崔永凤. 妙招巧解不等式
利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型山西大学附属中学 韩永权 邮箱：hyq616@不等式的证明是近几年高考的一个热点题型，它一般出现的压轴题的位置，解决起来比较困难。
本文给出这一类问题常见的证明方法，给将要参加高考的学子一些启示和帮助。
只要大家认真领会和掌握本文的内容，定会增强解决对这一类问题的办法。
下面听我慢慢道来。
题型一 构造函数法，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
例1（人教版选修2-2第32页B 组1题）利用函数的单调性，证明不列不等式（1）),0(,sinx π∈<x x (2))1,0(,02∈>-x x x (3)0,1≠+>x x e x(4)0,ln ><<x e x x x这四道题比较简单，证明的过程分三个步骤，一是构造函数，二是对函数求导，判断函数的单调性，三是求此函数的最值，得出结论。
例2.当1->x 时，求证：x x x ≤+≤+-)1ln(111 证明：令x x x f -+=)1ln()(，则1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ,当0>x 时，0)(<'x f ，()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln(（右面得证），再证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ，22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x∴111)1ln(+-≥+x x （左面得证），综上，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时启示：证明分三个步骤，一是构造函数，二是对函数求导，判断函数的单调性，三是求此函数的最值，得出结论。
人教版初一数学下册9.1.2 不等式的性质(第一课时)教学设计
9.1.2 不等式的性质（第一课时）教学设计
瓦房店第十四初级中学曹健
教学目标：
1 知识与技能：
探索并理解不等式的性质；能利用不等式的性质判断变形后式子大小
2 过程与方法：
经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，体会类比的数学方法，进一步发展学生的符号表达能力；
3 情感态度与价值观：
通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。
教学重难点：探索不等式的性质
教学设计
板书设计：9.1.2 不等式的性质（第一课时）。
“不等式”在解题中的巧用
第30卷 第9期2001年9月 中学物理教学参考Ph ysics T each ing in M iddle Schoo l Vo l .30 No.9Sep.2001●习题研究●“不等式”在解题中的巧用王永利 于凤雁(山东省临沭一中 276700) “不等式”在物理解题中,特别是在高考物理试题中频频运用,成为考查考生运用数学工具解决物理问题能力的一个重要方面,但“不等式”在物理解题中有哪些具体应用呢?又如何进行巧妙运用呢?笔者特归纳如下:一、巧用不等式比较物理量的大小例1 在如图1所示的两种电路中,电源相同,各电阻器阻值相等,各电流表的内阻相等且不可忽略不计,电流表A 1、A 2、A 3和A 4读出的电流值分别为I 1、I 2、I 3和I 4,下列关系式中正确的是:图1A .I 1=I 3B .I 1<I 4C .I 2=2I 1 D.I 2<I 3+I 4分析与解:从所给的电路图和所给的选项可以看出A 选项比较的是对应电阻上的电流,只要A 选项的比较结果确定,B 选项就容易判断;C 选项是比较同一电路中干路电流和支路电流的关系,显然不正确;D 选项是比较两电路中的总电流,这是本题的关键所在.本题若不采用简化的方法,比较两电路的总电阻较复杂.下面作如下不等简化.假设A 1电阻为零,并设每只电流表的内阻为r A ,电源的内阻为r ,则由电阻串、并联知识可知(a )、(b )两电路的总电阻:R a >r +(r A +R ),R =+R +,由此可知R >R ,由闭合电路的欧姆定律可知,I 2<I 3+I 4,故选项D 正确.现在容易比较A 、B 了,由电路图1a 可知I 1<I 22<I 3+I 42=I 3=I 4,因此B 选项也正确.