苏州无锡常州镇江四市调研测试(二)数学juan1试卷
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD
江苏省苏锡常镇四市2021-2022学年度高三教学情况调研(二)数学试题
2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数 学2022.5注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足(1)2i z -=，则z = A .1B .2C .2D .222.已知集合{}2log 4A x x =<，{}22B x x =-<<，则()A B ⋂R C = A .(2,0]-B .[0,2)C .(0,2)D .[2,0)-3.已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，⊥a b ，若()()λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为 A .2B .23C .4D .924.已知函数2()1f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为 A .∅B .(1,0)(0,1)-⋃C .(1,1)-D .(,1)(1,)-∞-⋃+∞5.已知5cos()sin 6παα-=，则tan α= A .3-B .33-C .33D .36.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：222211=1x y a b +()110a b >>与双曲线2C ：222222=1x y a b -22(00)a b >>，有相同的焦点1F ，2F ，2C 的渐近线分别交1C 于A ，C 和B ，D 四点，若多边形21ABF CDF 为正六边形，则1C 与2C 的离心率之和为 A .31- B .2 C .31+D .237.已知实数a ，b ，c 满足12ln 2ba c-==，则下列关系式中不可能成立的是A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >> 8.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A =“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B =“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C =“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则A .A 与B 为对立事件 B .A 与C 互斥C .A 与C 相互独立D .B 与C 相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试卷
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知非零向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（）A．B．C．-1D．二、多选题(★★) 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则(★★★) 10. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期(★★★★) 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（）A．，B．为定值C．的最小值50D．的最大值为三、填空题(★★★) 12. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 ____________ . (★★★) 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 ________ .(★★★) 14. 如果函数在区间[ a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[ a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ________ ；如果函数，且，，则实数 ________ .四、解答题(★★) 15. 如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．(★★)16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？阅读附：，．0.1k 2.706(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．(★★★★) 17. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.(★★★★★) 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.(1)求C的方程；(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，| MN|存在最小值，试求出这个最小值.(★★★★) 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0
2023年江苏省苏锡常镇四市高考数学调研试卷(一)+答案解析(附后)
2023年江苏省苏锡常镇四市高考数学调研试卷（一）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D. R2. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为( )A. 10B.C.D. 23. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则( )A. B. C. D.4. 已知正四面体的棱长为1，点O为底面ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为( )A. B. C. D.5. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是( )A. B. C. D.6. 在中，，的角平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则( )A. B. C. D.7. 已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值作代表分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )A. B.C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为10. 已知正数a，b满足，则( )A. 的最小值为B. ab的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为11. 已知函数，则下列结论正确的有( )A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B. 若，则当时，的取值范围为C. 若在区间上恰有3个极大值点，则D. 若在区间上单调递减，则12. 正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则( )A. BF与DE垂直B. BF与DE一定是异面直线C. 存在点E，F，使得三棱锥的体积为D. 当E，F分别是，的中点时，平面AEF截正方体所得截面的周长为13. 的展开式中的系数为______ .14. 在中，已知，，BE与AD交于点若，则______ .15. 已知圆C：，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则______ .16. 已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则______ .17. 已知等比数列的各项均为正数，且，求的通项公式；数列满足，求的前n项和18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的值；若，，求的面积.19. 在三棱柱中，平面平面ABC，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.求证：平面；点P在线段上异于点，，AP与平面所成角为，求的值.20. 某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.若，，试估算该小区化验的总次数；若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.注：当时，21. 已知直线l与抛物线：交于两点，，与抛物线：交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.若直线l过点，且，求直线l的方程；①证明：；②设，的面积分别为，为坐标原点，若，求22. 已知定义在上的两个函数，求函数的最小值；设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据补集的定义和运算求出B的补集，结合并集的定义和运算即可求解．本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．【解答】解：由，得，，又，故选：2.【答案】D【解析】【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的长度为故选：3.【答案】D【解析】解：由题可得，，所以故选：根据古典概型概率公式求出，，然后利用条件概率公式即得．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：正四面体的棱长为1，正四面体的高为，由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为r，则，，故选：由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即可求解．本题考查正四面体的内切球问题，等体积法思想的应用，方程思想，属中档题．5.【答案】D【解析】解：当时，，因为，，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由可得，解得，故选：利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：因为，即，在中，作AB边上高，垂足为H，则故选：利用面积之比可得，作AB边上高，垂足为H，即可求本题主要考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，设，，则，又，两式做差可得，即，所以故选：根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解．本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，，当时，，解得，当时，，则，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，，则，又，数列为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，，又，则，又，则，当n为奇数时，，即，则，解得；当n为偶数时，，即，解得；综上所述，实数a的取值范围为故选：根据与的关系结合等比数列的概念可得，可得，然后结合条件可得，分类讨论，即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，，A正确；对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，所以，B错误；对于C，70分以下的人数为人，C错误；对于D，平均成绩，D正确，故选：根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，正数a，b满足，当且仅当时取等号，解得，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误．故选：利用基本不等式结合条件逐项分析即得．本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由题可得，对于选项A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，故A选项错误；对于选项B，，，则，，所以，故B选项正确；对于选项C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得故C选项正确；对于选项D，，则，因为单调递减，所以，，且，即，解得，，且，当时，，当时，，故D选项错误．故选：由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象变换，正弦型函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】【分析】设，利用坐标法可判断A，利用特值法可判断B，根据体积公式表示出三棱锥的体积可判断C，作出截面结合条件可得周长判断本题考查了立体几何的综合应用，属于较难题．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，A：由题可得，所以，所以，即，故A正确；B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时BF与DE不是异面直线，故B错误；C：由，可得，则，由于，故C正确；D ：直线EF与，分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，则五边形ANFEM为平面AEF截正方体所得的截面，因为E，F分别是，的中点，所以易得，故可得，因为，所以，可得，同理可得，所以五边形ANFEM的周长为，故D正确．