从系统动态方程求系统传递函数
第三节系统的传递函数
当 初 始 条 件 为 零 时 ， 对 式 2 4 5 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 ( ) n n -1 m m -1 a s+ a s + 鬃 ?a s +a X s =( b s +b s + () ( ) 0 1 n -1 n 0 0 1 鬃 ?b s +b X s m -1 m ) i()
式中
T ─ 时 间 常 数 ； z ─ 阻 尼 比 ， 0 ＜ z ＜1。
振荡环节另一种常用的标准形式为 w n2 G (s)= 2 s + 2zw n s + w n2 式中
1 wn ─ 无 阻 尼 自 然 振 荡 频 率 ， wn = 。 T
图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当 0<ξ<1时，其运动规律可用振荡环节描述。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲 函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分 环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是 近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下 形式：
KTD s G (s) = TD s + 1
例图 为无源微分 电路，设电压ui (t )为 输入量，电阻R两端电 压u0 (t )为输出量。
例 如 图 2 1 1 所 示 为 机 械 转 动 系 统 ， 它 由 惯 性 负 载 和 粘 性 摩 檫 阻 尼 器 构 成 ， 以 转 矩 T 为 输 入 量 ， 以 角 i 速 度 w 为 输 出 量 。
B Ti J
dw(t) 其 运 动 方 程 式 为 ： J +B w(t)= T t) i( dt W (s) 1 K 其 传 递 函 数 为 ： G(s)= = = T s) Js+ B Ts+1 i( J 1 式 中 T= , K= 。 B B
自动控制原理及应用各章习题清华董红生
习题1-1 什么是自动控制？什么是自动控制系统？1-2 试比较开环控制和闭环控制的优缺点。
1-3 自动控制系统有哪些基本组成元件？这些元件的功能是什么？1-4 简述反馈控制系统的基本原理。
1-5 简述对自动控制系统基本要求。
1-6 试举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的实例，并说明它们的工作原理。
1-7 液位自动控制系统如图1-19（a）所示，试说明系统工作原理。
若将系统的结构改为图1-19（b）图，对系统工作有何影响？(a) (b)图1-19习题1-71-8 家用电冰箱的恒温控制系统如图1-20所示，试画出系统原理框图。
图1-20习题1-81-9 某仓库大门自动控制系统的原理如图1-21所示，试说明自动控制大门开启和关闭的工作原理，并画出系统原理框图。
1-10 导弹发射架方位随动控制系统如图1-22所示，试说明系统工作原理，并画出系统原理框图。
图1-20 习题1-8nU fU cU aU rθ图1-21 习题1-10习 题2-1 试建立如图2-39所示电路的微分方程。
1R )C（b ）（a ）图2-39 习题2-12-2求下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1）)3)(2(1)(+++=s s s s F（2）)3()2(1)(3++=s s s s F （3）)22(1)(2+++=s s s s s F2-3设系统传递函数为)2)(1(2)()(++=s s s R s C ，初始条件1)0(-=c ，0)0(=∙c ，试求单位阶跃信号作用时，系统输出响应)(t c 。
2-4若某系统在单位阶跃输入信号时，零初始条件下的输出响应t t e e t c --+-=21)(，试求系统的传递函数。
2-5使用复阻抗法写出如图2-40所示有源电路的传递函数。
)1C图2-40 习题2-52-6 已知系统方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(s R s C 。
2-4 线性系统的传递函数
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
现代控制理论习题解答
《现代控制理论》第1章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：x Ax Buy Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于n 阶传递函数1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++，分别有⑴ 能控标准型： []012101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du---⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩⑵ 能观标准型： []0011221100010001000101n n n b a b a x a x u b a b y x du---⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212001001001n n p px x u p y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,,,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，12121012111012()n n n n nn n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++++++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
