江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题04
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题09
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题09一、选择题1．设,a b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 【答案】D 【解析】【考点定位】充分必要条件.2．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是A. (－∞，－2]B. [2,+∞)C. (－∞，－2)D. (2,+∞) 【答案】A 【解析】3．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ） A ．2a >2a >2log a B ．2a>2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a >2log a >2a4．已知x ，y∈R，i 为虚数单位．若1xi+＝1－yi ，则x ＋yi ＝( ) A ．2＋i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－i5．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）（A（B ） 2 （C）（D ）8 【答案】D 【解析】6．右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.y=2x－x 2－1 B. 14sin 2+=x x x y C.y=(x 2－2x)e xD.x x y ln =【答案】C 【解析】7．已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围（ ）A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25) 【答案】B 【解析】试题分析：如图：8．已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )给出下列命题：①()3f x π+是偶函数；②函数()f x 的图象关于点8(,0)3π对称；③3()2-f π是函数()f x 的最小值；④3m n =. 其中真命题有( )A. ①②③④B.②③C. ①②④D.②④ 【答案】D 【解析】【考点定位】三角函数的性质。
(江西专用)高考数学二轮专题复习(真题感悟+热点聚焦+归纳总结+专题训练)不等式选讲课件 理
答案 {x≤－3或x≥2}
2 ． (2014· 湖 南 卷 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 |ax － 2|<3 的 解 集 为
5 1 x|－ <x< ，则 3 3
a＝________.
解析
由|ax－2|<3，解得－1<ax<5，
1 5 当 a＞0 时，－a＜x＜a与已知条件不符； 当 a＝0 时，x∈R，与已知条件不符；
|a| － |b|≤|a±b|≤|a| ＋ |b|. 此 性 质 可用 来 解 不等 式 或 证明 不 等
式．
3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等 号成立． a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
转化为不等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形式出
现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与 绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题多以解答 题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及到的知识点 多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明 不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．
[真题感悟]
1．(2014·广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________． 解析 当x<－2时，原不等式等价于1－x－x－2≥5⇒x≤－3， 此时得到 x≤ － 3 ；当－ 2≤x≤1 时，原不等式等价于 1 － x ＋ x ＋ 2≥5 ， 此 时 无 解 ； 当 x>1 时 ， 原 不 等 式 等 价 于 x － 1 ＋ x ＋ 2≥5⇒x≥2 ，此时得到 x≥2. 于是原不等式的解集为 {x|x≤ － 3 或 x≥2}．
2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题四 第3讲立体几何中的向量方法
第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。
（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。
以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。
P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。
xyz。
由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。
江西省南昌市下学期高三数学第二轮复习测试(四)
江西省南昌市2008—2009学年度高三第二轮复习测试（四）数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=a a a N a a M 若M ∩N={-3}，则a 的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．3 2．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．（31-，+∞） B ．（31-，1） C ．（31-，31） D ．（-∞，31-） 3．将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为（ ）A ．0或10B ．-2或8C ．-3或7D ．1或114．设S n 为数列{a n }前n 项和，且a n =-2n+1，则数列}{nS n的前11项和为 （ ）A ．-45B ．-50C ．-55D ．-665．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数a ≠0，x ∈R ）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点（23π，0）对称 C ．奇函数且它的图象关于点（23π，0）对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称6．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为23，则b a 的值为（ ）A ．239 B ．232 C ．23 D ．2732 7．二元函数),(y x f 的定义域记为}),(|),{(有意义y x f y x D =，则函数),(y x f =[xlin （y-x ）] 的定义域D 所表示的平面区域为（ ）8．定义域为R 的函数)(x f 满足f （-4-x ）=f （x+8），且y=f （x+8）为偶函数，则)(x f （ ） A ．是周期为4的周期函数 B ．是周期为8的周期函数 C ．是周期为12的周期函数 D ．不是周期函数9．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在直线成异面直线的概率为 （ ）A ．114 B ．113 C ．223 D ．112 10．如图，△ABC 与△ABD 分别是等腰直角三角形与正三角形，当BC 与平面ABD 所成的角是arcsin 42 时，锐二面角C —AB —D 等于（ ）A ．8π B ．6πC ．4πD ．3π11．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就这这些试验成功，则在10次试 验中，成功次数ξ的期望是（ ）A ．310B ．955 C ．950 D ．980（文）某路段监察站监控录像显示，在某时段内，有 1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆 汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频 率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽 车中速度不小于90kn/h 的约有 （ ） A ．400辆 B ．300辆 C ．200辆 D ．100辆12．双曲线222=-y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，点P n （x n ，y n ）（n=1，2，3）在其右支 上，且满足0|,|||2121121=⋅=+F F F P F P F P N n ，则x 2009的值是 （ ）A ．40172B ．40182C ．4017D ．4018二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知7)(x xa-的展开式中2x 项的系数为3，则实数a 的值为 。
江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试卷理科数学(四)试题(解析版)
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(四)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2.等比数列中，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数列为等比数列及，即可求得公比.【详解】∵数列为等比数列，∴∴故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.3.已知，则（）A. B. - C. D. -【答案】D【解析】【分析】由已知条件利用同角关系求出，再利用诱导公式可得结果.【详解】故选：D．【点睛】本题考查了同角基本关系式，考查了诱导公式，考查运算能力及推理能力，属于基础题.4.已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可设复数，代入方程，根据待定系数法即可求得的值，从而可得.【详解】∵复数满足关于的方程，且的虚部为1∴设复数，则.∴∴，∴，即.故选A.【点睛】本题考查复数及一元二次方程的应用，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.5.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象的平移规律：在上的变化符合“左加右减”，在上的变化符合“上加下减”.再根据复合函数的单调性即可得出结论.【详解】将函数向右平移1个单位，得到函数为，再向上平移2个单位可得函数为.根据复合函数的单调性可知在上为单调减函数，且恒过点，故C正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数的“平移变换”.解答本题的关键是掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分别赋值0，，即可得到结果.【详解】令得，令得，故选：C．【点睛】本题考查二项式定理，考查系数的绝对值的和，考查赋值法，属于基础题.7.三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.又，平面又平面，同理是三角形的垂心.故选C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8.