二次函数前4节复习
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图象特征。
2. 掌握二次函数的解析式、顶点式及标准式之间的转换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
4. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质1.1 二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0）1.2 二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等。
2. 二次函数的图象特征2.1 开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.2 对称轴：x=-b/(2a)2.3 顶点：(-b/(2a), c-b^2/(4a))2.4 与y轴的交点：x=0时，y=c。
3. 二次函数的解析式3.1 一般式：y=ax^2+bx+c3.2 顶点式：y=a(x-h)^2+k3.3 标准式：y=a(x-α)^2+β4. 二次函数的转换4.1 一般式与顶点式的转换：4.2 顶点式与标准式的转换：5. 实际问题中的应用5.1 抛物线与坐标轴的交点问题5.2 实际问题转化为二次函数问题，求最值等。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质及图象特征。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象与性质之间的关系。
3. 运用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4. 结合实际例子，让学生感受二次函数在生活中的应用。
四、教学准备1. PPT课件：二次函数的性质、图象、实际应用等。
2. 练习题：涵盖本节课的主要知识点。
3. 小组讨论：分组安排。
五、教学过程1. 导入：复习一次函数和反比例函数，引出二次函数。
2. 讲解：介绍二次函数的定义、性质、图象特征等。
3. 演示：利用PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受开口方向、对称轴等。
4. 练习：让学生完成一些简单的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：布置一道实际问题，让学生分组讨论，运用二次函数解决问题。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节：幂函数与二次函数(教师版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第4节二次函数性质的再研究与幂函数考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝1x的图像，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1.幂函数(1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.(2)常见的五种幂函数的图像(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图像和性质1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，>0，<0时，恒有f (x )>0；<0，<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图像过定点(1，1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.()(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x 13不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－xB.f(x)C.f(x)＝x2D.f(x)＝3x答案D解析取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案－∞，－16解析当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－12m，<0，－12m≤3，∴m≤－16.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________.答案(3，5)解析∵幂函数f(x)＝x－12在定义域(0，＋∞)上单调递减，∴由f(a＋1)<f(10－2a)，a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，∴3<a <5.5.(2018·上海卷)已知α－2，－1，－12，12，1，2，3若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.答案－1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.6.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________.答案22解析f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－x m 4＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.考点一幂函数的图像和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图像是()答案C解析设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图像在直线y ＝x的上方，对照选项，C正确.2.若幂函数f(x)＝(2b－1)x a2－10a＋23(a，b∈Z)为偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则a，b的值分别为()A.2，1B.4，1C.5，1D.6，1答案C解析由幂函数的定义得2b－1＝1，∴b＝1.又∵a2－10a＋23＝(a－5)2－2，函数f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，∴(a－5)2－2<0，故a＝4，5，6.又(a－5)2－2为偶数，∴a＝5.3.如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b答案D解析由幂函数的图像和单调性可知a<0，b>1，0<c<1，∴a<c<b.4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图像关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图像不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图像关于y轴对称，因此m ＝2.5.若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________.答案(－∞，－1)23，32解析不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.感悟提升1.对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴.考点二二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c 1，4ac －b24a＝8，a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y＝f(x)＝＋8.因为f(2)＝－1，所以＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)x2－4x＋3解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图像关于x＝2对称.又y＝f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图像上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图像和性质角度1二次函数的图像例2(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0答案(1)①②⑤(2)C解析(1)由题图知，a<0，－b2a>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误.又函数图像与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确.(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0>－1 2，所以f(m＋1)>f(0)>0.角度2二次函数的单调性与最值例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝3－a 2a，由f(x)在[－1，＋∞)a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图像开口方向向上，且对称轴为x＝1 a .(ⅰ)当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增.∴f(x)min＝1a＝1a－2a＝－1a.(ⅱ)当1a>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图像的开口方向向下，且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min－2，a<1，－1a，a≥1.感悟提升 1.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________.(2)函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a>1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.答案(2)2解析(1)由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a－1 6，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值1 2，所以a<1 2 .综上，实数a∞(2)令a x＝t，因为a>1，x∈[－1，1]，所以1a≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈1a，a，显然g(t)在1a，a上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.