巧思妙解的两个途径——一般化与特殊化
竞赛常用方法(2)
高一 ·联赛班·秋季第14讲·学生版1第十四讲 竞赛常用方法(2)本讲概述1. 特殊化与一般化特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。
华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。
特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。
推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转化为维数较高、抽象程度较强的问题，通过整体性质或本质关系的考虑，而使问题获得解决，离散的问题可以一般化用连续手段处理，有限的问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的细节而掩盖了问题的关键，一般情况则更明确地表达了问题的本质。
波利亚说：“这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。
”希尔伯特还说：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不过是一连串有关问题的一个环节。
2. 数字化与有序化数字化的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算。
当题目出现多参数、多元素(数、字母、点、角、线段等)时，若按一定的规则(如数的大小，点的次序等)，将其重新排列，则排序本身就给题目增加了一个已知条件(有效增设)，从而大大降低问题的难度。
特别是处理不等关系时，这是一种行之有效的技巧。
3. 整体考虑在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。
数学题本身是一个子系统，在解题中，注意对其作整体结构的分析，从整体性质上去把握各个局部，这样的解题观念或思考方法，称为整体处理。
解决问题的两柄利剑：“特殊化”与“一般化”
殊 化” 将 抽象 的字 母 ， 转 化 为具 体 的数 字 ， 问
一
、
特殊化 ： 退 一步 海 阔天 空
题 解决 自然 简 单 ． 当然 ， 虽 然“ 特殊化” 求 得
所 谓“ 特殊化” ， 可 以简 单 地 理 解 为 ： “ 从 答 案 ， 但 我们 不 能 放弃 探 寻一 般 情 形 的解 题
一
般 问题 中抽取 特 殊 情 形 ， 充 分 利 用 特 殊 情 路 径 ． 上述 求 解 过 程 之 所 以 “ 流畅” ， 是 因 为
形 的简 单 性 去 认 识 复 杂 事 物 ． ” 学会 “ 特 殊 将 三个 相 等 的对 数 式 均 取 了特 殊 值 “ 一１ ” ， 化” 能 将 抽 象 的数 学 命 题 变 得 具 体 而 简 单 ， 我 们 尝试用 字母 “ 一 （ ＞Ｏ ） ” 代替 “ 一１ ” ．
ｌ ｏ ｇ ｃ ＜Ｏ ” 如何 加 工 呢？ 如果 我 们 没有 思 路 ， 可 以采 用“ 特殊 化 ” 的手 段． 三 个 相 等 的对 数 值 都小 于 ０ ， 不 妨取 “ 一１ ” （ 这 样最 简 单 ） ． 即：
到数 学试 卷 时 ， 总感 觉这些题都是 新 的， 心
中不无 感 慨 ： 是命题 老师太厉 害了， 还 是 数
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由 ａ 专 一 （ 吉 ） ＞ （ 告 ） 一 口 专 一 按原 来 的顺 序 构 成 的 数 列 ｛ ｎ 一 ） 成 等 差 数
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Ｉ新 高考 数 学
2、数学思想方法之特殊与一般含答案
数学思想方法之特殊与一般1．特殊化思想对于某个一般性的数学问题，对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，那么可以先解决它的特殊情况，即从即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想. 2．一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，先解决一般情形，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想. 一、一般问题特殊化一、一般问题特殊化【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1P A QC =，则四棱锥B APQC -的体积为的体积为（Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图2-18,因为1P A QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQCB P AC Q VV--=.又1111133B A BC VV V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQCV V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1P A QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10P A QC =®，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方AB CA 1B 1C 1PQ]p p p p p]4p6p aD B A y C o E 二、特殊问题一般化二、特殊问题一般化【例5】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=（Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数如果把,a b 看成是两个母用字母表则表示的数，则它是它们也是确知确定的，已知的的.于是由()f a b =，得1lg 1ab a-=+.又1()lg 1a f a a +-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1aa+-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1aa -+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a aa a a-+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=×==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-. 练习题1．（北京卷）对任意的锐角b a ,，下列不等式关系中正确的是（A ）b a b a sin sin )sin(+>+ （B ） b a b a cos cos )sin(+>+ （C ）b a b a sin sin )cos(+<+ （D ）b a b a cos cos )cos(+<+ 答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==b a 30°，再令==b a 1°. 2．（天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a Î=+，设n b n a c =（*N n Î），则数列{}n c 的前10项和等于项和等于（A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n. 4．（上海卷） 若关于x 的不等式4)1(42+£+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有总有（A ）M M ÎÎ0,2 （B ）M M ÏÏ0,2 （C ）M M ÏÎ0,2（D ）M M ÎÏ0,2 答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4£x . 5．（福建卷）已知1=OA ，3=OB ，0=·OB OA ，点C 在AOB Ð内，且30=ÐAOC ，设),(R n m OB n OA m OC Î+=，则n m 等于等于 （A ）31 （B ）3 （C ）33（D ）3 答案：（B ）. 提示，提示，取特殊位置，由取特殊位置，由0=·OB OA ，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ，则=a c o s __________.答案：36. 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 9（福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ¢¢>>，，则0x <时（时（ ）A ．()0()0f x g x ¢¢>>，B ．()0()0f x g x ¢¢><，C ．()0()0f x g x ¢¢<>，D ．()0()0f x g x ¢¢<<， （提示：取2(),()f x x g x x ==）8、（全国1理9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0=0，，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| b i |=2| a i |，且a i 顺时针旋转30以后与b i 同向，其中i=1i=1、、2、3则（则（ ））A 、-b 1+b 2+b 3=0B 、b 1-b 2+b 3=0C 、b 1+b 2-b 3=0D 、b 1+b 2+b 3=0 （提示：因为a 1+a 2+a 3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。
【精选】浅谈一般化、特殊化
东北师范大学远程与继续教育学院网络教育本科毕业论文题目浅谈一般化,特殊化学生姓名熊辉专业数学教育年级0402级学习中心陕西汉中教育学院奥鹏学习中心 [8]学号04025042704045指导教师沈广艳通讯地址陕西省南郑县黄官中学2006年12月10 日浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学熊辉[摘要]：特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。
[关键词]：一般化特殊化抽象认识作用反思启示1 对一般化、特殊化的基本认识1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用．具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式．文[1]1．1．1 “一般化”(generalization)也可称为“弱抽象”，指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例．由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程；另外，除真实的事物和现象以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”和“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程．弱抽象在数学中有着十分广泛的应用．例如，数学中有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就可看成一个“弱抽象概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的．例如，如果用符号“—（-）→”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有(图1)：对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此为定义构建出新的、更为一般的对象．1．1．2 “特殊化”(specialization)也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例．例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例．与弱抽象的情况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子．一般地说，这往往是与概念的澄清(分化)直接相联系的．就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合．强抽象的最终表现形式也是较为简单的．但是，就实际的数学研究过程而言，这又往往并非是现成概念的简单组合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论．具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形中引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象．例如：通过曲线(点)与方程(数组)之间建立对应关系，我们就可依据方程的类别(一次方程、二次方程)去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的．1．1．3 弱抽象和强抽象的关系文[2]第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法．从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程．由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解．用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高一些．弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而其实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念，更贴近学生的思维水平，更容易理解。
论数学问题解决中特殊化与一般化的辩证关系