故选：13.【答案】【解析】解：因为的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为故答案为：利用二项展开式的通项公式求解．本题主要考查了二项式展开式中的指定项的系数求解，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得．本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于基础题．【解答】解：因为，，所以，，又，所以，，又BE与AD交于点O，所以，所以，即故答案为：15.【答案】【解析】解：易知圆心，半径，取AB中点D，则，因为，所以，所以，则，又，所以，即，故故答案为：根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解．本题主要考查圆的弦长的求解，考查向量数量积的性质的应用，属于中档题．16.【答案】2【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．【解答】解：因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以故答案为：17.【答案】解：，，，解得，；由题可知，，，两式相减可得：，【解析】根据等比数列基本量的运算可得，q，即可得数列的通项公式；由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得．本题考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，错位相减法求和，属中档题．18.【答案】解：若，则，，，，，解得或，又，；若，由，可得，，，又，，，，是以C为顶角的等腰三角形，，的面积为【解析】本题考查解三角形，三角函数公式的应用，三角方程的求解，三角形面积的求解，属中档题．根据三角恒等变换可得，结合条件可得关于的方程，进而即得；根据条件可得，进而可得，然后根据三角形面积的公式即得．19.【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，，平面，，所以平面解：取AB的中点O，连接，四边形为菱形，且，所以因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，又平面ABC，所以又因为，，，平面，所以平面取BC中点D，连结OD，以O为原点，OB，OD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，设平面的一个法向量为，所以，即，令，可得平面的一个法向量设，可得点，，由题意，解得或舍，即【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．根据线面垂直的判定定理证明；利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解．20.【答案】解：设每位居民需化验的次数为X，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，，，所以2000名居民总化验次数约为次；设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，所以，，所以，每位居民的化验费用为：元，当且仅当，即时取等号，故时，每位居民化验费用的期望最小．【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．设每位居民需化验的次数为X，则X可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得．21.【答案】解：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立，整理可得，可知，，则，则，由题意可知，整理可得：，解得，所以直线l的方程为：，即；①证明：设直线l的方程为，，设，联立，整理可得：，可得，，所以，即，联立，整理可得：，可得，，所以，即，所以可证得：；②解：由①可知，，即，即，因为，所以，所以，即，可知M为AD的中点，所以，代入抛物线的方程可得，解得，，，因为，，所以【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用.显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程，与抛物线联立，可得两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系，求出，的表达式，代入中，由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程；①设直线l的方程，分别与两条抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系及C，D的纵坐标的关系，进而可证得都是成立；②由①可得A，C的纵坐标的关系，及B，D的纵坐标的关系，由，可得直线l与x轴的交点M为AD的中点，可得A，D的坐标的关系，代入抛物线的方程，可得A，B，C，D 的纵坐标的中，进而求出面积之比．22.【答案】解：因为，，所以，，则，令，解得，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；由，可得，作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点，设，则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且，所以，由，可得，且，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，设，则，函数在上单调递增，又，则，解得，则，即，所以【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，本题的关键是构造函数，进而把问题转化为求最值问题，然后利用导函数结合条件即得，题目较难.由题可得，然后利用导数求函数的最值即得；构造函数，题设等价于恒成立，求实数k 的最大值，然后利用导数研究函数的性质，求出k的最大值进而即得．。
苏南四市(苏锡常镇)~高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版答案))
2015/05/042015年苏锡常镇·高三数学（二模）试卷一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=I ，则实数a 的值是 ▲ 2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值是 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲ 6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点 到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-r r r ，若()2c a b -⊥r r r ，则实数k = ▲ 8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲ 10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依此成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x +==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（14×3+16×3=90分）15．已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若33(0,),()26f ππαα∈+=，求()2f α的值16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,2AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向用与B 相距102海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C 相距83海里处有一个暗礁E ，暗礁E 周围2海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意两不同项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ的值；（2）如果2015A ∈，求μ的值；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【答案】30
【解析】用 减去成绩在 以外的学生的频率，将所得结果乘以 ，求得成绩在 以内的学生人数.
【答案】24
【解析】利用顶点转化的方法，由 计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10．已知定义在R上的奇函数 的周期为2，且x [0，1]时， ，则a＋b＝_______.
【答案】0
【解析】根据函数 的奇偶性、周期性求得 的值，由此列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线 的顶点，则a＝______.
【答案】1
【解析】先求得抛物线 的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得 的值.
输出的y的值为﹣1.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.
【答案2
【解析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，求得男生和女生人数的比值.
年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准
年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADADBCBCCC二、填空题（每小题5分，满分30分） 11． 12. 70 13. [2,5] 14. －2 15.1336三、解答题17．（1）21111()cos sin (cos21)sin 22222f x x x x x x ωωωωω=+⋅-=++- 当28x ππ-≤≤时，32.442x πππ-≤+≤∴当242x ππ+=-时，())4f x x π+取得最小值为（2）令24x k ππ+=，得4,228k k x k Z ππππ-==-∈ ∴当0k =时，8x π=-，当1k =时，38x π=，∴满足要求的对称中心为(,0).8π-18．解：（1）取AB 中点O ，连接1.A O 设.AB a = AD ∴⊥平面11,AA B B AD ⊂而ABCD∴平面11AA B B ⊥平面ABCD .111,AB AA A B a AO AB ===∴⊥， 1AO ∴⊥平面ABCD . 1A AB ∴∠为直线1A A 与平面ABCD 所成的角. 160A AB ∠=，∴直线1A A 与平面ABCD 所成角的大小为60（2）过O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连结CH .//,OC DA DA ⊥平面11AA B B ，CO ∴⊥平面11.AA B BCHO ∴∠为二面角1C A B A --的平面角.在正1A AB ∆中，1sin sin 60224a OH OB A BA OB =∠==⋅= 在RtCOH ∆中，,tan OCOC a CHO OH=∠===∴二面角1C A B A -- （3）存在。
(无锡专版)江苏省无锡市2023-2024学年三年级数学上册期末综合素养测评调研试卷一(苏教版)
保密★启用前江苏省无锡市2023-2024学年三年级数学上册期末综合素养测评调研试卷一考试分数：100分；考试时间：90分钟注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共16分）1．下列哪个物体最重？（）。
A．500克盐B．2千克桃子C．1千克鸡蛋D．1000克白糖2．在下列图形中，有（）个是轴对称图形。
A．4 B．3 C．2 D．13．790×6的积最接近（）A．4200 B．4800 C．5000 D．40004．用两个长5厘米，宽2厘米的长方形拼成如下图形，可以列式（5＋2＋2）×2计算它的周长的是（）。
A．B．C．D．5．一个长方形长9厘米，宽6厘米，如果（），就变成了一个正方形．A．长增加3厘米B．宽增加3厘米C．宽减少3厘米D．宽增加3分米6．食堂里买来菜油90千克，吃了36千克，剩下的菜油每天吃9千克，还可以吃________天．( )A．6 B．7 C．8 D．547．甲给乙10元钱，甲乙的钱数就相等，原来乙比甲（）元。
A．多10 B．少10 C．多20 D．少208．下面四个分数，哪个最大？（）。
A．13B．15C．19D．23二、填空题（共16分）9．钟表分针的运动是( )现象，活动推拉门是根据( )现象制成的。
（填“平移”或“旋转”）10．1杯水连杯重540克，喝掉半杯水后，连杯重390克，原来杯子中的水重( )克，杯子重( )克。
11．一台电扇190元，3台电扇大约( )元。
12．有一块蛋糕，把它平均分成8份，小红吃了58，小军吃了38，他们一共吃了这块蛋糕的()()，也就是正好是（）块。
13．下图中涂色部分表示150，那么空白部分表示( )；整个图形表示( )。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(带答案解析)
（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标.
