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,
坡面AB的坡度为1∶ ,则AB的长度为(
3
).
A
A.10 m
B.10 3 m
C.5 m
D.5 3 m
∵坡面 AB
的坡度为
=
5
=
1
,∴AC=5
3
3 m,
∴AB= 2 + 2 =10 m.
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3.某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长为
5 3
( 3 -1.6)
m.(结果保留根号)
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4.汽车与墙平行停放的平面示意图如图,汽车靠墙一侧OB
与墙MN平行且距离为0.8 m,已知汽车车门宽AO为1.2 m,
当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说
明理由.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,
tan 40°≈0.84)
解 车门不会碰到墙.
理由:过点A作AE⊥OB于点E(图略),则在Rt△AOE中,sin∠AOE=
直角三角形的边角关系
5
三角函数的应用
快乐预习·感知
1.在平面图形中,方位的规定是上 北 下 南 ,左 西 右 东 .
2.解决实际应用问题:首先要根据题意,准确
画出图形 等概念,准确理解图中这些概念的几
中考数学 第38课时 直角三角形的边角关系的应用课件 北师大版
电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，
）． 3 1.732
第二十七页，共35页。
【思路点拨】由i的值求得大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离
( jùlí)a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，
AM，h求得高度CD．
【自主解答】设大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离( jùlí)a，
2c.已s知ina两A ,直b 角 边tanaaA，(b或.则b c2 由a2 ). 可求∠A，则
∠B=90°-∠A.
c a2 b2， tanA a ， b
3.已知一斜边c和一锐角∠A，则∠B=90°-∠A，a=c·sinA,
b=c·cosA(或
).
b c2 a2
第十页，共35页。
【对点训练】
第二十一页，共35页。
【对点训练】
4.（2012·株洲中考）数学实践探究课中，
老师布置同学们测量学校旗杆的高度.小民
所在的学习(xuéxí)小组在距离旗杆底部10米的地
方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，
则旗杆的高度是______米.
【解析】10×tan60°=
（米）.
答案：
10 3 10 3
第十八页，共35页。
经检验__x_＝__5_0_＋_5_0___3是原方程(fāngchéng)的 解.…………………5…0＋…50…37分 136.6 ∴C1D3＝8 CE＋ED＝_________+1.5=______＋1.5 ≈____(m).……………………13…8 ……………………………9分 答：该建筑物的高度约为____ m.…………………………10分
3
答案：75°
第三十二页，共35页。
九年级数学下册1《直角三角形的边角关系》复习专题3直角三角形边角关系的应用素材北师大版(new)
专题三 直角三角形边角关系的应用本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等,此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡,通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．例1 如图1,梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，∠C =120°，AB =8，则CD 的长为( ）．A ．86B ．46C ．323D ．42 分析：求CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF ⊥BC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ,则根据已知条件可求出DE =AF =AB ·sin B ，再根据三角函数求出CD 的长． 解:作AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 并交BC 的延长线于E ．在Rt △ABF 中,因为AB =8，∠B =45°，所以2422845sin =⨯=︒•=AB AF ， 所以42DE AF ==．在Rt △CDE 中，因为18012060DCE ∠=-=，所以4286sin 603DE CD ===，故选A ． 说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替．例2 如图2，已知AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且4tan 3B =,AC 上有一点E ，满足AE ∶EC =2∶3．那么，tan∠ADE是（)．A．35B．23C．12D．13分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形,为此需要过点E作EF⊥AD，再求出EFFD即可．解:因为AD⊥BC,垂足为D,AB=AC，所以∠BAD=∠CAD．因为4tan3B=,∠B+∠CAD=90°，所以3tan4CAD∠=．作EF⊥AD交AD于F,则tan∠CAD34EFAF==．所以34EF AF=．因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥CB．又AE∶EC=2∶3,所以AF∶FD=2∶3．所以32FD AF=．所以314tan=322AFEFADEFD AF∠==．故选C．说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法．专题训练:1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=,则AB=( ）．A．5 B C．D．3．如图5，在△ABC中，∠B=60°,BC=2，中线CD⊥BC,求AB，tan A的值．参考答案：1．452．A3．因为∠B=60°，CD⊥BC,所以∠CDB=30°．因为CB=2，所以DB=4,CD=所以AD=4，AB=8．作CE⊥BD，则CE DE=3．所以AE=7．所以tan A=7．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT(第1课时)
第十三页，共十七页。
课堂小测
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航 行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距
离（即AB的长）.
