江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测九指数与指数函数理含解析
2020版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第5讲 指数与指数函数讲义 理(含解析)
第5讲指数与指数函数[考纲解读］1。
理解有理指数幂的含义,掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2。
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3。
通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．［考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂（1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a错误!＝错误!（a>0，m,n∈N*且n〉1）．②正数的负分数指数幂：a－错误!＝错误!＝错误!（a〉0，m，n∈N＊且n〉1)．③0的正分数指数幂等于错误!0；0的负分数指数幂错误!没有意义．(2）有理数指数幂的性质①a r a s＝错误!a r＋s(a>0，r，s∈Q）；②（a r）s＝错误!a rs(a>0,r，s∈Q）；③（ab）r＝错误!a r b r（a〉0，b〉0，r∈Q）．3．指数函数的图象与性质y＝a x（a〉0且a≠1）a>10〈a〈1图象1．概念辨析(1）错误!与（错误!)n都等于a(n∈N＊)．（)(2）[（－2）6] 错误!＝（－2)6×错误!＝(－2）3＝－8.（)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( ）(4）若a m〈a n(a〉0，且a≠1),则m〈n.( ）答案(1）×（2）×(3）√（4）×2．小题热身(1）函数y＝a x－a(a〉0，且a≠1)的图象可能是( )答案C解析函数y＝a x－a的图象过点（1，0),排除A，B，D。
(2）化简错误!的结果是________．答案－错误!解析由题意得x〈0，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。
2023年新高考数学大一轮复习专题09 指数与指数函数(解析版)
专题09 指数与指数函数【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠； ③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈； ③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈． 2.指数函数【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()x y a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．【答案】18 【解析】 【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可 【详解】)()2ln321e 1lg 4lg 0.25431lg 40.25184-⎛⎫+-++=+-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：18例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】将原不等式变为1631101010x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由10631xxx--≥，可得1631101010x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤， 1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =【答案】D 【解析】 【分析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，根据甲计算出常数c ，根据乙计算出常数b ，再将,b c 代入关于x 的方程220x x b c -+⋅+=解出x 即可 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2-D ．[)()2,02,-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+，则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，()4322x xf x =-⨯+，当0x <时，0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+，而当0x ≥时，()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，0(4322)6x x x --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩， 变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤，所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a . 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（ ）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a【答案】C 【解析】 【分析】依据图像列不等式求得m a 、的取值范围，即可进行选择 【详解】由图像可知，当0x >时，()0f x <，则0x >时，2()0x m +>，则0m ≥， 又由()f x 图像不关于原点中心对称可知0m ≠，则0m > 则0x >时，0xxa a--<，即210x xa a -<，则01a <<故选：C例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为|1|2x y =-与y m =只有一个交点，画出|1|2x y =-的图象，应用数形结合法求m 的取值范围. 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∴m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；解不等式()12f x >可判断C 选项；利用指数型函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出()f x 的对称性，求得()0f x <的解集，从而求得()250xf -<的解集.【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92##4.5【解析】 【分析】根据指数函数过定点的求法可求得()1,2A ，代入直线方程可得()122m n -+=，根据()()1211212121m n m n m n ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n-=-，即53m =，23n =时取等号）， 121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞ 【解析】 【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【答案】(1)1k =- (2)72【解析】 【分析】（1）由(0)0f =求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4f n f m =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可求得,m n ．(1)由()f x 是奇函数得(0)10f k =+=，1k =-，此时()22x x f x -=-是奇函数； (2)由复合函数的性质得1()2222x x xxf x -=-=-在定义域内是增函数， 所以(1)15()4f nf m =⎧⎪⎨=⎪⎩，13222n =-=，115224m m -=，24m =或124m=-（舍去）， 2m =，所以37222m n +=+=．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A 【解析】 【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭， 因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21x f x a a =-+为实常数). （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数； （2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值． 【详解】 解：（1）当32a =时()()3322302121xx f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数； 因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故 ()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数； （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+； 由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(xt +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭ 由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2xuf x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u = 例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤. 【解析】 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解； （2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]， ①52a 时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍)②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，11212222t t a t t =+=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[0,9]；（2）34m -；（3）8m -. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围； （3）将问题转化为()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）当[1,3]x ∈-时，函数2()[0f x x =∈，9] ()f x ∴的值域[]0,9（2）对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1．而()g x 在[]0,2上单调递减，所以2112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即34m -（3）对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9 由19m -，8m ∴-【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解． 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【解析】 【分析】根据题意，化简得到()()22f x f x +-=，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数()4sin 22xx f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222x x f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S ff f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以4043S =. 故答案为：4043.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【解析】 【分析】根据已知条件，求得(2)2()f x f x +=，结合()0f 的值以及递推关系，即可求得结果. 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别在2x ≤、23x <≤、34x <≤和4x >的情况下，根据()f x 和()1f x -的解析式和符号依次求解即可. 【详解】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2【过关测试】 一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在R 是单调递增 B ．是奇函数，且在R 是单调递增 C ．是偶函数，且在R 是单调递减 D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得； 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!n xx x x x n =+++++++，其中R,N x n ∈∈（精确到0.01）（ ） A ．1.63 B ．1.64C ．1.65D ．1.66【答案】C 【解析】应用题设泰勒展开式可得 121111e 12848!2nn =++++++⋅, 随着n 的增大，数列1!2n n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e 的近似值. 【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 01231211e 111222220!1!2!3!!nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++⋯+1111 1.646 1.652848≈+++≈≈ 故选：C4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的性质可得当m 1≥时，1312m +-=-，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，求出m 的值，从而可求出()6f m + 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A5．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）． A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知有1x >，根据零点得到0009(1)x x t -==，利用指对数的关系及运算性质得到01x -关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t 值即可. 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】参变分离得到112x a >+，根据指数函数的性质求出112x +的取值范围，即可得解； 【详解】解：由题知()221xxa x ⋅>+∈R ，而21x ≥，所以112x a >+， 又1012x <≤，所以11122x <+≤． 因为关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解， 即112x a >+()x ∈R 有实数解，所以1a >，即()1,a ∈+∞．故选：A7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【解析】【分析】 根据1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()1f x f x +=-，2T =，则()3310log 90log 27f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将310log 27x =代入解析式，即可求解. 【详解】 因为1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11112222f x fx ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =， 所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ． 二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（ ）A 1，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断． 【详解】A 错，例如9,4a b ==1=，便51a b -=>；B 正确，2211a b =+>，1a >，又0b >，所以1a b +>，而22()()1a b a b a b -=-+=，所以1a b -<；C 正确，设21a m =>，21b n =>，1m n -=，则1m n =+，1112m n n n n+==+<， 所以222log log log 1mm n n=-<，即1a b -<． D 错误，222log log log 1aa b b -==，2a b=，2a b =，所以a b b -=，1b <不一定成立． 故选：BC ．11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（ ） A ．0a b -> B ．22a b >C ．ac bc >D ．22a b >【答案】AB 【解析】 【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确； 对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确； 对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB.12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先作出函数()f x 的大致图象，结合题意令()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解. 【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π===，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【解析】 【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得. 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对于()()()·f a b f a f b +=符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数. 【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．【答案】[)2,3 【解析】 【分析】令2x t =，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+，设2x t =，当1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，0t <≤()22123t ≤-+<，所以()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为[)2,3．故答案为：[)2,3．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x xx f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞.对于①：因为()()332222xx x xx x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确； 对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220t t -->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③ 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库 【解析】 【分析】（1）利用()1,2000求得y 关于t 的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间. (1)由图可知，当01t ≤≤时，y =2000t .当t >1时，25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为图象经过点()1,2000，所以220005k ⨯=，得k =5000 所以2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)令25000 2.5600.055t⎛⎫⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，即42128162550006255t ⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4t ≥，因为消防部门从t =1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库. 18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知1122a a -+=3，求22112a a a a --++++的值．【答案】（1）8336；（2）163． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出； （2）根据完全平方公式即可求出． 【详解】解：（1）原式32=-1﹣233393242⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭149839436-+=， （2）∵1122a a -+=3，∴a +a ﹣1＝（1122a a -+）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式47148167293+===+． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】讨论0<a <1或a >1，作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象，由数形结合即可求解. 【详解】①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图1． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(0<a <1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图2． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(a >1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，此时无解． 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎫⎪⎝⎭．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数； （1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值． 【答案】（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-． 【解析】 【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数， 可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k = 当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =， 由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=， 即()2342,2g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(3,)-+∞，不是，理由见解析；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；（2）设2x t =，则可得(0,1)t ∈，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．【详解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤可化为0424x x a ≤+⋅≤必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x xa ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠ .(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根； (2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值； (3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.【答案】(1)0(2)4(3)1【解析】【分析】（1）将原方程转化为2(21)0x -=，由此求解即可．（2）由题意可知2(2)(())2f x f x =-，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．（3）求出()()22x x g x f x a b =-=+-，求出函数()g x 的导数，设函数()()h x g x '=，根据导数在函数最值中的应用，求出()g x 的最小值，再对()g x 的最小值进行分析，即可求出结果．(1) 解：因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. 方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.(2)解：由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测九指数与指数函数理
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4的解集为________． 解析：不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：321．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t(a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，2－3a 1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________． 解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a-23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x－3－x＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6.令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m，－1n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。
2020年高考 一轮复习数学(文) 课时跟踪检测(九) 指数与指数函数
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x 是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a2．已知函数y ＝a x －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4，∴函数y ＝a x －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x ＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 答案：y 轴4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝⎛⎭⎫12x +4的解集为________．解析：不等式222x x－＋＞⎝⎛⎭⎫12x +4可化为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＞⎝⎛⎭⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a 2，则a＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a . 由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝⎛⎭⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫14x -3＞16，∴⎝⎛⎭⎫14x -3＞⎝⎛⎭⎫14－2， ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在定义域上是减函数， ∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，345．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋1的值域为________． 解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝⎛⎭⎫13u 是减函数， 而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)， ∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，13. 答案：⎝⎛⎦⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________． 解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)， 所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027-23－3π0＋3748； (2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝ 3a 72·a -23÷ 3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集；(2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x ＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x )＝0对∀x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x ＞1，得(3x )2－3x －1＞0，解得3x ＞1＋52或3x ＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞log 31＋52. (2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x ＋λ3x ≤6.令t ＝3x ∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt ≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎨⎧－1＋n ＝2m，(－1)×n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}； 当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a 或x ＜2； 当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a . (2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3. 令a x ＝t ，a 2≤t ≤a ， 则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52， 所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。
2020年高考一轮复习数学(文)课时跟踪检测(九)指数与指数函数
课时跟踪检测(九)指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. _______________________________________________________________________ (2019连云港调研)已知a = 3n , b = e n , c = e 3,贝V a , b, c 的大小关系为 ____________________ .解析：由y = e x 是增函数，得b = e n >c = e 3,由y = x n 是增函数，得a = 3n >b = e n ,故c v b v a. 答案：c v b v a2. ___________________________________________________________________ 已知函数y = a x 「1 + 3(a > 0且1)图象经过点P ,则点P 的坐标为 ____________________________ .解析：当 x = 1 时，y = a 0 + 3= 4,•••函数y = a x T + 3(a > 0且a 工1)的图象恒过定点(1,4).•••点P 的坐标为(1,4).答案：(1,4)3•在同一平面直角坐标系中， 函数f(x) = 2x +1与g(x)= 2 x -1的图象关于 ____________ 对称. 解析：因为g(x) = 21-x = f( — x),所以f(x)与g(x)的图象关于y 轴对称.答案：y 轴4.已知f(x) = 3x —b (2w x w 4, b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为 _____________ . 解析：由f(x)过定点(2,1)可知b = 2,因为f(x)= 3x — 2在［2,4］上是增函数，所以 f(x)min = f(2)= 1 , f(x)max = f(4) = 9.故f(x)的值域为［1,9］.答案：［1,9］5 .不等式2 — &2x > J x+4的解集为 _____________ .解析：不等式 2 — x2+2x > 1 x+4 可化为 1 x 2 — 2x > 1 x+4,等价于 x 2— 2x v x + 4,即 x — 3x — 4 v 0,解得—1 v x v 4.答案：{x|— 1 v x v 4}6. (2019徐州调研)若函数f(x)= a x —1(a > 1)在区间［2,3］上的最大值比最小值大 < 贝V a • f(x)max =f(3) = a 2, f(x) min = f(2) = a. 由题意可得a 2 — a = f ，解得a = 3. 解析： •••函数f(x) = a x 1(a > 1)在区间［2,3］上为增函数,22 2答案：3—保咼考，全练题型做到咼考达标1若函数f(x)= a lx+1|(a >0，且a M 1)的值域为［1,+^ )，则f( — 4)与f ⑴的大小关系是 解析：由题意知 a > 1, f(— 4) = a 3, f(1) = a 2, 由 y = a t (a > 1)的单调性知 a 3>a 2,所以 f(— 4)>f(1). 答案：f( — 4) > f(1) 2. (2018 •东中学检测)满足4 x-3> 16的x 的取值范围是 ______________ 解析：••• £)-3 > 16,「.貯 > £)2, •••函数y = 1 x 在定义域上是减函数, x — 3 v — 2，故 x v 1. 答案：(—3 1) 3•已知实数a , b 满足等式2 017a = 2 018b ，下列五个关系式：①O v b v a :②a v b v 0； ③O v a v b ;④b v a v 0；⑤a = b.其中不可能成立的关系式有 _____________ 个. 解析：设2 017a = 2 018b = t ,如图所示，由函数图象，可得若 t > 1, 则有a > b > 0;若t = 1,则有a = b = 0;若0v t v 1,则有a v b v 0.故① ②⑤可能成立，而③④不可能成立. 答案：2Sv a v 1, 解析：依题意，a 应满足*2— 3a v 0, 1 12 — 3a x 1 + 1》a , 解得2v a w 3. 3 4 答案：3 4解析：令u = x 2+ 1，可得f(u) = 3 u 是减函数, 而u = x 2 + 1的值域为［1 , + 3 ),•函数f(x)= 3 x 2 + 1的值域为0, 1 .答案：°, 36. (2019无锡调研)函数f(x) = 1卡2x+6的单调递增区间是 _____________ •解析：设 u(x) = x 2 — 2x + 6 = (x — 1)2+ 5，对称轴为 x = 1, 4.