18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， 所对的圆心角为 .记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）.
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则 ＝_______.
13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且 ，则a的取值范围为_______.
（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 ，求 的值.
25．已知数列 中， ， (n ).
（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和 ；② 和 ；
（2）当n≥3时，证明： .
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
根据集合 中的元素，判断出 的值.
【详解】
∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.
4．﹣1
【解析】
【分析】
运行循环结构代码，由此计算出输出的 的值.
【详解】
2020-2021学年江苏省四市高三教学调研(二)数学试卷及答案解析
江苏省四市高三教学情况调研（二）数 学 Ⅰ 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲．4．已知直线20x -=为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +„所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y y x „所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为面积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且sin α=，tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，若满足2cos =2b A c ，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，则△PBC 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩…若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．14．已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量m ,1)x =-,n 2(sin ,cos )x x =．（1）当π3x =时，求⋅m n 的值；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅mn 12=-，求cos2x 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC BC =，90ACD ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=u u u r u u u r，PB BF μ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值；②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加）试题注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并．在相应的．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2DE BE =，求证：23OC BC =．B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为[]2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=（R a ∈）．若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c++++…．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n nn n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ， 其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，…． （1）试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．数学参考答案一、填空题．1．{}12x x -<<2．1 3．19.7 45．14 6．347．3 8．9．1710．-1 11．π612．3213．1(,6)(,0]4-∞--U14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当π3x =时，m 1)=-，n 1)4=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分（2）⋅m n 2sin cos x x x -=11π12cos2sin(2)2262x x x --=--， ………………………8分若⋅m n 12=，则π1sin(2)1262x =---，即πsin(2)6x -=，因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --剟，所以πcos(2)6x -=， (10)分则ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=--⨯ (12)分1=． (14)2分16．（1）因为平面ABC⊥平面ACD，90∠=︒，即CD⊥AC，ACD平面ABC I平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC， (3)分又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB，………………………………………………4分因为AC BC=，E为AB的中点，所以CE⊥AB， (6)分又CE CD CI，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，=所以AB⊥平面EDC． (7)分（2）连EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，………………………………………………………………10分同理可证EG∥平面BCD，且EF I EG=E，EF⊂平面BCD，EG⊂平面BCD，所以平面EFG∥平面BCD， (12)分又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分 17．解：（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（05x 剟）．………………4分（2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭6743-…．……………………………………8分当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．.................................10分 故()max 43L x =．........................................................................12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． (14)分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；.....................10分 故()max 43L x =． (12)分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． (14)分18．解：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， (2)分令()0f x '=，得x =0a <0>，所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， (4)分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1，所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分 （2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解， 所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b =图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=，令()0m x '=，得x =14分当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <…，即ab 的取值范围为33e e ]（，．…………16分19．解：（1）由题设知=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分(1,2代入椭圆C 得到2211122+=b b，则21=b ，22=a ，…………………2分∴22:12x C y +=． (3)分（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k--+==++． ……………5分由λ=u u u r u u u r PA AF ，μ=u u u r u u u r PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++（定值）．………9分②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积S =，……………10分当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k ==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k==++， …………………12分△AOB 的面积2OA OBS ⋅== (13)分令[)211,t k =+∈+∞，S ==， 令1(0,1)u t=∈，则23S ⎡=⎢⎣⎭． ……………15分综上所述，23S ⎡∈⎢⎣⎦． (16)分20．解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++，∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分（2）①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ． (9)分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==． 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．