第十四页，共十七页。
课堂小测
解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= O1A=2km． 在Rt△AB2D中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
B
所以，这船继续向东航行是安全的.
第九页，共十七页。
A 55°
C
D东
25°
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处距离灯塔P有多远（cos25° ≈0.91 , sin34°
北
B
70
西
东
°O
60° C
25° A
南
（3） 南偏西25°：
射线OA
北偏西70°： 射线OB 南偏东60°：
射线OC
第六页，共十七页。
新知探究
方向角问题的实际应用题解法： 直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发
现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
第七页，共十七页。
新课导入
与方向角有关的实际问题
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系 PPT(第1课时)
科 目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 直角三角形的边角关系
课堂小测
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航 行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距
离（即AB的长）.
第十四页，共十七页。
课堂小测
解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= O1A=2km． 在Rt△AB2D中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
B
所以，这船继续向东航行是安全的.
第九页，共十七页。
A 55°
C
D东
25°
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处距离灯塔P有多远（cos25° ≈0.91 , sin34°
北
B
70
西
东
°O
60° C
25° A
南
（3） 南偏西25°：
射线OA
北偏西70°： 射线OB 南偏东60°：
射线OC
第六页，共十七页。
新知探究
方向角问题的实际应用题解法： 直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发
现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
第七页，共十七页。
新课导入
与方向角有关的实际问题
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系 PPT(第1课时)
科 目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 直角三角形的边角关系
《直角三角形的边角关系》课件 北师大版
AD
在 R t△A B D 中，tan∠A B D ＝ ，
BD
∴A D ＝B D ·tan∠A B D ＝(200－A D )·tan60°＝ 3(200－A D )，
200 3
∴A D ＋ 3A D ＝200 3，即 A D ＝
＝300－100 3.
1＋ 3
答：该河段的宽度为(300－100 3)米．
数学·新课标〔BS〕
下册第一章复习 ┃ 考点攻略
► 考点四 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题 例4 为建设“宜居宜业宜游〞山水园林式城市，内江市正
在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某 河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿 河边取两点B，C，在B
处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北 方向上，量得BC长为200米．求小河的宽度(结果保存根号)．
学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学 楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测 得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．
数学·新课标〔BS〕
下册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示 出 FG，在 Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝40，可求 AG.
思想方法
数形结合思想
亮点
15、16题以图形变换的方式考查对解直角三角形方法的理解， 24题以直角三角形为平台，综合考查学生的计算能力和逻辑推理
能力.
数学·新课标〔BS〕
下册第一章复习 ┃ 试卷讲练 【针对第6题训练 】 1．如图 X1－3，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD
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2 2
在Rt△BCD中， CD 3, B 45,BD 3， AB AD BD 3 3.
【特别提醒】
解直角三角形时两注意
1.解直角三角形时，选择关系式原则
(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式； (2)设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除 法计算.
【思路点拨】 据三角函数求BD，BC 计算甲、乙二人用的时间
结论
【自主解答】由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°, ∵ tanBCD BD , ∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°
CD
≈57.2（米）.
CD CD 40 ≈70.2（米）， , BC BC cosBCD cos55 ∴ t甲 57.2 10 =38.6(秒），t乙 70.2 =35.1（秒），∴t甲＞t乙. 2 2 cosBCD
2.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度 i 1 则该坡的坡角 ∶ 3， 30 度． α=_____
解直角三角形 【例1】（2012·温州中考）某海滨浴 场东西走向的海岸线可近似看作直线 l（如图）.救生员甲在A处的瞭望台上 观察海面情况，发现其正北方向的B处 有人发出求救信号.他立即沿AB方向径
第38课时 直角三角形的边角关系的应用
一、直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别记为 a,b,c. 1.三边之间的关系：a2+b2=c2. 2.锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 3.边角之间的关系：sinA=cosB= cosA=sinB= b ;tanA=
测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5 m，
请你计算出该建筑物的高度．（取 3＝ 结果精确到1 m） 1.732，
【规范解答】设CE＝x m，在Rt△BCE中，∠CBE=45°， x m， ∴BE＝__
x＋100 )m.„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ∴AE＝(________
3.得出数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
【核心点拨】
1.解直角三角形：
除直角外，其余的五个元素只需知道两个(必须有一条边)，即
可解三角形;只知道两角不能解三角形.
