2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 44 含解析
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 47 Word版含解析
第47节 椭 圆一、选择题1．(2018江西景德镇模拟)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8【答案】C【解析】当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.综上，m 的值为5或3.2．(2018江苏南通一模)“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．3．(2018山东临沂一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B ．13 C ．12 D ．33【答案】D【解析】在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.4．(2018江西师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( )A.32 B ．2 33 C.9 32 D ．2 327【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1. ∴b a ＝2 33.故选B.5．(2018海沧实验中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L .若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2 55 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，3 55 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，4 55 【答案】B【解析】由题意知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤2 55.故选B.二、填空题6．(2018江西临川一中月考)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为______________________．【答案】x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1【解析】由题意知⎩⎨⎧2c ＝8，ca ＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9.∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 225＋y 29＝1； 当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 225＋x 29＝1.7．(2018昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．【答案】(－3,0)或(3,0)【解析】记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25，∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．8．(2018乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且P F 1→·P F 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 【解析】设P (x ，y )，则P F 1→·P F 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2. ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22. 9．(2018江苏如皋一模)椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点．若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－2 63，2 63 【解析】设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0.①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－263，263. 三、解答题10．(2018湖南衡阳八中质检)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值．【解】(1)根据c ＝a 2－b 2及题设， 知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)，故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.11．(2018兴义月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．【解】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ， 即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3 2，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝12×32×32＝92.。
2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9
§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(×)(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，准线方程是x ＝－a 4.(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(×)(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(√)题组二教材改编2.[P69例4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A.9B.8C.7D.6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.[P73A 组T3]若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3答案A解析由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.7.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________.答案[－1，1]解析Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1且k≠0，综上，k的取值范围是[－1，1].题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.解由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为()A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x答案C解析由题意知，x＝－p2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF＝254，又因为圆过点(0，2)，所以y M＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为()A.y 2＝32xB.y 2＝9xC.y 2＝92xD.y 2＝3x答案D解析分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x .题型二抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于()A.83p 2 B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案B解析不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos60°＋p 1＋cos60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt△PRQ 中，sin∠RPQ ＝|QR ||PQ |，∴|QR |＝|PQ |·sin∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知|MN |＝|QR |＝433，∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2.故选B.(2)过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为()A.53B.75C.97D.2答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |，x 1＋2＝x 2＋2，y 1＝y 2，21＝4x 1，22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C解析以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p x ＝p2代入y 2＝2px ，可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.(2)(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A解析由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，则△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y 轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.解(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，＝kx＋6，2＝4y，消去y得x2－4kx－24＝0，3＋x4＝4k，3·x4＝－24.(*)易知抛物线在点P3y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0，1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角).③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.解(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①由x 2＝2py 得y ′＝xp，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，＝x 1p x －x 212p，＝x 2p x －x 222p，解得∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p pk 2＋23≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(15分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为分](2)∵|RF |＝y R ＋14m，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分]＝mx 2，x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立，方程必有两个不等实根.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 221＋x 2＝2m，1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴即y分]得QA →1－1m ，mx 21QB →2－1m ，mx 22若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，122122分]结合(*)式化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2018·浙江省名校联考)抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为()A.(2，0)B.(0，2)解析抛物线的标准方程为x 2＝8y ，则其焦点坐标为(0，2)，故选B.2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|等于()A.3B.4C.6D.7答案B解析由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是()A.4B.33C.43D.8答案C解析由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF为等边三角形.设m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于()A.2B.4C.6D.8解析∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D.5.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于()A.13B.23C.34D.43答案A解析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6.(2018·浙江省杭州市四校联考)直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，C (－1，2)，若抛物线的焦点F 恰好为△ABC 的重心，则直线AB 的方程是()A.2x －y －3＝0B.2x －y －5＝0C.2x －y －5＝0或2x ＋y －3＝0D.2x ＋y －3＝0答案D 解析方法一由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1).设直线AB 的方程为t (y ＋1)＝x －2，与抛物线方程联立，消去x 并整理得y 2－4ty －4(t ＋2)＝0，所以y 1＋y 2＝4t ＝－2，t ＝－12，则直线AB 的方程为－12(y ＋1)＝x －2，即2x ＋y －3＝0，故选D.方法二由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1)，所以x 1≠x 2.又A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－2，则直线AB 的方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.7.动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________.答案x 2＝8y解析∵动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0，2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0，2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8.(2018·浙江省名校协作体联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 是抛物线C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若FM →＝12MN →，则|FN |＝________.答案5解析如图，过点M ，N 分别向抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1作垂线段MA ，NB ，其中MA 交y 轴于点C ，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，所以|OF |＝1，因为FM →＝12MN →，所以|MC |＝23|OF |＝23，所以|MA |＝53，由抛物线的定义可得|MF |＝53，所以|MN |＝103，所以|FN |＝5.9.(2018·湖州模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|FB |＝8，则p ＝______.答案2解析方法一由题意知，直线方程为y ＝x －p 2，得x ＝y ＋p2代入抛物线方程，得y 2＝2y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，|AF |·|FB |＝2|y 1|·2|y 2|＝2|y 1y 2|＝2p 2＝8，得p ＝2.方法二由题意可知，1|FA |＋1|FB |＝2p ，得|FA |＋|FB |＝2p |FA |·|FB |＝16p ，即|AB |＝2p sin 245°＝16p，得p ＝2.10.如图，已知抛物线C ：x 2＝2y ，F 是其焦点，AB 是抛物线C 上的一条弦.若点A 的坐标为(－2，2)，点B 在第一象限上，且|BF |＝2|AF |，则直线AB 的斜率为________，△ABF 的外接圆的标准方程为____________.答案12＝12516解析因为|BF |＝2|AF |，所以y B ＋12＝2×Ay B ＝92，代入抛物线的方程得点BAB 的斜率k AB ＝92－23－－2＝12，直线AF 的斜率k AF ＝2－12－2－0＝－34，直线BF 的斜率k BF ＝92－123－0＝43，则k AF ·k BF ＝－1，直线AF 与直线BF 相互垂直，即△ABF 为直角三角形，则△ABF＝554，所以外接圆的标准方程为＝12516.11.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知F 是抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线l 1，l 2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)如果点P 在直线y ＝－1上，求1|AF |＋1|BF |的值；(2)若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求|AF |·|BF |的值.解(1)因为抛物线C 的方程为y ＝x 24所以y ′＝x2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 12x －y －y 1＝0，①同理切线PB 的方程为x 22x －y －y 2＝0，②设P (x 0，y 0)，则由①②得x 1x 0－2y 1－2y 0＝0及x 2x 0－2y 2－2y 0＝0，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.由于点P 是直线y ＝－1上的一个动点，所以y 0＝－1，即直线AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，因此它过抛物线的焦点F (0，1).当x 0＝0时，AB 的方程为y ＝1，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝1；当x 0≠0时，把直线AB 的方程代入抛物线C 的方程，得y 2－(x 20＋2)y ＋1＝0，从而有y1y2＝1，y1＋y2＝x20＋2，所以1|AF|＋1|BF|＝1y1＋1＋1y2＋1＝y1＋y2＋2y1y2＋y1＋y2＋1综上可知，1|AF|＋1|BF|＝1.(2)由(1)知，切线PA的方程为y＝x12x－x214，切线PB的方程为y＝x22x－x224，联立得点设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线C：x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以点P的坐标为(2k，－m)，所以|PF|＝4k2＋m＋12＝4，即(m ＋1)2＝16－4k2，从而|AF|·|BF|＝(y1＋1)·(y2＋1)＝(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＝k2x1x2＋k(m ＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2＝16.12.如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y轴于点D.(1)设A(x0，x20)(x0≠0)，求直线AB的方程；(2)求|OB||OD|的值.解(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝＝2x0，所以直线AB的方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.(2)由题意及(1)得，点B的纵坐标y B＝－x20，所以AB设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋1 2 x0.＝my ＋12x 0，＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m2.所以1－mx 0216m 4＝x 2012m 2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y By D |＝43±6.13.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A.5B.6C.163D.203答案C 解析方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法三如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.14.如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，＝x＋1，＝14x2，消去x，得y2－6y＋1＝0，所以y A＋y B＝6，则|AB|＝y A＋y B＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝x2，则l AM：y－y A＝x A2(x－x A)，即y＝12x A x－x2A4，l BM：y－y B＝x B2(x－x B)，即y＝12x B x－x2B4，联立l AM与l BM＝12x A x－x2A4，＝12x B x－x2B4，解得设l AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，＝kx＋1，＝14x2，消去y，得x2－4kx－4＝0，所以x A＋x B＝4k，x A·x B＝－4，所以y M＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，x M＝2，则④错误，故选B.15.(2019·浙江省镇海中学模拟)已知抛物线y2＝4x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|－2|BF|的最小值为________.答案22－2解析当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1.由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝x 1＋1x 2＋1－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t >0)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋tt 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t ≥11＋12＋22＝21＋23＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围.解如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x0，y 0)，21＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条.当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ，得y2＝12，则有－23<y0<23，因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章_平面解析几何_43_word版含解析
【课时训练】第43节 直线的方程一、选择题1．(2018广东深圳期末)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2【答案】A【解析】∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.则所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.2．(2019合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】B【解析】由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．(2018太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D ．23【答案】B【解析】依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2018深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )A B C D【答案】B【解析】当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合要求． 5．(2018衡水模拟)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋2【答案】A【解析】∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.故选A.6．(2018河北保定模拟)已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0【答案】D【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43.所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.7．(2018皖南八校联考)已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 二、填空题8．(2018烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.【答案】－24【解析】令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 9．(2018江西上饶模拟)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【答案】(2，－2)【解析】直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．10．(2018山西运城模拟)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．【答案】3x －y －3 3＝0【解析】因为直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0.11．(2018广东广州调研)已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为________．【答案】x ＋y －2＝0【解析】设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2ab ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12．(2018湖南长沙统一模拟)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ， ∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”)． 三、解答题13．(2018海南中学月考)(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程；(2)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解】(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1.若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.(2)易求M ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0,2＋a )，∵a ＞－1， ∴S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时取等号．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 51 Word版含解析
第51节 圆锥曲线的综合问题解答题1．(2018沈阳二中期末)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1m y (m ≠0)相切，求直线l 和抛物线C 的方程．【解】(1)由题意得点P 的坐标为(－m,0)，且MP ⊥l ， 所以k M P ·k l ＝0－(－1)－m －2·1＝－1(k l 为直线l 的斜率)，解得m ＝－1.所以点P (1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l ：y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎨⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2，因为直线l ′与抛物线C ：x 2＝1m y 相切，所以Δ＝1－4m 2＝0，解得m ＝±12.当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ；当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y . 2．(2018新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →＋OB →＝tOP →，其中t ∈⎝⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围． 【解】(1)依题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k2.由OA →＋OB →＝tOP →得P ⎝⎛ 8k2t (1＋2k 2)，⎭⎪⎫－4k t (1＋2k 2)，代入椭圆C 的方程得t 2＝16k21＋2k 2.由2 63＜t ＜2得14＜k 2＜12，∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k21＋2k2＝22(1＋2k 2)2＋11＋2k 2－1.令u ＝11＋2k 2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2 53. ∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，2 53. 3．(2018陕西联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1构成一个高为3，面积为3 3的等腰梯形． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 【解】(1)由条件得b ＝3，且2a ＋2c2·3＝3 3，∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然，直线AB 的斜率不能为0.设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线AB 过椭圆内的点F ，无论m 为何值，直线和椭圆总相交， 又y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S △F 2AB ＝12 |F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1). 令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t ，易知t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，函数f (t )单调递减，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，函数f (x )单调递增， ∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )m i n ＝109，S △F 2AB 的最大值为3.4．(2018湖北武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，求△OAB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解】(1)由题意知⎩⎨⎧1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)将直线l 的方程代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y 得3x 2＋4mx ＋2(m 2－1)＝0.由Δ＝(4m )2－24(m 2－1)＞0，得m 2＜3.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－1)3.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎪⎫－4m 32－4·2(m 2－1)3＝433－m 2. 又原点O (0,0)到直线AB ：x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2.所以S △OAB ＝12|AB |·d＝12×433－m 2·|m |2＝23m 2(3－m 2).因为m 2(3－m 2)≤⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋3－m 222＝94，当仅且当m 2＝3－m 2，即m 2＝32时取等号．所以S △OAB ≤23×32＝22，即△OAB 面积的最大值为22.5．(2018郑州二测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与圆心M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．(1)【解】由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)【证明】设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24， ∵x 1x 2＝0，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0,2)．6．(2018唐山二模)已知△ABC 的顶点A (1,0)，点B 在x 轴上移动，|AB |＝|AC |，且BC 的中点在y 轴上．(1)求点C 的轨迹Γ的方程；(2)已知过P (0，－2)的直线l 交轨迹Γ于不同两点M ，N ，求证：Q (1,2)与M ，N 两点连线QM ，QN 的斜率之积为定值．【解】(1)设C (x ，y )(y ≠0)，因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以B (－x,0)，由|AB |＝|AC |，得(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x ，所以C 点的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (y ≠0)． (2)直线l 的斜率显然存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －2，得ky 2－4y －8＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－8k ， k M Q ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，同理k M Q ＝4y 2＋2，k M Q ·k NQ ＝4y 1＋2·4y 2＋2＝16y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝4， 所以Q (1,2)与M ，N 两点连线的斜率之积为定值4.7．(2018四川绵阳南山中学二诊)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的焦距为22，且经过点(－2，1)．过点D (0，－2)且斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，点A 关于x 轴的对称点C ，直线BC 交x 轴于点Q .(1)求k 的取值范围．(2)试问：|OP |·|OQ |是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由． 【解】(1)由已知得2c ＝22，所以c ＝2，又因为c 2＝a 2－b 2， 所以a 2－b 2＝2，又因为椭圆过点(－2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，联立解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.设直线l 的方程为y ＝kx －2，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx －2消去y 得(1＋2k 2)x 2－8kx＋4＝0.由Δ＝64k 2－16(1＋2k 2)＞0，得k 2＞12，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由(1)知x 1＋x 2＝8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2.由y ＝kx －2中，令y ＝0得x p ＝2k ，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2k ，0.直线BC 的方程为y ＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)－y 1，令y ＝0得x Q ＝x 2y 1＋x 1y 2y 2＋y 1.将y 1＝kx 1－2，y 2＝kx 2－2代入上式得x Q ＝x 2y 1＋x 1y 2y 2＋y 1＝2kx 1x 2－2(x 1＋x 2)k (x 1＋x 2)－4＝2k ×41＋2k 2－16k1＋2k 2k ×8k 1＋2k 2－4＝2k ，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ·|2k |＝4，为定值． 8．(2018衡水中学高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】(1)由题意得⎩⎨⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 即C ：x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0. ∵A (－2,0)，设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1m y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4.同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m 24m 2＋1，－4m 4m 2＋1. ①m ≠±1时，k M N ＝5m 4(m 2－1)，l MN ：y ＝5m 4(m 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65. 此时过定点⎝⎛⎭⎪⎫－65，0.∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. (3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4mm 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号，∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号． ∴(S △AMN )m a x ＝1625.9．(2018重庆市高考一模)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的左、右焦点，点P (x 0，y 0)在椭圆C 上．(1)求P F 1→·P F 2→的最小值；(2)若y 0>0且P F 1→·F 1F 2→＝0，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆C 交于两点A ，B ，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q .问：四边形P ABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【解】(1)由题意可知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴P F 1→＝(－1－x 0，－y 0)，P F 2→＝(1－x 0，－y 0) ∴P F 1→·P F 2→＝x 20＋y 20－1∵点P (x 0，y 0)是椭圆C 上，∴x 203＋y 202＝1，即y 20＝2－2x 23∴P F 1→·P F 2→＝x 20＋2－23x 20－1＝13x 20＋1，且－3≤x 0≤3 ∴P F 1→·P F 2→最小值1.(2)∵P F 1→·F 1F 2→＝0，∴x 0＝－1，∵y 0>0，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233 设A (x 1·y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1得，(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43·1＋k 22＋3k 2，∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝43·(1＋k 2)2＋3k 2∵P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，233，PQ ∥AB ，∴直线PQ 的方程为y －233＝k (x ＋1)． 由⎩⎨⎧y －233＝k (x ＋1)x 23＋y 22＝1得，(2＋3k 2)x 2＋6k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋233x ＋3⎝⎛⎭⎪⎫k ＋2332－6＝0. ∵x P ＝－1，∴x Q ＝2－3k 2－43k2＋3k 2，∴|PQ |＝1＋k 2·|x P －x Q |＝1＋k 2·||4－43k 2＋3k 2，若四边形P ABQ 能成为平行四边形，则|AB |＝|PQ |， ∴43·1＋k 2＝|4－43k |，解得k ＝－33.∴符合条件的直线l 的方程为y ＝－32(x ＋1)，即x ＋3y ＋1＝0.。
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练40
课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(山东青岛模拟)设集合A={(x,y)|y=2x-3},B={(x,y)|4x-2y+5=0},则A∩B=( )A.⌀B.{(118,1 4 )}C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)}答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A∩B=⌀.2.(江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则{a2-b+42+1=0,b-4 a =-1,解得{a=3,b=1.3.(多选)(山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4+2)+5=0(m ∈R),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)+5=0(m ∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)2=1,故D 正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3√3B.6C.2√10D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q(a,b),则{b a-2=1,a+22+b 2=4,解得{a =4,b =2,即Q(4,2).又P 关于y 轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k -3+k+2|√k 2+1=|-4k -5+k+2|√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310. 同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD,且AC,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x -y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M(2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B(5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2.又因为△ABC 的顶点B(5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A(3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A(4,3).设点C(x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C(-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H(0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 50 Word版含解析
