关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
割圆法求圆周率公式
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
圆周率π的计算方法
圆周率π的计算方法圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
1、Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
用马青公式计算Pi至小数点后100位程序program Pi_Value;{$APPTYPE CONSOLE}//将Pi计算精确小数点后100位//Machin公式//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)usesSysUtils;constN=100;S=2*N+50;aNum=5;bNum=239;typeNum=array [1..S] of byte;//初始化数组procedure AZero(var arr:Num);vari:smallint;beginfor i:=1 to S doarr:=0;end;//除法procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); varc,y,i:smallint;beginc:=0;for i:=1 to S dobeginy:=arr+c*10;c:=y mod b;arr:=y div b;end;end;//加法procedure Addition(var arr:Num;const b:Num);vari,y,c:smallint;beginc:=0;for i:=S downto 1 dobeginy:=arr+b+c;if y>=10 thenbeginc:=1;arr:=y-10;endelsebeginc:=0;arr:=y;end;end;end;//减法procedure Minus(var arr:Num;const b:Num); vari,y,c:smallint;beginc:=0;for i:=S downto 1 dobeginy:=arr-b-c;if y<0 thenbeginc:=1;arr:=10+y;endelsebeginc:=0;arr:=y;end;end;end;vartag:boolean;a,b,Ra,Rb,t:Num;i,j:smallint;beginAZero(t);Ra:=t;Rb:=t;tag:=true;writeln('计算中，请等待......'); for i:=1 to N dobegina:=t;b:=t;a[1]:=16;b[1]:=4;for j:=1 to i*2-1 dobeginDivision(a,aNum);DiVision(b,bNum);end;Division(a,i*2-1);Division(b,i*2-1);if tag thenbegintag:=false;Addition(Ra,a);Addition(Rb,b);endelsebegintag:=true;Minus(Ra,a);Minus(Rb,b);end;end;Minus(Ra,Rb);writeln('计算结果如下：'); writeln(Ra[1],'.');for i:=2 to N+1 dowrite(Ra);readln;End.还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
割圜密率捷法
割圜密率捷法
割圆密率捷法，又称割圆法、割圆术，是一种用直尺和圆规来构造近似于等分圆的方法。
该方法是古代希腊数学家阿基米德发展的一种近似方法，以求得圆周率的近似值。
割圆密率捷法的基本思想是通过在一个圆的内切正多边形中逐渐增加边数，并计算多边形的周长与直径的比值来逼近圆周率。
具体步骤如下：
1. 画一个圆，并在圆上确定一个点作为起始点。
2. 用直尺和圆规从起始点开始，按照一定的方法构造一个内切正多边形。
3. 计算多边形的周长，也就是各边之和。
4. 计算多边形的直径，也就是连接圆心与两个对角顶点的线段的长度。
5. 计算多边形的周长与直径的比值。
6. 再次使用直尺和圆规，按照一定的方法构造一个边数更多的内切正多边形。
7. 重复步骤3至步骤6，直到所构造的多边形边数足够多，或
者结果足够接近圆周率。
通过不断增加多边形的边数，割圆密率捷法可以逼近圆周率的精确值。
这一方法的优点是简单易行，不涉及复杂的数学推导和计算，适合初学者使用。
但是由于是近似方法，其结果仍然存在一定的误差。
数学文化之割圆术