二、运用不等式建立几何关系例2 (1991年高考试题)在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B ,质量分别为m 和2m ,当两球心间距离大于L (比2r 大得多)时,两球之间无相互作用力;当两球之间的距离等于或小于L 时,两球间存在相互作用的恒定斥力为F ,设A 球从远离B 球处以速度v 0沿两球连线向原来静止的B 球运动,如图2所示,欲使两球不发生接触,v 0必须满足什么条件?图2分析与解 A 球向B 球接近至A 、B 间的距离小于L 之后,A 球的速度逐渐减小,B 球从静止开始加速运动,两球间的距离继续逐渐减小,当A 、B 的速度相等时,两球的间的距离最小,若此距离大于2r ,则两球不会接触,所以不接触的条件是: v 1=v 2① L +s 2-s 1>2r ②其中v 1、v 2为当两球间距离最小时A 、B 两球的速度,s 1、s 2为两球间距离从L 变至最小的过程中A 、B 两球通过的路程.设v 0为A 球的初速度,则由动量守恒定律有m v 0=m v 1+2m v 2③由功能关系有 F =,④352b r r 2a b :s 112m v 02-12m v 12 F s2=12(2m)v22,⑤联立解得 v0<3F (L-2r) m.三、运用不等式表述物理条件和结果例3(1987年高考题) 把一个“10V,2.0 W”的用电器A(纯电阻)接到某一电动势和内电阻都不变的电源上,用电器A实际消耗的功率是2.0W;换上另一个“10V,5.0W”的用电器B(纯电阻)接到这一电源上,用电器B实际消耗功率有没有可能反而小于2.0W?如果认为不可能,试说明理由.如果认为可能,试求出用电器B实际消耗的功率小于2.0W的条件(设电阻不随温度改变).分析与解 不可能.因为当电路的内、外电阻相等时,电源有最大输出功率,在一般情况下,对电源同一输出功率,外电阻有两个值.由题意知,用电器A的电阻R1=U2P=1022.08=508,用电器B的电阻R2=U2P=10258=208,当A接到电源上时,消耗的功率P1为额定功率,所以有P1=(ER1+r)2R1=2.0W,①换为用电器B时,B消耗的功率P2应为P2=(ER2+r)2R2<2.0W,②由①②可解得(取合理值)r>10108,E>(10+210)V.四、巧用不等式表示矢量方向和求极值例4(1996年高考题) 如图3所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都有记为n(n=1,2,3……),每人只有一个沙袋,x>0一侧每个沙袋的质量为m=14 kg,x<0一侧的每个沙袋的的质量为m′=10 kg,一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正方向滑行,不计轨道阻力,当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车运动相反的方向沿车面扔到车上,u 的大小等于扔此沙袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号)(1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?(2)车上最终有大小沙袋多少个?图3分析与解 此题涉及到的物理规律仅限于动量守恒定律及相关知识,能力考查则相当突出,对理解、推理、分析综合等能力的较高要求,最终落实到数学工具的应用上,须通过解不等式才能得出最后结论.(1)在小车朝正方向滑行的过程中,第n21个沙袋扔到车上后的车速为v n21,第n个沙袋扔到车上后的车速为v n,由动量守恒定律有[M+(n-1)m]v n-1-2nm v n-1=(M+ nm)v n,① v n=M-(n+1)mM+nm v n-1,②小车反向运动的条件是v n-1>0,v n<0,即M-nm>0,③M-(n+1)m<0.④代入数字得n<Mm=4814,n>Mm-1=3414.n应为整数,故n=3,即车堆积了3个沙袋后,车就反向滑行.(2)车自反向滑行直到接近x<0一侧第一人所在位置时,车速保持不变,而车原质量为M+3m,若在朝-x方向滑行过程中,第n -1个沙袋扔到车上后车速为v n-1′,第n个沙袋扔到车上后车速为v n′,现取图中向左的方向(-x方向)为v n-1′,v′的正方向,则由动量守恒定律有[M+3m-(n-1)m′]v n-1′-2nm′v n-1′= (M+3m+nm′)v n′,⑤解得v n′=M+3m-(n+1)m′M+3+′v n-1′,⑥车不再向左滑行的条件是5m nm 4v n-1′>0,v n ′<0即 M +3m -nm ′>0,⑦ M +3m -(n +1)m ′≤0,⑧解不等式⑦、⑧,得 8≤n <9.