论数学问题解决中特殊化与一般化的辩证关系数学问题解决中，特殊化和一般化是两个重要的方法。
特殊化是指将一个问题转化为特定情况下的问题进行研究，而一般化则是将特定情况下的问题推广为一般情况进行研究。
这两种方法在数学问题解决中相互依存、相互促进，起到了非常重要的作用。
首先，特殊化是解决数学问题的基本手段之一。
由于数学问题的复杂性和多样性，我们通常需要将问题转化为某些特殊情况下的问题进行研究。
这样做的好处在于可以减少问题的复杂程度，使问题更加容易理解和解决。
例如，在解决某个数学问题时，我们可以将该问题特殊化为只涉及正整数的情况，或者只涉及偶数的情况。
这样做不仅可以简化问题，还可以使我们更加深入地理解问题的本质。
然而，特殊化也有其局限性。
当我们只关注特定情况下的问题时，有可能会忽略一些重要的信息和规律，导致我们无法将问题推广到更一般的情况。
因此，一般化也是解决数学问题的重要方法之一。
一般化是将特定情况下的问题推广为一般情况进行研究。
这种方法常常需要更加深入的数学知识和技巧，但是其有助于我们发现问题的一般规律，从而更好地理解问题的本质。
例如，在研究某个数学问题时，我们可以将该问题推广为更一般的情况，如实数或复数范围内的情况。
这样做不仅可以帮助我们发现问题的一般规律，还可以使我们更好地理解问题的本质。
总之，特殊化和一般化是解决数学问题的两种重要方法。
这两种方法相互依存，相互促进，有助于我们更好地理解和解决数学问题。
我们应该在解决数学问题时恰当地运用这两种方法，以便更好地发现问题的本质和规律。
特殊与一般的思想
特殊与一般的思想Revised on November 25, 2020、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一 常规方法 如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PA C Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=. 方法二 特殊化的方法.A BCA 1B 1C 1P Q仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg1a b a -=+.又1()lg 1a f a a +-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a+-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312f b -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a-+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB ODA OBC OAB S S S S ∆∆∆∆---=1 θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[ 分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a解：取31=a，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图， 显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； 再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图，0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）.评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法. 解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【例10】若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥ （提示：取1a =±）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况. 解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间.图（3）图（2）图（1）令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，；令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，；从而选C.【例13】（07上海）．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0 B ．1 C ．p q D ．11p q -- 【分析及解】取1,2p q ==，得从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f__________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范 围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时 （图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. αDC B A有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）. 评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.。
一般化与特殊化策略在数学上的几个应用-教育文档资料
大凡化与分外化策略在数学上的几个应用回顾我们处理数学问题的过程和经验发现，我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决。
因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法利于问题的解决。
这就是我们所说的应用化归来解决数学问题的一个严重方法。
大凡化与分外化策略是化归思想中的一个比较突出的思维方法，对我们解决较繁复、难度较大的数学问题有很大的帮助。
下面我就从几个例子的应用来说明。
具体来讲，大凡化与分外化策略是从“分外到大凡”和从“大凡到分外”。
这道题可以直接证明，但是我们通过考虑它的大凡情况来证明更为简单。
比较与n!的大小，从这种将待解?p待证问题看成分外问题，通过对它的大凡形式问题的解决而得到原问题解的化归策略就是大凡化策略。
与此相反，对于待解或待证问题，先解决它的分外情况，然后把解决分外情况的方法或结果应用到大凡情况，使原问题获解的策略就是分外化策略。
下面我们看一个例子。
例2：给定平面上n个点，证明可以作n+1个同心圆。
满足条件：①这n+1个同心圆的半径都是其中最小半径的整数倍；②这n+1个同心圆所成的圆环中，每个圆环恰含一个已知点。
解：该问题的解决分两步，先解决其分外情况，再把大凡情况化归为分外情况解决。
大凡情况可化归为上述分外情况来解决。
对于平面上n个点，联结两点的线段的垂直平分线至多有C条。
我们可取异于这无限条垂直平分线的直线L为x 轴，再取异于这n个已知点，且异于垂直平分线与L交点的点为原点O，则O 点到n个已知点的距离各不相同，问题也就可以化归为n个点在同一直线的情况。