第2章 控制系统的动态数学模型 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的基本概念 （1）传递函数的定义 ）
线性定常系统在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统 的传递函数。
X o (s ) G (s ) = X i (s )
m n bm * K = =K ∏(-Zi ) / ∏(− pj ) an i=1 j =1
∏(s − zj ) j=1
m
∏(s − pi ) i=1
n
为传递函数的增益
b0 K = a0
*
为根轨迹增益
T和τi 为时间常数 i
零、极点分布图：
b0(s − z1)(s − z2 )… (s − zm) M(s) … G(s) = = a0 (s − p1)(s − p2)… (s − pn ) D(s) …
描述该线性定常系统的传递函数为
…+bm−1s + bm Xo (s) b0sm + bsm−1 +… 1 G(s) = = Xi (s) a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an M(s) = D(s)
式 ： (s) = b0sm + bsm−1 +… 中 M …+ bm−1s + bm 1 D(s) = a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an
LCs U c ( s ) + RCsU c ( s ) + U c ( s ) = U r ( s )
2
按照定义，系统的传递函数为：
U c (s) 1 = G (s) = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
自动控制原理及其应用_课后习题答案_2[1]
![自动控制原理及其应用_课后习题答案_2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5164ec0ff78a6529647d53a6.png)
uo
2-6-b 用运算放大器组成的有源电网络如 力所示,试采用复数阻抗法写出它们的传 力所示 试采用复数阻抗法写出它们的传 递函数。 C 递函数。
R2 ui R1 －∞ ＋ ＋ R3
uo R4 R5
UO (R2R3SC+R2+R3)(R4+R5) = － UI R1(R3SC+1)R5 R2R3 (R4+R5)(R2+R3)( SC+1) R2+R3 =－ － R1R5(R3SC+1) R5 UO(R3SC+1) R4+ R5 =－ － R2R3SC+R2+R3 R5 R5 UO UO UI R4+ R5 R4+ R5 =－ － R3 R1 R3 R2 ＋ SC R3 SC＋ 1 ＋ R2 ＋ 1 R3 ＋ SC
IL R2 UL sL ＋ Cs UO
-
I
C
UC=UO+UL
2-6-a 用运算放大器组成的有源电网络如图 所示,试采用复数阻抗法写出它们的传递函数 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 所示 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 电路等效为: 解:电路等效为 电路等效为 UO =－ R2 ＋R3 R2 SC＋1 UI UO =－ R1 1 R2· SC ＋ 1 R3 R2＋ SC
s=0
1 s
(2-4-2)
求下列微分方程。 求下列微分方程。
d3y(t) d2y(t) dy(t) 初始条件: 初始条件 3 +4 dt2 +29 dt =29, dt · y(0)=0 , y(0)=17 , · · y(0)=-122 解:
2-5-a 试画题 图所示电路的动态结构图 并 试画题2-1图所示电路的动态结构图 图所示电路的动态结构图,并 求传递函数。 求传递函数。 ＋ uc － 解:ui=R1i1+uo ，i2=ic+i1 duc ic=C dt UI(s)=R1I1(s)+UO(s) I2(s)=IC(s)+I1(s) UI(s)-UO(s) =I1(s) 即: R1
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
从系统动态方程求系统传递函数(阵)
与连续时间系 统传递函数在 形式上相同
W(z)
bm zm bm1zm1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
• 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。
• 与离散时间系统相关的数学方法有差分方 程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。
• 离散时间系统一般用差分方程表示其输入 和输出信号的关系。
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
设系统n阶差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k)
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，上式就 变为线性定常离散系统，其状态空间表达式为：
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k)
Cx(k
)
Du(k )
现代控制理论
14
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
y(k)
cx(k )
其中： 0 1 0
0
0
1
G
