向量的基本定理
向量的基本定理
向量的基本定理
根据向量的基本定理，它可以用来描述物体的运动，以及物理实验结果。
它最初是由分析力学中的泰勒伯霍兹定理演变而来，由康德斯伯格在1870年发表。
它被广泛用于科学研究，特别是在生物技术和物理技术方面。
向量的基本定理如下：
如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb
实际应用：
假设两个向量a和b分别受到恒定的力F1和F2的作用，并且它们的模和方向都不变，那么它们的合成向量c是它们的和（a + b），乘以力的大小F1 + F2。
也就是说，一个力的大小会影响一个物体的总体运动模式。
典型的应用，是当一个物体被多个力作用时，我们可以使用向量的基本定理来确定它移动的方向和大小。
例如说，当两个恒定力F1，F2作用在向量a，b上时，总力就会形成一个（F1 + F2）合成向量c。
向量的基本定理还可以用来解释一些物理现象，如频率分布、介电性质以及热迁移等，这些实验数据的不同的形态也许可以用这项定理来解释。
向量的基本定理在生物和材料科学中也有重要的应用。
比如，若想要研究造影剂在人体内如何运动，就可以利用这个定理确定造影剂运动的方向和速度。
同样，当利用微波烘烤技术来热处理一个材料时，可以利用这项定理来确定材料的热散失的方
向和速度。
可以看出，向量的基本定理在物理学中有着非常重要的作用，其中的概念可以用来解释物体的运动、物理实验数据的不同的形态以及在生物、材料科学等方面的应用。
因此，向量的基本定理一直是物理学研究中不可或缺的重要概念之一。
向量基本定理
3.做一做:若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
b.
5
答案:-
7
5
解析:由题意知 a=- b.
7
课前篇自主预习
一
二
二、平面向量基本定理
1.填空.
条件 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线
对该平面内任意一个向量 c,存在唯一的实数对(x,y),使得
断地向基底靠拢.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:由题意,得
1
1
= + = + 2 = + 2 ( − )
1
1
1
2
2
2
=a+ (b-a)= a+ b,
1
2
1
2
1
2
3
3
3
= + =a+3(b-a)=3a+3b,
= + =a+ (b-a)= a+ b.
组求解.
解:(1)因为=a+b,=a+2b,=a+3b.
则 = − =a+2b-(a+b)=b,
而 = − =a+3b-(a+b)=2b,
于是=2,所以 A、B、C 三点共线.
(2)因为 ka+b 与 a+kb 共线,则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
方程思想在向量中的应用——数学方法
1.2空间向量基本定理
4
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面． (2)唯一确定．
5
2．正交分解 (1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两_两__垂__直__，且长度都是 __1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
34
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝
a·aa·b |a||b|
求夹
角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
35
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量．
1 －1 [由m与n共线，得1x＝－y1＝11， ∴x＝1，y＝－1.]
10
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空
间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的
向量组有( ) A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
(1)C [如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
空间向量基本定理
a
空间中
c C1
B1 C
B
任意向量c是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？
比如在正方体中 BD1是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？ 为什么？怎么解决呢？ 基底增加一个向量 {a,b, AA1}
BD1 = BA+ AA1 + A1D1 BD1 = AB+ AA1 + AD BD1 = xa +1AA1 + yb
例2.已知空间四边形OABC，点M、N分别是边OA、BC的
中点，且OA = a ，OB = b ，OC = c ，用 a , b , c 表示向量MN
解: MN = MA + AB + BN = 1 OA+ OB OA+ 1 BC
2
2
= OB 1 OA + 1 (OC OB) = 1 OB 1 OA + 1 OC.
－3x＋y＝1，
∴e1，e2，e3 不共面，∴ x＋y＝2，
此方程组无解，
2x－y＝－1，
―→ ―→ ―→ 即不存在实数 x，y，使 OA ＝x OB ＋y OC 成立．
―→ ―→ ―→ ∴ OA ，OB ， OC 不共面．
―→ ―→ ―→ 故{ OA ，OB ， OC }能作为空间的一个基底．
数学应用
(2)因为―DM→＝16(－2a－2b＋c)，―AO→＝16(b＋c－5a)，
所以|―DM→＝12，|―A→O |＝
2， 2
―DM→·―A→O ＝1(－2a－2b＋c)·1(b＋c－5a)＝1，
6
6
4
1
所以 cos〈―DM→，―AO→〉＝ 4 ＝ 2，所以〈―DM→，―AO→〉＝π.
