习题22 第一型曲面积分
曲面积分习题课(供参考)
第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。
第一型曲面积分
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
《数学分析》(华师大二版)课本上的习题22
第二十二章 曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中⎰+为顶点的三角形；（2）⎰+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）⎰L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）⎰Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222⎰++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段； （6）⎰Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段； （7）⎰+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线⎩⎨⎧≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ； （２）⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面； （３），⎰⎰+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （４）⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算⎰Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分： （１）⎰+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）⎰Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L∆=⎰),(),(00，其中L ∆为L 的长．8. 计算dS z S⎰⎰2，其中S 为圆锥表面的一部分： ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:;cos sin sin sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分： （１）⎰-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）⎰+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段； （３）⎰++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）⎰+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向； （５）⎰++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲线曲面积分
三组坐标面为: r 常 数,即 以 原点 为 球 心 的球 面;
常数,即以原点为顶 点, z 轴为轴的圆锥 面;
常数,即过 z 轴的半平面.
z
直角坐标与球面坐标的关系为:
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
x
r M(x,y,z)
x2 y2 ds e
1 2
L
2
1 y2
dy
(1
1 y2
2 )e. 2
例 3. 计 算 ( x 2 y 2 z 2 )ds , 其 中 L 为 球 面
L
x 2 y 2 z 2 9 与 平 面 x z 1 的 交 点. 2
解： L :
x 2
L
x 2 y 2 1 到 B( 2 , 2 )处的一段劣弧. 22
解法 1 L ： x cost ， y sint ， t ，
42
y
被积函数 xe x 2 y 2 e cos t,
A
ds ( sint)2 (cost)2 dt dt,
o
x
9.3.4 用球面坐标计算三重积分
设点M( x, y, z) R3 , 点 M 在oxy面 上 的 投 影 为P . r : 原点O到点M的距离,
:OM 与 z 轴正向的夹角,
x
z
M(x, y, z)
rz
O x
y
yP
: 从 x 轴正向按逆时针方向旋转到OP的角.
则称三元有序数组(r, , ) 是点 M 的球面坐标. 规定 0 r , 0 π, 0 2π.
第一型曲面积分
4
420
例7 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1：z 0 , 2：z x 2,
3： x2 y2 1. 投影域D1：x2 y2 1
D yz
x xu,v,
2) 当曲面 由参数方程
y
y u, v ,
u,v D
z
z
u,
v
,
给出时, dS EG F2 dudv,
其中
F
E xu2 yu2 zu2 , xu xv yu yv zu zv ,
G xv2 yv2 zv2 ,
adxdz
右 z z Dzx a 2 x 2 z 2
Dzx : x2 z2 a2 , z h z
h z0x
h
0
y
x
解2：用参数方程
x a sin cos
y
a
sin
sin
z a cos
(0
2
,0
arccos
h )
a
易得：dS EG F 2dd a2 sindd
1
1
z
2 x
z
2 y
故
1
z
2 x
z
2 y
是曲面法线与
z轴夹角的余弦
的倒数.
解 化作 xy 的二重积分
数学分析课本(华师大三版)
数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
第一型曲面积分
类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得
D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,
由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意
是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS
(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS
第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分1．1．计算下列第一型曲面...