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
0 0 h 0 b
c 1 0 0 0
19
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
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2．差分方程的输入函数包含u(k) u(k+1)，… 时 设系统差分方程为
第二章 (2.3,2,4)动态结构图、反馈系统的传递函数
一、系统的开环传递函数
D(s)
闭环控制 系统的典型 结构：
R(s)
E(s) E(s)
_
B(s)
G1(s)
+
C(s) G2(s)
Y2(s)
(3) 反馈
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s)
C(s) G( s) ( s) 1 H ( s)G ( s)
C ( s ) E ( s ) G( s ) [ R( s) C ( s) H ( s)]G ( s)
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 H ( s)G ( s)
H2 G1 G2 H1
1 G4
G3 a G4 H3
b
例2：综合点移动
综合点与引出 点互换位置了
G 33 G G 11 G
G2
G 22 G H 11 H
错！ 向同类移动
1并联
G3 G1
3串联
2反馈
G2 H1
G1
G4 G1 H1 输入 G1 H1 H1
两个
例3 作用分解
G2
a b
两个 输出
G3 H3
4
绘制双T网络结构图
R1
U1(s)
R2
urr(t) U (s)
I1(s)
sc1
I2(s)
1 C 1
I2(s)
sc2
1 C 2
ucc(t) U (s)
Ur(s)
2.4传递函数及典型环节传递函数
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
自动控制原理复习指导
自动控制原理复习指导2009-2010第一学期第一章：知识点1 闭环系统（或反馈系统）的特征：采用负反馈，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自己有控制作用。
2 典型闭环系统的功能框图。
一些重要的概念与名词自动控制在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。
自动控制系统由控制器和被控对象组成，能够实现自动控制任务的系统。
被控制量在控制系统中．按规定的任务需要加以控制的物理量。
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量，也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。
反送到输入端的信号称为反馈信号。
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。
将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。
然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响，这样的系统称为开环控制系统。
开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路，即输出量对控制作用有直接影响的系统，叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨论的主要是闭环负反馈控制系统。
复合控制系统复合控制系统是一种将开环控制和闭环控制结合在一起的控制系统。
它在闭环控制的基础上，用开环方式提供一个控制输入信号或扰动输入信号的顺馈通道，用以提高系统的精度。
自动控制系统组成闭环负反馈控制系统的典型结构如图1．2所示。
组成一个自动控制系统通常包括以下基本元件1．给定元件给出与被控制量希望位相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲要与主反馈信号的量纲相同。
给定元件通常不在闭环回路中。
2．测量元件测量元件也叫传感器，用于测量被控制量，产生与被控制量有一定函数关系的信号被控制量成比例或与其导数成比例的信号。
合肥工业大学 自动化考研真题
1 s +1 +
4 s ( s + 2)
c(t )
四、 （16 分）设单位负反馈系统的开环传递函数 G ( s )=
K * (1-s ) s (as +2)
1)a = 1 时，绘制 K * : 0 → ∞ 变化时的闭环根轨迹，求系统产生重根和纯虚根的 K * 值。
2） K * =1 时，绘制 a : 0 → ∞ 变化时的闭环根轨迹。
Gc ( s )=
0.05s + 1 ，试画出校正前、后开环系统对数幅频特性曲线渐近线，计算校正前、后 0.002 s + 1 系统的稳定裕量。
七、 （16 分）已知系统结构如图所示，K>0，T=1 秒。 1）求系统的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数； 2）求系统稳定时 K 的取值范围。
r (t )
-1
1
0 1
m(t )
-1
−
1 s2
c (t )
1 0 1 ɺ= 九、 （20 分）设系统动态方程为： x x + u 0 0 1 1）求系统的传递函数 G ( s ) ； 2）欲利用状态反馈使 G ( s ) =
y = [ 2 −1] x
1 ，求反馈矩阵 K，并画出系统的动态结构图。 s +1 3）设观测器的极点为-10，设计全维状态观测器，写出观测器的动态方程。 ɺ = A(t ) x 的状态转移矩阵，求证 十、 （8 分）已知 φ (t ,τ ) 是 x d φ (t ,τ ) = −φ (t ,τ ) A(τ ) 。 dτ
m(t )
−
1 s2
c (t )
1+ s
.
