2019-数学分析10-习题课-文档资料
数学分析十讲习题册、课后习题答案
数学分析十讲习题册、课后习题答案习 题1-11．计算下列极限（1）lim xax aa xx a→--, 0;a > 解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|xa x ax aa x ==''-=1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)aa a - （2）sin sin lim sin()x ax ax a →--； 解：原式sin sin lim x ax a x a→-=-(sin )'cos x ax a===（3）2lim 2), 0;n n a →∞>解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -==（5）10100(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x→+--解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=99010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式1111n x x x →-=-1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在x 处二阶可导，计算0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解：原式000()()lim2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→= ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x ax ax ae→----='()()f a a f ae=习 题1-21.求下列极限 （1）lim x →+∞;解：原式1lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）4cos(sin )cos lim sin x x xx→-; 解：原式=4sin (sin )lim x x x x ξ→--=3sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3） lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x x ξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x+之间（4）211lim (arctan arctan );1n n n n →+∞-+解：原式22111lim ()11n nn n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0lim x x x λλμμ→== （2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x→-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=-20cos 1cos 21cos 12limx x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑（3）011lim )1xx x e →--（;解：原式01lim (1)x x x e x x e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01lim 22x x x →==（4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞==2. 求下列极限（1）2221cos ln cos lim sin x x x x x e e x -→----;解：原式222201122lim 12x x xx x→+==-（2）0ln()2sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--; 解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=--02lim442x x x xx x x→++==--习 题1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-； 解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+= （2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x x x o x x e x x x →→++---===（3）21lim[ln(1)]x x xx→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x xx →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值. 解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0lim limh h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而10a b +-=20a b += 解得：2,1a b ==-3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求02()2()()limh f x h f x f x h h→+-+- 解：原式22220000100022''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h →+++-+-++=22201220''()()()limh f x h o h o h h →++=0''()f x =4. 设()f x 在0x =处可导，且2sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x →+.解 因为220sin ()sin ()2lim()limx x x f x x xf x x x x →→+=+=[]22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x →'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以01()limx f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x→+==习 题1-51. 计算下列极限 (1)1n n++; ;解：原式n =2n ==(2)2212lim (1)n n n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅+>解：原式21lim (1)n n n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a→∞=，求 (1) 1222lim n n a a na n →∞+++；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na an →∞==-(2) 12lim111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==，所以12lim 111n nnaa a a →∞=+++3．设2lim()0n n n xx -→∞-=，求lim nn x n →∞和1lim nn n xx n-→∞-. 解：因为2lim()0nn n xx -→∞-=，所以222lim()0nn n xx -→∞-=且2121lim()0n n n xx +-→∞-=从而有stolz 定理2222lim lim022nnn n n x xx n -→∞→∞-==， 且212121lim lim 0212n n n n n x xx n ++-→∞→∞-==+所以lim 0nn x n→∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-，证明：1lim nn nxq→∞=.证明：因110x q<<，所以 211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q<<，用数学归纳法易证，10nxq<<。
2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc
第六章 微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。
2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。
3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。
4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。
5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。
6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。
12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。
13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。
14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。
15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。
16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。
2019年浙江大学数学分析试题及解答word资料5页
浙江大学2019年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22xe x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰()01x e d x e ππ=-⎰由分部积分法cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2xe xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰ 解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x x x x→-+，继续利用洛必达法则：3322430343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明： 在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
数学分析习题课讲义解答
16.2 级数求和计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
17 高维空间的点集与基本定理
54
18 多元函数的极限与连续
55
19 偏导数与全微分
56
பைடு நூலகம்
20 隐函数存在定理与隐函数求导
13 数项级数
46
14 函数项级数与幂级数
47
15 Fourier 级数
48
16 无穷级数的应用
49
16.1 积分计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 连续函数
25
5.1 连续性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mathematical analysis exercises class lectures Answer
数学分析习题课讲义 解答
Don’t give up, never give up.