ο1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分ο2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +„，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +„，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +„，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE =g，即2()R OC R x =+g ，① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =g，即24()x x R x =+g ，② ………6分∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+g ，35ROC =， ……………………………8分∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． (10)分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=． ……………………………………4分1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒=，∴曲线D20y a +-=， ……………………………………6分曲线C 圆心到直线D的距离为2d ==， (8)分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分（少一解，扣一分）D ．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵22b a b a +…，22c b c b +…，22a c a c +…，∴222b c a a b c a b c +++++222a b c ++…， ………………………………………6分∴222b c a a b c a b c++++...， (10)分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++…，∴222b c a a b c a b c++++...， (10)分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分（2）X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=； (1)分0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+-2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； (2)分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． (3)分（2）猜测：()!n f x n =． (4)分而!!!()!(1)!()!kn n n kC kk n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC nk n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． (5)分用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--=L ． 当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++---L 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---L 011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+---L L0101111111[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k kk k k k k k kkkk x C x C C x C C x k k x C x Cx k Cx k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----L L0101111111[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---L L L010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+---L L L （）由归纳假设知（）式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n 成立． ………………………………………………………10分。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合 A＝{1，2}， B＝{﹣1， a}，若 A B＝{﹣1， a，2}，则 a＝_______.(★★) 2. 若复数 z满足(1﹣ i) z＝1＋ i，其中 i是虚数单位，则 z的实部为_______.(★) 3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 _______ .(★★) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y的值为 _______ .(★) 5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.(★★) 6. 函数的定义域为_______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y 2＝4 x的焦点是双曲线的顶点，则 a＝______.(★★) 8. 已知等比数列的前 n项和为，，，则＝_______.(★) 9. 已知正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为6，点 M是对角线 A 1 C上靠近点 A 1的三等分点，则三棱锥 C— MBD的体积为_______.(★★) 10. 已知定义在 R上的奇函数的周期为2，且 x [0，1]时，，则 a＋ b＝_______.(★★) 11. 已知锐角满足，则＝_______.(★★) 12. 如图，在△ ABC中，∠ ABC＝， AB＝1， BC＝3，以 AC为一边在△ ABC的另一侧作正三角形 ACD，则＝ _______ .(★★★★) 13. 在平面直角坐标系 xOy中， AB是圆 O： x 2＋ y 2＝1的直径，且点 A在第一象限；圆 O 1：( x﹣ a) 2＋ y 2＝ r 2( a＞0)与圆 O外离，线段 AO 1与圆 O 1交于点 M，线段 BM与圆 O交于点 N，且，则 a的取值范围为_______.(★★★★) 14. 已知 a， b R， a＋ b＝ t（ t为常数），且直线 y＝ ax＋ b与曲线（ e 是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对( a， b)唯一存在，则实数 t 的取值范围为_______.二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且 bsin2 A＝ asinB. （1）求 A；（2）求 cos( B＋)＋ sin( C＋)的最大值.(★★★) 16. 已知在四棱柱 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD是菱形，且平面 A 1 ADD 1⊥平面 ABCD， DA 1＝ DD 1，点 E， F分别为线段 A 1 D 1， BC的中点.（1）求证：EF∥平面 CC 1 D 1 D；（2）求证：AC⊥平面 EBD.(★★★) 17. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：( a＞ b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P(0，1)的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B.己知在椭圆 C上存在点 Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求 Q的坐标.(★★★★) 18. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 OE， OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A， B.现规划修建一条新路（由线段 MP，，线段 QN三段组成），其中点 M， N分别在 OE， OF上，且使得MP， QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P， Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求 QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.(★★★★★) 19. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且对任意 n ，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜ i＜ j)成等差数列，求正整数 i， j.(★★★★★) 20. 已知函数，， m， n R. （1）当 m＝0时，求函数的极值；（2）当 n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求 m的取值范围；（3）当 n＞0时，判断是否存在正数 m，使得函数与有相同的零点，并说明理由. (★★) 21. 已知点 M(2，1)在矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A的特征值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为( 为参数).以原点 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为.（1）求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）点 P是曲线 C上的动点，求 P到直线 l的距离的最小值.(★★★) 23. 已知 a， b， c是正数，求证：对任意 R，不等式恒成立.(★★★) 24. 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， AB＝2，AD＝ AP＝3，点 M是棱 PD的中点.（1）求二面角 M— AC— D的余弦值；（2）点 N是棱 PC上的点，已知直线 MN与平面 ABCD所成角的正弦值为，求的值. (★★★★★) 25. 已知数列中，，( n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和；② 和；（2）当n≥3时，证明：.。
2021年江苏省苏锡常镇(苏州、无锡、常州、镇江)四市高考数学教学情况调研试卷(一)(一模)
2021年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学教学情况调研试卷（一）（一模）一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝[2，4]2x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．∅B．{2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）“”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，排列起来，天干在前，天干由“甲”起，地支由“子”起，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，以此类推，排列到“癸酉”后，即“甲戌”，“乙亥”，即“丙子”…，以此类推．今年是辛丑年，则中国共产党成立的那一年是（）A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戌年4．（5分）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．155．（5分）函数f（x）＝sin xln（﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）过抛物线y2＝2x上一点P作圆C：x2+（y﹣6）2＝1的切线，切点为A，B，则当四边形P ACB的面积最小时（）A．B．C．（2，2）D．7．（5分）若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2），则P（Y＞4）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.88．（5分）若f（x）＝，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数，则（）A．函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到B．函数y＝f（x）的图象关于直线轴对称C．函数y＝f（x）的图象关于点中心对称D．函数y＝x2+f（x）在上为增函数10．（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则A2F2＝PF2D．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＞2a11．（5分）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，则（）A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上12．（5分）已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则（）A．6z＜3x＜4y B．C．x+y＞4z D．xy＜4z2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（0，﹣2），＝（﹣1，λ），若（2﹣）∥，则实数λ＝．14．（5分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣i；丙：z•＝4＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝．15．（5分）若2sin x+2cos x＝1，则sin（﹣x）（2x+）＝．16．（5分）四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积；这样的不同四面体的个数为．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上．（1）若∠BAD＝30°，求∠C；（2）若CD＝2BD，AD＝4，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，且|q|＞1n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，36，192}中．（1）求q，并写出数列{a n}的一个通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．20．（12分）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．21．（12分）已知O为坐标系原点，椭圆C：＝1的右焦点为点F （1）过点（4，0）的直线交椭圆C于D，E两个不同点，求该直线的方程；（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为．直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+mlnx（m∈R）．（1）当m＝2时，一次函数g（x）对任意x∈（0，+∞），f（x）（x）≤x2恒成立，求g（x）的表达式；（2）讨论关于x的方程＝x2解的个数．2021年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学教学情况调研试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝[2，4]2x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．∅B．{2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤2}【分析】求出集合B，进而求出∁U B，由此能求出集合A∩（∁U B）．【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝[2，B＝{x|log2x＞4}＝{x|x＞2}＝（2，+∞），∴∁U B＝（﹣∞，4]，则集合A∩（∁U B）＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2．（5分）“”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由同角三角函数的关系式：sin2α+cos2α＝1，知sinα可求cosα，知sinα＝cosα，可求sinα即可得到结论．【解答】解：①当sinα＝时，∵sin5α+cos2α＝1，∴cosα＝±，∴sinα＝±cosα．②当sinα＝cosα时，∵sin2α+cos2α＝7，∴或，∴sinα＝是sinα＝cosα的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，根据同角三角函数的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论，属于基础题．3．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，排列起来，天干在前，天干由“甲”起，地支由“子”起，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，以此类推，排列到“癸酉”后，即“甲戌”，“乙亥”，即“丙子”…，以此类推．今年是辛丑年，则中国共产党成立的那一年是（）A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戌年【分析】由题意可知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，利用等差数列的性质求解．【解答】解：由题意可知，天干是公差为10的等差数列，所以100÷10＝10为辛年，100÷12＝8……4，则100年前可得到为辛酉年，故选：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，考查了等差数列的性质，是基础题．4．（5分）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+6＝•x5﹣r，分别令8﹣r＝3，5﹣r＝6，3，故（3﹣8x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝sin xln（﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，再计算f（0）的值，即可作出选择．【解答】解：∵f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln（+x）＝﹣sin x•ln﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，排除选项B和D，又f（0）＝sin0•ln1＝2，∴排除选项C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6．（5分）过抛物线y2＝2x上一点P作圆C：x2+（y﹣6）2＝1的切线，切点为A，B，则当四边形P ACB的面积最小时（）A．B．C．（2，2）D．【分析】由圆的方程可得圆心C的坐标，及半径r的值，设P的坐标，求出|PC的表达式，求导求出|PC|的最小值时P的坐标，当四边形P ACB的面积最小时即|PC|最小，可得P的坐标．【解答】解：设P（，a），7），|PC|＝＝，设y＝+a2﹣12a+36，y'＝a3+6a﹣12＝（a﹣2）（a2+8a+6），a＞2时y'＞4，函数y单调递增，函数y单调递减，所以a＝2时y min＝+26﹣12×2+36＝20，S四边形P ABC＝2S△P AC＝8×|PA|•||AC|，而|AC|为定值r＝7，所以|P A|最小时面积最小，而|P A|＝，此时a＝4，即P（2，故选：C．【点评】本题考查圆的性质及直线两点间的距离的公式的最值的求法，导数的应用，属于中档题．7．（5分）若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2），则P（Y＞4）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8【分析】利用P（X≥1）＝0.657，1﹣（1﹣p）3＝0.657，解得p．再利用P（Y＞4）＝，即可得出．【解答】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴3﹣（1﹣p）3＝3.657，即（1﹣p）3＝8.343，解得p＝0.3．∴P（4＜Y＜2）＝p＝0.6，则P（Y＞4）＝＝＝2.2，故选：A．【点评】本题考查了二项分布与正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）若f（x）＝，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）【分析】分别对x＝0，x＝1，0＜x＜1，x＞1，x＜0讨论，化简不等式由此即可求解．【解答】解：（1）当x＝0时，xf（x﹣1）＝2成立，（2）当x＝1时，xf（x﹣1）＝f（0）＝6成立，（3）当x＞0时，xf（x﹣1）＝x[（x﹣6），即（x﹣5），①当3＜x＜1时，不等式化为（x﹣1）4≤16，解得0＜x＜1，②当x＞8时，不等式化为（x﹣1）4≥16，解得x≥3，（4）当x＜0时，xf（x﹣1）＝x[（x﹣2），即（x﹣5），即（x﹣5）4≥16，解得x≤﹣1，综上，不等式xf（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[7，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的性质，涉及到分类讨论思想以及不等式的求解，考查了学生的运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数，则（）A．函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到B．函数y＝f（x）的图象关于直线轴对称C．函数y＝f（x）的图象关于点中心对称D．函数y＝x2+f（x）在上为增函数【分析】分别对所给的命题逐个分析，由函数的单调性，及平行移动可判断命题的真假．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+）＝sin[6（x+个单位可得y＝sin5x）＝sin[2（x+个单位得到；B中，x＝时+）＝sin，所以可得x＝，所以B正确；C中，x＝﹣时）+，所以（﹣，所以C正确；D中，0＜x＜时2单调递增，＜6x+＜）单调递增时，函数y＝x2+f（x）在上为增函数；故选：BCD．【点评】本题考查三角函数的性质及命题的真假的判断方法，属于中档题．10．（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则A2F2＝PF2D．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＞2a【分析】利用OF2的中垂线与双曲线有交点，得出a和c的不等关系，求出e的范围即可判断选项A；利用正三角形求出PF2＝OF2＝OF1＝c＝2，进而得到，利用双曲线的定义求出a，结合a，b，c的关系求出b2，即可判断选项B；分别求出F2A2和F2P，比较即可判断选项C；不妨设P，Q均在第一象限，由双曲线的定义进行分析即可判断选项D．【解答】解：对于A，因为PO＝PF2，所以OF2的中垂线与双曲线有交点，解得e≥2；对于B，因为△POF6是面积为的正三角形2＝OF3＝OF1＝c＝2，解得，所以，故，故选项B正确；对于C，因为A2为双曲线的右顶点，则F5A2＝c﹣a，又PF2⊥x轴，则F4P＝，所以F2A3≠F2P，故选项C错误；对于D，若P为右顶点2P与双曲线的渐近线交于点Q（5，0）1﹣QF5|＝0＜2a，故选项D错误．故选：AB．【点评】本题以命题的真假为载体考查了双曲线的性质的应用，解题的关键是掌握双曲线的定义、性质以及相关的解题方法，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11．