7、已经系统的微分方程为： y+ 3 y+ 2 y = 2 u + u ，求传递函数；并求其能控标准形、 能观标准形、对角形动态方程。
第四章系统传递函数模型
解：系统的动力学方程为：
k1
mx k2 x c(x x1) f (t)
对上两式取拉斯变换
c(x x1 ) k1x1
(ms 2 cs k2 )x(s) f (s) csx1 (s)
以上两式消去变量 x1 (s)
x1 f (t) k2
c
m
x
csx(s) (k1 cs)x1(s)
将 s2 2ps p2 因式分解可以得到系统的极点，在这里， 系统的极点就是动力系统的特征根：
p1 p 2 1p
p2 p 2 1p
对于单自由度系统而言，系统的极点是固有频率P和 阻尼比 的函数
当 1 时，极点是一对共轭复数，即：
p1 j 1 2
p
p2 j 1 2
s 2.236 j
s 2.2361 j
22
3 传递函数的并联、串联与反馈链接形式 1） 串联形式：设有两个系统的传递函数分别为： H1(s) 和 H2 (s) ，将两个系统串联，分析两个系统串联
后的总系统的传递函数。
u
uc
y
H1
H2
u
y
H
因为 uc u H1 (s) 即 y u H1(s) H2 (s) u H(s)
2 传递函数的定义 设有线性系统的输入为 u(t),输出为 y(t),对应的微分 方程如下： (an pn an1 pn1 a1 p a0 ) y(t) (cm pm cm1 pm1 c1 p c0 )u(t)
其数中的初pm 值 dd均tmm 称为为零微，分对算该子微，分且方有程两n端 取m 假y(设t)拉各斯阶变导 换，则得：
U (s) an s n an1s n1 a1s a0
写成：
H (s) k1 k2 kn
北理工843控制工程考研习题整理(2)
G1(s) Xi（s） + — — —
+ G2(s) H(s) +
XO（s） G3(s)
5.求右图的输出信号 C(s)。
6. 求下图的输出信号 C(s)。
7. 试求下图所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。
8. 试求下图所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。
16.已知某单位负反馈系统为最小相位系统，其 对数幅频特性曲线的渐近线如图所示，试求其开 环传递函数 G（s）的表达式（其中阻尼比ξ=1/2） 。 dB L(ω) 20 0dB/dec -20dB/dec 0dB/dec 0 (rad/s) 0.1 2 5 10 -40dB/dec ω
17. 如下图为一机械系统（小车的质量为 m ，弹簧的弹性系数为 K ，不计小车 与地面的摩擦） ，若以冲击力 F(t)为输入量，小车位移 x(t)为输出量。 ① 求此系统的传递函数
第四部分：建模题 1. 下图为热水器电加热器。为了保持希望的温度，由温控开关接通或断开电加 热器的电源。在使用热水时，水箱中流出热水并补充冷水。试画出这一闭环系统 的原理方块图，若要改变所需温度时，定性地说明应怎样改变和操作。
2. 试说明上图所述系统，当水箱向外放热水和向里补充冷水时，系统应如何工 作并画出对应的系统方块图。 3. 机械系统如下图所示，其中，外力 f(t)为系统的输入，位移 x(t)为系统的输 出，m 为小车质量， k 为弹簧的弹性系数，B 为 阻尼器的阻尼系数，试求 系统的传递函数（小车与地面的摩擦不计）
R(S)
+ -
4 S(S+2)
C(S)
3. 下图所示为飞行器控制系统方块图。已知参数：KA=16,q=4 及 KK=4。试求取： （1）该系统的传递函数 C(s)/R(s)。 （2）该系统的阻尼比ξ及无阻尼自振频率ωn （3）反应单位阶跃函数过渡过程的超调量、峰值时间及过渡过程时间。
自动控制原理 传递函数计算
四、传递函数举例说明
例1.
如图所示的RLC无源
L
网络，图中电感为L
（亨利），电阻为R （欧姆），电容为C
ui
（法），试求输入电 压ui(t)与输出电压 uo(t)之间的传递函数。
R
i C uc
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
C R=1
北京航空航天大学
L1
L2
P11 P22
L3 L4 L2 L4
L3 L4
Ui (s) = Ls R 1/ sC I (s)
Uo(s) = 1/ sCI(s)
则传递函数为
Uo (s) = 1/ sC =
1
Ui (s) Ls R 1/ sC LCs2 RCs 1
五、用梅森（S.J.Mason） 公式求传递函数
• 梅森公式的一般式为：
n
PK K
G(s) = K =1
利用梅森公式求传递函数(2)
2. 求 Pk ,k
P1 = G1G2G3G4G5G6
1 = ?