第50节 曲线与方程一、选择题1．(2018南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线【答案】D【解析】题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.2．(2018呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．3．(2018银川模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2 【答案】D【解析】如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1.又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2.∴(x －1)2＋y 2＝2.4．(2018津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)．若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】A【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， 所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10.λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5. 所以点C 的轨迹为直线．故选A.5．(2018河北沧州模拟)有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B .若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，∵△ABP 为正三角形，∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝(x －a )2＋y 2， ∴|x |＝32·(x －a )2＋y 2，整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即(x ＋3a )212a 2－y24a 2＝1，∴点P 的轨迹为双曲线．故选D.6．(2018深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x【答案】A【解析】设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .7．(2018江苏淮安模拟)已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【解析】设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆． 二、填空题8．(2018厦门模拟)已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)，则动点P 的轨迹C 的方程为__________．【答案】x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)【解析】由题意知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)，即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．9. (2018四川达州一诊)已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．【答案】x 24＋y 23＝1(y ≠0)【解析】设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4.由抛物线定义，得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．10．(2018河南洛阳统考)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．【答案】16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) 【解析】由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ， 即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线的右支， 即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)． 三、解答题11．(2018山西孝义九校联考)在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于点D 且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．【解】以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点，则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∵|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2.∴b ＝ 2.∴顶点A 的轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．12．(2018唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．【解】(1)由已知得圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x . 故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3，|AB |＝23(1＋m 2)(3m 2＋4)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12.。
2020届高考数学(理科)一轮复习课时训练第9章平面解析几何43Word版含解析
【课时训练】第43节 直线的方程一、选择题1．(2018广东深圳期末)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2【答案】A【解析】∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.则所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.2．(2019合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【答案】B【解析】由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 3．(2018太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D ．23【答案】B【解析】依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2018深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )A B C D【答案】B【解析】当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合要求． 5．(2018衡水模拟)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2【答案】A【解析】∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.故选A.6．(2018河北保定模拟)已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0【答案】D【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43.所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.7．(2018皖南八校联考)已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy取最大值3.二、填空题8．(2018烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.【答案】－24【解析】令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.9．(2018江西上饶模拟)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【答案】(2，－2)【解析】直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．10．(2018山西运城模拟)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．【答案】3x －y －3 3＝0【解析】因为直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0.11．(2018广东广州调研)已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为________．【答案】x ＋y －2＝0【解析】设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x＋y －2＝0.12．(2018湖南长沙统一模拟)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ， ∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”)．三、解答题13．(2018海南中学月考)(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程；(2)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解】(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1.若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.(2)易求M ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0,2＋a )，∵a ＞－1， ∴S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时取等号．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2020届高考数学(文)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 44
【课时训练】双 曲 线一、选择题1．(2018广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【答案】A【解析】依题意⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2018福州质检)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由题意，知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.故选B.3．(2018庐江第二中学1月月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( )A.22 B ．1 C. 3D ．2【答案】B 【解析】由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12.由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12.∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1.4．(2018辽宁凌源联考)已知圆E ：(x －3)2＋(y ＋m －4)2＝1(m ∈R )，当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x【答案】C【解析】圆E 的圆心到原点的距离d ＝32＋(4－m )2，所以当m ＝4时，圆E 上的点与原点O 的距离最短，为3－1＝2，即双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2.所以ba ＝c 2－a 2a ＝3，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选C.5．(2018南昌联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋O F 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|M F 1→|＝3|M F 2→|，则双曲线的离心率为( )A.5－1B.3＋12C.5＋12 D.3＋1 【答案】D【解析】∵F 2M →＝OM →－O F 2→，∴(OM →＋O F 2→)·F 2M →＝(OM →＋O F 2→)·(OM →－O F 2→)＝0， 即OM →2－O F 2→2＝0.∴|O F 2→|＝|OM →|＝c .在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得M F 1→⊥M F 2→. ∵|M F 1→|＝3|M F 2→|，∴可设|M F 2→|＝λ(λ>0)，|M F 1→|＝3λ， 得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c . ∴|M F 1→|＝3c ，|M F 2→|＝c .∴根据双曲线定义，得2a ＝|M F 1→|－|M F 2→|＝(3－1)c . ∴双曲线的离心率e ＝2c2a ＝3＋1.6．(2018河南中原名校联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)【答案】B【解析】由题意易知点F 的坐标为(－c,0)， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0. 即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎪⎫－c －a ，－b 2a>0， 整理，得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0. ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)． 又e >1，∴e ∈(1,2)．故选B. 二、填空题7．(2018辽宁沈阳月考)已知方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】∵mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，∴m (2－m )＜0.解得m ＜0或m ＞2.8．(2018天津河西区质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．【答案】53【解析】由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得c os ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求c os ∠F 1PF 2的最小值， ∴当c os ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53.三、解答题9．(2018石家庄模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3 ∶7.(1)求这两个曲线的方程；(2)若P 为这两个曲线的一个交点，求c os ∠F 1PF 2的值． 【解】(1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，m ＝3，∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆的方程为x 249＋y 236＝1， 双曲线的方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴c os ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.10．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x 之间的阴影部分为W .区域W 中动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程．(2)动直线l 穿过区域W ，分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点．若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB 的面积恒为定值．(1)【解】由题意得|x －y |2·|x ＋y |2＝1，所以|(x ＋y )(x －y )|＝2.因为点P 在区域W 内，所以x ＋y 与x －y 同号， 所以(x ＋y )(x －y )＝x 2－y 2＝2， 所以点P 的轨迹C 的方程为x 22－y 22＝1. (2)【证明】设直线l 与x 轴相交于点D . 当直线l 的斜率不存在时，|OD |＝2， |AB |＝22， S △OAB ＝12|AB |·|OD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，m ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0. 把直线l 的方程与C ：x 2－y 2＝2联立得 (k 2－1)x 2＋2kmx ＋m 2＋2＝0.由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知Δ＝4k 2m 2－4(k 2－1)·(m 2＋2)＝0，得m 2＝2(k 2－1)＞0，所以k ＞1或k ＜－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝x得y 1＝m 1－k ， 同理得y 2＝m1＋k.所以S △OAB ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪m1－k －m 1＋k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 21－k 2＝2.综上， △OAB 的面积恒为定值2.11．(2018湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC 中，t a n ∠BAC ＝－43，且CD →＝2DB →，现建立以A 点为坐标原点，以∠BAC 的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示．(1)求AB ，AC 所在直线的方程；(2)求以AB ，AC 所在直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程； (3)过点D 分别作AB ，AC 所在直线的垂线DF ，DE (点E ，F 为垂足)，求DE →·DF →的值．【解】(1)设∠CAx ＝α，则由t a n ∠BAC ＝t a n2α＝2t a n α1－t a n 2 α＝－43及α为锐角，得t a n α＝2，∴AC 所在直线方程为y ＝2x ，AB 所在直线方程为y ＝－2x . (2)设所求双曲线的方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)， C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>0，x 2>0)．由CD →＝2DB →，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，2x 1－4x 23. ∵点D 在双曲线上，∴4⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 232－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－4x 232＝λ. ∴329x 1x 2＝λ.①由t a n ∠BAC ＝－43，得sin ∠BAC ＝45.∵|AB |＝x 22＋y 22＝5x 2，|AC |＝x 21＋y 21＝5x 1，∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin ∠BAC ＝12×5x 1x 2×45 ＝2x 1x 2＝9，代入①，得λ＝16，∴双曲线的方程为x 24－y 216＝1. (3)由题意，知〈DE →，DF →〉＝π－∠BAC ， ∴c os 〈DE →，DF →〉＝－c os ∠BAC ＝35.设D (x 0，y 0)，则x 204－y 2016＝1.又∵点D 到AB ，AC 所在直线距离分别为|DF →|＝|2x 0＋y 0|5，|DE →|＝|2x 0－y 0|5，∴DE →·DF →＝|DE →||DF →|·c os 〈DE →，DF →〉 ＝|2x 0－y 0|5·|2x 0＋y 0|5×35＝4825.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练第9章 平面解析几何 43 Word版含解析
【课时训练】第节直线的方程一、选择题．(广东深圳期末)过点()，且倾斜角比直线＝－－的倾斜角小的直线方程是( )．＝．＝．＝．＝【答案】【解析】∵直线＝－－的斜率为－，则倾斜角为.则所求直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，∴过点()的直线方程为＝.．(合肥一六八中学检测)直线＋(＋)＋＝的倾斜角的取值范围是( )．．∪∪【答案】【解析】由直线方程可得该直线的斜率为－，又－≤－＜，所以倾斜角的取值范围是.．(太原质检)若直线与直线＝，＝分别交于点，，且线段的中点坐标为(，－)，则直线的斜率为( )．－．．－【答案】【解析】依题意，设点()，(，)，则有(\\(＋＝，＋＝－，))解得＝－，＝－，从而可知直线的斜率为＝－.．(深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线：＋＋＝和直线：＋＋＝有可能是( )【答案】【解析】当＞，＞时，－＜，－＜，选项符合要求．．(衡水模拟)已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线－－＝的斜率的倒数，则直线的方程为( )．＝＋．＝－．＝－＋．＝＋【答案】【解析】∵直线－－＝的斜率为，∴直线在轴上的截距为.∴直线的方程为＝＋.故选.．(河北保定模拟)已知直线过点()，且倾斜角为直线：－－＝的倾斜角的倍，则直线的方程为( )．－－＝．－－＝．－－＝．－－＝【答案】【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为α，α，因为直线：－－＝的斜率为，则α＝，所以直线的斜率＝α＝α－α)＝＝.所以由点斜式可得直线的方程为－＝(－)，即－－＝.．(皖南八校联考)已知()，()，直线上一动点(，)，则的最大值是( )．．．．【答案】【解析】直线的方程为＋＝，则＝－，∴＝－＝(－＋)＝[－(－)＋]≤，即当点的坐标为时，取最大值.二、填空题．(烟台模拟)直线－＋＝在两坐标轴上的截距之和为，则实数＝.【答案】－【解析】令＝，得＝；令＝，得＝－.则有－＝，所以＝－.．(江西上饶模拟)直线：(－)＋(＋)＋＝，则直线恒过定点．【答案】(，－)。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练第9章 平面解析几何 50 Word版含解析
第节曲线与方程一、选择题．(南昌模拟)方程(＋－)＝表示的曲线是( )．一个圆和一条射线．一个圆和一条直线．一条直线．一个圆【答案】【解析】题中的方程等价于①＋－＝或②(\\(＋－≥，＋－＝.))注意到圆＋－＝上的点均位于直线＋－＝的左下方区域，即圆＋－＝上的点均不满足＋－≥，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线＋－＝.．(呼和浩特调研)已知椭圆＋＝(＞＞)，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是( )．椭圆．圆．抛物线．双曲线【答案】【解析】设椭圆的右焦点是，由椭圆定义可得＋＝＞，所以＋＝(＋)＝＞，所以点的轨迹是以和为焦点的椭圆．．(银川模拟)设点为圆(－)＋＝上的动点，是圆的切线，且＝，则点的轨迹方程为( )．(－)＋＝．＝．(－)＋＝．＝－【答案】【解析】如图，设(，)，圆心为()，连接，则⊥，且＝.又∵＝，∴＝＝，即＝.∴(－)＋＝.．(津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点()，(－)．若点满足＝λ＋λ(为原点)，其中λ，λ∈，且λ＋λ＝，则点的轨迹是( )．直线．椭圆．双曲线．圆【答案】【解析】设(，)，因为＝λ＋λ，所以(，)＝λ()＋λ(－)，即(\\(＝λ－λ，＝λ＋λ，))解得(\\(λ＝(＋).,λ＝(－)，))又λ＋λ＝，所以＋＝，即＋＝.所以点的轨迹为直线．故选.．(河北沧州模拟)有一动圆恒过定点()(＞)且与轴相交于点，.若△为正三角形，则点的轨迹为( )．圆．直线．双曲线．椭圆【答案】【解析】设(，)，动圆的半径为，∵△为正三角形，∴到轴的距离＝，即＝.而＝＝，∴＝·，整理得(＋)－＝，即－＝，∴点的轨迹为双曲线．故选.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 48 Word版含解析