若函数 a x , x >1, f(x)= 2— 3a x + 1, x w 1 是R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是 5. (2019苏州中学检测)函数f(x) =1 x 2+ 1的值域为则u(x)在(1)上单调递减，在(1,+^)上单调递增， 又y = g ；在R 上单调递减，所以f(x)= 2 "-2 X + 6在(—8,1)上单调递增，在(1 , + rn )上单调递减.答案：(—8, 1)一 x7. ________________________________________________________________________ 已知函数f(x) = a (a > 0,且a 丰1)，且f( — 2) >f(— 3)，贝U a 的取值范围是 ________________解析：因为 f(x)= a 一x =寸 x ，且 f( — 2) > f( — 3),所以函数f(x)在定义域上单调递增，1所以丄> 1,a解得0 v a v 1.答案：(0,1)8. 当x € ( — 8, — 1］时，不等式(m? — m) • — 2v 0恒成立，则实数 m 的取值范围是 解析：原不等式变形为 m 2— m v 2 x ,因为函数y = 1 x 在(—8,— 1］上是减函数，当 x € (— 8 ,— 1］时，m 2— m v x 恒成立等价于 m 2— m v 2,解得—1v m v 2.答案：(一1,2)9.化简下列各式：(2) \ a 2 •O^十•^. 解：⑴原式=簷)2+ + 僚)3 -3+48=3+100+誉 3+%= 1°0， 3 7 23・2 1 373,17 1 8 4⑵原式=\/a 2 a^' a 1' a 5 = V a 7-P a 5= a 6 勺飞=a 6 = a 3 . v _ — x10. (2018苏州调研)已知函数f(x) = 3x +入3 (入€ R ). (1)若f(x)为奇函数，求 入的值和此时不等式f(x) > 1的解集；7 0.5—2 (1)(29J + a 1 +⑵若不等式f(x) w 6对x € ［0,2］恒成立，求实数 入的取值范围.解：⑴函数f(x) = 3x +入3一x 的定义域为 R因为f(x)为奇函数，所以f(- x) + f(x)= 0对？ x € R 恒成立，即 3-x + 入3x + 3x + 入3-x =(入 + 1)(3x + 3-x )= 0 对? x € R 恒成立， 所以X=- 1.由 f(x) = 3x -3-x > 1,得(3x )2- 3x - 1 > 0, 解得3x > 号色或3x <匕矿习舍去), 所以不等式f(x)> 1的解集为［x x > log 3匕学巨F .(2) 由 f(x)< 6，得 3x + 入3-x w 6，即 3x + 詐 6. 令t = 3x € ［1,9］，则问题等价于t +古6对t € ［1,9］恒成立，即入w -12+ 6t 对t € ［ 1,9］恒成立，令 g(t) =- t 2+ 6t , t € ［ 1,9］,因为g(t)在［1,3］上单调递增，在［3,9］上单调递减，所以当t = 9时，g(t)有最小值g(9) =- 27,所以入w - 27,即实数 入的取值范围为(―a,— 27］.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.当x € ［ 1,2］时，函数y = ^x 2与y = a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是 _______ . 解析：当a > 1时,如图①所示，使得两个函数图象有交点， 需满足1 22>a 2, 即卩1 <aw- "2； 当0 < a < 1时，如图②所示，需满足 1 12w a 1,即1 w a < 1.综上可知，a € 2 2 .答案：2迄'2. (2018南京调研)已知二次函数f(x)= mx 2- 2x - 3,关于实数x 的不等式f(x)w 0的解 集为[-1, n].2⑴当a >0时，解关于 x 的不等式ax + n +1 >(m + 1)x + 2ax ;⑵是否存在实数a € (0,1),使得关于x 的函数y = f(a x )— 3a"1在x € ［1,2］上的最小值为 —9?若存在，求实数 a 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)由f(x)= mx 2— 2x — 3< 0的解集为［—1, n ］知，关于x 的方程 mx 2— 2x — 3= 0的两根为—1和n ,且m >0,所以原不等式可化为(x — 2)(ax — 2) > 0.① 当a = 0时，原不等式化为(x — 2)x (— 2)>0,解得x v 2;② 当0 v a v 1时，原不等式化为(x — 2) -x — - > 0,且2v 2，解得x>?或x v 2; < a j a a③ 当a = 1时，原不等式化为(x — 2)2> 0,解得x € R 且X M 2;④ 当a > 1时，原不等式化为(x — 2) -x — - >0,且2>-,解得x v 2或x > 2.I a 丿 a a综上所述，当a = 0时，原不等式的解集为{x|x v 2};当0 v a < 1时，原不等式的解集为ix x > 2或x v 2(;L a J2当a > 1时，原不等式的解集为 ix x > 2或x v a » .(2)假设存在满足条件的实数a ,由(1)知 f(x)= x 2— 2x — 3,y = f(a x ) — 3a x +1= a 2x — (3a + 2)a x — 3. 令 a x = t , a ? w t w a ,则 y = t ?— (3a + 2)t — 3,3a + 2此函数图象的对称轴为 t = —,因为 a € (0,1)，所以 a 2v a v 1,1v v ；,所以函数y = t 2— (3a + 2)t — 3在［a 2, a ］上单调递减，所以当t = a 时，y 取得最小值，最小值为y =— 2a 2— 2a — 3 = — 9,3 1解得a = — 2(舍去)或a = n = 一,J .：— 1 x n =— 3 m ， 所以］m =1,n = 3.故存在满足条件的a, a的值为专.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测一集合的概念与运算理含解析
课时跟踪检测(一) 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018 •徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A= {x|x = 2k + 1 , k € Z}, B= {x|0 v xv 5}，则A n B= ________ .解析：因为集合A= {x|x = 2k + 1 ,k € Z}为奇数集，B= {x|0 v x v 5}，所以A n B= {1,3}. 答案：{1,3}2. 定义：满足任意元素x €代则|4 —x| € A的集合称为优集，若集合A={1 , a, 7}是优集，则实数a的值为__________ .解析：依题意，当x = 1时，|4 —x| = 3€ A,当x= 7时，|4 —x| = 3€ A所以a= 3符合条件.答案：33. (2018 •如皋高三上学期调研)集合A= {1,3} , B= {a2+ 2,3}，若A U B= {1,2,3},则实数a的值为__________ .解析：T A= {1,3} , B= {a2+ 2,3},且A U B= {1,2,3},••• a2+ 2=2，解得a= 0,即实数a的值为0.答案：04. (2018 •盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5}, B= {1,3,5,7,9} , C= A n B,则集合C的子集的个数为__________ .解析：因为A n B= {1,3,5}，所以C= {1,3,5}，故集合C的子集的个数为23= 8.答案：85. (2019 •徐州期中)已知集合A= {1,2,3,4,5}, B= {( x, y)| x€ 代 y € A, x v y, x +y€ A}，则集合B的子集个数是 _________ .解析：T集合A= {1,2,3,4,5} , B= {( x, y)| x € A, y€A, x v y, x+ y€ A},• B= {(1,2) , (2,3) , (1,3) , (1,4)},•集合B的子集个数是24= 16.答案：166. _____________________ (2019 •南通中学检测)已知集合A= {x|y = .9 —x2}, B= {x| x> a},若A n B= A, 则实数a的取值范围是.解析：因为A n B= A,所以A? B.因为A= {x| y=《9 —x2} = {x|9 —x2>0} = [ —3,3],所以[—3,3] ? [a , +s),所以a w —3.答案：(—a , —3]—保咼考，全练题型做到咼考达标1. _____________________________________________________________ （2018 •常州调研）已知⑴? A ? {1,2,3}，则这样的集合 A 有 _________________________________ 个.解析：根据已知条件知符合条件的 A 为:A = {1} , {1,2} , {1,3} , {1,2,3},•••集合A 有4个. 答案：42. _____________ （2019 •启东中学检测）已知集合 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2x v 33}，则集合 A H B 的元素个数为.x解析：因为 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2 v 33} = {0,1,2,3,4,5} ，所以 A H B = {1,2,3,4,5}，即A HB 的元素个数为5.答案：5 3.已知a wi 时，集合{x |a w x w 2- a }中有且只有3个整数，则实数 a 的取值范围是解析：因为a w 1,所以2-a > 1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数，则 a = 0，集合中有0,1,2三个整数，所以a = 0符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2v 2 — 2a v 4，解得一1 v a v 0,此时，集合中有0,1,2 三个整数，所以—1v a v 0符合题意.综上，实数a 的取值范围是（—1,0]. 答案：（—1,0]4.已知集合 A = {x |1 w x v 5}, B = {x | — a v x w a + 3}，若 B ? （A H B ）,则实数 a 的取值 范围为 ___________ .解析：因为B ? （A H E ），所以B ? A3①当 4 ?时，满足B ? A,此时一a > a + 3,即卩a w —：—a v a + 3,B ? A,贝U — a > 1,a + 3 v 5,由①②可知，实数 a 的取值范围为（一a, — 1]. 答案：（—a, — 1]5. _______________ （2018 •通州中学高三测试 ）设U = R , A = （a , a + 1） , A [0,5），若A ? ?u B,则实数 a 的取值范围是 .解析：因为？u B = （—a, 0） u [5 ,+a ），又 A ? ?u B,所以 a + 1wo 或 a >5,解得 a w —1 或 a >5.3解得—a w — 1.②当B M ?时，要使答案：（—a, —1] U [5 , +a）6. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2019 •淮阴中学检测）设全集U为实数集R,已知集合A= 压 ----------------------------27.设集合 A = {x |x — x -2w 0}, B ={x |x v 1，且 x € Z}，贝U A n B = ____________ 解析：依题意得 A = {x |( x + 1)( x — 2) w 0} = {x | — 1 w x w 2},因此 A n B= {x | — 1 w x v 1,x € Z} = { — 1,0}.答案：{ — 1,0}& (2019 •海安中学检测)已知集合 M= x 2v 1, N ={y |y = x — 1}，则(?R M ) n N解析：因为 M=£v V = ( —a, 0) U (2 ,+R ) , N= {y |y = ^/x —^} = [0 ,+^ ), 所以？R M= [0,2] , (?R M ) n N= [0,2]. 答案：[0,2]9. ______________________________________________________________________ 设全集 U = {x € N *| x w 9}, ?U (A U B = {1,3} , A n ( ?U B ) = {2,4}，贝U B = ___________________ .