Ch1-引言

n 0
−1
∫
1
0
e x dx < e e ∫ x dx
x n n 0
−1 1
1
−1
n +1
n→∞
0
1 n +1
误差的分析与度量(3)
% 我们通过误差知识来分析，初值I0的误差 E0 = I 0 − I
% % E1 = I1 − I 1 = 1 − I 0 − 1 + I 0 = − E0
E2
( ) % % = I − I = (1 − 2 − 1 + 2 I ) % = 2 ( I − I ) = 2*1*(−1) E
(2) − (1) ÷10−5
1.00×10 x +1.00y =1.00 ⇒ x* = 0.00, y* =1.00 y =1.00 错.为什么,怎么办？
−5
2.避免两个相近数相减
例7 求解x 2 − 16 x + 1 = 0.
7 1 ） 例8 计算A = 10（ − cos 2。.
又如：当x, y接近时， x − lg y = ？ lg x +1 − x = ？ 当x, x * 接近时， ( x) − f ( x*) = ? f
*
*
x
m
*
反 ， − x = x εr 之x
* * m
*
≤ 0.5×10
m−n+1
a1 ×10
1 −n+1 = ×10 2a1
1 −(n−1) < (a1 +1)×10 × ×10 2(a1 +1) 1 m−n+1 = ×10 2
例2 下面的数字取几位有效数字能使 相对误差限小于0.1% (※)
• 已知sqrt(3)=1.732050807568877293527… • 要确定几个量：a1、er
2 k -1
(−1) 1 −4 R 7 = e − 0.3679 ≤ < ×10 8! 2
8 -1
从理论上讲，截断误差的范围是可行的
误差的分析与度量(2)
从理论上分析算法并不坏，由于
e x < e x < e x , x ∈ (0,1)
0 n x n 1 n
因而有 1
e e
e
−1 0
x dx < e ∫
* r
(2.1)
其中a1 ≠ 0 .若x * 具有n位有效数字,则其相对误差限为
1 反之， x *的相对误差限为 ε ≤ 若 × 10− ( n −1)，则x * 2( a1 + 1)
* r
至少具有n位有效数字.
定理1的证明(※)
因为，a1 ×10 ≤ x ≤ (a1 + 1) ×10
m * m
此时，ε r = x − x
1.00×10−5 x +1.00y = 1.00 −105 = 1.00001 x= 1−105 1.00x +1.00y = 2.00 2−105 = 0.9999899 y= −5 1−105 1.00×10 x +1.00y = 1.00 解： x得， 消 (1.00−1.00×105) y = (2.00−1.00×105)
I 0 = 0.6321, ( A) I n = 1 − nI n −1 , n = 1,2, L.
误差的分析与度量(1)
由于e计算有误差
(−1) (−1) +L + e ≈ 1 + (−1) + , k = 7, 取 4位 2! k! -1 则得到 e ≈ 0.3679 那么，截断误差
误差分析简介 概率分析法 向后误差分析法
x = g (a1 ,L, an )， x fl = g (a1 + ε1 ,L, an + ε n ).
区间分析法
x ∈ [α − δα , α + δα ], y ∈ [ β − δβ , β + δβ ], ⇒ xy ∈ L
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
x* = ±10m × ( a1 + a2 ×10−1 + ⋅⋅⋅ + an × 10− ( n −1) )
ai ≠ 0, i = 1, ⋅⋅⋅, n
共计n位
其中，误差限 x* − x ≤ 1 ×10m− n +1 2
例1 判断如下两个数有几位有效数字
• 已知g=9.80365…m/s2,现有两个近似值 g1≈9.80m/s2, g1 ≈ 0.00980km/s2,说明g1、 g2的有效数字。
课外阅读材料
• 《计算方法——算法设计及其MATLAB实 现》p1~15(王能超，高等教育出版社) • Numerical Analysis Notes Using Matlab (David I. Wilson) 电子版
其他计算问题也要考虑条件数,考虑是否病态.
二、算法的数值稳定性(※) 算法的数值稳定性( 考虑初始数据误差在计算中的传播问题. .
例5
−1 1 n x 计算I n = e ∫ x e dx, n = 0,1,L, 并估计误差. 0 I n = 1 − nI n −1 , n = 1,2, L , I 0 = 1 − e −1.
* * * * ε ( x1 ± x2 ) = ε ( x1 ) + ε ( x2 ), * * * * * * ε ( x1 x2 ) ≈| x1 | ε ( x2 )+ | x2 | ε ( x1 ), * * * * | x1 | ε ( x2 ) + | x2 | ε ( x1 ) * * ε ( x1 / x2 ) ≈ . * 2 | x2 | 一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式
∂f * ε ( xk ). ε ( f *) ≈ ∑ ∂xk k =1
n
*
例4 场地面积：s = ld ∂s ∂s ε ( s*) ≈ ε (l*) + ε (d *). ∂l ∂d
* *
§1.3 误差定性分析、避免误差危害 误差定性分析、
f ( x) − f ( x*) = f ′( x*)( x − x*) +
f ′′(ξ ) ( x − x*)2 , 2
ξ在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ε ( f ( x*)) ≈| f ′( x*) | ε ( x*).
* * 多元函数f ( x1 ,L, xn )，x1 ,L, xn为准确值x1 ,L, xn的近似值, * * 同理得f ( x1 ,L, xn )的误差限
1 g − 9.80 ≤ ×10−2 , 因为 2 所以有效数字nห้องสมุดไป่ตู้3
而 m= 0, m−n+1=−2
同样对g2，有 m=−3, m−n+1=−5 ⇒ 有效数字n=3
相对误差.vs.绝对误差(※)
对g1、g2来说 虽然绝对误差、绝对误差限根本就不在同一数 量级上 但是相对误差、相对误差限限却是相等的。 P7结论 量纲的解释：“表达物理量的单位”(P6)
f ( x*)− f ( x ) f ( x) ∆x x
≈
xf ′( x ) f ( x)
= Cp,
C p 称为计算函数值问题的条件数.
例如f ( x) = x10 , C p = 10, f (1) = 1, f (1.02) ≈ 1.24,自变量相对 误差为2%,函数值相对误差为24%.
一般C p ≥ 10认为是病态.
Pn ( x) = an x n + an−1 x n−1 + L + a1 x + a0 .
秦九韶算法： 秦九韶算法
S n = an , S k = xS k +1 + ak , (k = n-1,L,0) P ( x) = S . n 0
（3.4）
作业
P18~19, 2，3， 9，10，11，12.
En
*
%* ⇒ = In − I n 1 * = En n!
初值
E0
定义3 定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长 , 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的 .
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
- 0.2
三、避免误差危害的若干原则
除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要 考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则. 1.避免‘大数’除以‘小数’ 例6 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
1 × 10m − n +1 x −x ≤ 2
*
N与绝对误 差限的关系
1.2.2.3 有效数字与相对误差限(※)
定理１ 定理１ 设近似数x * 表示为
x* = ±10m × (a1 + a2 × 10−1 + L + al × 10− ( l −1) ) 1 ε ≤ × 10− ( n −1)； 2a1
３.防止‘大数’吃‘小数’ 例9 仿计算机在3位十进制下， 100 100 项 6444 项 44 74 8 644474448 123 + 0.01 + 0.01 + L + 0.01 ≠ 0.01 + 0.01 + L + 0.01 + 123
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
1 由ε ≤ ×10− ( n −1) , 而a1 = 1 2(a1 + 1)
* r
Attention
1 − ( n −1) −3 ∴ ×10 < 10 ,即至少n = 4才行 4 1 要把 ×10− ( n −1) 作为上确界 2(a1 + 1)