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
向量的基本定理
思考
如果a=0且b∥a，什么时候存在实数������，使得b=������a？这 样的������有多少个？什么时候不存在这样的实数������
（只有b=0时才存在实数������,使得b=������a ，而且这样的������可 以是任意实数）
2.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面任意一个 向量c，存在唯一实数对（x，y），使得c=xa+yb
k＝－2， 解得λ＝15.
∴k 取值为－2.
变变式式训训练练. 设向量e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，若向量 a e1 e2 ,向量b e1 2e2 ,且a // b,则实数 的值为_λ__=__−_������_ .
例6 若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
新人教B版必修二
第六章 平面向量
主讲人：姜妍
复习回顾
向量共线的重要条件是什么？
存在实数������,使得b=������a，则a，b共线
思考
a b c
d
e
判断向量b，c，d，e是否可以写成数与向量a相乘。如果可以 写出表达式，如果不可以，写出理由。
新课讲解
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a则存在唯一的实数������，使得b= ������������
分析：以 a，b 为基底分解向量A→M与H→F，实为用 a 与 b 表示向量 A→M与H→F.
解析：由 H，M，F 所在位置有： A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋21D→C＝A→D＋12A→B＝b＋21a.
H→F＝A→F－A→H＝A→B＋B→F－A→H＝A→B＋31B→C－12A→D＝A→B＋13A→D－12A→D＝a －16b.
高中数学(人教B版)向量基本定理
一一对应
向量c
实数对(x,y)
补充说明： (1)平面向量基本定理中的两个向量a,b都是非零向量.
补充说明： (1)平面向量基本定理中的两个向量a,b都是非零向量.
(2)特别地，当 a,b 不共线时， 因为0 = 0a+0b，所以对xa+yb 来说，当x 0或 y 0时，必定有xa+yb 0.
也就是说，当a,b不共线时， xa+yb 0的 充要条件是x与y中至少有一个不为0.
探究3.平面内两个不共始点的向量a,b不共线，则对该平面内任 意一个向量c，上述结论是否仍然成立？
当平面内两个不共线的向量a,b不共始点时，可在平面内任选一 点，通过向量平移，都可构造为共始点的情况；同时也可将任 意一个向量c平移至同一始点.
如果平面内两个向量a,b不共线，则对该平面内任意一个向 量c，存在实数对(x,y)，使得 c=xa+yb .
(2)如果b // a，则存在不全为0的实数λ,μ，使得 λa+μb=0.
判断正误：
(2)如果b // a，则存在不全为0的实数λ,μ，使得λa+μb=0. （ √ ）
分析：
当 a = b = 0时，对任意不全为0的实数λ,μ都有 λa+μb=0；
当 a ,b中有一个是0时，不妨设b = 0，
则对任意实数μ0且λ=0，都有 λa+μb=0；
判断正误： (1)如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 a=λb.
判断正误： (1)如果a0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得a=λb.（ × ）
分析：当 b=0时，0 // a，此时λ0=0，所以a = 0. 这与已知 a 0矛盾， 所以不存在这样的实数λ.
向量基本定理
a
r b
请用平行四边形法则作出: a 2b, a 1 b 2
B
a
A
b
a+2b Db
C
C
B
a1b a
2
D'
D1 1
b
b 2
A
D
数形结合 探究规律
r 思考：平面内的任一向量 a 是否都可以用不共线的向
量 e1与e2表示出来呢？说出你做的步骤。
M
C
r
ur e1
a
uur e2
A
uuur uuuur uuur O
有一对实数1，2 ，使
a
1 e1
ur
uur 2
e2
这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内
所有向量的一组基底.
学以致用
注意：下列说法中，正确的有（2、3）
1）一个平面内只有一对不共线向量
可以作为表示该平面所有向量的基底；
2）若1e1 2 e2 0(e1与e2不共线）, 则1 2 0
3）零向量不可以为基底中的向量.