（5分）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，则（）A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上【分析】利用平行公理判断选项A，利用线线位置关系判断选项B，利用三棱柱的结构特征判断选项C，D．【解答】解：对于A，B，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，取BC，ED的中点G，H，AH，则FG⊥BC，AH⊥DE，GH⊥BC，所以GH∥BE∥CD，AF⊥DE，故选项A；对于C，新几何体为三棱柱，故选项C错误；对于D，新几何体为斜三棱柱，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了空间组合体的理解，主要考查了棱锥和棱柱的结构特征，属于基础题．12．（5分）已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则（）A．6z＜3x＜4y B．C．x+y＞4z D．xy＜4z2【分析】化指数式为对数式，求得x，y，z，再由对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由于正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，设5x＝4y＝12z＝t，t＞1，则x＝log5t，y＝log4t，z＝log12t，对于A，＝＜1，＝＜1，则6z＜6x＜4y，故A正确；对于B，，同理，，∴≠log t12，故B错误；对于C，x+y﹣7z＝log3t+log4t﹣2log12t＝＝lgt（）＝，∴x+y＞4z；对于D，xy﹣＝＝＞32，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（0，﹣2），＝（﹣1，λ），若（2﹣）∥，则实数λ＝﹣3．【分析】推导出＝（2，6），由（2﹣）∥，列方程能求出λ．【解答】解：∵向量＝（1，＝（0，＝（﹣7，∴＝（2，∵（5﹣）∥，∴，解得λ＝﹣3．∴实数λ＝﹣3．故答案为：﹣6．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14．（5分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣i；丙：z•＝4＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝1+i．【分析】由题意可设z＝a+bi（a＞0，b＞0），分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出a，b的值，得到复数z．【解答】解：由题意可设z＝a+bi（a＞0，b＞0），∴＝a﹣bi，∴＝5a，，＝a2+b2，＝，∴丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确、乙、丙可以知二推一，∴甲丁正确，此时a＝2，b＝1，故答案为：1+i．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了复数的运算，是高考新题型，属于基础题．15．（5分）若2sin x+2cos x＝1，则sin（﹣x）（2x+）＝．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：2sin x+2cos x＝1，所以，整理得，故，，故sin（﹣x）•cos（2x+．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（5分）四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积；这样的不同四面体的个数为3．【分析】可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，求出该三棱锥的高为h＝，由此能求出其体积；1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了已求体积的正三棱锥外，还可以是：四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥．【解答】解：四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为5的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，该三棱锥的高为h＝＝，则体积V＝＝，1和2可以构成的三角形有：边长为7的正三角形，边长为2的正三角形，2，3的三角形，除了已求体积的正三棱锥外，还可以是：四个1，2，3的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，8，2的三角形拼成的三棱锥，综上这样的不同四面体的个数为3．故答案为：，8．【点评】本题考查四面体的体积，考查空间想象能力，是中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上．（1）若∠BAD＝30°，求∠C；（2）若CD＝2BD，AD＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求∠BDA，然后结合三角形的内角和可求；（2）由勾股定理先求出AC，进而可求cos C，再由余弦定理可求BD，AB，然后结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）设BD＝a，则AB＝a，△ABD中，由正弦定理得，＝，即，所以sin∠BDA＝，由题意得∠BDA为钝角，所以∠BDA＝，∠ADC＝＝，（2）设BD＝a，则AB＝a，△ABC中，AC＝＝＝a，所以cos C＝＝，cos C＝＝＝，解得a＝2，所以AC＝4，AB＝3，所以S△ABC＝＝＝12．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，且|q|＞1n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，36，192}中．（1）求q，并写出数列{a n}的一个通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【分析】（1）直接利用集合中的各项，观察出部分项成等比数列，进一步求出数列的通项公式；（2）利用等比数列的通项公式，进一步求出数列的和，最后确定数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【解答】解：（1）等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，数列{a n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，48，根据观察得知：M＝{﹣96，﹣24，48，48，192；所以．证明：（2）由（1）的通项公式，根据等比数列的前n项和公式：，所以，，则，，故2S n＝S n+1+S n+8，故S n+1，S n，S n+2，构成等差数列；【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义和性质的应用，等比数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．【分析】（1）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值；（2）用点到平面距离判断点是否在平面内．【解答】解：（1）取AD中点O，连接OP，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD，因为BC∥AD，AB⊥AD，所以四边形ABCO为边长为1的正方形，所以OC⊥AD，又因为PC＝5＝OP2+OC2，所以PO⊥OC，所以OA、OC，建立如图所示的空间直角坐标系，A（4，0，0），6，0），1，8），0，1），平面P AC的法向量为＝（2，1，＝（1，4，所以直线PB与平面P AC所成角的正弦值为＝＝．（2）连接AF，D（﹣2，0，E（﹣，0，），，），＝（﹣，，），点F到平面P AC的距离为＝＝6．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．20．（12分）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．【分析】（1）设甲方案检测的次数是X，则X∈{1，2，3，4，5}，乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2，3}，分别求出对应的概率，然后由P（X2Y2+X3Y3）＝P（X2）P（Y2）+P（X3）P（Y3），求解即可得到答案．（2）利用期望的计算公式分别求出E（X）和E（Y），比较即可得到答案．【解答】解：（1）由题意，可设甲方案检测的次数是X，2，3，7，5}，设乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2，方案甲与方案乙相互独立，，，，用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则P（D）＝P（X2Y5+X3Y3）＝P（X3）P（Y2）+P（X3）P（Y3）＝＝，所以这两种方案检测次数相同的概率为；（2）由（1）可知，，所以E（X）＝＝，又，所以E（Y）＝＝，所以E（Y）＜E（X），所以方案乙检测总费用较少．【点评】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．21．（12分）已知O为坐标系原点，椭圆C：＝1的右焦点为点F （1）过点（4，0）的直线交椭圆C于D，E两个不同点，求该直线的方程；（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为．直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线为定值．【分析】（1）设直线DE的方程，与椭圆联立求出两根之积，由以线段DE为直径的圆经过原点O，可得•＝0，由两根之积可得斜率k的值；（2）由椭圆可得右焦点F的坐标及准线n的方程，由题意可得直线l与椭圆相切，设直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0可得参数的关系，由题意可得M，N的坐标，求出|FM|2，|FN|2的比，将参数的关系代入可证得为定值．【解答】解：（1）设直线DE的方程为：y＝k（x﹣4），设D（x1，y5），E（x2，y2），联立整理可得（1+6k2）x2﹣32k8x+64k2﹣4＝8，Δ＝322k4﹣5（1+4k8）（64k2﹣4）＞2，x1+x2＝，x1x2＝y1y3＝k2[x1x4﹣4（x1+x3）+16]＝，所以以线段DE为直径的圆过原点O，所以可得•，即x1x4+y1y2＝7，+＝0，所以直线DE的方程为：y＝±（x﹣4）；（2）证明：由题意可得右准线的方程为：x＝＝，离心率e＝，由题意直线l上只有一点到焦点的距离与到准线的距离为e＝，即直线l上有一点位于椭圆上，所以直线l与椭圆相切，设直线l的方程为：y＝kx+m联立，整理可得：（5+4k2）x3+8kmx+4m4﹣4＝0，Δ＝64k5m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣4）＝6，可得m2＝1+8k2，因为右焦点F（，3）代入直线l中：y＝，所以M（，k+m），|FM|＝k+m，将x＝代入直线l中可得：y＝，所以N（，，所以|NF|4＝（﹣）2+（k+m）3＝k2+km+m8+，＝，将m5＝1+4k4，所以可得＝＝，所以可证得：为定值．【点评】本题考查求以线段为直径的圆的性质，直线与椭圆的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+mlnx（m∈R）．（1）当m＝2时，一次函数g（x）对任意x∈（0，+∞），f（x）（x）≤x2恒成立，求g（x）的表达式；（2）讨论关于x的方程＝x2解的个数．