R(s) G1
-
求余子式1
H4
4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
2
H2
3
H3
H1
C(s) G6
1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特
征式的求法，计算 1
求余式1
R(s) G1
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,C
4
6
2, D 0
0 0 2 1
解： W (s) C(sI A)1 B D
s 1 1
4
6
2
0
s1
0 0
2s 6 s3 4s2 5s 2
0 1 2
0
1
s 2 1
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2.6 从系统动态方程求系统传递函数（阵）
系统动态方程和系统传递函数（阵）是控制系统两 种经常使用的数学模型。 动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还 清楚地表达了系统内部状态变量的关系。 相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。 我们已知道，从传递函数到动态方程是个系统实现 的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。 但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、 比较简单的过程。
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对于单输入单输出（SISO）系统，按上式求出
的W(s)为系统的标量传递函数，可表示为
W (s) c(sI A)1b d c adj(sI A) b d | sI A |
当系统的传递函数无零极点对消时，有
W
(s)
Y (s) U(s)
b0sn b1sn1 sn a1sn1
y(t)
1 1
0x1(t)
1
x2
(t
)
试求其传递函数阵。
现代控制理论
7
第二章 状态空间分析法
2019/11/3
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解: 传递函数阵为：
G(s) C(sI A)1 B
1 0 s 1 1 1 0 1 1 2 s 3 1 1
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在MATLAB中，用SS2TF语句可以直接求出W(S)。
A=[-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2]; B=[-2;1;1];C=[4 6 2];D=0; [NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D) end
第二章 状态空间分析法
其中 m n.
T —— 为采样周期；，
u(k) y(k) —— 分别为时刻 kT 的输入、输出；
ai bi —— 表征系统特征的常系数。
系统脉冲传递函数为输出信号的Z变换与输入信号的
Z变换之比:
与连续时间系 统传递函数在 形式上相同
W(z)
bm zm bm1zm1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0
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• 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。
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2.7 离散时间系统的状态空间表达式
• 离散时间系统就是系统的输入和输出信号 只在某些离散时刻取值的系统。
• 与离散时间系统相关的数学方法有差分方 程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。
• 离散时间系统一般用差分方程表示其输入 和输出信号的关系。
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设系统n阶差分方程为：
y(k n) an1 y(k)
bmu(k m) bm1u(k m 1) b1u(k 1) b0u(k)
k —— 表示时刻kT
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已知线性定常系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t)
Cx(t)
Du(t
)
式中 x(t)—系统n维状态向量；u(t)—系统r维 输入向量；y(t)—系统m维输出向量。
2
第二章 状态空间分析法
bn－1s bn an1s an
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(1)系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母
多项式；
(2)传递函数的极点就是A的特征值。
由于系统状态变量的选择不惟一，故建 立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系 统的传递函数阵却是惟一的。
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对上式两端取拉氏变换，可得
sX (s) x(0) AX (s) BU (s) Y (s) CX (s) DU (s) 设初始条件x(0)=0，则有
sX (s) AX (s) BU (s) X (s) (sI A)1 BU (s)
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补例 ：已知系统的状态空间表达式为
x1 (t)
x2
(t
)
0 2
1 3
x1 (t) x2 (t)
1 1
0u1(t) 1u2 (t)
W
(s)
w21 ( s )
wm1
(
s)
w12 (s) w22 (s)
wm 2 ( s)
w1r (s)
w2
r
(
s)
wmr (s)
其中，wij(s)为一标量传递函数，它表示第j个系统输 入 对第i个系统输出的传递作用。
第二章 状态空间分析法
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Y(s) [C(sI A)1B D]U(s) W (s)U(s)
式中, W (s) [C(sI A)1B D] ， mr 维。
传递函数阵
3
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第二章 状态空间分析法
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W(S)为一个m×r的传递函数阵，即：
w11(s)
s4
(
s
1)(
s
2)
2
s 2
1
(s
1)( s
2)
1
s 2
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第二章 状态空间分析法
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【例2-14】求下列动态方程的传递函数。
1 1 0 2
A
0
1
0
,
B
1