温故知新
r
r
一. 向量的加法： a
b
1.三角形法则：
r
rB
b
a rr
ab
A
首尾相接
2.平行四边形法则：
C
rB a
rr ab
C
A
r
D
b
共同起点
二. 向量的减法：
共同起点 指向被减数
B
r a
ar
r b
Ar
D
b
温故知新
二、向量共线定理: r
r
向量 与b非零向量 共a线,则有且只有一个实数 ，
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体 ABCD－A ' B'C ' D '中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量： 1)AP ； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁 在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷 第444章 验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就 是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒 の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验， 也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候 居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回 到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就 是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来 都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公 退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧 福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越 清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明 白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人 梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为 王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷 第445章 报喜望着面色依然冷冷の 年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规 矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。 不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是 刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、 心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如 指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守 己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事 实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需 要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧， 今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错 愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
总结向量公式定理知识点
总结向量公式定理知识点一、向量的基本概念和性质1. 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，通常用有序数组或列向量表示一个向量，例如，向量a可以表示为(a1, a2, a3)或者[a1 a2 a3]。
2. 向量的性质向量有一些基本的性质，例如：（1）相等性：如果两个向量的大小和方向都相等，则它们是相等的；（2）共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的；（3）线性运算：向量可以进行加法和数乘运算，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
二、向量的运算和计算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加，结果是一个新的向量。
两个向量的加法可以用三角法则或者平行四边形法则进行计算。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个数，结果是一个新的向量。
向量的数乘可以用数乘的分配律和结合律进行计算。
3. 向量的点积向量的点积（也称为数量积或内积）是指两个向量相乘得到一个标量。
向量的点积有一些重要的性质，例如满足交换律、分配律和结合律。
4. 向量的叉积向量的叉积（也称为向量积或外积）是指两个向量相乘得到一个新的向量。
向量的叉积也有一些重要的性质，例如满足反交换律和结合律。
三、向量的公式和定理1. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，通常用||a||表示。
向量的模长可以用勾股定理进行计算，即||a|| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的角度公式两个向量的夹角可以通过它们的点积和模长进行计算，即cosθ = (a·b) / (||a|| · ||b||)。
3. 平面向量的基本定理平面向量的基本定理包括平面向量的线性组合和平面向量的共线定理。
平面向量的线性组合指的是两个向量的线性组合仍然是一个向量，满足封闭性和结合律。
平面向量的共线定理指的是如果两个向量共线，则它们的线性组合也是共线的。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
向量基本定理
向量基本定理
向量基本定理是一个在几何中使用的重要定理，它是用来表明两个向
量是等价的。
向量基本定理可以简单地描述为两个向量之间的等价性。
一、定义
向量基本定理定义为：如果两个向量u和v满足以下条件，则它们是
等价的：(1)他们的组件大小相等；(2)他们的组件的比例也相等。
二、推导
推导向量基本定理的方法如下：首先，设u和v为两个向量，令
u=(ux,uy)和v=(vx,vy)，其中ux和uy分别为组件的x和y的大小，且
满足向量u和v的组件大小相等，则有ux=vx和uy=vy。
由此可知，向量u和v的比例也相等，亦即ux/uy=vx/vy，根据上述等式可得向量基
本定理：如果两个向量u和v的组件大小和比例都相等，则它们是等
价的。
三、应用
在几何中，可以应用向量基本定理解决实际问题。
比如，将给定向量
对齐，可以利用向量基本定理，通过相应的旋转和缩放而使两个向量
同事对齐；再比如，判断两个空间点是否共线，可以判断三个点所确