割圆术3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.“圜，一中同长也”.意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式.为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”. 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为 3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
割圆术的理解
割圆术的理解
割圆术，又称作圆周率的计算方法，是古代数学家们为了解决圆周率这一无理数的问题而提出的一种独特的数学技巧。
通过不断逼近、分割圆的方法，人们逐渐探索出了一系列近似值，使得这个神秘的圆周率逐渐呈现出一种规律性。
在古代，人们对圆周率的求解一直是一个难题。
圆周率是一个无限不循环小数，无法用简单的分数或有限小数来表示。
因此，数学家们努力探索各种方法，试图找到一种近似值来代表这个神秘的数。
最早的割圆术可以追溯到古代希腊数学家阿基米德。
他通过不断细分正多边形，逐渐逼近圆的周长，从而得到了一个相对准确的圆周率近似值。
这种方法被称为阿基米德割圆术，为后人提供了一个重要的启示。
除了阿基米德，古代中国的数学家刘徽也提出了类似的割圆方法。
他通过细分正方形、正六边形等多边形，逐步逼近圆的周长，得到了一系列圆周率的近似值。
这种方法被称为刘徽割圆术，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
随着数学的发展，人们逐渐发现，割圆术不仅可以用来计算圆周率，还可以应用于其他领域。
例如，在微积分中，割圆术可以用来计算曲线的长度、面积等问题。
在工程领域，割圆术可以用来设计各种复杂的曲线、图形等。
总的来说，割圆术是一种古老而神秘的数学方法，它通过不断逼近、分割圆的方式，揭示了圆周率这个神秘数的一些规律。
虽然我们无法用有限的小数或分数来精确表示圆周率，但通过割圆术这种方法，我们可以得到一系列近似值，从而更好地理解这个数学世界的奥秘。
c语言实现割圆术计算圆周率
割圆术计算圆周率“割圆术”是我国数学家刘徽创立的一种求圆周率的方法。
思想是当圆的内接正多边形的边数无限大时内接正多边形的面积就无限趋近于圆的面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”。
“割圆术”理论上能把π的精度计算到任意精度。
现在我们利用计算机能够自动的完成这个过程。
我们先来分析一下圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形······的面积之间的关系，寻求它们的递增规律。
如图，设圆的半径为1，弦心距为n h ；正n 边形的边长为n x ，面积为n s 。
由勾股定理，得)2(21n n x h -=，)1()2(222n n n h x x -+=,(n≥6)。
不难发现，正2n 边形的面积等于正n 边形的面积加上n 个等腰三角形的面积，即)6(),1(21s s 2≥-⋅⋅⋅+=n h x n n n n n 。
利用这个递推公式和n=6时的面积、弦心距就能不断循环得到一个比较接近圆的面积的值。
因为圆的半径是1，所以面积为π，那么正2n 边形的极限值即为π的值。
现在我们用c 语言来计算该近似值，利用初值和递推关系来循环计算。
由于用到了sqrt（）这个数学函数，所以要包含math.h 这个头文件。
程序结果的输出利用了printf()这个函数，所以要包含printf()所在的头文件，即Stdio.h。
我使用的编译器为gcc IDE 为Dev c++,下面是示例代码#include <stdio.h>#include <math.h>O 是原点、hn 是弦心距、xn 是正n 边形的边长、x2n 是正2n边形的边长int main(){long int n;/*定义内接正多边形的边数*/double h,x,s;/*h是弦心距,x是边长，s是面积*/for(n=6,x=1,s=3*sqrt(3)/2;n<=5999;n+=n)/*n的初值为6，此时设x的值就是单位圆的半径1，s的值为正六边形的面积。
求圆周率中国古代数学家的贡献
THANKS
谢谢
刘徽的割圆术
总结词
刘徽是中国南北朝时期的杰出数学家，他提出的割圆术是一种基于无穷级数展开 来计算圆周率的方法，这种方法在当时是具有创新性的。
详细描述
刘徽的割圆术是通过将圆不断分割成更小的多边形，然后利用多边形的周长来逼 近圆的周长，最终得到圆周率的值。这种方法为后来的研究提供了新的思路和方 向。
03
中国古代数学家对圆周率研究的贡献
最早的记录
刘徽与“割圆术”
中国最早的数学文献《周髀算 经》中已有关于圆周率的记载 ，可以追溯到公元前1世纪。
三国时期的数学家刘徽提出了 “割圆术”，通过不断割圆， 将圆周率精确计算到小数点后 六位。
祖暅恒等式
南北朝时期的数学家祖暅在研 究球体体积时，发现了祖暅恒 等式，这一公式在欧洲直到17 世纪才被重新发现。
CHAPTER
南北朝时期的圆周率研究
祖冲之与圆周率
祖冲之是中国南北朝时期杰出的数学 家和天文学家，他首次将圆周率精确 计算到小数点后七位，打破了此前世 界纪录。
祖冲之在研究过程中，采用了独特的 “割圆术”方法，通过不断割圆，将 圆周率精确到小数点后七位，这一成 果在当时世界上处于领先地位。
祖敩的圆周率研究
郭守敬与“正割幂级数展 开式”
元代天文学家郭守敬在研究天 文时，利用“正割幂级数展开 式”计算出了圆周率π的近似值， 精确到小数点后13位。
02
CHAPTER
早期的圆周率研究
《周髀算经》中的圆周率记载
总结词
这是中国最古老的数学著作，其中 记载了圆周率π的近似值，虽然精 度不高，但意义重大。
详细描述
如刘徽的“割圆术”、祖冲之的“缀术”等，这些算法在 当时具有很高的科学水平，体现了中国古代数学家的智慧 和创新。
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法割圆术是一种传统数学方法，可以用来估算圆周率。
在古代，人们发现用割圆术来推导圆周率的计算公式是一种相对简单而有效的方法。
下面将详细介绍这种方法以及它的推导过程。
割圆术最早由古希腊数学家阿基米德于公元前三世纪发现并研究。
阿基米德通过割圆术，成功计算出了圆周率的近似值，并称之为“阿基米德的圆周率”。
这种方法的基本思想是通过构造正多边形逐渐逼近圆形，从而得到圆周率的估算值。
首先，让我们以半径为1的单位圆为例。
我们可以将单位圆分为n等分，并连接圆心与这些分点，形成一个正n边形。
我们知道正n边形的内角是(n-2)180度，因此每个内角是(1-2/n)180度。
接下来，我们可以计算正n边形的周长。
由于正n边形的n条边的长度都相等，我们只需要计算其中一条边的长度，然后乘以n即可。
设该边的长度为s，那么根据三角函数的定义，s可以表示为2sin(π/n)。
进一步，我们可以用割圆术来逼近sin(π/n)。
将圆分为n等分后，我们可以得到一个与单位圆相切的正n边形。
接着，我们将每个分点与圆心相连，形成一个小的扇形。
显然，扇形的面积是正n边形的1/n。
如果我们将所有的扇形堆叠在一起，可以构成一个与1/4单位圆相等的图形。
这是因为，这些扇形的总面积正好是圆的1/4，而圆的面积为πr^2，即π/4通过割圆术，我们得到了圆面积与正n边形面积的比值为π/4、而正n边形面积的计算公式为(n/2) * s^2 * tan(π/n)，其中n为边数，s为边长。
根据前面的分析，s可以表示为2sin(π/n)。
将这些代入计算公式，可以得到：π/4 = (n/2) * (2sin(π/n))^2 * tan(π/n)接下来，我们需要求解该方程，得到π的近似值。
由于这是一个三角函数的方程，我们可以使用数值计算的方法来逼近解。
我们可以通过逐步增大n的值，计算方程右边的值，直到得到满足精度要求的近似值。
值得注意的是，割圆术只是一种近似计算方法，并不能得到圆周率的确切值。
圆周功率计算公式
圆周功率计算公式圆周率公式（有哪些计算圆周率的神奇公式？）说起圆周率π，很多人就想到祖冲之老爷子的割圆术。
说实话，祖大人也挺无奈的，从我们小学就开始割圆，一直割到大学还在割。
但割圆术只适合手算，如何用电脑算π呢？泰勒展开泰勒展开在科学计算中简直有着匪夷所思的变态威力。
之前我有一篇文章泰勒为何要展开？泰勒公式有什么神奇作用？介绍了什么是泰勒展开，它可以把复杂函数转换成加减乘除，比如sinx：之所以要展开，是因为通用计算机本质上只能计算加减乘除。
用泰勒展开计算π首先想到的思路就是，反三角函数，根据定义有：有人说，直接调用C语言库函数atan(double,double)不就行了。
确实，这可以完成计算，然而，这是一种令人不齿的开挂行为，就好像我问怎么跑完马拉松，你说你开车一溜烟就跑完了一样。
库函数是别人写好的，我们现在是思索如何实现计算，而不是考虑如何调用。
至此，我们只好请出祖传配方，把arctan(x)进行泰勒展开：然后，令x = 1，得到：格雷戈里-莱布尼茨公式它被称为莱布尼茨级数，也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数，用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。
由于这个级数收敛极慢。
比如，算到+4/9，也就是前五项，结果仅为3.3396，误差有0.2之多。
它要到算500000项之后，才会精确到小数点后五位：加快收敛于是，人们尝试改进，希望能快点计算。
英国数学家梅钦在1706年用上面的级数，发掘了一个可以快速收敛的公式：配合上面arctan(x)泰勒展开，梅钦依据此公式（没有电脑），把圆周率计算到小数点后一百多位。
英国数学家威廉·谢克斯花15年的时间以此计算到小数点后707位，不过在第528位时出错，因此后面的都不正确了。
微微杯具就是了。
神奇公式现代有了电脑，我们希望更快的收敛速度，因此科学家在寻找新的级数。
历史总是留给吊人的，也总是会生产一些吊人的。
比如：拉马努金公式这玩意被称为拉马努金公式，是印度科学家拉马努金发明的。
圆周率的计算公式推导过程
