2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)含答案

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北京市西城区2017—-2018学年度第一学期期末高二数学(理科)试题带有答案

北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）2018.1试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为_______.10. 经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为_______.11. 在ABC ∆中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥. 以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线C 的一个焦点在直线43+20=0l x y -：上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则C 的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如右图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点(1,0)A 和点(1,0)B -的所有点组成的. 对于曲线C ，有下列四个结论： ○1 曲线C 是轴对称图形； ○2 曲线C 是中心对称图形； ○3曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； ○4曲线C 上所有的点的纵坐标11[,]22y ∈-. 其中，所有正确结论的序号是__________.侧(左)视图正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求证：1//BC 平面1A CD .16．（本小题满分13分）已知圆22680C x y x y m +--+=：，其中m ∈R .（Ⅰ）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值；（Ⅱ）如果直线30x y +-=与圆C相交所得的弦长为m 的值.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==， E 为1AA 的中点.（Ⅰ）求四棱锥1C AEB B -的体积；（Ⅱ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为13，求线段AM 的长度；（Ⅲ）判断线段1B C 上是否存在一点N ，使得//NE CD ？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）设F 为抛物线22C y x =：的焦点，,A B 是抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求||AB ；（Ⅱ）当OA OB ⊥时，证明：求OA OB ⋅的最小值.19．（本小题满分14分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD AD ===， M 为AC 的中点.（Ⅰ）求证:BC MD ⊥；（Ⅱ）求二面角B MD C --的余弦值. （Ⅲ）求四面体A BCD -的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积24πS R =）20．（本小题满分14分）已知椭圆2222 1 (0)x y C a b a b +=>>：的一个焦点为，离心率为3. 点P 为圆22 13M x y +=：上任意一点，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）记线段OP 与椭圆C 交点为Q ，求||PQ 的取值范围；（Ⅲ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论.北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D2.C3. A4. D5. A6. A7. B8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若a b ≠，则220a b -≠10.350x y +-= 11.15π 12.221916x y -=，5313.414. ○1○2注：第12题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，1AA ⊥底面ABC . …………………1分又因为CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥. …………………3分又因为1AA AB A = ，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A . …………………6分 (Ⅱ)证明：如图，连接1AC ，设11AC AC O = ，连接OD ，由正三棱柱111ABC A B C -，得1AO OC =，又因为在1ABC ∆中，AD DB =，所以1//OD BC ， …………………10分又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .…………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：将圆C 的方程配方，得22(3)(4)25x y m -+-=-，…………………1分所以圆C 的圆心为(3,4)，半径25)r m <. …………………3分因为圆C 与圆221x y +=相外切，1=………5分解得9m =.…………………7分（Ⅱ）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==………………9分因为直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得22225r m =-=+， …………………11分解得10m =. …………………13分 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1AA AD ⊥. 又因为AB AD ⊥，1AA AB A = ，所以AD ⊥平面11ABB A .…………………1分因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅四边形………………2分11[(12)2]1132=⨯⨯+⨯⨯=.……………4分（Ⅱ）解：由1AA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，可得AD ，1AA ，AB 两两垂直，所以分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，…………5分则(0,0,0)A ，(0,0,2)B ，(1,0,1)C ，(0,1,0)E ，1(1,2,1)C . 所以(0,1,0)AE = ，1(1,1,1)EC =，(1,0,1)BC =- ，1(0,2,0)CC = . 设平面11BCC B 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BC ⋅= m ，10CC ⋅= m ，得0,20,x z y -=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,0,1)=m . …………………7分设1(,,)EM EC λλλλ==，其中10λ≤≤，则(,1,)AM AE EM λλλ=+=+ ，记直线AM 与平面11BCC B 所成角为θ，则1sin |cos ,|3AM θ=<>= m ，解得15λ=-（舍），或13λ=.………………9分所以141(,,)333AM = ，故线段AM 的长度为||AM …………………10（Ⅲ）答：对于线段1B C 上任意一点N ，直线NE 与直线CD 都不平行. ……………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得1(,0)2F ，则直线AB 的方程为12()2y x =-. …………………2分由2212(),2,y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩=-= 消去y ，得24610x x -+=. …………………3分设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>，且1232x x +=，1214x x =， …………………4分所以125|||2AB x x =-=. …………………6分（Ⅱ）解：因为,A B 是抛物线C 上的两点，所以设2(,)2t A t ，2(,)2s B s ，由OA OB ⊥，得2()04st st OA OB ⋅=+= ， …………………8分所以4st =-，即4s t =-.则点B 的坐标为284(,)B t t-. …………………10分所以||||8OA OB ⋅==，…………………12分当且仅当2t =±时，等号成立.所以||||OA OB ⋅的最小值为8.…………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥. …………………1分又因为BC CD ⊥，AD CD D = ，所以BC ⊥平面ACD . …………………3分又因为M D ⊂平面ACD ，所以BC MD ⊥. …………………4分（Ⅱ）解：如图，设BD 的中点为O ，AB 的中点为E ，连接OC ，OE ，因为AD ⊥平面BCD ，所以EO ⊥平面BCD ，由BC CD ⊥，且B C C D =，可得OC ，OD ，OE 两两垂直，所以分别以OC ，OD ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， …………………5分则A，(0,B，C，D，M .所以DM =，(0,BD =，(CD = . 设平面BMD 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0DM ⋅= m ，0BD ⋅= m，得20,0,z +==⎪⎩令x =1)=-m . …………………7分设平面CMD 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，由0DM ⋅= n ，0CD ⋅= n，得1111120,0,z +==⎪⎩令11x =，得(1,1,0)=n . …………………8分所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 由图可知，二面角B MD C --…………………10分（Ⅲ）解：根据（Ⅱ），记AB 的中点为E ，由题意，ABD ∆为直角三角形，斜边AB =所以EA EB ED === …………………12分由（Ⅰ），得BC ⊥平面ACD ，所以BC AC ⊥.在直角ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，所以EA EB EC ==.所以E 为四面体A BCD -的外接球的球心，故四面体A BCD -的外接球的表面积24π12πS EA =⋅=.…………………14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，知c =3c a=， …………………1分所以3a =，2b =， …………………2分所以椭圆C 的标准方程为221 94x y +=. …………………3分（Ⅱ）解：由题意，得||||||||PQ OP OQ OQ =-=. …………………4分设11(,)Q x y ，则2211194x y +=.所以||OQ = …………………5分因为1[3,3]x ∈-，所以当10x =时，min ||2OQ =；当13x =±时，max ||3OQ =. …………………6分所以||2]PQ ∈. …………………7分（Ⅲ）结论：直线PB 与椭圆C 相切. …………………8分证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，所以PA PB ⊥.当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±，由题意，得直线PB 的方程为2y =±，显然直线PB 与椭圆C 相切.同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切. …………………9分当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点00(),P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k-，所以直线PA ：00()y y k x x -=-，直线PB ：00()1y y x x k-=--， …………10分由0022(),1,94y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y ，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=. 因为直线PA 与椭圆C 相切，所以22210000[18()]4(94)[9()36]0y kx k k y kx ∆=--+--=，整理，得22210000144[(9)24]0x k x y k y ∆=---+-=. （1） ……………12分同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得2220000211144[(9)24]x x y y k k∆=--++-.（2）因为点P 为圆22 13M x y +=：上任意一点，所以220013x y +=，即220013y x =-. 代入（1）式，得2220000(9)2(9)0x k x y k x --+-=，代入（2）式，得222200002144[(9)2(4)]x x y k y k k∆=--++- 22200002144[(9)2(9)]x x y k x k k =--++- 22200002144[(9)2(9)]x k x y k x k =--+- 0=.所以此时直线PB 与椭圆C 相切.综上，直线PB 与椭圆C 相切. …………………14分。

