13.4最短路径问题课件
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13.4 中考尺规作图及最短路径问题(共31张PPT)
知识点 4 轴对称——最短路径问题 ☞ 例 4 如图，在河岸 l 的同侧有 A，B 两村，在河边 修一个水泵站 P，使所用的水管最短，试画出 P 所在的 位置．
解：如答图，点 P 即为所求．
变式 4 如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民 区 A，B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使 A， B 到它的距离之和最短？请在图中画出来．
知识点 3 作线段的垂直平分线 ☞ 例 3 如图，已知线段 AB，用尺规作线段 AB 的垂 直平分线．
解：如答图，CD 即为所求．
变式 3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＞∠ B，请你用尺规作边 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E.
解：如答图，DE 即为所求．
解：如答图，OC 即为所求．
变式 1 如图，过点 C 作角平分线 CF(请用尺规作图， 保留作图痕迹)．
解：如答图，CF 即为所求．
知识点 2 作直线的垂线 ☞ 例 2 如图，已知直线 AB 和 AB 上一点 C，用尺规 作 AB 的垂线，且该垂线经过点 C.Biblioteka 解：如答图，CD 即为所求．
变式 2 如图，过点 P 作∠O 两边的垂线． 解：如答图，直线 m，l 即为所求．
3．如图，已知两点 P，Q 在∠AOB 内，分别在 OA， OB 上求作点 M，N，使 PM＋MN＋NQ 的值最小．
解：如答图，点 M，N 即为所求．
4．如图，M，N 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点， 在边 BC 上求作一点 P，使△MNP 的周长最小．
解：如答图，点 P 即为所求．
解：如答图②，作点 M 关于 OC 的对称点 M′，连 接 M′N 交 OC 于点 P，则 M′N 的长度即为 PM＋PN 的最小值．
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,
连接A‘A″,与BC、CD的交点分别为M、N,此时△AMN的周长最小. ∵∠BAD=110°,∴∠A'+∠A″=180°-110°=70°, 由轴对称的性质得∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN, ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×70°=140°. 故选D.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'的什么位置时,A'N+NB最小?
图13-4-4 如图13-4-5,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b 的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是 最短的.
图13-4-1 分析 将题意用数学语言叙述如下:如图13-4-1所示,已知直线a和a同侧 的两点A,B.求作:点C,使点C在直线a上,并且AC+CB最小.此题实际上是 求最短路径问题,需要比较路径的长短,与之有关的内容是:两点之间,线 段最短.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-2(1)所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线a 于点C,则点C即为水泵站的位置. 理由如下:如图13-4-2(2)所示,在直线a上任取一点C'(异于点C),连接BC', A'C',AC'. ∵A与A‘关于直线a对称,∴AC=A'C,AC'=A'C'. ∴AC+CB=A'C+CB=A'B<A'C'+BC'=AC'+BC'.
《13.4 课题学习 最短路径问题》课件PPT3
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景 深入探究
情景3：造桥选址问题 如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在 何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问 题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题 有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短， 应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景 合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A
新人教版八年级上13.4课题学习最短路径问题 课件
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
八年级上册数学
13..3.6 课题学习 最短路径问题
探索新知
人教版初中八年级数学上册13.4_最短路径问题ppt课件
·P
O
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
O
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
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B
A l
新知探究
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称 的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为 “将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题 吗？
B
A l
(Ⅱ)
两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/. ② 连接AB/,交直线l于点P.
H N E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在 ∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成 三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B C
E
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图 中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子， OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生 小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所 D 走的总路程最短？
H E
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM, F 同理HD=HE，ND=NE, G O M
A
·C ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, D · 在四边形EFGH中， B ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短
大桥
B
4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩
牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然 后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
F G
O
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点F, A ·C 2. 作点D关于直线 OB D · 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， B 则CG+GH+DH最短
新课推进
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
新课推进
追问1 如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， 从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
作法：1.作点C关于直线
A
G
M
Ｃ .
O
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB . B 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
H N E
B
点P的位置即为所求.
为什么这样做就能得 到最短距离呢？ MA + MB′>PA+PB ′
A
M
l
P B/
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站， 向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
请你自己动手 试一试！
13.4课题学习
最短路径问题
复习回顾
如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？
依据：两点之间，线段最短。
复习回顾
如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线 路中，最短的是？依据：垂线段最短。(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离 呢？
学.科.网.zxxk.
根据：两点之间线段最短.
新知探究
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马， 然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路 线全程最短？
归纳小结
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、 平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题， 从而作出最短路径的选择。
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山 A Q P 河岸
A Ｍ
Ｎ B
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到 了什么障碍呢？如何解决？
新课推进
A
解：如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交 河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路 径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１ . AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN