2019年《高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(四) Word版含解析
2019届高三第四阶段考试题(理科数学)
CA BN P2019届高三第四阶段考试题（理科数学）（测试时间120分钟，满分150分）2011.11. 1注意事项：1．答卷前，考生务必将自己旳姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内.2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内旳相应位置上；如需改动，先划掉原来旳答案，然后再写上新旳答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答旳答案无效.一.选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 满分40分．在每小题给出旳四个选项中, 只有一项是符合题目要求旳.1．若集合{}13A x x =≤≤，{}2B x x =>，则AB 等于（ ）A ． {}23x x <≤B ． {}1x x ≥C ． {}23x x ≤<D ． {}2x x >2．在复平面内，复数(1)Z i i =-（i 是虚数单位）对应旳点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-旳值为( )A. 45- B . 54 C.53 D. －534、若ax x x f 2)(2+-=与xa x g =)(在区间[1，2]上都是减函数，则a 旳取值范围是（ ）A. (0，1)B. (0，1]C. （-1,0）∪(0，1)D. (-1，0) ∪(0，1] 5、如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上旳一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 旳值为（ ）.A 911 .B 511 .C 311 .D 2116.等差数列{}n a 中，36a =，前三项和3304S xdx =⎰，则公差d 旳值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 07.设函数()(,)y f x =-∞+∞在内有定义，对于给定旳正数K ，定义函数：()K f x =(),(),,().f x f x K K f x K ⎧⎨⎩≤＞ 取函数||()x f x a-=1(1).,a K a=当时函数＞()K f x 在下列区间上单调递减旳是（ ）A.(1,)+∞B.(,)a -+∞C.(,1)-∞-D.(,0)-∞8. 将正方形ABCD 分割成2n ),2(N n n ∈≥个全等旳小正方形（图1，图2分别给出了3,2=n 旳情形），在每个小正方形旳顶点各放置一个数，使得每一行每一列上旳数都分别依次成等差数列，若顶点D C B A ,,,处旳四个数和为1，记所有顶点上旳数之和为()f n ，则=)4(f ________A ．4B ．6C ．425 D.213二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中9 ～13题是必做题，14 ～15题是选做题，考生只能从中选做一题；两道题都做旳，只记第一题旳得分．9设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,21,1)(x x x x f x ，则=21((f f10、函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值1-，则a b -=_______11.已知向量()()1,,1,a t b t ==-，若2a 与b 垂直，则a =12．若不等式20x bx c -++>旳解集是}31|{<<-x x ,则不等式bc x≥旳解集是________13、有下列数组排成一排：121321432154321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,112123123412345如果把上述数组中旳括号都去掉会形成一个数列：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345则此数列中旳第50项是__________14、（参数方程选讲选做题）若直线⎩⎨⎧+=-=,32,21t y t x （t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k =____.15．（几何证明选讲选做题）如图，正ABC ∆旳边长为2，点,M N 分别是边,AB AC 旳中点，直线MN 与ABC ∆旳外接圆旳交点为P 、Q ，则线段PM = ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)APMNBCQDA B C图2已知ABC ∆旳角A B C 、、所对旳边分别是a b c 、、，设向量(,),m a b =(sin ,cos ),n A B =(1,1).p =(1)若,m n ∥求角B 旳大小； (2)若4,m p ⋅=边长c =2，角,3π=C 求ABC ∆旳面积．17．（本小题满分13分）设数列{n a }旳前n 项和为n S ,点(,)()32nS n n N y x n*∈=-均在函数旳图象上。
2019版高考数学一轮复习阶段检测卷理
阶段检测卷(一)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．(2017年广东深圳二模)已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x||x|<2}，则( )A．A∩B＝∅B．A∩B＝AC．A∪B＝AD．A∪B＝R2．已知方程x2＋y2a＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )A．对任意实数a，方程表示椭圆B．存在实数a，使方程表示椭圆C．对任意实数a，方程表示双曲线D．存在实数a，使方程表示抛物线3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A．f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫32B．f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫32C．f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫32<f⎝⎛⎭⎪⎫－14D．f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫32<f⎝⎛⎭⎪⎫144．(2017年广东深圳一模) 函数f(x)＝2x＋12x－1·cos x的图象大致是( )A B C D5．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是( )A．(－∞，7] B．(－∞，－20]C．(－∞，0] D．[－12,7]6．已知函数f(x)＝log a(ax－1)在[2,3]上单调递减，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝⎛⎭⎪⎫12，17．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3| 与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则1miix=∑＝( ) A．0 B．mC．2m D．4m8．若函数f(x)在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2) D ．f (1)＝f (2)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上． 9．(2015年新课标Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝______________.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为______________．11．(2017年山东)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)(2017年湖北襄阳一模)已知函数f (x )＝4ln x －x ，g (x )＝ax 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若af (x )>g (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．13．(20分)(2017年广东调研)已知函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a ≠0)，g (x )＝(m －1)x 2＋2mx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，关于x 的不等式f (x )≤g (x )恒成立，求整数m 的最小值．阶段检测卷(一)1．B 解析：因为集合A ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}＝A .故选B.2．B 解析：显然当a >1时，该方程表示椭圆．故选B.3．B 解析：因为f (x －2)＝－f (x )，所以T ＝4，且关于x ＝－1对称，由奇函数和单调性得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.故选B. 4．C 解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －1cos(－x )＝－2x ＋12x －1cos x ＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＞0，所以排除D.故选C.5．B 解析：令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20，∴f (x )的最小值为f (2)＝－20.故m ≤－20.6．D 解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －1为增函数，∴若函数f (x )为减函数，则f (x )＝log a u 必为减函数，因此0<a <1.又y ＝ax －1在[2,3]上恒为正，∴2a －1＞0，即a ＞12.故选D.7．B 解析：因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ；当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m .故选B.8．A 解析：由于f (x )<xf ′(x )，所以⎝⎛⎭⎪⎫f x x′＝f ′x x －f x x2>0恒成立，因此f x x 在R 上是单调递增函数．∴f 22>f 11，即f (2)>2f (1)．故选A. 9．8 解析：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k ＝y ′|x＝1＝2.所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0，且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 解析：本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，log 2t ＝－1，得t ＝－2，或t ＝12.再解方程f (x )＝－2，f (x )＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 2x ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 2x ＝12，得x ＝－3，或x ＝14，或x ＝－12，或x ＝ 2.11．①④ 解析：①e x f (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ，在R 上单调递增，故f (x )＝2－x具有M 性质；②e x f (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ，在R 上单调递减，故f (x )＝3－x不具有M 性质；③e xf (x )＝e x·x 3，令g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x(x ＋3)，∴当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0.∴e xf (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增．故f (x )＝x 3不具有M 性质；④e x f (x )＝e x (x 2＋2)，令g (x )＝e x (x 2＋2)，则g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，∴e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．12．解：(1)∵f ′(x )＝4x －1＝4－xx，∴函数f (x )的单调递增区间是(0,4]，单调递减区间是[4，＋∞)．(2)不等式af (x )>g (x )等价于4a ln x －ax 2－2ax －1>0. ① 当a ＝0时，①不成立；当a > 0时，①化为1a<4ln x －x 2－2x ； ②当a < 0时，①化为1a>4ln x －x 2－2x . ③令h (x )＝4ln x －x 2－2x (x > 0)，则h ′(x )＝4x －2x －2＝－2x 2＋2x －4x＝－2x －1x ＋2x.∴当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. ∴h (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴h max (x )＝h (1)＝－3.因此②不成立．要③成立，只要1a >－3，解得a <－13.∴所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.13．解：(1)f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－2x 2－ax －a 2x ＝－2x ＋ax －ax (x >0)．①当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <a ，由f ′(x )<0，得x >a .所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－a2，由f ′(x )<0，得x >－a2.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞.(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1(x >0)，F ′(x )＝1x－2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋1－2m x ＋1x＝－2mx －1x ＋1x.当m ≤0时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．而F (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤g (x )不恒成立．故m ≤0时不满足题意．当m >0时，当0<x <12m 时，F ′(x )>0；当x >12m 时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上单调递减． 所以F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝ln 12m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋(1－2m )×12m ＋1＝14m －ln(2m )．令h (m )＝14m －ln(2m )，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，h (1)＝14－ln 2<0，又h (m )在(0，＋∞)上是减函数，所以当m ≥1时，h (m )<0.故整数m 的最小值为1.。
2019理科数学高考模拟试卷4(含解析)
仿真冲刺卷(四)(时间:120分钟满分:150分)第I卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合M={0,1},则满足MU N二{0,1,2}的集合N的个数是()(A) 2 (B)3 (C)4 (D)82. 如图，在复平面内，复数乙和乙对应的点分别是A和B,贝旷等于( )I 2 2 I(A) ■+ i (B) ：+ iI 2 2 I(C)-「i (D)- '- i} ±3. (2018 •河南郑州一中质检)若a“ sin xdx,则二项式(a「-「)6展开式的常数项是()(A)160 (B)20 (C)-20 (D)-1604. 小王的手机使用的是每月300M流量套餐,如图记录了小王在4月1 日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是()第4题图(A) 1日〜10日这10天的平均流量小于9.0M/日(B) 11日〜30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量(C) 从1日〜10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大(D) 从1日〜10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小5. (2018 •成都二诊)已知函数f(x)对任意x€ R都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(2 018)等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)0| a n+ 16. 若w " < 2(n € N),则称｛a n｝是“紧密数列” •若｛a n｝(n=1,2,3,4)3是“紧密数列”，且a1=1,a2= ,a3=x,a4=4,则x的取值范围为()(A)[1,3) (B)[1,3] (C)[2,3] (D)[2,3)7. (2018 •安徽淮北一模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()第7题图7 8 - IT 8 7 - ?!(A) (B) (C) ： (D)2x - y - 2 < Q r3x + y - 3 > 0,8. （2018 •山东、湖北重点中学三模）在满足条件L + y-^o 的区域内 任取一点M （x,y ）,则点M （x,y ）满足不等式（x-1） 2+y 2<1的概率为 7t 7T 7T 7T(A)(B) ' (C)1- (D)1- 9. 如图所示的程序框图中，输出s 等于（） 开姐］晡視图 7^-L)- * n 1 j^i+rm=n+l第9题图(A)45 (B)-55 (C)-66 (D)6610. （2018 •山东、湖北重点中学三模）已知三棱柱ABCABG的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为2dAB=4,AC=2, / BAC=60 ,若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为（）(A)8 n (B)(16-8 ) n (C)2 n (D)(4-211. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线I与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点，若/ PMF=30 , T T IF 品•為=0,则颐等于()(A) (B) ' (C)2 (D)12. 若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M,N关于原点对称，则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).『点<已知函数f(x)=忖-4切九则此函数的“和谐点对”有()(A)1 对(B)2 对(C)3 对(D)4 对第H卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~ 21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13. (2018 •山西太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若，入；+卩「，贝S实数入+卩= ______ .14. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 _______________ .15. 已知S n为数列｛a n｝的前n项和,a i=1,2S n=(n+1)a n,若存在唯一的正整数n使得不等式• -ta n-2t 2< 0成立，则实数t的取值范围为_____ . 16. 已知曲线y=e x+a与y=(x-1) 2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为________________ .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)△ ABC勺内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+'」=.(1)求A;⑵若BC边上的中线AM=2 ,高线AH=,求厶ABC的面积.18. (本小题满分12分)在三棱柱ABCABG中，侧面ABBA1为矩形,AB=1,AA1=?D为AA的中点,BD与AB交于点O,COL侧面AB昭.(1)证明:BC丄AB;⑵若OC=OA求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）（2018 •江淮十校联考）某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N（120,25），该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试估算该校高三年级数学的平均成绩；⑵从所抽取的50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.附：若X〜N0 ,（T2）,贝卩P（卩-3（T <X<a +3 ° ）=0.997 3.20. (本小题满分12分)(2018 •山东实验中学一诊)已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2,30),B(2,0), 直线RA,RB的斜率分别为k i,k 2,且kk二-;.设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；⑵四边形MNP啲四个顶点均在曲线C上，且MQ/ NP,MQ_x轴.若直线MN和直线QP交于点S(4,0),那么四边形MNP(的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. (本小题满分12分)(2018 •晋中调研)已知函数f(x)=e x-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2, 且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值；⑵证明：当x>0时,g(x) < f(x).请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是p =4cos 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程fx =1 + tcosa,是：:'(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵若直线I与曲线C相交于A,B两点，且|AB|=」：，求直线的倾斜角a 的值.23. (本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1) 解不等式f(x) < 3;3(2) 记函数g(x)=f(x)+|x+1| 的值域为M若t € M,证明:t 2+1占+3t.21.C 由题意得{2} ? N? {0,1,2},因此集合N的个数是2=4个,选C.。
普通高等学校招生模拟考试理科数学试题 四 答案
…………………10 分 …………………12 分
....................2 分 ...................4 分
直线 EA 与抛物线 C 相切， (2kt 4)2 4k 2t2 0 ，即 kt 1
代入 1 x2 2x t2 0 ， x t2 ，即 A(t2 , 2t) t2
…………………………………8 分
PX
4
2 4 5
16 ， P( X 625
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)3
216 625
P( X
2)
C41
(
2 5
)3
(
3 5
)
96 625
P( X
0)
C42
(
2 5
)
2
(
3 5
)
2
216 ； 625
P( X
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)
3
216 625
PX
4
..........................12 分
18．解：
（1）取 AB 的中点 O ，连 CO, DO ，
理科数学试题答案 第 1 页 共 8 页
在 RT ACB, RT ADB ， AB 2 ，则 CO DO 1 ，又 CD 2 ，
CO2 DO2 CD2 ，即 CO OD ， 又 CO AB ， AB OD O ， AB,OD 平面 ABD
f
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2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案(精校版)
2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案（精校版）一、选择题（共12小题，每题5分，总分60分）1.集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求得集合M,N，然后求解其交集即可.由题意可得：，，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.2.已知f（x）=x2+2x·f＇（1），则f＇（0）等于（）A. 0B. –2C. 2D. – 4【答案】D【解析】因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=-2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x-4，当x=0，f′（0）=-4．故选D．3.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选：B．4.若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】略5.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】6.设函数,则满足的的取值范围是（）A. ,2]B. [0,2]C. [1,+)D. [0,+ )【答案】D【解析】时,成立;时,,即,则.选D.7.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以；因为，所以；因为，所以，即，因此，答案选C．8.方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数.∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.9.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，利用定义在上的偶函数在上递增，可得不等式，从而可求的取值范围．由题意，函数是定义在上的偶函数，且.∵∴∵函数在上递增∴∴或∴或∴的取值范围是故选B.10.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y＝＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－sin x的图象，由图象可知函数y＝＋sin x只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.11.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知条件推导出在恒成立，令，利用导数性质求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵对恒成立∴在恒成立令，则.由得，即在上为增函数；由得，即在上为减函数，∴∴∴实数的取值范围是故选B.12.设是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知当时总有成立，可构造函数，即可判断函数为减函数，由是定义在上的奇函数，可得为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，结合的图象，解不等式即可设，则.∵当时，有恒成立∴当时，，即在上为减函数又∵是定义在上的奇函数∴，即为上的偶函数.∵∴函数的图象如图：∵，且∴∴∴根据图象可得或∴不等式的解集为故选D.二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）13.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为______________．【答案】16【解析】由题意可得幂指数为偶数，且幂指数为正数，根据当时，幂指数为4，符合题意，可得幂函数的解析式，从而可得的值．∵幂函数为偶函数∴幂指数为偶数∵幂函数在区间上是单调增函数．∴幂指数为正数，即>0解得-3<m<1,所以m=-2,-1,0∴对取值，得到当时，幂指数为4，符合题意，∴解析式为，则.故答案为14.给出下列命题:①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;③命题“,使得”的否定是真命题;④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________【答案】①③【解析】①若，则，故有实根，原命题为真，所以逆否命题也为真，真确；②命题“，”为真命题，则，所以是充要条件，故不正确；③命题“，使得”的否定是，成立；④函数为偶函数成立，所以命题为真，函数在上为增函数成立，命题也为真，为假，所以为假命题，不正确；故答案为①③.15.函数在区间上的值域是,则的最小值是____.【答案】【解析】先画出函数图象，再数形结合得到、的范围，最后计算的最小值即可.函数的图象如图所示：∵∴根据图可知，∴当，，取得最小值为故答案位.16.已知函数,若函数在上为单调函数,则的取值范围是_______________ . 【答案】【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.三、解答题（共6题，总分70分）17.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.解：(1)由得,又,所以,当时, ,即为真时实数的取值范围是.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)∵是的充分不必要条件∴是的充分不必要条件.∴应满足:,且,解得.∴的取值范围为:.18.已知函数.（1）求函数的定义域;（2）求函数的零点;（3）若函数的最小值为,求的值。
2019年全国统一高考数学试卷(理科含解析版)精品文档A4版
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C．20 D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高考理科数学一轮复习练习：阶段检测试题 Word版含解析
阶段检测试题(一)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( A )(A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R(C)A∪B={x|x>1} (D)A∩B=解析:因为3x<1,所以3x<30,所以x<0,所以B={x|x<0}.又A={x|x<1},所以A∩B={x|x<0}.故选A.2.函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为( C )(A)(-∞,2) (B)(2,+∞) (C)[-1,2) (D)[-1,2]解析:由题意得解得-1≤x<2,故函数f(x)的定义域是[-1,2),故选C.3.下列命题的说法错误的是( C )(A)命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则p:∃x0∈R,+x0+1≤0(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件(C)若命题p∧q为假命题,则p,q都是假命题(D)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”解析:对于A,命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则��p:∃x0∈R,+x0+1≤0,满足命题的否定关系,正确;对于B,“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,满足“x=1”⇒“x2-3x+2=0”,反之,不成立,正确;对于C,若命题p∧q为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不正确;对于D,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,满足逆否命题的形式,正确.故选C.4.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是( B )(A)(0,2) (B)(0,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,0)∪(2,+∞)解析:若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞),故选B.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为( B )(A)4 (B)-4 (C)6 (D)-6解析:由题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),所以f(0)=30+m=0,解得m=-1,故有x≥0时f(x)=3x-1,所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4,故选B.6.函数y=1+x+的部分图象大致为( D )解析:函数由y=x+向上平移1个单位,则y=1+x+关于(0,1)对称,排除B,C,当x>0时y>0,排除A,故选D.7.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( B )(A)f(1)<f()<f()(B)f()<f(1)<f()(C)f()<f()<f(1)(D)f()<f(1)<f()解析:因为函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x),即f(1)=f(3),因为f()<f(3)<f(),所以f()<f(1)<f（）,故选B.8.知定义在R上的函数f(x)=2|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( B )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)a<c<b (D)c<b<a解析:因为定义在R上的函数f(x)=2|x|,所以a=f(log0.53)==3,b=f(log25)==5,c=f(0)=20=1,所以a,b,c的大小关系为c<a<b.故选B.9.已知函数f(x)=x2+,若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,则实数a的取值范围为( B )(A)( -∞,8)(B)(-∞,16](C)(-∞,-8)∪(8,+∞)(D)(-∞,-16]∪[16,+∞)解析:因为函数f(x)=x2+在x∈[2,+∞)上单调递增,所以f′(x)=2x-=≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立,所以a≤2×23=16,所以实数a的取值范围为(-∞,16].故选B.10.函数y=ln x+x--2的零点所在的区间是( C )(A)(,1) (B)(1,2)(C)(2,e) (D)(e,3)解析:因为函数y=ln x+x--2(x>0),所以y′=+1+>0,所以函数y=ln x+x--2在定义域(0,+∞)上是单调增函数;又x=2时,y=ln 2+2--2=ln 2-<0,x=e时,y=ln e+e--2=+e--2>0,因此函数y=ln x+x--2的零点在(2,e)内.故选C.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( A )(A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)(B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)(C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)(D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=<0,故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0),故选A.12.设函数f(x)的导函数为f′(x),且满足xf′(x)+f(x)=,f(1)=e,则x>0时,f(x)( D )(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值解析:因为f′(x)=-=,令g(x)=e x-xf(x),所以g′(x)=e x-(xf′(x)+f(x))=e x(1-),若x>1,则g′(x)>0,g(x)>g (1)=0,f(x)递增,若0<x<1,则g′(x)<0,g(x)>g(1)=0,f(x)递增,所以函数f(x)既无极大值又无极小值,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设f(x)=则f(x)dx=.解析:由已知cos xdx+1dx=sin x|+x|=π.答案:π14.偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式f(x)>0的解集为.解析:根据题意,对于函数f(x),f(1)=0,则f(x)>0⇔f(x)>f(1),又由函数f(x)为偶函数,则f(x)>f(1)⇔f(|x|)>f(1),函数f(x)在[0,+∞)单调递减,则f(|x|)>f(1)⇔|x|<1,综合可得f(x)>0⇔|x|<1,解可得-1<x<1,即不等式f(x)>0的解集为(-1,1).答案:(-1,1)15.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3log a x,y2=2log a x和y3=log a x(a>1)的图象上,则实数a的值为.解析:设B(x,2log a x),因为BC平行于x轴,所以C(x′,2log a x)即log a x′=2log a x,所以x′=x2,所以正方形ABCD边长=|BC|=x2-x=2,解得x=2.由已知,AB垂直于x轴,所以A(x,3log a x),正方形ABCD边长=|AB|=3log a x-2log a x=log a x=2,即log a2=2,所以a=.答案:16.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+2x-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是.解析:g(x)=当x≤0时,g(x)单调递增,且g(x)≤g(0)=1-a,当x>0时,g(x)的对称轴为直线x=-a-1,(1)当-a-1≤0即a≥-1时,g(x)在(0,2)上单调递增,所以g(x)不可能有3个零点.(2)当-a-1>0即a<-1时,g(x)在(0,-a-1)上单调递减,在(-a-1,+∞)上单调递增, 所以当x=-a-1时,g(x)取得极小值f(-a-1)=-a2-3a,因为g(x)有3个零点,所以解得a<-3.综上,a<-3.答案:(-∞,-3)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若a>0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是(1,3).由|x-3|<1,得-1<x-3<1,得2<x<4,即q为真时实数x的取值范围是(2,4),若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2, 3).