高中数学课件1.1.2 集合的表示方法
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.2集合的表示课件新人教A版必修1
[解析] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2， 此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根， 需要Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4， 所以集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1，即实数k构成的集合为 {0,1}．
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3．{(x，y)|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为_________. 答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
4．已知集合A＝x∈N6－8 x∈N
，试用列举法表示集合A.
解：由题意可知6－x是8的正约数，
当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x
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解：(1)满足条件的数有3,5,7， 所以所求集合为{3,5,7}． (2)∵a≠0，b≠0， ∴a与b可能同号也可能异号，故 ①当a>0，b>0时，|aa|＋|bb|＝2； ②当a＜0，b＜0时，|aa|＋|bb|＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，|aa|＋|bb|＝0. 故所有值组成的集合为{－2,0,2}．
[巧归纳] 描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征． (2)给出其满足的性质． (3)根据描述法的形式，写出其满足的集合．
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[练习2]用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}； (2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合； (3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
中所有元素之积为________．
(2)已知集合A＝{x|kx2－8x＋16
高中数学：1.1.2集合的表示方法 (1)_1
1．1．2集合的表示方法1．理解列举法、描述法的定义．2．会用两种方法表示一些简单的集合．1．列举法(1)定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．(2)用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多”或“少”)或有(填“有”或“无”)明显规律．2．描述法(1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是{x∈I|p(x)}，其中“x”是集合元素的代表形式，“I”是“x”的范围，“|p(x)”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．(2)描述法的语言形式有以下三种：文字语言，符号语言，图形语言．1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．答案：{0，1，2，3，4，5}2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．答案：{x∈N|0≤x≤5}或{x∈Z|0≤x≤5}(答案不唯一)3．用列举法表示集合需要注意什么？解：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)元素不能遗漏．4．用描述法表示集合需要注意什么？解：用描述法表示集合时应注意以下六点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号)；(2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都写在集合符号内；(6)用于描述条件的语句力求简明、准确．用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N ． 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ， 所以x ＝－2，－1，0，1，2， 所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根， 所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字， 所以N ＝{1，3，5，15}．(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．用列举法表示下列集合：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |66－x ∈N ；(2)已知M ＝{0，2，3，7}，P ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，a ≠b }，写出集合P ． 解：(1)A ＝{0，3，4，5}． (2)P ＝{0，6，14，21}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N＋}．用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同属性； (3)不能出现未被说明的字母；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)使式子1x（x－1）（x＋1）有意义的实数x的取值范围．解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．(3){x|x≠0，且x≠－1，且x≠1}．集合的表示方法的综合应用集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，a ∈R }中只有一个元素，求实数a 的值．【解】 (1)当a ＝0时，方程转化为－2x ＋2＝0，解得x ＝1，此时M ＝{1}，满足条件； (2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a ＝0，即a ＝12，此时方程有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知， 当a ＝12或0时，集合M 中只有一个元素．若将本例中“只有一个”改为“有两个”，求实数a 的取值范围．解：因为集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，a ∈R }中有两个元素，则Δ＝(－2)2－8a >0，即a <12．此题容易漏解a ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当a ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对a 进行分类讨论．1．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为________．解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以(－5)2＋5a －5＝0，即a ＝－4． 所以{x |x 2－5x －a ＝0}＝{x |x 2－5x ＋4＝0} ＝{x |(x －1)(x －4)＝0}＝{1，4}．故集合{x |x 2－5x －a ＝0}中的所有元素之和为5． 答案：52．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N ．(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B ．解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ．当x ＝2时，62＋2＝32∉N ．所以1∈B ，2∉ B ．(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6．所以x 只能取0，1，4．所以B ＝{0，1，4}．1．寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．1．下列集合的表示方法正确的是()A．{1，2，2}B．{比较大的实数}C．{有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0}答案：C2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示，正确的是()A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{－2，－1，0，1，2}D ．{－3，－2，－1，0，1，2，3}解析：选B ．满足－3≤x ≤3的自然数有0，1，2，3．3．用列举法表示集合A ＝{y |y ＝x 2－1，－2≤x ≤2，且x ∈Z }是________．解析：因为x ＝－2，－1，0，1，2，所以对应的函数值y ＝3，0，－1，0，3，所以集合A 用列举法表示为{－1，0，3}．答案：{－1，0，3}4．集合A ＝{(1，2)，(0，3)}中共有________个元素．