浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高一12月月考数学试题+Word版含答案
浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．已知角α的终边经过点P （﹣3，4），则sin α的值等于（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣3．已知cos α=﹣，sin α=，那么α的终边所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设a=0.50.5，b=0.30.5，c=log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．若sinxcosx=，且，则cosx ﹣sinx 的值是（ ）A ．±B ．C ．﹣D ．±6．若函数f （x ）=，则f=（ ）A ．lg101B ．5C ．101D ．0 7．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）（1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．A ．y=tanxB ．y=cosxC ．y=sin （x+3π）D ．y=sin2x8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m ）的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ），若f （x ）的图象如图所示，则函数g （x ）=a x +b 的图象大致为（ ）A．B． C．D．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2] C．（0，4] D．二、填空题（2015秋富阳市校级月考）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈，第二次应计算的f（x）的值为f（）．12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）= ．14．存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为．15．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在）的值域为．17．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（5题，共40分．）18．计算：（1）tanα=2，求的值；（2）求值：．19．已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．20．已知函数f（x）=ba x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式+1﹣2m≥0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）=|1﹣|（1）求满足f（x）=2的x值；（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间上的值域为，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x 恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在上的最小值；（3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间上是增函数，求实数k的取值范围．浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，3．已知cosα=﹣，sinα=，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】根据题意和“一全正二正弦三正切四余弦”判断出α的终边所在的象限即可．【解答】解：由cosα=﹣＜0得，α的终边在第二或第三象限，由sinα=＞0得，α的终边在第一或第二象限，所以α的终边在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了三角函数值的符号，即利用口诀：一全正二正弦三正切四余弦判断角所在的象限．4．设a=0.50.5，b=0.30.5，c=log0.32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=0.50.5＞b=0.30.5＞0，c=log0.32＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．5．若sinxcosx=，且，则cosx﹣sinx的值是（）A．±B．C．﹣D．±【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，知cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，易求t2=，从而可得答案．【解答】解：∵，∴cosx＜sinx，∴cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，∵sinxcosx=，则t2=（cosx﹣sinx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣2×=，∴t=﹣，即cosx﹣sinx=﹣．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考察三角函数间的平方关系的应用与正弦函数与余弦函数的单调性质，是基本知识的考查．6．若函数f（x）=，则f=（）A．lg101 B．5 C．101 D．0【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f=f（lg100）=f（2）=22+1=5．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．7．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）（1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．A．y=tanx B．y=cosx C．y=sin（x+3π）D．y=sin2x【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】分别判断每个函数是否满足条件即可．【解答】解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）．B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）．C．函数y=sin（x+3π）=﹣sinx，满足三个条件．D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质以及判断．8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m）的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；一元二次不等式的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选C．【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．9．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；转化思想．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2] C．（0，4] D．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意易得0＜m＜，n＞，可得m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，即mn≤2，结合题意可得范围．【解答】解：∵f（x）=|x2﹣2|，且0＜m＜n，f（m）=f（n），∴0＜m＜，n＞，∴2﹣m2=n2﹣2，即m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，解得mn≤2，但0＜m＜n，∴0＜mn＜2故选：A【点评】本题考查基本不等式，涉及二次函数的性质，属基础题．二、填空题（2015秋富阳市校级月考）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈（0，0.5），第二次应计算的f（x）的值为f（0.25 ）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（0）f（0.5）＜0，其中一个零点x0∈（0，0.5）；第二次应计算中点函数值．【解答】解：∵f（0）f（0.5）＜0，∴其中一个零点x0∈（0，0.5）；第二次应计算的f（x）的值为f（）=f（0.25）；故答案为：（0，0.5），0.25．【点评】本题考查了二分法的应用，属于基础题．12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】把扇形的圆心角为代入扇形的面积s=α r2进行计算求值．【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是αr2==3π，故答案为：3π．【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口．13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）= x﹣ln（﹣x）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数是奇函数将x∈（﹣∞，0）转化为﹣x∈（0，+∞），然后利用条件即可得到函数的解析式．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，∴当﹣x∈（0，+∞）时，f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x），∵函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x﹣ln（﹣x），x＜0．故答案为：f（x）=x﹣ln（﹣x）．【点评】本题主要考查函数解析式的求法，根据函数的奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．14．存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】问题等价于a大于cos2x+inx的最小值，由三角函数和二次函数区间的最值可得．【解答】解：存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立等价于存在实数x，使得关于x的不等式a＞cos2x+sinx成立，故只需a大于cos2x+inx的最小值即可，令y=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sinx﹣）2+，由二次函数可知当sinx=﹣1时，y取最小值﹣1，∴a的取值范围为：（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）【点评】本题考查不等式的成立问题，转化为求函数的最值是解决问题的关键，属基础题．15．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值原函数变成：f（x）=，由已知条件知，函数x2+ax ﹣a在．故答案为：【点评】考查含绝对值函数的单调性，二次函数的单调性及单调区间．16．已知函数f（x）=22x﹣﹣6（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以利用换元法，将原函数转化为一元二次函数在区间上的值域，利用二次函数的图象求出函数的值域，得到本题的结论．【解答】解：设2x=t，t∈．则g（t）=t2﹣5t﹣6=（t﹣）2﹣．∴g（）≤g（t）≤g（8）．即g（t）∈．∴函数f（x）=22x﹣﹣6（x∈）的值域为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数在区间上的值域，还考查了换元法思想，本题属于基础题．17．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪∪上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=ba x，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．（2）不等式即m≤++，令t=，则m≤t2+t+．利用二次函数的性质求得g（t）=t2+t+的最小值，可得m的范围．【解答】解：（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=ba x，可得，求得，∴f（x）=42x．（2）不等式+1﹣2m≥0，即m≤++．令t=，则m≤t2+t+．记g（t）=t2+t+=+，由x∈（﹣∞，1]，可得t≥．故当t=时，函数g（t）取得最小值为．由题意可得，m≤g（t）min，∴m≤．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于基础题．21．设函数f（x）=|1﹣|（1）求满足f（x）=2的x值；（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间上的值域为，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】带绝对值的函数；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数的零点，去掉绝对值符号，即可求满足f（x）=2的x值；（2）化简函数y=f（x）的表达式，判断函数的单调性，然后利用在区间上的值域为，列出关于a，b的方程即可求出结果．【解答】（本题满分10分）解：（1）由f（x）=2知，所以或，于是x=﹣1或…（2）因为当x∈（0，1）时，…易知f（x）在（0，1）上是减函数，又0＜a＜b＜1，y=f（x）在区间上的值域为所以…【点评】本题考查含绝对值的函数的应用，函数的零点，以及函数的单调性，考查计算能力．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x 恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在上的最小值；（3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间上是增函数，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用题意，推出混合组，求出a、b、c，即可求函数f（x）的表达式；（2）化简函数F（x）=g（x）﹣f（x）的表达式，通过对称轴所在位置，讨论即可求F（x）在上的最小值（3）通过化简表达式，在区间上是增函数，转化F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在上为增函数且恒非负，得到不等式组，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意知…（2）F（x）=g（x）﹣f（x）=﹣x2+（k﹣2）x，x∈，对称轴当，即k≤5时，F（x）max=F（2）=2k﹣8当，即k＞5时，F（x）max=F（1）=k﹣3综上所述，…（3），由G（x）在区间上是增函数得F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在上为增函数且恒非负故…【点评】本题考查函数恒成立问题的应用，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查计算能力．。
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【考点】 函数的定义域及其求法．
【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质得到关于
x 的不等式，解出即可．
【解答】 解：由题意得： 1﹣x2＞ 0，解得：﹣ 1＜x＜ 1，
故函数的定义域是（﹣ 1， 1），
故选： A ．
5．若 3x=2 ，则 x= （
）
A ． lg3 ﹣ 1g2 B ．lg2 ﹣ 1g3 C．
【考点】 运用诱导公式化简求值． 【分析】 把所求式子中的角 150°变为 180°﹣30°，利用诱导公式 cos=﹣ cosα化简后，再根据 特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】 解： cos150° =cos = ﹣ cos30°
=﹣ ． 故选 D
4．函数 f（ x）=ln
的定义域是（
）
A ．（﹣ 1， 1） B． [ ﹣ 1， 1] C ． [ ﹣ 1， 1） D．（﹣ 1， 1]
C．
D．
4．函数 f（ x）=ln
的定义域是（
）
A ．（﹣ 1， 1） B． [ ﹣ 1， 1] C ． [ ﹣ 1， 1）
5．若 3x=2 ，则 x= （
）
D．（﹣ 1， 1]
A ． lg3 ﹣ 1g2 B ．lg2 ﹣ 1g3 C．
D．
6．设向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 ? =0，则（
）
A．| | ＞| |
B． | | ＜ | |
C． | | =| | D． =
7．设 x 0 为方程 2x+x=8 的解．若 x 0∈（ n，n+1）（ n∈ N *），则 n 的值为（
）
A ． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8．要得到函数 f（ x） =2sin（ 2x﹣ （）