圆周率的计算公式推导过程
嘿！现在就来说一下圆周率的计算公式推导过程，仅供大家参考。
圆周率，这个数学中的常客，自古以来就吸引着无数数学家和爱好者的目光。
它代表了圆的周长与直径之比，是一个无限不循环的小数，通常以π来表示。
那么，这个神秘的π是如何被计算出来的呢？
首先，我们得从圆的性质说起。
圆是一个完美的几何图形，它的周长和面积都与半径有着密切的关系。
而圆周率π，正是连接这些关系的桥梁。
最早的圆周率计算可以追溯到古希腊时期。
阿基米德是这一领域的先驱者之一。
他通过内接和外切多边形的方法，逐步逼近圆的周长，从而得到了圆周率的近似值。
这种方法虽然原始，但却为后来的数学家们提供了宝贵的思路。
随着时间的推移，数学家们不断改进和完善圆周率的计算方法。
其中，最为著名的是刘徽的割圆术和祖冲之的密率。
刘徽通过不断将圆分割成更小的多边形，使得多边形的周长越来越接近圆的周长，从而得到了更为精确的圆周率值。
而祖冲之更是在此基础上，进一步提高了圆周率的精度，他的密率甚至在当时的世界范围内都处于领先地位。
到了现代，随着计算机技术的飞速发展，圆周率的计算也迎来了新的革命。
人们可以利用计算机进行大规模的数值计算，从而得到更为精确的圆周率值。
目前，人类已经能够计算出圆周率的小数点后数十亿位，这个数字还在不断地被刷新。
然而，尽管我们已经能够计算出如此精确的圆周率值，但关于它的计算公式推导过程却仍然是一个未解之谜。
数学家们一直在努力寻找更为简洁、更为直观的圆周率计算公式，但至今仍未取得突破性的进展。
圆周率计算公式推导过程
圆周率计算公式推导过程
圆周率呀，那可是数学世界里超级神奇的存在！你知道它是怎么来的吗？嘿嘿，那就听我慢慢道来。
大家都知道圆吧，那圆圆的形状多可爱呀！我们要计算圆周率，就得从圆入手。
想象一下，我们把一个圆像切蛋糕一样切成好多好多小块，然后把这些小块拼起来，是不是有点像在玩拼图游戏呀！
其实呀，古代的数学家们就用这种方法来探索圆周率呢。
他们不断地尝试，不断地改进，就像我们不断地练习才能把游戏玩得更好一样。
比如说，有一种方法叫“割圆术”。
这就好像是我们在一点一点地雕琢一个艺术品，通过把圆分割得越来越细，来越来越接近圆周率的真实值。
这难道不神奇吗？
还有哦，我们可以通过测量圆的周长和直径来计算圆周率呀。
这就好像是我们要知道一个人的身高和腿长的比例一样，通过简单的测量和计算，就能得到一个大概的数值。
那如果我们测量得更精确，计算出来的圆周率不就更准确了吗？
我们现在有超级厉害的计算机，可以帮我们快速地计算圆周率。
但可别忘了，这都是建立在古代数学家们的智慧之上的呀！他们没有这些高科技工具，但依然凭借着自己的聪明才智和坚持不懈，为我们打开了探索圆周率的大门。
圆周率真的是太有趣了！它就像是一个无尽的宝藏，等着我们去挖掘。
我们可以用不同的方法去接近它，去了解它。
难道你不想亲自去探索一下圆周率的奥秘吗？反正我觉得这是一件超级酷的事情呢！圆周率的计算公式推导过程充满了智慧和乐趣，它让我们看到了人类对知识的追求永无止境，这就是数学的魅力所在呀！。
圆周率计算公式推导方法大全
圆周率计算公式推导方法大全1. 面积法（Archimedes方法）：这是古希腊数学家阿基米德提出的一种方法，通过将圆逐渐分割成更小的多边形，并计算多边形的面积来逼近圆的面积。
具体步骤如下：-假设一个半径为1的圆，将其分割成等边的n边形（例如正n边形）。
-计算多边形的面积，并取其一半（即边长乘以半径）。
-不断增加n的值，得到多个多边形的面积。
-当n趋近于无穷大时，多边形的面积逼近于圆的面积。
-最后，通过计算得到的面积除以半径的平方，即可得到圆周率的近似值。
2.幂级数法（莱布尼茨公式）：这种方法是使用级数的和来逼近圆周率。
著名数学家莱布尼茨通过Taylor级数的展开导出了下面的公式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...通过不断增加级数的项数，我们可以得到越来越精确的近似值。
然而，这种方法的收敛速度非常慢，需要很多项才能得到较准确的结果。
3.连分数法（复杂连分数）：连分数由一个整数和一个无限的连分序列组成。
通过逐步截断连分数的分数序列，可以得到对于无理数的越来越精确的近似值。
圆周率可以表达为一个无限连分数：π=3+1/(7+1/(15+1/(1+...)))通过计算连分数的部分和（截断分数序列），可以得到圆周率的近似值。
4.随机法（蒙特卡洛方法）：这种方法利用随机数的性质来逼近圆周率。
-在一个正方形内部画一个圆，使得圆的直径等于正方形的边长。
-随机产生大量的点，落在正方形内部。
-统计落在圆内部的点的数量。
-计算落在圆内部的点与总数的比例。
-通过比例来逼近圆的面积，并计算出圆周率的近似值。
这种方法的精确度取决于生成的随机数数量，随着随机数数量的增加，逼近结果会越来越精确。
这些是一些常见的圆周率计算公式的推导方法。
每种方法都有其独特的优点和适用范围。
通过不断改进这些方法，人们可以获得更准确的圆周率近似值。
周长法割圆术求圆周率