目录
1 引论
1
1.1 几个常用的不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
1 北京大学
1
1.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
12 华东师范大学
32
12.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
112019年数学分析真题122019年高等代数真题212019年数学分析真题222019年高等代数真题312019年数学分析真题322019年高等代数真题南开大学10412019年数学分析真题10422019年高等代数真题天津大学13512019年数学分析真题13522019年高等代数真题浙江大学16612019年数学分析真题16622019年高等代数真题华中科技大学18712019年数学分析真题18722019年高等代数真题兰州大学21812019年数学分析真题21822019年高等代数真题东南大学24912019年数学分析真题3101922019年高等代数真题2510上海交通大学271012019年数学分析真题271022019年高等代数真题2811同济大学301112019年数学分析真题301122019年高等代数真题3112华东师范大学321212019年数学分析真题321222019年高等代数真题3313大连理工大学351312019年数学分析真题3514电子科技大学371412019年数学分析真题3715武汉大学391512019年数学分析真题3916华中科大2012年数学分析试题解析4017武汉大学2018年数学分析试题解析4418中南大学2010年数学分析试题解析4819浙江大学2016年数学分析试题解析5420吉林大学2015年数学分析试题解析5821中国科大2015年数学分析试题解析6422中国科大2014年数学分析试题解析6823厦门大学2014年数学分析试题解析7024浙江大学2012年高等代数试题解析74410125历年数学竞赛真题与模拟赛题解析82251第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题一解析82252第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题二解析85253第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题三解析87254第十届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案90255第九届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案95256第八届全国大学生数学竞赛数学类决赛试题99参考文献北京大学112019年数学分析真题一
数学分析十讲习题册答案
习题1-11．计算下列极限（1）limx ax a a x x a→−−,0;a >解：原式lim[x a a ax a a a x a x a x a→−−=−−−=()|()|x a x a x aa x ==′′−=1ln aa aa a a −−⋅=(ln 1)a a a −（2）sin sin limsin()x a x ax a →−−；解：原式sin sin lim x a x ax a→−=−(sin )'cos x a x a===（3）2lim 2), 0;n n a →∞+−>解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a =（4）1lim [(1)1]pn n n→∞+−，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+−′===11p x px p −==（5）10100(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x→+−−解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim limtan sin x x x x x x →→+−−−=−−=990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式1x →=1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()limh f x h f x f x h h→+−+−.解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →′′+−−=00000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→′′′′+−+−−=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→′′′′+−−−=+−00011()()()22f x f x f x ′′′′′′=+=3．设0a >，()0f a >，()f a ′存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a −→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a −→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e −−→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→−−=ln ()ln ()lim ln ln x af x f a x a x a x a e →−−−−=i '()()f a a f a e=i 习题1-21.求下列极限（1）lim (sin x →+∞−;解：原式lim 1)(1)]0x x x →+∞=+−−=，其中ξ在1x −与1x +之间（2）40cos(sin )cos lim sin x x xx→−;解：原式=40sin (sin )limx x x x ξ→−−=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→−−⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3）lim x →+∞解：原式116611lim [(1(1)]x x x x →+∞=+−−56111lim (1)[(1)(16x x x xξ−→+∞=⋅+⋅+−−5611lim (1)33x ξ−→+∞=+=，其中ξ在11x −与11x+之间（4）211lim (arctan arctan );1n n n n →+∞−+解：原式22111lim (11n n n n ξ→+∞=−++i 1=，其中其中ξ在11n +与1n之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥−⎣⎦.解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn ee→∞+−−+−−→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+−−−+−=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee′′′+==习题1-31．求下列极限（1）0(1)1lim(1)1x x x λµ→+−+−,0;µ≠解：原式0limx x x λλµµ→==（2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nx I x→−⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nxx →++⋅⋅⋅+=−20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →−+−+⋅⋅⋅+−=−22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑（3）011lim 1x x x e →−−（;解：原式01lim (1)x x x e x x e →−−=−201lim x x e x x →−−=01lim 2x x e x →−=01lim 22x x x →==（4）112lim [(1)]x xx x x x →+∞+−;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=−21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+−i 1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞==2.