2017-2018年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2704．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知A ，B 是函数y=2x 的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣2，+∞）8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H +]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH 值的定义为pH=﹣lg [H +]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（5分）数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．若，则a n = ；S 5= ． 11．（5分）在△ABC 中，a=3，，△ABC 的面积为，则c= ．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有种．（用数字作答）13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间上的最大值．16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1=AB=AC=2，∠A 1AC=60°．过AA 1的平面交B 1C 1于点E ，交BC 于点F ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：四边形AA 1EF 为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角B ﹣AC 1﹣F 的大小．18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，不合题意；对于B，函数在（0，1）递减，不合题意；对于C，函数在R无单调性，不合题意；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．4．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C：（θ为参数）转化为：（x﹣3）2+y2=1，则：圆心（3，0）到原点（0.0）的距离为3，故点M到原点的最大值为：3+1=4．故选：D．5．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，由图形可知C（1，2），令z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过C（1，2）时，z最小，z的最小值是0，2x﹣y的取值范围是：[0，+∞）．故选：D．6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2 |”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“||=|2|”平方得“||2+4•+4||2=4||2+4•+||2，即“||2=||2”，即“||=||”，反之也成立，即“||=||”是“||=|2|”充要条件，故选：C．7．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH=﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得pH=﹣lg[H+]∈（7.35，7.45），且[H+]•[OH﹣]）=10﹣14，∴lg=lg=lg[H+]2+14=2lg[H+]+14，∵7.35＜﹣lg[H+]＜7.45，∴﹣7.45＜lg[H+]＜﹣7.35，∴﹣0.9＜2lg[H+]+14＜﹣0.7，即﹣0.9＜lg＜﹣0.7，∵lg=﹣lg2≈0.30，故A错误，lg=﹣lg3≈0.48，故B错误，lg=﹣lg6=﹣（lg2+lg3）≈﹣0.78，故C正确，lg=﹣1，故D错误，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）10．（5分）数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n=2n﹣3；S5=．【解答】解：根据题意，数列{a n}是公比为2的等比数列，若，则a1==，则a n=a1×q n﹣1=2n﹣3，S5===故答案为：2n﹣3，11．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有8种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将产品A与产品B全排列，都摆在产品C的左侧，有A22=2种情况，②，三件产品放好后，有4个空位，在其中任选1个，安排最后一件产品，有4种情况，则4间产品有2×4=8种不同的摆法；故答案为：8．13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是36．【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱锥P ﹣ABCD ，如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=4 可得CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PAB ， ∴S △PCB =S △PCD =S △PAB =S △PAD =S 四边形ABCD =3×3=9．该几何体的表面积是S=S △PCB +S △PCD +S △PAB +S △PAD +S 四边形ABCD =36．故答案为：3614．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是[﹣，+∞）；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是 [，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x ）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]当，即时，[（11分）]f（x ）取得最大值为．[（13分）]16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，（1分）在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以．（3分）（Ⅱ）X 可能的取值为0，1，2．（4分）记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，则，．（5分），，．（8分）所以X 的分布列为：．（10分）注：学生得到X～，所以，同样给分．（Ⅲ）．（13分）17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AB=AC=2，∠A1AC=60°．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角B﹣AC1﹣F的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（1分）]因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，所以A1A∥平面BB1C1C．[（5分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（6分）]因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面AA1EF∩平面ABC=AF，平面AA1EF∩平面A1B1C1=A1E，所以A1E∥AF．[（7分）]所以四边形AA1EF为平行四边形．[（8分）]（Ⅲ）解：在平面AA1C1C内，过A作Az⊥AC．因为AB⊥平面AA1C1C，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．[（9分）]由题意得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），，．因为，所以==（﹣，，0），所以．由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为=（0，﹣1，﹣）．设平面AC1F的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则x=﹣2，，所以=（﹣2，1，﹣）．[（11分）]所以|cos|==．[（13分）]由图知二面角B﹣AC1﹣F的平面角是锐角，所以二面角B﹣AC1﹣F的大小为45°．[（14分）]18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=e x•sinx﹣1，所以f'（x）=e x（sinx+cosx）．[（2分）]因为f'（0）=1，f（0）=﹣1，[（4分）]所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．[（5分）]（Ⅱ）证明：f'（x）=e ax（asinx+cosx）．[（6分）]由f'（x）=0，得asinx+cosx=0．[（7分）]因为a＞0，所以．[（8分）]当时，由asinx+cosx=0，得．所以存在唯一的，使得．[（9分）]f（x）与f'（x）在区间（0，π）上的情况如下：所以f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在区间（x0，π）上单调递减．[（11分）]因为，[（12分）]且f（0）=f（π）=﹣1＜0，所以f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．[（13分）]19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得a=2，，所以．[（2分）]因为a2=b2+c2，[（3分）]所以b=1，[（4分）]所以椭圆C的方程为．[（5分）]（Ⅱ）若四边形PAMN是平行四边形，则PA∥MN，且|PA|=|MN|．[（6分）]所以直线PA的方程为y=k（x﹣2），所以P（3，k），．[（7分）]设M（x1，y1），N（x2，y2）．由得，[（8分）]由△＞0，得．且，．[（9分）]所以．=．[（10分）]因为|PA|=|MN|，所以．整理得16k4﹣56k2+33=0，[（12分）]解得，或．[（13分）]经检验均符合△＞0，但时不满足PAMN是平行四边形，舍去．所以，或．[（14分）]20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=2，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．（3分）注：只得到②或只得到③给（1分），有错解不给分．证明：（Ⅱ）当m=3时，设数列A n中1，2，3出现频数依次为q1，q2，q3，由题意q i≥1（i=1，2，3）．①假设q1＜4，则有a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，所以q1≥4．同理可证：q3≥4．（5分）②假设q2=1，则存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得a k=2．那么，对∀s，t，有a1+a k=1+2≠a s+a t（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以q2≥2．（7分）综上：q1≥4，q3≥4，q2≥2，所以．（8分）解：（Ⅲ）设1，2，…，2018出现频数依次为q1，q2，…，q2018．同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4，q2018≥4，q2≥2，q2017≥2，则n≥2026．取q1=q2018=4，q2=q2017=2，q i=1，i=3，4，5， (2016)得到的数列为：B n：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2015，2016，2017，2017，2018，2018，2018，2018．（10分）下面证明B n满足题目要求．对∀i，j∈{1，2，…，2026}，不妨令a i≤a j，①如果a i=a j=1或a i=a j=2018，由于q1=4，q2018=4，所以符合条件；②如果a i=1，a j=2或a i=2017，a j=2018，由于q1=4，q2018=4，q2=2，q2017=2，所以也成立；③如果a i=1，a j＞2，则可选取a s=2，a t=a j﹣1；同样的，如果a i＜2017，a j=2018，则可选取a s=a i+1，a t=2017，使得a i+a j=a s+a t，且i，j，s，t两两不相等；④如果1＜a i≤a j＜2018，则可选取a s=a i﹣1，a t=a j+1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意i，j，总存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．因此B n满足题目要求，所以n的最小值为2026．（13分）第21页（共21页）。

2018年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题与答案

东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

）（1 ）若会合 A { 2, 1,0,1,2,3} ， B { x | x1 或 x 2}，则AIB （A ） { 2,3} （B ）{2, 1,2,3}（ C ） {0,1}（D ） { 1,0,1,2}（ 2 ）函数 y 3sin(2 x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是4（ A ）（B ）（ C ）（ D ）24（3 ）履行以下图的程序框图，输出的x 值为开始（A ）1（B ）2（C ）3b=x 2（D ）7x= 1 ( x+ 3)42 xxb12否是输出 x结束 y ≥2 x,（4 ）若 x, y 知足 xy ≥3, 则 x y 的最小值为y ≤3,（A ） 5（B ） 3 （C ） 2（D ） 1（5 ）已知函数f (x)4x 1x ，则 f (x) 的2（ A ）图象对于原点对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ B ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ C ）图象对于原点对称，在[ 0 , ) 上是减函数（ D ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 ,) 上是减函数（6 ）设 a , b 为非零向量，则“a +b a - b ”是“ a b= 0”的（ A ）充足而不用要条件（B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件（7 ）某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积为1（A ）1116正（主）视图侧（左）视图1（ B ）3（C ）12（D ）1俯视图（8 ）现有 n 个小球，甲乙两位同学轮番且不放回抓球，每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球谁赢 . 假如甲先抓，那么以下推测正确的选项是（ A ）若（ C ）若n4 ，则甲有必赢的策略（ B ）若n 9 ，则甲有必赢的策略（ D ）若n 6 ，则乙有必赢的策略n 11 ，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

2017-2018学年北京市西城区初一第二学期期末数学试卷(含答案)

北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷七年级数学 2018.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 8的立方根等于（）.A. -2B. 2C. -4D. 4 2. 已知a b <，下列不等式中，正确的的是（）. A ．44a b +>+ B ．33->-b a C ．b a 2121< D ．22a b -<- 3. 下列计算中，正确的是（）.A. 246m m m +=B. 248m m m ⋅=C. 22(3)3m m = D. 42222m m m ÷=4. 如图，直线a ∥b ，三角板的直角顶点放在直线b 上，两直角边与直线a 相交，如果∠1=60°，那么∠2等于（）. A. 30° B ．40° C ．50° D ．60°5. 如果点P （5，y ）在第四象限，那么y 的取值范围是（）.A. y ≤0B. y ≥0C. y ＜0D. y ＞06. 为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；方案二：在恭王府景区随机调查400名游客；方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客；方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客. 在这四种调查方案中，最合理的是（）.A. 方案一B. 方案二C. 方案三D. 方案四 7. 下列运算中，正确的是（）.A. 222()a b a b +=+B. 2211()24a a a -=-+C. 222()2a b a ab b -=+-D. 222(2)22a b a ab b +=++ 8. 下列命题中，是假命题的是（）.A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 同旁内角互补，两直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行9. 某品牌电脑的成本为2 400元，售价为2 800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x 折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）. A.280024005%x ≥⨯ B ．2800240024005%x -≥⨯C ．280024005%10x ⨯≥⨯ D ．2800240024005%10x⨯-≥⨯ 10．为倡导绿色发展，避免浪费能源，某市准备对居民用电量采用阶梯收费的方法，计划实施三档的阶梯电价：第一档、第二档和第三档的电价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为了合理确定各档之间的界限，相关部门在该市随机调查了20 000户居民6月份的用电量（单位：kw .h ），并将收集的样本数据进行排序整理(排序样本)，绘制了如下频数分布直方图（每段用电量均含最小值，不含最大值）．根据以上信息，下面有四个推断：① 抽样调查6月份的用电量，是因为6月份的用电量在一年12个月的用电量中处于中等偏上水平② 在调查的20 000户居民中，6月份的用电量的最大值与最小值的差小于500③ 月用电量小于160kw .h 的该市居民家庭按第一档电价交费，月用电量不小于310kw .h 的该市居民家庭按第三档电价交费④ 该市居民家庭月用电量的中间水平（50%的用户）为110kw .h 其中合理的是（）.A. ①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④二、填空题（本题共18分，第11～16题每小题2分，第17，18题每小题3分）11. 不等式组1,2xx>-⎧⎨<⎩的解集是___________.12.如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段P A，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是_______，理由是．13. 右图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：_________________________________．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D.BE⊥AD于点E，若∠CAB=50°，则∠DBE=_________°.15.如图，AB∥CD，CE交AB于F，∠C=55°，∠AEC=15°，则∠A=°．16.七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成(如图1)，用这七块板可拼出许多图形(1600种以上). 例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等. 请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2）经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）：（1）拼成长方形，在图3中画出示意图；（2）拼成等腰直角三角形，在图4中画出示意图.17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的四个顶点 A ，B ，C ，D 是整点(横、纵坐标都是整数)，则四边形ABCD 的面积是 .18. 若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，因为22521=+，所以5是一个“完美数”.（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数” ；（2）已知M 是一个“完美数”，且224512M x xy y y k =++-+（x ，y 是两个任意整数，k 是常数），则k 的值为 .三、解答题（本题共17分，第19题5分，第20，21题每小题6分） 19．计算：035(523)23(3)π-++-+- 解：20．解不等式：2231132x x ++->，并把解集表示在数轴上．解：21．先化简，再求值：22(2)(2)(4)ab ab a b ab ab +-++÷，其中10a =，15b =．解：四、解答题（本题共27分，第24题6分，其余每小题7分）22．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别是A （-2，0），B （0，3），C （3，0）．（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；（2）点A 经过平移后对应点为D （3，-3），将△ABC 作同样的平移得到△DEF ，画出平移后的△DEF ；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，若2CM DM =，直接写出点M 的坐标．解：（3）M 点的坐标为．23. 如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥OD ，∠EDO 与∠1互余. （1）求证：ED//AB ；（2）OF 平分∠COD 交DE 于点F ，若∠OFD =70︒，补全图形，并求∠1的度数．（1）证明：（2）解：1DC ABE24．某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A ，B 两个工程队先、后接力完成．已知A 工程队每天整修12米，B 工程队每天整修8米，共用时20天．问A ，B 两个工程队整修河道分别工作了多少天？（1）以下是甲同学的做法：设A 工程队整修河道工作了x 天，B 工程队整修河道工作了y 天．根据题意，得方程组： . 解得x y =⎧⎨=⎩请将甲同学的上述做法补充完整；（2）乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+812y x y x①在乙同学的做法中，x 表示，8y表示； ②请将乙同学所列方程组补充完整．25．阅读下列材料：2017年，我国全年水资源总量为28675亿m3．2016年，我国全年水资源总量为32466.4亿m3. 2015年，我国全年水资源总量为27962.6亿m3，全年平均降水量为660.8mm．我国水资源的消费结构包含工业用水、农业用水、生态用水、生活用水四类. 2017年全国用水总量6040亿m3，其中工业用水占用水总量的22%，农业用水占用水总量的62%，生态用水占用水总量的2%，生活用水844.5亿m3．根据上述材料，解答下列问题：（1）根据材料画适当的统计图，直观地表示2015～2017年我国全年水资源总量情况；（2）2017年全国生活用水占用水总量的%，并补全扇形统计图；（3）2012～2017年全国生活用水情况统计如下图所示，根据统计图中提供的信息，①请你估计2018年全国生活用水量为亿m3，你的预估理由是．②谈谈节约用水如何从我做起？．五、解答题（本题共8分）26．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°．（1）如图1，点M 在线段CB 上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B作BD ⊥AM ，交AM 延长线于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交AB 于点E ，交AM 于点F ．判断∠ENB 与∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；（2）如图2，点M 在线段CB 的延长线上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC .过点B 作BD ⊥AM 于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交BA 延长线于点E ，交MA 延长线于点F ． ①依题意补全图形；②若∠CAB =45°，求证：∠NEA =∠NAE ．图1 图2N北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷七年级数学附加题2018.7试卷满分：20分一、填空题（本题共8分）1. 分别观察下列三组图形，并填写表格：如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总．数．记为S n，S n叫做第n个“三角形数”（n为整数，且n＞1）. 类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示.第n个多边形数n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 …n=k 类型三角形数 3 6 10 15 28 … a四边形数 4 9 16 25 49 … b五边形数 5 12 22 35 70 …（1）请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中；（2）若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中.二、解答题（本题共12分，每小题6分）2. 食品中的维生素含量以及食品加工问题维生素又名维他命，通俗来讲，即维持生命的物质，是保持人体健康的重要活性物质，一般由食物中取得. 现阶段发现的维生素有几十种，如维生素A、维生素B、维生素C等.食品加工是一种专业技术，就是把原料经过人为处理形成一种新形式的可直接食用的产品，这个过程就是食品加工. 比如用小麦经过碾磨，筛选，加料搅拌，成型烘干，成为饼干，就是属于食品加工的过程.下表给出了甲、乙、丙三种原料中的维生素A，B的含量（单位：单位/kg）.将甲、乙、丙三种原料共100kg混合制成一种新食品，其中原料甲x kg，原料乙y kg，（1）这种新食品中：原料丙含有kg，维生素B的含量是单位；（用含x，y的式子表示）（2）若这种新食品中，维生素A的含量至少为44000单位，维生素B的含量至少为48000单位，请你证明：x+y ≥ 50.（1）解：原料丙有kg，维生素B的含量是单位.（2）证明：3．在平面直角坐标系xOy错误!未指定书签。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区2017-2018学年七年级下期末数学试卷含答案

西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷七年级数学2018.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 8的立方根等于（）.2 B.2 4 D.42．已知a<b，下列不等式中，正确的是（）.A. 4>4 3>3 C. 12a<12b D. -2a<-2 b3．下列计算中，正确的是（）246B. m2·m48 C.(3m) 2=3m2 D. 2m4÷m2=2 m24．如图，直线，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1=600，那么∠2等于（）.A. 300B. 400C. 500D. 6005．如果点P(5, y)在第四象限，那么y的取值范围是（）. ≤0 ≥0 <0 >06．为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；方案二：在恭王府景区随机调查400名游客；方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客；方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客．在这四种调查方案中，最合理的是（）.A ．方案一B ．方案二C ．方案三D ．方案四7．下列运算中，正确的是（）.A. ()222B.(12)22＋14C. () 22+22D.(2) 2=2a 2+228．下列命题中，是假命题的是（）A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.同旁内角互补，两直线平行C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行9．某品牌电脑的成本为2400元，售价为2 800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x 折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）.A. 2 800x ≥2400x5%B.2800x 一2400≥2400 x 5%C. 2 800 10x ⨯≥2400 x 5%D. 2 800 10x ⨯一2400≥2400x 5% 1010．为倡导绿色发展，避免浪费能源，某市准备对居民用电量采用阶梯收费的方法，计划实施三档的阶梯电价：第一档、第二档和第三档的电价分别覆盖全市居民家庭的80% , 15％和 5%．为了合理确定各档之间的界限，相关部门在该市随机调查了20000户居民6月份的用电量（单位：・ h)，并将收集的样本数据进行排序整理（排序样本），绘制了如下频数分布直方图（每段用电量均含最小值，不含最大值）.根据统计数据，下面有四个推断：①抽样调查6月份的用电量，是因为6月份的用电量在一年12个月的用电量中处于中等偏上水平②在调查的20000户居民中，6月份的用电量的最大值与最小值的差小于500③月用电量小于160 ・h的该市居民家庭按第一档电价交费，月用电量不小于310 ・h 的该市居民家庭按第三档电价交费④该市居民家庭月用电量的中间水平（50％的用户）为110 ・h 其中合理的是（）.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（本题共18分，第11-16题每小题2分，第17,18题每小题3分）11．不等式组12x x -⎧⎨⎩f p的解集是 . 12．如图，点在直线l 上，点P 在直线l 外，⊥l 于点C ，在线段中，最短的一条线段是，理由是13．右图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：14．如图，在∆中，∠900 平分∠ 交于点D, 上于点E ．若∠500，则∠15．如图，, 交于点F, ∠550, ∠150 则∠16．七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成（如图1)，用这七块板可拼出许多图形（1 600种以上）．例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2）经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）:(1)拼成长方形，在图3中画出示意图；(2）拼成等腰直角三角形，在图4中画出示意图．17．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点 , D 是整点（横、纵坐标都是整数），则平行四边形的面积是18．若一个整数能表示成a2＋b2 (是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”.(1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数” _; (2）已知M是一个“完美数”，且M＝x2＋45y2-12 k(是两个任意整数，k是常数），则k的值为三、解答题（本题共17分，第19题5分，第20,21题每小题6分）19．计算：035(523)23(3)π-++-+-解：20．解不等式：2231132x x ++-f ，并把解集表示在数轴上．21．先化简，再求值：(2)(2)+(a 2b 2+4) ÷ ，其中10, b =15四、解答题（本题共27分，第24题6分，其余每小题7分）22．在平面直角坐标系中，∆的三个顶点分别是A （-2,0) (0,3) (3,0). (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；(2）点A 经过平移后对应点为D(3，-3)，将△作同样的平移得到△，画出平移后的△;(3)在（2）的条件下，点M 在直线上，若2，直接写出点M 的坐标．解：(3）点M的坐标为23．如图，点O在直线上，⊥, ∠与∠1互余．(1）求证： ;(2) 平分∠交于点F，若∠700，补全图形，并求∠1的度数．(1)证明：(2)解：24．某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由两个工程队先、后接力完成．已知A 工程队每天整修12米，B 工程队每天整修8米，共用时20天．问两个工程队整修河道分别工作了多少天？(1)以下是甲同学的做法：设A 工程队整修河道工作了x 天，B 工程队整修河道工作了y 天．根据题意，得方程组：解得x y =⎧⎨=⎩X X请将甲同学的上述做法补充完整；(2）乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：128x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩X X①在乙同学的做法中，x 表示，8y表示；②请将乙同学所列方程组补充完整．25．阅读下列材料：2017年，我国全年水资源总量为28675亿m 3..2016年，我国全年水资源总量为32466.4亿 m3． 2015年，我国全年水资源总量为27 962. 6亿 m3，全年平均降水量为660. 8 .我国水资源的消费结构包含工业用水、农业用水、生态用水、生活用水四类．2017年全国用水总量为6 040亿 m3，其中工业用水占用水总量的22%，农业用水占用水总量的62%，生态用水占用水总量的2%，生活用水844.5亿 m3．根据上述材料，解答下列问题：(1)根据材料画适当的统计图，直观地表示2015一2017年我国全年水资源总量情况；(2) 2017年全国生活用水占用水总量的%，并补全扇形统计图(3) 2012一2017年全国生活用水情况统计如下图所示，根据统计图中提供的信息①请你估计2018年全国生活用水量为亿 m3，你的预估理由是；②谈谈节约用水如何从我做起？五、解答题（本题共8分）26．如图，在直角三角形中，∠90".(1）如图1，点M在线段上，在线段的延长线上取一点N，使得∠ = ∠．过点B作⊥，交延长线于点D，过点N作，交于点E，交于点F.判断∠与∠之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；(2）如图2，点M在线段的延长线上，在线段的延长线上取一点N，使得∠＝∠．过点B作⊥于点D，过点N作，交延长线于点E，交延长线于点F.①依题意补全图形；②若∠450，求证：∠∠.11 / 11。

北京市西城区2017-2018学年七年级下期末数学试卷含答案

西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷七年级数学2018.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 8的立方根等于（）.A.-2B.2C.-4D.42．已知a<b，下列不等式中，正确的是（）.A. a+4>b+4B.a-3>b-3C. 12a<12b D. -2a<-2 b3．下列计算中，正确的是（）A.m2+m4 =m6B. m2·m4=m8C.(3m) 2=3m2D. 2m4÷m2=2 m24．如图，直线a//b，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1=600，那么∠2等于（）.A. 300B. 400C. 500D. 6005．如果点P(5, y)在第四象限，那么y的取值范围是（）.A.y≤0B.y≥0C.y<0D.y>06．为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；方案二：在恭王府景区随机调查400名游客；方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客；方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客．在这四种调查方案中，最合理的是（）.A．方案一B．方案二C．方案三D．方案四7．下列运算中，正确的是（）.A. (a+b)2=a2+b2B.(a-12)2=a2-a＋14C. (a-b) 2=a2+2ab-b2D.(2a+b) 2=2a2+2ab+b28．下列命题中，是假命题的是（）A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.同旁内角互补，两直线平行C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行9．某品牌电脑的成本为2400元，售价为2 800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）.A. 2 800x≥2400x5%B.2800x一2400≥2400 x 5%C. 2 800 10x ⨯≥2400 x 5%D. 2 800 10x ⨯一2400≥2400 x 5% 10 10．为倡导绿色发展，避免浪费能源，某市准备对居民用电量采用阶梯收费的方法，计划实施三档的阶梯电价：第一档、第二档和第三档的电价分别覆盖全市居民家庭的80% , 15％和 5%．为了合理确定各档之间的界限，相关部门在该市随机调查了20000户居民6月份的用电量（单位：kw ・ h)，并将收集的样本数据进行排序整理（排序样本），绘制了如下频数分布直方图（每段用电量均含最小值，不含最大值）.根据统计数据，下面有四个推断：①抽样调查6月份的用电量，是因为6月份的用电量在一年12个月的用电量中处于中等偏上水平②在调查的20000户居民中，6月份的用电量的最大值与最小值的差小于500 ③月用电量小于160 kw ・h 的该市居民家庭按第一档电价交费，月用电量不小于310 kw ・h 的该市居民家庭按第三档电价交费④该市居民家庭月用电量的中间水平（50％的用户）为110 kw ・h其中合理的是（）.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（本题共18分，第11-16题每小题2分，第17,18题每小题3分）11．不等式组12x x -⎧⎨⎩的解集是 . 12．如图，点A,B,C,D,E 在直线l 上，点P 在直线l 外，PC ⊥l 于点C ，在线段PA,PB,PC ,PD,PE 中，最短的一条线段是，理由是13．右图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：14．如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=900 ,AD 平分∠ CAB 交BC 于点D, BE 上AD 于点E ．若∠CAB=500，则∠DBE=15．如图，AB//CD, CE 交AB 于点F, ∠C=550, ∠AEC=150 则∠A=16．七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成（如图1)，用这七块板可拼出许多图形（1 600种以上）．例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2）经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）:(1)拼成长方形，在图3中画出示意图；(2）拼成等腰直角三角形，在图4中画出示意图．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的四个顶点 A,B,C, D 是整点（横、纵坐标都是整数），则平行四边形ABCD 的面积是18．若一个整数能表示成a 2＋b 2 (a,b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”.(1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数” _;(2）已知M 是一个“完美数”，且M ＝x 2＋4xy+5y 2-12y+ k(x,y 是两个任意整数，k 是常数），则k 的值为三、解答题（本题共17分，第19题5分，第20,21题每小题6分） 19．计算：035(523)23(3)π+-+-解：20．解不等式：2231132x x++-，并把解集表示在数轴上．21．先化简，再求值：(ab+2)(ab-2)+(a2b2 +4ab) ÷ab，其中a=10, b =1 5四、解答题（本题共27分，第24题6分，其余每小题7分）22．在平面直角坐标系xOy中，∆ABC的三个顶点分别是A（-2,0) ,B(0,3) ,C(3,0).(1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；(2）点A经过平移后对应点为D(3，-3)，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF;(3)在（2）的条件下，点M在直线CD上，若CM=2DM，直接写出点M的坐标．解：(3）点M的坐标为23．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD, ∠EDO与∠1互余．(1）求证：ED// AB;(2) OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=700，补全图形，并求∠1的度数．(1)证明：(2)解：24．某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A,B 两个工程队先、后接力完成．已知A 工程队每天整修12米，B 工程队每天整修8米，共用时20天．问A,B 两个工程队整修河道分别工作了多少天？(1)以下是甲同学的做法：设A 工程队整修河道工作了x 天，B 工程队整修河道工作了y 天．根据题意，得方程组：解得x y =⎧⎨=⎩请将甲同学的上述做法补充完整；(2）乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下： 128x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①在乙同学的做法中，x 表示，8y 表示； ②请将乙同学所列方程组补充完整．25．阅读下列材料：2017年，我国全年水资源总量为28675亿m 3..2016年，我国全年水资源总量为32466.4亿 m 3． 2015年，我国全年水资源总量为27 962. 6亿 m 3，全年平均降水量为660. 8 mm.我国水资源的消费结构包含工业用水、农业用水、生态用水、生活用水四类．2017年全国用水总量为6 040亿 m 3，其中工业用水占用水总量的22%，农业用水占用水总量的62%，生态用水占用水总量的2%，生活用水844.5亿 m 3．根据上述材料，解答下列问题：(1)根据材料画适当的统计图，直观地表示2015一2017年我国全年水资源总量情况；(2) 2017年全国生活用水占用水总量的 %，并补全扇形统计图(3) 2012一2017年全国生活用水情况统计如下图所示，根据统计图中提供的信息①请你估计2018年全国生活用水量为亿m3，你的预估理由是；②谈谈节约用水如何从我做起？五、解答题（本题共8分）26．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90".(1）如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC = ∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE//BD，交AB于点E，交AM于点F.判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；(2）如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC＝∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE// BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F.①依题意补全图形；②若∠CAB=450，求证：∠NEA=∠NAE.。

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

2017西城区高三(上)期末数学(理科)

2017西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．【解答】∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．【解答】如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．12．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．【解答】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．（14分）17．【解答】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：X0123P（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．【解答】（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．【解答】（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．又因为a k+1依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．。

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由的否定的定义知p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x ，即可求出x+y+z ．解答：解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z= 由第一列，可得x=，所以x+y+z=．故答案为：．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力． 12．（5分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且AC=2AE ，那么=；∠A=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：证明△AEF ∽△ACB ，可得===，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， ∴∠AEF=∠C ， ∵∠EAF=∠CAB ， ∴△AEF ∽△ACB ，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n 0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故A（n）≤20m，令g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以A（n）≤20m．…（6分）令g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．。

北京市西城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷(含答案)

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第1页（共6页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学 2023.1本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{2,1,0,1,2,3}U ，集合2{|2}A x x Z ≤，则U A（A ）{1,0,1} （B ）{2,2,3} （C ）{2,1,2}（D ）{2,0,3}（2）设复数3i z ，则复数i z 在复平面内对应的点的坐标是（A ）(1,3) （B ）(1,3) （C ）(3,1)（D ）(3,1)（3）已知函数()lg ||f x x ，则()f x（A ）是奇函数，且在(0,) 上是增函数（B ）是奇函数，且在(0,) 上是减函数（C ）是偶函数，且在(0,) 上是增函数（D ）是偶函数，且在(0,) 上是减函数（4）已知双曲线22:33C x y ，则C 的焦点到其渐近线的距离为（A（B（C ）2 （D ）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第2页（共6页）（5）设,x y R ，且01x y ，则（A ）22x y （B ）tan tan x y （C ）42x y（D ）1(2)x y y x（6）在ABC △中，若4c ，1b a ，1cos 4C ，则ABC △的面积是（A ）1 （B ）34（C（D ）3154（7）“空气质量指数（AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI 大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天024~时的空气质量指数y 随时间t变化的趋势由函数10290,012,24,1224t t y t≤≤≤描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（A ）5小时（B ）6小时（C ）7小时（D ）8小时（8）设, 均为锐角，则“2 ”是“sin()sin ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）在ABC △中，1,90AC BC C ．P 为AB 边上的动点，则PB PC的取值范围是（A ）1[,1]4（B ）1[,1]8（C ）1[,2]4（D ）1[,2]8北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第3页（共6页）（10）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直．1 是正方形ABCD 及其内部的点构成的集合，2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合．设1AB ，给出下列三个结论：① 1M ,2N ，使2MN ； ② 1M ,2N ，使EM BN ；③ 1M ,2N ，使EM 与BN 所成的角为60 ．其中所有正确结论的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第4页（共6页）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

三角函数中的恒等变换应用-高中数学知识点讲解(含答案)