解析：因为全集 U= {1,2,3,4,567,8,9} ,由?U (A U B = {1,3}, 得 A U B = {2,4,5,6,7,8,9},由 A n (?u B ) = {2,4}知，{2,4} ? A, {2,4} ? 所以 B= {5,6,7,8,9}. 答案：{5,6,7,8,9}10. 已知集合 A = {x |4 w2x w 16}, B = [a ,解析：集合 A = {x |4 w2x w 16} = {x |2 2w2x w24} = {x |2 w x w 4} = [2,4]，因为 A ? B,所 以a w 2, b > 4,所以a — b w 2— 4 = — 2，即实数a — b 的取值范围是(一a,— 2].答案：(—a, — 2]2,B ={x |1 w x w 2}，则图中阴影部分所表示的集合为解析：由题意知，集合A =』x |x >2訂阴影部分表示的集合为(?U A ) n B =n{x |1 w x w 2}=认1w x w3答案：「X i w?uBb ］，若A ? B ,则实数a — b 的取值范围是11. (2019 •启东检测)已知集合A= {x| a w x w a+ 3}, B= {x|x + x —6w0},(1)当a= 0 时，求A U B, A n ?R B；(2)若A n B= A求实数a的取值范围.解：⑴当a= 0 时，A= {x|0 w x w3}，又B-{x| —3< x<2},所以?R B= {x| x v — 3 或x >2},所以A U B- {x| —3w x w 3}, A n ?R B= {x|2 v x w 3}.(2)因为A n B- A,所以A? B,a》一3,所以* 解得—3w a w —1,a + 3w 2,所以实数a的取值范围为[—3,—1].12. (2018 •南京高三部分学校联考)已知集合A- {x| x2—4x —5w 0}, A {x|2 x—6>0},M= A n B(1) 求集合M(2) 已知集合C-{x| a—1w x w7—a, a€ R}，若M n C-M求实数a的取值范围.2解：(1)由x —4x —5w0,得—1w x w 5,所以A- [ —1,5].由2x—6>0,得x>3,所以B- [3 ,+s).所以M= [3,5].⑵因为M n C- M所以M? c,—1 w 3,a贝y 7 —a>5, 解得a w2.a —1 w 7—a,故实数a的取值范围为(一g, 2].三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. _________ 已知集合A- {x| x2—2 019x + 2 018 v 0}, B- {x|log 2X< 币，若A? B,则整数m的最小值是____ .解析：由x2— 2 019x + 2 018 v 0，解得 1 v x v2 018，故A- {x|1 v x v 2 018}. 由log 2x v m,解得0v x v 2m,故B- {x|0 v x v 2m}.由A? B,可得2m>2 018 ,10 11因为2 - 1 024,2 - 2 048，所以整数m的最小值为11.答案：11—1, x € M2. 对于集合M定义函数f M(x)—对于两个集合A, B,定义集合A A B1, x?M-{x|f A(x) • f B(x) -—1}.已知A- {2,4,6,8,10} , B- {1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A A B-解析：由题意知，要使f A(x) • f B(x) -—1,必有x€ {x| x € A且x?B} U {x| x € B且x?A} -{1,6,10,12}，所以A A B- {1,6,10,12}答案：{1,6,10,12}3. 已知集合A= {x|1 v x v 3}，集合B= {x|2m< x v 1 —m}.⑴当n^—1时，求A U B；⑵若A? B,求实数n的取值范围；(3)若A n B= ?，求实数n的取值范围.解：(1)当n^—1 时，B= {x| —2v x v2},则A U B= {x| —2v x v 3}.T - n> 2n，⑵由A? B知2mc 1，解得me—2，1 —n> 3，即实数n的取值范围为(一R，—2].(3)由A n B= ?，得1①若2n> 1—n即3时，B= ?，符合题意；1 [n v -，[n v-，②若2n v 1 —n即n v 3时，需$ 3或$3〔1-nf^l 〔2rr^ 3，1 1得0w n v 3或？，即0w n v 3.综上知n>0，即实数n的取值范围为[0，+R ).。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十指数与指数函数
Earlybird课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练3 31. 3· ·612的化简结果为( )2A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选 B 原式＝3132·(2 )1 3·1216＝3 12 ·3113 ·2 3 ·41 6 ·3 16＝3 12＋ 13 ＋ 11 1 - + 6 ·23 3＝3·20＝3. 2.函数 f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中 a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选 D 法一：由题图可知 0＜a ＜1，当 x ＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得 b ＜ 0.故选 D.法二：由图可知 0＜a ＜1，f (x )的图象可由函数 y ＝a x 的图象向左平移得到，故－b ＞0， 则 b ＜0.故选 D.3．化简 4a2123 ·bab)3 ÷(－的结果为( )32a 8a A ．－ B ．－3b b6a C ．－D ．－6abb2解析：选 C 原式＝4÷ a(－3 )2 11-2- 6 a33bb3 3 ＝－6ab －1＝－，故选 C.4．设 x ＞0，且 1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C因为1＜b x，所以b0＜b x，因为x＞0，所以b＞1，a因为b x＜a x，所以(b)x＞1，a因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故选C.b4215．已知a＝( 2)3，b＝25，c＝93，则a，b，c的大小关系是() A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A a＝( 2) 43＝214×23＝223，b＝225，c＝913＝323，由函数y＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，综上得c＞a＞b.故选A.6．函数f(x)＝a x＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由0＜a＜1可得函数y＝a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0，所以0＜1－b＜1，y＝a x的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝a x＋b－1的图象，所以y＝a x＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f(x)＝Error!则函数f(x)是()A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析：选C易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.18．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝(2 )x的交点有()A．3个B．2个C．1个D．0个选解：析C因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，1y＝(2 )x＝2，1在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝(2 )x的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.99．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)x＋1＝a|x＋b|的图象为()解析：选A因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，9 9 9所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2·x＋1－5＝1，x＋1 x＋1 x＋1当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，所以a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝Error!此函数图象可以看作由函数y＝Error!的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.110．函数f(x)＝2+2+1(2 )x x的单调递减区间为________．1 1解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝1x x2+2+(2 )(2 )的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]1 111．不等式(2 )(2 )x ax＜2x+a-2恒成立，则a的取值范围是________．2+Earlybird1解析：由指数函数的性质知 y ＝(2 )x是减函数，112 +因为(2 ) (2 )所以 x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以 x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以 Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即 a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)1112．已知函数 f (x )＝(＋ x 3(a ＞0，且 a ≠1)．a x －12)(1)讨论 f (x )的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使 f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于 a x －1≠0，则 a x ≠1，得 x ≠0， ∴函数 f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意 x ，有11 f (－x )＝((－x )3＋2)a－x －1a x1＝( 2)(－x )3 ＋ 1－a x11 ＝(－1－(－x )3＋2)a x －111＝(2)x 3＝f (x )， ＋ a x －1∴函数 f (x )是偶函数． (2)由(1)知 f (x )为偶函数，∴只需讨论 x ＞0时的情况，当 x ＞0时，要使 f (x )＞0，11则(x 3＞0，＋2)a x－11 1即＋＞0，a x－1 2a x＋1即＞0，则a x＞1. 2a x－1又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.Earlybird二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义f K(x)＝Error!给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0 B．K的最小值为0C．K的最大值为1 D．K的最小值为1解析：选D根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.1 12 12．已知实数a，b满足2＞(2 )a＞(2 )b＞，则()4A．b＜2 b－a B．b＞2 b－aC．a＜b－a D．a＞b－a1 1 12 2 2 解析：选B由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，2 (2 )(2 )(2 )(2 )(2 )2 1 2 2 b故2a＜b，由(2 )b＞4，得(2 )b＞(2 )4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜22，故1＜a＜2,2＜b＜4.