⑨当n =8时,车停止滑行,即在x <0一侧第8个沙袋扔到车上后,车就停住,故车上共有大小沙袋3+8=11个.五、巧用不等式推断物理现象图4例5 如图4所示,大小不等的两个容器被一根细的玻璃管连通,玻璃管中有一段水银柱将两容器内气体隔开(温度相同),当玻璃管竖直放置时,大容器在上,小容器在下,水银柱刚好在玻璃管的正中间,现将两容器同时降低同样的温度,若不考虑容积的变化,则细管中水银柱的移动情况是A.不动B.上升C .下降D .先上升后下降分析与解:以液面C 为研究对象,根据平衡条件得:p A +Θg h =p B ,①假定温度降低时水银柱不移动,A 、B 减少的压强分别为∃p A 、∃p B ,则液面C 所受向下的压强p 下=p A -∃p A +Θg h ,②向上的压强p 上=p B -∃p B ,③若∃p A =∃p B ,则p 上=p 下,水银柱不移动;若∃p A <∃p B ,则p 上>p 下,水银柱向下移动;若∃p A >∃p B ,则p 上<p 下,水银柱向上移动.因此,只要假定水银柱不动,分析气体压强的变化情况,运用不等式就可判定水银柱怎样移动.解法1 假定水银柱不移动,根据查理定律,有p T =p -∃p T -∃T,化简得∃p =∃T Tp ,则 ∃p A =∃TTp A ,∃p B =∃TTp B .图5由于p A<p B ,所以∃p A <∃p B ,水银柱向下移动.故选C .解法2 假定水银柱不移动,作A 、B 等容变化图象,如图5所示,降低相同温度时,由图可知∃p B >∃p A ,水银柱下降,故选C .上面只介绍了常用的几种不等式在解物理题中的应用,而实际上不等式的应用远不止这些,只要同学们在平时学习中多注意、多运用、多总结,解题定会越来越顺利.●物理科技社会●核灯塔效应帮科学家走近原子核 新近发现的核灯塔效应正在帮助物理学家窥视各种物质的原子核经常处于的极端环境.核灯塔效应因旋转样品受到同步加速器强光照射后发出X 射线扫描射束而得名.在扫描射束旋转,经过一台探测器时,其波动度就是关于发出X 射线的原子核的信息信号.为创造核灯塔效应,研究人员在一个小圆筒的内壁刷上一层试样材料.然后,他们用压缩空气射流推动圆筒,使其以每秒数千转的速度旋转圆筒和试样达到一定速度后,研究人员用X 射线爆丛(例如美国阿尔贡国家实验所的高级光子源中的高能电子环行束产生的X 射线爆丛)激发试样中的原子.去年发现核灯塔效应的德国罗斯托克大学的研究人员目前利用该效应分析氧化钐.钐是一种制造永磁铁的重要材料,但是用常规方法(例如穆斯堡尔光谱)难以加以研究.研究人员还用这项技术研究了铁原子,并希望核灯塔效应在近期能让科学家进一步了解其他很多物质(本刊资料室供搞) 55..。
高一解不等式的解法步骤
我们要了解高一解不等式的解法步骤。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的工具，它表示一个数相对于另一个数是大还是小。
在解决不等式问题时，我们需要遵循一定的步骤来确保答案的准确性和完整性。
解不等式的通用步骤如下：
1. 首先，确定不等式的类型，例如：一元一次不等式，一元二次不等式等。
2. 根据不等式类型，选择合适的解法。
例如，一元一次不等式可以通过移项直接求解；一元二次不等式则需要考虑判别式等。
3. 对不等式进行简化，合并同类项，移项等，使其变得更易于解决。
4. 求解简化后的不等式，并给出解集。
5. 最后，根据实际情况，可能需要进一步确定解集的范围，例如：确定解集在实数范围内还是整数范围内。
总结：解不等式的关键在于确定不等式类型，然后选择合适的策略进行简化和求解。
不同类型的不等式可能有不同的解法，所以在开始解不等式之前，一定要明确其类型。
不等式证明中的几种新颖方法
不等式证明中的几种新颖方法山东 李相普在不等式的证明中有我们熟悉的常用的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等；除此之外，如果我们从某些不等式结构和形式出发，把握其本质属性，结合已学过的其它知识，往往还可得到一些更加巧妙、新颖的解法。
本文就不等式的证明问题提供几种新颖方法，仅供读者参考。
1． 反解不等式法选取待证的不等式中的某一字母或数值（如a ），将它替换成未知数x ，解此含有x 的不等式可得不等式的解集1A ；将字母a 的取值范围A 与解集1A 进行比较，若1A A ⊆，则由不等式解的定义证得结论。
例1 ：求证：350tan 12tan 350tan 12tan 0000>++。