三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为；最大值为． 8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．15．（20092tan α=．三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得cos ϕ和sin ϕ的值，从而求得ϕ的值．【解答】解：23sin()3cos xx x ϕ+-，cos sin 3cos x x xx ϕϕ∴+=-，∴3ϕϕ⎧=⎪=⎨=-⎪⎩即1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,)ϕππ∈-，3πϕ∴=-，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得1x 与2x ，关于对称中心对称，即可求解12||xx +的最小值；【解答】解：函数()sin )f x a xx x θ=-=+，其中tan θ= 函数()f x的一条对称轴为6x π=-，可得1()62f a π-=--=解得：2a =． 3πθ∴=-对称中心对称横坐标3x k ππ-=，可得3x k ππ=+，k Z ∈．又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性． 12||2||3x x k π∴+=+当0k =时，可得122||3x x π+= 故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用．属于中档题． 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R【分析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】解：对于A ：由()sin()cos()()f x x x x f x -=-+-=-，()f x ∴是奇函数，A 对；对于B ，()sin cos f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=-，当0x =时，()0f x =，()0f x '=，0不是()f x 的极值点．B 对．对于:()sin cos C f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，可得在(2π-，0)上单调递减．(0,)2π上单调递增．(0)f 可得最小值，(0)0f =，所以，()f x 在(,)22ππ-上不是3个零点．C 不对；对于D ：当x 无限大或无线小时，可得()f x 的值域为R ，D 对．故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-【分析】对函数()f x 求导数，利用导数判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值．【解答】解：函数()f x x x =，()1f x x ∴'=；令()0f x '=，解得cos x ，又[0x ∈，]π，4x π∴=；[0x ∴∈，)4π时，()0f x '<，()f x 单调递减；(4x π∈，]π时，()0f x '>，()f x 单调递增；且()14444f ππππ==-，(0)0f =，()f ππ=；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值分别为π和14π-．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π【分析】利用二倍角公式和和角公式化简()f x ，根据()f α=α的表达式即可得出α的值．【解答】解：111()cos2sin 2cos4sin 4cos4)2224f x x x x x x x π=+=++，())242f παα∴=+=4242k ππαπ∴+=+，即162k ππα=+，k Z ∈． (2πα∈，)π，916216πππα∴=+=．故选：C ．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 【分析】由()0f x =结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．【解答】解：由()sin 220f x x x ==得sin 2x x =，即tan 2x = 即23x k ππ=-，即26k x ππ=-， 0x π，∴当1k =时，3x π=，当2k =时，56x π=，则函数()f x 的零点之和为57366πππ+=，故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 π ；最大值为．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期．再根据正弦函数值域求最大值．【解答】解：函数2111()cos cos 2cos2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++．故函数()f x 的最小正周期为T π=．当2262x k πππ+=+时，函数()f x 取得最大值为32．故答案为：3,2π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是 43【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数可得1()244T ππ--，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，1cos 2x x ωω=- sin()6x πω=-函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，即262k πππωπ-=+，k Z ∈，1123k ω∴=+，又()f x 在区间[,]44ππ-上是单调函数，∴1()244T ππ--，则T π．即2ω．∴24622462k k πππωππππωπ⎧---⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩解得：483883k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩∴403ω< 可得ω的最大值为：43．故答案为：43【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 1 ．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cos sin 0θθ-=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值．【解答】解：因为a b ⊥，所以0a b =，即：cos sin 0θθ-=，两边平方可得：22cos 2sin cos sin 0θθθθ-+=，可得：1sin20θ-=，解得：sin21θ=．故答案为：1．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 [ ．【分析】由三角恒等变换化简()f x ，然后转化为关于x 的方程．【解答】解：22(tan )sin 2cos22sin cos cos sin f ααααααα=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα+-+-==++， ∴2221()1x x f x x +-=+，2(1)210y x x y ∴+-+-=，当110,2y x +==-，即1y =-成立；当10y +≠时，△2(2)4(1)(1)0y y =--+-，可得2y，且10y +≠，综上所述，可得函数的值域为[．【点评】本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得出答案．【解答】解：2()sin()cos 62xf x x π=++，11sin coscos sincos 6622x x x ππ=+++111cos cos 222x x x =+++1cos 2x x =++1)2x ϕ=++，其中tan ϕ=∴，最小正周期222||1T πππω===；，2π．【点评】本题考查了利用二倍角公式和辅助角公式进行三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【分析】（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．【解答】（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+，只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立．5⋯分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点0(P x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=．10⋯分．【点评】本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．【分析】()I 利用诱导公式可得33sin3cos(3)cos[3(3)]22x x x ππ=--=--，把已知的条件代入可证得结论成立． ()II 两次使用二倍角公式，即可求得结果．()III 利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出2sin18︒的值．【解答】解：()I 证明：33sin3cos(3)cos[3()][4cos ()3cos()]2222x x x x x ππππ=--=--=---- 33(4sin 3sin )3sin 4sin x x x x =--=-，故等式成立．22242()cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1II x x x x x x ==-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．()sin36cos54III ︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=．【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．【分析】原式的左边括号外边利用同角三角函数间的基本关系把tan θ化为sin cos θθ，括号里边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后约分即可得到结果；原式的右边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后得到结果，由左边=右边得证．【解答】证明：等式左边2tan (1cos 2)θθ=+222sin (12cos 1)cos θθθ=+- 222sin 2cos cos θθθ= 22sin θ=，等式右边221cos21(12sin )2sin θθθ=-=--=，∴左边=右边，故原式成立．【点评】此题考查了三角函数恒等式的证明，用到的知识有同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握三角函数的恒等变换公式是证明的关键．15．（20092tan α=．【分析】先把1sin 1sin αα+-分子分母同时乘以1sin α+，整理求得22(1sin )cos αα+，进而根据α所在的象限求得1sin cos αα+=1sin cos αα-= 2tan α=．【解答】解：1sin 1sin αα+-2(1sin )(1sin )(1sin )ααα+=-+ (1sin )a =+^2/[1(sin )a -^2] 22(1sin )cos αα+=因为A 是第四象限的角所以cos 0> 又因为sin 1α<- 所以1sin 0a +>1sin cos αα+1sin cos αα-=第11页（共11页）1sin 1sin sin 2cos cos cos αααααα+-=-= 2tan α=原式得证．【点评】本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．。

2017-2018西城区高三第一学期理科数学期末试卷

（Ⅲ）若
BF BC

2 3
，求二面角
B

AC1

F
的大小.
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18．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) eax sin x 1，其中 a 0 ．（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（A） 2
（D）
y

1
x2
（B） 6
（C） 30
（D） 270
x 3 cos ,
4．已知
M
为曲线 C
：

y

sin
（为参数）上的动点．设 O 为原点，则 OM 的最
大值是
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
x 1≥ 0, 5．实数 x, y 满足 x y 1≥ 0, 则 2x y 的取值范围是
x y 1≥ 0,
（A）[0, 2] （C）[1, 2]
（B） ( ,0] （D） [0, )
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6．设 a, b 是非零向量，且 a,b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知 A ， B 是函数 y 2 x 的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线 y 1 的距离相等，
2
则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是

北京市西城区2017-2018学年八年级下期末考试数学试卷含答案解析

北京市西城区 2017-2018 学年八年级下期末考试数学试卷含答案分析试卷满分：100 分，考试时辰：100 分钟一、选择题（本题共30 分，每题 3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的．1．使二次根式x3存心义的x 的取值范围是（）．A．x3B．x3C．x0D．x3【专题】惯例题型．【剖析】斩钉截铁利用二次根式存心义的条件从而剖析得出答案．【解答】应选： B．【评论】本题重要考察了二次根式存心义的条件，正确掌握定义是解题重点．2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，经过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下边四幅图是我国一些博物馆的标记，此中是中心对称图形的是（）．A B C D【专题】惯例题型．【剖析】依照中心对称图形的定义和图案特色即可解答．【解答】解： A 、不是中心对称图形，应选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，应选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．应选： C．【评论】本题考察中心对称图形的观点：在同一平面内，假如把一个图形绕某一点旋转180 度，旋转后的图形能和原图形完好重合，那么那个图形就叫做中心对称图形．3．以下条件中，不可以判断一个四边形是平行四边形的是（）．A．两组对边分不平行B．两组对边分不相等C．两组对角分不相等 D ．一组对边平行且另一组对边相等【专题】多边形与平行四边形．【剖析】依照平行四边形的判断方法一一判断即可．【解答】解： A、两组对边分不平行的四边形是平行四边形，故本选项不切合题意；B、两组对边分不相等的四边形是平行四边形，故本选项不切合题意；C、两组对角分不相等的四边形是平行四边形，故本选项不切合题意；D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不必定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项切合题意；应选： D．【评论】本题考察平行四边形的判断，解题的重点是记着平行四边形的判断方法．4．若点 A（， m），B（4，n）都在反比率函数y 8的图象上，则 m与 n 的大小关系是（）．xA．m n B．m n C．m n D．没法确立【专题】函数思想．【剖析】把所给点的横纵坐标代入反比率函数的分析式，求出 mn 的值，比较大小即可．【解答】∴m＜n．应选： A．【评论】本题重要考察反比率函数图象上点的坐标特色，全部在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比率系数．5．如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分不是 AC， DC 的中点．若 EF=3，则菱形 ABCD 的周长为（）．A．12 B．16C．20D． 24【专题】几何图形．【剖析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半求出 AD ，再依照菱形的周长公式列式运算即可得解．【解答】解：∵ E、F 分不是 AC、DC 的中点，∴E F 是△ ADC 的中位线，∴A D=2EF=2 ×3=6，∴菱形 ABCD 的周长 =4AD=4 ×6=24．应选： D．【评论】本题重要考察了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的重点．6．近几年，手机支付用户规模增加快速，据统计2015 年手机支付用户约为 3.58 亿人，连续两年增加后，2017 年手机支付用户达到约 5.27 亿人．假如设这两年手机支付用户的年均匀增加率为 x，则依照题意可以列出方程为（）．A．3.58(1x) 5.27B．3.58(1 2x) 5.27C．3.58(1x)2 5.27 D． 3.58(1 x) 2 5.27【专题】惯例题型．【剖析】假如设这两年手机支付用户的年均匀增加率为x，那么 2016年手机支付用户约为 3.58（1+x）亿人， 2017 年手机支付用户约为3.58（1+x）2亿人，而2017 年手机支付用户达到约 5.27 亿人，依照2017 年手机支付用户的人数不变，列出方程．【解答】解：设这两年手机支付用户的年均匀增加率为x，依题意，得3.58（1+x）2=5.27．应选： C．【评论】本题考察的是由实质咨询题抽象出一元二次方程-均匀增加率咨询题．解决这种咨询题所用的等量关系同样是：增加前的量×（1+均匀增加率）增加的次数 =增加后的量．7．甲、乙两位射击运动员的10 次射击练习成绩的折线统计图以下图，则以下对于甲、乙这10 次射击成绩的讲法中正确的选项是（）．A．甲的成绩相对牢固，其方差小B．乙的成绩相对牢固，其方差小C．甲的成绩相对牢固，其方差大D．乙的成绩相对牢固，其方差大【专题】惯例题型．【剖析】联合图形，乙的成绩颠簸比较小，则颠簸大的方差就小．【解答】解：从图看出：乙选手的成绩颠簸较小，讲明它的成绩较稳固，甲的颠簸较大，则其方差大，应选： B．【评论】本题考察了方差的意义．方差是用来权衡一组数据颠簸大小的量，方差越大，表示这组数据偏离均匀数越大，即颠簸越大，数据越不牢固；反之，方差越小，表示这组数据散布比较集中，各数据偏离均匀数越小，即颠簸越小，数据越牢固．8．已知△ ABC 的三边长分不是 a， b，c，且对于 x 的一元二次方程x 22ax c2b20 有两个相等的实数根，则可推测△ ABC 必定是（）．A．等腰三角形 B ．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【专题】运算题．【剖析】依照判不式的意义获得△=（-2a）2-4（c2-b2）=0，而后依照勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．【解答】解：依照题意得△=（-2a） 2-4（ c2-b2）=0，所以 a2+b2=c2，所以△ ABC 为直角三角形，∠ ACB=90°．应选： C．【评论】本题考察了根的判不式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△ =b2-4ac 有以下关系：当△＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0 时，方程无实数根．也考察勾股定理的逆定理．9．如图，在△OAB中，∠ AOB=55 °，将△ OAB在平面内绕点O 顺时针（旋转到△ OA′B′的地点，使得）．A．125°B．70°C．55°D．15°BB′∥ AO ，则旋转角的度数为【专题】平移、旋转与对称．【剖析】据两直线平行，内错角相等可得∠AOB= ∠B'BO=55°，依照旋转的性质可得OB=OB′，而后利用等腰三角形两底角相等可得∠BO B′，即可获得旋转角的度数．【解答】解：∵ BB′∥ AO，∴∠ AOB= ∠B'BO=55°，又∵ OB=OB′，∴△ BOB' 中，∠ BOB'=180°-2×55°=70°，∴旋转角的度数为70°，应选： B．【评论】本题考察了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并正确识图是解题的重点．10．已知某四边形的两条对角线订交于点O．动点 P 从点 A 起程，沿四边形的边按 A→B→C 的路径匀速运动到点 C．设点 P 运动的时辰为 x，线段 OP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大概如右图所示，则该四边形可能是（）．A B C D【专题】函数及其图像．【剖析】经过点P 经过四边形各个极点，观看图象的对称趋向咨询题可解．【解答】解： C、D 选项 A→B→C 路线都对于对角线BD 对称，因此函数图象应拥有对称性，故C、D 错误，对于选项 B 点 P 从 A 到 B 过程中OP 的长也存在对称性，则图象前半段也应当拥有对称特色，故 B 错误．应选： A．【评论】本题动点咨询题的函数图象，考察学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋向判断．解答重点是注意动点抵达临界前后的图象变化二、填空题（本题共24 分，每题 3 分）11．运算：3 5210_________．【专题】运算题．【剖析】先进行二次根式的乘法运算，而后化简后归并即可．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算：先把二次根式化为最简二次根式，而后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．在二次根式的混淆运算中，如能联合题目特色，灵巧运用二次根式的性质，选择适合的解题门路，常常能事半功倍．12．若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则此中一个较小的内角的度数是°．【剖析】第一设平行四边形中两个内角的度数分不是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x=180，既而求得答案．【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分不是x°， 2x°，则 x+2x=180，解得： x=60，∴此中较小的内角是： 60°．故答案为： 60°．【评论】本题考察了多边形的内角和外角，平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．13．如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m 处折断 ,若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的地点离木杆底端的距离为m．【专题】惯例题型．【剖析】由题意得，在直角三角形中，理解了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的地点离木杆底端的距离．【解答】解：∵一棵垂直于地面的木杆在离地面 3 米处折断，木杆折断前的高度为 8m，故答案为： 4．【评论】本题考察了勾股定理的应用，重要考察学生对勾股定理在实质生活中的运用能力．14．将一元二次方程x28x13 0 经过配方转变成 (x n)2p 的形式（ n ，p 为常数），则n=_________，p =_________．【专题】运算题；一元二次方程及应用．【剖析】依照配方法的同样步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加前一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵ x2+8x+13=0，∴x2+8x=-13，则 x2+8x+16=-13+16，即（ x+4）2=3，∴n=4、p=3，故答案为： 4、3．【评论】本题考察了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC，BD 订交于点 O，若∠ AOD=120 °， AB=2 ，则 BC 的长为．【剖析】由条件可求得△ AOB 为等边三角形，则可求得 AC 的长，在Rt△ABC 中，由勾股定理可求得 BC 的长．【解答】解：∵∠ AOD=120 °，∴∠ AOB=60 °，∵四边形 ABCD 为矩形，∴A O=OC=OB ，∴△ AOB 为等边三角形，∴A O=OB=OC=AB=2 ，∴A C=4，【评论】本题重要考察矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互均分是解题的重点．16．已知一个反比率函数的图象与正比率函数y 2 x的图象有交点，请写出一个知足上述条件的反比率函数的表达式：．【专题】惯例题型．【剖析】写一个经过一、三象限的反比率函数即可．【解答】【评论】本题考察了反比率函数与一次函数的交点咨询题：求反比率函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则二者有交点，方程组无解，则二者无交点．也考察了待定系数法求函数分析式．17．某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了检查，这两款汽车的各项得分以下表所示：汽车型号安全性能省油效能外观吸引力内部装备A3123B3222（得分讲明： 3 分——极佳， 2 分——优秀， 1 分——尚可赞同）（1）技术员以为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部装备这四项的占比分不为 30%，30%，20%，20%，并由此运算获得 A 型汽车的综合得分为 2.2，B 型汽车的综合得分为；（2）请你写出一种各项的占比方式，使得A型汽车的综合得分高于B 型汽车的综合得分．（讲明：每一项的占比大于0，各项占比的和为100%）答：安全性能： ______，省油效能： ______，外观吸引力：______，内部装备： ______．【专题】惯例题型．【剖析】（1）依照加权均匀数的运算公式列式运算即可；（2）要使得 A 型汽车的综合得分高于 B 型汽车的综合得分，依照这两款汽车的各项得分，将 A 型汽车高于 B 型汽车得分的项（内部装备）占比较高，同时将 A 型汽车低于 B 型汽车得分的项（省油效能）占比较低即可．【解答】解： B 型汽车的综合得分为： 3×30%+2×30%+2×20%+2×2 0%=2.3．故答案为 2.3；（2）∵ A 型汽车的综合得分高于 B 型汽车的综合得分，∴各项的占比方式可以是：安全性能： 30%，省油效能： 10%，外观吸引力：10%，内部装备 50%．故答案为 30%，10%，10%，50%．【评论】本题考察的是加权均匀数的求法，掌握公式是解题的重点．18．已知三角形纸片 ABC 的面积为 48，BC 的长为 8．按以下步骤将三角形纸片 ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图 1，沿三角形 ABC 的中位线 DE 将纸片剪成两部分．在线段 DE 上随意取一点 F，在线段 BC 上随意取一点 H，沿 FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分；第二步：如图 2，将 FH 左边纸片绕点 D 旋转 180°，使线段 DB 与 D A 重合；将 FH 右边纸片绕点 E 旋转 180°，使线段 EC 与 EA 重合，再与三角形纸片 ADE 拼成一个与三角形纸片 ABC 面积相等的四边形纸片．图2图1（1）当点 F， H 在如图 2 所示的地点时，请依照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的全部四边形纸片中，其周长的最小值为_________．【专题】综合题．【剖析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出△ ABC 的边长边上的高为 12，从而求出 DE 与 BC 间的距离为6，再判断出 FH 最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论．【解答】解：（1）∵ DE 是△ ABC 的中位线，∴四边形 BDFH 绕点 D 顺时针旋转，点 B 和点 A 重合，四边形 CEFH 绕点 E 逆时针旋转，点 C 和点 A 重合，∴补全图形如图 1 所示，（2）∵△ ABC 的面积是 48，BC=8，∴点 A 到 BC 的距离为 12，∵D E 是△ ABC 的中位线，∴平行线 DE 与 BC 间的距离为 6，由旋转知，∠ DAH''= ∠B，∠ CAH'= ∠C，∴∠ DAH''+ ∠BAC+ ∠CAH'=180 °，∴点H''，A，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF，∴∠ AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，∴点 F，E，F'在同一条直线上，同理：点 F，D，F''在同一条直线上，即：点 F'，F''在直线 DE 上，由旋转知， AH''=BH ，AH'=CH ，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H' ，∴F'F''=2DE=BC=H'H'' ，∴四边形 F'H'H''F''是平行四边形，∴? F'H'H''F''的周长为 2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH ，∵拼成的全部四边形纸片中，其周长的最小时，FH 最小，即：FH⊥BC，∴F H=6，∴周长的最小值为16+2× 6=28，故答案为 28．【评论】本题是四边形综合题，重要考察了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形 F'H'H''F''是平行四边形是解本题的重点．三、解答题（本题共其他每题 6 分）19．