对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；1 1对于选项C，D，a2－(b－a)＝(a＋2 )2－(b＋4 )，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．解：令t＝a x(a＞0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)．1①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝a x∈[a，a]，1此时f(t)在[a，a]上为增函数．1 1所以f(t)max＝f(a)＝(＋1 )2－2＝14.a1 1 1所以(＋1 )2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.a 5 31②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a x∈[，a]，aEarlybird1此时 f (t )在[，a ]上是增函数．a所以 f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得 a ＝3或 a ＝－5(舍去)． 1 综上得 a ＝ 或 3.3(二)交汇专练——融会巧迁移a ＋b4．[与基本不等式交汇]设 f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若 p ＝f ( ab )，q ＝f( 2 )，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qa ＋ba ＋b解 析：选 C ∵0＜a ＜b ，∴＞ ab ，又 f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f( 2 )2＞f ( ab )，即 q ＞p .又 r ＝ f af b ＝ e a e b ＝ea －b2 ＝q ，故 q ＝r ＞p .故选 C. 115．[与一元二次函数交汇]函数 y ＝(4 )x －(2 )x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．1解析：令 t ＝(2 )x ，1因为 x ∈[－3,2]，所以 t ∈[，8 ]，4 13 故 y ＝t 2－t ＋1＝(t －2 )2＋ . 41 3 当 t ＝ 时，y min ＝ ；2 4 当 t ＝8时，y max ＝57.3 故所求函数的值域为[，57].43 答案：[，57]4－2x ＋b6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为 R 的函数 f (x )＝ 是奇函2x ＋1＋a数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，Earlybird－1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.2＋a－2x＋1从而有f(x)＝.2x＋1＋a1 －＋1－2＋1 2又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.4＋a1＋a－2x＋1 1 1(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，1从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.31(－∞，－3).故k的取值范围为。
(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)
( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋ 记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b， 则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max， 令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若
2020江苏高考数学一轮复习学案：第11课__指数与指数运算 含解析.docx
____第11课__指数与指数运算____1. 会进行根式与分数指数幂的互化．2. 能利用分数指数幂的运算性质进行幂的运算.1. 阅读必修1第59～61页，理解分数指数幂的定义， 思考n a n ＝a 一定成立吗？2. 将教材第61页例2、例3做一遍，熟悉根式与分数指数幂的互化．3. 选做教材第62页练习第2，3，4，5题并总结根式与分数指数幂互化的注意点.基础诊断1. 判断正误．(1) (1－2cos 60°)0＝1()；解析：(1－2cos 60°)0＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2×120＝00，故错误． (2) 6（－5）2＝3－5( )；解析：6（－5）2＝35，故错误． (3) 6（－8）6＝－8( )；解析：6（－8）6＝8，故错误． (4) （π－4）2＋3（π－5）3＝π－4＋π－5＝2π－9( )．解析：（π－4）2＋3（π－5）3＝4－π＋π－5＝－1，故错误．2. 化简[(－2)6]12－(－1)0的值为__7__．解析：原式＝(26)12－(－1)0＝23－1＝7.3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748＝__100__．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫433－23－3＋3748＝100. 4. 化简：8b 8＋8（a ＋b ）8＋7（a －b ）7(a<0，b<0)．解析：原式＝|b|＋|a ＋b|＋(a －b)．因为a<0，b<0，所以原式＝－b ＋(－a －b)＋(a －b)＝－3b.范例导航考向❶ 有理数指数幂的化简与求值例1 计算或化简下列各式：(1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2) 15＋2－(3－1)0－9－4 5. 解析：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－323×()－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－10×15－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10×(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679. (2) 原式＝5－2－1－（5－2）2＝5－2－1－(5－2)＝5－2－1－5＋2＝－1.化简a 3b 23ab 2⎝⎛⎭⎫a 14b 124a －13b 13(a>0，b>0)的结果为__b ．解析：原式＝a 32b ·a 16b 13ab 2·a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b1＋13－2－13＝ab －1＝a b . 考向❷ 有理数指数幂与方程的简单综合例2 已知a ，b 是方程92－82＋9＝0的两个根，且a<b ，求下列式子的值：(1) a －1＋b －1（ab ）－1； (2) 3a 72a －3÷3a －8·3a 15.解析：因为a ，b 是方程的两根，而由92－82＋9＝0，解得1＝19，2＝9，且a<b ，故a ＝19，b ＝9. (1) a －1＋b －1（ab ）－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab 1ab＝a ＋b. 因为a ＝19，b ＝9，所以a ＋b ＝829，即原式＝829. (2) 原式＝a 72×13·a －32×13÷[a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83×12·a 153×12] ＝a 76＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－36÷(a －86＋156) ＝a 23÷a 76＝a 23－76＝a －12. 因为a ＝19，所以原式＝3. 已知α，β为方程22＋3＋1＝0的两个根，求⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β的值． 解析：因为α，β为方程22＋3＋1＝0的两个根，所以α＋β＝－32， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×()－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β的值为8. 考向❸ 有理数指数幂与基本对称式的简单综合例3 若12＋－12＝3，求x 32＋x －32＋2x ＋x －1＋3的值． 解析：因为12＋－12＝3，所以(12＋－12)2＝9，所以－1＋＝7， 所以原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）＋2x ＋x －1＋3＝3×（7－1）＋27＋3＝2.自测反馈1. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝__32__． 解析：原式＝32＋1－49×94＝32. 2. 计算：[(1－2)2]12－(1＋2)－1＝__0__．解析：原式＝(2－1)2×12－11＋2＝2－1－(2－1)＝0. 3. 下列结论中正确的有__③__．(填序号)①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②n a n ＝|a|；③若100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝1；④函数y ＝(－2)12－(3－7)0的定义域是(2，＋∞)．解析：①当a<0时，(a 2)32>0，a 3<0，(a 2)32≠a 3，故①错误；②当n 为奇数且a<0时，n a n ＝a ，故②错误；③正确；④定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，73∪(73，＋∞)，故④错误． 4. 若a>1，b>0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为__2__．解析：因为(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝4，又因为a>1，b>0，所以a b >1，0<a －b <1，所以a b －a －b ＝2.1. 当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a|，负数无偶次方根，0的正数次幂都为0.2. 指数幂的化简原则：(1) 化负数指数幂为正数指数幂；(2) 化根式为分数指数幂；(3) 化小数为分数．指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负数指数幂．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十六)数学归纳法理(含解析)苏教版
所以 ak＋2＜ ak＋1，即当 n＝ k＋ 1 时，命题成立． 由 (1)(2) 可知，当 n∈ N* 时， an＋1＜ an.
10．(2019 ·南京模拟 ) 把圆分成 n( n≥3) 个扇形，设用 4 种颜色给这些扇形染色，每个
扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有
f ( n) 种方法．
即当 n＝ k＋ 1 时，等式也成立． 综上， f ( n) ＝ 3n＋( － 1) n·3( n≥3) ．
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019 ·无锡中学检测 ) 将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第
n 行的 n 个数之
和为 an.
4
(1) 设 Sn＝ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a ( 2n－1 n∈ N*) ，计算 S2， S3， S4 的值，并猜想 Sn 的表达式；
＋ ＋ ＋…＋
a a a n
n＋1
n＋2
a
n2
与 3的大小关系．
解： (1) a2＝ 4， a3＝ 7， a4＝ 10，
5
猜想： an＝ 3n－ 2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝ 1 时， a1＝1，结论成立． ②假设当 n＝ k( k≥1， k∈N*) 时，结论成立，即 ak＝ 3k－ 2， 当 n＝k＋ 1 时，
－1 1
11
11
b2＝
1－
＝ 4×１
， 3
a2＝ 1×
＝ ，所以 33
P2
3，3
.
y＋1 x－1 所以直线 l 的方程为 1 ＝ 1 ，即 2x＋ y＝1.