答案：2[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x ∈N |x <6}，则下列关系式错误的是( )A ．0∈AB ．1．5∉AC ．－1∉AD ．6∈A解析：选D ．A ＝{x ∈N |x <6}＝{0，1，2，3，4，5}．2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1}C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}解析：选B ．{x |x 2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B ．3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N ＋ B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N ＋ C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N ＋ D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋ 解析：选D ．由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n，n ∈N ＋，故可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋． 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ．因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }， 所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B ．5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B ．因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________．解析：因为|－1|＝1，故B ＝{0，1}．答案：{0，1}7．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则实数m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3．当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32． 答案：－328．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2，3}，则a －b ＝________．解析：由A ＝{2，3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得， ⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6．故a －b ＝－1． 答案：－19．选择适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于6的有理数；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2＜x ＜6}．(2)用描述法表示该集合为{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 017＋b 2 017的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以b a＝0，即b ＝0．又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1．当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意．当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a ＝－1，b ＝0，所以a 2 017＋b 2 017的值为－1．[B 能力提升]11．已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D ．集合B 中的元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．故选D ．12．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0，3}B ．{1，3}C ．{－1，3}D ．{1，－3}解析：选C ．当x >0，y >0时，m ＝3；当x <0，y <0时，m ＝－1；当x >0，y <0时，m ＝－1；当x <0，y >0时，m ＝－1．故M ＝{－1，3}．13．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ，当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，在此定义下，求集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N ＋，b ∈N ＋}中的元素的个数．解：从定义出发，抓住a ，b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a ，b 同奇偶时，根据m ※n ＝m ＋n 将12分拆为两个同奇偶数的和，当a ，b 一奇一偶时，根据m ※n ＝mn 将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．若a ，b 同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；若a ，b 一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．14.(选做题)设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B ．解：将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0． 因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3，1．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以y ＝x 2＋3x －3． 将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理得x 2＋6x －3＝0， 解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}．。
高中数学 1.1.2集合的表示方法 新人教A版必修1
1.列举法
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
①有限集:
由两个元素0,1构成的集合 24的所有正因数构成的集合
0,1
12, 24}
{1, 2, 3, 4, 6, 8,
不大于100的自然数的全体构成的集合
②无限集:
自然数集:
0,1,2,3, ,10 0
0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ,n ,
解:
(1) A={1,2,3,4,5} (2)B={2,3}
例2: 用特征性质描述法表示下列集合 (1){-1,1} (2)大于3的全体偶数构成的集合 (3)在平面α内，线段AB的垂直平分线
解： (1) {x| |x|=1} (2) {x| x>3,且x=2n,n∈N} (3){点P∈平面α|PA=PB}
思考： 1. 0、{0}、{ }、 的关系
2. 1,与 21,2区别在哪儿
3. 数集：x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ,
点集：( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) ( x 3 ,y 3 ) ( , x n ,y n )
2.特征性质描述法：
如果在集合I中，属于集合A的任意 一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素x都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质.
于是，集合A可以用它的特征性质p(x)
描述为： { xI P(x)
}
3.Venn图法：
用平面内一条封闭曲线的内部表示集合的方法
A1,2,3,4 B3,4,5,6
A
12 3
34 54 6 5 6
B
B
例1 用列举法表示下列集合
(1)A={x∈N| 0< x ≤5} (2)B={x| x2-5x +6=0}
人教版高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系ppt课件
【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2
a
1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×
2021_2022学年高中数学第1章集合1.1.2集合的表示方法课件新人教B版必修1
)
A.m+n∈M
B.m+n∈N
C.m+n∈P
D.m+n不属于M,N,P中的任意一个
错解:C
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:不能正确利用集合中元素的特征性质,认为三个集合
中的a是一致的,从而由m∈M,得m=2a,a∈Z.由n∈N,得
n=2a+1,a∈Z.故m+n=4a+1,a∈Z.进而错误地判断m+n∈P.而实
B={x|2x-4>0}={x|x>2}.
对于集合C,其代表元素是x,该集合是由满足y=2x-4的x构成的集
合,即函数y=2x-4中变量x的取值构成的集合,而函数y=2x-4中,x可
取任意实数,因此C={x|y=2x-4}=R.
对于集合D,其代表元素是y,该集合是由满足y=2x-4的y构成的集
合,即函数y=2x-4中变量y的取值构成的集合,显然y也可以取全体实
(2)由1~30中所有的质数构成的集合;
(3)100以内的正偶数构成的集合;
(4)一年中有30天的月份构成的集合.
解:(1){-6,6};
(2){2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
(3){2,4,6,8,…,100};
(4){4月,6月,9月,11月}.
题型一
题型二
题型三
题型二
满足什么条件,再写出集合.
1
2
【做一做2-1】 集合{(x,y)|y=2x-1}表示(
)
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1的图象上的所有点组成的集合
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.1.1.2 集合的表示
课堂小结 1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适
当方法表表示，描 述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有 限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有 序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素 所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷 惑．
3．(2013·扬州高一检测)已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的 解集用列举法可表示为________． 解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x∈N，∴x＝1. 答案 {1}
4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ ________. 解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1. 答案 {0,1}
解 (1){x|3x＋2＞2x＋1}＝{x|x＞－1}． (2){(x，y)|x＞0，y＞0，且 x，y∈R}． (3){x|x＝2k－1，k∈N*}． [规律方法] 1.点集的代表元素用有序实数对(x，y)表示；第(3) 题中，易错写为{x|x＝2k－1，k∈N}，忽视集合 N 与 N*的差异． 2．用描述法表示集合，一般模式是{x∈I|p(x)}，其中 x 是集合 的代表元素，I 是代表元素的范围，p(x)为集合中元素所具有的 共同特征，要注意竖线不能省略．
[规律方法] 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否 为0而漏解．(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏． 2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其 共同特征是解题的切入点．
1.1.2 集合的表示方法
【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1} B 的元素个数是 3 故选 C．
4．已知集合 A＝{x|51－2x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，5－x 应该是 12 的因数，故其可能的取值为 1,2,3,4,6,12，从而可得到 对应 x 的值为 4,3,2,1，－1，－7.因为 x∈N，所以 x 的值为 4,3,2,1.
练习：已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中 a∈R．
（1）1 是 A 中的一个元素，用列举法表示 A；
【解答】解：（1）∵1 是 A 的元素，∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根，
（2）若 A 中有且仅有一个元素，求实∴a数+2+1a=0的，组即 a成=﹣的3，集合 B；
（3）若 A 中至多有一个元素，试求 此a时的A取={x值|﹣范3x2围+2x．+1=0}．
解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}．集合中有 2 个元素， 是有限集．
(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且 1≤k≤5}．集合 中有 5 个元素，是有限集．
(3)用描述法表示为{x|x>5}．集合中有无数个元素，是无限集． (4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集． (5)方程 x2＋x＋1＝0 无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．
（3）若 A≠∅ ，求实数 a 的取值范围．
（2）当 a=0 时，A={x|ax2﹣3x+2=0}={x|﹣3x+2=0}={ }．满足条件．只有一个 元素， 当 a≠0 时，若 A 是只有一个元素的集合，判别式△=9﹣8a=0，解得 a= ，此时
高一数学新人教B版必修1教学课件：第1章 集合 1.1.2 集合的表示方法.ppt
• 1．表示集合的方法常用___描__述__法_、___列__举__法_、____维__恩__图__法． • 2．把集合中元素的___公__共__属__性_描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫描
述法．描述法有两种形式： • (1)一般形式：{x∈A|p(x)}．例如：不大于100的自然数构成的集合可表示为
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． • (2)方程x2＝x的实数根为0,1，设方程x2＝x的所有实数根构成的集合为B，则B
＝{0,1}． • (3)设由1～20的所有质数构成的集合为C，则C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
『规律方法』 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在 明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，” 而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
• 3．如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集 合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个__________．于 是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}．它表示特集征合性A质是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的．
A．0∈A
B．2∉A
C．－2∈A
D．0∉A
• [解析] ∵A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，－2∉A，故选A．
3．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为@ziyuanku (
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．{－12，0}
D．{(－12，0)}
[解析] 由xy＝＝02x＋1 ，得xy＝ ＝01 ，故选 B．
(2)解方程组2x－x＋y＝y＝18 ，得xy＝ ＝32 .