第48节 双 曲 线一、选择题1．(2018合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由题意得ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.故选B.2．(2018广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1【答案】A【解析】由题意知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C的方程为x 220－y 25＝1.3．(2018浙江桐乡一中模拟)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5B ．26C ．6D ．8【答案】D【解析】设双曲线的焦距为2c .由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则该双曲线的焦距为8.4．(2018山西平遥中学月考)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意知双曲线的一个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，则顶点到渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13×3m 2＋9＝15， 解得m ＝4.5．(2018湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D ．x 24－y 23＝1【答案】C【解析】由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3,4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3.故选C.6．(2018南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【答案】A【解析】由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|， 则根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，联立解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ， 所以|PF 2|＜|F 1F 2|.所以∠PF 1F 2＝30°.所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos 30°， 得c ＝3a .所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0. 7．(2018江苏无锡模拟)已知A ，B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点．若双曲线C 的离心率为2，P A ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1k 2k 3的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，39B ．(0，3)C ．(0,33)D ．(0,8)【答案】C【解析】因为e ＝ca ＝2，所以b ＝3a .设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，k 1·k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝b 2a 2＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜ 3.所以0＜k 1k 2k 3＜33.故选C.8．(2018沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A ，B ，则P A →·PB →的值是( )A ．－38B ．316C ．－38 D ．不能确定【答案】A【解析】设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是x3－y＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1.又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38.故选A. 二、填空题9．(2018武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．【答案】8【解析】双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 10．(2018山东烟台模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为__________．【答案】233【解析】双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．由题意得|bc －a ×0|b 2＋a2＝14×2c .所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.三、解答题11．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x 之间的阴影部分为W .区域W 中动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程．(2)动直线l 穿过区域W ，分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点．若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB 的面积恒为定值．(1)【解】由题意得|x －y |2·|x ＋y |2＝1，所以|(x ＋y )(x －y )|＝2.因为点P 在区域W 内，所以x ＋y 与x －y 同号， 所以(x ＋y )(x －y )＝x 2－y 2＝2， 所以点P 的轨迹C 的方程为x 22－y 22＝1. (2)【证明】设直线l 与x 轴相交于点D .当直线l 的斜率不存在时，|OD |＝2，|AB |＝22，S △OAB ＝12|AB |·|OD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx＋m ，显然k ≠0，m ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0.把直线l 的方程与C ：x 2－y 2＝2联立得 (k 2－1)x 2＋2km x ＋m 2＋2＝0.由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知Δ＝4k 2m 2－4(k 2－1)·(m 2＋2)＝0，得m 2＝2(k 2－1)＞0，所以k ＞1或k ＜－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝x得y 1＝m 1－k ，同理得y 2＝m1＋k.所以S △OAB ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪m1－k －m 1＋k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 21－k 2＝2.综上， △OAB 的面积恒为定值2.。
2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示直线的方程❶在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．❷理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．❸掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．两直线的位置关系❶能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．❷能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．❸掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．直线、圆的位置关系❶能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．❷能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．❸初步了解用代数方法处理几何问题的思想．椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．圆锥曲线的简单应用❶了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．❷理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用．一、点在纲上，源在本里考点考题考源圆的标准方程与点到直线的距离(20xx·高考全国卷Ⅱ，T4，5分)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )A．－43B．－34C． 3 D．2必修2P132A组T5椭圆的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅰ，T12，5分)设A、B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)选修11P35例3双曲线的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅲ，T14，5分)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________．选修11P51例3抛物线的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅰ，T10，5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10选修11P61例4抛物线与圆的方程、直线方程的应用(20xx·高考全国卷Ⅰ，T20，12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．(1)求|OH||ON|；选修11P62例5(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．圆与椭圆的定义、标准方程及其应用(20xx·高考全国卷Ⅰ，T20，12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．选修11P42A组T7曲线与方程、椭圆几何性质(20xx·高考全国卷Ⅱ，T20，12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．选修11P34例2、P43B组T1二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△PAB的面积为10，则|OP|＝( )A．9 B．10C．11 D．12解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，因为|AB|＝＝2，由S△PAB ＝10得1×2×d＝10．所以d＝5．2又直线AB的方程为x－y＋1＝0，所以＝5．解得m＝－11或m＝9(舍去)，所以|OP|＝|m|＝11．选C．2．(必修2 P133A组T8改编)Rt△ABC中，|BC|＝4，以BC边的中点O为圆心，半径为1 的圆分别交BC于P，Q，则|AP|2＋|AQ|2＝( )A．4 B．6C．8 D．10解析：选D．法一：特殊法．当A在BC的中垂线上时，由|BC|＝4，得|OA|＝2．所以|AP|2＋|AQ|2＝2|AP|2＝2(12＋22)＝10．选D．法二：以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)，P(－1，0)，Q(1，0)设A(x0，y0)，由AB⊥AC得y0·＝－1．x0＋2即x＋y＝4．所以|AP|2＋|AQ|2＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y20＝2(x＋y)＋2＝2×4＋2＝10．即|AP|2＋|AQ|2＝10．故选D．3．(选修11 P35例3改编)如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为 ( )A ．B ．32C ．D ．63解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为＋＝1(a>b>0)．则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝(x ＋a)，y ＝－x ＋a ．联立解得M 的坐标为，所以＋＝1，化简得a2＝3b2＝3(a2－c2)，所以＝，所以＝．故选D ．4．(选修11 P61例4改编)过抛物线y2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB|＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α．则BE ＝m|cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m(1－|cos α|)， 所以|cos α|＝AD AC＝．解得|cos α|＝．由抛物线焦点弦长公式|AB|＝得|AB|＝＝9．故选B ． 或：由|cos α|＝得tan α＝±2．所以直线l 的方程为y ＝±2(x－2)，代入y2＝8x 得 8(x2－4x ＋4)＝8x ，即x2－5x ＋4＝0．所以xA ＋xB ＝5，则|AB|＝xA ＋xB ＋4＝9．故选B ． 二、填空题5．(选修11 P54B 组T1改编)与椭圆＋＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆＋＝1的焦点为(±5，0)， 所以可设双曲线方程为x2a2－＝1(a>0，b>0)， 所以a2＋b2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得ba＝，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为－＝1． 答案：－＝16．(选修11 P68A 组T5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x2＋y2 cos α＝1的离心率为，则α＝________．解析：由题意知，曲线C 为椭圆，所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上． 所以a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1． 由e ＝得＝，即＝．所以cos α＝，所以α＝． 答案：π3三、解答题7．(选修11 P36练习T3改编)已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆的左，右顶点，若直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的一个动点，直线AQ交l于点M，过点M垂直于QB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF1|＋|EF2|＝2a，|FF1|＋|FF2|＝2a，又已知△EFF2的周长为8，所以4a＝8，故a＝2．又e＝＝，故c＝，所以b2＝2，故椭圆C的方程为＋＝1．(2)由题意A(－2，0)，B(2，0)，直线l：x＝2，显然直线AQ的斜率存在且不为0，设为k，则直线AQ的方程为y＝k(x＋2)．联立方程组可得点Q．联立方程组可得点M(2，4k)．又B(2，0)，则kBQ＝＝－，所以km＝2k，故直线m的方程为y－4k＝2k(x－2)，即y＝2kx，所以直线m过定点(0，0)．8．(选修11 P64A组T2(1)、P41练习T3(1)改编)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝．(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF．解：(1)由已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，可得抛物线C的方程为x2＝4y．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c．由已知得：解得所以椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)证明：显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意．故可设直线l的方程为y＝kx＋1，A (x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，由消去y并整理得x2－4kx －4＝0，所以x1x2＝－4．因为抛物线C的方程为y＝x2，求导得y′＝x，所以过抛物线C上A，B两点的切线方程分别是y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，即y＝x1x－x，y＝x2x－x，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，所以·＝·(x2－x1，y2－y1)＝(x－x)－2－\f(1,4)x))＝0．所以AB⊥MF．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章平面解析几何47Word版含解析
第4节椭圆、选择题x 2 y1. （2018江西景德镇模拟）椭圆m + : =1的焦距为2,则m 的值 等于（）A . 5B . 3C . 5 或 3D . 8【答案】C【解析】当 m>4 时，m — 4= 1，二m = 5;当 0<m<4 时，4 —m = 1,.•m = 3.综上，m 的值为5或3.2 22. （2018江苏南通一模）“2m<6”是“方程 宀^ + 了匚 =1表示 m — 2 6— mm — 2>0,2 2【解析】若-^ + —J = 1表示椭圆，则有6— m>0,m —2 6— m〔m — 2工 6— m , 2 2 •*2<m<6且mH4.故2<m<6”是“_X— + — = 1表示椭圆”的必要m — 2 6— m 不充分条件.2 23. （2018山东临沂一模）设椭圆C :字+存=1（a >b >0）的左、右 焦点分别为F 1, F 2, P 是C 上的点，PF 2丄F 1F 2,/ PFQ 30°则椭圆”的（）A .充分不必要条件 C .充要条件 【答案】BB .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件C的离心率为（A.C . ?【答案】D【解析】在Rt 仲F 2F 1中，令|PF 2匸1,因为ZPF i F 2= 30 ；所以|PF i | 扌故选D.4 . （2018江西师大附中模拟）椭圆ax 2 + by 2= 1（a >0, b >0）与直 线y = 1 — x 交于A,B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 令,B B . 3 D — D .27B设 A(x i , y i ), B(X 2,目2，则 ax ? + by 1= 1, aX + by ；= 1,2 2 z , 2 , z by 1— b y 2by 1 — y 2X y 1 + y 2)即 ax 1 — ax 2=— (by 1 一 by 2), 22=— 1,=— 1, ax 1— ax 2 a(X 1 — X 2X X 1 + X 2)■•b x (T )T =—1. •舟=2 3^故选B.x 2 y 25 . （2018海沧实验中学模拟）已知直线I : y = kx + 2过椭圆孑+存 =1（a >b >0）的二2,申匸「3.故*莽忌二则“的值为（ aA F C^32【答案】【解I。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 46 Word版含解析
第46节 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2018湖北七市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转150°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】依题意，得直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．2．(2018菏泽模拟)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5 【答案】A【解析】(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.故选A.3．(2018惠州调研)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－3 2，3 2)B ．(－∞，－3 2)∪(3 2，＋∞)C ．(－22，22) D ．(－∞，－2 2)∪(22，＋∞) 【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜32.故选A.4．(2018广州模拟)已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AO →·AB →＝32，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±32C ．±22 D ．±12【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，故Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝8－4m 2＞0，－2＜m ＜ 2.x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，又AO →·AB →＝－x 1x 2－y 1y 2＋x 21＋y 21＝32，故x 1x 2＋y 1y 2＝－12，故2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝－12，即m 2－1－m 2＋m 2＝－12，得m 2＝12，m ＝±22.故选C.5．(2018安徽芜湖质检)已知b 2＝a ，则直线x －y ＋3＝0被圆x 2＋y 2－2ax －4by ＋a 2＋4b 2－6＝0截得的弦长的最大值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4【答案】D【解析】由已知可得(x －a )2＋(y －2b )2＝6，圆心为(a,2b )，半径为6，圆心(a,2b )到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2b ＋3|2，弦长l ＝2×6－(b 2－2b ＋3)22＝2×6－[(b －1)2＋2]22≤4，当且仅当b ＝1时取等号，故弦长的最大值为4.故选D.6．(2018广东江门一模)已知点M (－2,0)，N (2,0)，若圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0(r ＞0)上存在点P (不同于点M ，N )，使得PM ⊥PN ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[1,3]【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，当r ＝1时，(x －3)2＋y 2＝1经过点N (2,0)，圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上不存在点P ，使得PM ⊥PN ；当r ＝5时，(x －3)2＋y 2＝25经过点M (－2,0)，同理圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上不存在点P ，使得PM ⊥PN .故选A.7．(2018湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C ．92 D ．9【答案】C【解析】x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝(5)2，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.故选C.8．(2018河南六市一模)若圆x 2＋(y －1)2＝r 2与曲线(x －1)y ＝1没有公共点，则半径r 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，112C ．(0，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 【答案】C【解析】取曲线上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a －1，其中a ≠1，则圆心(0,1)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a －1的距离d ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1－12＝(a －1)2＋2(a －1)＋1(a －1)2－2a －1＋2＝(a －1－1a －1)2＋2(a －1－1a －1)＋4 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1－1a －1＋12＋3≥3，所以若圆与曲线无公共点，则0＜r ＜ 3.