感悟提升由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min.训练2(1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)(2022·泰安调研)当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)32，＋∞解析(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，∴f(x)的图像是以直线x＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)由ax2－3x＋a≥0，得a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当x＝1时等号成立，∴y＝3x＋1x≤32，故a≥32.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图像的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f(x)min＝1，当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.1.若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则()A.3B.－3C.13D.－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴＝13.2.若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且其图像与坐标轴无交点，则f (x )()A.是偶函数B.是定义域内的减函数C.是定义域内的增函数D.在定义域内没有最小值答案D解析幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 的图像与坐标轴无交点，可得m 2－m －1＝1，且m ≤0，解得m ＝－1，则函数f (x )＝x －1是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值.3.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图像大致是()答案C解析∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＋54，因此，结合图像，选项C 正确.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案B解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，2)答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图像的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求.综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞).6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝()A.0B.1C.12D.2答案A解析BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.答案－22，解析因为函数图像开口向上，（m ）＝m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案5解析f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图像关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，（1）＝1－2a ＋b ＝a ，（a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1.消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a的取值范围为________.答案解析由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x2＝－＋12，14<1x<1，max＝12，∴a >12.10.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R ).(1)若函数f (x )的图像过点(－2，1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[3，5]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＋1.由g (x )的图像知，要满足题意，则k －22≥5或k －22≤3，即k ≥12或k ≤8，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).11.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝2x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g(x)＝x2－3x＋1－5 4，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1的图像的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.13.(2022·太原调研)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为______.答案3 2解析选丙.画出y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1).∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝1a－1，y2＝x2－ax－1，－aa－1－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝3 2 .14.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图像的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min＝＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为－214，15.(2)函数图像的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12>1，即a<－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综上可知，a＝－13或－1.。
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)
一、教学内容
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质
1.二次函数y=a(x-h)^2的图象特点
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下
- h为抛物线的对称轴，即x=h
-抛物线顶点为(h, 0)
2.二次函数y=a(x-h)^2的性质
（2）强调对称轴（x=h）和顶点（(h, k)）的概念，解释它们与函数最值、单调性的关系，并通过具体例子进行说明。
（3）详细讲解图象的平移变换，使学生掌握左加右减、上加下减的变换规律，并能运用到具体问题中。
（4）结合实际情境，如物体抛掷、经济模型等，展示二次函数的应用，强调数学知识在实际问题中的运用。
1.提供更多具有代表性的案例，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.加强对学生的引导和启发，提高他们在解决问题时的独立思考能力。
3.优化问题设计，使学生在讨论过程中能够更加聚焦主题。
4.针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的辅导和答疑。
2.掌握二次函数图象变换方法，提高学生数学建模、数学运算的能力。
-通过图象变换，培养学生建立数学模型，解决实际问题的能力。
-在变换过程中，锻炼学生准确进行数学运算，提高解题效率。
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的意识，提升数学应用、数据分析的核心素养。
-结合实例分析，引导学生运用所学知识解决生活中与二次函数相关的问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版数学九年级上册必备书序第一部分第三章第4节-课件
中考考点精讲精练
考点1 二次函数的图象和性质［5年4考：2014年(选择 题和解答题)、2015年(解答题)、2016年(解答题)、2017 年(解答题)］
典型例题
1. (2017金华)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质，下列
说法正确的是
( B)
A. 对称轴是直线x=1，最小值是2
B. 对称轴是直线x=1，最大值是2
x1=-1，x2=3； ③3a+c＞0;
④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3;
⑤当x＜0时，y随x增大而增大.
其中结论正确的个数是( B )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象
可能是
( C)
8. 在平面直角坐标系xOy中，二次 函数y=ax2+bx+c的图象如图1-3-4-5 所示，下列说法正确的是 ( B ) A. abc＜0，b2-4ac＞0 B. abc＞0，b2-4ac＞0 C. abc＜0，b2-4ac＜0 D. abc＞0，b2-4ac＜0
则下列结论正确的是
(C )
A. a＞0 B. c＜0 C. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
6. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一
个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图1-3-4-4所示，下列
结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是
∴如答图1-3-4-1，连接AP，连接
BC与x=2交于点P，则点P即为所求.