如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用微积分定理求出，进而得到阴影的面积，结合几何概型公式即可得到结果.【详解】先求椭圆面积的，由知，，而表示与围成的面积，即圆面积的概率，故选：A．【点睛】定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.9.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】如图，关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线与圆相切即可，而直线的方程为：，直线为：.由，得，结合图象可知：.故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，通过图象判断参数的取值范围.10.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】由，循环退出时，知.，故程序框图①中要补充的语句是.故选B ．【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了高考中对创新能力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．11.函数在内存在极值点，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可得出答案.【详解】若函数在无极值点，则或在恒成立.①当在恒成立时，时，，得；时，，得；②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.故选A．【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.12.已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即，根据，可推出，再根据在单调，可推出，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．【详解】∵，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标∴，即.又∵，∴又∵在单调∴又∵∴当，时，，由是函数最小值点横坐标知，此时，在递减，递增，不满足在单调，故舍去；当，时，由是函数最小值点横坐标知，此时在单调递增，故.故选B．【点睛】对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等式组有解确定整数的取值即可. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.设满足，则的最大值为____________.【答案】13【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】如图，作出可行域（图中阴影部分），目标函数在点取得最大值13.故答案为：13【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.矩形中，，，点为线段的中点，在线段（含端点）上运动，则的最小值是_________. 【答案】-8【解析】【分析】以为原点，建立直角坐标系，可得，设，表示出，从而可得的最小值.【详解】以为原点，如图建立直角坐标系：则.设.∴∴，当或时，取得最小值.故答案为.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.15.设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围.【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，如图所示：∵∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为∴圆心到渐近线的距离是∴弦长依题得，即.∴∴∵∴，同时除以得∴故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．16.在三棱锥中，与共斜边，且与平面所成角正弦值为，，，则到平面的距离为________.【答案】或【解析】【分析】由题意易知，是等腰三角形，且在底面的射影在中线上，结合与平面所成角正弦值为，可知，从而可以解得到平面的距离【详解】知与全等，所以是等腰三角形，且在底面的射影在中线上，如图底面，设，则在中，与平面所成角正弦值为知，，在及中，，，，，又，解得或故答案为：或【点睛】求点平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作二证三算；第二种方法利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三咱方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值.三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.各项均为正数的数列满足：，是其前项的和，且.数列满足，. （Ⅰ）求及通项；（Ⅱ）若数列的前和为，求.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由依次求得，利用相邻式子作差得到通项；（Ⅱ）利用累加法得到，结合错位相减法得到结果.【详解】（Ⅰ）在中，令得；令得；令得；当时，故①②得，即数列是等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：记，则两式相减得，，又也符合，，即,.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为.【解析】【分析】（Ⅰ）先证明平面，平面，从而得证平面平面，故平面；（Ⅱ）以为原点，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，带入公式得到与平面所成的正弦值.【详解】（Ⅰ）取中点，连接，由分别是的中点，又，平面，平面，又平面平面，又平面平面.（Ⅱ）取中点，设交于点，又平面平面平面，在菱形中，以为原点，如图建立空间直角坐标系，过作，垂足为，显然为中点，，则，，，设平面的法向量为，，，由得，令得，，又，，即与平面所成的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆.已知每粒豆苗种子成活的概率为（假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响）.（Ⅰ）求恰好有3株成活的概率；（Ⅱ）记成活的豆苗株数为，收成为，求随机变量分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用对立事件求出每株豆子成活的概率，再结合独立事件概率公式得到结果；（Ⅱ）记成活的豆苗株数为，收成为，且∽，从而得到随机变量分布列及数学期望.【详解】（Ⅰ）设每株豆子成活的概率为，则所以株中恰好有3株成活的概率（Ⅱ）记成活的豆苗株数为，收成为，则的可能取值为，且∽，所以的分布列如下表：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.【详解】（Ⅰ）抛物线：一点，即抛物线的方程为，又在椭圆：上，结合知（负舍），，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，①当时，，直线的方程，，故②当时，直线的方程为，由得.由弦长公式知.同理可得..令，则，当时，，综上所述：四边形面积的最小值为8.【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21.已知函数（Ⅰ）若时，求函数的最大值；（Ⅱ）若时，恒有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数，研究单调性即可得到函数的最大值；（Ⅱ）由于，变量分离可得，令求出其最大值即可.【详解】（Ⅰ）若时，令得故时，单调递增，时，单调递减，即函数的最大值为.（Ⅱ）由得，由知，令令，由知在单调递减即在上单调递减，由洛必达法则知：恒成立即.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.22.在直角坐标系中，圆的方程为（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程为（其中为参数），若直线与交于两点，求中点到的距离．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，即可求出的极坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程可得当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入到圆，设对应的参数为，根据韦达定理，即可求得.【详解】（Ⅰ）由圆的方程为知：是圆的极坐标方程.（Ⅱ）直线的参数方程为，当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入圆：得，设对应的参数为.中点对应的参数为【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23.已知函数 .（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，函数，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可；（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立，根据绝对值不等式的性质可得的最小值，从而通过解不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ），当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立.当时，，解得当时，，解得时，不存在实数，使得不等式.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。
(江西专用)高考数学二轮专题复习(真题感悟+热点聚焦+归纳总结+专题训练)第一部分 专题一 第2
4．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一 次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面 的交集．线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z a z z 在 y 轴上的截距， 把目标函数化为 y＝－bx＋b， 可知b是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距， 要根据 b 的符号确定目标函数在 什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
b a (3)分式形式：a＋b≥2(ab＞0)，当且仅当 a＝b 时，等号成立； 1 (4)倒数形式：a＋a≥2(a＞0)，当且仅当 a＝1 时，等号成立；a 1 ＋a≤－2(a＜0)，当且仅当 a＝－1 时，等号成立．
2．利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果 x＞0，y＞0，xy＝p(定值)，当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p(简 记为：积定，和有最小值)；(2)如果 x＞0，y＞0，x＋y＝s(定 12 值) ， 当 x＝y 时， xy 有最大值4s (简记为： 和定， 积有最大值)． 3．不等式恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)min>A； 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)max<B.
解析
x ＋1 由 x＋y＋1＝xy，得 y＝ ， x －1
又 y＞0，x＞0，∴x＞1.
所以 x＋y≤－2，故选 D.
答案 D 探究提高 在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取
到，有时也需进行常值代换．
[微题型 2]
带有约束条件的基本不等式问题
【例 1－2】 (2014· 黄冈质检)设正实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c＝ 9a＋b 1 1，则 ＋ 的最小值是________． a＋b b＋c
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列之选修部分3
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列之选修部分3一．基础题组1. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于O e 上，AD AB ⊥，AD 交BC 于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =，求证：（1）BF 是O e 的切线；（2）2BE AE DF =•.ss2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆22:4C x y +=，直线:2l x y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；（2）P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2|OQ ||OP ||OR |•=，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.试题解析：（Ⅰ）将cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为:2C ρ=，:(cos sin )2l ρθθ+=． …4分（Ⅱ）设,,P Q R 的极坐标分别为1(,)ρθ，(,)ρθ，2(,)ρθ，则由2|OQ ||OP ||OR |•=得212ρρρ=． …6分又22ρ=，12cos sin ρθθ=+， 所以24cos sin ρθθ=+， 故点Q 轨迹的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+(0)ρ≠．…10分 考点：1.直角坐标方程与极坐标方程的互化；2.点的轨迹问题.3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,10PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PA AC PC= （2） 求AD AE ⋅的值.又由（1）知165352AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ ADB ACE ∆∆∽，ACAD AE AB = 905653AC AB AE AD =⨯=⋅=⋅…………….10分 考点：1.三角形相似；2.勾股定理；3.切割线的性质.4. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2||24|f x x x =++-（1）求()6f x <的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m m ≥-的解集是R ，求m 的取值范围．5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()||,.f x x a a =-∈R（Ⅰ）当5=a ，解不等式3≤)(x f ；（Ⅱ）当1=a 时，若∃R x ∈，使得不等式(1)(2)12f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}28xx ≤≤；（2）14m ≤-. 【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想.第一问，先将5a =代入，解绝对值不等式；第二问，先将1a =代入，得出()f x 解析式，将已知条件转化为求最小值问题，将()(1)(2)g x f x f x =-+去绝对值转化为分段函数，通过函数图像，求出最小值，所以3122m -≥，再解不等式即可. 6. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x 321（t 为参数）. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21''得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】(1) 0233=+--y x ，422=+y x ；（2）当M 为(23,1)或)23,1(--时， 2223y xy x +-的最小值为1.【解析】试题分析：本题考查直角坐标系与极坐标系、普通方程与参数方程之间的转化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将参数方程转化为普通方程；第二问，先通过已知得到C ‘的方程，利用C ‘的方程的特殊性设出M 点的坐标，代入到所求的表达式中，利用三角函数求最值的方法求表达式的最小值.7. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上.（1）若13EC CB =，1ED DA =，求DC AB 的值； （2）若2EF FA FB =•，证明：//EF CD .【答案】（1）2DC AB =（2）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线平行、相等的证明以及相似三角形的证明，考查学生的转化与化归能力.第一问，利用四点共圆得EDC ∠和EBF ∠相等，再证明ECD ∆与EAB ∆相似，得出边的比例关系，从而求出DC AB的值；第二问，利用已知FB FA EF ⋅=2得到边的关系，又因为EFA ∠为公共角，所以得出FAE ∆与FEB ∆相似，从而得出FEA ∠与EBF ∠相等，根据四点共圆得与相等EDC ∠与EBF ∠相等，通过转化角，得出FEA ∠与EBF ∠相等，从而证明两直线平行.8. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求||AB .参数方程，与曲线1C 联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出||AB .9. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|4|||f x x x a =-+-(4)a <（1）若()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）求不等式()3f x x ≥-的解集.试题解析：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故43,1a a -=∴=为所求.……………………4分二．能力题组1. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,x y z R +∈，3x y z ++=.（1）求111x y z++的最小值； （2）证明：22239x y z ≤++<.须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.2. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极坐标为3,6π⎛⎫⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为223sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程; （2）若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线32:2x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.【答案】（1）点P 的直角坐标(3，曲线C 的直角坐标方程为(2234x y ++=；（2）点M 到直线l 的最小距离为115110-. 【解析】试题分析：本题考查极坐标和直角坐标的互化，参数方程和普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用极坐标与直角坐标的互化公式得出P点的直角坐标和曲线C 的方程；第二问，先把曲线C的直角坐标方程化为参数方程，得到,Q M点坐标，根据点到直线的距离公式列出表达式，根据三角函数的值域求距离的最小值.3. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=13AC,AE=23AB,BD,CE相交于点F.（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.【答案】(1)证明过程详见解析；（2）23.【解析】三．拔高题组1. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】（选修4-1、选修4-4、选修4-5三选一） 选修4-1、几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径 ，AC 是弦 ，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.，OE 交AD 于点F. （I ）求证：DE 是⊙O 的切线； （II）若AE AB ＝45 ，求AFDF的值.2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】选修4-4、坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨⎧ x ＝a cosy ＝b sin(0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M(1，32 )对应的参数 ＝3 ，曲线C 2过点D(1，3)． （I ）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； （II ）若点A( 1，)，B( 2，＋2 ) 在曲线C 1上，求222111ρρ+的值．3. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】选修4-5 、 不等式选讲 关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<. （Ⅰ）当1m =时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当m 为何值时，m x f <)(恒成立？ 【答案】（1）解集为{|27}x x <<；（2）1m >.。
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分 专题4 数列 第2讲 Word版含解析
第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。
立体几何的探索性问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04立体几何的探索性问题类型对应典例探索位置问题典例1“线定，面动”探索线面平行问题典例2“线动，面定”探索线面平行问题典例3探索线线垂直问题典例4探索线面垂直问题典例5探索面面垂直问题典例6探索二面角问题典例7【典例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．【典例2】如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ︒==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且,EB CB ED CD ==.（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论；（2）求二面角A EC D --的余弦值.【典例3】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【典例4】在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC =2E 、G 分别为PC 、PA 的中点.（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．【典例6】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AA C C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AA C C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【典例7】如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝，DE ＝.（1）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D 的大小为60°？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由.1.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段A 1D 上，11A MA Dλ=．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．2．如图，在四棱锥PABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角PCDA 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.3．已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点.(1)求证：PN ^平面ABCD ；(2)在棱BC 上是否存在点E ，使得//BN 平面DEP ？并说明理由.5．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．6．如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC 的面积为1．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．7．如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的投影O 在棱BD 上，AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）求二面角B AE C --的余弦值；（3）已知点Q 为AE 的中点，在棱BD 上是否存在点P ，使得PQ ⊥平面ABE ，若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．8．如图，AC 是O 的直径，点B 是O 上与A ，C 不重合的动点，PO ⊥平面ABC .