3＋1 3－1
(2) 证明：①当 n＝ 1 时， 2a1＋ b1＝2×1＋ ( － 1) ＝ 1 成立． ②假设 n＝ k( k≥１且 k∈N* ) 时， 2ak＋bk＝ 1 成立．
高考数学一轮复习 课时跟踪检测(九)指数与指数函数 理(重点高中)
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．化简4a 23·b 3-1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 3-1b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b 1--233＝－6ab －1＝－6a b，故选C.2.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 221＋－的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t .因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t为关于t 的减函数．因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．3.若函数f (x )＝2x＋b －1(b ∈R)的图象不经过第二象限，则b 的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0]解析：选D 因为当x <0时，y ＝2x∈(0,1)．又函数f (x )＝2x＋b －1(b ∈R)的图象不经过第二象限， 则有b －1≤－1，解得b ≤0.故选D.4.(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )解析：选B y ＝|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x ＜1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选B 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1，所以－12a ，－－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0.所以实数a 的取值范围是[－3,0)．6.不等式2x x22－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 解析：不等式2x x22－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 22－>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4.答案：{x |－1<x <4}7.已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案：(0,1)8.已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.令h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.答案：29.化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-32－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a 3-2÷3a3-2·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a -16＝a 86＝a 43.10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值是94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t是单调递减的，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级——拔高题目稳做准做1．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )解析：选B 作出y ＝2|x |的图象，如图，结合选项知a ≤0， ∵当a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，∴－4≤a ≤0，∴2|b |＝16.即b ＝4，故－4≤a ≤0，且＝4，故选B.2.(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)＜g (3)＜g (2)B ．g (π)＜g (2)＜g (3)C ．g (2)＜g (3)＜g (π)D ．g (2)＜g (π)＜g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，所以函数f (x )在R 上单调递减．∵g (x ＋2)为偶函数，∴g (－x ＋2)＝g (x ＋2)， ∴g (3)＝g (1)，g (π)＝g (4－π)，∵4－π<1<2， 当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )单调递减，∴g (2)<g (1)<g (4－π)，即g (2)<g (3)<g (π)．3.(2018·濮阳二检)若“m ＞a ”是函数“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：∵f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∴“m ＞a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a ＜－23，则实数a 能取的最大整数为－1.答案：－1 4．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R)满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R)满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x ) 的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m ＜n ≤1或1≤m ＜n 时，离对称轴越远，m 与n 差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x的性质知极限值为0.当m ＜1＜n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值是2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．答案：(0,4] 5.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋1a x －＞0，则a x＞1.又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0. 6.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十对数与对数函数理含解析
课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝(－)的定义域为．解析：由－＞，解得＞，所以函数()的定义域为.答案：．函数()＝(－＋)的值域为．解析：令＝－＋＝(－)＋≥，故函数()可化为＝，≥，此函数是一个增函数，其最小值为＝，故()的值域为[，＋∞)．答案：[，＋∞)．计算＋()＝.解析：＋()＝)·)＋＝＋＝＋＝.答案：．(·长沙调研)已知函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点，若点也在函数()＝＋的图象上，则()＝.解析：∵函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点(－，－)，将＝－，＝－代入()＝＋，得－＋＝－，∴＝－，∴()＝－，则()＝－＝－＝.答案：．若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域是[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，＝－＋≥.因为()的值域为[，＋∞)，所以当＞时，＋＞＋≥，所以≥，所以＜≤；当＜＜时，＋＜＋，不合题意．故∈(]．答案：(]．(·镇江期末)已知函数()是定义在上的奇函数，当＞时，()＝－，则不等式()＜的解集是．解析：当＜时，()＝－(－)＝(－)－，()＜，即(－)－＜，解得－＜＜；当＞时，()＝－，()＜，即－＜，解得＞，综上，不等式()＜的解集是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·镇江中学调研)函数＝＋(－)的值域为．解析：由题意知，＞且－＞，∴()的定义域是()．∵函数()＝＋(－)＝[(－)]，∴＜(－)≤＝，当且仅当＝时等号成立．∴[(－)]≤，∴函数＝＋(－)的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·镇江中学学情调研)已知函数()＝的定义域是，则实数的值为．解析：因为函数()＝的定义域是，所以当＞时，－＞，即＜，所以＜，所以＞.令＝，得＝＝，所以实数的值为.答案：．若函数()＝(－＋＋)在区间(－∞，]上递减，则的取值范围为．解析：令函数()＝－＋＋＝(－)＋＋－，对称轴为＝，要使函数在(－∞，]上递减，则有(\\(＞，≥，))即(\\(－＞，≥，))解得≤＜，即∈[)．答案：[)．(·连云港模拟)已知函数()＝，若()＝，则(－)＝.解析：因为()＝的定义域为－＜＜，所以(－)＝＝－＝－()，所以()为奇函数，所以(－)＝－()＝－.答案：－．函数()＝＋的定义域为．解析：由(\\(－≥，,(－＋－)＞，))得(\\(－≤≤，＞且≠，))故函数定义域为()∪(]．答案：()∪(]．(·苏州调研)若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域为[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，()∈[，＋∞)，所以当＞时，()的取值集合⊆[，＋∞)．当＜＜时，＝，不符合题意；当＞时，＝(＋，＋∞)，若⊆[，＋∞)，则有＋≥，解得＜≤.答案：(]．函数()＝·()的最小值为．解析：依题意得()＝·(＋)＝()＋＝－≥－，当且仅当＝－，即＝时等号成立，因此函数()的最小值为－.答案：－．设函数()＝(\\(，＞，－，＜，))若()＞(－)，则实数的取值范围是．解析：由()＞(－)得(\\(＞，＞))或(\\(＜，－＞－，))即(\\(＞，＞－))或(\\(＜，,－－＞－))解得＞或－＜＜.答案：(－)∪(，＋∞)．已知函数()是定义在上的偶函数，()＝，当＞时，()＝.()求函数()的解析式；()解不等式(－)＞－.解：()当＜时，－＞，则(－)＝(－)．因为函数()是偶函数，所以(－)＝()．所以函数()的解析式为()＝(\\(，＞，，＝，－，＜.))()因为()＝＝－，()是偶函数，所以不等式(－)＞－可化为(－)＞()．又因为函数()在(，＋∞)上是减函数，所以－＜，解得－＜＜，即不等式的解集为(－，)．．(·如东上学期第一次阶段检测)已知函数()＝(＋)＋(－)(＞且≠)，且()＝. ()求的值及()的定义域；()若不等式()≤恒成立，求实数的取值范围．解：()因为()＝，所以＝，故＝，所以()＝(＋)＋(－)，要使函数()有意义，需有(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜，所以()的定义域为(－)．()由()知，()＝(＋)＋(－)＝[(＋)(－)]＝(－＋＋)＝[－(－)＋]，故当＝时，()有最大值，所以的取值范围是[，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·南京五校联考)已知函数()＝＋－(＜)与()＝＋(＋)，若函数()图象上存在点与函数()图象上的点关于轴对称，则的取值范围是．解析：设点(，)(＜)，则点关于轴的对称点(－，)在函数()的图象上，所以(\\(＝\()＋－()，＝－＋－＋，))消去，可得＋－＝(－)＋(－＋)，所以－＝(－＋)(＜)．令()＝－(＜)，()＝(－)(＜)，问题转化为函数()与函数()的图象在＜时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数()与函数()的图象如图所示．当()＝(－)的图象过点时，＝.由图可知，当＜时，函数()与函数()的图象在＜时有交点．故的取值范围为(－∞，)．答案：(－∞，)．(·昆山测试)已知函数()＝(∈)．()当＝时，求函数()的值域；()当＞时，求函数()的定义域；()若函数()在区间[，＋∞)上是单调增函数，求实数的取值范围．解：()当＝时，()＝，定义域为(－∞，)．因为函数＝(＜)的值域为(，＋∞)，所以()＝的值域为.()因为＞，所以关于的不等式＞⇔(－)(－)＞⇔(－)＞.(*)①若＜＜，则＞，不等式(*)的解为＜或＞；②若＝，则不等式(*)即(－)＞，其解为≠；③若＞，则＜，不等式(*)的解为＜或＞.综上，当＜≤时，函数()的定义域为(－∞，)∪；当＞时，函数()的定义域为∪(，＋∞)．()令()＝，则()＝ ()．因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数＞，所以当∈[，＋∞)时，()＞，且函数()在[，＋∞)上是单调增函数．而()＝＝＝＋，若－≥，则函数()在[，＋∞)上不是单调增函数；若－＜，则函数()在[，＋∞)上是单调增函数．所以＜.①因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，所以要使当∈[，＋∞)时，()＞，必须()＞，即＞，解得＞.②综合①②知，实数的取值范围是.。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十指数与指数函数含解析