第二十二章 曲面积分§1第一型曲面积分1． 1． 计算下列第一型曲面积分 （1）⎰⎰++s,dS )z y x (其中S 是上半球面x ；0z ,a z y 2222≥=++解 z=222y x a --x z '=222y x a x---,y z '=222y x a y---所以dS=,dxdy y x a a222--,adxdy azdS 3Sa y x 222π==⎰⎰⎰⎰≤+⎰⎰=++S3adS )z y x (π(2),dS )y x (S22⎰⎰+其中S 为立体1z y x 22≤≤+的边界曲面；解dS)y x (f dS )y x (dS )y x (22S 2S 222S2(1+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dxdy)y (xdxdy )y (x1y x 222y x 22z22⎰⎰⎰⎰≤+++++==drr dy dr r dy 22010310320⎰⎰⎰⎰+ππ=1)2(2+π(3)⎰⎰+S 22y x dS ,其中S 为主面x 2+y 2=R 2被平面z=0,z=H 所截取得部分解 R H2RH 2R 1dS R 1dS y x 1(S22S 22ππ===+⎰⎰⎰⎰ （4）,xyzdS S⎰⎰其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分解1203dS )x 1(x 63dy 1y )y x 1(y xdx xyzdS 1031x-10S=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰2 求均匀曲面x 2+y 2+z 2=a 2,x ,0≥y 0≥,z 0≥的重心解 设重心坐标为（)z ,y ,x ,由对称性：,z y x ==,SzdSdSzdS z SS S⎰⎰⎰⎰⎰⎰==其中S 为所求曲面的面积，S=2a 21π.而dS=dxdy y x a a dxdy z z 12222y 2x --='+'+，则⎰⎰s zd s=dxdy z z 1y 2x 2'+'+=dxdyy x a a 222--.则3S D a 41adxdy zdS π==⎰⎰⎰⎰（D 为S 在xoy 面投影z =2a ,所以，重心坐标为,2a ()2a ,2a3 求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2_+z 2=a 2(z 0≥)对x 轴的转动惯量解 因z=222y x a --,dS=dxdy 2aJ 2=dxdy 2y x adS )y x(222a y x 22S22⎰⎰⎰⎰=++=+ρρ=a ρdrra r d a33320⎰⎰-πθ=2πdtt sin a 2034⎰πρ=ρπ4a 34§2 第二型曲面积分 1 计算下列第二型曲面积分（1）dxdy)x y (dzdx xdydx )z x (y 22S2+++-⎰⎰，其中S 为由x=y=z=0.x=y=z=a 六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向解⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=-aaaSayzdzdy dz )z a (y dy dydz )z x (y=2a dy 2y a dy )2y a y a 4a 022a02=+-⎰⎰（ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==a2a2aaS20dx x dz -dx x dz dzdx x2a dy y dx -ax)dy y (dx dxdy )xz y 4a0a02a0a022S=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（ 故 =+=+++-⎰⎰2a 2a dxdy )xz y (dzdx x dydx )z x (y 442S 2a 4(2)⎰⎰+++++s,dxdy )x z (dzdy )z y (dydz )y x （其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正方向； 解⎰⎰+syx (）dydz=⎰⎰⎰⎰---+-+11111111-dz)y 1(dy -y)dx (1dy=2⎰⎰-=+-+1111-8y)dy (-12dy )y 1(则⎰⎰=⨯=+++++S2483dxdy )x z (dzdx )z y (dydz )y x ((3)⎰⎰++S,xzdxdy yzdzdx xydydz 其中S 是由平面x=y=x=0,x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向解dy)xy x x (dx dxdy )y x 1(x xzdxdy 2x-10SDxy1--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dx ]x)-x(121)x 1(x [2102--⎰=241故812413xzdxdy yzdzdx xydydz S=⨯=++⎰⎰(4)⎰⎰S,yzdzdx 其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向J 解 令x=cos θsin ϕ,y=sin θsin ϕ,z=cos ϕ,其中02πϕ≤≤，0πθ2≤≤故⎰⎰Syzdzdx=πθϕϕθϕππ41d cos sin sin d 220220=⎰⎰(5)dxdy,z dzdx y dydx x22S2++⎰⎰其中S 是球面（x-a 2222R )x z ()b y (=-+-+并取外侧为正向解 z-c=222)()(b y a x R ----±曲面S 在xoy 面的投影区域Dxy:(x-a)2+(y-b)22R ≤2[]SDxyz dxdy c dxdy=+⎰⎰⎰⎰_dxdyb y a x Rc Dxy])()([222⎰⎰-----=4c 230083Rd R c πϕπ=⎰⎰故 22238()3s x dydx y dydx z dxdy R a b c π++=++⎰⎰2设某流体的流速为v=(k,y ,0)，求单位时间内从球面2224x y z ++=的内部流过球面的流量解 设流量为E ，则E=3432(0233sS kdydz ydzdx k dydz ydzdx ππ+=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球前球后）§3 高斯公式和斯托克斯公式 1. 1. 应用高斯公式计算下列曲面积分: (1)⎰⎰++Sxydxdyzxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解：⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =dxdydzV⎰⎰⎰0=0(2)dxdydzdx dydz z yx S222++⎰⎰,其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；解： 原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（ =2⎰⎰⎰++a aa dzz y x dy dx 00)(=2dya y x dx aaa ⎰⎰++02]2)[(=2()d x x aa a⎰+032=3a 4(3)dxdy dzdx dydz z y xS222++⎰⎰,其中S是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域(0h z ≤≤)的表面,方向取外侧； 解： 原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（由柱面坐标变换x=rcos θ,y=rsin θ,z=x,其中0πθ2≤≤,0h r ≤≤,r h z ≤≤, 原式=2()rdz z r r dr d hhr ⎰⎰⎰++020sin cos θθθπ=h 42π(4)⎰⎰Sx3dydz+y3dzdx+z 3dxdy,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解： 原式 =+⎰⎰⎰X 2（+Y 2Z 2)dxdydz =3 ϕθϕππsin 02014⎰⎰⎰r d d dr=512π(5)⎰⎰++Szdxdyydzdx xdydz ,其中S 是上半球面z=yx a222--的外侧.解： 补z=0的圆S 1：x 2+y2≤a 2则原式=⎰⎰+s S 1-⎰⎰s 1=3⎰⎰⎰Vdv -0=2πa32．应用高斯公式计算三重积分⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ）（，其中V 是由ｘ，0≥ｙ0≥，≤0ｚ1≤与x 2+y2≤1所确定的空间区域．解： 原式=21dxdyzdzdx ydydz z y x22S2++⎰⎰=21[⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++D dxdyzdzdx D )-(1ydydz D )1(Xy Z X yz x y 22]=21[ydz )1(dy 10210y ⎰⎰-+zdz _)-(1dx 10210x ⎰⎰+⎰⎰-1010x dy xdx 2]=21[ydy )1(102y ⎰-+21dx x ⎰-1021）（+dx x x ⎰-1021] =2411。
第一型曲面积分和二重积分的区别
第一型曲面积分和二重积分的区别篇一：哎呀，这题目可把我难住啦！我只是个小学生呀，第一型曲面积分和二重积分对我来说，简直就像是天上的星星，看着闪亮亮，可就是够不着呀！老师在课堂上讲这些的时候，我感觉脑袋都要变成浆糊啦！你想想，二重积分就好像是在一个平地上找宝藏，我们在那个平面的区域里东挖挖西找找。