证明：欲证原不等式成立，即证012tan 适合含有x 的不等式)1(350tan 350tan 00 >++x x 即可。
解此不等式可得：000000010tan 50tan 60tan 150tan 60tan 50tan 3150tan 3=+-=+->x ，即不等式（1）的解集为),10(tan 0+∞ 。
又0010tan 12tan >，从而012tan 必满足（1）式。
∴原不等式成立。
2． 构造函数法根据所给不等式的特征，构造一个熟悉函数，往往是易证明单调性的函数，利用所构 造函数的性质，如单调性、奇偶性、有界性等来证明。
例2：求证：b ba ab a ba +++≤+++111。
分析：观察不等式左右两边，各个式子外形结构皆相似于MM +1的形式，可构造函数f （x ）=x x +1，x ∈（0，＋∞）。
即f （x ）=1－x +11；∵x +11在（0，＋∞）上是单调递减函数，∴f （x ）在（0，＋∞）上是单调递增函数。
令b a x +=1，b a x +=2。
∵1x ≤2x ，∴f （1x ）≤f （2x ）即：≤+++ba ba 1b a b a +++1=b a a ++1+b a b ++1≤b ba a+++113．构造向量法 根据所给不等式的特征，通过构造向量，利用向量的有关性质，如a b a b ⋅≤，a b a b a b -≤±≤+等，使问题得以证明。
高考数学如何快速解决复杂的不等式问题
高考数学如何快速解决复杂的不等式问题不等式问题在高考数学中占据重要的位置，解决复杂的不等式问题需要灵活运用相关的数学知识和技巧。
本文将介绍一些方法和策略，帮助同学们快速解决复杂的不等式问题。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式问题之一，其解的思路与方程类似。
首先，将不等式中的常数项移项，使得不等式变为等式，并写出其解集；然后，根据不等号的性质确定解集的范围。
例如，对于不等式2x+3>5，可以将常数项移项得到2x>2，然后除以2得到x>1，即解集为(1,+∞)。
二、一元二次不等式一元二次不等式在高考数学中出现频率较高，解决这类不等式问题可以使用图像法、开口方向法和根判别法等方法。
1. 图像法：将一元二次不等式转化为一元二次方程，并绘制出关于x的二次函数图像。
通过观察函数图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4x+3<0，可以将其转化为方程x^2-4x+3=0，求得方程的根x=1和x=3，在图像上标出这两个根，并观察函数图像在根之间的部分与x轴的位置关系，确定解集为(1,3)。
2. 开口方向法：将一元二次不等式转化为标准形式，并确定开口的方向。
例如，对于不等式2x^2+5x+3>0，可以通过求解方程2x^2+5x+3=0，得到方程的根x=-1和x=-3/2，再观察二次曲线的开口方向，确定解集为(-∞,-3/2)∪(-1,+∞)。
3. 根判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c（a>0），通过求解方程ax^2+bx+c=0，得到方程的两个根x1和x2。
根据二次函数的凹凸性，确定解集的范围。
例如，对于不等式x^2+6x+9>0，方程的根为x=-3，因为a=1>0，所以二次曲线开口向上，根据函数图像与x轴的关系，确定解集为(-∞,-3)∪(-3,+∞)。
三、绝对值不等式绝对值不等式是高考数学中常见的一类问题，可以通过分情况讨论的方法求解。
构建函数巧证不等式
解题方法与技巧 ＯＸＬ瞒 ＺＮＵ ＨＧＥＫ ｌ
建 函 数 巧 证 不
河北邢 台县浆水 中学（５０３ 赵 ０ ４１ ）
不等式 的证 明方 法 很 多 ， 历来 是 高 中数 学 的难
点， 也是考查学生 数学能 力 的重要 方面 ， 中学数 学教 材中介绍 了一些基本 证法． 对于 许多 构造 独特 、 但 风 格各 异的不等式 ， 用常规证法往往难以下手或是 证 明
的一 次 函数 ．
‘ ‘
．
ｄ ｂ ｃ ［ ，］ ，，ｆ 一１ １ ，
＿ １ 一６ ＋ ＋ １ （＋ １ （＋ １≥ Ｏ 厂 ） ＋ｃ （ 一 ６ ）ｃ ） ． ＿ 一 １ 一 一 （＋ ｃ＋ ＋ １ （ —６ （ －ｃ ≥Ｏ 厂 （ ） ６ ） 一 １ ）１ ） ，
‘ ． ．
过程过分冗繁． 因此 ， 可根据所 给不等式的特征 ， 巧妙
于 ａ的一 次 函数 ．
２一 ） 雩 雩 （号 ＋ ≥ ． 。
【 ４ 证 明 ：。 ２ 例 】 ａ ＋６＋ ≥ 曲 ＋ ＋ｃ ． ａ
分析 ： 不等 式可化 为 ａ ＋ ＋Ｃ一曲一 一ｃ 原 ａ