（1）当点B 在什么位置时，平面OBP ⊥平面PAC ，并证明之；（2）请判断，当点B 在O 上运动时，会不会使得BC AP ⊥，若存在这样的点B ，请确定点B 的位置，若不存在，请说明理由.参考答案【典例1】【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD .又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．又因为M 为PC 的中点，所以M (1，1，2)．所以BM＝(－1，1，2)，AP ＝(0，0，4)，所以cos 〈AP ，BM 〉＝||||⋅AP BMAP BM63，所以异面直线AP ，BM所成角的余弦值为3.（2）因为AN ＝λ，所以N (0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN ＝(－1，λ－1，－2)，BC ＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m＝(x,y,z )，则00m BC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20240y x z =⎧⎨-=⎩令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN ，m 〉|＝||||||⋅MN MN m m ＝2|22|5(1)5λ--+-⋅＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.【典例2】【详解】（1）存在点F ，点F 为EA 的中点证明：当点F 为EA 的中点时，连结AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ，∴O 为AC 的中点，连结OF ，则//OF EC ，∵FO ⊂平面BDF ，EC ⊂/平面BDF ，∴//EC 平面FBD .（2）∵4,2EB CB AD ED CD AB ======，60BAD ∠=︒∴23BD =，∴222BE BD ED =+，222BC BD DC =+，∴BD ED ⊥，BD DC ⊥又∵平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABCD ，BD ⊥平面ECD ，以DB 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，如图建系：D xyz-则(0,0,0)D ，(23,2,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,2)E ，(23,0,0)B ∴(23,4,0)AC =- ，(23,2,2)AE =-∴(23,0,0)DB =为平面ECD 的一个法向量，令平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，∴40220n AC y n AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 取2x =，y =，z =∴平面ACD的一个法向量为(n =，令二面角A EC D --为θ，由题意可知θ为锐角，则||10cos |cos ,|5||||n DB n DB n DB θ⋅=<>===⋅.【典例3】【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PA .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD .(II )因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A = ，所以BD ⊥平面PAB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面PAB ，且M 是PD 的中点.证明：取PA 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD .因为12BC AD，所以MN BC .所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面PAB ,BN ⊂平面PAB .所以//CM 平面PAB .【典例4】【详解】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，又AB BC ⊥，AB BP B = ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥①，又2AB PB ==，PAB ∆为等腰直角三角形，G 为斜边PA 的中点，所以BG PA ⊥②，又BG BC B ⋂=，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ；（2）分别以,,BA BC BP为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0),(0,(0,0,2),A C P BE =，因此(2,AC =- ，(2,0,2)PA =-，设(2,,0)AN AC λλ==-，那么(22,,2)PN λ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=.因此13AN AC = ，因此12AN NC =；（3）由（2）知423(,,2)33PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0n PN n BP ⋅=⋅=，即2042033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令x =2y =-，0,z =因此2,0)n =-，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么sin 7BE n BE n θ⋅===⋅ .【典例5】解（1）由题意，可得DC AC ==，∴222A C D C A D +=，即AC DC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥，且PA AC A = ，∴DC ⊥平面PAC ；（2）过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，由（1）可得CD AH ⊥，又PC CD C = ，∴AH ⊥平面PCD .在Rt PAC △中，∵2PA =，AC =PH PAPA PC=∴23PH PC =.即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD.【典例6】【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ，所以22(,,)33EF a =- ，1(0,0,)A A a = ，11(2,2,0)AC = ，因为11113EF A A A C =-+ ，所以EF ，1A A ，11AC共面，又EF 不在平面11AA C C 内，所以//EF 平面11AA C C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AA C C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ==3==，所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AA C C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AA C C ，【典例7】【详解】（1）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示.则A （3，0，0），F （3，0，，E （0，0，），B （3，3，0），C （0，3，0），CA =（3，－3，0），BE＝（－3，－3，），EF＝（3，0，.设平面BEF 的法向量为n＝（x 1，y 1，z 1），1111133030n BE x y n EF x ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取x 1，得n，，3）.所以||13|cos ,|13||||CA n CA n CA n ⋅<>===所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313.（2）假设存在点M 在线段AF 上满足条件，设M （3，0，t ），0≤t≤则BM＝（0，－3，t ），BE ＝（－3，－3，）.设平面MBE 的法向量为m＝（x 2，y 2，z 2），2222230330m BM y tz m BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令y 2＝t ，得m＝（t ，t ，3）.易知CA＝（3，－3，0）是平面BED 的一个法向量，所以|cos ,|m CA <>|12=，整理得2t 2－t ＋15＝0，解得t＝2或t ＝562（舍去），故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D 的大小为60°，此时14AM AF =.1.【思路引导】（1）由四棱柱1111ABCD A B C D -，证得11,A A AE A A AD ⊥⊥，进而得到AE AD ⊥，以{}1,,AE AD A A为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解,EF AD 所成角的余弦值；（2）设(,,)M x y z ，由点M 在线段1A D 上，得到11A M A Dλ=，得出向量CM则坐标表示，再求得平面AEF 的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到λ的值。
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归纳法与极限1
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归纳法与极限1一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________. 6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，n d =，1n n ==． 考点：点到直线距离公式，极限．7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d d S n a n =+-=数列}{n S 是等差数列，则是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，=，从而数列}{n S d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim [()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323x n n →∞++= .【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n （n 的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim 323x n n →∞++1022lim 33n n n→∞+==+． 考点：“∞∞”型极限13. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项. 14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133lim n n n ．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-1121010()10a b b b =++++-=111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =1234()()k k k k a a a a a a a---+++++++20(a a ++2015a +2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯25044(13=⨯+⨯++5+1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin 2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-，故在122014a a a +++时要分组求和，又由na 的定义，知图（1）图（2）图（3）……1352013a a a a ++++(1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++ 2222221357200920112013=-+-++-+1(53)(53)(97)(97)=+-++-++(20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++110062016=+⨯，242014a a a +++(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++22223520132015=-+++-22(352013)2015=+++-2100620062015=⨯-，从而12a a a+++12=+⨯⨯22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos 2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a aa a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=． 考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}na 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由； （3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，k k k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。
江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学(四) PDF版含解析
1
π
面积的最大值为 ；④四叶草面积小于 ，其中，所有正确结论的序号是
8
4
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②④
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．
13．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积
．
y 0， 14．记不等式组 y x 1 所表示的平面区域为 D ，
1 NA
1 NB
4
3 3
,求直线
l1
的方程．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 1 x 2 ． （Ⅰ）对于任意 x R ，不等式 f (x) m 恒成立，则 m 的取值范围； （Ⅱ）记满足条件的 m 的最大值为 M ,若 a 1, b 1, c 1，且 abc 8M , 求证： (a 1)(b 1)(c 1) 1．
பைடு நூலகம்
x,(x a)
值范围是
A． 1 a 1 e
B． a 1 e
C． 1 a 1 e
D． a 1
— 高三理科数学(四)第 1 页(共 4 页) —
8．已知函数
f (x) 2sin(2x π ) 4
在区间
(x1, x2 )
有且仅有
2
个极值点，且满足
f (x1)
f (3π 4
x2 ) 2 ，则
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归纳法与极限2一．基础题组1. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．2. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数x x f a log )(=的图像过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2lim()nn a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列【答案】C【解析】4.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ． 5. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 26. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ．7.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++L ．二．能力题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21Λ________________． 2.【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ的值为……………………（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054-3.【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 ． 4.【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()nm,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.【答案】12n m -【解析】试题分析：依题意可得112m a -=.因为以2m 为分母组成属于集合1A 的元素为2222(1),,,m m m m m m m -⋅⋅⋅即12(1),,,m m m m-⋅⋅⋅.所有这些元素的和为1a .所以221212(1)m a a m ++⋅⋅⋅+-=-.即212212(1)m a a m++⋅⋅⋅+-=+同理3123312(1)m a a a m ++⋅⋅⋅+-=++.…. 12312(1)n n nm a a a a m++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+.所以可得12n a a a ⋅⋅⋅+++=12n m -.考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.5. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .6.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数21(2)y x=-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是-------------------- （）A．23B．21C．33D．3三．拔高题组1. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f=+；(),f i j为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式()2,f j和()3,f j；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i关于i（1,2,,i n=L）的表达式；（3）若()()(),111if i i a=+-，11ii iba a+=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n=L，使得()()()121123n nS b g b g b g n=+++<L，且对于任意的11,43m⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ，当n λ>时，都有n S m >． ()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---L L L L L试题解析：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-L()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-L ．----（3分）132113n m +⇒+>-23log 1113n m ⎛⎫⇒>-- ⎪-⎝⎭，令λ=23log 113m ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则当n λ>时，都有n S m >，∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．------------------------------------（18分）考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合问题．2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21n n n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， …………………（１分） 所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+n n n n bb ac ，3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a(*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．（1）若点1(1,)a 与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B =I ，将集合C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ．【答案】（1）31n b n =-；（2）参考解析；（3）2(*)nn c a n N =∈【解析】(3)当1b =时,设0m C∈,则0m A∈,且0m B∈,设0()tm a t =∈*N ,0(1)1()m a s s =++∈*N ,则(1)1ta a s =++,所以11t a s a -=+,因为,,a t s ∈*N ,且2a ≥,所以1t a -能被1a +整除.○1当1t =时,11a s a -=∉+*N ；○2当2()t n n =∈*N 时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-L ,所以ta b -能被1a +整除.4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？110a = 29.5a = 3a = 4a = ………… 12b =2b =33b =4b = …………【解析】试题分析：（1）由题意，数列{}n a 先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数. 数列{}n b 先-≈≤≤……………………13分3431316.3021n∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分考点：求数列通项5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．试题解析：(1)Q n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++L122(32)(32)(32)n =-+-++-L233322n n =⋅--． 02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++L111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-L11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数 考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121Λ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C 相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）．（1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．试题解析：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）………矩阵B 中第n 行的各数和1124444(41)3n n n n n n n s ++++=+++=-L ，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9n n s s s +++=-L . ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和 ()()()22422421164144444429n n n s ⎡⎤=--+++++++⎢⎥⎣⎦L L232454+1645n n ++-⋅=． ………………………………………………（18分） 考点：(1)直线与抛物线相交，数列的递推关系；（2）数列的通项公式；（3）分组求和.。
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题07
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题07一、选择题1．已知命题p ：∀x∈R，sin x≤1，则( )． A ．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B ．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C ．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D ．¬p：∀x∈R，sin x>1 【答案】C【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 【考点定位】全称命题与全称命题.2．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2-a+3>0},则“x>4”是“A B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b 【答案】D5( )A 5，极小值11- C 27-，无极大值 6．函数sin sin x x x x -⎛⎫⎪+⎝⎭()sin sin ln ln sin()sin sin x x x x f x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭,7 ） A ．．3 0+∞，）．由函数零点的定义， ()f x 在0+∞（，）内12y x =-，2ln 0y x x =>（），在一个坐标系中画由图知两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点，故选C ． 【考点定位】1、函数的零点；2、函数的图象．8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y 【答案】B9．在ABC ∆中，3,1,cos cos c a a B b A ===，则AC CB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 【答案】A【考点定位】正余弦定理，向量的数量积运算．10．已知等差数列{a n }，且3（a 3+a 5）+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为（ ）A.24B.39C.104D.52 【答案】D【考点】等差数列的性质和前n 项和.11．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【考点定位】不等式的基本性质.12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C【考点定位】直线与平面的位置关系.13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为 ( )A．12 B．16 C．8 3 D．12 3【答案】D【考点定位】1三视图；2柱体的体积。
江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题07
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题07一、选择题1．已知命题p ：∀x∈R，sin x≤1，则( )． A ．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B ．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C ．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D ．¬p：∀x∈R，sin x>1 【答案】C【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 【考点定位】全称命题与全称命题.2．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2-a+3>0},则“x>4”是“A B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b 【答案】D5( )A 5，极小值11- C 27-，无极大值6．函数()sin sin ln ln sin sin x x x x f x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭,7 ） A ．．3 0+∞，）．由函数零点的定义， ()f x 在0+∞（，）内12y x =-，2ln 0y x x =>（），在一个坐标系中画C ． ）AC CB ⋅=（ ） 21 D ．23-则数列{a n }的前13项之和为（ ）A.24B.39C.104D.52 【答案】D【考点】等差数列的性质和前n 项和.11．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【考点定位】不等式的基本性质.12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C【考点定位】直线与平面的位置关系.13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为 ( )A．8 3 D ．12 3 D114实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分1：2 ） B15S= ( )A. B. C. D.A16．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列{2n-1}的前10项和B. 计算数列{2n-1}的前9项和 C. 计算数列{2n-1}的前10项和 D. 计算数列{2n-1}的前9项和 【答案】A 【解析】【考点定位】程序框图. 二、填空题17．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 【答案】3且仅当4111221x y y x x y +⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩即11x y =⎧⎨=⎩时等号成立）.【考点定位】基本不等式及其应用.18．点(,)M x y 是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是________________.【答案】3m ≥【考点定位】简单的线性规划和转化思想.19．在三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面， 90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 ． 【答案】16π【考点定位】直三棱柱的几何特征，球的表面积. 三、解答题20．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ， 且1cos22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．【答案】(1)1c =或2c =；（2）31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【解析】1()sin(2)62f A A π=+-，接下来我们只要把26A π+作为一个整体，求出它的范围，就可借助于正弦函数求出()f A 的取值范围了． 试题解析：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以coscos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=．【考点定位】（1）余弦定理；（2 21．已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()(f x m =+(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角且()f A 恰是）22．寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.（I）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)121140(2)94【解析】试题分析：试题解析：(3)p ξ=3327()464==，……………10分所以ξ的分布列为：E ξ=19272714490+1+2+3==64646464644⨯⨯⨯⨯……………12分 23．为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算） 已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5 ，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ（Ⅱ）据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 其中0ξ=表示甲乙的付车费均为0元，即事件11A B 发生；1ξ=表示甲乙共付1元车费，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件1221A B A B + 2ξ=表示甲乙共付2元车费，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件221331A B A B A B ++3ξ=表示甲乙共付3元车费，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件2332A B A B + 4ξ=表示甲乙共付4元车费，即甲付2元乙付2元，即事件33A B由此可求出随机变量ξ 的分布列，并由公式求出E ξ . 试题解析：分，且，BC的中点，且点K是线段MN上(1)证明：直线//QK 平面PAC ；(2)若BC AB PA ==，求二面角Q AN M --的平面角的余弦值. 【答案】(1)参考解析；【解析】则tan θ=QM MH =COS θ分 方法2：以B 为原点，以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系，设2PA AB BC === 则A （0,2,0），M （0,1，0），N （1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),AQ =(0,-1,1),(1,2,0)AN =-记(,,)n x y z AQN =为平面的一个法向量，则0200n AQ y zx y n AN ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ 取12y z x ===则(2,1,1)n =又平面ANM 的一个法向量(0,0,1)m =，所以cos θ=262m n m n⋅==⋅ 即为所求。
江西高考数学二轮复习之小题精做系列专题05
1．已知集合A ＝{x |4≤x 2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是（ ） A. (－∞，－2] B. [)+∞-,2 C. (－∞，2] D. [)+∞,2 【答案】A 【解析】3．设全集U=R ，A={x|(2)21x x -<}，B={|ln(1)}x y x =-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ． {|1}x x ≥B ． {|1}x x ≤C ． {|01}x x <≤D ． {|12}x x ≤< 【答案】D 【解析】4．已知a =312,b =l og 1312,c =l og 213,则（）A.a >b >cB.b >c >aC.b>a >cD.c >b >a 【答案】A5．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【答案】A 【解析】【考点定位】函数的最值与导数.6．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a << 【答案】B 【解析】7．将函数()()3sin 2cos2f x x x x R =+∈的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =（ ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】B 【解析】8．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A.2log 3- B.3log 2- C.19D.39．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-10．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a 2-b 2=bc,sinC=2sinB,则A=( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°11．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( )A. 2B. 3C. 5D. 7 【答案】A12．下列命题正确的是( )A ．若Z k k x ∈≠,π,则4sin 4sin 22≥+x x B ．若,0<a 则44-≥+a aC ．若0,0>>b a ,则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+D ．若0,0<<b a ,则2≥+b aa b【答案】D 【解析】【考点定位】1.基本不等式的应用.2.三角函数的知识.3.对数的知识.4.不等式的性质.13．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的__________. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．22B ．322C ．155D ．3010【答案】D 【解析】试题分析：取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D,∴D 1B ∥D 1F,∴∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角设BC=CA=CC 1=2，则AD=5 ，AF 1=5，DF 1=6,在△DF 1A 中，cos ∠DF 1A=3010，故选D 【考点定位】异面直线所成的角15．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（ ）． A ． a α⊥，b β⊂ ，a b αβ⊥⇒⊥ B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥ C ．αβ⊥，a α⊥ ，b ∥a b β⇒⊥ D ．αβ⊥，a αβ=I ，a b b β⊥⇒⊥ 【答案】B 【解析】16．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足AC AB ⊥，则λ的值 ( ) A 、14 B 、-14 C 、7 D 、-7 【答案】C 【解析】17．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）A. 12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x 【答案】D【解析】18．“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数” 是“φ＝2” 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】19．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（ ）A ．90B ．75C ．60D ．45 【答案】C 【解析】20．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】21．已知n m ,是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题： ①若α⊆m ，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若n =βαI ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若βα⊥⊥m m ,，则α∥β 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 【解析】22．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A （0，0），B （2，0），C （1，1），D （0，2），E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（ ） A ．52 B ． 53 C ．54D ．1 【答案】C 【解析】23．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】24．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )(A)45 (B)50 (C)55 (D)60 【答案】B 【解析】25．求135101S =++++L 的流程图程序如右图所示，其中①应为( )A ．101!A =B ．101!A ≤C ．101!A >D ．101!A ≥ 【答案】B 【解析】试题分析：根据框图的循环结构及题意分析可知B 正确。
江西高考数学二轮复习之小题精做系列专题04