大凡化策略不仅有助于命题的推广，而且是解决问题的有效途径。
这是因为，大凡化命题中的结构和规律更为清晰。
运用大凡化策略的关键是仔细观察、分析问题的特征，从中找出能使命题大凡化的因素。
另一种意义下的大凡化是标准型化，即把标准形式的东西看作大凡，凡是化归为标准形式处理问题的策略都看作为大凡化。
数形转换也是把大凡转化分外的一种常用办法，如：分析：从已知条件中的结构关系，挖掘分外因素，实现数形转换。
特殊一般互转化,妙用思想趣解题
数学有数特殊一般互转化，妙用思想趣解题■东华理工大学理学院陈国林克莱因在《西方文化中的数学》中说过：“数学是一种精神，一种理性的精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵.”对于数学问题的求解与讨论，则就需要这种思维和这种理性的精神.特殊化和一般化思想作为数学思想中的两类重要的思想方法，对数学的思维逻辑培养起着至关重要的作用.下面我们具体的实例来去探究特殊与一般思想的重要性.一、特例检验、逐项排除例1.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y=log5z＞0，则x２，y ３，z5的大小关系不可能是（）A.x２＜y３＜z5B.y３＜x２＜z5C.x２＝y３＝z5D.z５＜y３＜x２【解析】取x＝2，则由log2x＝log3y=log5z得y＝3，z＝5，此时易知x２＝y３＝z5，所以选项C有可能正确.取x＝4，则由log2x＝log3y=log5z得y＝9，z＝25，此时易知x ２＜y３＜z5，所以选项A有可能正确.取x＝2姨，则由log2x＝log3y=log5z得y＝3姨，z＝5姨，此时易知z5＜y３＜x２，所以选项D有可能正确.综上，利用排除法可知本题应选B（即y3＜x2＜z5不可能）.【点评】将问题进行特殊化往往会使得问题更容易解决，特殊化法是解决选择填空题的最有力的手段，通过引入特例，对各选项再进行分析，结合排除法即可轻松选出正确选项.常见的特殊化法有选取特殊值、特殊元素、特殊位置、特殊图形和特殊数列.二、考察极端、运用极限例2.双曲线x2-y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点A的任意一点，则直线PF斜率的变化范围是（）.A.（-∞，-1）∪（1，+∞）B.（-∞，0）C.（-∞，0）∪（1，+∞）D.（1，+∞）【解析】如图所示，当P→A时，PF的斜率k→0.当PF⊥x轴时，PF的斜率不存在，即k→±∞.当P在无穷远处时，PF的斜率k→1.结合四个备选项可知，故选C.【点评】选择运动变化中的极端值，往往能够达到以动转静的效果，这将大大降低了解题的难度，从有限到无限，从一般到特殊能够很好地避开抽象、复杂的数学运算，将其转化为考察极端的特例.三、特殊入手，再探一般【例3】已知椭圆C：x２a２＋y２b２＝1（a＞b＞0）的离心率为3姨２，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．【解析】（1）由题意知，e＝ca＝3姨２，b２+c２姨＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝3姨，b＝1，所以椭圆C的方程为x２4＋y2＝1.（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±25姨5，此时，原点O到直线AB的距离为25姨5.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2）．由x24+y2＝1，ｙ＝kx+mm，得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝16（1＋4k2－m2）＞0，x1＋x2＝－8km1+4k2，x1x2＝4m2-41+4k2，则y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝m2-4k21+4k2，由OA⊥OB得k OA·k OB＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，所以x1x2＋y1y2＝5m2-4-4k21+4k2＝0，即m2＝45（1＋k2），yFA xPO282021年第3GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第3ED CBF A所以原点O 到直线AB 的距离为m 1＋k2姨＝25姨5.综上，原点O 到直线AB 的距离为定值25姨5.【点评】先以直线AB 的斜率不存在时为特例，求出原点O 到直线AB 的距离，从而知晓所求定值，为进一步探寻直线AB 的斜率存在时，原点O 到直线AB 的距离为25姨5指明了方向.四、明确一般，特殊必然【例4】已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ21+ｘ2，则ｆ（1）+ｆ（2）+ｆ（12）+ｆ（3）+ｆ（13）+ｆ（4）+ｆ（14）的值为.【解析】因为ｆ（ｘ）+ｆ（1ｘ）＝ｘ21+ｘ2+11+ｘ2＝1，所以ｆ（1）+ｆ（2）+ｆ（12）+ｆ（3）+ｆ（13）+ｆ（4）+ｆ（14）＝312.【点评】观察已知函数和未知所求式子，可以发现，若采用直接代入求值，运算量较大，因此可以先探究一般性结论，再去求值.【跟踪演练】1.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1+log 3a ２+…+log 3a 10＝（）A.12B.10C.8D.2+log 35【解析】思路一：由条件有9＝a 5a 6＝a 1q 4·a 1q 5＝a 21q 9，从而a 1a 2a 3…a 10＝a 101q 1+2+…+9＝（a 21q 9）5＝310，所以原式=log 3（a 1a 2…a 10）＝log 3310＝10，故选B.思路二：由9＝a 5a 6＝a 4a 7＝a 3a 8＝a ２a 9＝a 1a 10知原式=log 3（a 5a 6）5＝log 3310＝3，故选B.思路三：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a 5＝a 6＝3，q ＝1即可，故选B.2.在平面四边形中ABCD ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC=2，则AB 的取值范围是（）A.（6姨-2姨，2）B.（6姨-2姨，6姨+2姨）C.（2，6姨+2姨）D.[6姨-2姨，6姨+2姨]【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于点E .平移AD ，当A 与D 重合于点E 时，AB 取得临界最大值.在ΔBCE 中由正弦定理得BC sin ∠E ＝BE sin ∠BCE ，即2sin30°=BE sin75°，解得BE =6姨+2姨，所以AB 临界max ＝6姨+2姨.平移AD ，当D 与C 重合时，AB 取得临界最小值.在ΔBCF 中由正弦定理得BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC ，即BF sin30°＝2sin75°，解得BF ＝6姨-2姨，所以AB 临界min ＝6姨-2姨.综上，可知AB 的取值范围是（6姨-2姨，6姨+2姨），故选B.责任编辑徐国坚图表分析解构情境，数据溯源统计推断■广东省佛山市南海区第一中学徐守军概率与统计与实际生活联系紧密，同时又是初中、高中、大学三个阶段同时要学习的内容，因此概率与统计在高中数学中具有十分重要的地位，起着承上启下的作用.2020年高考全国玉卷文科数学解答题第17题为概率统计题，贴近生活，注重基础，回归本质，体现了基础性、综合性和应用性，与以往不同，2020年高考的文科概率统计大题放在解答题第一题的位置，意味着起点较低，考查的能力较为基础.这道高考题对我们学习和研究概率统计提供了一个很好的学习素材，让我们去解构情境和统计推断.一、原题呈现某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：等级A B C D 频数40202020甲分厂产品等级的频数分布表29。