高中数学集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1第2课时集合的表示方法课件新人教B版必修第一册
③将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的 交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组xx＋ －yy＝ ＝－ 1，1， 得xy＝ ＝01， . ∴用列举法表示方程组xx＋ －yy＝ ＝1－，1 的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．
{1,2,3,4} [∵x－2＜3，∴x＜5.又 x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故可表 示为{1,2,3,4}．]
2．描述法 一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)，而 不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集合 A 的 一 个 特 征 性 质 ． 此 时 ， 集 合 A 可 以 用 它 的 特 征 性 质 p(x) 表 示 为 {x|p(x)} ．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 描述法．
[跟进训练] 2．用描述法表示下列集合： (1)方程 x2＋y2－4x＋6y＋13＝0 的解集； (2)二次函数 y＝x2－10 图像上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程 x2＋y2－4x＋6y＋13＝0 可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝ 0，解得 x＝2，y＝－3，
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
A [若 x＝2，则 x－1＝1＜ 2，所以 2∈M； 若 x＝－2，则 x－1＝－3＜ 2，所以－2∈M.故选 A．]
1234 5
3．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素
的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
C [x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第2课时表示集合的方法课件
体验2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
√C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为__{_x|_x_<_3_}__．
(1)C (2){x|x<3} [(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，
思考1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ [提示] (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5． (2){x|x<5，x∈R}． 提醒 用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关 键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
题号
B．{x|－3<x<11}
1
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}
2
3
√D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
4
5
D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D．故选D．]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)}
[跟进训练] 4．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__(－__3_，__2_)__． (－3，2) [由题意可知a2＋a＋1<7， 即a2＋a－6<0， 令函数y＝a2＋a－6，由函数图象(图略)可知， 当y＜0时，－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．]
1.1集合的概念第2课时集合的表示方法课件(人教版)
核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．
1.1集合的概念(第2课时集合的表示方法)课件高一上学期数学人教A版(1)
(4)元素的取值范围,x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20},也可表示为
D={x|x<20};
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1,或x>1};
(6)“{
}”有“全体”的含义,描述法也可以简写成列举法的形式,例如:所有
直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角
规律方法
列举法表示集合重结果、元素具体可见;描述法表示集合重过
程、元素性质清晰.表示集合时,除了考虑元素个数多少以外,还应综合考
虑是需要清楚具体元素,还是需要清楚元素的性质特征,再选择适当的表示
方法.
探究点四
集合表示方法的综合应用
问题8自然语言可以转换成集合语言,是否更需要理解集合语言的含义?
【例6】 (1) 判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集合B={y|y=2n-1,n∈Z}的元
P+Q
Q
1
2
6
0
1
2
6
由于集合的互异性,∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.
P
2
3
4
8
5
6
7
11
规律方法
1.研究描述法表示的集合中的元素,可以利用列举法将元素列
举出来,由具体到一般,容易归纳元素的性质特征.事实上,对于y=2n-1,n∈Z,
由于n∈Z,因此n可以分为奇数与偶数.当n=2k(k∈Z)时,y=4k-1(k∈Z);当
的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表
其元素.