周长法割圆术求圆周率周长法割圆术求圆周率在古代，人们就开始尝试研究圆周率，而最开始的求圆周率方法，就是周长法割圆术。
下面我们就来看看周长法割圆术求圆周率的原理和具体步骤以及优缺点。
一、周长法割圆术周长法割圆术，即利用正多边形的周长逐步逼近圆的周长，进而求出圆周率的方法。
其基本思想是：将一个圆切成多个等分的弧，然后将弧线顺次相连接，得到正多边形的周长，再逐渐增加正多边形的边数，最终求得正多边形的周长与圆的周长的比值，这个比值就是圆周率。
而由于正多边形的周长能够用简单的公式进行计算，所以周长法割圆术成为古代求圆周率的一种主要方法。
二、具体步骤周长法割圆术的具体步骤如下：1. 将一个圆分成n等份，并在每段弧上各取一点，连接这些点，得到一个n边形。
2. 求出该n边形的周长。
3. 逐渐增加n的值，用同样的方式求出它们的周长，直到n边形的边数足够多，其周长与圆的周长足够接近。
4. 求出圆的周长与直径的比值，也就是圆周率。
三、优缺点周长法割圆术这种方法优点在于其简单易懂，对于古代人而言，由于缺乏现代计算机和复杂工具，周长法割圆术的手工计算方法在当时是一种比较可行的方法。
而其缺点在于，该方法需要对足够多的正多边形进行计算，才能得到较为接近精确的圆周率值。
而由于手工计算时难免会有误差，所以该方法求出的圆周率值往往很难达到较高的精度。
总的来说，周长法割圆术是古代求圆周率的一种主要方法，其思想简单易懂，但由于计算量大，误差难以避免，所以现代人更多地采用数值积分、级数展开等方法进行圆周率的求取。
圆周长计算方法和公式
圆周长计算方法和公式
圆的周长公式：周长C=2πr（其中r为圆的半径，π为圆周率，通常情况下取3.14）。
圆周率π是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
圆的周长算法
圆的周长=3.14x圆的直径=2x3.14x圆的半径，即：C=πd=2πr。
其中，C代表周长，π代表圆周率，d代表直径，r代表半径。
圆的简介:
圆是一种几何图形。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
圆的面积和体积计算公式:
1、计算圆的面积公式是：半径×半径×3.14。
2、计算圆的体积公式是：半径×半径×3.14×高。
圆周率π介绍
后来的数学家们就想办法算出这个π的具体值，数学家刘徽用的是“割圆术”的方法，也就是用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长逼近圆周长，求得圆接近192边型，求得圆周率大约是3.14。
割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。
然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C=π*d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。
仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。
祖冲之算圆周率的方法：揭示古代数学之精髓
祖冲之算圆周率的方法：揭示古代数学之精髓自古以来，圆周率π一直是数学领域的一个关键概念。
作为圆的周长与直径之比，它在几何学、物理学、工程学等诸多领域都有着广泛的应用。
而在中国古代，有一位杰出的数学家——祖冲之，他在圆周率的计算方面取得了令人瞩目的成就。
本文将探讨祖冲之算圆周率的方法，揭示古代数学的精髓。
一、祖冲之与圆周率祖冲之（公元429年-500年）是南北朝时期的著名数学家和天文学家。
他在数学领域取得了举世瞩目的成就，特别是在圆周率的计算方面。
祖冲之首次将圆周率精确到小数点后七位，这一成就比欧洲早了近一千年。
二、祖冲之算圆周率的方法祖冲之在算圆周率方面采用了多种方法，其中最著名的是“割圆术”。
割圆术是一种通过不断分割圆的内接多边形和外切多边形来逼近圆周率的方法。
祖冲之通过不断地增加多边形的边数，使得内外多边形的面积越来越接近圆的面积，从而得到越来越精确的圆周率值。
具体步骤如下：1.从一个正六边形开始，其边长等于圆的半径。
这个正六边形的面积可以很容易地计算出来。
2.将正六边形的每条边都分成两段，然后用这些线段作为新的边构造一个正十二边形。
这个正十二边形的面积也可以计算出来。
3.重复这个过程，每次都将上一步得到的多边形的每条边都分成两段，并用这些线段构造一个新的多边形。
随着多边形边数的增加，其面积将越来越接近圆的面积。
4.通过比较内外多边形的面积，可以估算出圆周率的值。
随着多边形边数的增加，这个估算值将越来越精确。
三、祖冲之方法的意义祖冲之算圆周率的方法不仅在数学上具有重要意义，而且在科学史上也具有重要地位。
首先，他的方法展示了古代数学家在探索未知领域的勇气和智慧。
其次，祖冲之的成果推动了数学和其他学科的发展，为后来的科学研究提供了有力支持。
最后，祖冲之的方法为后人提供了宝贵的经验和启示，激发了更多数学家对圆周率等数学问题的深入研究。