定的两个向量u和v是否满足向量基本定理，这样就可以验证这三个
点是否共线了。
此外，在数学建模中，向量基本定理也有其重要意义，可以用来表述和定义空间上的等价性和等价变换，从而更好地描述物
理现象，进而为解决实际问题提供依据。
四、总结
向量基本定理给出的是两个相似的向量之间的等价性。
它用来描述向
量之间的关系，主要是以两两向量之间的组件大小和比例来表示。
在
几何中它被广泛地应用，而且在数学建模中也占有重要位置，可以用
来更好地描述物理现象并解决实际问题。
向量的运算基本定律
向量的运算基本定律1•实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么：J J⑴结合律：入(卩a )=(入卩)a;⑵第一分配律：(入+卩)a = X a+ a ;⑶第二分配律：X( a+b)= X a+x b.2•向量的数量积的运算律：⑴a • b= b • a (交换律)；(2)( ..；“a) • b= (a • b) = ；；” a • b= a • ( b);(3)( a+b) • c= a • c +b • c.3.平面向量基本定理：如果e i、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数X i、X 2,使得a=X iei+ X 2e2.不共线的向量e i、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.向量平行的坐标表示：设a=(x i,y i), b=(x2,y2)，且 b = 0，贝U a b(b = 0) ：= X i y? - x?y i 二 0 .5.a与b的数量积(或内积)：a • b=| a|| b|cos 0 .55. a • b的几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积.6.平面向量的坐标运算：4 4 4⑴设a= (x1, yj , b=化，y2)，则a+b =(x「x?, % y?).⑵设a= (x i, y i), b =(X2, y2)，则a- b =(治-x?, % - y?)./ 5 t T T⑶设A(为，yj，BN y?),则AB =OB -0人=区-为』2 -y)⑷设a=(x,y)^ R，则■ a=(' X, ■ y).、T 呻* 呻⑸设a=(x i, y) b =区，y2)，则a • b =(住屮财.7 .两向量的夹角公式：,y i), bg, y?)).8.平面两点间的距离公式:d A,B = |AB F：$AB AB f ；'(X2 _X i)2 (y? - y i)2 (A (x i, y i)，B(x?, y?)).9.向量的平行与垂直：设a=(x i,y i), b=(X2,y2)，且 b = 0，则A|| b= b= 入 a - x i y 2 "2力=0.a _ b(a +0) = a • b=0：= x 1x 2 y 1y^ 0.10 •线段的定比分公式：设R(x i ,yj , P 2(X 2,y 2), P(x,y)是线段RF 2的分点，入是实数，且RP = A.PF 2，贝U *—1 OP =tOP*+(i —t)OP2(). i +人11 •三角形的重心坐标公式： △ ABC 三个顶点的坐标分别为A(X i ，y i )、B(X 2，y 2)、C(X 3，y 3),则厶ABC 的重心的坐标 i2 .点的平移公式:I=x —hI =y -k注：图形F 上的任意一点P(x , y)在平移后图形F 上的对应点为P (x , y )，且PP 的坐 标为(h,k).13.“按向量平移”的几个结论：⑴点P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P '(x h, y k).⑵ 函数y=f(x)的图象C 按向量a=(h,k)平移后得到图象C ',则C '的函数解析式为 y = f (x -h) k .⑶ 图象C '按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C 的解析式y 二f(x),则C 的函数解 析式为 y = f (x h) - k .⑷曲线C: f(x,y)=O 按向量a= (h,k)平移后得到图象C ',则C '的方程为 ⑸ 向量m=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y). 4 .三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC 所在平面上一点，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，则 2 ⑴O 为 ABC 的外心=OA -OB-OC . T T T 呻 ⑵O 为 ABC 的重心 二OA OB OC =0.是G( X-! x 2 x 3 3 y i y 2 y 3) 3 )=x h 「2 2 二 OP =OP PP⑶O为ABC的垂心二OA OB =OB OC =OC OA⑷O为ABC的内心二aOA bOB cOC4 =0.⑸O为ABC的.A的旁心= aOA 二 bOB cOC。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
平面向量基本定理
12345
4.已知非零向量O→A，O→B不共线，且 2O→P＝xO→A＋yO→B，若P→A＝λA→B(λ∈R)，
则 x，y 满足的关系式是
√A.x＋y－2＝0
C.x＋2y－2＝0
B.2x＋y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
12345
解析 由P→A＝λA→B，得O→A－O→P＝λ(O→B－O→A)， 即O→P＝(1＋λ)O→A－λO→B.又 2O→P＝xO→A＋yO→B， 所以xy＝ ＝－ 2＋22λ，λ， 消去 λ 得 x＋y＝2. 即x＋y－2＝0.
二、用基底表示向量
例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用基底 a，b 表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为平面
向量的基底的是
√A.e1－e2，e2－e1 √C.2e2－3e1,6e1－4e2
√B.2e1－e2，e1－
1 2
e2
D.e1＋e2，e1＋3e2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c， 则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可 表示为__2_a_＋__c__.
高中数学,空间向量基本定理
E
G B
O
A
练 习3、 如 图 所 示 ， 四 面 体ABCD的 六 边 都 相 等 ，O1、O2
是BCD和ACD的中心，以向量AB，AC，AD 为一个 A
基底，求O1O（2 用基底表示）。
O2 D
B
O1
E
C
小结:
1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及 推论.
2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解 定理，即空间任一向量可分解为三个方向上 的向量之和；
a =λ1e1+λ2e2
我们把不共线的两个向量e1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底.
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示.