故选C.二、填空题9．(2019银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．【答案】x ＋y －3＝0【解析】可求得点M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.10．(2018福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为__________．【答案】0【解析】由题意得点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)．∴CA →·CB →＝0.11．(2018洛阳模拟)已知过点(2,4)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －5＝0截得的弦长为6，则直线l 的方程为__________．【答案】x －2＝0或3x －4y ＋10＝0【解析】圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －5＝0的圆心坐标为(1,2)，半径为10.因为过点(2,4)的直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l 的距离为1.①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x －2＝0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，所以|k －2k －2＋4|1＋k 2＝1，解得k ＝34，所求直线l 的方程为3x －4y ＋10＝0.故直线l 的方程为x －2＝0或3x －4y ＋10＝0.12．(2018湖南长沙一模)过点P (3,2)作圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，则切线的方程为________．【答案】12x －5y －26＝0或y －2＝0【解析】因为|OP |＝32＋22＝13，所以点P (3,2)在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离，故可设切线的方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y ＋2－3k ＝0.又圆心为O (0,0)，半径r ＝2，故圆心到切线的距离d ＝|－3k ＋2|k 2＋1＝2，即|3k －2|＝2k 2＋1，所以k ＝125或k ＝0.故所求切线的方程为12x －5y －26＝0或y －2＝0.三、解答题13．(2018洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，且∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．【解】(1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)，半径为|SA |＝5. 故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理，得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)＞0，得8－52＜m ＜8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72. 依题意得OC →·OD →＜0，即x 1x 2＋(－x 1＋m )·(－x 2＋m )＜0，即m 2－8m ＋7＜0，解得1＜m ＜7.故实数m 的取值范围是{m |8－52＜m ＜8＋52}∩{m |1＜m ＜7}＝{m |1＜m ＜7}．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 49 Word版含解析
第49节 抛 物 线一、选择题1．(2018沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0【答案】C【解析】将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C. 2．(2018辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.3．(2018邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点．若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.故选C.4．(2018河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B ．75 C ．97 D ．2【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 5．(2018广东汕头联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2C ．17－1D ．17－2【答案】C【解析】由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.故选C. 二、填空题6．(2018沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝2 33，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±2 33，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.7．(2018云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与圆M 相切，那么p 的值为__________．【答案】12或4【解析】将圆M 的方程化为标准方程为(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r ＝2.又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.8．(2018兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C .若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．【答案】y 2＝3x【解析】分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°.又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点．根据题意，得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .三、解答题9．(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．【解】(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33.(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py－4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2，所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p .因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2018合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)． 【解】(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )．由OB →·AB →＝0，知x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2.∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2.∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p 2(x 41＋4p 2·x 21)，且x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 48 Word版含解析
第48节 双 曲 线一、选择题1．(2018合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由题意得ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.故选B.2．(2018广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1【答案】A【解析】由题意知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C的方程为x 220－y 25＝1.3．(2018浙江桐乡一中模拟)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5B ．26C ．6D ．8【答案】D【解析】设双曲线的焦距为2c .由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则该双曲线的焦距为8.4．(2018山西平遥中学月考)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意知双曲线的一个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，则顶点到渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13×3m 2＋9＝15， 解得m ＝4.5．(2018湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D ．x 24－y 23＝1【答案】C【解析】由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3,4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3.故选C.6．(2018南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【答案】A【解析】由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|， 则根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，联立解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ， 所以|PF 2|＜|F 1F 2|.所以∠PF 1F 2＝30°.所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos 30°， 得c ＝3a .所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0. 7．(2018江苏无锡模拟)已知A ，B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点．若双曲线C 的离心率为2，P A ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1k 2k 3的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，39B ．(0，3)C ．(0,33)D ．(0,8)【答案】C【解析】因为e ＝ca ＝2，所以b ＝3a .设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，k 1·k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2a2＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜ 3.所以0＜k 1k 2k 3＜33.故选C.8．(2018沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A ，B ，则P A →·PB →的值是( )A ．－38B ．316C ．－38 D ．不能确定【答案】A【解析】设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是x3－y＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1.又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38.故选A. 二、填空题9．(2018武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．【答案】8【解析】双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 10．(2018山东烟台模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为__________．【答案】233【解析】双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．由题意得|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c .所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.三、解答题11．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x 之间的阴影部分为W .区域W 中动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程．(2)动直线l 穿过区域W ，分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点．若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB 的面积恒为定值．(1)【解】由题意得|x －y |2·|x ＋y |2＝1，所以|(x ＋y )(x －y )|＝2.因为点P 在区域W 内，所以x ＋y 与x －y 同号， 所以(x ＋y )(x －y )＝x 2－y 2＝2， 所以点P 的轨迹C 的方程为x 22－y 22＝1. (2)【证明】设直线l 与x 轴相交于点D .当直线l 的斜率不存在时，|OD |＝2，|AB |＝22，S △OAB ＝12|AB |·|OD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx＋m ，显然k ≠0，m ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0.把直线l 的方程与C ：x 2－y 2＝2联立得 (k 2－1)x 2＋2km x ＋m 2＋2＝0.由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知Δ＝4k 2m 2－4(k 2－1)·(m 2＋2)＝0，得m 2＝2(k 2－1)＞0，所以k ＞1或k ＜－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝x得y 1＝m 1－k ，同理得y 2＝m1＋k.所以S △OAB ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪m1－k －m 1＋k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 21－k ＝2.综上， △OAB 的面积恒为定值2.。
2020版高考一轮复习《第九章平面解析几何》课时训练(含答案)
第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点P(－2，m)和Q(m ，4)的直线的斜率不存在，则m 的值为________． 答案：－2解析：由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2.2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________． 答案：120°解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝－15－963＋23＝－3，∵ 0°≤α＜180°，∴ α＝120°.3. 如果图中的三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为__________．答案：k 3<k 1<k 2解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α3＝k 3<0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而α3<α1，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以 k 3<k 1.综上，k 3<k 1<k 2. 4. 直线l ：xtan π5＋y ＋1＝0的倾斜角α＝________．答案：4π5解析：∵ α∈[0，π)，k ＝tan α＝－tan π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan 4π5，∴ α＝4π5. 5. 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，且P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，则x 2＋y 1＝________．答案：7解析：由α＝45°，得直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1.又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0，∴ x 2＋y 1＝7.6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上，k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 7. 若直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为____________．答案：y ＝－34(x －1)解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝－34(x －1)．8. 若点A(3，－4)，B(5，－3)，C(4－m ，m ＋2)能构成三角形，则实数m 应满足条件________．答案：m≠－113解析：假设点A ，B ，C 不能构成三角形，则点A ，B ，C 共线．若m ＝1，则点A ，B ，C 不共线；若m≠1，则k AB ＝k AC .因为k AB ＝12，k AC ＝6＋m 1－m ，所以12＝6＋m 1－m ，解得m ＝－113.所以若点A ，B ，C 能构成三角形，则m≠－113.9. 直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.10. 若实数x ，y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，则yx的最小值为__________．答案：－1解析：设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵ A(1，－1)，B(3，2)，作图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝k OA ＝－1.二、 解答题11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°. 解：① 当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)．∵ A(1，2)，∴ 直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.∵ 直线PA 的倾斜角为60°，∴ tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233.∴ 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.② 当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)，同理可得b ＝2－3，∴ 点P 的坐标为(0，2－3)．12. 已知经过A(m ，2)，B(－m ，2m －1)的直线的倾斜角为α，且45°＜α＜135°，求实数m 的取值范围．解：∵ 45°＜α＜135°，∴ k ＞1或k ＜－1或k 不存在， ∴ 2m －3－2m ＞1或2m －3－2m＜－1或m ＝0，解得0＜m ＜34或m ＜0或m ＝0，∴ m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34. 13. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．解：由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB .由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴ 43≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43. 第2课时 直线的方程一、 填空题1. 斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是________．答案： y －3＝32(x ＋4)解析：∵ 直线y ＝32x 的斜率为32，∴ 过点(－4，3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x＋4)．2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x 轴上的截距为________．答案：－32解析：由两点式，得所求直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32. 3. 已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________________．答案：y ＝3x ＋5解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 答案：三解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y ＝－A B x －CB，∵ A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴ A ·B＞0，∴ 其斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，∴ 直线过第一、二、四象限．5. 斜率为16的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______________．答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知得|－6b·b|＝6，∴ b ＝±1.∴ 直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.6. 已知经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则该直线的方程为________．答案：2x ＋y －6＝0解析：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．∵ 点P 在此直线上，∴ 1a ＋4b＝1.∵ a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9， 当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立，∴ a ＋b 取得最小值9时，a ＝3，b ＝6，此时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.7. 