≥ Ｏ 据 此 可 构 造 关 于 ａ的 二 次 函数 ＿（ ） ， 厂 ｄ 一 ＋ ６ ＋ ２
点评 ：． １ 本题 解 法的关键在 于要 具有 函数 意识 ，
能 结 合 式 子 的 特 征 构 造 出一 次 函 数 ＿ ａ ， 而 由 一 厂 ）从 （
、
运 用 一 次 函 数 的 性 质 证 明不 等 式
次函数的 图象和性质 ， 问题 得 以解决． 使 ２ 当所证不等式 中含有 多个参数 变量时 ， ． 可视 其 中一个字母为主元 ， 从函数角度分析 问题．
全国数学联赛金牌教练-高中奥数辅导：第五讲-不等式的证明
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第五讲 不等式的证明知识、方法、技能不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.赛题精讲例1：,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 【略解】abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(a b c a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.例2：0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cb a abc c b a ++≥【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.【略解】不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb ba ccbbaacbaabc c b a【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若≥=>na n aa i a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。
运用构造法妙证不等式
作者： 蔡勇君
作者机构： 甘肃定西市安定区中华路中学,743000
出版物刊名： 中学教学参考
页码： 49-50页
年卷期： 2011年 第35期
主题词： 不等式证明 构造法 解决问题的能力 学生创造性 中学数学教学 逻辑思维能力 高中新课程 数学归纳法
摘要：不等式的证明历来是中学数学教学中的难点，又是高考和竞赛命题的热点．这是因为不等式证明问题形式灵活多变，覆盖知识面广，既有一定的难度而又较为灵活，没有固定的模式可循，是培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，特别是培养学生创造性思维和创新能力的好题材．高中新课程数学教材中常见的不等式证明方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法等．本文主要探讨不等式的一种技巧证法——构造法．。
从多个角度寻找证明不等式的思路
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀从多个角度寻找证明不等式的思路◉西华师范大学㊀李㊀倩㊀冯长焕㊀㊀摘要:数学是一门非常灵活的学科,随着知识和经验的积累,同一道数学题目可以从不同的角度进行思考,往往可以得到多种解题方法．多种方法的探讨不仅能拓宽中学生的解题思路,而且还有助于培养发散性思维能力,避免思维定式．由此可见,在中学课堂上,提倡和开展 一题多解 的训练是很有必要的．本文中以一道不等式证明题为例从多个角度出发,寻找解题的思路方法,从而培养中学生的创造性能力．关键词:中学数学;不等式证明;多角度解题１原题呈现题目㊀如果a ,b ,c 均为正数,则a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２．该不等式中有三个变量,因此本题属于三变量不等式证明题．首先应该仔细观察该不等式的特点㊁左右两边变量的关系,然后将其进行合理的变形㊁转化,进而证明不等式．２解法探寻在不等式求解的过程中,当不等式两边出现复杂的关系式时,要尽量向相对简单的关系式转化,这样有助于找到二者之间的关系,从而通过关系式的整合找到解题思路．因此,现探讨如下思路．思路一:观察左右两边,左边存在b ＋c ,a ＋b ,a ＋c 的组合关系式,为消去左边分母,对左边关系式进行转化．观察到不等式左边每一项都含有分母,因此需要针对每一项进行变形以消去分母．