四、结论祖冲之算圆周率的方法体现了古代数学的精髓和智慧。
通过割圆术等技巧，他成功地将圆周率精确到小数点后七位，这一成就不仅在数学领域具有里程碑意义，而且为后世的科学研究提供了重要支撑。
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法周家军（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：zhoujiajun198204@）摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。
将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。
由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：OA=OB=R正多边形的周长L 为： L=2*n*S圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：nn 1802360==α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）)cos 1(*2*α-=R S2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：)180cos 1(*2*2)cos 1(*22222nn RnR RnS R L -=-===απ2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。
因此，依题意有：将n=α180代入上式，可得：ααααπ)cos 1(*2*1802)cos 1(*2**180*2222-=-===RR RnS R L3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2α AD=2S根据三角函数，有如下的关系式： AD=R*sin(2α)2S =R*sin(2α) S=2*R*sin(2α) 正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*α180* 2*R*sin(2α)3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：ααααπ2sin *36022sin**2*180*22===R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =n180代入上式，即可得 nn n nRL 90sin**21802180sin *3602sin *3602====ααπ4、用内切圆分割正多边形在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。
圆周率的神奇公式与算法
【圆周率π的神奇公式与算法】作者：陈大牛_505本人无意间发现，圆周率π可与虚数单元 i(即 -1的平方根)直接相关，有一个神奇的公式: π = 2 L n i / i (其中Lni是i的自然对数)。
后面有公式的推导和数学证明，先从i说起吧。
虚数单元i是从一元二，三次方程的负数平方根引入的。
通过引入复数a+bi(其中a, b为实数)，那么，在复平面上一元n次方程正好有n个根(代数基本定理)。
复数概念刚开始很难让人理解，包括像莱布尼茨等数学巨匠都表示反对，但经过达郎贝尔，欧拉，高斯等数学大师的有力推广和研究，复数概念逐步得到理解和接受，基于复数域的复变函数论得到了广阔的发展。
如果说十八世纪是微积分一统数学王国的天下，那么十九世纪就是复变函数论获得蓬勃发展的鼎盛时期，产生了众多的数学分支，在流通力学，航天航空，量子力学和广义相对论的场方程求解等方面都具有广阔的应用。
我们知道，0和1是数学中两个最重要的数，因为0，1的特定组合可以表示任意一个正整数和实数(二进制系统)，而i是实数域拓展到复数域(复平面)的桥梁。
因此0，1，i可以是整个现代数学最基本的构成单元，而圆周率π和自然对数的底e则是两个最重要的无理数。
这5个重要数字的联系可以通过一个公式表达出来，就是著名的欧拉恒等式：也叫上帝公式。
因为这个公式是如此神奇，数学家们感叹只有万能的上帝才能创造出来。
该公式可以作如下的简单推导：复数z=a+bi的指数有如下泰勒展式令a=0,b=x (x为实数)，得到：注意虚数单元i的n次幂(n为正整数)有如下定义：上式变为：令x = π,注意conπ = -1, sinπ = 0, 便得到欧拉恒等式。
对恒等式作如下变形：或者：这便是文章开头提到的公式。
虽然这个公式对计算π毫无帮助，但揭示了π和i的一种神奇关系。
或许有人会问，对虚数单元i取对数有意义吗？其实，对任何复数z=a+bi(a,b为实数)，只要a，b不同时为0，都可以定义对数。
中国算出圆周率的方法
中国算出圆周率的方法
中国古代算出圆周率的方法有很多种，其中较为著名的是“割圆术”和“祖冲之算圆周率法”。