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（ ） A ．（3，3），（3，﹣3） B ．（3，3），（1，﹣3） C ．（1，3），（3，3） D ．（1，3），（3，﹣3）2．函数y=a x+2+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过的定点是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（﹣1，0） C ．（0，1） D ．（﹣2，2）3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（ ）A ．1B ．﹣C ．1或﹣D ．﹣1或﹣4．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．35．下列函数f （x ）中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0”的是（ ）A ．f （x ）=2xB ．f （x ）=|x ﹣1|C ．f （x ）=﹣xD ．f （x ）=ln （x+1）6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．8．若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f （x ）的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对（A ，B ）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= ．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= ．11．若，则a的取值范围．12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为．13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= ．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．x）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（）A．（3，3），（3，﹣3） B．（3，3），（1，﹣3） C．（1，3），（3，3）D．（1，3），（3，﹣3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可．【解答】解： =（2，0），=（﹣1，3），则+=（2，0）+（﹣1，3）=（1，3）﹣=（2，0）﹣（﹣1，3）=（3，﹣3），故选：D2．函数y=a x+2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣2，2）【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数过定点的性质，即a0=1恒成立，即可得到结论．【解答】解：∵y=a x+2+1，∴当x+2=0时，x=﹣2，此时y=1+1=2，即函数过定点（﹣2，2）．故选D．3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（）A．1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．【解答】解：据题意向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，存在m（m＜0）使得=m，即λ+=m+（2λ﹣1）m，∵，不共线∴∴m=﹣故选：B．4．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．5．下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=ln（x+1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A 为增函数；B 在（1，+∞）单调递增；C 符合题意；D 在（﹣1，+∞）上单调递增，可得答案．【解答】解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数， 选项A 为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B ，f （x ）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C ，由f′（x ）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D ，函数在（﹣1，+∞）上单调递增，故不合题意， 故选C6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定【考点】幂函数的图象．【分析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x 1＜x 2时，应有＞，由此可得结论．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x 1＜x 2时，应有＞．故选：A ．7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．【考点】对数的运算性质．【分析】由题设条件，先求出1+x和1﹣x的值，然后由y2=（1+x）（1﹣x）得到y的值．y2的值，两边取以a为底的对数，能求出loga【解答】解：∵x2+y2=1，x＞0．y＞0，∴1+x=a m，，1﹣x=a﹣n，∴1﹣x2=a m﹣n，∴y2=a m﹣n，∴．故选D．8．若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义得到，m2﹣m﹣1=1，再由单调性得m＞0，求出m即可．【解答】解：由幂函数的定义，得：m2﹣m﹣1=1，∴m=﹣1或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且m∈Z，∴m＞0，∴m=2．故答案为：2．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= 14 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知f（x）=，将x=﹣2代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=4，∴f（f（﹣2））=f（4）=14，故答案为：14．11．若，则a的取值范围．【考点】对数函数的单调性与特殊点．x在（0，+∞）单调【分析】当a＞1时，由，结合函数y=logax在（0，+∞）单调递递增；当0＜a＜1时由，结合函数y=loga减可求a【解答】解：由=logax在（0，+∞）单调递增当a＞1时，函数y=loga由可得∴a＞1x在（0，+∞）单调递减当0＜a＜1时，函数y=loga由可得综上可得，故答案为：12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为3y＜2x ＜5z ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】先将指数式化为对数式，再由作差判断大小．【解答】解：令2x=3y=5z=t，则t＞1，，，，∴，∴2x＞3y；同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．故答案为：3y＜2x＜5z13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+， =+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R 上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根．③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称．④举出反例如c=0，b=﹣2，可以判断．【解答】解：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，故①正确．②b=0，c＞0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故函数y=f（x）只有一个零点，故②正确．③因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确．④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2，故④错误．故答案为：①②③．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=1代入确定出B，求出A与B的交集即可；（2）由A与B交集为空集，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A={x|2＜x＜4}，把a=1代入B得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}；（2）要满足A∩B=∅，当a=0时，B=∅满足条件；当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，可得a≥4或3a≤2．解得：0＜a≤或a≥4；当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，显然a＜0时成立，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）先求出，只要证明存在实数λ使得即可；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】（1）证明：，∵与有公共点，∴A、B、D三点共线（2）解：∵B、D、F三点共线，∴存在实数λ，使，∴，∴又∵不共线，∴，解得λ=3，k=12．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由已知中f（﹣2）=f（4），可得函数图象的对称轴为直线x=1，结合函数f（x）最大值为2，设出函数的顶点式，进而可得答案；（2）分析给定区间[t，t+1]与对称轴的位置，进而得到函数的在[t，t+1]上的单调性和最大值．【解答】解：（1）因为f（﹣2）=f（4），所以函数图象的对称轴为直线x=1，又因为f（x）=2，max所以设f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0，由f（﹣2）=a（﹣2﹣1）2+2=﹣16得a=﹣2，所以f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x，即所求函数y=f（x）的解析式为f（x）=﹣2x2+4x．（2）①当t+1≤1即t≤0时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递增，所以f（x）=f（t+1）=﹣2（t+1﹣1）2+2=﹣2t2+2；max②当t≥1时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递减，所以f（x）=f（t）=﹣2（t﹣1）2+2=﹣2t2+4t；max③当t＜1＜t+1即0＜t＜1时，y=f（x）在[t，1]上单调递增，在[1，t+1]上单调递减，=f（1）=﹣2（1﹣1）2+2=2．所以f（x）max综上所述，f（x）=maxx）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）首先根据题意，用换元法求出f（x）的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性，将已知不等式转化为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），进而转化为，解可得答案；（2）由（1）中的单调性可将f（x﹣4）的值恒为负数转化为f（2）﹣4≤0，解不等式即可．x=t，则x=a t，【解答】解：（1）根据题意，令loga所以，即当a＞1时，因为a x﹣a﹣x为增函数，且＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；当0＜a＜1时，因为a x﹣a﹣x为减函数，且＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．又因为f（﹣x）==﹣f（x），故f（x）为奇函数．所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇔f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）⇔f（1﹣m）＜f（m2﹣1）由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}（2）由（1）可知，f（x）为增函数，则要使x∈（﹣∞，2），f（x）﹣4的值恒为负数，只要f（2）﹣4＜0即可，即f（2）==＜4，又a＞0解得又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2﹣，1）∪（1，2+）．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（1）代值计算即可．（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax ﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，③当2＜a≤4时，④当a＞4时，最后综上所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）当a=1时，|x﹣1|=x，即x﹣1=x或x﹣1=﹣x，解得x=；（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴x=，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，F（x）=，对称轴x=，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴x=，=F（）=，此时F（x）max④当a＞4时，对称轴x=，此时F（x）=F（2）=2a2﹣4a．max综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．。
浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含答案
杭西高2017-2018学年10月高一数学月考答卷一、 填空题：（本题共10小题）二、填空题：（本题共6小题）11. 12. 13、14.15.16.三、解答题：（本题共4小题）17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值．18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ， a ≠1且1∉A ． (1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由．班级 姓名 学号 座位号A(3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ．19．已知函数1()1x f x x +=+ (1)求函数的定义域；(2)化简解析式并用分段函数表示；(3)作出函数图象，并说明函数单调性和值域20．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．21．已知定义域为R 的函数f (x )＝()2ax bx c b 0++>是奇函数． (1)求a ，c 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D∈解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319． 解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，． 解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)，＋∞ ＋∞∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)． 三、解答题17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，－4 ，2 A ； 由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ， ∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ； ∴a －11＝21－11＝2∈A ． 因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A ⇒a －11∈A ⇒ a1－1－11∈A ⇒1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；(3)当2a＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． ∈A ∈综上可知，f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧．＞ ，－，≤≤ ，－，＜－ ，＋22522232252a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数， ∴ f (0)＝0，即ab2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝ax ＋21＋2－．又由f (1)＝－f (－1)知a4＋＋12－＝－a 1＋＋121－，解得a ＝2．(2)先讨论函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x ＝－21＋1＋21x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝1＋212x －1＋211x ＝))((1＋21＋22－21221x x x x ，∵指数函数2x 为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)， ∴函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2－2t ．又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31－ －∞，．。
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高一12月月考数学试题(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高一12月月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,0,1M =-， {}2| N x x x ==，则M N ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1D. {}0 【答案】B【解析】∵ 集合{}2| N x x x ==∴ 集合{}0,1N = ∵集合{}1,0,1M =- ∴{}0,1M N ⋂= 故选B 2．函数的定义域为A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞） 【答案】A【解析】要使函数y =有意义，则有240x ->，解得22x -<<，即定义域为()2,2-，故选A. 3．43662log 2log 98+-= A. 14 B. -14 C. 12 D. -12 【答案】B【解析】4433366662log 2log 98log 4log 92⨯+-=+- 46log 36221614=-=-=-，故选B.4．若函数f （x ）= 2312{325x x x x --≤≤-<≤，则方程f （x ）=1的解是A.2B. 3C. 44【答案】C【解析】方程由()1f x =,得231{12x x -=-≤≤或31{ 25x x -=<≤，解得x =4x =，故选C.5．若432a =，b=254，c=3log 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. a<b<c B. c<b<a C. b<a<c D. c<a<b 【答案】B【解析】由对数函数的性质，可得41533log 0.2log 10,1222c b =<=<=<=，4322,a c b a =>∴<<，故选B.【 方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. f (x )＝x －1， 2()=1x g x x- B. f (x )＝|x |， ()2=g xC. f (x )＝x ， ()g xD. f (x )＝2x ， ()g x 【答案】C【解析】对于A ， ()f x 的定义域为R ， ()g x 的定义域为{|0}x x ≠，则()f x 与()g x 不表示同一函数；对于B ， ()f x 的定义域为R ， ()g x 的定义域为{|0}x x ≥，则()f x 与()g x 不表示同一函数；对于C ， ()f x 的定义域为R ， ()g x 的定义域为R ，且()()g x x f x ==，则()f x 与()g x 表示同一函数；对于D ， ()f x 的定义域为R ， ()g x 的定义域为R ， ()2g x x =，则()f x 与()g x 不表示同一函数. 故选C点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.7．已知()10xf x =，则f （5）=A. 510B. 105 C. 5log 10 D. lg5【答案】D【解析】令105,lg5xx =∴=， ()()10,5lg5x f x f =∴= ，故选D.8．函数()213log 32y x x =-+的单调递增区间是（ ）A. (),1-∞B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,+∞ D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数的定义域为()(),12,-∞⋃+∞ 令2t 32x x =-+，则13log y t =2t 32x x =-+在(),1-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，13log y t =为减函数，根据“同增异减”可知：函数()213log 32y x x =-+的单调递增区间是(),1-∞故选：A 点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.9．函数2xy =的大致图象是 （ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由于函数2,02,02{{ 12,0,02x x xx xx x y x x -≥≥===⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因此当0x ≥时，函数图象与2xy =的图象一致，当0x <时，函数图象与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象一致，因此选B【考点】分段函数的图象；指数函数的图象；10．