例说几种常见的高中数学解题思维方式
例说几种常见的高中数学解题思维方式作者：翁公羽来源：《理科考试研究·高中》2013年第11期本文介绍高中数学中一些常用的解题思维方式，并通过典型例题的分析和讨论加以具体说明。
一、特殊化与一般化由于一般性寓于特殊性之中，对于一个复杂的问题，如果从一般角度解题有困难，那么我们就可以通过考察和研究它的特殊情况，寻求和发现一般规律及方法。
这种从特殊入手解决问题的思考方式，通常称为“特殊化法”。
特殊化是一种以屈求伸、欲进先退的思维方法。
在数学解题和数学研究中经常用到。
我国著名数学家华罗庚先生就曾经指出：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
”例1设数列{an}与{bn}的通项分别为an=2n，bn=3n+2，它们的公共项由小到大排列成数列{cn}，求{cn}的前n项和。
分析由{bn}的通项公式知，凡属{bn}的项，以3除必余2，根据这一原则观察{an}中的前面一些项2，4，8，16，32，64，128，256，512，知8，32，128，512这几项也是属于{bn}的项，因此是属于{cn}，于是{cn}的前四项为8，32，128，512。
由此我们猜测{cn}的项为{an}的第三项起的所有奇数项，构成一个首项为8，公比为4的等比数列。
通过分析特殊情况，我们明确了{cn}的结构，从而知道了问题的结论，剩下的就是严格证明的任务了。
解易见c1=8，设{an}的第m项与{bn}的第k项相等，并设这是{cn}的第n项，即cn=2m=3k+2，{an}的第m+1项为am+1=2m+1=2·2m=3（2k+2）=3（2k+1）+1，这不是{bn}的项，而{an}的第m+2项为am+2=2m+2=4（3k+2）=3（4k+2）+2，这是{bn}的项，从而是{cn}的第n+1项，即cn+1=2m+2。
故{cn}为首项是8，公比是4的等比数列，它的前n项和为Sn=8（22n-1）13。
巧用从“特殊”到“一般”轻松解数学题
巧用从“特殊”到“一般”轻松解数学题作者：潘丽萍薛阿仁来源：《成才之路》2009年第05期在我们深入研究和应用从“特殊”到“一般”解数学题以及查阅一些资料后，获得了许多的启发。
正如辩证法告诉我们：矛盾的一般性包含于特殊性之中。
说通俗一点，就是事物的共性通过个性来体现的这个哲学原理告诉我们“特殊化”是一种重要的解题策略，它不仅能帮助我们突破许多数学题解答过程中的难点，从而迅速构建解题思路，而且还会使题解变得更加简洁，流畅。
这给我的启示是：让特殊化为题解鸣锣开道。
一、用特殊化方法解选择题、填空题对于“选择”“填空”一类的题目来说，概念性强，小巧灵活，覆盖面广。
在各种试卷中，必不可少。
由于解选择题、填空题只求结果，不要求写出解答过程，并且选择题中的选项提供了某种“暗示”。
因此我们可在解题时灵活选用特殊方法，以避免烦琐的推理论证和计算。
其中特殊值法不失为解选择题和填空题的一种有效方法，且有时会提高我们的解题能力和速度，总之是起到事半功倍的效果。
1. 代数、方程、函数特殊值法又称赋值法，给代数式或方程式函数表达式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到解决问题的目的。
（1）利用赋值，使抽象的数学问题具体化、直观化，从而达到迅速解决问题的目的。
例如：若a＞0，b＜0，且a＜|b|，则下列关系中正确的是（）。
A、-b＞a＞-a＞b；B、b＞a-b＞-a；C、-b＞a＞b＞-a；D、a＞b＞-a＞-b。
解析：这道题其实难度不大，直接采用字母的比较，也能做出。
但是一般同学有时思维转不过弯，对此难以解理，反而导致思维混乱，解题错误。
但若根据题意，我不妨使a=1，b= -2代入，问题就变得十分直观，可得答案为：A。
（2）利用赋值避其锋芒，游刃其中。
例如：已知x-y=1，则x3-y3-3x2y+x2y2-xy3+2xy2=_____。
解析：按照一般解答思路，常规做法就是把原式化成用x-y的形式表示，再把x-y整体代入，或者把已知化为x=y+1代入原式中计算求值，但无疑来说以上两种方法均较烦琐，运算量很大。
数学中的_一般化与特殊化方法
上面三式相加即得原不等式。
n n n p q r
qan rb n pcn 同理 a q b r c p n ra n pbn qcn arb pcq n
a b c a b c a b c a b c
q r p r p
q
§5.3
一般化与特殊化方法
在问题结构中常常存在那样一些特殊的数量 或关系结构，或性质特殊的元素，抓住这些特殊 因素往往能直接切中问题的要害，找到解决问题 的突破口。但这类特殊因素有时却难以察觉。一 般而言，对数学中的某些特殊图形、特殊关系及 某些特殊概念及其性质掌握得越多、越熟练，就 越易发现问题中的特殊因素。
§5.3
一般化与特殊化方法
由于一方面，题目的特殊情形，往往 比它的一般情形易于解出；另一方面， 由于特殊情形的解与一般情形的解往往 有共性，特殊情形的解往往能给出怎样 解一般情形的启示。因此，先作出特殊 情形的解，再根据它的启示去解一般情 形往往是很可取的。
§5.3
一般化与特殊化方法
特殊化的关键是能否找到一个最佳的特殊化 问题。 先看一个古老而著名的难题——“摆硬币”。 例1、两人相继往一张圆桌上平放一枚同样 大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的 硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而 使对方没有位置再放，谁就获胜，试问是先放者 获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？
一般化与特殊化方法
众所周知，“从特殊到一般”与“由一般到 特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律， 它在如下两个方面制约着化归方法的运用。 一方面，由于事物的特殊性中包含着普遍性， 即所谓共性存在于个性之中，而相对一般而言， 特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人 们所熟知，因而当我们处理问题时，必须注意到 问题的普遍性存在于特殊之中，进而去分析考虑 有没有可能把待解决的问题化归为某个特殊问题.