一、选择题1．【2014届北京市房山区4月高三模拟考试数学（文）】已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =I （ ）（A ）{2,1}-- （B ）{1,2} （C ）{1,0,1,2}- （D ）{0,1,2} 【答案】D 【解析】C. 【考点定位】1.复数的运算与对应的点位置.3．【2014届湖北省天门市高中毕业班四月调研考试数学（文）】①若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 均为真命题（ ）；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；③“2,1x x x ∀∈+R ≥”的否定是“2000,1x x x ∃∈+R ≤”；④“0x >”是“12x x+≥”的充要条件. 其中不正确的命题是A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 【答案】C 【解析】试题分析：①若q p ∨为真命题，则q p ,不一定都是真命题，所以①不正确，②若b a >,则122->的否命题为若b a ≤,则1-22≤，所以②正确，③R x ∈∀,12≥+x x 的否定是R x ∈∃,12<+x x ,所以③不正确，④0>x 是21≥+xx 的充要条件，所以④正确. 【考点定位】命题的真假判定.4．【2014届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学（文）】命题“2cos sin ,,2>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ”的否定是（ ） A ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ B ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ C ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ D ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ5．【2014届云南省昆明市高三上学期第一次摸底调研测试数学（文）】已知集合{}{}|3,|20A x x B x x =<=-≤，则A B U 等于（ ）（A ）(],3-∞ (B) (),3-∞ (C) [)2,3 (D) (]3,2-【考点定位】零点存在定理7．【2014届西安铁一中国际合作学校高三下学期第一次模拟考试数学（文）】已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A.2π B.4π- C.4π D.34π 【答案】C 【解析】8. 【成都七中2014届高三上学期期中考试数学（文）】已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21C ．41-D ．21-【答案】C9. 【重庆一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】在]3,2[-上随机取一个数x ，则0)3)(1(≤-+x x 的概率为（ ）A ．52 B ．41 C ．53 D ．54[【答案】D 【解析】10. 【四川省绵阳市高中2014届第二次诊断性考试数学（文）】抛物线28x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是( )A ．1B ．2C 3D ．3【答案】A 【解析】试题分析：抛物线28x y =的焦点为F （0，2）.双曲线2213y x -=的渐近线为3y x =，所以抛物线28x y = 的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是113d ==+，选A. 【考点定位】1、抛物线与双曲线；2、点到直线的距离.11. 【成都石室中学高2014届高三上期“一诊”模拟考试一数学（文）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2 B ．1 C ．23 D ．13【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下的正四棱锥，根据图中尺寸得体积为112221323V =⨯⨯⨯⨯=.【考点定位】三视图及几何体的体积.12. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】已知定义在R 上的函数)(x f ,对任意R x ∈,都有(2)()(1)f x f x f +=-+成立,若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称,则(2014)f = ( )（A ）0 （B ）2014 （C ）3 （D ）—2014 【答案】A 【解析】试题分析：函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，所以函数()f x 的图象关于原点对称，即()()f x f x -=-，所以(0)0f =.在(2)()(1)f x f x f +=-+中，令1x =-得：(1)(1)(1)2(1)(1)0f f f f f =--+=⇒=，所以(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=.所以)(x f 是以4为周期的周期函数，(2014)(2)(0)0f f f ==-=. 【考点定位】1、函数的奇偶性和周期性；2、抽象函数.13. 【四川省绵阳南山中学2014届高三12月月考数学（文）】等差数列{}n a 中的1a 、4017a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则20142log a =（ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 514. 【河南省安阳市2014届高三上学期调研考试】设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2-=-，[]3π=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是A.1(0,)4B. 11[,)43C. 1(,1)3D. 1[,1)4【答案】B 【解析】【考点定位】分段函数，图象的作法，直线的斜率及点斜式方程15. 【山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考】已知函数()y =f x 满足(+1)=(-1)f x f x ，且[1,1]x ∈-时，2()=f x x ,则函数()y =f x 与3log y =|x |的图象的交点的个数是 . 【答案】4 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得：(2)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2.画出两个函数的图象，可看出交点有4个.【考点定位】1、周期函数；2、二次函数及对数函数的图象.16. 【西安市长安区第一中学2014届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】算法框图如图所示，如果输入x ＝5，则输出结果为________．【答案】325【考点定位】1、程序框图；2、递推数列；3、等比数列 17. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+=ωωωωx x x x f ,其最小正周期为2π，则=ω________.18. 【哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2014年高三第一次联合模拟考试数学（文）】已知函数()|cos |sin f x x x =⋅，给出下列五个说法： ①20143()3f π=②若12|()||()|f x f x =，则12()x x k k Z π=+∈；③()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；④函数()f x 的周期为π.⑤()f x 的图象关于点(,0)2π-成中心对称.其中正确说法的序号是 . 【答案】①③ 【解析】【考点定位】三角函数及其性质.19. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 已知C B C B cos cos 61)cos(3=--. （I ）求A cos ；（II ）若3=a ，ABC ∆的面积为22，且c b >，求c b ,. 【答案】（I ）1cos 3A =；（II ）2,3==c b . 【解析】22232cos b c bc A =+-……………………………………………②这样联立①②便可求出,b c 的值.【考点定位】1、三角恒等变换；2、余弦定理；3、三角形的面积；4、解方程组.20. 【西北师大附中2014届11月月考】设P 是⊙O ：221x y +=上的一点，以x 轴的非负半轴为始边、OP 为终边的角记为(02)θθπ≤<，又向量()3,1e =-r。
江西高考数学二轮复习之小题精做系列专题03
一、选择题1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A.}1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{ 【答案】D 【解析】试题分析：}1{<∈=x R x B ,则A B =I }1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D. 【考点定位】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.2．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】4．已知复数21iz i =+，则z 的共轭复数z 是( )A.i -1B.i +1C.iD.i - 【答案】A 【解析】试题分析：∵21i z i =+＝2(1)(1)(1)i i i i -+-＝1i +，∴1z i =-，故选A ． 【考点定位】1、复数的运算；2、共轭复数． 5．在复平面内，复数52iz i=-的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限角 D.第四象限6．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b 【答案】D 【解析】试题分析：3C A B B ππ∠=-∠-∠=-∠，所以sin sin(3)sin3C B B π=-=，sin sin sin 3sin B B b B C c==.【考点定位】三角形的内角和，正弦定理. 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位 【答案】B8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )(A)322 (B)315 (C)-322 (D)-315【答案】A【解析】AB u u u r =(2,1), CD u u u r=(5,5),设AB u u u r ,CD uuu r 的夹角为θ,则AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为|AB u u u r |cos θ=AB CD CD⋅u u u r u u u ru u u r =52=322.故选A. 【考点定位】向量的坐标运算及向量的投影.9．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（ ） A.8 B.12 C.8或8- D.12或12-10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =u r与向量(1,1)n =-r垂直的概率为（A ）16 （B ）13 （C ）14 （D ）12【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知(,)m a b =u r有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.m n ⊥u r r 即0,m n ⋅=ur r 所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16.11．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）A ．32 B ．34C ．1D ．12【答案】B 【解析】12．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β B ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂β C ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 【答案】C【解析】选项A 中也可以l ∥β，选项B 中也可以l ∥β，选项D 中也可以l ⊂β，l ∥β或l 与β斜交． 【考点定位】空间直线与平面的位置关系.13．已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( ) (A)3 (B)6(C)3 (D)6则12PF F S V =12|PF 1||PF 2|sin60°=12|F 1F 2||y|, 解得|y|=62故选B.14．已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于 （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：因为焦距为4,所以242c c ===,因为椭圆221210x y m m +=--的焦点在x 轴上,所以222,10a m b m =-=-,根据22221248c a b m m =-⇒-=⇒=,故选A.【考点定位】椭圆 焦点15．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．128二、填空题 16．命题:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.【答案】“00x ∃<，使得3010x -<”【解析】试题分析：试题分析：由命题的否定概念可知，p ⌝是“00x ∃<，使得3010x -<”.【考点定位】命题的否定. 17．已知2tanα·sinα＝3，－2π＜α＜0，则cos(α－6π)＝____________．19．曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = . 【答案】1(,]2-∞ 【解析】20．设实数x,y 满足条件：10,0x y ≥≥；2360x y --≤；320x y -+≥，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值是 【答案】256【解析】试题分析：约束条件036020x y ox y x y ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=632b-，（23a b +）（2a+3b ）,4+9+66b a a b +25≥，（当56a b ==时，等号成立），所以23a b +256≥，即23a b +的最小值是256. 【考点定位】1.线性规划；2.基本不等式的性质.21．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是 ．三、解答题22．空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定。
2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考(二)文科数学试题及参考答案
2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考（二）文科数学试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}22≤≤-=x x A ，集合{}01>-=x x B ，则A B ⋂=（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≤-C ．{}21x x -≤<D ．{}2x x ≥2．已知复数()()i i z 211-+=在复平面内对应的点落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“12a b +>-”是a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．抛物线y x =2的焦点坐标为（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛-0,41B ．⎪⎭⎫⎝⎛0,41C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-410，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛410，5．已知数列{}n a 满足11a =，121nn n a a a +=+，则5a =（）A ．17B ．18C ．19D ．1106．某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h ）如下：则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（）A ．43hB ．46hC ．47hD ．49h7．一个四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为（）A ．31B ．21C ．1D ．28.已知函数()1++=x x x f ，()()12+-=x f x g ，则不等式()()x g x f <的解集为（）A ．()1,-∞-B ．()2,1C ．()+∞,1D ．()+∞,29．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()cos 2|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数，最大值为23B ．()f x 时偶函数，最大值为23C ．()f x 是奇函数，最大值为89D ．()x f 是偶函数，最大值为8910．已知点P 为直线:10l x y -+=上的动点，若在圆22:(2)(1)1C x y -+-=上存在两点M ，N ，使得60MPN ∠=︒，则点P 的横坐标的取值范围为（）A ．[2,1]-B ．[1,3]-C ．[0,2]D ．[1,3]11.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，()()x x f x g sin -=是偶函数，在[)∞+，0上()x x f cos >'.若()cos sin 2f t f t t t π⎛⎫-->- ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为（）A ．,4π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭12.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点N M ,满足C A M A 11λ=，B C N C 11μ=，其中()1,0,∈μλ，在下列说法中正确的是（）①存在()1,0,∈μλ，使得N D BM 1∥②存在()1,0,∈μλ，使得⊥MN 平面C BA 1③当21==μλ时，MN 取最小值④当21=μ时，存在()1,0∈λ，使得︒=∠901MN D A .①②B .②③C .③④D .②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题04一、选择题1．【2014届北京市房山区4月高三模拟考试数学（文）】已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ）（A ）{2,1}-- （B ）{1,2} （C ）{1,0,1,2}- （D ）{0,1,2} 【答案】D 【解析】C. 【考点定位】1.复数的运算与对应的点位置.3．【2014届湖北省天门市高中毕业班四月调研考试数学（文）】①若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 均为真命题（ ）；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；③“2,1x x x ∀∈+R ≥”的否定是“2000,1x x x ∃∈+R ≤”；④“0x >”是“12x x+≥”的充要条件. 其中不正确的命题是A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 【答案】C 【解析】试题分析：①若q p ∨为真命题，则q p ,不一定都是真命题，所以①不正确，②若b a >,则122->的否命题为若b a ≤,则1-22≤，所以②正确，③R x ∈∀,12≥+x x 的否定是R x ∈∃,12<+x x ,所以③不正确，④0>x 是21≥+xx 的充要条件，所以④正确. 【考点定位】命题的真假判定.4．【2014届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学（文）】命题“2cos sin ,,2>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ”的否定是（ ） A ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ B ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ C ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ D ．2cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ5．【2014届云南省昆明市高三上学期第一次摸底调研测试数学（文）】已知集合{}{}|3,|20A x x B x x =<=-≤，则A B 等于（ ）（A ）(],3-∞ (B) (),3-∞ (C) [)2,3 (D) (]3,2-【考点定位】零点存在定理7．【2014届西安铁一中国际合作学校高三下学期第一次模拟考试数学（文）】已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A.2π B.4π- C.4π D.34π 【答案】C 【解析】8. 【成都七中2014届高三上学期期中考试数学（文）】已知1tan()2πα+=，则s i n c o s2s i n c o sαααα-+=（ ）A ．41B ．21C ．41-D ．21-【答案】C9. 【重庆一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】在]3,2[-上随机取一个数x ，则0)3)(1(≤-+x x 的概率为（ ）A ．52 B ．41 C ．53 D ．54 【答案】D 【解析】10. 【四川省绵阳市高中2014届第二次诊断性考试数学（文）】抛物线28x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是( ) A ．1 B ．2CD ．【答案】A 【解析】试题分析：抛物线28x y =的焦点为F （0，2）.双曲线2213y x -=的渐近线为y =，所以抛物线28x y = 的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是1d ==，选A. 【考点定位】1、抛物线与双曲线；2、点到直线的距离.11. 【成都石室中学高2014届高三上期“一诊”模拟考试一数学（文）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2 B ．1 C ．23 D ．13【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下的正四棱锥，根据图中尺寸得体积为112221323V =⨯⨯⨯⨯=.【考点定位】三视图及几何体的体积.12. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】已知定义在R 上的函数)(x f ,对任意R x ∈,都有(2)()(1)f x f x f +=-+成立,若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称,则(2014)f = ( )（A ）0 （B ）2014 （C ）3 （D ）—2014 【答案】A【解析】试题分析：函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，所以函数()f x 的图象关于原点对称，即()()f x f x -=-，所以(0)0f =.在(2)()(1)f x f x f +=-+中，令1x =-得：(1)(1)(1)2(1)(1)f f f f f =--+=⇒=，所以(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=.所以)(x f 是以4为周期的周期函数，(2014)(2)(0)0f f f ==-=. 【考点定位】1、函数的奇偶性和周期性；2、抽象函数.13. 【四川省绵阳南山中学2014届高三12月月考数学（文）】等差数列{}n a 中的1a 、4017a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则20142log a =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 514. 【河南省安阳市2014届高三上学期调研考试】设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2-=-，[]3π=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是A.1(0,)4B. 11[,)43C. 1(,1)3D. 1[,1)4【答案】B 【解析】【考点定位】分段函数，图象的作法，直线的斜率及点斜式方程15. 【山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考】已知函数()y =f x 满足(+1)=(-1)f x f x ，且[1,1]x ∈-时，2()=f x x ,则函数()y =f x 与3log y =|x|的图象的交点的个数是 . 【答案】4 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得：(2)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2.画出两个函数的图象，可看出交点有4个.【考点定位】1、周期函数；2、二次函数及对数函数的图象.16. 【西安市长安区第一中学2014届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】算法框图如图所示，如果输入x ＝5，则输出结果为________．【答案】325【考点定位】1、程序框图；2、递推数列；3、等比数列 17. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】函数)0(21c o s c o s s i n 3)(2>-+=ωωωωx x x x f ,其最小正周期为2π，则=ω________.18. 【哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2014年高三第一次联合模拟考试数学（文）】已知函数()|cos |sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①2014()34f π=-；②若12|()||()|f x f x =，则12()x x k k Z π=+∈；③()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；④函数()f x 的周期为π.⑤()f x 的图象关于点(,0)2π-成中心对称.其中正确说法的序号是 . 【答案】①③ 【解析】【考点定位】三角函数及其性质.19. 【重庆八中2014届高三第二次月考数学（文）试题】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 已知C B C B cos cos 61)cos(3=--. （I ）求A cos ；（II ）若3=a ，ABC ∆的面积为22，且c b >，求c b ,. 【答案】（I ）1cos 3A =；（II ）2,3==c b .【解析】22232cos b c bc A =+-……………………………………………②这样联立①②便可求出,b c 的值.【考点定位】1、三角恒等变换；2、余弦定理；3、三角形的面积；4、解方程组.20. 【西北师大附中2014届11月月考】设P 是⊙O：221x y +=上的一点，以x 轴的非负半轴为始边、OP 为终边的角记为(02)θθπ≤<，又向量()3,1e =-。
且()f e OP θ=∙.（1）求()f θ的单调减区间；（2）若关于θ的方程()2sin f θα=在5,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内有两个不同的解，求α的取值范围. 【答案】（1）()fθ的单调减区间是：560,π⎡⎤⎣⎦、)116,2ππ⎡⎣ ；（2）222k k ππαππ+≤≤+，且322k παπ≠+ ()k Z ∈.【解析】56622k k πππθπ-≤≤+ ()k Z ∈ ………4分 又02θπ≤<，所以()fθ的单调减区间是：560,π⎡⎤⎣⎦、)116,2ππ⎡⎣ ………6分（2）因)533,ππθ∈⎡⎣，则)11626,πππθ+∈⎡⎣。
为保证关于θ的方程()2sin f θα=有两个不同解，借助函数图象可知：22sin 0α-<≤，即1sin 0α-<≤ ………9分所以得：222k k ππαππ+≤≤+，且322k παπ≠+ ()k Z ∈ ………12分【考点定位】1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.21. 【成都石室中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】（本题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设),(log 212*∈-=N n a b nn 数列}{2+n n b b 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .【答案】（Ⅰ）21()2n n a -=. （Ⅱ）详见解析.【解析】可见，数列{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列。
所以2121212--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n n a …………………………………………6分【考点定位】1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.22. 【西安市长安区第一中学2014届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】在等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列{}n a 的通项n a ；(2)令102n a n b -=，证明：数列{}n b 为等比数列．【答案】（1）210n a n =+；（2）详见解析. 【解析】11444n n n n b b ++∴== 所以数列{}n b 是首项为4，公比4q =的等比数列. 【考点定位】1、等差数列；2、等比数列23. 【四川省眉山市高中2014届第一次诊断性考试数学（文）】(12分)某工厂有25周岁以上(含2S 周岁)工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100), 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。