在原不等式的基础上进行变形㊁转化,在不等式x ＋y ２ȡx y (注:x ＞０,y ＞０,当且仅当x ＝y 时,等号成立)的基础上进行延伸,在解题的过程中进行及时的调整．证明:由不等式x ＋y ２ȡx y ,得a ２b ＋c ＋b ＋c４＋b ２a ＋c ＋a ＋c ４＋c ２a ＋b ＋a ＋b４ȡ２a ２b ＋c b ＋c４＋２b ２a ＋c a ＋c ４＋２c ２a ＋b a ＋b４＝a ＋b ＋c ,当且仅当a ＝b ＝c ,等号成立．所以有a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ＋a ＋b ＋c２ȡa ＋b ＋c ．整理,得a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．思路二:对含有分母的项进行调整．在使用基本不等式时,通过观察不等式的和㊁积之间的关系,先将a ２b ＋c 调整为４a ２b ＋c ,将b ２a ＋c 调整为４b２a ＋c ,将c ２a ＋b 调整为４c２a ＋b,同时为保证其值不发生变化,在不等式左边加上相应的项,然后使用不等式x ＋y ２ȡx y(x ＞０,y ＞０,当且仅当x ＝y 时等号成立),从而证明原不等式成立．证明:由基本不等式,可得４a ２b ＋c ＋４b ２a ＋c ＋４c２a ＋b＋(b ＋c )＋(a ＋c )＋(a ＋b )ȡ４(a ＋b ＋c )．因此４ˑ(a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c２a ＋b)ȡ２(a ＋b ＋c ),从而有a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．１８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀思路三:利用柯西不等式证明不等式成立．柯西不等式是将两数列中 各项积的和 与 和的积 巧妙地结合在一起,在排列上规律明显,具有简洁㊁对称㊁和谐的美感,在解决不等式证明问题时,可以联想柯西不等式．柯西Ｇ施瓦茨不等式:若a １,a ２, ,a n 和b １,b ２, ,b n 是任意实数,则有(ðn k ＝１a kb k)２ɤ(ðn k ＝１a ２k) (ðnk ＝１b ２k)．于是有(a ２１＋a ２２＋a ２３)(b ２１＋b ２２＋b ２３)ȡ(a １b １＋a ２b ２＋a ３b ３)２,当且仅当b i ＝０(i ＝１,２,３)或存在一个数k ,使得a i ＝k b i (i ＝１,２,３)时,等号成立．证明:由柯栖不等式,得(ab ＋c)２＋(ba ＋c)２＋(cb ＋a )２éëêêùûúú (b ＋c )２＋(a ＋c )２＋(b ＋a )２]ȡ(a ＋b ＋c )２,当且仅当a b ＋c ＝b a ＋c ＝ca ＋b时,等号成立．所以有２a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b éëêêùûúú(a ＋b ＋c )ȡ(a ＋b ＋c )２．故a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．思路四:利用向量证明不等式．向量作为高中数学的重要知识点,不仅可以给学生带来新的认识,还可以为解题提供新的思路．证明不等式时,经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理,否则会很难证明．运用向量知识可以将问题简单化,容易证明结果．柯西不等式是利用向量证明的,由此为解决该问题提供了新的思路与方法．设向量m ң＝(b ＋c ,a ＋c ,b ＋a ),n ң＝(ab ＋c,ba ＋c,cb ＋a),其夹角为φ,由向量夹角公式,可得m ң n ң＝|m ң| |n ң|c o s φ．由于向量夹角的范围为[０,π],０ɤc o s ２φɤ１,则有(m ң n ң)２＝mң２nң２c o s ２φɤmң２nң２,从而证得原不等式．证明:令m ң＝(b ＋c ,a ＋c ,b ＋a ),n ң＝(a b ＋c,b a ＋c,c b ＋a)．于是,有㊀(a ＋b ＋c )２＝(m ңn ң)２ɤmң２nң２＝[(b ＋c )＋(a ＋c )＋(a ＋b )](a ２b ＋c ＋b２a ＋c＋c ２a ＋b)＝２(a ＋b ＋c )(a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c２a ＋b)．故a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．