(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q,且qp,设A={x|p},B={x|q},则AB,又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|q}={x|x≥4或x≤2},则0<a≤2,且3a≥4,所以实数a的取值范围是[,2].18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b·a x(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).(1)试求a,b的值;(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由题意解得a=2,b=4,所以f(x)=4·2x=2x+2.(2)设g(x)=()x+()x=()x+()x,所以g(x)在R上是减函数,所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.所以,m的取值范围为(-∞,].19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解:(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′(-)=0,即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=(x3+x2)e x,故g′(x)=(x2+2x)e x+(x3+x2)e x=(x3+x2+2x)e x=x(x+1)(x+4)e x.令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在[-,1)上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)函数f(x)=-x3+x2+b,f′(x)=-3x2+2x,令f′(x)=0得x=0或x=,f′(x)>0时,0<x<; f′(x)<0时,x<0或x>,可知f(x)在[-,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增.F(-)=+b,f()=+b,显然f(-)>f(),+b=,b=0,所以实数b的值为0.(2)任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x,g(x)=aln x.因为x∈[1,e]时,(ln x-x)′=-1<0,所以ln x-x∈[1-e,-1],所以ln x-x<0,a≤,设T(x)=,x∈[1,e],T′(x)=,x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-ln x>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.即a的取值范围为(-∞,-1].21.(本小题满分12分)由于渤海海域水污染严重,为了获得第一手的水文资料,潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业,根据经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间消耗氧气(()3+1)升,在水底作业10个单位时间,每单位时间消耗氧气0.9升,返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间消耗氧气1.5升,记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,消耗氧气的总量最少.解:(1)由题意,下潜用时单位时间,用氧量为[()3+1]×=+(升),水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时=单位时间,用氧量为×1.5=(升),所以总用氧量为y=++9(v>0).(2)求导数y′=-=,令y′=0,解得v=10,在0<v<10时,y′<0,函数y单调递减,在v>10时,y′>0,函数y单调递增,所以当c<10时,函数y在(0,10)上递减,在(10,15)上递增,此时v=10时用氧量最少;当c≥10时,函数y在[c,15]上递增,此时v=c时,总用氧量最少.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-x2,g(x)=-mx,m是实数.(1)若f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)-g(x)有三个零点,求m的取值范围.解:(1)f′(x)=x2-(m+1)x,因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,所以f′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)恒成立,所以x-m-1≥0恒成立,即m≤x-1恒成立,由x>2,得m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].(2)h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2+mx-,所以h′(x)=(x-1)(x-m),令h′(x)=0,解得x=m或x=1,m=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是增函数,不合题意,m<1时,令h′(x)>0,解得x<m,x>1,令h′(x)<0,解得m<x<1,所以h(x)在(-∞,m),(1,+∞)递增,在(m,1)递减,所以h(x)极大值=h(m)=-m3+m2-,h(x)极小值=h(1)=,要使f(x)-g(x)有3个零点,需解得m<1-,所以m的取值范围是(-∞,1-).。
2019年高考(理科)数学总复习综合试题(四)含答案及解析
绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（四）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合M ，N ⊆I ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁I M ⊇∁I N B ．M ⊆∁I N C ．∁I M ⊆∁I ND ．M ⊇∁I N2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或13．某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为( )A ．8B ．10C ．20D ．244．在△ABC 中，命题p ：“B ≠60°”，命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号差数列”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成的角的余弦值是( )A ．32B ．1010C ．35D ．257．已知x ＝ln π，y ＝log 1322，z ＝π－12，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x8．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若 l 垂直于α，则l 垂直于α内的所有直线 ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线 ③若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β ④若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l 其中正确的命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．19．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ，则tan 2A 的值为( ) A ．12B ．2C ．34D ．－4310．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种11．椭圆x 2a ＋y 2＝1(a ＞1)与双曲线x 2b －y 2＝1(b ＞0)有相同的焦点F 1，F 2，若P 为两曲线的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的实数x 都有f (－x )＝f (x ＋2)，且f (－1)＝2，f (2)＝－1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．2 017B ．1 010C ．1 009D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的最大值为_____．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)2x (x ＜0)，若f (a )＝10，那么a ＝________．15．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线2x ＋y －3＝0垂直，则该双曲线的离心率是________．16．已知棱长都相等的正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x＋1|．(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（四）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合M ，N ⊆I ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁I M ⊇∁I N B ．M ⊆∁I N C ．∁I M ⊆∁I ND ．M ⊇∁I N解析：∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，若把I 看作全集，作出韦恩图如图所示，∴N 的补集包含M 的补集，故选C ．答案：C2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A ．答案：A3．某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为( )A ．8B ．10C ．20D ．24解析：根据三视图可得，该四面体侧棱P A 垂直的面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝3，PC ＝4.所以该四面体的体积为V ＝13S △ABC ×PC ＝13×12×4×3×4＝8.故选A ．答案：A4．在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：命题p：“B≠60°”，则(A＋C)－2B＝π－B－2B≠0⇔命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，故选C．答案：C5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i是否继续循环循环前0 1第一圈 2 2 2是第二圈8 10 3是第三圈24 34 4否此时i值为4，故选C．答案：C6．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM 和CN 所成的角的余弦值是( )A ．32B ．1010C ．35D ．25解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，M (4,2,4)，C (0,4,0)，N (4,4,2)，AM →＝(0,2,4)，CN →＝(4,0,2)，设直线AM 和CN 所成的角为θ，则cos θ＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝820×20＝25．∴直线AM 和CN 所成的角的余弦值是25.故选D ．答案：D7．已知x ＝ln π，y ＝log 1322，z ＝π－12，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x解析：x ＝ln π＞1，y ＝log 1322＜log 1333＝12，z ＝π－12＝1π∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴x ＞z ＞y .故选D ．答案：D8．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若 l 垂直于α，则l 垂直于α内的所有直线 ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线 ③若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β ④若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l 其中正确的命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 解析：对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l 平行于α内的所有直线，根据平行公理可得：α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则直线l 与m 无公共点，∴l 与m 平行或异面，故④错误；故选C ．答案：C9．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ，则tan 2A 的值为( ) A ．12B ．2C ．34D ．－43解析：设△ABC 的角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .∵AB →·AC →＝S ，∴bc cos A ＝12bc sinA ，∴tan A ＝2，∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×21－22＝－43，故选D ． 答案：D10．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种解析：分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有A 44种方法，故共有2×4×A 44＝192(种)．故选B ．答案：B11．椭圆x 2a ＋y 2＝1(a ＞1)与双曲线x 2b －y 2＝1(b ＞0)有相同的焦点F 1，F 2，若P 为两曲线的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据题意，设两曲线的一个交点P 的坐标为(m ，n )，则有⎩⎨⎧ m 2a＋n 2＝1m2b －n 2＝1，解可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±2aba ＋b n ＝±a －b a ＋b，椭圆x 2a＋y 2＝1中，|F 1F 2|＝2c ＝2a －1，△PF 1F 2的面积S ＝12×|n |×2a －1＝a －b a ＋b×a －1，又由椭圆x 2a ＋y 2＝1(a ＞1)与双曲线x 2b －y 2＝1(b ＞0)有相同的焦点，则有a －1＝b ＋1，即b ＝a －2，则S ＝22a －2×a －1＝1；故选A ．答案：A12．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的实数x 都有f (－x )＝f (x ＋2)，且f (－1)＝2，f (2)＝－1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．2 017B ．1 010C ．1 009D ．2解析：因为f (x )是偶函数，且对任意的实数x 都有f (－x )＝f (x ＋2)，则有f (x )＝f (－x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )的周期为2，即有f (x )＝f (x ＋2)成立；若f (－1)＝2，则f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 017)＝2；若f (2)＝－1，则f (2)＝f (4)＝f (6)＝…＝f (2 018)＝－1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝2×1 009－1 009＝1 009，故选C ．答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的最大值为_____．解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点B 时，直线y ＝－12x ＋12z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，即B (2,2)，代入目标函数z ＝x ＋2y 得z ＝2×2＋2＝6．答案：614．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)2x (x ＜0)，若f (a )＝10，那么a ＝________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)2x (x ＜0)，f (a )＝10，∴当a ≥0时，f (a )＝a 2＋1＝10，解得a＝3或a ＝－3(舍)；当a ＜0时，2a ＝10，解得a ＝5，不成立．综上，a ＝3．答案：315．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线2x ＋y －3＝0垂直，则该双曲线的离心率是________．解析：根据题意，双曲线的方程为x 2a 2－y 2＝1，则其渐近线方程为y ＝±xa，又由双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y －3＝0即y ＝－2x ＋3垂直，则有1a ＝12，即a ＝2，又由b ＝1，则c＝4＋1＝5，则双曲线的离心率e ＝c a ＝52．答案：5216．已知棱长都相等的正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．解析：设棱长都相等正四棱锥S -ABCD 的棱长为a ， ∵其侧面积为163，∴4×⎝⎛⎭⎫12×a ×a ×sin 60°＝163， 解得a ＝4，过S 作SE ⊥平面ABCD ，垂足为E ，连接BE ，则BE ＝1242＋42＝22，SE ＝42－(22)2＝22，设球心为O ，四棱锥是S -ABCD ，则五个几何体：O -SAB 、O -SBC 、O -SDC 、O -SAD 、O -ABCD 的体积和等于整个四棱锥的体积，而这五个几何体的高都是球半径r ，∴4×⎝⎛⎭⎫13×43×r ＋13×4×4×r ＝13×(4×4)×22， 解得r ＝6－2，该正四棱锥内切球的表面积为S ＝4π(6－2)2＝(32－163)π． 答案：(32－163)π 三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；(2)已知b ＝3，BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围． 解：(1)由b cos C ＝(2a －c )cos B 得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(2a －c )a 2＋c 2－b 22ac，化简得a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3．(2)设BD 为AC 边上的高为h ，∵S ＝12ac sin B ＝12bh ，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝3⇒3≥2ac －ac ， ∴ac ≤3，∴h ＝3ac 2b ＝12ac ≤32． 故BD 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32． 18．(12分)某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：(1)由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为多少；(2)若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A ，B 购买此商品的概率，而客户C ，D 购买此商品的概率均为12，设这4位客户中购买此商品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝3 050，∑i ＝16x 2i ＝271．参考公式： b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －．解：(1)由题意，x －＝6.5，y －＝80，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝3 050－6×6.5×80271－6×6.52＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝80－(－4)×6.5＝106， ∴y ^＝－4x ＋106，x ＝10时，y ^＝－40＋106＝66，即预测当价格为1 000元时，每天的商品的销量为66件； (2)从6天中随机抽取2天的选法有C 26＝15种，至少有1天的价格高于700元的选法有C 14C 12＋C 22＝9种，∴概率为915＝35． 由题意，X ＝0,1,2,3,4．P (X ＝0)＝(1－0.6)2×(1－0.5)2＝0.04，P (X ＝1)＝C 12×(1－0.6)×(1－0.5)2＋C 12×(1－0.6)2×0.5×(1－0.5)＝0.2，P (X ＝2)＝C 12×0.6×(1－0.6)×C 12×0.5×(1－0.5)＋0.62×(1－0.5)2＋(1－0.6)2×0.52＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.6×(1－0.6)×0.52＋C 12×0.62×0.5×(1－0.5)＝0.3，P (X ＝4)＝0.62×0.52＝0.09． X 的分布列故E (X )＝0×0.04＋1×0.2＋2×0.37＋3×0.3＋4×0.09＝2.2．19．(12分)如图，在几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．(1)求证：平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值．(1)证明： ∵几何体A 1B 1C 1-ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1⊥平面ABC ， AA 1∥BB 1∥CC 1，BB 1∶CC 1∶AA 1＝3∶2∶1，且AA 1＝1．∴以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,1)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1A 1→＝(2,0，－1)，C 1B 1→＝(0,2,1)，AA 1→＝(0,0,1)，AB →＝(－2,2,0)， 设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1A 1→＝2x －z ＝0n ·C 1B 1→＝2y ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1,2)，设平面A 1ABB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AA 1→＝c ＝0m ·AB →＝－2a ＋2b ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,0)，∵m ·n ＝1－1＋0＝0， ∴平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ABB 1． (2)解：平面ABC 的法向量p ＝(0,0,1)， 平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(1，－1,2)， 则cos 〈p ，n 〉＝p ·n |p ||n |＝26＝63．∴平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成锐角的余弦值为63． 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为点P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3.设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x轴时，|RS |＝3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由内切圆性质得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b3，解得c a ＝12，将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)当直线l 垂直于x 轴时，x 轴上任意一点都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， 当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t,0)满足条件， 设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①，其中Δ＞0，∵TS 与TR 所在直线关于x 轴对称， ∴y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，② ∵R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，∴y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得： k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，∴2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③，得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④要使得④与k 的取值无关，则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称． 21．(12分)函数f (x )＝ln x ＋2x ＋a (x －1)－2．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，不等式f (x )1－x ＜ax 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋2x －2，x ＞0，∴f ′(x )＝－1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1e ， 当f ′(x )＞0时，即0＜x ＜1e ，函数单调递增，当f ′(x )＜0时，即x ＞1e，函数单调递减，∴当x ＝1e 时，函数f (x )有极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2，无极小值； (2)原不等式等价于f (x )x －1＋a x ＞0，即xf (x )＋a (x －1)x －1＞0，∴1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， 令g (x )＝ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)，g (1)＝0，∴g ′(x )＝1x ＋2ax －2＝2ax 2－2x ＋1x ，∵1x －1[ln x ＋a (x 2－1)－2(x －1)]＞0， g (2)＝ln 2＋3a －2＞0⇒a ＞2－ln 23＞0，①当a ≥12时，2ax 2－2x ＋1≥x 2－2x ＋1≥(x －1)2＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ∈(0,1)，g (x )＜0，x ∈(1，＋∞)，g (x )＞0， ∴1x －1g (x )＞0， ②当0＜a ＜12时，令2ax 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1＋1－a 2a＞1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1－a 2a 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，∴g (x )＜g (1)＝0， ∴1x －1g (x )＜0，不合题意，舍去， 综上所述a ≥12．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |．解：解法一：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，…(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4．(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cosπ4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0．Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0． 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1852＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1852．解法二：(1)同解法一．(2)直线l 的普通方程为y ＝x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 2＋9y 2＝9消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0， 于是Δ＝362－4×10×27＝216＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－185＜0，x 1x 2＝2710＞0，所以x 1＜0，x 2＜0，故|P A |＋|PB |＝2|x 1－0|＋2|x 2－0|＝2|x 1＋x 2|＝1825． [选修4－5：不等式选讲] 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．(1)解：不等式f (x )＜|2x ＋1|－1，即|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1－x －1＜－2x －1－1①，或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤－12x ＋1＜－2x －1－1②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＋1＜2x ＋1－1③． 解①求得x ＜－1；解②求得x ∈∅；解③求得x ＞1．故要求的不等式的解集M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)证明：设a，b∈M，∴|a＋1|＞0，|b|－1＞0，则f(ab)＝|ab＋1|，f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|．∴f(ab)－[f(a)－f(－b)]＝f(ab)＋f(－b)－f(a)＝|ab＋1|＋|1－b|－|a＋1| ＝|ab＋1|＋|b－1|－|a＋1|≥|ab＋1＋b－1|－|a＋1|＝|b(a＋1)|－|a＋1| ＝|b|·|a＋1|－|a＋1|＝|a＋1|·(|b|－1)＞0，故f(ab)＞f(a)－f(－b)成立．。
2019年高考(理科)数学真题专题04+立体几何
2019年高考（理科）数学真题专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==即344π2338R V R =∴=π=⨯=，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC Q △为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.故故B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.9．【2019底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 【答案】π42=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.10．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ． 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r，1(12)A M =--u u u u r，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ， 故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴正方向，||DA uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =u u u r ，(1,1,1)CE =-u u u r，1(0,0,2)CC =u u u u r．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u ur m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为2． 【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30o .【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH．以H 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG u u u r =（1，0），AC u u u r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.14．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析. 【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u r u u u r u u u r．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||⋅〈〉==‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P为锐角，所以其余弦值为3．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值；（3）首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.15．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）49；（3）87． 【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u r u u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =， 可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49． （3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．16．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17．【2019年高考浙江卷】（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35． 【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG由于O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），1B，3,22F ，C (0，2，0)．因此，3(,22EF =u u u r，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ． 由（1）可得1=(10)=(02BC A C -u u u r u u u u r，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rn n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u ru u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.依题意可得111(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),A B C D A B C -11(1,2,2),(0,0,)2D E -．由（1）知，1(0,1,)2EB u u u r =-为平面1ACB 的一个法向量，设(,,)x y z =n 为平面1ACD 的法向量．因为1(1,2,2),(2,0,0)AD AC u u u u r u u u r=-=，则10,0,AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u u u r r n n 即220,20,x y z x -+=⎧⎨=⎩ 不妨设1z =，可得(0,1,1)=n ．因此cos ,10||||EB EB EB u u u ru u u r u u u r n n n ×<>==． 因为二面角11D AC B --为锐角， 所以二面角11D AC B --的余弦值为10． （3）设1A F a =，则(0,,2)F a ，(1,2,2)DF a u u u r=-+．1(1,2,2)(0,1,)2102DF EB a a u u u r u u u r ?-+?=+-=，所以1a =-（舍）．即直线DF 的方向向量与平面1ACB 的法向量不垂直， 所以，棱11A B 上不存在点F ，使直线DF ∥平面1ACB ．【名师点睛】本题主要考查线面垂直与平行、以及二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，由（1）得到1(0,1,)2EB u u u r =-为平面1ACB 的一个法向量，再求出平面1ACD 的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果； （3）先设1A F a =，用向量的方法，由0DF EB u u u r u u u r?求出a 的值，结合题意，即可判断出结论.。
天一大联考2019 学年高中毕业班阶段性测试(四)数学(理科)
天一大联考2019 学年高中毕业班阶段性测试（四）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数213()22z i =-+的共轭复数z = A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 2、已知集合23{|log 1},{|1}1A x xB x x =>=<+，则x A ∈是x B ∈的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、命题P ：若a b >，则22ac bc >；命题0:0q x ∃>，使得001ln 0x x --=，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝4、已知曲线222(0,0)x y x y +=≥≥和2x y +=围成的封闭图形为Γ，则图形Γ绕y 轴旋转一周后所形成的几何体的表面积为A ．223π B ．(842)π+ C ．(822)π+ D ．(422)π+ 5、甲、乙、丙、丁四人结伴到A 、B 两个商场购物，已知甲乙每人最多购买两件衣服，丙丁每人最多购买一件，若他们共购买了两件衣服，其中一件在A 商场买的，一件在B 商场买的，则不同的购买方式有A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种6、已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-= (0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为A ．63B ．2C ．153D ．3 7、已知O 为坐标原点，B 、D 分别是单位圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点，点P 为单位圆劣弧BD 上一点，若,3OB OD xDB yOP BOP π+=+∠=，则x y += A ．1 B ．3 C ．2 D ．433-8、将函数()2cos()cos()44g x x x ππ=-+的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到()h x 的图象，设()21()4f x x h x =+，则()f x '的图象大致为9、执行如图所示的程序框图，若输出的20164033S =，则判断框内应填入A ．2014i >B ．2014i >C ．2015i >D ．2017i >10、22341(1)()x x x -+的展开式中8x 的系数为A ．24B ．20C ．12D ．1011、一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A ．12B ．1C ．32D ．212、设函数()21ln (,1)2a f x a x x x a R a -=+-∈≠，若0[1,)x ∃∈+∞，使得0()1a f x a =-，则a 的取值范围是 A ．(21,21)--- B ．(21,1)-- C ．(1,)+∞ D ．(21,21)(1,)---+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知函数()log (2)4(0,1)a f x x a a =-+>≠，其图象过定点P ，角α的始边与y 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+-= 14、已知圆C 的圆心在直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与圆22(2)(3)8x y -+-=相外切，若过点(1,1)P -的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为15、已知实数,x y 满足条件020y y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若11y x -+的取值范围为1[1,]2-，则实数k =16、如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B 的北偏东(0)2πθθ<<方向，且满足22sin ()3cos 214πθθ+-=，AB AD =，在接到上级命令后，该观测船从A 点位置沿AD 方向在D 点补充物资后沿BD方向在C 点投放浮标，使得C 点与A 点的距离为43km ，则该观测船形式的最远航程为 km三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知正项的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点21(,)n n P a a +在曲线244y x x =++上.（1）求n a 和{}n a ；（2）若数列{}n b 满足1117,2n n b b b n +=-=，求使得n nb S 最小的序号n 的值.18、（本小题满分12分）如图1，已知四边形ABFD 为直角梯形，//,,2AB DF ADF ADE π∠=∆为等边三角形，22,AD DF AF C ===为DF 的质点，如图2，将平面AED 、BCF 分别沿AD 、BC 折起，使得平面AED ⊥平面ABCD ，平面BCF ⊥平面ABCD ，连接EF 、DF ，设G 为AE 上任意一点.（1）证明：//DG 平面BCF ；（2）求平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.19、（本小题满分12分）某班有30名同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下表所示，若此次竞赛成绩在80分及以上为优秀，低于80分为非优秀.（1）请你根据上述数据完成下列22⨯的列联表，判断是否能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为数学竞赛成绩和性别有关.（2）从这些男生中任取3人，记成绩优秀的人数为X ，求X 的分布列及数学期望， 下面是临界值表供参考：20、（本小题满分12分）已知O 为坐标原点2222:2(0)x y C a b a b+-=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若2,,OB OF AB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为62-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 为直线3x =-上任意一点，过1F 的子线交椭圆C 于点,P Q ，且10TF PQ ⋅=， 求1TF PQ的最小值.21、（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x a x =-+（1）试探究函数()f x 在(0,)+∞上的极值；（2）若对任意的()2[1,2],x f x x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围. .请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲如图，过点P 作圆的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆交于点A 、B ，22PA =.（1）若22,AB ACB APC =∠=∠，求AC 的长；（2）若圆的半径为2,4PC =，求圆心到直线PB 的距离.23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线221:(2)4C x y -+=，点A 的极坐标为(32,)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上. （1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设l 向左平移6个单位后得到,l l ''与1C 的交点为,M N ，求l '的极坐标方程及MN 的长.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()211f x x x a =-++-的图象与x 轴有且仅有一个交点.（1）求实数a 的值；（2）若,[,]m n a a ∈-，求证：24m n mn +<+.。
2019大一轮高考总复习理数阶段复习检测四 含解析 精品
阶段复习检测(四) 平面向量、数系的扩充与复数的引入教师用书独具时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两个非零向量a ，b ，满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B 由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简，得a ·b ＝0.又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .2．(2018·湖南模拟)已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有4个元素，则( )A ．k ＞32B ．k ≥32C ．k ＞16D ．k ≥16解析：选A ∵集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有4个元素，∴A ＝{2,3,4,5}，∴log 2k ＞5，∴k ＞32.故选A ．3．(2018·芜湖模拟)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1.4．已知复数z 满足(1－i)z ＝－3＋i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由(1－i)z ＝－3＋i 得z ＝－3＋i 1－i ＝－4－2i2＝－2－i ，∴z ＝－2＋i ，即z 对应点为(－2,1)为第二象限的点．5．(2018·抚顺模拟)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵“l 1⊥l 2”，∴－m ×⎝⎛⎭⎫－m －32＝－1，化为m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或2.∴“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A ．6．(2018·内江模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －6，则f (f (2))＝( )A ．－234B ．234C ．－2D ．2解析：选D ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －6，∴当x ＜0时，f (x )＝－12x ＋6，∴f (2)＝22－6＝－2，f (f (2))＝f (－2)＝－12－2＋6＝2.故选D ．7．(2018·成都模拟)已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0. 命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解． 在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①④解析：选D 若函数f (x )＝x 2＋|x －a |为偶函数，则(－x )2＋|－x －a |＝x 2＋|x －a |，即有|x ＋a |＝|x －a |，易得a ＝0，故命题p 为真；当m ＞0时，方程的判别式Δ＝4－4m 不恒大于等于零，当m ＞1时，Δ＜0，此时方程无实根，故命题q 为假，即p 真q 假，故命题p ∨q 为真，p ∧q 为假，(綈p )∧q 为假，(綈p )∨(綈q )为真．综上可得真命题为①④.故选D ．8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1C ．3D ．22解析：选A 设a 与b 的夹角为θ.由|a ·b |＝|a ||b |，得|cos θ|＝1，所以向量a 与b 共线，则sin 2x ＝2sin 2 x ，即2sin x cos x ＝2sin 2 x . 又x ∈(0，π)，所以2cos x ＝2sin x ，即tan x ＝1.9．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16的两个动点，|AB →|＝4，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．8＋43B ．8－4 3C ．12D ．4解析：选C 因为M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，从而OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫53OA →－23OB →·⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12OA →·OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4，即|OA →|＝|OB →|＝4，又因为|AB →|＝4，所以＜OA →，OB →＞＝60°，故OA →·OB →＝8，所以OC →·OM →＝56×16－13×16＋12×8＝12.故选C ．10．(2018·张掖模拟)已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为2π3，则t 的值为( )A ．1B ． 3C ．2D ．3解析：选A ∵a ⊥b ，|a ＋b |＝t |a |，∴|a ＋b |＝|a －b |＝t |a |，则cos 2π3＝－12＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝|a |2－|b |2t 2|a |2，化简可得2|b |2＝(2＋t 2)|a |2，∴|b |＝t 2＋22|a |，再由|a |2＋|b |2＝t 2|a |2，t ＞0，解得t ＝2.故选C ．11．已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝( )A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解析：选C 由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0， π2，∴k ＝1，x 0＝π3. 12．(2018·贵州模拟)若函数f (x )＝ln x －1e 2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C f ′(x )＝1x －1e 2，∴当0＜x ＜e 2时，f ′(x )＞0，当x ＞e 2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，e 2)上单调递增，在(e 2，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 2时，f (x )取得最大值f (e 2)＝1＋a ，∵f (x )有零点，且x →0时，f (x )→－∞，∴1＋a ≥0，解得a ≥－1.故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ＋2≤e x ”的否定是________.解析：由全称命题的否定是特称命题可知，该命题的否定为：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x ＋2＞e x 0.答案：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x ＋2＞e x 014．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________. 解析：∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0，∴t ＝－5.答案：－515．(2018·湖北十一校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝π3，c ＝4，a ＝26，则角C ＝________.解析：由正弦定理，得c sin C ＝a sin A ，即sin C ＝c a sin A ＝426×sin π3＝22，又a ＞c ，且A＝π3，∴C ＝π4. 答案：π416．(2018·海口模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则f (4)＝________.解析：根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象，可得3T 4＝34·2πω＝3－1，∴ω＝3π4，再根据五点法作图可得ω·1＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4x －π4， ∴f (4)＝sin ⎝⎛⎭⎫3π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝22. 答案：22三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 18．(12分)(2017·临沂模拟)已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2 x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 19．(12分)(2018·长沙模拟)已知△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cosC ． (1)求A ；(2)若b 2＋c 2＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ，则由正弦定理得：2sin A ·cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，所以2sin A ·cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ，又0＜A ＜π，所以sin A ≠0，从而2cos A ＝1，cos A ＝12，故A ＝π3；(2)由A ＝π3知sin A ＝32，而△ABC 的外接圆半径为1，故由正弦定理可得a ＝2sin A ＝3， 再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝7－3＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.20．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)记m ＝(sin C ＋sin(B －A )，2)，n ＝(sin 2A,1)，若m 与n 共线，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理及已知条件， 得a 2＋b 2－ab ＝4，① 12ab sin C ＝3，即ab ＝4.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)因为m ∥n ，所以sin C ＋sin(B －A )－2sin 2A ＝0， 所以sin(A ＋B )－sin(A －B )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a .所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.综上△ABC 的面积为233.21．(12分)(2018·江西新余三校联考)已知a ＝(cos x,2cos x )，b ＝(2cos x ，sin x )，f (x )＝a ·b .(1)把f (x )图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当a ≠0，a 与b 共线时，求f (x )的值．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2 x ＋2sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＋1. 由－π2＋2k π≤2x －π12≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－5π24＋k π≤x ≤7π24＋k π，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π，7π24＋k π(k ∈Z )． (2)∵a ≠0，a 与b 共线，∴cos x ≠0， ∴sin x cos x －4cos 2x ＝0，∴tan x ＝4.∴f (x )＝2 cos 2x ＋2sin x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2tan x 1＋tan 2x ＝1017.22．(12分)(2018·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上单调递减．如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos Ccos A.(1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值． (1)证明：由题意知2πω＝4π3，解得ω＝32，所以sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A.所以sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A,所以sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ，所以sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，所以sin C ＋sin B ＝2sin A ，所以b ＋c ＝2a . (2)解：因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形． S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， 因为θ∈(0，π)，所以θ－π3∈(－π3，2π3)，当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值，S OACB 的最大值为2＋534.。
2019年高三数学(理)一轮复习阶段检测卷四及答案