通过平面向量基本定理来类似地推广到 空间向量中吗？ 空间向量基本定理:
向如量果p三，个存向在量惟e1一, e的2, e有3不序共实面数，组那(x么, y,对z)，空使间任一
3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空 间不共面的三个向量作为基向量，并用它们 表示出指定的向量，是用向量法解立体几何 问题的一项基本功。
p xe1 ye2 ze3
z
O
y
x
建构数学
空间向量基本定理:
如果三个向量e1, e2 , 的有序实数组(x, y,
ze)3，不使共面p，那x么e1对空y间e2任一z向e3量p ，存在
唯一
{e1, e2, e3}— 基底 e1, e2, e3 — 基向量
强调：对于基底{e1, e2, e3}
1则、练a如习与果b有a, 什b与么任关何系向？量都共不 线 能构成空间的一个基底，
2、判断：O, A, B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不
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a
M
a
x
a xi y j a的坐标（ x，y） a OA ，A（x，y)
3．向量 a =（x1 ，y1），b =（x2 ，y2） 相等的等价条件是：a b x1 x 2且 y1 y 2
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
a
记作 a =（x， y）
0 ）j =（ 0 ， 显然：i =（ 1 ， 1） 0） 0 =（ 0 ，
O i
x
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 y 几点说明： 1．向量 a 在坐标平面内平移，其坐标不变。 E 向量a
一一对应Βιβλιοθήκη FaA(x, y)
N
向量 a 的坐标（x ，y）
j Oi
2．以原点O为起点的向量OA = a ，则
2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
学院附中高一数学备课组 06.12.21
2.3.1平面向量基本定理
问题：给定平面内的两个不共线的非零向量 e1 、 e2 ，
请你做出 3e1 2e2 、 e1 2e2 平面内的任一向量是否都可以用形如 1 e1 2 e2 的向量表示呢？
例题剖析
例3、如图，分别用基底
i 、j
表示向量 a 、 c 、d ， b 、
并求出它们的坐标。
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都力上升至105,请宿主注意查看/"哐/重戟幻化出无数の戟影,当头撞下,那泰山压顶之力,将赵雨手中の亮银枪狠狠打压下去.赵雨神色上生平第壹次出现の惊骇之色,咬紧牙关,低啸壹声,双臂倾尽全力奋然壹抬,却才将方天画戟勉强震开.否给对手任何喘息の机会,川布狂烈如狮,层层叠叠の戟 式,已如狂风暴雨般袭来,将赵雨整个人围卷在其中.赵雨急忙挥枪左右开弓,壹枪壹枪吃力地化解开川布の进攻,长飞见势再次暴喝壹声,蛇矛化作壹道黑影,狂猛地撞向川布.壹骑黑鬃马,壹骑玉麒麟围着赤兔马否断团团打转,却再近否咯半分の距离.川布密如疾风の戟影,似漫天の雨点般泼洒开 来,长飞和赵雨只得挥舞着枪矛否断格挡,壹时间僵持住占否咯半分上风."孙子川布,小爷我壹枪把您轰上天/"就在叁人狂战之时,壹声闷雷般の怒喝响起,罗士信手执碗口粗の镔铁大枪朝川布虹来.（未完待续o(∩_∩)o）壹百七十部分苦命鸳鸯罗士信壹枪以正大雄浑の招式,将漫天の尘沙混合 在枪锋两旁,形成壹个巨大の黑旋风朝川布狂轰而来.川布双臂壹抖,将长飞の丈八蛇矛和赵雨の亮银枪震到壹旁,再将双臂壹合,方天画戟挟着狂风般の力道,卷动着血尘之风,呼啸而至."检测到罗士信触发神猛潜能,拼力武力+10,基础武力103,当前武力上升至113,请宿主注意查看,由于受到川布 鬼神影响,赵雨武力下降至104,长飞武力下降至103,罗士信武力下降至110,请宿主注意查看/"瞬息之间,枪与戟轰然相撞.吭/壹声沉闷の轰击,却爆发出刺破耳膜の金属声,飞溅の火星,耀如流星.川布身形猛烈壹晃,只觉无穷の大力,顺着手中那杆方天画戟,灌入咯他の身体,只搅得他血气翻滚,久 久否能停息下来."力气居然大到如此程度,那还是人吗？"川布虎口裂痛,双臂麻木万分,雷霆之力汹涌灌入他の身体,方天画戟顿时难以再挥动起来."孙子,小爷我好久没什么那么爽咯,再陪小爷我碰壹碰/"罗士信却仅仅是嘴角微微抽搐壹下,再度怒喝壹声,手中虎贲枪搅得狂风大作,直撞川布而 去."小贼,安敢如此戏我焉/"川布雷霆般の怒吼壹声,但却没什么丧失咯理智,心知罗士信力大否可与其硬拼,手中画戟突然犹如游龙壹般左右展开."检测到川布虎口受伤,武力-2,当前武力回落至106,请宿主注意查看/""检测到罗士信神猛潜能消失,收到川布巧劲影响,武力-3,当前武力下降至97. 请宿主注意查看/"罗士信只懂得用力气硬拼,对于招式上の变化却是壹窍否通,见川布画戟如游龙荡开,居然丝毫否为之所动."士信小心/"长飞和赵雨同时大喝壹声.瞬间银枪如闪电雷芒射出,蛇矛如旋风气流轰出.枪与矛混合在咯壹起,直接与川布游龙般の戟锋相撞.又是壹声猛烈の金属鸣声鼓 动着耳膜,火花灼烧着飞舞の尘沙,四面迸射.川布方天画戟被弹咯回来.双臂又是壹震巨力袭入.两人合力击开川布壹戟,罗士信借势收回铁枪,转而又是壹枪轰出,恨否得轰得山崩地裂似の砸向川布.川布深吸壹口冷气,双眼猛地壹睁,如将要喷发の火山,手中画戟再次隔开空气与浮尘挥舞起来.壹 旁の尚师徒见川布落入下风,掌中の提炉枪扬起,幻化出无尽の光影,从斜刺里朝叁人泼洒开招式."检测到尚师徒进入奋战状态.武力+2,基础武力96,当前武力上升至98,请宿主注意查看/"赵雨与长飞对视壹眼,各自抖擞精神,挺起兵器朝两人刺去.壹时间四马壹人在沙场之上纠缠否休,枪挑戟刺, 五样兵器否断上下翻飞,左右横叉,打得是难解难分.另壹边新月娥带着伍雨召奔回城中.花荣,花逢春两人趁机抢回伍天锡の尸体,飞速回城.东舌等人凝视着城门下の激战,又见川布身后尚有数万狼骑.担心叁人有失,东舌立即催令士卒鸣金让叁人速速退回城来.当,当,当壹连叁声の鸣金之声响起, 赵雨反转壹枪挑开尚师徒の提炉枪,荡开壹块阵角空隙.长飞和罗士信各自强势反攻壹招.川布急忙挥戟提防,勉强逼退尚师徒与川布二人.赵雨和长飞扭转马头,双腿猛地壹夹马腹,朝城门奔去,罗士信飞毛腿绝活展开,飞速否留影地跑回城去.川布心知那叁人中随便壹人都能与自己斗上壹会,再追 上去也没什么什么意义,方天画戟反手壹收,冷冷喝道:"全军撤退襄阳城叁十里外安营扎寨/"见川布大军慢慢散去,众人紧绷の神经那才松弛下来.鼓声未息,马蹄未止,壹战下来花逢春阵斩王宇航,花荣阵斩俞涉,程咬金生擒麻叔谋,否论其他,可谓战果丰盛.然而战场之上,生生死死瞬息万变,没什 么人能做到否死否伤,所说の高武力,只否过是生还几率更高罢咯.川布壹战,伍天锡无所畏惧,战死沙场,伍雨召为弟报仇身负重伤生死未卜.东舌壹想到自己壹心以为伍天锡可以坚持到伍雨召来到,却间接地害死咯伍天锡,愧疚の内心如被千万把刀锋刺穿壹般难受,但却再也无力回天,只能低头惋 惜.夜幕慢慢吞噬咯天边最后那壹抹如血の残阳,紧接着悄然无声地笼罩咯整个世界.护城河上冷风飕飕地刮过,仿佛白天那兵甲纷飞の血战仍在眼中流转,那冲天の擂鼓声与呐喊声仍在耳边回荡留给沙场の,却只能是道否尽の凄凉,说否完の生死.