我们从四种角度出发,得到了四种不同的解题思路．在解题时,从多种角度考虑问题,可以帮助学生培养创造性思维．创造性思维的核心是发散性思维．发散性思维方式是指遇到问题时,能从多角度㊁多层面㊁多结构去思考㊁寻找答案,既不受现有知识的限制,也不受传统方法的束缚．当然,也可以利用数学中的函数㊁方程㊁几何等知识寻找新的解题思路与方法．在面对问题时,首先弄清问题是什么,抓住关键信息㊁图或者表;其次是多寻找几个解题的突破口,拟定一个解题计划;再次是对问题进行解决㊁证明;最后是检验解题过程与方法,并反思该方法是否可以解决这一类问题．思路一和思路二相对来说是学生比较熟悉的,用得比较多的方法;思路三利用柯西Ｇ施瓦茨不等式是能最快解决问题的方法;思路四利用空间向量解决该问题是很灵活的方式,但同时也有一定的局限性．要解决一道题目,经常会遇到各种各样的问题,其原因可能有很多,如找不到切入点㊁知识掌握不牢固㊁解决方法不恰当㊁审题不细致等．因此,教师在课堂教学中,要激发学生主动解题的兴趣,启发学生的发散性思维,引导学生从多角度考虑问题．每当学生想出一种解题方法,教师应该给予肯定和鼓励．通过一题多解可以有效地提高解决数学问题的效率,学生可以根据自己所熟悉的知识选择适合自己的思路来解决问题．Z２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例谈含绝对值不等式解法中蕴涵的数学思想
例谈含绝对值不等式解法中蕴涵的数学思想
赵会凤
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2010(000)027
【摘要】解含绝对值不等式问题经常用到各种基本数学思想,在教学中作为渗透数学思想方法的素材,引导学生围绕分类讨论思想,数形结合思想,整体换元思想,等价转化思想,函数与方程思想等层层展开教学,不仅可培养学生思堆的灵活性,而且可为学生可持续学习奠定好基础.
【总页数】1页(P57)
【作者】赵会凤
【作者单位】秦皇岛昌黎县泥井镇初级中学,河北秦皇岛,066606
【正文语种】中文
【中图分类】G627
【相关文献】
1.例谈绝对值不等式问题的解法 [J], 卢琴
2.例谈含参数绝对值不等式的解法 [J], 范长如;徐天光
3.例谈含参数的绝对值不等式问题及其解法 [J], 王沛钰
4.例谈一类含绝对值不等式的解法 [J], 王正杰
5.一道数学题解法中蕴涵的数学思想方法 [J], 孙安成;陈伟康
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解一元一次不等式五妙招
学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源第1页共1页解一元一次不等式四妙招◎于化平第一招 先移项、合并，化繁为简例1 解不等式：911x +72＞92x -75. 分析：注意到不等式两边同类项为同分母分数，可以先不去分母，考虑先移项，合并同类项.解：移项，得911x -92x ＞-75-72. 合并同类项，得x ＞-1. 第二招 整体合并，打破常规例2 解不等式：3（x+1）- 13（x-1）＞2（x-1）- 12（x+1）. 分析：仔细观察发现不等式两边均含有（x+1），（x-1），可以将（x+1）与（x-1）分别看做整体，先移项，再整体合并，可使求解过程简捷．解：移项，得3（x+1）+12（x+1）＞2（x-1）+13（x-1） . 合并同类项，得72（x+1）＞73（x-1）. 去分母，得3（x+1）＞2（x-1）.去括号、移项、合并同类项，得x ＞－5．第3招 巧去分母，一箭双雕例3 解不等式：12.02.05.012.0>--+x x . 分折：考虑如何把各分母化为1，这样不仅可以去分母，而且能把分母中的小数化为整数，起到一箭双雕的作用．解：由分数的基本性质，得2（0.2x+1）-5（0.2-x ）>1.去括号、移项、合并同类项，得5.4x>0.系数化为1，得x>0.第4招 巧用拆项，随机应变例4 解不等式：63242--+x x ＞1. 分析：注意到42与63-之差为1，移项、合并可使不等式右边为0，故不要急于去分母，可以将两项拆开进行化简．解：原不等式可化为2162214+-+x x ＞1.移项、合并，得1143x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞0.系数化为1，得x ＜0．。
获得数学活动经验的四个不等式
获得数学活动经验的四个不等式
崔海华