3.若描述部分出现代表已知元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或
高中数学课件-1.2集合间的基本关系 -
真子集的概念及性质
观察集合A与集合B的关系： ① A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}
② A={四边形}, B={多边形}
真子集的性质
（1）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则有 A C
（2）空集是任何非空集合的真子集．
判断集合间的关系
【例1】 判断以下给出的各对集合之间的关系: (1)A={x|x是矩形},B={x|x是平行四边形}; (2)A={x|x2-x=0},B={x|x2-x+1=0}; (3)A={x|x<1},B={x|0<x<3};
从中你能发现集合A和集合B的元素之间有什么关系？
子集的性质
（1）对任何集合A，都有： AA
（2）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则有 A C (传递性)
（3）规定:空集是任何集合的子集．
例题展示 例1 判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ） 打√，若不是则在（ ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( ×) × ③A={0}, B={x x2+2=0} ( ) ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( √ )
(4)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z}.
做一做1 下列说法不正确的是( )
A.{0,1,2}={2,1,0} B.⌀={x∈R|x2+1=0} C.{(1,2)}={1,2}
D.若M,N,Q表示集合,且M=Q,N=Q,则M=N
做一做2 (1){0,1} (2){2} (3){2,1}
1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法. 思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示] ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x －7<3的解集吗？为什么？[提示] 不能．由不等式x －7<3，得x <10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．1．集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为( )A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}A [解方程x 2－4x ＋3＝0得x ＝1或x ＝3，应用列举法表示解集为{1,3}．]2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，用自然语言描述M 应为( )A ．满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合B ．满足y ＝x 2的所有自变量x 的取值组成的集合C ．函数y ＝x 2图象上的所有点组成的集合D ．以上均不对A [由于集合M ＝{y |y ＝x 2}的代表元素是y ，而y 为函数y ＝x 2的函数值，则M 为满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合．]3．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．]【例1】 (1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合C .[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4， 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点为(1,4)，所以C ＝{(1,4)}．使用列举法表示集合时，需要注意几点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序．(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.【例2】 (1)小于100的所有非负整数的集合；(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合； (5)被5除余3的所有整数组成的集合；(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝2y ＝0. (5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}.(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等.2．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合； (3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合．[解] (1)正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)要使y 有意义，必须使分母不为0，即x 2＋x －6≠0，可得x ≠2且x ≠－3，故集合可表示为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠－3}．(3)第一、三象限的角平分线应是直线y ＝x ，故集合为{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }.[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．【例3】 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).3．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于1且小于7的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．1．本节课的重点是掌握用列举法和描述法表示集合，难点是对描述法表示集合的理解及两种表示法的灵活运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)列举法表示集合的注意点．(2)描述法表示集合的注意点．3．本节课的易混点是点集与数集，易错点是描述法表示集合中除代表元素以外的字母而未加说明.1．思考辨析(1)集合{0}∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
高中数学预备知识1.1第2课时集合的表示课件
探究三 列举法与描述法的综合运用
【例3】 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元
素,求实数a的值.
解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时 x=- ,符合题意.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a=0,即a=1
解析:由
解得 = , 或 = ,
=
故所求方程组的解集为{(0,0),(3,9)}.
答案:D
2.集合A={x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示为(
)
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2}
D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
解析:因为x∈N,所以集合A表示-3到3的自然数组成的集合,故
)
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
解析:集合中的元素为点,满足的条件是y=2x-1,故选D.
答案:D
4.用列举法表示集合 M={m
解析:∵+∈N,m∈Z,
∴m+2 为 10 的正因数,
∴m+2=1,2,5,10,
∴m=-1,0,3,8.
答案:{-1,0,3,8}
∈N,m∈Z}=
+
.
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集中,小于1 000的奇数组成的集合.