思考问题的一些方法：一般化，特殊化和归纳类比
思考问题的⼀些⽅法：⼀般化，特殊化和归纳类⽐半年看了刘未鹏的⾖列（），买了⼀些书没事看看，其中影响⽐较⼤的书有《决策和判断》，《⾛出思维的误区：批判性思维指南》，当时只是粗略地看了下G.波利亚的《数学与猜想》的1,2卷，最近的时候⼜把《数学与猜想》1卷在早上坐地铁的时候看了看，有种相识恨晚的感觉。
在这⾥简单介绍下巨⽜----G.波利亚，请⼤家点击链接：。
《数学与猜想》第⼀卷中，作者主要介绍了⾯对以前没有碰到过的（数学题）问题的⼀些解决⽅法：1. ⼀般化。
2. 特殊化3. 归纳和类⽐。
1.⼀般化指从对象的⼀个给定集合进⽽考虑到这个给定集合的更⼤集合。
我们可以由三⾓形考虑到任意多边形，或者，从锐⾓的三⾓函数考虑到任意⾓的三⾓函数。
在程序⽅⾯，提取出更⼀般化的⽅法。
2.特殊化与⼀般化对⽴，给定⼀个对象的集合，进⽽考虑到这个对象较⼩的集合。
例如，由任意多边形考虑到正n边形，由正n边形考虑到正三⾓形。
在特殊化的时候，我们还可以将⽬标限定到某⼀个具体的对象。
例如，在研究全体素数的性质时，我们可以单个拿出17这个素数，进⽽研究17这个素数是否符合我们提出的素数性质。
在程序⽅⾯，我们在提取出⼀般化的⽅法使，可以使⽤⼏个特殊的情形来验证下我们抽取⽅法的正确性。
⽩盒测试是⼀个特殊化的⽤法。
3.归纳和类⽐这是《数学与猜想》中最核⼼的思想。
类⽐是事物在某些类型上的相似性。
通过归纳的⼿法，我们可以来类⽐事物。
如果我们将对象的相似之处成功转化为概念，那我们就描述清楚了类⽐关系。
例如，⼈类的⼿，猫的⽖⼦，马的前蹄……这些器官在某些⽅⾯具有相似性——由具有相似性关系的相似部分组成。
在上个例⼦中，阐明了类⽐关系：如果两个系统要做对⽐，那么就需要两个系统在清楚定义的关系上具有⼀致性。
在这⾥举⼀个类⽐的例⼦，摘⾃《数学与猜想》第⼆章习题的第11题，题中说了⼀个例⼦：设计⼀种飞机，使乘客在飞机失事的时候不易损伤颅⾻。
但明显不能使⽤真⼈来实验，在这个实验中，实验⼈员使⽤了鸡蛋在各种情况下被敲碎的情形来做实验。
特殊化与一般化
由于矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，人们认 识事物第一规律是从特殊到一般。 因此，“特殊化”是发源于认识论的通用方法，也 是以屈求伸、欲进先退的辨证方法。
特殊化猜想的常用模式有：
1、检验特例 2、考察极端 3、举反例 4、构造特殊的辅助问题
1、检验特例
检验特例常常是解决一般问题的起点，检验特例是 解题特别有用的手段。 什么 是特例？？？？ 特例是相对于“一般”而言，特例的含义很广，相 对于不同的问题，特例可以使特殊值、特殊函数、 特殊体、特殊命题、特殊问题等等。
因它过点（- 2，4），所以 2 2 （ - 2 - 8） - 4 - 6） （ - 2 - 12 - 26） 0 （
得 5，代入所求圆的方程：
2 2 （x - 8） y - 6） （x 3y - 26） 0 （ 5
即x 2 y 2 - 11x 3y - 30 0
一般化猜想的常用模式是：
5、构造一般的辅助问题 发明一个一般问题是解决特殊问题的一种成就，越 一般的问题可能越容易解决。 构造一般问题的主要手段有：归纳、扩张、抽象化、 放宽条件等等。
例7： 53 63 73 83 203 的值。
现在猜S（n）： 解： S（ ） 13 12 1
?1检验特例?2考察极端?3举反例?4构造特殊的辅助问题4构造特殊的辅助问题?构造一个容易的期望小的特殊的辅助问题常常是解决困难的期望大的一般的原问题的踏脚石
第二章 数学思想方法
第一节猜证结合思想 1.8特殊化与一般化
问一：什么是特殊化方法？
特殊化方法：特殊化就是从特殊推测一般。 华罗庚：要善于“退”，足够的“退”，退到最原 始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。 这个“退”就是从“一般”退到“特殊”。 故我们把特殊化方法叫做：退法。
文档：特殊化与一般化
特殊化与一般化知识定位在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。
“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。
在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。
“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。
在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。
“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。
由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当处理问题时，若能置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形，这样的思考方法不仅可行而且必要，将具体的个性问题化为一般的共性问题来研究，往往能使我们视野更宽阔，更能揭示问题的本质和规律。