求下列极限（1）2221cos ln cos limsin x x x x xe e x−→−−−−;解：原式222201122lim 12x x xx x→+==−（2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++−−;解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++−+=−−012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x →+−+=−−02lim442x x x xx x x→++==−−习题1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n nn n→∞−；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=−−+11lim((1))3!6n o →∞=+=（2）求33601lim sin x x e x x→−−；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x x x o x x e x x x →→++−−−===（3）21lim[ln(1)]x x x x→∞−+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=−−+12=（4）21lim (1)x xx e x−→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+−−→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f ′≠.若()(2)(0)af h bf h f +−在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.解：因为()(0)(0)()f h f f h o h ′=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h ′=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0lim limh h af h bf h f a b f a b f o h h h→→′+−+−+++==从而10a b +−=20a b +=解得：2,1ab ==−3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+−+−解：原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++−+−++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x =4.设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f ′和01()lim x f x x→+.解因为2200sin ()sin ()2lim()limx x x f x x xf x x x x →→+=+=[]220()(0)(0)()lim x x o x x f f x o x x →′++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →′+++=所以1(0)0,(0)2f f ′+==,即(0)1,(0)2f f ′=−=所以01()limx f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →′+++=02()lim 2x x o x x→+==习题1-51.计算下列极限(1)n ;解：原式n =2n ==(2)2212lim (1)nn n a a na a na+→∞+++⋅⋅⋅+>解：原式21lim (1)n n n n na na n a ++→∞=−−2lim (1)n n na n a →∞=−−21a a=−2．设lim n n a a →∞=，求(1)1222lim nn a a na n →∞+++⋯；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=−−lim 212n n na an →∞==−(2)12lim 111n nna a a →∞+++⋯，0,1,2,,.i a i n ≠=⋯解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==⋯，所以12lim 111n nnaa a a →∞=+++⋯3．设2lim()0n n n x x −→∞−=，求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n−→∞−.解：因为2lim()0n n n x x −→∞−=，所以222lim()0n n n x x −→∞−=且2121lim()0n n n x x +−→∞−=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn −→∞→∞−==，且212121lim lim 0212n n n n n x x x n ++−→∞→∞−==+所以lim 0n n x n →∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n −−→∞→∞→∞−−=−=−4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=−，证明：1lim n n nx q→∞=.证明：因110x q<<，所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+−=−≤=<，所以210x q <<，用数学归纳法易证，10n x q <<。
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r()
d
r1()
r2()
oxຫໍສະໝຸດ ox A1 [()2]d 2
A1 2[2 2()1 2()d ]
(2) 体积
y
o
x xdx
Vx
b[f(x)2]dx
a
x
Vy
2bxf(x)dx a
y
d
Vy
d[(y)2]dy
c
c
x(y) Vx2cdy(y)dy
所以 U bf(x)dx中f的 (x)也不是唯一 a
直角坐标 平面图形的面积
弧微分 弧长 旋转体体积
参数方程
旋转体侧面积
极坐标
?
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
yf(x)
y
yf2(x)
oa
A bx
A
yf1(x)
oa
bx
b
A | f(x)|dx a
Aa b[f2(x)f1(x)d ] x
oa
x
xdx
b
x
(6) 液体压力
o
a
b
P dP a
x xdx
b
b
xf ( x)dx
a
( 为比重 )
x
y
f (x)
(7) 引力
l
l
Fy ldF y l
Gadx
3
(a2x2)2
l
Fx 0. ( G为引力系数)
y
A
l x
o x xdx
(8) 函数的平均值
2
rdrd1d2rd,
2
故面积:微 dA 元 rd为 r,d
r rdr
这块小图形绕极一轴周旋，转所得体积为：
2rsindA2r2sinddr,
于是[0 相 ,r()应 ][,,d]的体积为：
dV r()(2r2sid n )dr 0
2r3()sind,
第10章习题课
1、微元法的理论依据
设 f ( x) 在 [a,b] 上连续 ,则它的变上限积分
x
U ( x ) a f (t )dt
(1)
是 f ( x ) 的一个原函数 ,即 dU ( x ) f ( x )dx ,
于是
b
b
a f ( x )dx a dU U
(2)
这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的
o
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x)
b
VaA(x)dx o a
x xdx b
x
由 0rr(),0绕极轴旋转
所成立体的 V体 23 积 r3()为 sind ： .