二次函数教案(全)
二次函数教案(一)教学目标：1. 理解二次函数的定义和基本性质。
2. 学会如何列写二次函数的一般形式。
3. 掌握二次函数的图像特点。
教学重点：1. 二次函数的定义和一般形式。
2. 二次函数的图像特点。
教学难点：1. 理解二次函数的图像特点。
2. 掌握如何求解二次函数的零点。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入二次函数的概念，让学生回顾一次函数的知识。
2. 提问：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像会是什么样子呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的定义：一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 解释二次函数的各个参数的含义：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3. 举例说明如何列写二次函数的一般形式。
4. 讲解二次函数的图像特点：开口方向、顶点、对称轴等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调二次函数的图像特点。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了二次函数的定义和一般形式，以及图像特点。
在教学中，可以通过举例和互动提问的方式，激发学生的兴趣和思考。
在课堂练习环节，要注意关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
二次函数教案(二)教学目标：1. 学会如何求解二次方程。
2. 理解二次函数的零点与二次方程的关系。
3. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
教学重点：1. 求解二次方程的方法。
2. 二次函数的零点与图像的关系。
教学难点：1. 理解二次方程的解法。
2. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、复习导入（5分钟）1. 复习二次函数的定义和一般形式。
2. 提问：二次函数的图像与x轴的交点有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解如何求解二次方程：公式法、因式分解法等。
2. 解释二次函数的零点与二次方程的关系：零点是二次方程的解。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第四节 二次函数的图象与性质
整理得 a(x1－x2)(x1＋x2－2t)<0. ∵x1<x2，即 x1－x2<0， 又∵a>0，∴x1＋x2－2t>0，∴t<x1＋2 x2.
3 ∵对于 x1＋x2>3，都有 y1<y2，∴t<2.
14．★(2021·资阳)已知 A，B 两点的坐标分别为(3，－4)，(0，－2)，
－12x＋m 上的点，则
( B)
A．y3＜y2＜y1
B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y1＜y3＜y2
4．(2021·陕西)下表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的几
组对应值：
x … －2 0 1 3 …
y … 6 －4 －6 －4 …
下列各选项中，正确的是
( C)
A．这个函数的图象开口向下
9．(2021·新疆)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋3(a≠0)． (1)求抛物线的对称轴； (2)把抛物线沿 y 轴向下平移 3|a|个单位，若抛物线的顶点落在 x 轴上， 求 a 的值； (3)设点 P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若 y1＞y2，求 a 的取值范围．
解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴为：
正确结论的序号都填上)
④
12．(2021·温州)已知抛物线 y＝ax2－2ax－8(a≠0)经过点(－2，0)． (1)求抛物线的函数解析式和顶点坐标； (2)直线 l 交抛物线于点 A(－4，m)，B(n，7)，n 为正数. 若点 P 在抛物 线上且在直线 l 下方(不与点 A，B 重合)，分别求出点 P 横坐标与纵坐标 的取值范围．
(1)解：由题意，易得函数的解析式为 y＝x2－2x＋1. 函数图象的顶点坐标为(1，0)． (2)解：例如 a＝1，b＝3，此时 y＝x2＋3x＋1. ∵b2－4ac＝5>0， ∴函数 y＝x2＋3x＋1 的图象与 x 轴有两个不同的交点．
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第三章 函数 第四节 大中小二次函数的图像与性质
详见“本书 P52 第三章第四节考点梳理特训”
1．★(2020·齐齐哈尔)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与 x 轴交于点(4，0)，其对称轴为直线 x＝1，结合图象给出 下列结论：①ac<0；②4a－2b＋c>0；③当 x>2 时，y 随 x 的 增大而增大；④关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两 个不相等的实数根．其中正确的结论有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
42
【考情分析】湖南近 3 年主要考查：1.二次函数的图象与性质：二次函 数图象的增减性、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标、对称轴、自变量的 取值范围；2.二次函数图象与系数 a，b，c 的关系；3.二次函数解析式 的确定，一般在压轴题第一问考查.
命题点 1：二次函数的图象与性质(2021 年考查 3 次，2020 年考查 7 次， 2019 年考查 9 次) 1．(2018·岳阳第 4 题 3 分)抛物线 y＝3(x－2)2＋5 的顶点坐标是( C ) A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)
( C)
重难点 2：二次函数图象的平移
将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位
长度，所得抛物线为
( A)
A．y＝－5(x＋1)2－1
B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3
D．y＝－5(x－1)2＋3
【思路点拨】方法一：平移前抛物线的顶点坐标为(0，1)→平移后抛物 线的顶点坐标为(－1，－1) 利用顶点式，a＝－5 平移后抛物线的 解析式为 y＝－5(x＋1)2－1.方法二：直接利用“上加下减常数项，左加 右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式，即 y＝－5x2＋1 左移，自变量加1；下移，常数项减2y＝－5(x＋1)2＋1－2.
高考数学复习：一元二次方程、不等式
A.(-∞,2]
B.(-∞,-2]
1
C.[ ,+∞)
2
D.[2,+∞)
解析 设 t=log2x,则 t∈[2,3],
原命题等价于:任意 t∈[2,3],使 t -mt-3≤0 为真命题,所以
2
设
3
g(t)=t- ,则
3
m≥t- ,
g(t)在[2,3]上的最大值为 g(3)=2,故 m≥2,故选 D.