知识梳理知识梳理1：“特殊化”的基本策略特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从空间退到平面。
正如华罗庚先生所说，“退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。
知识梳理2：“一般化”的基本策略先将原问题一般化，然后借助于一般性问题来解决特殊性问题往往会出奇制胜。
著名数学家波利亚曾经说过：“雄心大的计划，成功的希望也较大。
这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。
较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。
例题精讲【试题来源】【题目】设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且求证：x2y2z2w2=1【答案】见解析【解析】我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为又因为到原命题，由容易想到变形去分母变形为①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.【知识点】特殊化与一般化【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R 的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度．【答案】l＋2πR【解析】(1)先解一个特例(如图)．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为s=l＇+2πR．(2)再回到原题，我们猜想：s=l＋2πR．以下证实这个猜想是正确的．为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．事实上，引O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇O1为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．所以，所求皮带长为s=l＋2πR．【知识点】特殊化与一般化【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a1，a2，…，a n都是正数．试证：【答案】见解析【解析】欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证把②变形为即证由于④中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．为此，我们证更简单的事实．设a，b是任意正整数，则有事实上，由(a-b)2≥0有a2-ab≥ab-b2，根据⑤，④显然成立，因为≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0，从而③式成立，②式成立．剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为【知识点】特殊化与一般化【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：A＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．【答案】见解析【解析】【知识点】特殊化与一般化【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【答案】27【解析】【知识点】特殊化与一般化【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】设333x 2,则x 226y z y z xyz =+=+++=【答案】24 【解析】【知识点】特殊化与一般化 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】若a 、b 、c 都是正数,且,那么分式的值为( )A. 8B. 8或-1C. 2或-1D. 8或-1 【答案】A【解析】因为a 、b 、c 都是正数，所以值为正数。
利用一般化与特殊化思想优化解题过程
利用一般化与特殊化思想优化解题过程
佚名
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2002(000)011
【摘要】@@ 解题实际上是一种不断转化的过程,这种转化必须正确、有效,最好还应巧妙、快速.一般化和特殊化就是优化解题的两种数学思想,运用得当,可以优化解题方法和解题过程.
【总页数】3页(P38-40)
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.渗透特殊化思想优化解题过程 [J], 沈生龙;
2.特殊化和一般化思想在高等数学中的应用 [J], 肖燕
3.利用特殊化思想,优化解题过程 [J], 黄俊峰
4.特殊化和一般化的思想方法和解题功能 [J], 倪玉华
5.渗透特殊化思想优化解题过程 [J], 沈生龙