解方程：（1）x2 4 x 5 0 ；解：46 分，第19 题8 分，第 24、25 题每题（2）2 x2 2 x 10 ．解：7 分，【专题】惯例题型．【剖析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出 b2-4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）x2-4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，x-5=0，x+1=0，x1=5，x2=-1；（2）2x2-2x-1=0，a=2，b=-2，c=-1，△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（ -1）=12＞0，【评论】本题考察认识一元二次方程，能选项适合的方法解一元二次方程是解本题的重点．20．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 订交于点 O，将 BD 向两个方向延伸，分不至点 E 和点 F，且使 BE=DF．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AC=4，BE=1，斩钉截铁写出菱形 AECF 的边长．（1）证明：（2）菱形 AECF 的边长为 ____________．【专题】几何图形．【剖析】（1）依照正方形的性质和菱形的判断解答即可；（2）依照正方形和菱形的性质以及勾股定理解得答即可．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD 的对角线 AC，BD 订交于点 O，∴O A=OC，OB=OD ，∵B E=DF，∴O B+BE=OD+DF ，即 OE=OF．∴四边形 AECF 是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形 AECF 是菱形．（2）∵ AC=4，∴O A=2 ，∴O B=2，∴O E=OB+BE=3，【评论】本题考察了菱形的性质和判断，解题时要注意选择适合的判定方法．21．已知对于的一元二次方程2x(k 1)x 2k 20 ．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求k的取值范围．（1）证明：（2）解：【专题】一次方程（组）及应用．【剖析】（1）依照方程的系数联合根的判不式，求得判不式△≥ 0 恒建立，所以得证，（2）利用求根公式求根，依照有一个跟大于 0 且小于 1，列出对于 k 的不等式组，解之即可．【解答】（1）证明：△ =b2-4ac=[-（ k+1）]2-4×（2k-2）=k2-6k+9=（k -3）2，∵（ k-3）2≥0，即△≥ 0，∴此方程总有两个实数根，解得x1=k-1，x2=2，∵此方程有一个根大于0 且小于 1，而 x2＞1，∴0＜x1＜1，即 0＜k-1＜1．∴1＜k＜2，即 k 的取值范围为： 1＜k＜2．【评论】本题考察了根的判不式，解题的重点是：（1）切记“当△≥ 0时，方程总有两个实数根” ，（2）正确找出不等量关系列不等式组22．小梅在扫瞄某电影评判网站时，搜寻了近来关注到的甲、乙、丙三部电影，网站经过对观众的抽样检查，获得这三部电影的评分数据统计图分不以下：甲、乙、丙三部电影评分情况统计图讲明： 5 分——特意喜欢，4 分——喜欢，3 分——同样，2 分——不喜欢，1 分——特意不喜依照以上资料回答以下咨询题：（1）小梅依照所学的统计知识，对以上统计图中的数据进行了剖析，并经过运算获得这三部电影抽样检查的样本容量，观众评分的均匀数、众数、中位数，请你将下表增补完好：甲、乙、丙三部电影评分情况统计表电影样本容量均匀数众数中位数甲100 3.455乙 3.665丙1003 3.5（2）依照统计图和统计表中的数据，可以推测此中_______电影相对比较受欢迎，原因是．（起码从两个不一样的角度讲明你推测的合理性）【专题】惯例题型；统计的应用．【剖析】（1）依照众数、中位数和均匀数的定义，联合条形图分不求解可得；（2）从均匀数、中位数和众数的意义解答，合理即可．【解答】解：（1）甲电影的众数为 5 分，补全表格以下表所示：甲、乙、丙三部电影评分情况统计表电影样本容量均匀数众数中位数甲100 3.4555乙100 3.6654丙100 3.783 3.5（2）丙，①丙电影得分的均匀数最高；②丙电影得分没有低分．【评论】本题考察了条形统计图，表格，中位数，众数，弄清题意是解本题的重点．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中， Rt△ ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ ABC=90 °．点 A 的坐标为（ 1，0），点 C 的坐标为（ 3，4），M 是BC边的中点，函数y k （x0 ）的图象经过点M ．x（1）求 k 的值；（2）将△ ABC 绕某个点旋转 180°后获得△ DEF（点 A，B，C 的对应点分不为点 D，E，F），且 EF 在 y 轴上，点 D 在函数y k（x0 ）的图象上，求直线 DF 的表达式．x 解：（1）（2）【专题】函数思想．【剖析】（1）依照直角三角形的性质和坐标与图形的特色求得点 M 的坐标，将其代入反比率函数分析式求得 k 的值；（2）依照旋转的性质推知：△DEF≌△ABC ．故其对应边、角相等：DE= AB ，EF=BC，∠ DEF=∠ABC=90 °．由函数图象上点的坐标特色获得： D （2，3）． E（ 0，3）．联合 EF=BC=4 获得 F（ 0，-1）．利用待定系数法求得结果．【解答】解：（1）∵ Rt△ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ ABC=90 °，点 C 的坐标为（ 3，4），∴点 B 的坐标为（ 3，0），CB=4．∵M是 BC 边的中点，∴点M 的坐标为（ 3，2）．∴k=3×2=6．（2）∵△ ABC 绕某个点旋转 180°后获得△ DEF，∴△ DEF≌△ ABC ．∴D E=AB ，EF=BC，∠ DEF=∠ABC=90 °．∵点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为（ 3，0），∴A B=2．∴D E=2．∵E F 在 y 轴上，∴点D 的横坐标为 2．当 x=2 时， y=3．∴点 D 的坐标为（ 2，3）．∴点 E 的坐标为（ 0，3）．∵E F=BC=4，∴点 F 的坐标为（ 0，-1）．设直线 DF 的表达式为 y=ax+b，将点 D，F 的坐标代入，∴直线 DF 的表达式为 y=2x-1．【评论】考察了待定系数法求一次函数分析式，反比率函数图象上点的坐标特色，旋转的性质，解题时，注意函数思想和数形联合数学思想的应用．24．在矩形 ABCD 中，BE 均分∠ ABC 交 CD 边于点 E．点 F 在 BC 边上，且 FE⊥AE．（1）如图 1，①∠ BEC=_________°；②在图 1 已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图 2，FH∥CD 交 AD 于点 H，交 BE 于点 M．NH∥BE，NB∥H E，连结 NE．若 AB=4 ，AH=2 ，求 NE 的长．解：（1）②结论：△ _________≌△ _________；证明：图 1（2）【专题】几何综合题．图 2【剖析】（1）依照矩形的性质获得∠ ABC= ∠BCD=90°，依照角均分线的定义获得∠ EBC=45°，依照三角形内角和定理运算即可；（2）利用 ASA 定理证明△ ADE ≌△ ECF；（3）连结 HB ，证明四边形 NBEH 是矩形，获得 NE=BH ，依照勾股定理求出 BH 即可．【解答】解：（1）①∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ ABC= ∠BCD=90°，∵BE 均分∠ ABC ，∴∠ EBC=45°，∴∠ BEC=45°，故答案为： 45；②△ ADE ≌△ ECF，原因以下：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABC= ∠C=∠D=90°， AD=BC ．∵FE⊥ AE，∴∠ AEF=90°．∴∠ AED+ ∠FEC=180°-∠AEF=90°．∵∠ AED+ ∠DAE=90 °，∴∠ FEC=∠EAD ，∵B E 均分∠ ABC ，∴∠ BEC=45°．∴∠ EBC=∠BEC．∴B C=EC．∴A D=EC ．在△ ADE 和△ ECF 中，∴△ ADE ≌△ ECF；（2）连结 HB ，如图 2，∵FH∥CD，∴∠ HFC=180°-∠C=90°．∴四边形 HFCD 是矩形．∴DH=CF ，∵△ADE ≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE ．∴∠ DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠ HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．∵NH∥BE，NB∥HE，∴四边形 NBEH 是平行四边形．∴四边形 NBEH 是矩形．∴N E=BH ．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAH=90 °．∵在 Rt △BAH 中， AB=4 ，AH=2 ，【评论】本题考察的是矩形的判断和性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判断定理和性质定理是解题的关键．25．当 k 值同样时，我们把正比率函数y1x 与反比率函数yk叫做“关kx联函数”，可以经过图象研究“关系函数”的性质．小明依照学习函数的体会，先以y1 x 与y2 为例对“关系函数”进行了研究．2x下边是小明的研究过程，请你将它增补完好：（ 1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分不为 A ，B ，则点 A的坐标为（2 ，1），点B 的坐标为 _________；（2）点P 是函数y2 在第一象限内的图象上一个动点（点P 不与点Bx重合），设点 P 的坐标为（， 2），此中 >0 且 t 2 ．t①结论 1：作直线 PA ，PB 分不与 x 轴交于点 C ，D ，则在点 P 运动的过程中，总有 PC=PD ．证明：设直线 PA 的分析式为 yax b ，将点 A 和点 P 的坐标代入，a11 2a b,,12 t得解得t．___________. 2 t则直线 PA 的分析式为 y xtt令 y b.2， 0）．0 ，可得 x t t 2 ，则点 C 的坐标为（ t同理可求，直线 PB 的分析式为 y 1 x t2，点 D 的坐标为 __t t___________．请你连续达成证明 PC=PD 的后续过程：②结论 2：设△ABP 的面积为 S ，则 S 是 t 的函数．请你斩钉截铁写出S 与 t 的函数表达式．【专题】综合题．【剖析】（1）联立方程组求解即可得出结论；（2）①利用待定系数法求出直线 PA 的分析式，再利用待定系数法求出直线PB 的分析式即可求出点 D 坐标，从而判断出 PM 是 CD 的垂直均分线，即可得出结论；②分两种情况利用面积的和差即可得出结论；考试停止后：同（ 2）②的方法即可得出结论．令 y=0，考试停止后，你可以对点 P 在函数y2的第三象限内x∴x=t-2，图象上的情况进行近似的研究哟！则点 C的坐标为（ t-2，0）．∴x=t+2∴点 D 的坐标（ t+2，0），如图则点 M 的横坐标为 t．∴CM=t- （t-2）=2，DM= （ t+2）-t=2．∴CM=DM ．∴M 为 CD 的中点．∴PM 垂直均分 CD．，过点P 作PM ⊥x轴于点M ，∴PC=PD．【评论】本题是反比率函数综合题，重要考察了待定系数法，三角形的面积的运算方法，线段垂直均分线的性质和判断，掌握坐标系内求几何图形面积的方法是解本题的重点．北京市西城区 2017— 2018 学年度第二学期期末试卷八年级数学附带题2018.7试卷满分： 20 分一、填空题（本题共12 分，每题 6 分）1．观看下边的表格，研究此中的规律并填空：一元二次方程方程的两个根二次三项式分解因式x2x 2 0x1 1 ， x22x2x 2 (x 1)(x 2) x23x 4 0x1 1 ， x24x23x 4 (x 1)(x 4)3x2x20x2， x213x2x 2 3( x2)( x 1) 1334x29x 2 0x11， x224x29x 2 4( x)( x) 42x27x30x1___，x2___2x27x3____________________ax2bx c0x1m ， x2n ax2bx c____________________【专题】因式分解．【剖析】利用公式法对方程的左边进行因式分解．【解答】【评论】考察认识一元二次方程 -因式分解法．因式分解法的确是先把方程的右边化为 0，再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的咨询题了（数学转变思想）．2．在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形——同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解得将这种方法介绍给同学．（1）依照信息将以下小红的证明思路增补完好：①如图 1，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，四边形 ADEC ，四边形 BCFG，四边形 ABPQ 差不多上正方形．延伸 QA 交 DE于点 M，过点 C 作 CN∥AM 交 DE 的延伸线于点 N，可得四边形 AMNC 的形状是 _________________；②在图 1 中利用“等积变形”可得S正方形ADEC = _____________；③如图 2，将图 1 中的四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移图 MA1的长度，获得四边形A’ M ’N’ C’，即四边形 QACC ’；④设 CC’交 AB 于点 T，延伸 CC’交 QP 于点 H，在图 2 中再次利用“等积变形”可得S= _____________，四边形QACC '则有 S= _____________；正方形ADEC⑤同理可证S正方形BCFG= S四边形HTBP，所以获得S正方形ADEC+ S正方形BCFG = S正方形ABPQ，从而证了然勾股定理．图 2（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对此中的第③步提出了疑咨询，请将以下小红对小芳的讲明增补完好：图 1 中△ ______≌△ ______，则有 ______=AB=AQ ，因为平行四边形的对边相等，从而四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，获得四边形 QACC ’．【专题】矩形菱形正方形．【剖析】依照平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判断和性质、等高模型即可解决咨询题；【解答】解：（1）∵四边形 ACED 是正方形，∴A C∥MN ，∵ AM ∥CN，∴四边形 AMNC 是平行四边形，∴S正方形 ADEC=S 平行四边形 AMNC ，∵AD=AC ，∠D=∠ACB ，∠DAC= ∠MAB ，∴∠ DAM= ∠CAB ，∴△ ADM ≌△ ACB ，∴A M=AB=AQ ，∴图 1 中的四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，获得四边形 A′M ′N′C′，即四边形 QACC ′，∴S四边形 QACC′ =S 四边形 QATH，则有 S 正方形 ADEC=S 四边形 QA TH，∴同理可证 S 正方形 BCFG=S 四边形 HTBP，所以获得 S 正方形 ADEC+S 正方形 BCFG=S 正方形 ABPQ；故答案为平行四边形， S 四边形 AMNC ，S 四边形 QATH，S 四边形 QATH；（2）由（ 1）可知：△ ADM ≌△ ACB ，∴AM=AB=AQ ，故答案为 ADM ，ACB ， AM ；【评论】本题考察平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判断和性质、等高模型等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构特意四边形解决咨询题，属于中考创新题目．二、解答题（本题8 分）3．在△ ABC 中， M 是 BC 边的中点．（1）如图 1，BD，CE 分不是△ ABC 的两条高，连结 MD ，ME，则 M D 与 ME 的数目关系是 ________________；若∠ A=70 °，则∠ DME=________°；（2）如图 2，点 D， E 在∠ BAC 的外面，△ ABD 和△ ACE 分不是以AB ，AC 为斜边的直角三角形，且∠ BAD= ∠CAE=30 °，连结 MD ，ME ．①判断（1）中 MD 与 ME 的数目关系能否依旧建立，并证明你的结论；。