rr()
））
(3) 平面曲线的弧长
ds dx2dy2
y
A．曲线弧为 yf(x)
即 U f(x ) x o ( x )，
即 d U d(x U ) f(x ) d， x 其f中 (x)C [a,b]
（此时以 ，简代繁、以直代 以曲 静、 代） 动。
则 U bf(x)d。 x a
通常要 U 验 f(x)证 xo( x)是非常困 且Uf(x)xo(x)中f的 (x)一般来说不
定积分 .
2、名称释译
由理论依据(2) 知,所求总量A就是其微分 dU f (x)dx从a 到b的无限积累(积分) :
b
U f (x)dx a
这种取微元f (x)dx计算积分或原函数的 方法称微元法.
3、所求量的特点
（ 1 ） U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间 a ,b 有 关
——上曲线减下曲线对x积分。
y
d
Ac[f(y)g(y)d] y
d
x=g(y) A
x=f(y)
——右曲线减左曲线对y积分。 c
一般解题步骤：
O
（图5）
x
（1）画草图，定结构；
（2）解必要的交点，定积分限；
（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。 注意：答案永远为正。
参数方程所表示的函数
如果曲边梯形的曲边为参数方程
的 量 ；
（ 2） U对 于 区 间 a,b具 有 可 加 性 ， 就 是 说 ， 如 果 把 区 间 a,b分 成 许 多 部 分 区 间 ， 则 U相
应 地 分 成 许 多 部 分 量 ， 而 U等 于 所 有 部 分 量 之
和 ；
（ 3 ） 部 分 量 U i 的 近 似 值 可 表 示 为 f ( i ) x i ；
y 1
b
f(x)dx
ba a
证明： 由 0rr(),0绕极轴旋转
所成立体的 V体 23 积 r3()为 sind ： .
证 在区域内任取小区域：
rr()
[r , r dr ],[ d ]，
其面积近似为：
1(r dr)2d 1r2d
2
就 可 以 考 虑 用 定 积 分 来 表 达 这 个 量 U .
4、解题步骤
1） 确U 定 的相关x量 ）（ 的记 变 [a,b 为 化 ]；区 2） 建U 立 的 微表 元达式
设 想 把 区 间 [a,b]分 成 n个 小 区 间 ， 取 其 中 任 一 小 区 间 并 记 为 [x,xd]x， 求 出 相 应 于 这 小 区 间 的 部 分 量 U的 近 似 值 .如 果 U能 近 似 地 表 示 为 [a,b]上 的 一 个 连 续 函 数 在 x处 的 值 f(x)与 dx的 乘 积 ，
弧长
b
sa
1y2dx
dy
B．曲线弧为
x y
(t (t
) )
o a x xdxb x
(t)
其 中 ( t)( ,t) 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数
弧长 s 2(t)2(t)dt
C．曲线弧为 rr() ()
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 Att12(t)(t)dt
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
在 [t1,t2]（ 或 [t2,t1]） 上 x(t)具 有 连 续 导 数 ， y (t)连 续 .
极坐标情形
弧长
s
r2()r2()d
(4) 旋转体的侧面积 y
yf(x)
y f ( x ) 0 ,a x b
o
x xdx
x
S 侧 a b2 f(x)1f2(x)dx
dS2yds
(5) 变力所作的功
b
W dW a b F ( x )dx a
F(x)