“割圆术”是指将圆内接正96边形的边不断割分，得到越来越
多的正多边形，通过计算正多边形的周长和直径的比值来逼近圆周率。
这种方法的精度较低，但是在中国古代被广泛使用。
“祖冲之算圆周率法”是指通过对圆的周长和直径的关系进行推算来计算圆周率。
祖冲之在其著作《周髀算经》中提出了“圆周率约等于3.1415926”的计算结果，这一结果比欧洲约在17世纪才被发
现的圆周率计算结果更加精确。
除此之外，中国古代还有一些其他的算圆周率的方法，如“弧长法”、“秦九韶算圆周率法”等。
这些方法或依据直觉或依据精巧的数学推导而来，反映了中国古代数学思想的独特之处。
- 1 -。
圆周率的计算方法
圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、π=16arctan1/5-4arctan1/239这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
马青公式每计算一项可以得到位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。
在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT（Fast Fourier Transform）算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O（n2）缩短为O（nlog（n））。
2、拉马努金公式1914年，数学家在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法高斯-勒让德公式：这个公式每迭代一次将得到双倍的精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
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关于用割圆术推导
圆周率的计算公式的方法
周家军
（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：************************）
摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。
将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。
由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：
OA=OB=R
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：
n
n 180
2360=
=
α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：
S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）
)cos 1(*2*α-=R S
2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：
)
180
cos 1(*2*2)cos 1(*22222n
n R
nR R
nS R L -=-=
==
απ
2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。
因此，依题意有：
将n=
α
180
代入上式，可得：
α
αααπ)cos 1(*2*1802)
cos 1(*2**180
*2222-=
-=
==
R
R R
nS R L
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：
在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2
α AD=2
S
根据三角函数，有如下的关系式：
AD=R*sin(2
α)
2S =R*sin(2
α) S=2*R*sin(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*
α
180
* 2*R*sin(2
α)
3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：
α
α
ααπ2
sin *36022sin
**2*180*22=
=
=
R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =
n
180
代入上式，即可得 n
n n n
R
L 90
sin
**21802180sin *3602
sin *3602==
=
=
α
α
π
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。
也可以以正多边形的内切圆来推导。