设函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()10f -=，则()l g 0f x >的解集是（ ）A. {}|0.1110 x x x <或 B. {|00.1 10}x x x <<>或 C. {}|0.110 x x x 或 D. {}|0.11110 x x x <<<<或 【答案】A【解析】∵ 函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数 ∴函数()f x 在(),0-∞内是增函数 又∵()10f -=∴()10f =当lg 0x >，即1x >时，则()()lg 01f x f >=的解集是{}10x x当lg 0x <，即01x <<时，则()()lg 01f x f >=-的解集是{|0.11}x x << 综上， ()lg 0f x >的解集是{|0.11x x <<或10}x > 故选A点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题11．若函数()121xf x -=-，则函数()f x =____________【答案】121x +-【解析】令1t x =-，则1x t =+ ∵函数()121xf x -=-∴()121t f t +=- ∴()121x f x +=-故答案为121x +-12．函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为 【答案】[]1,4【解析】试题分析：函数在定义域内为减函数，所以3x =时取得最大值4，当6x =时取得最小值1，所以值域为[]1,4 【考点】函数值域13．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(),0x ∈-∞时()f x =_________________【答案】【解析】当(),0x ∈-∞时，则()0,x -∈+∞∵当[)0,x ∈+∞时， ()(1f x x =∴()((11f x x x -=-+=- ∵()f x 是R 上的奇函数 ∴()()(1f x f x x =--=故答案为(1x点睛：解本本题的关键是根据奇函数的图像关于原点对称的性质求解(),0x ∈-∞的解析式.14．函数()211f x x x =-+的最大值是____________【答案】【解析】∵函数()211f x x x =-+∴()211324f x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴当12x =时， ()f x 取得最大值为43 故答案为4315．方程()2170x m x m +++-=有两个负根，则m 的取值范围是__________【答案】0<m<1 .【解析】∵方程()2170x m x m +++-=有两个负根∴()0{10 70m m ∆>-+<->∴7m >三、解答题16．已知集合{|11}A x a x a =-<<+， {}20B x x x =-，（1）若12a =，求A B ⋂； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围 【答案】（1）{01}x x <<；（2）(][),12,-∞-⋃+∞. 【解析】试题分析：（1）由12a =，分别求得集合A ， B ，再由交集的定义可得所求的集合；（2）由11a a -<+，则A φ≠，则11a -≥或10a +≤，解不等式即可求出a 的取值范围.试题解析：（1）当12a =时， 13{},{01}22A x x B x x =-<<=<< 13{}{01}22A B x x x x ∴⋂=-<<⋂<< {01}x x =<<(2) A B ∅⋂=，显然11a a -<+，则A φ≠ ∴11a -≥或10a +≤∴1a ≤-或2a ≥.∴实数a 的取值范围是(][),12,-∞-⋃+∞17．已知函数()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数，且()10f =.（1）求,a b 的值；（2）求函数()()1g x f x =-在[]0,3上的值域. 【答案】（1）2,0a b =-=；（2）[]6,2-.【解析】试题分析：（1）由偶函数定义知()()f x f x -=恒成立，由此可求b ，由()10f =可求a ；（2）根据图象平移可得()1f x -的解析式，根据二次函数的性质可求值域． 试题解析：（1）()()220f x ax bx a =-+≠ 是偶函数0b ∴=又()10f =20a ∴+= 2,0.a b ∴=-=（2）由（1）知， ()222f x x =-+()()()[]21212,0,3g x f x x x ∴=-=--+∈ ，即函数()g x 在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减．当1x =时，有()()max 12g x g ==； 当3x =时，有()()min 36g x g ==-． ∴函数()g x 在[]0,3上的值域为[]6,2-.点睛:本题考查求函数的解析式,函数的值域. 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.18．已知：函数f （x ）= ()()log 1log 1a a x x +--（a>0且a≠1）. （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设a=12，解不等式f （x ）>0. 【答案】(1) （-1，1）；(2)见解析；(3) {x|-1<x<0} 【解析】试题分析：（I ）根据对数函数有意义可知真数要大于0，列不等式组，解之即可求出函数的定义域；（Ⅱ）根据函数的奇偶性的定义进行判定，计箄()f x -与()f x 的关系，从而确定函数的奇偶性；（Ⅲ）将12a =代入，根据函数的定义域和函数的单调性列不等式组，解之即可求出x 的范围. 试题解析：（Ⅰ）由题知： 10{10x x +>->，解得：-1<x<1，所以函数f （x ）的定义域为（-1，1）；（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数f （x ）的定义域为（-1，1），所以对任意x ∈（-1，1）， f （-x ）= ()()()log 1log 1a a x x -+---=()()log 1log 1a a x x ⎡⎤-+--⎣⎦=-f （x ） 所以函数f （x ）是奇函数；（Ⅲ）由题知： ()()1122log 1log 1,x x +>-即有10{10 11x x x x+>->+<-，解得：-1<x<0，所以不等式f （x ）>0的解集为{x|-1<x<0}.【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=± (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()=0f x f x -±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数， 1- 为奇函数） .。
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．13．化简.= ．14． = ．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．22．（1）当x∈[，]时，求函数y=3﹣sin x﹣2cos2x的最大值．（2）已知5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）=，求tanα浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=﹣，代值计算可得．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简，通过角的范围，求出角的大小即可．【解答】解：sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，可得﹣sinθ=﹣cosθ，|θ|＜，即tan，|θ|＜．∴θ=．故选：D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】终边相同的角．【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值【解答】解： =∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选D4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]【考点】三角函数的最值．【分析】通过自变量的范围求出相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解即可．【解答】解：x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]．3sin（2x﹣）∈．故选：D．5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．【解答】解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ是第二象限角，所以y==1﹣1﹣1=﹣1故选B6．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用韦达定理、两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），∴tanα+tanβ=﹣3a，tanα•tanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，∴α+β=，故选：A．7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】求出函数的周期，即可求解ω的值．【解答】解：f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，可得T==3，T=6，ω==．故选：D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=cosx+（π﹣x）sinx=0得（x﹣π）sinx=cosx，当x=π时，方程等价为0=﹣1，方程不成立，当x=或时，方程等价为±=0，此时方程不成立，则方程等价为tanx=，作出函数y=tanx，y=，在x∈[0，2π]上的图象，则两个图象有两个交点，则两个点关于点（π，0）对称，设两个交点的横坐标为x1，x2，则，即x1+x2=2π，即函数f（x）所有的零点之和为2π，故选：B二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】原式中的“1”化为tan45°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得，从而可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵cosα≤0且sinα＞0，∴≤0且＞0．∴∴﹣2＜a≤3．∴实数a的取值范围为：﹣2＜a≤3．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，可得数y=sin2（x﹣）的图象，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣），故答案为：y=sin（x﹣）．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据sin2A的值确定A的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本关系把等式右边的“1”变为sin2A+cos2A，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A的范围，开方即可得到sinA+cosA的值．【解答】解：因为A为三角形的内角且，所以2A∈（0，180°），则A∈（0，90°）把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin2A+2sinAcosA+cos2A=（sinA+cosA）2=所以sinA+cosA==故答案为：13．化简.= ．【考点】二倍角的正切；三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】原式第一个因式利用二倍角的正切函数公式化简，第二个因式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果．【解答】解：原式=tan（90°﹣2α）•=cot2α•tan2α=．故答案为：14． = ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式=====，故答案为：．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sinα的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），∵cos（α+β）=﹣，cosα=，∴sin（α+β）==，sin=，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（﹣）×+×=．故答案为：．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用已知条件，通过三角函数的平方关系式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sinα+sinβ+sin1=0，可得sinα+sinβ=﹣sin1，两边平方可得（sinα+sinβ）2=（﹣sin1）2，…①cosα+cosβ+cos1=0，可得cosα+cosβ=﹣cos1，两边平方可得（cosα+cosβ）2=（﹣cos1）2…②．①+②可得：2+2cos（α﹣β）=1．解得cos（α﹣β）=．故答案为：﹣．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象特征可得当x=时，f（x）取得最小值，即ω•+=2kπ+，k∈z，由此求得ω的值．【解答】解：∵（ω＞0），，∴f（x）的图象关于直线x==对称，故有ω•+=kπ+，k∈z，∴ω=4k+；又f（x）在区间（，）上有最小值无最大值，故当x=时，f（x）取得最小值，故有有ω•+=2kπ+，k∈z，∴ω=8k+．因为恰好为区间（，）的中点，故﹣≤=，∴0＜ω≤12，故只有当k=0时，ω=满足条件，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【考点】弧度制的应用．【分析】（1）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．（2）由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=lr=•l•2r，由基本不等式可得．【解答】解：（1）解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，∵S扇形=lr=4，解得：r=4，l=2∴扇形的圆心角的弧度数是：；（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=lr=•l•2r≤2=100．当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α==2，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanα=﹣2，从而求得要求式子的值．【解答】解：∵sin（3π+α）=2sin，∴﹣sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，∴（1）===；（2）sin2α+sin 2α====0．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性即可得答案；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得到f（x）的单调增区间；（3）由图象的对称性即可得到f（x）对称中心．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+=cosx•（sinx+cosx）﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为═π；（2）由（1）可知：f（x）=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）令2x﹣=kπ，求得x=，∴f（x）对称中心为（，0）．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．【考点】正切函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据正切函数的定义，令3x﹣≠kπ+求出x的取值范围即可；（2）由图象求出函数的解析式，再计算f（0）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=tan（3x﹣），∴3x﹣≠kπ+，k∈Z；解得x≠+，k∈Z；故函数f（x）=tan（3x﹣）的定义域为{x|x≠+，k∈Z}；（2）由图可知，A=， =﹣=，∴T=π，又T=（ω＞0）， ∴ω=2．又函数图象经过点（，0），∴2×+φ=2k π+π，∴φ=2k π+（k ∈Z ），∴函数的解析式为：f （x ）=sin （2x+），∴f （0）=sin =．22．（1）当x ∈[，]时，求函数y=3﹣sin x ﹣2cos 2x 的最大值．（2）已知5sin β=sin （2α+β），tan （α+β）=，求tan α【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由题意可得sinx ∈[﹣，1]，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大值．（2）根据题意，利用2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）﹣α，化简5sin β=sin （2α+β），再结合同角的三角函数关系，即可求出tan α的值．【解答】解：（1）∵x ∈[，]，∴sinx ∈[﹣，1]，则y=3﹣sinx ﹣2cos 2x=3﹣sinx ﹣2（1﹣sin 2x ）=2sin 2x ﹣sinx+1=2（sinx ﹣）2+，∴由二次函数性质可知当sinx=1或﹣时，y 取最大值2．（2）∵5sin β=sin （2α+β），∴sin[（α+β）+α]=5sin[（α+β）﹣α]，即sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α=5sin （α+β）cos α﹣5cos （α+β）sin α， ∴4sin （α+β）cos α=6cos （α+β）sin α，∴4tan（α+β）=6tanα，∴tanα=tan（α+β）=．。
浙江省西湖高级中学2018学年高一上学期期中考试数学试