【分析】（1）当m＝2时，f（x）＝1+2lnx，设h（x）＝x2﹣2lnx﹣1（x＞0），可得h′（x）＝，研究其单调性可得h（x）min＝h（1），利用1＝f（1）≤g（1）≤1，可得g （1）＝1，设g（a）＝a（x﹣1）+1，由g（x）≤x2，进而得出结论．（2）原方程可变为mlnx2﹣＝0，构造函数n（t）＝mlnt﹣，转化为函数的零点问题，结合导数及函数性质可求．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝1+4lnx，设h（x）＝x2﹣2lnx﹣6（x＞0），则h′（x）＝2x﹣＝，令h′（x）＝0，得x＝1，所以h（x）在（5，1）上单调递减，+∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝0，所以f（1）≤g（1）≤7，又因为f（1）＝1，所以g（1）＝1，设g（a）＝a（x﹣8）+1，又g（x）≤x2，所以x6﹣ax+a﹣1≥0在（6，+∞）上恒成立，所以（x﹣1）（x+1﹣a）≥4，在（0，所以a﹣1＝6，即a＝2．又因为m（x）＝1+4lnx﹣2x+1＝6lnx﹣2x+2，m′（x）＝，所以m（x）max＝3，所以1+2lnx≤3x﹣1，综上g（x）＝2x﹣5．（2）＝x2，即＝x2（x＞5），变为：mlnx2﹣＝0，令n（t）＝mlnt﹣，t＞0，①m≤3时，n′（t）＝，则n（t）在（7，+∞）上单调递减，又因为n（1）＝0，所以n（t）在（0，+∞）上恒有一解，②当m≥5时，φ（t）＝mt2+（2m﹣7）t+m≥0，即n′（t）≥0，所以n（t）在（2，+∞）上单调递增，又因为n（1）＝0，所以n（t）在（0，+∞）上恒有一解，③3＜m＜1时，n′（t）＝，设φ（t）＝mt2+（2m﹣6）t+m，因为φ（1）＝4m﹣4≤5，φ（0）＝m，所以φ（t）＝0在（0，+∞）上有两解2＜1＜t2，又因为n（1）＝2，所以n（t1）＞0，n（t6）＜0，当t＞e时，n（t）＝mlnt+﹣2＞0，所以n（t）在（t6，+∞）上恰有一根，当0＜t＜1时，∈（2，当t＜e时，mlnt＜﹣2，mlnt+﹣2＜﹣2+6﹣2＝0，所以∃t3∈（0，1）且t2＜e，解得n（t0）＜3，所以n（t）在（0，t1）上恰有一根，n（t）在（2．综上所述，当m≥1或m≤0时，2恰有一根，当0＜m＜4时，＝x2恰有三个根．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
江苏省苏锡常镇四市2020-2021学年高三教学情况调研(二)数学试卷
高三数学第1页（共6页）2020~2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学2021.05注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ∈R ，则“2a =”是“复数2i z a =-的模为(i 为虚数单位)的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若集合{A x y ==，{}2x B y y ==，则AB =A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2]D ．[0,2] 3．从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张．“在第一次抽到标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为 A ．35 B ．12 C ．110 D ．1124．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2F ，左顶点为1A ，若E 上的点P满足2PF x ⊥轴，123sin 5PA F ∠=，则E 的离心率为A ．12B ．25C ．14D ．155．已知sin1a =，cos1b =，则下列不等式正确的是A ．log b a a b a b <<B ．log a b a b b a <<C ．log b a a a b b <<D ．log a b a b a b <<高三数学第2页（共6页）（第7题图）6．已知ππ3sin()sin()66αα-=+，则cos2α=A ．17B ．17-C ．1113D ．1113-7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形CGD 中，已知4GC =，3GD =，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP AQ ⋅的最大值为A ．25B ．27C ．29D ．318．已知函数222()131xx f x x =-++.若存在(1,4)m ∈使得不等式 2(4)(3)2f ma f m m -++>成立,则实数a 的取值范围是A ．(,7)-∞B ．(,7]-∞C ．(,8)-∞D ．(,8]-∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：性别 身高合计 低于170cm不低于170cm女 80 16 96 男 20 84 104 合计100100200下列说法正确的有A ．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得B ．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生高三数学第3页（共6页）C ．有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联D ．若该样本中男生身高h （单位：cm ）服从正态分布(175,25)N ，则该样本中身高在区间(]175,180内的男生超过30人附1：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++）.临界值表：附2：若2~(,)X N μσ，则随机变量X 取值落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为68.3%.10．在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数:1cos θ-称为角θ的正矢，记作sin ver θ；1sin θ-称为角θ的余矢，记作sin cover θ.则A ．2021π3sin62ver = B ．函数()sin sin f ver cover θθθ=⋅的最大值为32+ C ．存在一个θ，使函数()sin sin f ver cover θθθ=-的值为32D ．将函数()sin f cover θθ=的图象向左平移π2个单位后，可得到函数()sin g ver θθ=的图象11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱长为2，点M 为侧棱1CC 上的动点，AM ⊥平面α．下列说法正确的有 A ．异面直线AM 与1B C 可能垂直 B ．直线BC 与平面α不可能垂直C ．AB 与平面α所成角的正弦值的范围为2高三数学第4页（共6页）D ．若M α∈且1CM MC =，则平面α截正四棱柱所得截面多边形的周长为12．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '．下列命题正确的有A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B ．若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的．．．．．．位置上．．．． 13．已知抛物线22(0)y px p => 的焦点为F ，点(0,2)A . 若线段F A 的中点B 在抛物线上，则p 的值为 ▲ ．14．已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b （其中,N a b *∈），且23a ab a <<，写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式： ▲ ．15．已知平面向量a ，b ，c 满足1==b c，-=b c 21⋅=⋅=a b a c ，则b 与c的夹角为 ▲ ；a 等于 ▲ ．（第一空2分，第二空3分）16．一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为V ，则当圆柱底面半径r = ▲ 时，该组合体的表面积最小．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且cos cos a b a B b A -=-． （1）求证：a b =；高三数学第5页（共6页）（2）若4c =，3cos 5C =，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）在①21(1)n n na n a n n +-+=+，②3(2)n n S n a =+，③1(2)n nn n a T T n++=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且▲ ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，平面ABC ⊥平面11AA B B ，11A A A B =，160A AB ∠=，O 为AB 的中点，M 为11A C 的中点． （1）求证：OM ∥平面11BB C C ； （2）求二面角11C BA C --的正弦值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点(2,0)F -的距离与到定直线l ：32x =-（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 交动点M 的轨迹E 于M ，N 两（第19题图）11高三数学第6页（共6页）点，2l 交圆D ：22(4)9x y -+=于P ，Q 两点，点R 是P ，Q 的中点，求△RMN 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单．抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园．（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y ，求Y 的数学期望；（2）设两次都被抽取到的人数为变量X ，则X 的可能取值是哪些？其中X 取到哪一个值的可能性最大？请说明理由． 22．（本小题满分12分） 已知函数()ex axf x =（e 为自然对数的底数）． （1）若函数()()g x x f x =-在(0,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）证明：对任意实数a , 函数()()ln h x f x x =-有且只有一个零点．高三数学第7页（共6页）2020~2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A2．C3．A4．C5．D6．B 7．C8．C二、多项选择题：全部选对得 5分，部分选对得2分，有选错得0分. 9．CD10．BD11．ABD12．AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 132 14．21n a n =+或31n a n =-（形如(2)n a kn k =--（k 为不小于3的正整数）） 15．120，21316335πV四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）因为cos cos a b a B b A -=-，由余弦定理得22222222a c b b c a a b a b ac bc+-+--=⋅-⋅，………………………2分 即()()0a b a b c c -+-=，……………………………………………………4分因为a b c +>，所以a b =．……………………………………………5分（2）若34,cos 5c C ==，因为222cos 2a b c C ab +-=，则22321652a a-=，得220a =，…………………………………………8分 又因为0C <<π，所以2234sin 1cos 1()55C C =-=-=，高三数学第8页（共6页）于是114sin 208225ABC S ab C ∆==⨯⨯=．