用n 根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。
如下图所示：
假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，垂足点为D 。
边长AB=S ，正多边形的周长为L ，圆心角为α。
依题意，有：
OD=R
α的大小和分割的线段（直径）n 有关联，n 越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。
它们的关系式如下：
n
n 180
2360=
=
α 在ΔOAD 中，根据三角函数关系，可列出如下关系式： AD=2
S ∠AOD=2
α
AD=OD*tg(2
α
)
2S = R* tg(2
α) S= 2*R* tg(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
=2*
α
180
* 2*R* tg(2
α)
4.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：
α
α
ααπ2
*36022**2*180*22tg R tg
R R L =
=
=
4.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 将n
180
=
α代入上式，可得到以线段（直径）n 为变量的另一种形式的计算式子：
n
tg
n n n
tg tg
90
**21802180
*3602
*360==
=
α
α
π
5、圆周率的取值及祖冲之密率证明 将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：
)180
cos
1(*2*n
n -=π ○
1
n n 90
sin
**2=π ○2 n
tg n 90
**2=π ○
3
或：
α
απ)
cos 1(*2*180-=
○4
α
α
π2sin
*360=
○
5
α
α
π2*360tg
=
○
6
公式○1和○4、○2和○5、○3和○6是等价的，可以相互转换，转换因子为n
180
=
α。
（用公式计算圆周率时，理论分析上，n 只能取正整数，a 为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。
）
以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。
在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。
大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。
我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。
历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。
他还得出圆的密率为
7
22
，这是可以证明的。
在以上有a 的式子里，将a=7代入公式，在内切圆中，Π≈7977.21≈7
22
,在外切圆中，Π
≈
7018.22≈722。
由此可知，祖冲之用了n=7
180
=25.7≈26，用了26根棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。
如果将Π=3.1415926代入○1式，整理后，得： 2*n 2-2*n 2*cos
n
180
- 3.1415926*3.1415926=0 这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n 值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。
不过，当我用数字代入n 值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。
6、圆周率的其他计算形式 当用n
k 360
*
1=α（k 为任意正数 ）代入上面的公式，可得到圆周率的另一种计算公式。
这个公式依然可以计算出圆周率的值。
比如说：当k=1时，n
n 360
360*11=
=α，代入上式： 代入○1式得
α
α
αα
π)
2cos 1(*2*360)360
180
cos
1(*2*360
)180
cos
1(*2*-=
-=-=n n 代入○2式得
α
α
α
α
π4
sin *72036090sin *360*290sin
**2=
==n
n
代入○5式得
n
n n n
180
sin
*3602360
sin *3602
sin
*360==
=
α
α
π （这就是用半径分割圆周推导的圆周率的计算公式）
用以上式子计算时，要记注n 和a 的取值范围，n →∞，而a →0，并且，n 要取整数，a 要取能被360整除的数，这样，计算出来的圆周率就越准确。
***完***。