课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练1.3·332·612的化简结果为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 原式＝312·⎝ ⎛⎭⎪⎫3213·1216 ＝312·313·2-13·416·316＝312＋13＋16·211-+33＝3·20＝3.2.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 法一：由题图可知0＜a ＜1，当x ＝0时，a －b∈(0,1)，故－b ＞0，得b ＜0.故选D.法二：由图可知0＜a ＜1，f (x )的图象可由函数y ＝a x的图象向左平移得到，故－b ＞0，则b ＜0.故选D.3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ⎛⎫⎪⎝⎭21-33b -12-33＝－6ab －1＝－6a b ，故选C.4．设x ＞0，且1＜b x ＜a x，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C 因为1＜b x，所以b 0＜b x，因为x ＞0，所以b ＞1， 因为b x＜a x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx ＞1，因为x ＞0，所以a b＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a .故选C.5．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝214×23＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ， 由函数y ＝2x在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .故选A.6．函数f (x )＝a x＋b －1(其中0＜a ＜1，且0＜b ＜1)的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由0＜a ＜1可得函数y ＝a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b ＜1，所以－1＜b －1＜0，所以0＜1－b ＜1，y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象，所以y ＝a x＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x，－f (x )＝2－x－1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x，此时－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.8．二次函数y ＝－x 2－4x (x ＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的交点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C 因为二次函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x ＞－2)，且x ＝－1时，y ＝－x 2－4x ＝3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，在坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x ＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C. 9．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：选A 因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1， 所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 9x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间为________．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]11．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立， 所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0， 即a x ＋1a x －＞0，则a x＞1.又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ，fx ＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1， ∴K ≥1，故选D.2．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，故2a ＜b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4.由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b 2＜2，故1＜a ＜2,2＜b ＜4. 对于选项A 、B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)＞0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1＜a ＜2,2＜b ＜4，故该式的符号不确定，故C 、D 错误．故选B.3．设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x(a ＞0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与基本不等式交汇]设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选C ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又f (x )＝e x在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f a f b ＝e a e b＝e－a b 2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.5．[与一元二次函数交汇]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．解析：令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，576．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十对数与对数函数理含解析
课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：由3x －1＞0，解得x ＞13，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞2．函数f (x )＝log 3(x 2－2x ＋10)的值域为________．解析：令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9≥9，故函数f (x )可化为y ＝log 3t ，t ≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log 39＝2，故f (x )的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞) 3．计算log 23log 34＋(3)3log 4＝________.解析：log 23 log 34＋(3)3log 4＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋331log 42＝2＋33log 2＝2＋2＝4. 答案：44．(2019·长沙调研)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，将x ＝－2，y ＝－1代入f (x )＝3x ＋b ，得3－2＋b ＝－1，∴b ＝－109，∴f (x )＝3x －109，则f (log 32)＝33log 2－109＝2－109＝89. 答案：895．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]． 答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )＜0，即log 2(－x )－1＜0，解得 －2＜x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )＜0，即1－log 2x ＜0，解得x ＞2，综上，不等式f (x )＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·镇江中学调研)函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为________． 解析：由题意知，x ＞0且4－x ＞0，∴f (x )的定义域是(0,4)． ∵函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2[x (4－x )]， ∴0＜x (4－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．∴log 2[x (4－x )]≤2，∴函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以当x ＞12时，1－a 2x ＞0，即a 2x ＜1，所以a＜2x，所以x ＞log 2a .令log 2a ＝12，得a ＝212＝2，所以实数a 的值为 2.答案： 23．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在 (－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析：因为f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1＜x ＜1，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－12.答案：－125．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x ＞2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0＜a ＜1时，A ＝()－∞，log a 2＋5，不符合题意；当a ＞1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1＜a ≤2.答案：(1,2]7．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－148．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)若不等式f (x )≤c 恒成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为f (1)＝2，所以2log a 2＝2， 故a ＝2，所以f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )，要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以f (x )的定义域为(－1,3)．(2)由(1)知，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2(－x 2＋2x ＋3) ＝log 2[－(x －1)2＋4]， 故当x ＝1时，f (x )有最大值2， 所以c 的取值范围是[2，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南京五校联考)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )，若函数f (x )图象上存在点P 与函数g (x )图象上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．解析：设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，则点P 关于y 轴的对称点Q(－x 0，y 0)在函数g (x )的 图象上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20＋ex 0－12，y 0＝－x 02＋－x 0＋a ，消去y 0，可得x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，所以e x0－12＝ln(－x 0＋a )(x 0＜0)．令m (x )＝e x－12(x ＜0)，n (x )＝ln(a －x )(x ＜0)，问题转化为函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数m (x )与函数n (x )的图象如图所示．当n (x )＝ln(a －x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，a ＝ e. 由图可知，当a ＜e 时，函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点． 故a 的取值范围为(－∞，e)． 答案：(－∞，e)2．(2018·昆山测试)已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R)． (1)当k ＝0时，求函数f (x )的值域； (2)当k ＞0时，求函数f (x )的定义域；(3)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝lg 11－x ，定义域为(－∞，1)．因为函数y ＝11－x (x ＜1)的值域为(0，＋∞)，所以f (x )＝lg 11－x 的值域为R.(2)因为k ＞0，所以关于x 的不等式kx －1x －1＞0⇔(x －1)(kx －1)＞0⇔(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ＞0.(*) ①若0＜k ＜1，则1k＞1，不等式(*)的解为x ＜1或x ＞1k；②若k ＝1，则不等式(*)即(x －1)2＞0，其解为x ≠1； ③若k ＞1，则1k ＜1，不等式(*)的解为x ＜1k或x ＞1.综上，当0＜k ≤1时，函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞；当k ＞1时，函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1k ∪(1，＋∞)．(3)令g (x )＝kx －1x －1，则f (x )＝lg g (x )． 因为函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10＞1，所以当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，且函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 而g (x )＝kx －1x －1＝k x －＋k －1x －1＝k ＋k －1x －1， 若k －1≥0，则函数g (x )在[10，＋∞)上不是单调增函数； 若k －1＜0，则函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 所以k ＜1.①因为函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，必须g (10)＞0， 即10k －110－1＞0，解得k ＞110.②综合①②知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.。
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课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4的解集为________． 解析：不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t(a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，2－3a ×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________．解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a -23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x ＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3x ≤6. 令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立， 即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m ，－1×n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a 或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。