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１＋ …＋ｚ（ ａ＋ 口） １＋ １ ａ＋ ｉ …＋ ）
ａ １＋ ａ ２ ＋
… ＋ ａ ｋ 厂
① ②
事实上 ， 所谓 的巧思妙解 无非是对问题
—
— —
６
— —
一
＿。＿ —
一
性步骤都与 ａ 的具体取值无关 ， 完全数的性
质直 到最 后一 步才 体现 出来 ． 这一 想 ， 题 思 解 路就 呈 现 出两 个机 会 ： （ ） 住关 键 步骤一 般化 ； １抓 （） ２ 突出特 殊条 件精 致化 ．
２ 一 般化— — 特 殊化
笔者在文［ ］ １ 中编拟 了一道不等式证 明 题（ 第一 试第 五题 ） ： 例 １ 将 ８１８的小 于 自身 的全 体 正 约 ２ 数从小到大排成 ａ ， …， 求证 ： ａ ， ａ ．
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，
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ｋ 口 ＋口 ＋… ＋口） ８１８ （ ； 、 ２ ‘
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２ ，５２ ，． ，８ ，９ ｚ ２ ４２ ，６ ２ —１ ２ —２ ２ —２ ， 加一２ ，”一 ７ ３２ ２ ， 一２ ， ４２ ５且
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收稿 日期 ：Ｏ６—１ １ ２ ０ ０—１
维普资讯
２０ ０７年第 ８ 期
１ ７
证明： ∑
ｋ＝２
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为
０１＝ １， ０２＝ ２， ０３＝ ４，
一
Ｃｌ Ｃｌ ｌ＋ Ｃ２ ２＋… ＋ ａ ｂ ｔ ｂｌ ｔｂ ｔ ｂ ｎ
这就 看清 了例 １ 证 明 中 的结 构 ， 可 原 并
以编出很多题 目来 ． 比如 ， Ｃ ｋ ｂ ｋ 取 ｔ ， ＋
１则有 ，
ａｂ ｋ
０ｌ ３＝４ ０ ４， ４＝８ １ ８ ６ ０ｌ ２
＋ ａ １ ３
— ＿ — ＿ ＿－
ａ ｌ ＋ ａ２ ＋ …
③
一
１ —１ 一 一 ＿
！
— —
８ １ ８— ２ ２ —８ １ ８‘
这个解法 ， 用到了柯西不等式 （ 此处也可
以理解 为用平方平均数不小于算术平均数这 不 等式 ）放 缩 法 和 交 叉 消 去法 ， 些 实 质 、 这
维普资讯
１ ６
中 等 数 学
巧 思 妙解 的 两 个 途 径 般 化 与 特 殊 化
— — 一
罗 增 儒
（ 陕西师范大学数学系 ，１０２ ７０ ６ ）
在数 学解 题 中 ， 怎样 才 能 获 得 巧 思 妙解
呢？笔者认为， 根据认知 的一个基本规律（ 由
３ 特 殊化— — 一般 化
１
．
≤
＿
例１ 的设计 推出了完全数 ， 但最后一步 才 用到 ， 并且 ０ 的 单 调 性 似乎 只用 到 ０ ＝１
最小 ， 因此 ， 全数 的 性质 有 可 能 尚 未展 开 ， 完
＜ 而 而
＝
妻 （
一
）
问题 的特殊性有可能还未开发 出来 ． 或者从 另一角度说 ， 目是不是存在多余的条件？ 题 事实 上 ， ８１８的正 约 数 从 小 到 大 记 当 ２
１ 案例 呈现
一
＜
＝
０ ｌ＋ ０ ２＋ … ＋
＝
一
１
）０＋ ２ …＋ （ｌ ０＋ ‰）
批判性（ 而不是盲从性） 更多一点 ， 因而 ， 启发
∑ ∑ ∑ ，● ａ 一 一 一 一 ∑ （ （ （ ● 、 ａｌ
＋＋ ＋＋ …ｋ …ｋ 击＋１ｌ ＋ ２ ａ一 ａ ａ 一ａ２ ） ，
…Байду номын сангаас
将式①中的柯西不等式 一般化 ， 式② 中 的放缩和式③ 中的交叉消去仍然是可 以进行 的， 样 ， １ 这 例 就变成 了 例 ２ 对正实数 ａ ， ２ … ， ｂ， ２ １ ａ ， ａ ， １ ｂ，
，
ａ ＋ａ ｌ ２＋… ＋ ａ ３＝８ １ ８ １ ２ ．
１ ３
一
ｂ， 有
的认 识更 深人 一点 、 更本 质一 点 ， 维 的深 刻 思 ＝ ≤ 性（ 而不 是肤 浅性 ）灵活 性 （ 、 而不 是呆 板性 ） 、 巧 思 、 往妙 解 的基 本途 径 也 就 是 认 识 走 向 通 深 化 的两个 途径 ： （） 深 刻地展 示 问题 的一般 性 ； １更 （） 清 晰地 呈现 问题 的特殊 性 ． ２更 这通 常要 经 历 从 认 识 到 再 认 识 的过 程 ． 下 面看 一个 案例 ．
时， 不仅有
０ｌ＂ ２＂ ４ －０ ４ －… ＂ ３＝８ １ ８＝ ０ｌ ４ －０ｌ ２ ４，
（ Ｃ ＋０ ＋… ＋０ ） ｂ ＋ ； ｔ （ ｂ ＋… ＋６ ）
ｋ １ （ ） ＋ 一 １＋ …＋ ［ ＋ …＋ １ ］ （ ２＋ ） ３＋ （ ＋） ２
－ ４ －…
＋ —— ．
０２
．
１
０ １ ３
一（ ＋１［ｚ ２ ）２ ＋３ ＋… ＋（ ｋ＋１ ’ ）］ 求和 ， 由例 ２得
于是 ， 不等式的右边可 以改写为
８１７ ， ２ １ ８１８ ２ 一
—
４， －
， ．
，。＿●＿ ‘－。＿＿ ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿。 ＿－●＿＿ 。＿＿＿＿ ＿＿＿—