2.解直角三角形的应用： 要熟悉数学中常见的“名词”，如方位角、仰角、俯角、坡度、 坡角等.
【即时检验】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°： （1）当c＝20，∠A＝60°，则a=_____ 10 3 ； 35 ； （2）当b＝35，∠A＝45°，则a=____ 30° . （3）当 BC 5，AC 15， 则∠A=_____
在Rt△AEC中，∵tan∠CAE＝ CE ，
AE
∴tan30°＝
直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上
从C处入海，径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上
的D处，再向B处游去.若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲、
乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.（参
考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43）
c a 1 = . tanB b a ; c
二、解直角三角形 未知元素 的过程. 在直角三角形中由已知元素求__________ 三、用直角三角形的知识解决实际问题的一般过程 1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题)；
2.根据条件的特点，适当选用三角函数去解直角三角形；
b
∠B=90°-∠A. 3.已知一斜边c和一锐角∠A，则∠B=90°-∠A，a=c·sinA, b=c·cosA(或 b c2 a 2 ).
【对点训练】
1.（2012·绵阳中考）已知△ABC，∠C
=90°，tanA 1 ，D是AC上一点，∠CBD=
2
∠A，则sin∠ABD=(
(A) 3
5
)
(C) 3
10
(B) 10
5
(D) 3 10
10
【解析】选A．如图，过点D作DE⊥AB，垂
足为E，设BC=2x，∵∠C=90°，tanA 1 ，
2
∴AC=4x，由勾股定理可知 AB 2 5x.
∵∠C=90°，tan∠CBD=tanA= ， ∴CD=x，由勾股定理可知
DE AD ， BD 5x. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ BC AB 3 5 x 3 5 3 故选A． 5 ∴ DE ∴ x， sinABD ． 5 5 5x 1 2
2.转化 (1)从全等的角度看，一个三角形只要具备全等的条件，这个 三角形就可以求解.
(2)当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造直角三角
形.
仰角、俯角问题 【例2】(10分）（2011·宿迁中考）如图，为了测量某是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处
答：乙先到达B处.
【规律总结】
直角三角形解法的三种类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c.
1.已知一个锐角∠A和一条直角边a时，则∠B=90°-∠A，
a a c ,b (或b c 2 a 2 ). sinA tanA
2.已知两直角边a，b.则 c a 2 b 2， 由 tanA a ， 可求∠A，则
2.（2012·嘉兴中考）如图，A，B两 点在河的两岸，要测量这两点之间的 距离，测量者在与A同侧的河岸边选 定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( 米 )
（A）asin40°
（C）atan40°
（B）acos40°
（D ）
a tan40 【解析】选C.∵在Rt△ABC中，tanC AB , AC
∴AB=atan40°.
3.（2012·安徽中考）如图，在△ABC中， ∠A=30°,∠B=45°, AC 2 3, 求AB的长. 【解析】如图，作CD⊥AB,垂足为D，
在Rt△ACD中，∵ AC 2 3, ∠A=30°,
∴AD=AC·cos30°= 2 3 3 3,CD 2 3 3.
在Rt△BCD中， CD 3, B 45,BD 3， AB AD BD 3 3.
【特别提醒】
解直角三角形时两注意
1.解直角三角形时，选择关系式原则
(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式； (2)设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除 法计算.
【思路点拨】 据三角函数求BD，BC 计算甲、乙二人用的时间
结论
【自主解答】由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°, ∵ tanBCD BD , ∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°
CD
≈57.2（米）.