已知方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )的直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a ＝__________．答案：0或2解析：令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．∵ 截距相等，∴ a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0.8. 已知3a ＋2b ＝5，则直线ax ＋by －10＝0必过定点__________________． 答案：(6，4)解析：由3a ＋2b ＝5得到b ＝5－3a 2，代入直线ax ＋by －10＝0得到ax ＋5－3a2y －10＝0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3y 2＋52y －10＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －32y ＝0，52y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，所以直线经过定点(6，4)．9. 已知直线l 过点P(2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．答案：2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y2a＝1.∵ 点P 在l 上，∴ 2a －12a ＝1，则a ＝32，∴ l 的方程为2x ＋y －3＝0；当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴ k ＝－12，∴ x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0.10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析：①正确，如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错误，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)． 二、 解答题11. 若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0. (1) 求参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，因为直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.12. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解： (1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N(0，2＋a)．又a ＞－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×(2（a ＋1）×1a ＋1＋2)＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.13. 已知直线l 过点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵ 点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a)． 由P(0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴ 点B 的坐标是(4，0)．因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.第3课时 直线与直线的位置关系一、 填空题1. 过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是____________． 答案：x －2y －1＝0解析：与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2. 已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________． 答案：1解析：若l 1⊥l 2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1. 3. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：若由题意知，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a∈[0，10]．4. 已知点A(1，－2)，B(m ，2)．若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．答案：3解析：∵ 点A(1，－2)和B(m ，2)的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，∴ 1＋m2－2＝0，∴ m ＝3.5. 一束光线从点A(－2，3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，则点P 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0 解析：(解法1)由光的反射原理，知k AP ＝－k BP .设P(x ，0)，则0－3x －（－2）＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. (解法2)设p(x ，0)，由题意，知x 轴是镜面，入射点A(－2，3)关于x 轴的对称点为A 1(－2，－3)，则点A 1应在反射光线所在的直线上，即A 1，P ，B 三点共线，即kA 1P ＝k PB ，0＋3x ＋2＝75－x ，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. 6. 已知定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 解析：因为定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，直线AB 的方程为y ＋x －1＝0，与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 7. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2) 解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．8. 若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案：3 2解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m ＝－6，所以直线l 的方程为x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.9. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)．若∠C 的平分线所在直线的方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．答案：12x －31y －31＝0解析：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113.∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1）3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.10. 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点的坐标是__________．答案：(5，6)解析：易知A(4，－1)，B(3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．二、 解答题11. 已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：设直线l 1，l 2交点为P ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A ，B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A ，B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －252－2＝x －14－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 12. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1 ①.又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0 ②.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95③，y ′＝3x ＋4y ＋35④.(1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 13. 已知三条直线l 1：ax －y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay －a(a ＋1)＝0，l 3：(a ＋1)x －y ＋a ＋1＝0，a>0.(1) 求证：这三条直线共有三个不同的交点； (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．假设直线l 1与l 2交于点A ，直线l 1与l 3交于点B ，直线l 2与l 3交于点C.(1) 证明：(证法1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，x ＋ay －a （a ＋1）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a a 2＋1，y ＝a ()a 2＋a ＋1a 2＋1， 所以直线l 1与l 2相交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，a ()a 2＋a ＋1a 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －a （a ＋1）＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝a ＋1， 所以直线l 2与l 3相交于点C(0，a ＋1)．因为a ＞0，所以a a 2＋1≠－1，且aa 2＋1≠0，所以A ，B ，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点． (证法2)① 设三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝a ，k 2＝－1a，k 3＝a ＋1.由k 1·k 2＝－1得l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2相交． 由k 1≠k 3，得直线l 1与直线l 3相交．由a(a ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0知k 2≠k 3，所以直线l 2与直线l 3相交． 所以直线l 1，l 2，l 3任何两条均不平行．② 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．又－1－a(a ＋1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34≠0， 所以直线l 2不过点(－1，0)，所以直线l 1，l 2，l 3不可能交于同一点． 综上，这三条直线共有三个不同的交点．(2) 解：(解法1)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 由两点间距离公式及(1)，得AB ＝a 2＋a ＋11＋a 2，AC ＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤12＋12×21＝34， 当且仅当a ＝1时取等号．所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为34.(解法2)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 点B 到直线l 2的距离d 1＝1＋a （a ＋1）1＋a 2，点C 到直线l 1的距离d 2＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12d 1d 2＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）， 以下同解法1.第4课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则实数a 的值为________． 答案：1解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.2. 圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为________________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：由题意知圆心纵坐标y ＝－3，代入直线2x －y －7＝0得圆心C(2，－3)，r 2＝22＋12＝5，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.3. 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4. 若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m ＞0，1＋（－1）2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12. 5. 若圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________．答案：(0，2)解析：将圆的方程x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －2)2＝4－3k 24.∵ r 2＝4－3k 24≤4，∴ k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2)．6. 已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________． 答案：5＋ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5.7. 已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝PQ 2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD ＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC ＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积为12AC ×BD ＝12×210×25＝10 2.9. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案：2 2解析：设满足条件AC ＝2BC 的C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S ＝12×2×|y|≤22，所以△ABC 的面积的最大值是2 2.10. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为________．答案：6解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ，因为∠APB＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m.要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.二、 解答题11. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1) 求直线CD 的方程； (2) 求圆P 的方程．解：(1) 直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2) 设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0 ①. ∵ 直径CD ＝410，∴ PA ＝210，∴ (a ＋1)2＋b 2＝40 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴ 圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为63m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1) (解法1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．则有E(－33，0)，F(33，0)，M(0，3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ F(33，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ⎩⎨⎧（33）2＋b 2＝r 2，02＋（3－b ）2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.∴圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(解法2)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，OE ＝33，GE ＝r ，OG ＝r －3.由勾股定理，得r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6， 则圆心G 的坐标为(0，－3)，故圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2) 设限高为h ，作CP⊥AD，交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得(11)2＋(y ＋3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5 m.13. 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1) 求MQ 的最大值和最小值；(2) 若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1) 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2.又QC ＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 所以MQ max ＝42＋22＝62， MQ min ＝42－22＝2 2.(2) 由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率．设直线MQ 的方程为y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k.由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.第5课时 直线与圆的位置关系一、 填空题1. 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为______________．答案：x ＋2y －5＝0解析：由点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0.2. 圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为 ________． 答案：4 5解析：公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－（5）2＝4 5.3. (2020·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点．若MN≥23，则k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：由圆的方程，得圆心(2，3)，半径r ＝2，∵ 圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k ＋3－3|k 2＋1，MN ≥23， ∴ 2r 2－d 2＝24－4k2k 2＋1≥23， 变形得4－4k 2k 2＋1≥3，即4k 2＋4－4k 2≥3k 2＋3，解得－33≤k ≤33，则k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4. 过点P(2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为______________． 答案：x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k(x －2)，即kx －y＋4－2k ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k|k 2＋（－1）2＝|3－k|k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴ 所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0. 综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.5. (2020·扬州期中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为________．答案：27解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，所以圆心C(2，1)，半径r ＝5，所以圆心C到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离d ＝|4×2－3×1＋15|42＋（－3）2＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝2×25－16＝6.因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×AB ×9＝27.6. (2020·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．答案：－1解析：由题意，得C(1，2)，直线l ：m(x －2)＋y －1＝0恒过定点A(2，1)．当直线l被圆C 所截得的弦长最短时，直线l⊥CA.因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m×(－1)＝－1，即m ＝－1.7. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为____________．答案：2解析：过点O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过点P 作圆O 的切线PA ，连结OA ，易知此时PA 的值最小．由点到直线的距离公式，得OP ＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又OA ＝1，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2.8. 在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．答案：2解析：设P(x ，y)，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理得x ＋y－2＝0.