而第一型曲面积分呢，就像是要在一个弯弯扭扭的气球表面找宝贝，这个气球的表面可不是平的呀，多复杂！就比如说，我们算一个平面图形的面积，用二重积分，那还比较容易理解，对吧？可要是让我们算一个弯曲的面的面积，比如一个大西瓜的表面，这就得用第一型曲面积分啦，是不是很神奇？我问过我的同桌小明：“你能搞懂这俩的区别吗？”小明皱着眉头说：“哎呀，我也迷糊着呢！”我们俩你看看我，我看看你，都无奈地叹了口气。
后来我又去问学习特别好的班长小红，小红耐心地跟我解释：“你看呀，二重积分是针对平面区域的，就像我们在纸上画画，而第一型曲面积分是针对曲面的，就像我们在一个凹凸不平的玩具上找东西。
”我似懂非懂地点点头，心里还是有点迷糊。
老师布置作业让我们做相关的题目，我看着那些数字和符号，感觉它们都在嘲笑我：“哈哈，你不会做吧！”我咬着笔头，绞尽脑汁，还是做错了好多。
唉，这第一型曲面积分和二重积分的区别，对我来说真的太难啦！我觉得呀，要真正搞清楚它们，还得花好多好多的时间和精力去琢磨。
我可不能被它们打败，我一定要把它们弄明白！篇二：哎呀呀，这可真是个让人头疼的问题呢！我一个小学生，本来数学就够让我伤脑筋的啦，这第一型曲面积分和二重积分，简直就像两只调皮的小怪兽，总是把我搞得晕头转向！老师在课堂上讲的时候，我那小脑袋瓜都快转不过来了。
就说二重积分吧，它就像是在一个平面上画了一块大大的田地，我们要计算这块田地里能收获多少粮食。
那第一型曲面积分呢，就好像是给一个弯曲的、奇奇怪怪的气球表面涂颜料，得算算要用多少颜料才能涂满。
你说这能一样吗？当然不一样啦！二重积分是在平面区域上进行计算，而第一型曲面积分是在曲面上面操作。
第一类曲面积分习题(可编辑修改word版)
1+ x 2 y 2R 2 - x 2 - y 2 R 2 - x 2 - y 2 + R 2 - x 2 - y 2R 2 - x 2 - y 2Rx 2 + y 2 = R 2 - h 2∑⎰⎰ 222∑例 1．计算积分⎰⎰ 顶部。
1dS ， ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 被平面 z = h （ 0 < h < R ）截出的 ∑z例 2．计算积分⎰⎰ xydS ， ∑ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 z = 0 ， x + z = 2 围成的立体的全表面。
例 3． 求 F (t ) =⎰⎰∑f (x , y , z )dS ， 其 中 ∑ 为 x 2 + y 2 + z 2 = t 2 （ t > 0 ）， 被 积 函 数⎧x 2 + y f (x , y , z ) = ⎨ z ≥ x 2 + y 2。
⎩ 0 z <例 4．计算积分1dS ，⑴ ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ；⑵ ∑ 是介于平面 z = 0∑x + y + z， z = 1之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 。
例 5．计算积分⎰⎰ z 2dS ，其中∑ ： x 2 + y 2 + z 2 = R 2 。
例 6． 计 算 积 分⎰⎰∑(x + y + z )dS ， ∑ 是 上 半 球 面 z = x 2 + y 2 截出的顶部。
例 7．计算曲面积分⎰⎰∑(xy + yz + zx )dS ， ∑ 为锥面 z （ a > 0 ）所截下的部分。
例 8．计算半径为 a 的均匀半球壳的重心。
x 2 + y 2 + z 2= 2 被 旋 转 抛 物 面被圆柱面 x 2 + y 2 = 2ay例 1．计算积分⎰⎰ 顶部。
解： ∑ ： z = 1dS ， ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 被平面 z = h （ 0 < h < R ）截出的 ∑zxoy 面上的投影区域 D ： x 2 + y 2 = R 2 - h 2 ，R = = R 2 - x 2 - y 21dS =∑z1 ⋅R dDx 2 + y 2x 2 + y 2 R 2 - x 2 - y 2 1+ z 2+ z 2x y ⎰⎰⎰⎰R 2 -h 2R 2-h 21+ y 2+ y 2x z 1+ x 2 1- x 2 + 0 1- x 21- x 21- x 2x 2 + y 2 RR ⎰ ∑1 1122 23 3 3132 31 2 12333132⎰231 = ⎰⎰DR 2 - x 2- y 2 ⎰⎰DR 2 - r 22r 00 R 2- r 2d =rdrd = R d dr= 2R ⋅ (- 1 ln(R 2 - r 2 ) = R ⋅ (2 ln R - 2 l n h ) = 2R ln R2 0h例 2．计算积分⎰⎰ xydS ， ∑ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 z = 0 ， x + z = 2 围成的立体的全表面。