【期刊名称】《教学与管理（小学版）》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】数学活动经验是指在教学目标的指引下,在数学活动过程中形成并在遇到相似情境时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。
随着新课程标准的修订颁布,数学活动经验在课程目标中被作为＂四基＂之一进一步明确,地位得到进一步凸显,其作为数学课堂教学的核心目标予以落实已成为大家的共识。
但在实际的教学过程中,数学活动经验的获得往往只是停留于理念层面,浮于表面,追求形式。
现结合案例谈谈笔者的想法。
【总页数】3页(P36-38)
【作者】崔海华
【作者单位】江苏启东南苑小学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.生活活动合作反思——积累数学活动经验的四个关键词
2.历经四个阶段，丰富学生的数学活动经验
3.有效积累数学活动经验的四个途径
4.促进学生获得数学活动经验的教学策略
5.积累数学活动经验发展数学核心素养——以“一元二次不等式的解法”教学为例
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一个有理型不等式猜想的证明
一个有理型不等式猜想的证明
崔凤仙
【期刊名称】《中学数学研究（江西师大）》
【年(卷),期】2012(000)004
【摘要】文[1]提出了一个猜想，其中第一部分如下：设a，b〉0，n是正整数，当n≥2时，若a＋b≤
【总页数】1页(P20-20)
【作者】崔凤仙
【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,241000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.一个有理型不等式问题类比猜想的证明 [J], 李建潮
2.一个有理型不等式的再证明与推广 [J], 裘敬华;姚怡
3.一个有理不等式猜想的证明 [J], 蔡苏兰
4.一个积型不等式猜想的证明 [J], 郭要红
5.一个有理不等式猜想的证明及推广 [J], 吴赛瑛
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巧用不等式妙解物理题
巧用不等式妙解物理题
李朝宽
【期刊名称】《物理教学探讨》
【年(卷),期】2001(019)007
【摘要】@@ 首先介绍一个常用的基本不等式:rna+b≥2√abrn(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号)rn题目1体积为V的物块浸入某液体中的情况如图1所示,若将物块露出液面部分切除后,为使剩余部分露出液面的部分尽可能最大;rn求(1)剩余部分露出液面的部分体积最大值是多少?
【总页数】1页(P24)
【作者】李朝宽
【作者单位】重庆綦江县石壕中学,401444
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.巧用类比法妙解物理题 [J], 裴明祺
2.巧用圆模型妙解物理题 [J], 顾灿兴
3.巧用假设法,妙解物理题 [J], 樊卫丰;
4.不等式拦路论英雄，判别式法妙解显神通——巧用判别式法解高考一类不等式问题 [J], 侯军;张悦;
5.巧用推理法妙解物理题 [J], 李建
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“巧”作平行线“妙”解中考题
“巧”作平行线“妙”解中考题
崔春近
【期刊名称】《中学数学杂志（初中版）》
【年(卷),期】2016(000)002
【摘要】中考结束后，笔者调查了解了本地区考生对2015年淄博市中考数学试题的解答情况，考生对第24题的讨论很多，不少考生认为此题的难度很大，根本找不到思路，笔者根据考生的反馈，对题目进行了深入地探究，发现通过“巧”作平行线，可以轻松地解决这一问题，现把探究的过程整理如下．
【总页数】4页(P74-76,77)
【作者】崔春近
【作者单位】山东省沂源县实验中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧作平行线妙求线段比 [J], 于志洪
2."巧"作平行线"妙"解中考题 [J], 崔春近
3.“巧”作平行线“妙”解中考题 [J], 崔春近
4.巧记展开图妙解中考题——正方体的表面展开图归纳与应用 [J], 刘乃志
5.巧作平行线妙求线段比 [J], 于志洪
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