又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．9. (2020·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB PA的最大值是________．答案：2解析：(解法1)设点P(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝（x －1）2＋（y ＋1）2x 2＋（y ＋2）2＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4＝－2x＋2y＋44y＋6＝－x＋y＋22y＋3.令λ＝－x＋y＋22y＋3，所以x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，由题意，直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x2＋y2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，解得0＜λ≤4，所以PBPA的最大值为2.(解法2)当AP不与圆相切时，设AP与圆的另一个交点为D，由条件AB与圆C相切，则∠AB P＝∠ADB，所以△ABP∽△ADB，所以PBPA＝BDBA＝BD2≤2，所以PBPA的最大值为2.10. (2020·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝300，则a的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0解析：过点Q作圆O的切线QR，切点为R，根据圆的切线性质，有∠OQR≥∠OQP＝30°；反过来，如果∠OQR≥30°，则存在圆O上的点P，使得∠OQP＝30°.若圆O上存在点P，使得∠OQP＝30°，则∠OQR≥30°.因为OP＝1，所以OQ＞2时不成立，所以OQ≤2，即点Q在圆面x2＋y2≤4上．因为点Q在圆M上，所以圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)与圆面x2＋y2≤4有公共点，所以OM≤3.因为OM2＝(0＋a＋3)2＋(0－2a)2，所以(0＋a＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65≤a≤0.二、解答题11. 已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1) 当a为何值时，直线l与圆C相切；(2) 当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1) 若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2，解得a＝－34.(2) 过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD＝|4＋2a|a2＋1，CD2＋DA2＝AC2＝22，DA＝12AB＝2，解得a＝－7或－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.12. (2020·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y－4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为2－2＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.13. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝4.(1) 若直线l 过点A(4，－1)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆C 1和圆C 2都相交，且l 被两圆截得的弦长相等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)－1， 即kx －y －4k －1＝0，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1, 化简得24k 2＋7k ＝0，所以k ＝0或k ＝－724.故直线l 的方程为 y ＝－1或y ＝－724(x －4)－1，即y ＝－1或7x ＋24y －4＝0.(2) 假设存在，设点P(a ，b)，l 的方程为y －b ＝k(x －a)，即kx －y ＋b －ak ＝0. 因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的圆心到直线l 的距离也相等，即|－3k ＋b －ak|1＋k 2＝|4k －4＋b －ak|1＋k2， 整理得(14a －7)k 2－(8a ＋14b －32)k ＋8b －16＝0. 因为k 的个数有无数多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧14a －7＝0，8a ＋14b －32＝0，8b －16＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.第6课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0，4)且焦距为10的椭圆的标准方程为____________________．答案：x 241＋y216＝1解析：因为焦距为10，所以2c ＝10，c ＝5.因为4＜5，所以b ＝4，且焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c 2＝16＋25＝41，故椭圆的标准方程为x 241＋y216＝1.2. 已知椭圆方程为x 2k －3＋y25－k＝1，则k 的取值范围是______________．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，5－k ＞0，k －3≠5－k ，∴ k ∈(3，4)∪(4，5)．3. 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的方程为________________．答案：x 24＋y23＝1解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长AB ＝3知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.5. 若椭圆C ：x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，则∠F 1PF 2＝________．答案：2π3解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则PF 2＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－（27）22×4×2＝－12.∵ ∠F 2PF 1∈(0，π)，∴ ∠F 1PF 2＝2π3.6. (2020·淮阴高级中学模考)已知过椭圆x 225＋y216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．答案：18解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2PO 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值，最小值是18.7. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为________．答案：263解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x ，y)，则 MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.8. (2020·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案：5－12解析：由题意得，A(a ，0)，B 1(0，－b)，B 2(0，b)，F(c ，0)，所以B 2F →＝(c ，－b)，AB 1→＝(－a ，－b)．因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F →·AB 1→＝0，即b 2＝ac ， 所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0.又椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝5－12. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC＝90°，则椭圆的离心率是____________．答案：63解析：由题意得，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，因为FB⊥FC，FB →·FC →＝0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2，因此c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0，3c 2＝2a 2，解得e ＝63.10. 如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，点C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝ 2.若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．答案：x 24＋y22＝1解析：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则A(a ，0)，B(0，b)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F(a 2－b 2，0)．依题意得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2.由于O ，C ，M三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求椭圆的方程是x 24＋y22＝1. 二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程．(1) 经过点P(－23，0)，Q(0，2)两点；(2) 长轴长是短轴长的3倍，且经过M(3，2)；(3) 与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1) 由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，所以a ＝23，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 212＋y24＝1.(2) 当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，32a 2＋22b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5，所以椭圆的标准方程为x 245＋y25＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，22a 2＋32b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859，椭圆的标准方程为x2859＋y285＝1. 综上，椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y285＝1.(3) 由椭圆4x 2＋9y 2＝36得c ＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5＋b 2，32a2＋（－2）2b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10，所以椭圆的标准方程为x 215＋y210＝1.12. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，求椭圆C 的离心率．解： 右准线l ：x ＝a 2c ，d 2＝a 2c －c ＝b2c，在Rt △BOF 中，由面积法得d 1＝bca，若d 2＝6d 1，则b 2c ＝6×bca，整理得6a 2－ab －6b 2＝0，两边同除以a 2，得6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －6＝0，解得b a ＝63或－62(舍)，∴ e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝33.13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2) 由题意知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)．由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.第7课时 椭 圆(2)一、 填空题1. 已知椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距为2，则m 的值为________．答案：5或3解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，∴ c ＝m －4，∴ m －4＝1，∴ m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴ c ＝4－m ，∴ 4－m ＝1，∴ m ＝3.2. 已知以椭圆两焦点F 1，F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________．答案：22解析：由题意得b ＝c ，∴ a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴ e ＝c a ＝22.3. 已知椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为______________．答案：x 28＋y24＝1解析：由2c ＝4，a 2c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝8，b 2＝4，则该椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.4. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是____________．答案：x 281＋y272＝1解析：依题意知2a ＝18，∴ a ＝9，∴ 2c ＝13×2a ，c ＝3，∴ b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴ 椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.5. 已知椭圆x 24＋y22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点．若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．答案：6解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．若P到两焦点的距离之比为2∶1，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ， 根据椭圆定义可知3k ＝2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥13.因为0＜e ＜1，所以13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. 7. 已知椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上一点．若|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为3c 2，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率为________．答案：33解析：∵ |PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴ |PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，∴ a 2＝3c 2，∴ e 2＝13，∴ e ＝33.8. 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．答案：12解析：直线AB 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y－b ＝1，则它们的交点的横坐标满足x c －x a ＝2，而x ＝a 2c ，可得a 2－ac ＝2c 2，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.9. 已知椭圆x 24＋y2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是__________．答案： 3解析：由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B(－c ，－32)，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b2＝3，所以b ＝ 3.10. 设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →，则椭圆C 的离心率为________．答案：23解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)，直线l 的方程为y ＝3(x －c)，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b2＝1，消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2（c －2a ）3a 2＋b2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. 二、 解答题11. 已知椭圆C 的一个焦点为F 1(2，0)，相应准线为x ＝8，离心率e ＝12.(1) 求椭圆的方程；(2) 求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长． 解：(1) 设椭圆上任一点P(x ，y)，由统一定义得（x －2）2＋y 2|8－x|＝12，两边同时平方得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x)2，化简得x 216＋y212＝1.(2) 设椭圆的另一个焦点为F 2(－2，0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2，。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 43 Word版含解析
【课时训练】第43节 直线的方程一、选择题1．(2018广东深圳期末)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小的直线方程是( )π4A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2【答案】A【解析】∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为.则所求3π4直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝3π4π4π22.2．(2019合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.B ．[0，π4][3π4，π)C.∪D ．∪[0，π4](π2，π)[π4，π2)[3π4，π)【答案】B【解析】由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是.1a 2＋1[3π4，π)3．(2018太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.B ．－1313C ．－D ．3223【答案】B【解析】依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有Error!解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为＝－.－3－17＋5134．(2018深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )A B C D【答案】B【解析】当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合要求．5．(2018衡水模拟)已知直线l 的斜率为，在y 轴上的截距为另3一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －233C ．y ＝x ＋D ．y ＝－x ＋23123【答案】A【解析】∵直线x －2y －4＝0的斜率为，∴直线l 在y 轴上的截12距为2.∴直线l 的方程为y ＝x ＋2.故选A.36．(2018河北保定模拟)已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0【答案】D【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l 的斜率k ＝tan12122α＝＝＝.所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝2tan α1－tan 2α2×121－(12)24343(x －1)，即4x －3y －4＝0.7．(2018皖南八校联考)已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】直线AB 的方程为＋＝1，则x ＝3－y ，∴xy ＝3y －y 2＝x 3y 43434(－y 2＋4y )＝[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点的坐标为时，xy 取3434(32，2)最大值3.二、填空题8．(2018烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.【答案】－24【解析】令x ＝0，得y ＝；令y ＝0，得x ＝－.则有－＝2，k 4k 3k 4k3所以k ＝－24.9．(2018江西上饶模拟)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【答案】(2，－2)【解析】直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由Error!解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．10．(2018山西运城模拟)一条直线经过点A (2，－)，并且它的3倾斜角等于直线y ＝x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程13是________．【答案】x －y －3 ＝033【解析】因为直线y ＝x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜13角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝.3又该直线过点A (2，－)，3故所求直线为y －(－)＝(x －2)，即x －y －3 ＝0.333311．(2018广东广州调研)已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为________．【答案】x ＋y －2＝0【解析】设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，直线l 的方程为＋＝1，x a yb则＋＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·＝2＋＋≥2＋21a 1b (1a ＋1b )a b ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.a b ·ba12．(2018湖南长沙统一模拟)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|PA |·|PB |≤＝5(当且仅当|PA |＝|PB |时取“＝”)．|PA |2＋|PB |22三、解答题13．(2018海南中学月考)(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程；(2)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解】(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为＋＝1.x a y b∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1.4a －3b 若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.(2)易求M ，N (0,2＋a )，∵a ＞－1，(a ＋2a ＋1，0)∴S △OMN ＝··(2＋a )＝·12a ＋2a ＋112[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝[(a ＋1)＋＋2]≥2，121a ＋1当且仅当a ＋1＝，即a ＝0时取等号．1a ＋1故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2020届高考数学理一轮温习课时训练第9章平面解析几何44