西湖高级中学说明：本卷Ⅰ卷共100分，第Ⅱ卷共50分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（每题5分，共40分）1．34x =，则x =（ ）A ．4log 3B ．64C ．3log 4D ．812．设集合{}51A x x =-<≤，{}3B x x =≤，则A B 等于（ ） A ．{}51x x -<≤B ．{}53x x -≤≤C ．{}1x x <D ．{}3x x ≤3．函数y =的定义域为（ ） A ．[)()1,22,+∞ B ．()1,+∞ C ．[)1,2 D ．[)1,+∞4．下列函数中哪个与函数y x =相同（ ）A ．2y =B ．y =C ．yD ．2x y x= 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．3y x =-，x ∈RB ．2y x =，x ∈RC ．y x =，x ∈RD ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈R 6．设0.32a =，20.3b =，2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．函数()log 1a f x x =+，在()1,0-上有()0f x >，那么（ ）A ．()f x 在(),0-∞上是增函数B ．()f x 在(),0-∞上是减函数C ．()f x 在(),1-∞-上是增函数D ．()f x 在(),1-∞-上是减函数8．设定义在区间(),b b -上的函数()1log12ax f x x +=-是奇函数，（a ，b ∈R ，2a ≠-），则b a 的取值范围是（ ）A ．(1,B ．⎣C ．(1,D ．(0, 二、填空题（每题6分，共18分）9．计算201log 5.5310.06428-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，结果是__________． 10．关于x 的一元二次方程2210x mx m +++=一个根大于1，一个根小于1，则实数m 的取值范围是__________．11．函数()213log 28y x x =-++单调增区间是__________，值域是__________．三、简答题（共42分）12．（10分）设全集{}10U x x =是小于的正整数，{}1,2,3,4B =，{}3,4,5,6C =，求 （1）用列举法表示全集U（2）D B C =，则写出集合D 的所有子集（3）()U C B C13．（10分）从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家离公园入口都是2公里，甲从10点钟出发前往乙同学家，如图所示是甲同学从自己家出发到乙家经过的路程y （公里）和时间x （分钟）的关系．根据图象，回答下列问题：（1）甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？（2）写出()y f x =的解析式．14．（10分）已知()()()1122log 1log 1f x x x =+--（1）求()f x 的定义域；（2）求使()0f x >成立的x 的取值范围。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，则为（）A．B．C．D．2.已知角a的终边经过点，则的值等于（）A．B．C．D．3.已知，，那么的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．5.若，且则的值是（）A．B．C．D．6.若函数，则（）A．B．5C．101D．07.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）（1）在上单调递减；（2）最小正周期为；（3）是奇函数A．B．C．D．8.如图所示，长和高都为40m的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位m）的取值范围（）A．[10，30]B．[12，25]C．[15，20]D．[20，30]9.已知函数（其中），若的图象如右图所示，则函数的图象可能是（）10.已知，若时满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为．2.已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为______．3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，．4.存在实数x，使得关于x的不等式成立，则的取值范围为．5.若函数在上单调递增，则a的取值范围是．6.已知函数的值域为．7.已知，对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是．三、解答题1.计算：（1），求的值；（2）求值：．2.已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数的奇偶性；（Ⅲ）若，求的取值范围．3.已知函数，（其中为常数且）的图象经过点（1）求的解析式（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围4.设函数（1）求满足的值；（2）是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5.设二次函数的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设，求在[1，2]上的最大值（3）设在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．浙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可得，．故C正确．【考点】集合的运算．2.已知角a的终边经过点，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，．故A正确．【考点】任意角三角函数的定义．3.已知，，那么的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，的终边在第二象限．故B正确．【考点】三角函数所在象限的符号．4.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，即，且．又，．故A正确．【考点】对数，指数比较大小问题．5.若，且则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，．故C正确．【考点】1同角三角函数基本关系式；2正弦函数余弦函数比较大小问题．6.若函数，则（）A．B．5C．101D．0【答案】B【解析】，．故B正确．【考点】分段函数求值．7.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）（1）在上单调递减；（2）最小正周期为；（3）是奇函数A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的最小正周期为，函数是偶函数，函数的最小正周期也为，故排除A，B，D三个选项．同时满足题目中三个条件，故C正确．【考点】1三角函数的周期性，奇偶性，单调性；2诱导公式．8.如图所示，长和高都为40m的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位m）的取值范围（）A．[10，30]B．[12，25]C．[15，20]D．[20，30]【答案】A【解析】设内接矩形的高为，面积为．，，，即，解得．故A正确．【考点】1函数解析式；2一元二次不等式．9.已知函数（其中），若的图象如右图所示，则函数的图象可能是（）【答案】A【解析】令解得或．由图可知．，为减函数，故排除C，D选项．当时，所以排除B选项，故A正确．【考点】函数图像．10.已知，若时满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，且，即，整理可得．，，．，．故A正确．【考点】绝对值问题．二、填空题1.用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为．【答案】【解析】因为，所以第二次应计算．【考点】二分法．2.已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为______．【答案】【解析】，扇形所对的弧长，扇形面积为．【考点】扇形面积．3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，．【答案】【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，即．所以当时，，即当时．【考点】1函数的奇偶性；2函数解析式．4.存在实数x，使得关于x的不等式成立，则的取值范围为．【答案】【解析】存在实数，使得关于的不等式成立等价于存在实数，使得关于的不等式即成立．所以只需．令，则，所以．所以．【考点】1二次函数求最值；2转化思想．5.若函数在上单调递增，则a的取值范围是．【答案】【解析】，依题意可得．【考点】分段函数的单调性．6.已知函数的值域为．【答案】【解析】，令，，．，，，，．即．所以所求值域为．【考点】1指数函数的运算；2二次函数求值域问题．7.已知，对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是．【答案】或【解析】由函数解析式分析可知函数在上单调递增，在上也单调递增．若对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则函数必为连续函数，即有解．整理可得，因为，，解得或．【考点】对一次函数，二次函数性质的运用．三、解答题1.计算：（1），求的值；（2）求值：．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）先用诱导公式将其化简，再根据同角三角函数基本关系式将其转化为关于的式子即可求得其值．（2）根据指数，对数的性质及运算法则将其化简即可求得其值．试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1诱导公式，同角三角函数基本关系式；2指数，对数的性质，运算法则．2.已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数的奇偶性；（Ⅲ）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数为偶函数；（Ⅲ）或．【解析】（Ⅰ）根据对数的真数大于0即可求得其定义域．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义判断即可，若则函数为偶函数；若则函数为奇函数．（Ⅲ）可判断函数单调性，根据其单调性和奇偶性可得关于的不等式．从而可得的范围．试题解析：（Ⅰ），所以定义域为．（Ⅱ）为偶函数．（Ⅲ）因为可知在上为减函数，又为偶函数则原不等式可化为解得或．【考点】函数的奇偶性，单调性．3.已知函数，（其中为常数且）的图象经过点（1）求的解析式（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将点坐标代入函数的解析式即可求得的值．（2）可将问题转化为在上恒成立．即的最小值大于等于．可用二次函数配方法求得最小值．试题解析：（1）则， 4分（2）在上恒成立等价于在上恒成立令，当所以m的取值范围为．【考点】1指数函数的性质；2二次函数求最值；3转化思想．4.设函数（1）求满足的值；（2）是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）解方程即可求得的值．（2）因为，即，可将函数解析式中绝对值去掉，从而可得函数在上的单调性．根据单调性及对应函数值列式计算可求得的值．试题解析：解：（1）由知，所以或，于是或（2）因为当时，易知在上是减函数，又，在区间上的值域为所以【考点】1求函数值；2函数的单调性．5.设二次函数的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设，求在[1，2]上的最大值（3）设在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）将点代入函数解析式，又恒成立即恒成立，所以其图像开口向上且和至多有一个交点．解以上各式组成的方程组可求得的值．（2）为开口向下的抛物线，讨论其对称轴是否在区间内，再求其最值．（3）函数在区间上是增函数等价于函数在区间上是增函数，且恒成立．试题解析：解：（1）由题意知（2），对称轴当，即时，当，即时，综上所述，（3）由G（x）在区间[1，2]上是增函数得上为增函数且恒非负故【考点】二次函数的单调性，最值．。
浙江省杭州市西湖高级中学高一12月月考数学试题
卷Ⅰ一、选择题（每小题4分）1．在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是 （ ） A ．关于轴对称 B ．关于轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线对称 2．如下图所示，是全集，、是的子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2]4. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间上是减函数，在区间上是增函数，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 5．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．B ．C ．D ．6. 将化成分数指数幂的形式是（ ）A ． B. C. D. 7．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 8. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ） A B C D 9．若0<m <n ，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ． > 10. 函数的图象是（ ）11. 方程的实数解落在的区间是（ ） A. B. C. D.12．设，，，则（）A． B．C． D．13. 已知是定义在（上的单调增函数，若，则x的范围是（）A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<214．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)的是( ) A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数D．一次函数15．设，则使幂函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（）A．，1，3 B．，1 C．1，3 D．-1， 316. 函数过定点（）A（1，0） B（） C（1，1） D（）17. 若是奇函数，则的值为（）A 0B 1C －1D 218. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( )(A) (B) (C) (D)19．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )20. 设函数），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，则的大小关系为（ ）A B C. D.不确定二、填空题（每小题4分）21.方程的实数解的个数是 个； 22．函数)10(11≠>+=-a a ay x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点_________23．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是______________． 24．函数的定义域是 ．25．设f （x ）是定义在R 上奇函数，且当时，，则当时， ___卷Ⅱ一、填空题1.已知函数()2log ,0,3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则的值为_______________2. 若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是__________（单位）3.若方程的一根在区间上，另一根在区间上，则实数的范围 .4. 如果点位于第二象限，那么角所在象限是_____________5．已知为锐角，, ,则的值用表示为____ 二、解答题（每小题10分）6 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值7.已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求的值 (2)判断并证明在R 上的单调性 （3）若对任意的，不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求的取值范围8．已知函数f(x)定义域为[－1，1]，若对于任意的x，y∈[－1，1]，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，有f(x)＞0.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在[－1，1]上是增加的；(3)设f(1)＝1，若f(x)＜m－2am＋2，对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．杭西高2014年12月考高一数学试卷命题人：李国庆 审核人：钱敏剑卷Ⅰ一、选择题（每小题4分）C ．D ．6. 将化成分数指数幂的形式是（ A ）A ． B. C. D.8. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ D ） A B C D9．若0<m <n ，则下列结论正确的是( D )A ．2m >2nB ．(12)m <(12)n C ．log 2m >log 2n D ． >10. 函数的图象是（ A ）A B C D 11. 方程的实数解落在的区间是（ C ）（A ） （B ） （C ） （D ） 12．设，，，则( A )A ．B ．C ．D ．13. 已知是定义在（上的单调增函数，若，则x 的范围是（ D ）A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<214．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )的是( C )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数 15．设，则使幂函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（C ） A ．，1，3 B ．，1 C ． 1，3 D ．-1，3 16. 函数过定点（ A ）A （1，0）B （）C （1，1）D （） 17. 若是奇函数，则的值为（ B ）A 0B 1C －1D 2 18. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( C )(A) (B) (C) (D) 19．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( A )20. 设函数），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，则的大小关系为（ B ）A B C. D.不确定二、填空题（每小题4分）21.方程的实数解的个数是 2 个； 22．函数)10(11≠>+=-a a ay x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点_________23．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是___ ___________． 24．函数的定义域是 ．25．设f （x ）是定义在R 上奇函数，且当时，，则当时，卷Ⅱ一、填空题 1.已知函数()2log ,0,3,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则的值为______ _________2. 若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是_____16___（单位）3.若方程的一根在区间上，另一根在区间上，则实数的范围 .4. 如果点位于第二象限，那么角所在象限是_____第四象限________ 5．已知为锐角，, ,则的值___ ______ 二、解答题（每小题10分）6 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值解：K=2, tan 1,sin cos 22ααααα==-=-+=7.已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求的值 (2)判断并证明在R 上的单调性（3）若对任意的，不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求的取值范围（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴，解得b=1，（1分）∴ ∴∴a •2x+1=a+2x ，即a （2x-1）=2x-1对一切实数x 都成立， ∴a=1，故a=b=1．（4分） （2）∵a=b=1， ∴，f （x ）在R 上是减函数．（5分） 证明：设x1，x2∈R 且x1＜x2则=-∵x1＜x2，∴，，，∴f （x1）-f （x2）＞0即f （x1）＞f （x2）， ∴f （x ）在R 上是减函数，（10分） （3），8．已知函数f (x )定义域为[－1，1]，若对于任意的x ，y ∈[－1，1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，有f (x )＞0.(1)证明：f (x )为奇函数； (2)证明：f (x )在[－1，1]上是增加的；(3)设f (1)＝1，若f (x )＜m －2am ＋2，对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0. 令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； (2)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， 令－1≤x 1＜x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＞0 ∴f (x )在[－1， 1]上是增加的；(3)f (x )在[－1，1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )＜m －2am ＋2对所有x ∈[－1，1]恒成立，只要m －2am ＋2＞1，即m －2am ＋1＞0. 令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )＞0时a ∈[－1，1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＞0，g （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3m >0，1－m >0，－13<m <1，∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。
浙江省杭州市西湖高级中学高一数学12月月考试题(美术班)
浙江省杭州市西湖高级中学高一数学12月月考试题（美术班）一、选择题(每小题4分，共40分）： 1. 已知集合{}{}20,1,9,7,0A B ==，，则A B =（ ）A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}01,2,7,9，2. 函数()()4log 9f x x =-的定义域是（ ） A. ()0,9B. ()9,+∞C. (),9-∞D. (),4-∞3.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. 2()y x =与y x =B. 2ln y x =与2ln y x =C. 211x y x -=-与1y x =+D. 21x y x+=与1y x x =+4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x =B. 3y x =+C. 22y x =-+D. 2xy =5.已知40.50.540.5,log ,4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a << 6.已知函数21 (0,1)x y aa a +=+>≠且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．A. (-2, 2)B. (-2, 1)C. (-3, 1)D. (-3, 2)7. 已知函数y ＝f （x ）的定义域是R ，值域为[-2，3]，则值域也为[ -2，3]的函数是（ ） A.()+1y f x = B.()1y f x =+ C.()y f x =- D.()y f x =8.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数1()12xf x =（）的图象是（ ）A. B. C. D.9.设定义在区间),(b b -上的函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数（2,,-≠∈a R b a ），则b a 的取值范围是 （ ）A ．(]2,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22 C ．)2,1( D ．)2,0(10.定义在0+∞（，）上的函数()x f 满足：对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则称函数()x f 为“理想函数”。
浙江省杭州市西湖高中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则M∩（∁U N）=（）A．{2，3，4}B．{2}C．{3}D．{0，1}2．在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．3．已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．如果函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3 C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤95．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 26．设lg2=a，lg3=b，则log125=（）A．B．C．D．7．已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{ x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{ x|x＜﹣3或x＞3}D．{ x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}8．函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B． C． D．二、填空题（共36分，第9—12题每题6分，第13-15每题4分）9．函数f（x）=的定义域是；值域是．10．函数f（x）=log（﹣x2+4x﹣1），则当x=时，f（x）有最（填大或小）值．11．函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过点；若对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），则b=．12．函数y=log0.3（﹣x2+4x）的单调递增区间是；单调递减区间是．13．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数m的取值范围是．14．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为．15．设有限集合A={a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P={x|x=2n ﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k=．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）计算．17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞2}，B={x|﹣1≤2x﹣1﹣2≤6}．（1）求A∩B、（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．18．定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．19．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣log a（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则M∩（∁U N）=（）A．{2，3，4}B．{2}C．{3}D．{0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，∴∁U N={0，1，4}，∴M∩（∁U N）={0，1}．故选：D．2．在同一坐标系中，函数y=2﹣x与y=log2x的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】由函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，能得到正确答案．【解答】解：∵函数y=2﹣x=是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有A符合条件，故选A．3．已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数的图象及性质即可比较出大小．【解答】解：根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x的底数小于1，是减函数，∵2.1＜2.5，∴0.72.1＞0.72.5，即a＞b．又∵c=2.10.7＞2.10=1，a=0.72.1＜0.70=1，∴c＜a，所以：b＜a＜c，故选：A．4．如果函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3 C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤9【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3的对称轴x=﹣，开口朝上，f（x）在区间[1，4]上单调函数，﹣≤1 或﹣≥4【解答】解：由题意知，函数f（x）=x2+（1﹣a）x+3的对称轴x=﹣，开口朝上f（x）在区间[1，4]上单调函数，∴﹣≤1 或﹣≥4，∴a≥9或a≤3，故选：A．5．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=f（lne）=f（1）=2．故选：C．6．设lg2=a，lg3=b，则log125=（）A．B．C．D．【考点】换底公式的应用．【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，则log125==．故选：A．7．已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{ x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{ x|x＜﹣3或x＞3}D．{ x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数的单调性和奇偶性结合f（﹣3）=0，可得各个区间上函数值的符号，进而得到xf（x）＞0的解集【解答】解：∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，∴当x∈（0，3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＜0当x∈（3，+∞）时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0又∵y=f（x）为奇函数，∴y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣3）=0，∴当x∈（﹣∞，﹣3）时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x∈（﹣3，0）时，f（x）＞0，此时xf（x）＜0综上xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）故选C．8．函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B． C． D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=log2（2x）=log2x•（）=log2x•（2+2log2x），设t=log2x，则函数等价为y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故当t=﹣时，函数取得最小值﹣，故选：C二、填空题（共36分，第9—12题每题6分，第13-15每题4分）9．函数f（x）=的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞）；值域是（﹣∞，3）∪（3，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】解析式中分母含有未知数x，分母不能为0，可得定义域，利用分离常数法求解值域．【解答】解：由题意：分母不能为0，即x﹣2≠0，解得：x≠2，∴函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；函数f（x）=化简可得：f（x）==3+∵≠0∴f（x）≠3∴函数的值域为（﹣∞，3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（2，+∞）；（﹣∞，3）∪（3，+∞）．10．函数f（x）=log（﹣x2+4x﹣1），则当x=2时，f（x）有最小（填大或小）值﹣1．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先令t=﹣x2+4x﹣1，求出t的最大值，从而求原函数的最小值．【解答】解：令t=﹣x2+4x﹣1，t=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3≤3，∴f（x）=log（﹣x2+4x﹣1）≥﹣1，此时x=2，故答案为：2；小；﹣111．函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过点（1，2）；若对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），则b=．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】由函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过定点，说明此点的函数值与参数a无关，利用a0=1这个结论，对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），代入可求b【解答】解：函数f（x）=a x﹣1+1，当x=1，f（1）=2；∵对数函数g（x）=log b x的图象经过点（3，4），∴g（3）=log b3=4，∴b=，故答案为：12．函数y=log0.3（﹣x2+4x）的单调递增区间是[2，4）；单调递减区间是（0，2] ．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+4x＞0，求得函数的定义域为（0，4），y=log0.3t，本题即求函数t在定义域内的单调区间；再利用二次函数的性值可得，可得结论．【解答】解：令t=﹣x2+4x＞0，求得0＜x＜4，可得函数的定义域为（0，4），y=log0.3t，本题即求函数t在定义域内的单调区间．再利用二次函数的性值可得，t在定义域（0，4）内的减区间为[2，4），故函数y的增区间为[2，4）；t在定义域（0，4）内的增区间为（0，2]，故函数y的减区间为（0，2]，故答案为：[2，4）；（0，2]．13．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数m的取值范围是[0，8] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意知mx2+mx+2＞0在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m ≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起．【解答】解：∵f（x）=的定义域为R，∴mx2+mx+2≥0在R上恒成立，①当m=0时，有2＞0在R上恒成立，故符合条件；②当m≠0时，由，解得0＜m≤8，综上，实数m的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．14．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为（﹣，1] ．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数的单调性求出关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣＜a≤1，故答案为：（﹣，1]．15．设有限集合A={a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P={x|x=2n ﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k= 48．【考点】子集与真子集．【分析】由题意：集合P={x|x=2n﹣1，n∈N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子集之和即可．【解答】解：由题意：集合P={x|x=2n﹣1，n∈N*，n≤4}，那么：集合P={1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，由新定义可得：P1=9，P2=11，P3=13，P4=15则P 1+P 2+P 3+P 4=48． 故答案为：48．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）计算．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． （2）利用对数运算法则，化简求解即可．【解答】解：（1）原式==0.4﹣1﹣1+23+0.5 =2.5﹣1+8+0.5=10．…（2）原式====．…17．已知全集U=R ，集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}，B={x |﹣1≤2x ﹣1﹣2≤6}． （1）求A ∩B 、（∁U A ）∪（∁U B ）；（2）若集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出B ，利用两个集合的交集的定义，A ∩B ，利用（C U A ）∪（C U B ）=C U （A ∩B ），求出（∁U A ）∪（∁U B ）；（2）利用集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}的子集，可得2k ﹣1＞2或2k +1＜﹣4，即可求出实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）∵﹣1≤2x ﹣1﹣2≤6，∴1≤2x ﹣1≤8， ∴1≤2x ﹣1≤8，∴1≤x ≤4． ∴B={x |1≤x ≤4}．…又∵A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}，∴A ∩B={x |2＜x ≤4}，…（C U A ）∪（C U B ） =C U （A ∩B ）={x |x ≤2，或x ＞4}…（2）∵集合M={x |2k ﹣1≤x ≤2k +1}是集合A={x |x ＜﹣4，或x ＞2}的子集 ∴2k ﹣1＞2或2k +1＜﹣4，…∴或．即实数k 的取值范围为．…18．定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b ∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．（1）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）先令a=b=0计算f（0）=1，当x＜0时，f（x）=＞0，从而得出结论；（2）设x1＜x2，则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），于是f（x）在R上是增函数；（3）f（2）=4，利用函数的单调性得出3﹣2x＞2，解出答案．【解答】解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，∵f（0）=f（x）•f（﹣x）=1，∴f（x）=，∵f（﹣x）＞1，∴0＜＜1，即0＜f（x）＜1，又当x＞0，f（x）＞1；且f（0）=1，所以对任意x∈R，都有f（x）＞0．（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：设x1＜x2，则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又f（x1）＞0，∴f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数．（3）∵f（2）=f（1）•f（1）=4，∴f（3﹣2x）＞4⇔f（3﹣2x）＞f（2），∵f（x）在R上是增函数，∴3﹣2x＞2，解得x＜．∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集为（﹣∞，）．19．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．【解答】解：（1）对称轴x=﹣a①当﹣a≤0⇒a≥0时，f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1…②当﹣a≥2⇒a≤﹣2时，f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…③当0＜﹣a＜2⇒﹣2＜a＜0时，f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1…∴…（2）存在，由题知g（a）在是增函数，在是减函数∴时，，…g（a）﹣m≤0恒成立⇒g（a）max≤m，∴…，∵m为整数，∴m的最小值为0…20．函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣log a（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可．【解答】解：（1）由题意：f（x）=log3（3﹣3x），∴3﹣3x＞0，即x＜1，…所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）．…（2）易知g（x）=log a（3﹣ax）﹣log a（3+ax），∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，∴，关于原点对称，…又∵g（x）=log a（3﹣ax）﹣log a（3+ax）=，∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），…∴g（x）为奇函数．…（3）令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，…又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，…又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3）=1，…即f（3）=log a（3﹣3a）=1，∴．…2016年12月14日。
浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A． 2x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣5=0 C． x+2y﹣5=0 D． x﹣2y+7=02．已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）4．若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A． 4 B． C． D．6．以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=257．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角为（）A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm39．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A． 20π B． 25π C． 50π D． 200π11．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A． x2+y2﹣2x+4y=0 B． x2+y2+2x+4y=0C． x2+y2+2x﹣4y=0 D． x2+y2﹣2x﹣4y=012．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A． x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=013．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=8，在△ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（）A． 4 B． C． 3 D． 214．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二.填空题16．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 时，l1∥l2．17．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是．18．已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0．求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程．19．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是．20．若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为．21．设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为．22．与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是．23．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）三．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．直线l经过点P（2，﹣5），且与点A（3，﹣2）和B（﹣1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程．25．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．26．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A． 2x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣5=0 C． x+2y﹣5=0 D． x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．2．已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角．解答：解：由直线l的方程为x+y+4=0，化为斜截式得：，∴直线l的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）．由，得α=150°．故选：D．点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率之间的关系，是基础题．3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）考点：中点坐标公式．专题：计算题．分析：利用两点的中点坐标公式，直接求解即可．解答：解：由中点坐标公式可得，点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）．故选B．点评：本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用．4．若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标与半径即可．解答：解：∵圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，∴圆心坐标为（1，﹣5），半径r=．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，是一道基础题．解题的关键是掌握圆的标准方程为（x ﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心坐标为（a，b），半径为r．5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．解答：解：直线3x﹣2y﹣3=0即 6x﹣4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=﹣4．可得它们间的距离为 d==，故选：D．点评：本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．6．以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=25考点：圆的标准方程．专题：综合题．分析：要求圆的方程，即要求圆心坐标和半径，由AB为所求圆的直径，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：设线段AB的中点为C，则C的坐标为（，）即为（1，2），所求圆的圆心坐标为（1，2）；又|AC|==5，则圆的半径为5，所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．故选C点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角为（）A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，∴异面直线m、n所成的角为60°．故答案为60°，选B．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，∴三棱锥的体积是=cm3，故选：C．点评：本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n考点：平面与平面平行的判定．专题：证明题．分析：通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．解答：解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选 D．点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．10．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A． 20π B． 25π C． 50π D． 200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．11．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A． x2+y2﹣2x+4y=0 B． x2+y2+2x+4y=0C． x2+y2+2x﹣4y=0 D． x2+y2﹣2x﹣4y=0考点：圆的一般方程；恒过定点的直线．分析：先求直线过的定点，然后写出方程．解答：解：由（a﹣1）x﹣y+a+1=0得（x+1）a﹣（x+y﹣1）=0，∴x+1=0且x+y﹣1=0，解得x=﹣1，y=2，该直线恒过点（﹣1，2），∴所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．即x2+y2+2x﹣4y=0．故选C点评：本题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题．12．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A． x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：K op=k AB k OP=﹣1k AB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．13．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=8，在△ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（）A． 4 B． C． 3 D． 2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；数形结合．分析：由P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，我们易得PB=PC，取BC的中点D，则AD⊥BC，且PD⊥BC，利用勾股定理我们易求出AD的长，进而求出PD的长，即点P到BC的距离．解答：解：如下图所示：设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则PD长即为P点到BC的距离又∵AD即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高∵BC=6，AB=AC=5，易得AD=4在直角三角形PAD中，又∵PA=8∴PD=4故选A点评：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD 即为点P到BC的垂线段是解答本题的关键．14．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误解答：解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD ⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B点评：本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题二.填空题15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．16．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l1∥l2．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行的条件可得：，解后注意验证．解答：解：由平行的条件可得：，由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题．17．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是（x+2）2+y2=4 ．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=4（a＜0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=﹣2，即可得出所求圆的方程．解答：解：设圆的圆心为（a，0）（a＜0），由圆的半径为2，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=4，又∵原点O（0，0）在圆上，∴（0﹣a）2+02=4，得a2=4，解得a=﹣2（舍正）由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4．故答案为：（x+2）2+y2=4点评：本题已知圆满足的条件，求圆的标准方程．着重考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系等知识，属于基础题．18．已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0．求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程x+y﹣2=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解答：解：联立两圆的方程得：，②﹣①得：2x+2y﹣14=﹣10，即x+y﹣2=0．所以经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0点评：此题考查学生掌握圆与圆的位置关系及判定，是一道中档题．本题的突破点是联立两圆方程消去x与y的平方项．19．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．解答：解：直线斜截式方程为y=﹣cosθx﹣m，即直线的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，当0≤tanα≤1时，0≤α≤，当﹣1≤tanα＜0时，≤α＜π，综上0≤α≤或≤α＜π，故答案为：点评：本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系，根据正切函数的图象和性质是解决本题的关键．．20．若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为3．考点：两条平行直线间的距离；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．解答：解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故答案为：．点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力．21．设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为+2 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，其最大值为圆心（0，﹣4）与（1，1）的距离加上半径．解答：解：根据题意，表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，则其最大值为圆心（0，﹣4）与（1，1）的距离加上半径，即的最大值为：+2=+2．故答案为：．点评：本题考查与圆上点相关的最大值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和两点间距离公式的合理运用．22．与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1 ．考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：利用两圆相外切的性质即可列出方程．解答：解：设M（x，y）为所求轨迹上任一点，则由题意知1+|y|=，化简得x2=2|y|+1．因此与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1．故答案为x2=2|y|+1．点评：熟练掌握两圆相外切的性质是解题的关键．23．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）考点：充要条件．专题：常规题型．分析：本题首先要理解充分、必要条件的概念及题目中的条件和结论，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．解答：解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知 l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．三．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．直线l经过点P（2，﹣5），且与点A（3，﹣2）和B（﹣1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程．考点：直线的一般式方程；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：首先设直线l的方程为y+5=k•（x﹣2），然后根据点到直线的距离公式得出，求出k的值，即可求出直线方程．解答：解：∵直线l过P（2，﹣5），∴可设直线l的方程为y+5=k•（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣5=0．∴A（3，﹣2）到直线l的距离为d1=B（﹣1，6）到直线l的距离为d2=∵d1：d2=1：2∴∴k2+18k+17=0．解得k1=﹣1，k2=﹣17．∴所求直线方程为x+y+3=0和17x+y﹣29=0．点评：此题考查了直线的一般方程和点到直线的距离公式，熟练掌握点到直线的距离公式是解题的关键，属于中档题．25．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设点C 1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解法二：如图建系O﹣xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（4分）（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设点C 1到平面AA1B1的距离为d，∵，即•d．（10分）又∵在△AA 1B1中，，∴S△AA1B1=．∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）解法二：如图建系O﹣xyz，，，C1（0，1，0），B1（2，1，0），．（2分）（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（6分）（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB1⊥A1C，∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，∵，设平面AA1B1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分）∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）点评：本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．26．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．考点：直线的一般式方程；直线的斜率．专题：计算题；应用题；压轴题．分析：（I）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程．（II）同（I）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！解答：解：（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG•k=﹣1，k=﹣1⇒a=﹣k．故G点坐标为G（﹣k，1）（﹣2≤k＜0）．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（﹣，）．折痕所在的直线方程y﹣=k（x+），即y=kx++（﹣2≤k＜0）．由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，y=；k≠0时y=kx++（﹣2≤k＜0）．（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；（2）当k≠0时，①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，），P （2，2k+）．这时，﹣2+＜k＜0，y=PN2=4+4k2=4（1+k2）∈（4，16（2﹣））②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，），P（﹣，0）．这时，﹣1≤k≤﹣2+，y=+=．y′==令y′=0解得k=﹣，∵y=|k=﹣1=2，y==，y=16（2﹣），∴y∈[，16（2﹣）]③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（，1），P（﹣，0）．这时，﹣2≤k＜﹣1，y=PN2=+1∈[，2）．综上述，y max=16（2﹣）所以折痕的长度的最大值=2（﹣）（≈2.07）．点评：分类讨论思想是中学的四大数学思想之一，利用分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养．但在针对本题的解答中，要注意分析所有的可能情况，并要注意不重分，不漏分．。