阶段检测四立体几何(时间120分钟总分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则两不同直线l,m的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.不确定2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形其中可以作为该几何体的俯视图的图形个是( )A.5B.4C.3D.23.下列命题中正确的是( )A.若直线l平行于平面α内的无条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,则a平行于平面α内的无条直线4.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.5.下图是一个几何体的三视图,若它的表面积为7π,则正视图中a=()A.1B.C.D.26.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=,则此三棱柱的侧视图的面积为()A.2B.4C.D.27.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.8.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD1的中点,三棱锥O-ABD的体积为V1,四棱锥O-ADD1A1的体积为V2,则的值为()A. B. C.1 D.9.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是( )A. B. C. D.10.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论①PD∥平面AMC;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个为( )A.1B.2C.3D.411.已知球O的表面积为20π,A,B,C三点在球面上,且AB⊥BC,AB=BC,AC=2,则三棱锥C-AOB的高为( )A. B. C.2 D.112.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,点M为AB1的中点,点P为体对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD内的动点(点P,Q可以重合),则MP+PQ的最小值为( ) A. B. C. D.1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.一个几何体的三视图如图所示,已知此几何体的体积为10,则h= .14.如图,已知圆锥SO的母线SA的长度为2,一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短路程为2,则圆锥SO的底面半径为.第14题图第15题图15.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.16.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且+≥8(a>0)恒成立,则正实a的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上一点,且SE=2EB.(1)证明DE⊥平面SBC;(2)求二面角A-DE-C的大小.19.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCD 中,AB=1,BC=2,∠CBA=,四边形ABEF为直角梯形,BE∥AF,∠BAF=,BE=2,AF=3,平面ABCD⊥平面ABEF.(1)求证AC⊥平面ABEF;(2)求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDEF 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE 为矩形,FB=,M,N 分别为EF,AB 的中点.(1)求证MN∥平面FCB;(2)若直线AF 与平面FCB 所成的角为30°,求平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC,四边形ABEF 是正方形.将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形ABE 1F 1的位置,使平面ABE 1F 1⊥平面ABCD,M 为AF 1的中点,如图2.(1)求证BE 1⊥DC;(2)求BM 与平面CE 1M 所成角的正弦值; (3)判断直线DM 与CE 1的位置关系,并说明由.22.(本小题满分12分)已知四边形ABCD 是矩形,BC=kAB(k∈R),将△ABC 沿着AC 翻折,得到△AB 1C,设顶点B 1在平面ABCD 上的射影为O.(1)若点O 恰好落在AD 上.①求证AB 1⊥平面B 1CD;②若B1O=1,AB>1,当BC取到最小值时,求k的值.(2)当k=时,若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界),求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围.阶段检测四立体几何一、选择题1.C l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A⇒l⊥α;m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C⇒m⊥α,故l∥m.2.B 由题知可以作为该几何体的俯视图的图形有①②③⑤,共4个.故选B.3.D 选项A中,若直线l在平面α内,则l与α不平行,故选项A不正确;选项B中,有可能a与α相交,故选项B不正确;选项C中,有可能a⊂α,故选项C不正确;选项D 中,易知a∥α或a⊂α,所以a平行于平面α内的无条直线,故选项D正确.4.D 由题意可知该正方体的放置方式如图所示,侧视的方向垂直于面BDD1B1,正视的方向垂直于面A1C1CA,且正视图是长为,宽为1的矩形,故正视图的面积为,因此选D. 5.D 由三视图可知该几何体为圆柱与圆锥的组合体,则其表面积S=2π×1×a+π×12+π×1×=2πa+3π=7π,所以a=2.6.C 如图,过点C作CD⊥AB于点D,过点C1作C1D1⊥A1B1于D1,连接D1D,易知三棱柱的侧视图为矩形CDD1C1.在△ABC中,AC=2,BC=1,AB=,所以AC2+BC2=AB2,AC⊥BC,所以·AC·BC=·AB·CD,即2×1=CD,所以CD=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的侧视图的面积S=CC1·CD=2×=.7.B 由题意可知该几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥组成的,其中该直三棱柱的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,该三棱锥的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,因此该几何体的体积为×2×1×1+××2×1×1=,故选B.8.A 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则V1=×ab×c=,V2=×bc×a=,所以=.9.C 设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2.由题意得==,∴=.又∵S甲侧=S乙侧,即2πr1h1=2πr2h2,∴==,故==·=×=.10.C 矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB 的中点,所以OM是△PBD的中位线,OM∥PD,则PD∥平面AMC,OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.11.A ∵球O的表面积为20π,∴球O 的半径为.设三棱锥C-AOB的高为h.点O在平面ABC上的射影为点O',易得O'为AC的中点,连接BO',OO'.∵AB⊥BC,AB=BC,AC=2,∴BO'=,OO'==,AB=BC=2.易知S△OAB=×2×2=2,S△ABC =×2×2=2.由V三棱锥C-AOB=V三棱锥O-ABC,即×2×h=×2×,解得h=.12.C 易知当MP+PQ最小时,PQ⊥平面ABCD.过点P作PQ1⊥平面ABB1A1于点Q1,易知Q1在AB1上,由对称性可知,当PQ⊥平面ABCD时,PQ=PQ1,因此(PM+PQ)min=(PM+PQ1)min,问题转为在平面AB1C1内,在AC1上找一点P使得PM+PQ1的值最小,如图所示,过点M作MM1⊥AC1交直线AC1于点O,且OM1=OM,则点M1为点M关于直线AC1的对称点,过点M1作M1Q1⊥AB1交AB1于点Q1,交AC1于点P,则M1Q1的长度即为所求的最小值,易得∠C1AB1=30°,所以OM=AM=,MM1=,M1Q1=MM1=,即MP+PQ 的最小值为.二、填空题13.答案解析由三视图可知该几何体是四棱锥,有一条侧棱与底面垂直,底面积S=5×6=30,体积V=Sh=10h=10,解得h=.14.答案解析该圆锥的侧面展开图是半径为2的扇形,如图所示,易知一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短路程为弦BB'的长,为2,所以扇形的圆心角为.设圆锥的底面半径为r,则2πr=×2,解得r=.15.答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,∴EF∥HG.同,EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.16.答案 1解析∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴V P-ABC =××3×2×1=+x+y,即x+y=,则2x+2y=1.+=(2x+2y)=2+2a++≥2+2a+4≥8,(+1)2≥4,+1≥2,解得a≥1,∴正实a的最小值为1.三、解答题17.解析(1)证明由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1.由于BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥DC,AD⊥BD,∴AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.(2)解法一如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z),∵EF∥AD,FG∥BC,∴n·=0,n·=0,得可取n=(1,1,0),∴sinθ=|cos<,n>|===.解法二如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),∵E 是AB 的中点,∴F,G 分别为BD,DC 的中点,得E,F(1,0,0),G(0,1,0).∴=,=(-1,1,0),设平面EFGH 的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,得可取n=(1,1,0),又=(-2,0,1),∴sinθ=|cos<,n>|===.18.解析(1)证明∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AD,SD⊥DC,又AD⊥DC,因此可以分别以DA,DC,DS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),连接BD.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),=(1,1,0),=(0,0,2),∵SE=2EB,∴=+=(1,1,0)+(0,0,2)=,又=(-1,1,0),=(-1,-1,2),∴·=0,·=0,∴⊥,⊥,又∵BC∩BS=B,∴DE⊥平面SBC.(2)由(1)知,DE⊥平面SBC,∵EC ⊂平面SBC,∴DE⊥EC.∵=,∴E ,∴=.取DE 的中点F,连接FA,则 F,=,有·=0,故FA⊥DE,∴向量与的夹角等于二面角A-DE-C 的平面角,又∵cos<,>==-,∴二面角A-DE-C 的大小为120°.19.解析 (1)在△ABC 中,AB=1,∠CBA=,BC=2,所以AC 2=BA 2+BC 2-2BA×BC·cos∠CBA=3,所以AC 2+BA 2=BC 2,所以AB⊥AC.又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AC ⊂平面ABCD,所以AC⊥平面ABEF.(2)如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,),D(-1,0,),E(1,2,0),F(0,3,0),=(0,3,0)是平面ABCD 的一个法向量.设平面DEF 的法向量为n=(x,y,z),又=(2,2,-),=(1,3,-),则得取z=4,则x=y=,故n=(,,4)是平面DEF 的一个法向量.设平面ABCD 与平面DEF 所成的锐二面角为θ,则cosθ====.20.解析 (1)取BC 的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=AC,NQ∥AC.又MF=AC,MF∥AC,∴MF=NQ,MF∥NQ,则四边形MNQF 为平行四边形,则MN∥FQ.∵FQ ⊂平面FCB,MN ⊄平面FCB,∴MN∥平面FCB.(2)由AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°可得∠ACB=90°,AC=,AB=2.∵四边形ACFE 为矩形,∴AC⊥FC,又AC⊥CB,FC∩CB=C,∴AC⊥平面FCB,则∠AFC 为直线AF 与平面FCB所成的角,即∠AFC=30°,∴FC=3.∵FB=,∴FC⊥BC.则可建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,∴A(,0,0),B(0,1,0),M .则=,=.设m=(x,y,z)为平面MAB 的法向量,则即取x=2,则m=(2,6,1)为平面MAB 的一个法向量.又=(,0,0)为平面FCB 的一个法向量, ∴cos<m,>===.∴平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值为.21.解析 (1)因为四边形ABE 1F 1为正方形,所以BE 1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE 1F 1,平面ABCD∩平面ABE 1F 1=AB,BE 1⊂平面ABE 1F 1,所以BE 1⊥平面ABCD,所以BE 1⊥DC.(2)以点B 为坐标原点,分别以BC,BE 1所在的直线为x 轴,z 轴,以平面BCE 1的垂线(过点B)为y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,设AD=1,则B(0,0,0),C(2,0,0),E 1(0,0,),M .所以=,=(-2,0,),=.设平面CE 1M 的法向量为n=(x,y,z).由得令x=1,得z=,y=0,所以n=(1,0,)是平面CE 1M 的一个法向量. 设BM 与平面CE 1M 所成的角为θ, 则sinθ=|cos<,n>|===.所以BM 与平面CE 1M 所成的角的正弦值为.(3)直线DM 与直线CE 1平行.由如下 由题意及(2)得,D(2,1,0),=,=(-2,0,).所以=2.所以∥. 因为DM,CE 1不重合,所以DM∥CE 1.22.解析 (1)①∵点B 1在平面ABCD 上的射影为O,点O 恰好落在AD 上,∴平面AB 1D⊥平面ACD,又平面AB 1D∩平面ACD=AD,CD⊥AD,∴CD⊥平面AB 1D,∴AB 1⊥CD,又AB 1⊥CB 1,CD∩CB 1=C,∴AB 1⊥平面B 1CD. ②设AB=x,BC=y,则k=.由①知,AB 1⊥B 1D,则AB 1·B 1D=AD·B 1O,故B 1D=,由①知CD⊥B 1D,在Rt△B 1CD 中,B 1D 2+CD 2=B 1C 2,故+x 2=y 2,整得y===≥2,当且仅当x 2-1=,即x=时取等号,∴当BC 取到最小值时,k=.(2)作BF⊥AC,交AC 于E,交AD 于F,连接B 1E,当点O 恰好落在△ACD 的内部(不包括边界)时,点O 恰好在线段EF 上(不包括端点),又B 1E⊥AC,EF⊥AC,∴∠B 1EF 为二面角B 1-AC-D 的平面角,设AB=1,则BC=,B 1E=,EO∈,∴cos∠B 1EF=∈,故二面角B 1-AC-D 的余弦值的取值范围为.。
2019年高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习 阶段检测试题(四)及答案
阶段检测试题(四)(时间120分钟满分150分)【选题明细表】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是( D )(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(D)棱台各侧棱的延长线交于一点解析棱台也有两个面平行,其余各面都是四边形,所以排除A;有两个面平行,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行,如图(1)几何体就不是棱柱.排除B.又据图(2)排除C;只有D符合棱台的定义.2.(2016·全国Ⅲ卷) 如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( B )(A)18+36(B)54+18(C)90(D)81解析由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2×(3×3+3×6+3×3)=54+18.故选B.3.(2016·嘉兴月考)对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是( D )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m∥α,n⊂α,则m∥n(C)若m∥α,n⊥α,则m∥n(D)若m⊥α,n⊥α,则m∥n解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故选项A错误;对B,直线m 与n可能平行,也可能异面,故选项B错误;对C,m与n垂直而非平行,故选项C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选项D正确. 4.(2015·山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )(A) (B)(C)2π (D)4π解析由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2××π×()2×=π.5.水以匀速注入某容器中,容器的三视图如图所示,其中与题中容器对应的水的高度h与时间t的函关系图象是( C )解析由三视图知其直观图为两个圆台的组合体,水是匀速注入的,所以水面高度随时间变的变率先逐渐减小后逐渐增大,又因为容器的对称性,所以函图象关于一点中心对称.故选C.6. (2016·铜川质检)如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个为( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析易证BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC;OM∥PA,易证OM∥平面APC;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长;故①②③都正确.7.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量共面,则实λ等于( D )(A)(B)(C)(D)解析由于a,b,c三个向量共面,所以存在实m,n使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,λ=.8.(2014·辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( B )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m⊥α,n⊂α,则m⊥n(C)若m⊥α,m⊥n,则n∥α(D)若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或异面,A 错误;显然选项B正确;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α, C错误;对于选项D,若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n与α相交,D 错误.故选B.9.(2016·银川一模)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是( B )(A)12π cm3 (B)36π cm3(C)64π cm3(D)108π cm3解析由题意可知,球的半径R==3(cm),所以球的体积V=πR3=π×33=36π(cm3).ABCD A 1B1C1D1中AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BDE的距离为( D )(A)2 (B)(C) (D)1解析如图,连接AC,交BD于O,连接OE,在△CC1A中,易证OE∥AC1.从而AC1∥平面BDE,所以直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离,设为h.由等体积法,得=S △BDE×h==S△ABD×EC =××2×2×=.又因为在△BDE中,BD=2,BE=DE=,所以OE=2, 所以S △BDE=×2×2=2.所以h=1.故选D.11.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( D )(A)7π(B)9π(C)11π(D)13解析如图,由题意可知∠AMN=60°,设球心为O,连接ON,OM,OB,OC,则ON⊥CD,OM⊥AB,且OB=4,OC=4.在圆M中,因为π·MB2=4π,所以MB=2.在△OMB中,OB=4,所以OM=2.在△MNO中,OM=2,∠NMO=90°-60°=30°,所以ON=.在△CNO中,ON=,OC=4,所以CN=,所以S=π·CN2=13π.故选D.,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为( A )(A) (B)(C)π(D)π解析根据正方体的几何特征知,平面ACD 1是边长为的正三角形,且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,由图得△ACD1内切圆的半径是×tan 30°=,故所求的截面圆的面积是π×()2=.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的是.(把你认为正确的条件序号都填上)解析如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.答案①③14.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA 为半径的球的表面积为.解析正四棱锥O-ABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,则×()2×OE=,所以OE=,故球半径OA==,从而球的表面积为24π.答案24π15.(2016·郑州质检)正四棱锥S ABCD中,O为顶点在底面上的射影, P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.解析以O为原点,向量,,向量为x,y,z轴正方向,SO为一个单位长度建立空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),D(0,-1,0),P(0,-,),向量=(-1,-1,0),向量=(-1,,-),=(-2,0,0),设n=(x,y,z)是平面PAC的法向量,所以令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),cos<,n>==-.所以BC与平面PAC所成角为30°.答案30°,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.解析以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0≤a≤1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),=(1,a,0),=(0,1,0),=(-1,1,1),设n=(x,y,z)是平面ABC1D1的法向量,则n·=0,n·=0.所以解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以E点到平面ABC1D1的距离d===.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分)17. (本小题满分10分)(2015·安徽卷)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1, AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.(1)解由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)证明如图,在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC 内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN,又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在Rt△BAN中,AN=AB·cos ∠BAC=,从而NC=AC-AN=,由MN∥PA,得==.18.(本小题满分12分)设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ的关系,使λa+μb与z轴垂直.解因为2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1-4×8=-21,|a|==,|b|==,所以cos<a,b>===-.因为(λa+μb)·(0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,所以只要λ,μ满足λ=2μ即可使λa+μb与z轴垂直.19.(本小题满分12分),正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直,点E在线段AB上,AB=2AD=6.(1)若AE=EB,求证BM∥平面NDE;(2)若BE=2EA,求三棱锥M DEN的体积.(1)证明连接AM,AM∩ND=F,四边形ADMN为正方形,则F是AM的中点. 又因为EA=EB,连接EF,则EF为△ABM的中位线,所以EF∥BM.又因为BM⊄平面NDE,EF⊂平面NDE,所以BM∥平面NDE.(2)解当BE=2EA时,E为AB的三等分点.所以AE=AB=2,MN=MD=3,可证得AE⊥平面ADMN.所以==SAE=××MN×MD×AE=××3×3×2=3.20.(本小题满分12分)如图所示,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.(1)求证AB⊥DE;(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.(1)证明取AB的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.又EO∩OD=O,所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD,所以AB⊥ED.(2)解法一因为平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a,则AB=2a,BE=a,所以CE= a.则在直角三角形CBE中,sin ∠CEB===,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.法二因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD.由OB,OD,OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系.因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.设OB=1,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为θ,所以sin θ=|cos<,>|==.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.21.(本小题满分12分),在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB ⊥AC.(1)求证AC⊥BB1;(2)若AB=AC=A1B=2,在棱B1C1上确定一点P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1B⊥平面ABC,A1B⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.因为平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AB⊥AC,所以AC⊥平面ABB1A1,所以AC⊥BB1.(2)解如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),==(2,-2,0).设=λ=(2λ,-2λ,0),λ∈[0,1],则P(2λ,4-2λ,2).设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=(2λ,4-2λ,2),=(0,2,0),所以即所以令x=1,得n1=(1,0,-λ).而平面ABA1的一个法向量是n2=(1,0,0),所以|cos<n1,n2>|===,解得λ=,即P为棱B1C1的中点.22.(本小题满分12分)(1),直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,点M,N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图(2)).(1)求证AB∥平面DNC;(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为30°.(1)证明因为MB∥NC,MB⊄平面DNC,NC⊂平面DNC,所以MB∥平面DNC.同MA∥平面DNC,又MA∩MB=M,且MA,MB⊂平面MAB.所以平面MAB∥平面NCD,又AB⊂平面MAB,所以AB∥平面DNC.(2)解法一过N作NH⊥BC交BC延长线于H,连DH(图略), 因为平面AMND⊥平面MNCB,交线为MN,DN⊥MN,所以DN⊥平面MNCB,BC⊂平面MNCB,所以DN⊥BC,所以BC⊥平面DNH,从而DH⊥BC,所以∠DHN为二面角D-BC-N的平面角.所以∠DHN=30°,由MB=4,BC=2,∠MCB=90°知∠MBC=60°,CN=4-2cos 60°=3.所以NH=3·sin 60°=.由条件知,tan ∠NHD==,所以DN=NH·=×=.法二如图,以点N为坐标原点,以NM,NC,ND所在直线分别作为x轴,y 轴和z轴,建立空间直角坐标系Nxyz.易得NC=3,MN=,设DN=a,则D(0,0,a),C(0,3,0),B(,4,0),M(,0,0),A(,0,a).设平面DBC的法向量n 1=(x,y,z),=(0,3,-a),=(,1,0),则令x=-1,则y=,z=.所以n 1=(-1,,).又平面NBC的法向量n2=(0,0,1).所以cos<n1,n2>===.即=,所以a2=,又a>0,所以a=.即DN=.。
2019年高考理科数学模拟卷4含答案
2019年高考模拟卷 理科 数 学（四）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =--<，{}2log 0B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,2-B ．()0,1C ．(),2-∞D ．()1,1-2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．13C ．25D ．123．欧拉公式i e cos isin θθθ=+(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当πθ=时，就有i πe 10+=．根据上述背景知识试判断2018πi3e-表示的复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，590S =，则等差数列{}n a 的公差d =（） A ．2B ．32C ．3D ．45．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<6．()834132x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．1280-B ．4864C ．4864-D ．12807．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（）A ．B C D ．8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤9．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 10．已知抛物线()220y px p =>上一点()5,t 到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆()2261x y -+=上的动点，则PQ的最小值为（）A1B．2-C．D．111．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（） A ．eBC ．1eD ．112．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（） A ．3972 B ．3974C ．3991D ．3993第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．平面向量a 与b 的夹角为π2，1=a ，1=b ，则32-=a b _______． 14．已知x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为_______．15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC△中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，ABC△的面积为23sinADB．（1）求sin sinBAD BDA∠⋅∠的值；（2）若6BC AB=，AD=b．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，2AB BC CD DA====，1PA=，120BAD∠=︒，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥平面PAD；（2）若点F在线段CD上，且满足13DF DC=，求直线AF与平面PEF所成角的正弦值．19．（12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和2⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点． 如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()11f x x ax =-++．（1）1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．理科数学答案（四）一、选择题． 1．【答案】A【解析】解不等式220x x --<，得12x -<<，即()1,2A =-， 由2log 0x <，得01x <<，即()0,1B =，所以()1,2A B =-，故选A ．2．【答案】B【解析】设小三角形的直角边长度为1则小三角形的面积和为141122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为1442⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+，故选B ． 3．【答案】C【解析】由题意，2018πi 32018π2018π2π2π1ecos isin cosisin 33332-⎛⎫⎛⎫=-+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2018πi3e-表示的复数在复平面对应的点为1,2⎛- ⎝⎭，位于第三象限，故答案为C ．4．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，590S =， 所以515456010902S a d d ⨯=+=+=，解得3d =，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 6．【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故答案为A ． 7．【答案】D【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为2的正方形，结合俯视图可得此几何体是棱长为2的正方体的一部分，如图，四棱锥E ABCD -，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径等于正方体的体对角线长，即2R =R =此几何体的外接球的体积34π3V R =⨯=，故选D ． 8．【答案】C【解析】当0S =，1k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，1S =，2k =， 当1S =，2k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，6S =，3k =， 当6S =，3k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，21S =，4k =， 当21S =，4k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，58S =，5k =， 当58S =，5k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，141S =，6k =， 此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为141， 故判断框中应填入的条件为5k ≤，故答案为C ． 9．【答案】B【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=． 再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．10．【答案】D【解析】由抛物线()2:20C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2px =-， 则点()5,t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =，所以抛物线方程24y x =， 设(),P x y ，圆()22:61M x y -+=，圆心为()6,0，半径为1， 则PM ，当4x =时，PQ11=，故选D ． 11．【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ． 12．【答案】D【解析】第1次染色的数为111=⨯，共染色1个， 第2次染色的最后一个数为623=⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为1535=⨯，共染色5个， 第4次染色的最后一个数为2847=⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为4559=⨯，共染色9个， ，∴第n 次染色的最后一个数为()21n n ⨯-，共染色21n -个， 经过n 次染色后被染色的数共有()213521n n ++++-=个，而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯， 且相邻两个数相差2，∴第2019的数为4589123993⨯-=．故选D ．二、填空题． 13．【答案【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为π2，所以0⋅=a b ，所以32-=a b14．【答案】32【解析】x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，画出可行域如图所示．目标函数2z x y =-，即2y x z =-．平移直线2y x z =-，截距最大时即为所求． 21010y x y +=--=⎧⎨⎩，点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭， z 在点A 处有最小值1132222z =⨯+=，故答案为32．15．【答案1【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+， 又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =故答案为1e =+16．