第44节 两直线的位置关系一、选择题1．(2018上海模拟)坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－85C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85【答案】A【解析】直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是(x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85.2．(2018厦门模拟)“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分没必要要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也没必要要条件 【答案】B【解析】由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离d ＝|6＋4＋c |32＋42＝3，解得c ＝5或c ＝－25，故“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c＝0的距离为3”的充分没必要要条件．应选B.3．(2018福建南平一模)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.假设l 1∥l 2，则m 的值为( )A ．－1B ．－6C ．－7D ．－1或－7【答案】C【解析】l 1∥l 2等价于3＋m 2＝45＋m ≠5－3m8，解得m ＝－7.应选C.4．(2018东城期末)若是平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0 【答案】A【解析】因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a＝－1，因此直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，因此2a ＋12＝2a －12＋b ，即b ＝1，因此直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.应选A.5．(2018江西宜春模拟)在等腰三角形MON 中，|MO |＝|MN |，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，那么直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为|MO|＝|MN|，因此直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，因此k M N＝－k M O＝3.因此直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0.应选C.6．(2018银川模拟)曲线y＝(x＋a)e x在x＝0处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2【答案】B【解析】因为y＝(x＋a)e x，因此y′＝(1＋x＋a)e x.因此曲线y＝(x＋a)e x在x ＝0处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝1＋a.又切线与直线x＋y＋1＝0垂直，故1＋a＝1，解得a＝0.应选B.7．(2018南昌检测)直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( ) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0【答案】A【解析】在所求直线上任取一点P(x，y)，那么点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，因此3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.应选A.8．(2018北京顺义区检测)假设直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k －2的交点位于第四象限，那么实数k的取值范围是( )A．(－6，－2) B．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)【答案】A【解析】解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，因此k ＋6＞0且k ＋2＜0，因此－6＜k ＜－2.应选A.二、填空题9．(2018重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，那么直线l 1与l 2的距离为________．【答案】32【解析】直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.10．(2019四川攀枝花质检)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，那么实数a 的值为________．【答案】－13或－79【解析】由题意及点到直线的距离公式， 得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.11．(2018江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，那么2x ＋4y 的最小值为________．【答案】4 2【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，那么易患x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时取等号．故2x ＋4y 的最小值为42.12．(2018甘肃天水二中模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．【答案】[0,10]【解析】由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，因此a 的取值范围是[0,10]． 三、解答题13．(2018江西九校联考)已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都通过同必然点，并求出这必然点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.【证明】(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线通过的定点为M (2，－2)．(2)过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当点Q与点M重合时，|PQ|＝|PM|，现在对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴点M与点Q不可能重合．而|PM|＝4 2，∴|PQ|＜4 2，故所证成立．。
2020届高考数学文一轮温习课时训练第9章平面解析几何43
【课时训练】椭 圆一、选择题1．(2018湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个核心与抛物线y 2＝－4x 的核心重合，那么此椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 【答案】A【解析】依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的核心为(－1,0)，因此c ＝1.又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．(2018保定模拟)已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或－21 【答案】D【解析】当9>4－k >0，即4>k >－5时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k3＝45，解得k ＝1925.当9<4－k，即k<－5时，a＝4－k，c2＝－k－5，∴－k－54－k＝45，解得k＝－21，应选D.3．(2018青岛模拟)已知A 1，A 2别离为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右极点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，假设直线PA 1，PA 2的斜率的乘积为－49，那么椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.53【答案】D【解析】设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a＝－49，化简，得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝1－b 2a 2＝1－49＝53，应选D.4．(2018百校联盟TOP20联考)依照天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆．地球位于椭圆的两个核心位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地址．已知月球轨道上近地址高度约为36万千米，月球轨道上点P 与椭圆两核心F 1，F 2组成的三角形PF 1F 2的面积约为480 3 (万千米)2，∠F 1PF 1＝π3，那么月球绕地球运行轨道的一个标准方程为( ) A.x 2362＋y 2142＝1 B.x 2382＋y 240×36＝1 C.x 2482＋y 248×36＝1 D.x 2482＋y 236×24＝1 【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的概念和余弦定理可得核心三角形的面积S ＝b 2t a n π6＝33b 2＝4803，解得b 2＝40×36.∵月球轨道上近地址高度为36，∴a －c ＝36.∵b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝40×36， ∴a ＋c ＝40，∴a ＝38.故所求的标准方程为x 2382＋y 240×36＝1.应选B.5．(2018贵州七校联考)以椭圆上一点和两个核心为极点的三角形的面积的最大值为1，那么椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22【答案】D【解析】设a ，b ，c 别离为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意，知当三角形的高为b 时面积最大，因此12×2cb ＝1，bc ＝1.而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，应选D. 6．(2018济南质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右极点，假设在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，那么椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 【答案】D【解析】A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )，∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0.∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y2b2＝1，整理，得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0， 如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2) ＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0，∴对称轴知足0<－a 32(b 2－a 2)<a ，即0<a 32(a 2－b 2)<a ，∴a 22c 2<1.∴c 2a 2>12. 又0<ca <1，∴22<c a <1.应选D.二、填空题7．(2018西安质量检测)假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的核心在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点别离为点A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右核心和上极点，那么椭圆的方程为________________．【答案】x 220＋y 216＝1【解析】设切点坐标为(m ，n )， 则n －1m －2·n m＝－1， 即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好通过椭圆的右核心和上极点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4. ∴a 2＝b 2＋c 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.8．(2018南昌一模)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 别离为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，那么|PM |＋|PN |的最小值为________．【答案】7【解析】由题意知椭圆的两个核心F 1，F 2别离是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.9．(2018石家庄质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右核心别离为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，那么点P 的横坐标的取值范围是____________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 【解析】设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0.①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x24<0，34x 2<2，∴x 2<83， 解得－263<x <263.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 10．(2018长沙模拟)已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左极点A (－a,0)作直线l 交y轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，那么椭圆的离心率为________．【答案】255【解析】∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a )． 设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →， ∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23a ，y 0＝a 3.代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15，∴e ＝1－b 2a 2＝255.三、解答题11．(2018乌鲁木齐调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右核心为F ，右极点，上极点别离为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)假设斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．【解】(1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ，4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝ca ＝32.(2)由(1)，知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而516－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，知足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第44节 两直线的位置关系
一、选择题
1．(2018上海模拟)坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )
A.B ．(－45，8
5)(－4
5，－8
5)C.D ．(45，－85)(45，85
)【答案】A
【解析】直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝，设坐标原点(0,0)关于直线1
2x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是(x 0，y 0)，依题意可得Error!解得Error!即所求点的坐标是.
(－45，
8
5)
2．(2018厦门模拟)“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离d ＝＝3，解得|6＋4＋c |
32＋42c ＝5或c ＝－25，故“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B.
3．(2018福建南平一模)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.若l 1∥l 2，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－6
C ．－7
D ．－1或－7
【答案】C
【解析】l 1∥l 2等价于＝≠
，解得m ＝－7.故选C.
3＋m
24
5＋m 5－3m 8
4．(2018东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x ＋y －1＝0
【答案】A
【解析】因为直线AB 的斜率为＝－1，所以直线l 的斜率为1，
a ＋1－a
a －1－a 设直线l 的方程为y ＝x ＋
b ，由题意知直线l 过点，所以(2a －12
，
2a ＋1
2)
＝
＋b ，即b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.
2a ＋12
2a －1
2
故选A.
5．(2018江西宜春模拟)在等腰三角形MON 中，|MO |＝|MN |，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )
A ．3x －y －6＝0
B ．3x ＋y ＋6＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y －6＝0
【答案】C
【解析】因为|MO |＝|MN |，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k M N ＝－k M O ＝3.所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0.故选C.
6．(2018银川模拟)曲线y ＝(x ＋a )e x 在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(1＋x ＋a )e x .所以曲线y ＝(x ＋a )e x
在x ＝0处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝1＋a .又切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故1＋a ＝1，解得a ＝0.故选B.
7．(2018南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0
【答案】A
【解析】在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.故选A.
8．(2018北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－6，－2)
B ．(－5，－3)
C ．(－∞，－6)
D ．(－2，＋∞)【答案】A
【解析】解方程组Error!得Error!因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2.故选A.
二、填空题
9．(2018重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．
【答案】3
2
【解析】直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为
6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋＝0，∴直线l 1与l 2的距离为＝.
1
2|1
2＋7|
32＋423
210．(2019四川攀枝花质检)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
【答案】－或－137
9
【解析】由题意及点到直线的距离公式，得
＝，|－3a －4＋1|a 2＋1
|6a ＋3＋1|a 2＋1解得a ＝－或－.
1
37
911．(2018江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．
【答案】4 2
【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得
x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥2＝2＝4 ，当且仅当x ＝2y ＝时取等2x ·4y 2x ＋2y 23
2号．故2x ＋4y 的最小值为4 .
212．(2018甘肃天水二中模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
【答案】[0,10]
【解析】由题意得，点P 到直线的距离为＝
|4×4－3×a －1|
5
.又
≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围
|15－3a |5
|15－3a |5
是[0,10]．
三、解答题
13．(2018江西九校联考)已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 .
2【证明】(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴Error!解得Error!故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当点Q与点M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
22∴点M与点Q不可能重合．而|PM|＝4 ，∴|PQ|＜4 ，故所证成
立．。