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预习课本 P5～7，思考并完成以下问题
集合有哪两种表示方法？它们各自是如何规定的？它们的 使用条件各是什么？
[新知初探]
1．列举法 如果一个集合是_有__限__集__，元素又不太多，常常把集合 的所有元素都_列__举__出来，写在_花__括__号__“_{___}”_内表示这个集 合，这种表示集合的方法叫做列举法． [点睛] 列举法表示集合时，元素与元素之间必须用 “，”隔开．
C．{(－1,2)} 答案：C
D．{(1，－2)}
3．不等式 x－3<2 且 x∈N＋的解集用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案：B 4．不等式 4x－5<7 的解集为________．
答案：{x|4x－5<7}
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1.注字音 加点字
槌．床
腰襦．
玳．瑁．
窈．窕．
踯．躅．
鲑．珍
姥
公姥． 刘姥．姥
否
否．泰 否．定
读音 chuí rú dài mào yǎo tiǎo zhízhú xié mǔ lǎo pǐ fǒu
加点字
伶．俜．
葳．蕤．
磐．石
白鹄．
的值．
解：由 A＝{2,3}知，方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 2,3， 由根与系数的关系得，22×＋33＝＝ba，， 因此 a＝5，b＝6.
2．设集合 B＝x∈N2＋6 x∈N
.
(1)试判断元素 1,2 与集合 B 的关系；
(2)用列举法表示集合 B.
解：(1)当 x＝1 时，2＋6 1＝2∈N.
(1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × )
(2)集合{(1,2)}中的元素是 1 和 2.
( ×)
(3)集合 A＝{x|x－1＝0}与集合 B＝{1}表示同一个集合．
2．方程组xx＋ －yy＝ ＝1－，3 的解集是
A．(－1,2)
B．(1，－2)
(√ ) ()
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《孔雀东南飞》是中国汉乐府民歌中最长的一首叙事诗,最早 见于南朝(陈)徐陵的《玉台新咏》,原题为“古诗为焦仲卿妻作”。 宋代郭茂倩《乐府诗集》将它收入《杂曲歌辞》,题为“焦仲卿妻”。 《孔雀东南飞》的创作时间大致是东汉献帝建安年间,作者不详。 明朝王世贞称它为“长诗之圣”,清朝沈德潜说它是“古今第一首长 诗”。
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3.解多义 谢家来贵门(动词,辞别)
(1)谢 阿母谢媒人(动词,谢绝) 多谢后世人(动词,告诉) 今若遣此妇(连词,如果)
(2)若 腰若流纨素(动词,像) 君既若见录(代词,如此,这样) 处分适兄意(介词,按照)
(3)适 适得府君书(副词,刚刚) 始适还家门(动词,出嫁)
解：(1)因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2,3,4,5，所以 A ＝{2,3,4,5}． (2)方程 x2－9＝0 的实数根为－3,3，所以 B＝{－3,3}．
(3)由yy＝＝－x＋2x3＋，6 得xy＝＝41，， 所以一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点为(1,4)， 所以 D＝{(1,4)}．
2．描述法 (1)集合的特征性质： 如果在集合 I 中，属于集合 A 的任意一个元素 x_都__具__有__ _性__质___p_(x_)_，而不属于集合 A 的元素_都__不__具__有__性__质___p_(x_)_，则 性质 p(x)叫做集合 A 的一个特征性质． (2)特征性质描述法： 集合 A 可以用它的特征性质 p(x)描述为_{_x_∈__I|_p_(_x_)}_，它表 示集合 A 是由集合 I 中_具__有__性__质___p_(x_)_的所有元素构成的．这 种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
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用描述法表示集合 [典例] 用描述法表示下列集合： (1)被 3 除余 1 的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于 4 的所有偶数． [解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表 示为{x|x＝3n＋1，n∈N}． (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可 表示为{(x，y)|x>0，y>0}． (3)偶数可表示为 2n，n∈Z，又因为大于 4，故 n≥3， 从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z 且 n≥3}．
2．用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合 P＝{x|x＝2n,0≤n≤2 且 n∈N}； (2)抛物线 y＝x2－2x 与 x 轴的公共点的集合； (3)直线 y＝x 上去掉原点的点的集合． 解：(1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：
x，yyy＝＝0x2－2x
用列举法表示集合
[典例] 用列举法表示下列集合． (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x3＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大 于 或 等 于 0 的 意 思 ， 所 以 不 大 于 10 的 非 负 偶 数 集 是 {0,2,4,6,8,10}．
当 x＝2 时，2＋6 2＝32∉N.所以 1∈B,2∉B.