高中浙江省杭州市西湖高级中学高一上学期12月月考数学试题
浙江省杭州市西湖高级中学【精品】高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M={}2|650x x x -+=，N={}2|50x x x -=，则MN 等于（ ）A ．｛0｝B ．｛0，5｝C ．｛0，1，5｝D ．｛0，－1，－5｝ 2．函数()()lg 21f x x =+的定义域为（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()0,∞+3．sin330︒等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 4．下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．2(),()ln 2ln f x g x x x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==5．函数()()2212f x x a x =-+-+在区间(],4-∞上递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．(),3-∞-C ．(],5-∞D ．[)5,+∞ 6．若0.52a =，πlog 3b=，2log 0.5c =，则（） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 7．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)8．函数y =A ．[0,)+∞B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 9．已知01a <<，则方程log x a a x =根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A ．1()0f x <，()20f x <B ．1()0f x <，()20f x >C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >二、双空题11．计算：（1）()101321142924---⎛⎫⎛⎫-⋅-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. （2）()2lg 25lg 2lg50lg 2+⋅+=______.12．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .13．已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α是______，sin 2cos αα-的值是______. 14．已知函数()()()()2211222x x f x xx x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，()2f f -=⎡⎤⎣⎦______，若()10f a =，则a =______.三、填空题 15．已知幂函数()()()2222m f x m m x m -=--⋅∈Z 是在()0,∞+上的减函数，则m 的值为______.16．已知函数()()32,21,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k 的取值范围是______.17．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2xf x =.若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是______.四、解答题18．若集合{}2|60M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，求实数a 的值. 19．已知()log (1),()log (1)(0,1)a a f x x g x x a a =+=->≠.（1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明；（3）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围.20．(1)m 为何值时，()2234f x x mx m +++＝.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数()24f x x x a +＝－有4个零点，求实数a 的取值范围． 21．已知函数()()21,232x f x g x ax x ==+-. （1）当1a =时，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的单调递增区间、值域；（2）求函数()g f x ⎡⎤⎣⎦在区间[)2,-+∞的最大值()h a .22．已知()()()log ,2log 22a a f x x g x x t ==+-（1）当[]4,1,2t x =∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值． （2）当[]01,1,2a x <<∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．C【解析】{}{}{}1,5,0,50,1,5M N M N ==∴⋃=,选C.2．A【解析】【分析】根据对数式的真数大于零求解出x 的范围即为定义域.【详解】因为210x +>，所以12x >-，所以定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.形如()()log a f x g x =(0a >且1a ≠)的定义域即为()0g x >时的解集.3．B【解析】 000001sin 330sin(36030)sin(30)sin 302=-=-=-=-故选B 4．A【分析】 依次判断函数的定义域和表达式是否相等，判断得到答案.【详解】A. (),()f x x g x x ===，函数的定义域均为R ，表达式相同，故表示同一函数；B. 2()ln f x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()2ln g x x =定义域为()0,∞+，不相同；C. 21()1x f x x -=-定义域为()(),11,-∞+∞ ()1g x x =+的定义域为R ，不相同；D. ()f x =定义域为[)1,+∞，()g x =(][),11,-∞-+∞，不相同；【点睛】本题考查了同一函数的判断，意在考查学生对于函数定义的理解和掌握情况.5．D【分析】利用二次函数的对称轴以及开口方向得到关于a 的不等式，从而可求a 的取值范围.【详解】因为()f x 的对称轴为1x a =-且()f x 的开口向下，又因为()f x 在(],4-∞上递增，所以14a -≥，所以[)5,a ∈+∞.故选：D .【点睛】本题考查根据二次函数的单调性求解参数范围，难度较易.分析二次函数的单调性时要从两个方面考虑问题：二次函数的对称轴，二次函数的开口方向. 6．B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出a b c 、、的范围，即可得结果.【详解】根据指数函数的单调性可得0.50221a =>=，根据对数函数的单调性可得220log 1log 3log 1,log 0.5log 10b c ππππ=<=<==<<,则a b c >>，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7．A考点：奇偶性与单调性的综合．分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f （x ）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）故选A ．8．C【详解】试题分析：由于016416x ≤-<，所以[)0,4y ∈.即值域为[0,4)，故选C.考点：值域.9．B【分析】在同一平面直角坐标系中作出()x f x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数.【详解】作出()x f x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2. 故选：B .【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．B【分析】转化0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点为0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，则0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当()101,x x ∈时，2xy =在11y x =-下方，即()10<f x ； 当()20,x x ∈+∞时，2x y =在11y x =-上方，即()20f x >， 故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想11．1962 【分析】(1)根据整数指数幂和分式指数幂的运算法则完成计算；(2)利用对数运算性质以及对数恒等式lg 2lg51+=完成计算.【详解】 (1) ()()1013231211114292412429---⎛⎫⎛⎫-⋅-+-=-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 111921236=++-=； (2) ()()()222lg 25lg 2lg50lg 2lg5lg 2lg5lg10lg 2+⋅+=+++ ()()22lg5lg 2lg5lg 2lg 22lg5lg 2lg 2lg5lg 2=+⋅++=+++ ()2lg5lg2lg22lg2lg52=++=+=.【点睛】本题考查指数与对数的计算，难度较易.(1)计算负分数指数幂时可先转为正分数指数幂然后再计算；(2)计算对数时注意对数的运算法则以及对数的换底公式和对数恒等式lg 2lg51+=的运用.12．2 4【分析】根据周长等于弧长加上两个半径以及弧长的计算公式即可求解出半径，再利用扇形面积公式即可求解出扇形面积.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ， 因为282l r l r r α+=⎧⎨==⎩，所以2r ， 又因为212S r α=，所以212242S =⨯⨯=. 故答案为：2；4.【点睛】本题考查扇形的弧长与面积公式的简单应用，难度较易.已知扇形的圆心角为()0αα>，半径为r ，则弧长为l r α=，扇形面积为21122S lr r α==. 13．43- 2 【分析】根据三角函数的定义可求解出sin ,cos ,tan ααα的值，从而可计算出sin 2cos αα-的值.【详解】因为5OP ==，所以434sin ,cos ,tan 553ααα==-=-， 所以43sin 2cos 2255αα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 故答案为：43-；2. 【点睛】 本题考查根据三角函数的定义求解三角函数值，难度较易.已知角α终边上一点P (不在单位圆上)的坐标，可先求出P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解三角函数值.14．0 5【分析】根据2-所在的区间段即可计算出()2f -，从而计算出()2f f -⎡⎤⎣⎦；分别考虑每段函数解析式等于10，求解出满足的a 的值即可. 【详解】因为()2220f -=-+=，()2000f ==，所以()20f f -=⎡⎤⎣⎦；当1a ≤-时，210a +=，所以8a =，不符合，当1a 2-<<时，210a =，所以a =，不符合， 当2a ≥时，210a =，所以5a =，符合. 故答案为：0；5. 【点睛】本题考查分段函数求值以及根据分段函数值求参数，难度较易. (1)处理嵌套函数值的计算，可采取由内而外的方法逐步计算； (2)处理分段函数的计算，关键是对应定义域去完成相关问题的求解. 15．1- 【分析】根据()f x 是幂函数得到m 的可取值，再根据()f x 在()0,∞+上递减，分别代入m 的值进行判断即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2221m m --=，所以3m =或1-， 当3m =时，()f x x =，此时()f x 在()0,∞+上递增，不符合， 当1m =-时，()3f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上递减，符合.故答案为：1-. 【点睛】本题考查根据幂函数的定义以及单调性求解参数，难度较易.幂函数()f x x α=，当0α>时()f x 在()0,∞+上递增，当0α<时()f x 在()0,∞+上递减. 16．()0,1 【分析】分类讨论代入解析式，求出()f x k =的两个根为2x k =，1x =+由22k≥且12+<可解得结果. 【详解】当2x ≥时，()f x k =即为2k x=，解得2x k =，当2x <时，()f x k =即为3(1)x k -=，解得1x =+因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，所以22k≥且12+<， 解得01k <≤且1k <， 所以01k <<. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题. 17．(],2-∞- 【分析】先根据奇偶性求解出()f x 的解析式，判断出()f x 的单调性并将()3f x 转化为()3f x ，从而得到关于,x t 的不等式，利用恒成立思想求解出t 的取值范围. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 当0x <时，0x ->，所以()()2xf x f x --==-，所以()2x f x -=-，所以()2,00,02,0x x x f x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，因为2xy =在()0,∞+上递增，2x y -=-在(),0-∞上递增，且00202->>-，所以()f x 在R 上递增，又因为()()333332,02,00,0,30,02,02,0x x x x x x f x x f x x x x --⎧⎧>>⎪⎪====⎨⎨⎪⎪-<-<⎩⎩，所以()()33f x f x =，因为()()3f x t fx +≥，所以()()3f x t f x +≥，所以3x t x +≥在[],1t t +上恒成立，所以2t x ≥在[],1t t +上恒成立， 所以()max 2t x ≥，22t t ≥+，所以(],2t ∈-∞-. 故答案为：(],2-∞-. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式以及根据函数的单调性求解参数范围，难度较难.(1)若()xf x a =(0a >且1a ≠)，则()()()nf x f nx n Z =∈⎡⎤⎣⎦；(2)利用函数的单调性可将函数值之间大小关系转化为自变量之间的大小关系. 18．110,,32- 【分析】解一元二次方程求出集合M ，根据N M ⊆可分为N =∅和N ≠∅两种情况来讨论，构造方程求得结果. 【详解】{}{}2602,3M x x x =+-==-①当0a =时，N =∅，满足N M ⊆ ②当0a ≠时，1N a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭N M ⊆ 12a∴=或3- 12a ∴=或13-综上所述：实数a 的值为110,,32-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成参数的取值缺失.19．（1）{x |−1<x <1}；（2）奇函数；（3）当a >1时,(0,1)；当0<a <1时, (−1,0). 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求出函数的定义域；（2）判断函数f （x ）-g （x ）的奇偶性直接利用函数奇偶性的定义；（3）讨论a 与1的大小关系，根据函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域．(1)使函数f (x )−g (x )有意义,必须有：1+x >0且1−x >0 解得：−1<x <1 所以函数f (x )−g (x )的定义域是{x |−1<x <1} (2)函数f (x )−g (x )是奇函数 证明：∵x ∈(−1,1),−x ∈(−1,1), f (−x )−g (−x )=log a (1−x )−log a (1+x ) =−[log a (1+x )−log a (1−x )]=−[f (x )−g (x )] ∴函数f (x )−g (x )是奇函数 (3)使f (x )−g (x )>0,即log a (1+x )>log a (1−x )当a >1时,有 111010x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩ 解得x 的取值范围是(0,1)； 当0<a <1时,有111010x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得x 的取值范围是(−1,0) 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .20．(1) ① m ＝4或m ＝－1；②(－5，－1)；(2) (－4,0)． 【解析】试题分析：（1）①()2234f x x mx m +++＝有且仅有一个零点⇔方程()0f x ＝有两个相等实根⇔Δ＝0；②设f (x )的两个零点分别为12x x ，，则12x x +＝－2m ，12x x ＝3m ＋4.