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2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2704．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH=﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（5分）数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n=；S5=．11．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则c=．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有种．（用数字作答）13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间上的最大值．16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1=AB=AC=2，∠A 1AC=60°．过AA 1的平面交B 1C 1于点E ，交BC 于点F ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：四边形AA 1EF 为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角B ﹣AC 1﹣F 的大小．18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，不合题意；对于B，函数在（0，1）递减，不合题意；对于C，函数在R无单调性，不合题意；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．4．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C：（θ为参数）转化为：（x﹣3）2+y2=1，则：圆心（3，0）到原点（0.0）的距离为3，故点M到原点的最大值为：3+1=4．故选：D．5．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，由图形可知C（1，2），令z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过C（1，2）时，z最小，z的最小值是0，2x﹣y的取值范围是：[0，+∞）．故选：D．6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“||=|2|”平方得“||2+4•+4||2=4||2+4•+||2，即“||2=||2”，即“||=||”，反之也成立，即“||=||”是“||=|2|”充要条件，故选：C．7．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH=﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得pH=﹣lg[H+]∈（7.35，7.45），且[H+]•[OH﹣]）=10﹣14，∴lg=lg=lg[H+]2+14=2lg[H+]+14，∵7.35＜﹣lg[H+]＜7.45，∴﹣7.45＜lg[H+]＜﹣7.35，∴﹣0.9＜2lg[H+]+14＜﹣0.7，即﹣0.9＜lg＜﹣0.7，∵lg=﹣lg2≈0.30，故A错误，lg=﹣lg3≈0.48，故B错误，lg=﹣lg6=﹣（lg2+lg3）≈﹣0.78，故C正确，lg=﹣1，故D错误，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）10．（5分）数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n=2n﹣3；S5=．【解答】解：根据题意，数列{a n}是公比为2的等比数列，若，则a1==，则a n=a1×q n﹣1=2n﹣3，S5===故答案为：2n﹣3，11．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有8种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将产品A与产品B全排列，都摆在产品C的左侧，有A22=2种情况，②，三件产品放好后，有4个空位，在其中任选1个，安排最后一件产品，有4种情况，则4间产品有2×4=8种不同的摆法；故答案为：8．13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是36．【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱锥P ﹣ABCD ，如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=4 可得CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PAB ， ∴S △PCB =S △PCD =S △PAB =S △PAD =S 四边形ABCD =3×3=9．该几何体的表面积是S=S △PCB +S △PCD +S △PAB +S △PAD +S 四边形ABCD =36．故答案为：3614．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是[﹣，+∞）；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是 [，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x ）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]当，即时，[（11分）]f（x ）取得最大值为．[（13分）]16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，（1分）在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以．（3分）（Ⅱ）X 可能的取值为0，1，2．（4分）记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，则，．（5分），，．（8分）所以X 的分布列为：．（10分）注：学生得到X～，所以，同样给分．（Ⅲ）．（13分）17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AB=AC=2，∠A1AC=60°．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角B﹣AC1﹣F的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（1分）]因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，所以A1A∥平面BB1C1C．[（5分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（6分）]因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面AA1EF∩平面ABC=AF，平面AA1EF∩平面A1B1C1=A1E，所以A1E∥AF．[（7分）]所以四边形AA1EF为平行四边形．[（8分）]（Ⅲ）解：在平面AA1C1C内，过A作Az⊥AC．因为AB⊥平面AA1C1C，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．[（9分）]由题意得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），，．因为，所以==（﹣，，0），所以．由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为=（0，﹣1，﹣）．设平面AC1F的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则x=﹣2，，所以=（﹣2，1，﹣）．[（11分）]所以|cos|==．[（13分）]由图知二面角B﹣AC1﹣F的平面角是锐角，所以二面角B﹣AC1﹣F的大小为45°．[（14分）]18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=e x•sinx﹣1，所以f'（x）=e x（sinx+cosx）．[（2分）]因为f'（0）=1，f（0）=﹣1，[（4分）]所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．[（5分）]（Ⅱ）证明：f'（x）=e ax（asinx+cosx）．[（6分）]由f'（x）=0，得asinx+cosx=0．[（7分）]因为a＞0，所以．[（8分）]当时，由asinx+cosx=0，得．所以存在唯一的，使得．[（9分）]f（x）与f'（x）在区间（0，π）上的情况如下：所以f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在区间（x0，π）上单调递减．[（11分）]因为，[（12分）]且f（0）=f（π）=﹣1＜0，所以f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．[（13分）]19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得a=2，，所以．[（2分）]因为a2=b2+c2，[（3分）]所以b=1，[（4分）]所以椭圆C的方程为．[（5分）]（Ⅱ）若四边形PAMN是平行四边形，则PA∥MN，且|PA|=|MN|．[（6分）]所以直线PA的方程为y=k（x﹣2），所以P（3，k），．[（7分）]设M（x1，y1），N（x2，y2）．由得，[（8分）]由△＞0，得．且，．[（9分）]所以．=．[（10分）]因为|PA|=|MN|，所以．整理得16k4﹣56k2+33=0，[（12分）]解得，或．[（13分）]经检验均符合△＞0，但时不满足PAMN是平行四边形，舍去．所以，或．[（14分）]20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=2，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．（3分）注：只得到②或只得到③给（1分），有错解不给分．证明：（Ⅱ）当m=3时，设数列A n中1，2，3出现频数依次为q1，q2，q3，由题意q i≥1（i=1，2，3）．①假设q1＜4，则有a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，所以q1≥4．同理可证：q3≥4．（5分）②假设q2=1，则存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得a k=2．那么，对∀s，t，有a1+a k=1+2≠a s+a t（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以q2≥2．（7分）综上：q1≥4，q3≥4，q2≥2，所以．（8分）解：（Ⅲ）设1，2，…，2018出现频数依次为q1，q2，…，q2018．同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4，q2018≥4，q2≥2，q2017≥2，则n≥2026．取q1=q2018=4，q2=q2017=2，q i=1，i=3，4，5， (2016)得到的数列为：B n：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2015，2016，2017，2017，2018，2018，2018，2018．（10分）下面证明B n满足题目要求．对∀i，j∈{1，2，…，2026}，不妨令a i≤a j，①如果a i=a j=1或a i=a j=2018，由于q1=4，q2018=4，所以符合条件；②如果a i=1，a j=2或a i=2017，a j=2018，由于q1=4，q2018=4，q2=2，q2017=2，所以也成立；③如果a i=1，a j＞2，则可选取a s=2，a t=a j﹣1；同样的，如果a i＜2017，a j=2018，则可选取a s=a i+1，a t=2017，使得a i+a j=a s+a t，且i，j，s，t两两不相等；④如果1＜a i≤a j＜2018，则可选取a s=a i﹣1，a t=a j+1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意i，j，总存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．因此B n满足题目要求，所以n的最小值为2026．（13分）第21页（共21页）。