CD CD 40 ≈70.2（米）， , BC BC cosBCD cos55 ∴ t甲 57.2 10 =38.6(秒），t乙 70.2 =35.1（秒），∴t甲＞t乙. 2 2 cosBCD
2.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度 i 1 则该坡的坡角 ∶ 3， 30 度． α=_____
解直角三角形 【例1】（2012·温州中考）某海滨浴 场东西走向的海岸线可近似看作直线 l（如图）.救生员甲在A处的瞭望台上 观察海面情况，发现其正北方向的B处 有人发出求救信号.他立即沿AB方向径
第38课时 直角三角形的边角关系的应用
一、直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别记为 a,b,c. 1.三边之间的关系：a2+b2=c2. 2.锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 3.边角之间的关系：sinA=cosB= cosA=sinB= b ;tanA=
测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5 m，
请你计算出该建筑物的高度．（取 3＝ 结果精确到1 m） 1.732，
【规范解答】设CE＝x m，在Rt△BCE中，∠CBE=45°， x m， ∴BE＝__
x＋100 )m.„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ∴AE＝(________
3.得出数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
【核心点拨】
1.解直角三角形：
除直角外，其余的五个元素只需知道两个(必须有一条边)，即
可解三角形;只知道两角不能解三角形.
2.解直角三角形的应用： 要熟悉数学中常见的“名词”，如方位角、仰角、俯角、坡度、 坡角等.
【即时检验】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°： （1）当c＝20，∠A＝60°，则a=_____ 10 3 ； 35 ； （2）当b＝35，∠A＝45°，则a=____ 30° . （3）当 BC 5，AC 15， 则∠A=_____
在Rt△AEC中，∵tan∠CAE＝ CE ，
AE
∴tan30°＝
直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上
从C处入海，径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上
的D处，再向B处游去.若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲、
乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.（参
考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43）
c a 1 = . tanB b a ; c
二、解直角三角形 未知元素 的过程. 在直角三角形中由已知元素求__________ 三、用直角三角形的知识解决实际问题的一般过程 1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题)；
2.根据条件的特点，适当选用三角函数去解直角三角形；
b
∠B=90°-∠A. 3.已知一斜边c和一锐角∠A，则∠B=90°-∠A，a=c·sinA, b=c·cosA(或 b c2 a 2 ).
【对点训练】
1.（2012·绵阳中考）已知△ABC，∠C
=90°，tanA 1 ，D是AC上一点，∠CBD=
2
∠A，则sin∠ABD=(
(A) 3
5
)
(C) 3
10
(B) 10
5
(D) 3 10
10
【解析】选A．如图，过点D作DE⊥AB，垂
足为E，设BC=2x，∵∠C=90°，tanA 1 ，
2
∴AC=4x，由勾股定理可知 AB 2 5x.
∵∠C=90°，tan∠CBD=tanA= ， ∴CD=x，由勾股定理可知
DE AD ， BD 5x. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ BC AB 3 5 x 3 5 3 故选A． 5 ∴ DE ∴ x， sinABD ． 5 5 5x 1 2
2.转化 (1)从全等的角度看，一个三角形只要具备全等的条件，这个 三角形就可以求解.
(2)当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造直角三角
形.
仰角、俯角问题 【例2】(10分）（2011·宿迁中考）如图，为了测量某是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处
答：乙先到达B处.
【规律总结】
直角三角形解法的三种类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c.
1.已知一个锐角∠A和一条直角边a时，则∠B=90°-∠A，
a a c ,b (或b c 2 a 2 ). sinA tanA
2.已知两直角边a，b.则 c a 2 b 2， 由 tanA a ， 可求∠A，则
2.（2012·嘉兴中考）如图，A，B两 点在河的两岸，要测量这两点之间的 距离，测量者在与A同侧的河岸边选 定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( 米 )
（A）asin40°
（C）atan40°
（B）acos40°
（D ）
a tan40 【解析】选C.∵在Rt△ABC中，tanC AB , AC
∴AB=atan40°.
3.（2012·安徽中考）如图，在△ABC中， ∠A=30°,∠B=45°, AC 2 3, 求AB的长. 【解析】如图，作CD⊥AB,垂足为D，
在Rt△ACD中，∵ AC 2 3, ∠A=30°,
∴AD=AC·cos30°= 2 3 3 3,CD 2 3 3.