由题意，知()()()()()2121244340110110m m x x x x ⎧=-+>⎪++>⎨⎪++>⎩；（2）数形结合，作出g (x )＝|4x －x 2|和h (x )＝－a 的图象即可.(1)①()2234f x x mx m +++＝有且仅有一个零点⇔方程()0f x ＝有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②设f (x )的两个零点分别为12x x ，， 则12x x +＝－2m ，12x x ＝3m ＋4.由题意，知()()()()()2121244340110110m m x x x x ⎧=-+>⎪++>⎨⎪++>⎩⇔234034310220m m m m m ⎧-->⎪+-+>⎨⎪-+>⎩⇔∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)． (2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0， 则|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )，h (x )的图象．由图象可知，当0＜－a ＜4，即40a －＜＜时，g (x )与h (x )的图象有4个交点. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21．(1)单调递增区间为(],1-∞-，值域(]0,16；(2)()116541134a a h a a a⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<- ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】(1)先求解出()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式，然后根据复合函数的单调性求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的单调增区间以及函数值域；(2)采用换元法令()f x t =，根据二次函数的对称轴与区间的关系，得到二次函数在指定区间的单调性，从而求解出函数的最大值()h a . 【详解】（1）当1a =时，()12xf x =为单调递减函数， ()223g x x x =+-在(],1-∞-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数()22312x x f g x +-=⎡⎤⎣⎦的单调递增区间为(],1-∞-，因为()()[)2223144,g x x x x =+-=+-∈-+∞，所以(]22310,162x x +-∈，所以()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为(]0,16. （2）令()(]10,42xt f x ==∈，即求()g t 在(]0,4上的最大值()h a ， 对于()223g t at t =+-，当0a =时：()23g t t =-，在(]0,4上单调递增，所以()()45h a g ==，当0a >时：对称轴10t a =-<，()g t 在(]0,4上单调递增，所以()()4165h a g a ==+， 当0a <时：对称轴10t a=->，若14a -<，即14a ->时，()g t 在10,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，1,4a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以()113h a g a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，若14a -≥，即104a -≤<时，()g t 在(]0,4上单调递增，所以()()4165h a g a ==+， 综上可知()116541134a a h a a a ⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<- ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】本题考查复合函数的单调区间、最值、值域问题，难度一般.(1)复合函数的单调性判断方法：同增异减(内外层函数单调性相同时整个函数为增函数， 内外层函数单调性相反时整个函数为减函数)； (2)求解()()g x f x a=形式的函数的最值，可根据()g x 与xy a =的单调性来分析；求解()()xf xg a =形式的函数的最值，可采用换元法求解函数的值域，同时要注意新元范围. 22．（1）； (2）.【解析】试题分析：（1）求得()()222142x h x x xx +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得12[4,16]x x++∈ ，再分若a ＞1，0＜a ＜1列出相应的方程并求解． （2）由已知()222a a log x log x t ≥+-，在x ∈[1，2]时恒成立．0＜a ＜1，转化为在22x t ≤+- x ∈[1，2]时恒成立．（1）当4t =时，()()()()[]222,1,2ax F x g x f x log x x+=-=∈，令()()[]222142,1,2x h x x x xx +⎛⎫==++∈ ⎪⎝⎭，又()h x 在[]1,2上是单调递增函数，()()min max 16,18h x h x ∴== 当01a <<时，有()min 18a F x log =，令182,a log =求得1a =>，舍去当1a >时，有()min 16a F x log =，令162,a log =求得41a =>，4a ∴= （2）当[]01,1,2a x <<∈时，有()()f x g x ≥恒成立，即 当[]01,1,2a x <<∈时，()222a a log x log x t ≥+-恒成立，由()222a a log x log x t ≥+-可得()222a log log x t ≥+-，再由22,22x t t x ≤+-∴≥-+设()[]()()2min 22221,211u x x x u x u =-=-+∈∴==∴实数t 的取值范围为[)1+∞，点睛：第一问是复合函数问题，函数做差，转化为内层是对勾函数形式的最值问题；第二问当01a <<22x t ≤+-，再由不等式恒成立求参问题，变量分离，转函数最值问题.。
浙江省杭州市西湖高级中学1718学年度高一12月月考——
浙江省杭州市西湖高级中学2017—2018学年度上学期12月月考高一数学试题试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间：120分钟出卷人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．函数y=的定义域为（）A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）3．= ( )A. 14B. -14C. 12D. -124．若函数f（x）=2312325x xx x⎧--≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩，则方程f（x）=1的解是（）A.或2B.或3C.或4D. ±或45．若，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b 6．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x－1，B．f(x)＝|x|，C．f(x)＝x，D．f(x)＝2x，7．已知，则f（5）=（）A. B. C. D. lg58．函数的单调增区间是（）A. B. C. D.9．函数的大致图象是（）10．设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. {0.1110}x x x <<>或 B. {00.110}x x x <<>或 C. {0.110}x x x <>或 D. {0.1110}x x x <<<<或1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若函数，则函数=12．函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为____________ 13．设是上的奇函数，且当时，，则当时_________________14．函数的最大值是15．方程07)1(2=-+++m x m x 有两个负根，则的取值范围是三、解答题（本大题共3小题，共30分）16．已知集合{|11}A x a x a =-<<+，，（1）若，求； （2）若，求实数a 的取值范围17．已知函数()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数，且.（1）求的值；（2）求函数在上的值域.18.已知：函数f （x ）= log (1)log (1)a a x x +--（a>0且a≠1）.（1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；（3）设a=，解不等式f （x ）>0.卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于2．函数,则的单调增区间为3．在直线已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边上，则3πsin()cos(π-)2sin()sin(π-)2θθθθ++=-- 4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中）的部分图象如图所示．则函数的解析式为5．已知函数f （x ）= 21311log [()2()2]33-⋅-x x ，则满足f （x ）<0的x 的取值范围是 6．设函数，给出四个命题：①是偶函数； ②是实数集上的增函数；③，函数的图像关于原点对称； ④函数有两个零点.命题正确的有二．解答题（本大题共2小题，共26分）7．存在实数，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间上的最大值为 1？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.8．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．（1）求，的值；（2）设，证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，是否存在实数和（），使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出和的值答案卷一一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 12. 13.x(1- ³√x) 14. 15. 0<m<1 .三、解答题（本大题共2小题，共20分） 17.（1）当时，13{},{01}22A x xB x x =-<<=<<,。
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杭西高2017年12月高一数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间：120分钟出卷人： 审核人：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合{1,0,1}M =-，2{}N x x x ==，则MN =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1}D ．{0} 2．函数）A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）3．43662log 2log 98+-= ( )A. 14B. -14C. 12D. -124．若函数f （x ）= 2312325x x x x ⎧--≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩，则方程f （x ）=1的解是 （ ）A.2B.3C.4 D.45．若432a =，b=254，c=3log 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，2()=1x g x x-B ．f (x )＝|x |，2(g xC ．f (x )＝x，(g x D ．f (x )＝2x，(g x 7．已知(10)x f x =，则f （5）=（ ） A. 510B. 105C. 5log 10D. lg58．函数的单调增区间是（ ）A.B.C.D.9．函数||2x y =的大致图象是 （ ）10．设函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又(1)0f -=，则(lg )0f x >的解集是（ ）A. {0.1110}x x x <<>或B. {00.110}x x x <<>或C. {0.110}x x x <>或D. {0.1110}x x x <<<<或1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若函数(1)21x f x -=-，则函数)(x f = 12．函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为____________13．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_________________14．函数21()1f x x x =-+的最大值是 15．方程07)1(2=-+++m x m x 有两个负根，则m 的取值范围是 三、解答题（本大题共3小题，共30分）16．已知集合{|11}A x a x a =-<<+，2{|0}B x x x =->， （1）若21=a ，求B A ⋂； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围 17．已知函数()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数，且()10f =.（1）求,a b 的值；（2）求函数()()1g x f x =-在[]0,3上的值域.18.已知：函数f （x ）= log (1)log (1)a a x x +--（a>0且a ≠1）. （1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明； （3）设a=12，解不等式f （x ）>0. 卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 2．函数7()sin(2)6f x x π=+,则12log ()y f x =的单调增区间为3．在直线已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边20x y -=上，4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示．则函数()y f x =的解析式为5．已知函数f （x ）= 21311log [()2()2]33-⋅-x x，则满足f （x ）<0的x 的取值范围是 6．设函数b x x x f +=||)(，给出四个命题：①)(x f y =是偶函数； ②)(x f 是实数集R 上的增函数； ③0=b ，函数)(x f 的图像关于原点对称； ④函数)(x f 有两个零点. 命题正确的有二．解答题（本大题共2小题，共26分）7．存在实数a ，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间[0,]2π上的最大值为1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.8．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．（1）求，的值； （2）设，证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，是否存在实数和（），使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出和的值答案 卷一一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 121x +- 12. []1,4 13.x(1- ³√x) 14. 3415. 0<m<1 .三、解答题（本大题共2小题，共20分）17.（1）当21=a 时，13{},{01}22A x xB x x =-<<=<<,。
2分13{}{01}22A B x x x x ∴=-<<<<}10{<<=x x 。
4分(2) A B =∅ 1）若A=Ф，则 a -1≥2a +1 a ≤2 。
5分 2）若A ǂФ，则11≥-a 或10a +≤,且a 1＜2a+1 。
7分-2＜a ≤-½ 或 a ≥2 。
8分综上1）、2）可得 1a ≤-或2≥a . 。
9分所以实数a 的取值范围是(][)+∞-∞-,21, 。
18．（1）2,0a b =-=；（2）[6,2]-. 【解析】试题分析：(1)由偶函数定义知)()(x f x f =-恒成立,由此可求b ,由(1)0f =可求a ；(2)根据图象平移可得)1(-x f 的解析式,根据二次函数的性质可求值域.试题解析：（1）)0(2)(2≠+-=a bx ax x f 是偶函数，0=∴b ，．．．．．．．．．．．．．．3分又0)1(=f ，,202-=⇒=+∴a a .0,2=-=∴b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）由（1）知，22)(2+-=x x f ，]3,0[,2)1(2)1()(2∈+--=-=∴x x x f x g ．．．．．8分即：函数)(x g 在]1,0[上单调递增，在]3,1[上单调递减．．．．．．．．．．．．．．9分当1=x 时，有2)1()(max ==g x g ；．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分 当3=x 时，有6)3()(min -==g x g ．．．．．．．．．．．．．．．12分 ∴函数)(x g 在]3,0[上的值域为]2,6[-.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数的性质，二次函数值域.18. 解：（Ⅰ）由题知：1010x x +>⎧⎨->⎩，解得：-1<x<1，所以函数f （x ）的定义域为（-1，1）；3分（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数f （x ）的定义域为（-1，1），所以对任意x ∈（-1，1）， f （-x ）= log (1)log (1())a a x x -+---=[log (1)log (1)]a a x x -+--=-f （x ） 所以函数f （x ）是奇函数；6分（Ⅲ）由题知：1122log (1)log (1),x x +>-即有101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：-1<x<0，所以不等式f （x ）>0的解集为{x|-1<x<0}. 10分卷二一、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7【答案】存在实数.解：, 当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令则0≤t≤1， ∴，0≤t≤1.当，即0≤a≤2时，则当，即时.，解得或a ＝－4(舍去)．当，即a＜0时，则当t＝0，即时，，解得(舍去)．当，即a＞2时，则当t＝1，即时，，解得(舍去)．综上知，存在符合题意．考点：同角三角函数的基本关系式，二次函数求最值.8【答案】(1) ，;(2)见解析；(3) ，．【解析】试题分析：(1)利用二次函数的单调性，明确函数的最值，得到关于a，b的方程组，解之即可；(2)函数的图象与直线最多只有一个交点转化为y=k与y=最多只有一个交点，(3)由可知：，即在上单增，从而转化为方程的两个不等实根.试题解析：（Ⅰ）在上单增，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，令，令任取，则，，，，即为上的单增函数对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点备注：若此问用分析法说明的得一半的分（Ⅲ）由题知：，，假设存在实数，使得当时，的值域为，则，，在上单增，则为方程的两个不等实根由得：，，经检验，满足条件，故存在.，.。