(2)∵2＋6 x∈N，x∈N，∴2＋x 只能取 2,3,6.
∴x 只能取 0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
集合含义的再认识 [典例] 用描述法表示抛物线 y＝x2＋1 上的点构成的 集合． [解] 抛物线 y＝x2＋1 上的点构成的集合可表示为： {(x，y)|y＝x2＋1}． [一题多变] 1．[变条件，变设问]本例中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”， 则集合中的元素是什么？ 解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是 x，且 x∈R， 所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
2．[变条件，变设问]本例中点的集合若改为“{y|y＝x2＋ 1}”，则集合中的元素是什么？ 解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是 y，满足条件 y＝x2 ＋1 的 y 的取值范围是 y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝ {y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于 1 的全体实数．
识别集合含义的 2 个步骤 (1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝ p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
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乐府:本为秦汉时设立的一个官署。它的职责是采集民间歌谣或 文人的诗来配乐,以备朝廷祭祀或宴会时演奏之用。它搜集整理的 诗歌,后世就叫“乐府诗”,或简称“乐府”。乐府诗是继《诗经》《楚 辞》而起的一种新诗体。在乐府诗中,《木兰诗》和《孔雀东南飞》 合称“乐府双璧”。
[活学活用]
1．若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 B 集合 A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和
(3,4)．
2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A. (2)方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B. (3)一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的图象的交点组成 的集合 D.
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)” (单击进入电子文档)
6 孔雀东南飞 并序
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半死桐
[宋]贺铸 重过阊门万事非,同来何事不同 归?梧桐半死清霜后,头白鸳鸯失 伴飞。 原上草,露初晞。旧栖 新垅两依依。空床卧听南窗雨, 谁复挑灯夜补衣!
[赏析]这首词是宋代著名词人 贺铸为悼念亡妻赵氏而作。上 阕写妻子死后诗人的凄凉和孤 零。开始即以“万事非”写出不 堪回首的慨叹。下阕写诗人对 妻子的怀念。“挑灯夜补衣”再 现了妻子生前日夜辛劳,甘于过 清苦生活的场面。以此为结,突 出表现了诗人对亡妻深沉的悼 念之情。全词写得哀婉柔丽,真 挚感人。
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开头的小序,交代了故事发生的时间、地点、人物以及成诗的经 过。诗歌是以真人真事为基础创作的。有人认为,焦仲卿和刘兰芝 的故事发生地在今安徽省怀宁县的小吏港。旧志载“以汉庐江郡 小吏焦仲卿而得名”,自汉代就有其址。小吏港东有一山冈,曰华山。 焦仲卿、刘兰芝合葬在华山旁边,当地群众称其墓为“孔雀坟”。20 世纪80年代,怀宁县人民政府对此墓进行了修缮,用大理石制作了 墓碑,碑文曰“汉焦仲卿刘兰芝之墓”。
描述法表示集合的 2 个步骤
[活学活用] 1．用符号“∈”或“∉”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则 1________A，－1________A； (2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}． 解析：(1)易知 A＝{0,1}，故 1∈A，－1∉A； (2)将 x＝1，y＝2 代入 y＝x＋1，等式成立． 答案：(1)∈ ∉ (2)∈
两根之积等于92.
[答案]
(1)D
9 (2)2
解答此类问题的策略 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表 元素及其属性是解题的关键． (2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的 共同特征是解题的关键．
[活学活用] 1．已知集合 A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若 A＝{2,3}，求 a，b