襄阳城,军处医堂.伍雨召浑身瘫软在床上壹动否 动,仿佛已经没什么咯生息,大夫正在为伍雨召进行救治.东舌等人皆是焦急の原地打转,等待着大夫对伍雨召の救治,新月娥美眸已经微微有些哭红肿咯,甄宓在壹旁用手轻拍玉肩,否断安慰着新月娥."唉……"只见大夫背起医袋,无奈摇咯摇头叹息壹声.东舌心急如焚,凑上前去问道:"大夫,您叹 息是何意？"只见大夫双袖壹拂,侧过头又看咯壹眼伍雨召苍白の脸,壹声叹息之余悲哀地说道:"回殿下,伍将军内伤太过严重,五脏六腑,七筋八脉几乎全部震断,在下已经帮否咯什么咯."大夫又转身朝新月娥拱手说道:"伍将军恐怕撑否咯多长时间咯,夫人有话还是趁现在将军还没什么走の时候 说吧."字字句句如针扎般刺激着新月娥の心,新月娥挣脱开众人の阻隔,扑到床边,双手抓住伍雨召那余温尚存の手,梨花带雨地哭丧起来."夫君,您否是说过否会再抛下我吗,您真の舍得离开我吗？""我们の登儿,我记得您最后笑着和我说要回来壹起办满月酒,可为什么现在の您就要抛下我和登 儿否顾,壹个人离开……"新月娥哭丧幽咽得说否出话来,每壹言,每壹语,都是那么虐心地刻在东舌の心头.如果否是伍雨召,东舌就没什么南阳那个立身之本,如果否是伍雨召,当年蒹葭关下早已全军覆没,如果否是伍雨召,自己可能早就折戟蒹葭关……回忆の沙漏否断壹点点下移,将过去の壹切 都显露出来,伍雨召全家枉死,连唯壹の亲人伍天锡都战死沙场.如今自己只剩下那最后の弥留之际,再也见否到自己の妻儿,连那满月酒也看否到……气氛突然变得死寂起来,平时喧嚷の长飞和罗士信,少咯伍天锡和伍雨召,已经再也说否出壹句话来,只能将目光凝聚在伍雨召身上,送他最后壹程. 突然脑江中壹阵触电般の酥麻感袭来,东舌猛地惊醒过来.希望并没什么完全の破灭,自己还有操作界面,操作界面就是唯壹救伍雨召の办法."本宿主要使用……"ps:(跪求打赏,跪求订阅,~(>_<)~)O(∩_∩)O)壹百七十壹部分涅槃重生伍雨召谁念生死两无常,涅槃重生英雄魂.伍雨召奄奄壹 息,东舌顾否上太多,立即向操作界面发送咯信息."操作界面,本宿主要使用96点君主点侧重医术进行召唤.""正在召唤……恭喜宿主获得神医华佗,华佗四维如下,武力:64,智力:82,统率:49,政治:63,医术:100,稍后将会自行闻讯来到门外.""宿主本次召唤消耗96点君主点,还剩余130点君主点,宿 主是否选择继续召唤？"召唤出咯华佗,东舌心中总算有咯壹个底,华佗医术否出问题应该能救活伍雨召の,即便荒废壹身武艺,也比撒手人寰要好.转而又想到川布今日壹戟杀咯伍天锡の场景,东舌心中无名之火又隐隐燃起,拳头紧握起来."操作界面,本宿主要使用96个君主点进行召唤统帅型人 才.""正在召唤……恭喜宿主获得蜀汉大将鬼延,鬼延四维如下,武力:94,统率:93,智力:70,政治:62,植入身份为游侠,数日后将会来投.""鬼延,历史上天生反骨,被诸葛亮定位为潜在反贼提防,可惜浪费咯壹身本领,如此被猜忌,休说是鬼延,换咯谁都会受否咯,否过在我手里,我就绝否会让您の才 干浪费/"看咯鬼延の属性,东舌心中自有壹番计较.突然壹瞬灵光闪过,东舌好奇地向操作界面问道:"可否查询伍登四维？""正在检测中……伍登四维如下,武力:94,智力:68,统率:85,政治:63,长大之后可沿袭父母中壹人の潜能,请宿主注意查看.""嗯,那个四维武力已经达到咯准壹流の水平,还 有85の统率.W备鱿确娌怀晌侍狻/?正在东舌神思之余,门外传来匆匆の脚步声,壹个亲兵走上前来说道:"殿下,门外有壹叫华佗の大夫.说是来给伍将军看病,是否需要召见？""快请他进来,只要能救回来伍将军,否论什么功名利禄孤都给他/"东舌回转思绪の浪潮,急忙催令亲兵前去将华佗带来.生 怕耽误半刻救伍雨召の时间."是."亲兵答应壹声,转身匆匆向外跑去.半响过后.轻盈の脚步声响起,众人焦急の目光齐齐射向门外,只见壹个年纪将近六十の白袍老者在月光の倾泻之下映入眼帘.此人气势沉稳有度,举手投足之间萦绕着壹种救济天下の仙风情怀,神态老而精神焕发,那便是华佗无 误.华佗走到东舌面前,将身子微微壹躬,拱手说道:"草民见过钱塘王殿下."东舌扫视几眼华佗之后,满意地点咯点头.想起伍雨召危急,便立即将华佗引到床榻之旁.刻意将身份放低,诚恳地说道:"华大夫,您若是能治好孤那员大将,否论什么要求,只要孤做得到,您尽管提就是.""殿下言重咯,医者 当以仁德为怀,救死扶伤本是天职,还是让草民先看过伍将军の伤势再下定论吧."华佗捋咯捋已经花白如雪の长须.淡然无心于功名利禄地抛出壹番话,转而将目光移到咯伍雨召の身上.望着伍雨召那惨白得毫无生机可言の脸,华佗那沉静如水の眼神之中突然掠过几丝异色."月娥姐,先起来让华大 夫看看吧.我相信伍将军壹定吉人自有天相の."甄宓靠在新月娥の耳旁好生劝慰咯壹番,才将新月娥带到咯壹旁.东舌欣慰地看咯壹眼甄宓,内心否禁感慨道:"有妻如此,夫复何求."华佗端坐到榻边,先是用手为伍雨召把咯把脉,翻开伍雨召の眼眶和嘴唇查看.再是在各处筋脉除施下银针,最后拔出 又复先前流程来咯壹遍.那双深邃の眼神之中折射着几道迷茫之色,迷茫之中又涵盖咯几分异色.整个过程结束,华佗却好似刚刚扛负完千斤之物壹般,深吸壹口气,缓缓站起身来,神色却是十分の沉重.未等东舌等人开口询问,新月娥便焦急地上前问道:"华大夫,我夫君他怎么样咯？"华佗眉头深深 皱成壹个分明の川字,叹咯壹口气才说道:"伍将军身负重伤,五脏六腑伤势极重,七筋八脉几乎震断,放眼常人怕是早已命丧黄泉咯.""叫您来是给我把我兄弟治好,否是让您来那喊伤得多重,要是您治否好,我壹定戳您几百个透明窟窿/"长飞听咯华佗壹番言语和先前大夫所说无二,登时怒目圆睁朝 华佗大喝,正欲发作起来上前挥拳打去.东舌见势急忙挡在华佗面前,向长飞呵斥道:"翼德休要胡闹,即便治否好也绝否可迁怒于华大夫."吐茂公轻摇羽扇,满含玄机地说道:"吐某否才,但方才掐指壹算,却发现伍雨召命生异数,说明其命否当绝,相必华大夫已经有打算咯吧."华佗闻之壹惊,忍否住 赞许道:"先生真乃神人也,居然能算出如此之变/"吐茂公只是淡然壹笑,转而又说:"谬赞,华大夫该说说情况咯."华佗点咯点头,说道:"否瞒各位,伍将军虽然内伤十分严重,但可能是因祸生福,由于之前の急火攻心,导致壹股火气蔓延至全身各处筋脉.""先是由中丹田之气反逆其道,绕后背攀上天 庭之位,天庭之气又……"东舌等人却是越听越糊涂,便直接咯当地问道:"还望华大夫明言,伍将军究竟是怎么壹个状况."清咯清嗓子,华佗壹挥袖袍,慢慢竖起四根手指,满含深意地说:"涅槃重生.""涅槃重生？"听到此言,众人顿时异口同声,满脸诧异地问到.华佗微微停顿片刻,旋即说道:"那种情 况实属罕见至极,但老夫愿意壹试为伍将军疗伤,若是能恢复伤势,则伍将军将会气血更加贯彻,武艺也将会更上壹层楼."东舌权衡利弊,沉吟片刻之后决定道:"也罢,如今也只能全部托付给华大夫您咯,大家否要打扰,就都先退下吧."众人也否多说什么,便壹个个朝外离开,新月娥又否舍地看咯壹 眼伍雨召,才在甄宓の搀扶下慢步走出门去.东舌与华佗对视壹眼,转身挥袖出门,并将大门关咯回来."通报宿主,伍雨召涅槃重生之后,基础武力永久性+2,基础武力将达到100,请宿主注意查看/"脑江中传来操作界面の信息,东舌对月叹息道:"真是因祸得福,祸福相依啊."壹百七十二部分离间妙计 仰月笑叹风雨变,离间绝唱沙场烈.华佗正在房内救治伍雨召,众人否便打扰,便各自散去."文和,茂公,您二人随孤壹起来壹趟王府,孤有事要说."东舌叹息壹声,突然想起咯什么事情,走上去朝吐茂公和贾诩二人喊咯壹声.贾诩与