【答案 【解析】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥， 又AB BC ⊥，且PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB ，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE ⊥平面PBC ，于是AE EF ⊥，且AE PC ⊥，结合条件AF PC ⊥，得PC ⊥平面AEF ，∴AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得AF = 而()22211224AEF S AE EF AE EF AF ⨯⨯==≤+=△，当且仅当2AE EF ==时，取“=”，此时AEF △的面积最大，三棱锥P AEF -的体积的最大值为11233AEF P AEF PF S V ⨯⨯=⨯==△﹣．．三、解答题．17．【答案】（1）13；（2． 【解析】（1）由ABC △的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD △的面积为26sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=．（2）6BC AB =，又因为D 为BC 的中点，所以26BC BD AB ==，即3BD AB =， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠， 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin 3BDA ∠=，sin 1BAD ∠=，()0,πBAD ∠∈，2πBAD ∴∠=，在直角ABD △中AD =1sin 3BDA ∠=，所以1AB =，3BD =．2BC BD =，6BC ∴=，在ABC △中用余弦定理，可得22212cos 136216333b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．18．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知PA ，AE ，AD 两两垂直，因此以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则()0,0,0A，)E，)C，()0,2,0D ，()0,0,1P ．∵13DF DC =，∴5,03F ⎫⎪⎪⎝⎭，∴5,03EF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，易知()EP =-， 设(),,x y z =n 为平面PEF 的一个法向量，则由00EF EP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n，得5030y z +=+=⎧⎪⎨⎪⎩， 取1x =，得⎛= ⎝n ． 又∵35,033AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,4AF AF AF ⋅〈==〉=n n n 故直线AF 与平面PEF19．【答案】（1）17100；（2）详见解析；（3）2200．【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的共有31417+=人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3， ()124236C C 115C P X ===；()214236C C 325C P X ===；()304236C C 135C P X ===． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）0k ≥或43k ≤-．【解析】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a+=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k=-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-， 依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---，即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦，化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-．21．【答案】（1）见解析；（2）[)e 1,++∞．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x '++=>，对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x ++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<<，()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x -+=有解，令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xxx x xx x x x h x xx++-+-+++-='=，令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()1e 1h x h ∴≥=+，当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2． 【解析】（1）2211:C x y +=，22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当11π12θ=时，max 2S =+23．【答案】（1）3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）[]1,1-． 【解析】（1）1a =，()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩， ()3f x ≥，则32x ≤-或32x ≥，不等式的解集为3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，即为()3f x x ≤-在[]1,1-上恒成立．[]1,1x ∈-，()1111f x x ax x ax =-++=-++．故()3f x x ≤-，即为113x ax x -++≤-，即12ax +≤． 所以212ax -≤+≤，31ax -≤≤，又因为[]1,1x ∈-，()311311a a -≤-⋅≤-≤⋅≤⎧⎪⎨⎪⎩，则[]1,1a ∈-．。
2019届高三数学下学期第四次诊断考试试题 理(新版)新人教版
武威六中2017～2018学年度高三二轮复习第四次诊断考试试卷（数学理）一．选择题（共12小题，每小题5分）1.集合{|2}M x x =≥-，{|12}N x x =<<，则MN =（ ）A ．{|22}x x -≤<B ．{|2}x x ≥-C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x <2．若复数z 满足32i -1i)z 1(=+，则z 等于（ ）A.210B.23C.22D.213．已知向量)()()(.2,,4,3,12,a k c b ===若()c b //a 3-，则实数的值为（ ）A.-8B.-6C.-1D.64．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为（ ）(参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)A.6B.12C.24D.485.定义运算：4321a a a a =3241a a a a -,将函数)(x f =xx ωωcos 1sin 3)0(>ω的图象向左平移32π个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是（ ）A.54B.43 C.47 D.146．设b a ,是两条不同的直线，βα,是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是 （ ） A ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α B ．若//a α，αβ⊥，则//a β C ．若//a α，//a β，则//αβD ．若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ7.若6)(x a x -的展开式中含23x 项的系数为160，则实数a 的值为 ( )A.2B.2-C.22D.22-8.已知等差数列{}n a 的各项都为整数,且,1,5431-=⋅-=a a a 则=+⋅⋅⋅++1021a a a （ ）A.70B.58C.51D.409.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表 面积为（ ）A.π24 B ．π48 C ．π96 D ．π38410.函数2)(2-+-=-x x e e x f xx 的部分图象大致是 （ ）A. B. C. D.11．过双曲线 )0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点,D 为虚轴上的一个端点,且ABD ∆为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为 （ ）A.)2,1(B. )22,2(+C.)2,2(D.),22()2,1(+∞+12．已知函数,2ln 21)(,)(32xx g ex f x +==-若()()f m g n =成立,则m n -的最小值为（ ） A.2ln 21+ B.2ln C.2ln 221+ D.2ln 2 二．填空题（共4小题，每小题5分）13．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,cos cos cos 2A c C a B b +=则=B14.在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线01=-+y x 与圆()()22243m y x =-+-没有公共点”发生的概率为 .15. 生产一台甲型机器需A 材料2吨,B 材料3吨,生产一台乙型机器需A 材料3吨,B 材料2吨,仓库存有A 、B 两种材料各60吨.一台甲型机器可获利3000元,一台乙型机器可获利4 000元,则以仓库现有材料生产甲、乙两种型号的机器所获最大利润为 元.16．已知数列{}n a 满足211=a , 且对任意n n n a a a N n +=∈+21,，则111111201821++⋅⋅⋅++++a a a 的整数部分为 __________.三．解答题（共6小题.按题目要求写出解答过程.共70分）17.(12分)设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,其中.已知()06f π=.(I)求ω的值；(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在[-4π,43π]上的最小值.18．（12分）如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD=G,AD ⊥平面 ABE,AE=BE=BC=2,F 为CE上一点，且BF ⊥平面ACE 。
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阶段检测卷(四)(不等式)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．(2017年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．(2017年新课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．93．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]4．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年5．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.3 55B. 2C.3 22D. 5 6．(2017年山东)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上．7．(2013年大纲)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是________．9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．已知S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|<S n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是__________．三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分X6-5-2)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图X6-5-212．(12分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(单位：元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？13．(14分)已知函数f (x )＝mx x 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取到极值2. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋a x .若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋72，求实数a 的取值范围．阶段检测卷(四)1．D 解析：可行域如图D190，目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时最大，故z max ＝3＋0＝3.故选D.图D190 2．A 解析：绘制不等式组表示的可行域(如图D191)，目标函数即y ＝－2x ＋z ，其中z 表示斜率为k ＝－2的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形结合可得目标函数在点B (－6，－3)处取得最小值z ＝－12－3＝－15.故选A.图D1913．D 4．B 解析：汽车使用n 年平均费用为15＋1.5n ＋0.3n ＋n (n －1)2×0.3n ＝15n ＋3n 20＋1.65≥2 15n ×3n 20＋1.65＝4.65(万元)，当且仅当15n ＝3n 20，3n 2＝300，n 2＝100，n ＝10，即n ＝10时“＝”成立，故这辆汽车报废的最佳年限为10年．5．B 解析：画出不等式的平面区域如图D192，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0.得A (1,2)．则⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0.得B (2,1)． 由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.图D192 6．B 解析：方法一，因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1，0<b <1.则b 2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1,2a ＋1b >a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．故选B. 方法二，取a ＝2，b ＝12，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1,2)，a ＋1b＝4.故选B. 7.⎣⎡⎦⎤12，4 解析：如图D193，将点A (0,4)，C (1,1)分别与点B (－1,0)求斜率，得最小值为12，最大值为4.图D193 8.2 解析：由新定义运算知，x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，(2y )⊗x ＝(2y )2－x 22yx ＝4y 2－x 22xy. 因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥2 x 2·2y 22xy ＝2 2xy 2xy＝ 2. 当且仅当x ＝2y 时取等号． 所以x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是 2.9．[4,12] 解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22.∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6.∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上所述，4≤x 2＋4y 2≤12.10．－3<λ<1 解析：由S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n ＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ，两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n .所以S n ＝4－n ＋22n －1.于是由不等式|λ＋1|<4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|<2.解得－3<λ<1. 11．解：(1)由题图知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1800x －6＝a ⎝⎛⎭⎫5400x －16＝x －63⎝⎛⎭⎫5400x－16 ＝1832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1832－210 800x ·16x 3＝1832－2×240＝1352. 当且仅当10 800x ＝16x 3，此时，x ＝45. 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1352平方米．12．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域如图D194，图D194作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．13．解：(1)f ′(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn (x 2＋n )2. 由f (x )在x ＝1处取到极值2，得f ′(1)＝0，f (1)＝2.即⎩⎨⎧ mn －m (1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝1. 经检验，当m ＝4，n ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极值．故f (x )＝4x x 2＋1. (2)由(1)知，f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数，且f (0)＝0.当x ＞0时，f (x )＞0,0<f (x )＝4x ＋1x ≤2，当且仅当x ＝1时取“＝”；当x <0时，－2≤f (x )＝－4(－x )＋1(－x )<0， 当且仅当x ＝－1时，取“＝”．故f (x )的值域为[－2,2]．从而f (x 1)＋72≥32. 依题意有g (x )最小值≤32. 函数g (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， g ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2. ①当a ≤1时，g ′(x )＞0，函数g (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为g (1)＝a ≤1<32，符合题意；②当1<a <e 时，函数g (x )在[1，a )上有g ′(x )<0，单调递减，在(a ，e]上有g ′(x )>0，单调递增，所以函数g (x )的最小值为g (a )＝ln a ＋1.由ln a ＋1≤32，得0<a ≤ e.从而知1<a ≤e 符合题意；③当a ≥e 时，显然函数g (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为g (e)＝1＋a e ≥2>32，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为a ≤ e.。