…………………………………10分18．解：选①：因为21(1)n n na n a n n +-+=+，得111n n a an n +-=+，……………2分所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为1，………………………4分则2(1)11na n n n=+-⋅=+，所以(1)n a n n =+．……………………………6分 选②：因为3(2)n n S n a =+，当2n ≥时，113(1)n n S n a --=+，则13(2)(1)n n n a n a n a -=+-+，即1(1)(1)n n n a n a --=+，…………………2分 所以111n n a n a n -+=-，所以1143(1)1221n n na a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅=+--．…………4分 当1n =时，12a =也满足，所以(1)n a n n =+．…………………………6分 选③：因为1(2)n n n n a T T n ++=，即1(2)nn n a a n++=，………………………2分 所以12n na a n n+=+，即1(2)(1)(1)n n a a n n n n +=+++， 所以数列(1)n a n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列，…………………………………………4分所以11(1)21n a an n ==+⨯，即(1)n a n n =+．…………………………………6分（2）因为(1)n n n b a =-， 当n 为偶数时，22212(11)(22)()n b b b n n +++=-+++-++222222[1234(1)][1234(1)]n n n n =-+-+---++-+-+--+(321)(2)[3721]22222n n n n n n n +-+=+++-+=⋅+=．…………9分高三数学第9页（共6页）1当n 为奇数时，222212(11)(22)[(1)(1)]n b b b n n n n +++=-+++-+-+---22(1)(1)(1)22n n n n n -++=--=-． 所以122.(2),2(1),2n n n n b b b n n +⎧⎪⎪+++=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数 ………………………12分 19．（1）证明：取11B C 中点E ，连接BE ， ∵11A M C M =，∴1112ME A B =，ME ∥11A B ， ∵三棱柱111ABC A B C -，O 为AB 的中点，∴1112OB A B =，OB ∥11A B ， ∴,OB ME OB =∥ME ，∴四边形OMEB 为平行四边形，∴OM ∥BE ．…………………………………………………………………3分 ∵OM ⊄平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，∴OM ∥平面11BB C C ．……………………………………………………5分 （2）∵CA CB =，AO OB =，∴CO AB ⊥， ∵平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC平面11AA B B AB =，CO ⊂平面CAB ，∴CO ⊥平面11AA B B ，……………………………7分∵11A A A B =，160A AB ∠=， ∴1AA B ∆为等边三角形， ∵AO OB =，∴1OA AB ⊥， ∴1,,OA OA OC 两两垂直，以{}1,,OA OA OC 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∴(1,0,0)A，13,0)A ，(1,0,0)B -，C ，1(C -． ∴BC =，1(1,BA =．设平面1A BC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，高三数学第10页（共6页）∴111111100n BC x n BA x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，取1x =111,1y z =-=-． ∴平面1A BC 的一个法向量为1(3,1,1)n =--， (9)分 1BA =，1BC =． 设平面11A BC 的一个法向量2222(,,)n x y z=，21222122030n BA xn BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，，取21y =，得221x z ==-．∴平面11A BC 的一个法向量为2(1)n =-，……………………………11分 ∴1212123cos ,53n n n n n n ⋅<>===-，∴124sin ,5n n <>=，即二面角11C BA C --的正弦值为45．………………12分 20．解：（1）设M （x ，y ）=2分 即22243(2)()32x y x ++=+，化简得E ：2213x y -=．……………………4分（2）①若1l 的斜率不存在，则MN (4,0)R ，所以△RMN 面积为162S ==5分②若1l 的斜率存在，且不为0，设为1k ，则11:(2)l y k x =+，代入22:13x Ey -=中并化简得：2222111(13)121230k x k x k ----=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1MN xx =-，……7分211:(2)l y x k =-+，即120x k y ++=，所以FR =，3<，得213k >，………………………………………………9分所以△RMN 面积为112S =10分高三数学第11页（共6页）令2131(8,)k t -=∈+∞，则S =，所以S的最小值为，即△RMN面积的取值范围为12分21．解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是303505=，……………………1分 第二次被抽到的概率也是35，且两次相互独立，所以3~(2,)5Y B ，………3分所以36()255E Y =⨯=．……………………………………………………4分（2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X ，则1030X ≤≤（X *∈N ），…………………………………………………6分则303050502030305050()n n nn C C C P X n C C ---⋅⋅==⋅，…………………………………………８分 令303050502050!(50)!20!()(50)!!(30)!20!(30)!(10)!n n nn n f n C C C n n n n n ----=⋅⋅=⋅⋅---- 250![(30)!]!(10)!n n n =--，所以22(1)50![(30)!]!(10)!()[(29)!](1)!(9)!50!f n n n n f n n n n +--=⨯-+- 2(30)(1)(9)n n n -=+-，若2(30)(1)(9)909520n n n n --+-=->，则17n ≤，…………………11分 所以当17n ≤时，(1)()f n f n +>；当18n ≥时，(1)()f n f n +<， 所以当18n =时，()f n 最大，即(18)P X =最大，所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人.…………………………12分 22．解:（1）因为函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以(1)()10e xa x g x -'=-≥在(0,)+∞上恒成立，…………………………1分 所以(1)e x a x -≤在(0,)+∞上恒成立， 当1x =时，R a ∈，高三数学第12页（共6页）当1x >时，e 1x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，令e ()1xt x x=-，则2e (2)()(1)x x t x x -'=-，则2max ()(2)e t x t ==-，所以2e a -≥．当01x <<时，e 1x a x -≤在(0,1)上恒成立，且e ()1xt x x=-在(0,1)上增，所以1a ≤，所以2e 1a -≤≤．…………………………………………………4分 （2）首先证明当0x >时，e 1x x x +>≥．证明：设()e 1x p x x =--，则()e 1x p x '=-，令()0p x '=，得0x =，当0x <时，()0p x '<，()p x 单调递减；当0x >时，()0p x '>，()p x 单调递增． 所以min ()(0)0p x p ==，所以()e 10x p x x =--≥，所以e 1x x x +>≥．………………………………………………6分 时, 结论显然成立;………………………………………7分②当时, (1)1()e x a x h x x -'=-， (i)当01x <≤时, ()ln 0ex axh x x =->恒成立，(ii)当1x >时，(1)1()0e x a x h x x -'=-<，所以()h x 在区间上单调递减，.且(1)0e ah =>, e e ee (e e )(e )e e a a aa a a a a h a -=-=. 所以e e e 0aa -<，即(e )0a h <，所以()h x 在(1,e )a 上只有一个零点，所以()h x 在(0,)+∞上只有一个零点.………………………………………9分 ③当时， (i) 当1x >时, ()ln 0e xaxh x x =-<恒成立，高三数学第13页（共6页）(ii)当01x <≤时，(1)1()0e x a x h x x-'=-<，所以()h x在且(1)0e a h =<, e e ee (e e )(e )0e e aa aa a aa a h a -=-=>， 所以()h x 在(e ,1)a 上只有一个零点，…………………………………………11分 所以()h x 在(0,)+∞上有且只有一个零点．…………………………………12分。
江苏省苏锡常镇四市高三数学教学情况调研(二)试题苏教
苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上；1、 已知是虚数单位，复数31i z i+=+对应的点在第＿＿＿象限。
2、 设全集U R =，集合{}13A x |x =-≤≤，集合{}1B x |x =>，则U A C B =I ＿＿＿。
3、 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为＿＿＿。
4、 “3x >”是“5x >”的＿＿＿条件。
（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。
5、 若双曲线()2210y x a a -=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为＿＿＿。
6、 根据右图所示的流程图，输出的结果T 为。
7、 在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为＿＿＿。
8、 在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为＿＿＿。
9、 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有＿＿＿。
10、已知圆C ：()()()2210x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，若90PCQ ︒∠=，则实数a =＿＿＿。
11、 分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为＿＿＿。
12、 已知向量a r ，b r 满足2a =r ，1b =r ，且对一切实数x ，a xb a b +≥+r r r r 恒成立，则a r 与b r 的夹角大小为＿＿＿。