解析 原不等式可化为 a≤ +1 ,设 f(x)= +1 ,
(+1)2 -2-2+4
4
4
则 f(x)=
=x+1++1-2≥2 ( + 1)·+1-2=2,
+1
4
当且仅当 x+1=+1,即 x=1 时,函数 f(x)有最小值为 2,
因为 a≤f(x)恒成立,所以 a≤2,故选 C.
[对点训练 3](2024·福建宁德模拟)已知命题 p:任意 x∈[4,8],使 lo22 x-m·log2x-3≤0
4
2
≥2
4,故选 A.
4
2
· =4,当且仅当
2
4
b = 2 ,即 b2=2 时,等号成立,
2
规律方法
“三个二次”之间的关系及其应用
(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也就是相应一元二次不等
式解集的端点值;
(2)对 于 不 等 式 ax2 +bx +c>0,若 其 解 集 为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程
二次函数知识点总结最新8篇
二次函数知识点总结最新8篇高中二次函数知识点总结篇一1、按部就班，环环相扣数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题，一定要把每一个环节都学牢。
2、概念记清，基础夯实千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，每新学一个定理或者定义的时候，都要在理解的基础上去深挖每一个字眼，有时候少说一两个字，都可能导致结果的不同。
要在刚开始学概念的时候就弄清楚，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
3、适当做题，巧做为主学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉中考的题型，训练要做到有的放矢。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。
数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。
考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
4、记录错题，避免再犯俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。
因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。
毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。
这样复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
5、集中兵力，攻下弱点每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。
因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
初中二次函数知识点总结篇二教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 第4节 幂函数与二次函数
1
a= ,所以
9
1
f(x)= (x+2)2-1,即
9
1 2 4 5
f(x)= x + x- .
9
9 9
考点三
二次函数的图像与性质(多考向探究)
考向1.二次函数的图像
典例突破
例3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,
图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
选项符合题意,故选C.
考向2.二次函数的单调性与最值
典例突破
例4.(2021新疆乌鲁木齐模拟)若定义在R上的二次函数f(x)的值域为[-4,
+∞),且满足f(1+x)=f(1-x),f(2)=-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).
解:(1)由于f(1+x)=f(1-x),则二次函数f(x)的图像关于直线x=1对称,因为二次
衍生考点
核心素养
1.幂函数的图像与性质
2.二次函数的解析式
3.二次函数的图像
4.二次函数的性质
5.三个“二次”之间的关
系
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
4.逻辑推理
强基础 增分策略
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y=xα
叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
微点拨幂函数的特点:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα图像上的一些特殊
点,如函数图像与y轴的交点,与x轴的交点等.
从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像,反之,也能从图像中得
第2章 二次函数知识点
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系1、二次函数的定义:一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 2、列函数关系式（重点）:因变量&自变量第2节 结识抛物线1、 二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）：描点法：列表——描点——连线2、 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）对称图形，对称轴是y 轴，顶点是原点（0，0）——顶点是指对称轴与抛物线的交点。
当a >0时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升趋势。
顶点处取得最小值0。
当a <0时，开口向下，在y 轴左边，上升趋势；在y 轴右边，下降趋势。
顶点处取得最大值0。
第3节 刹车距离与二次函数1、二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。
对于)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，形状相同，只是位置不同。
)0(2≠+=a c ax y 可以看做是把)0(2≠=a ax y 的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位长度得到的。
第4节 二次函数c bx ax y ++=2的图象1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。
（3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。
中考数学专题复习(有答案)二次函数的图象与性质
第4节二次函数的图象与性质A组1．(2020无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：y＝x2(答案不唯一) ．2．(2020上海)如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y ＝x2＋3 ．3．(2020泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a＞0(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是①③④．(把所有正确结论的序号都填上)4．(2020临沂改编)已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式．解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3.∴这条抛物线的对称轴为直线x＝1.(2)∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2－a－3＝0.解得a1＝32，a2＝－1.∴抛物线的解析式为y＝32－3x＋32或y＝－x2＋2x－1.2xB组5．(2020深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是(C)A．abc＞0B．4ac－b2<0C．3a＋c>0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根6．(2020鹤岗)如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△ABC的面积是6.(1)求a的值；(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在，请求出P坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令x＝0，得y＝－a.∴C(0，－a)．令y＝0，即－x2＋(a＋1)x－a＝0，解得x1＝a，x2＝1.由图象知，a＜0，∴A(a，0)，B(1，0)．∵S△ABC＝6，∴12(1－a)(－a)＝6.解得a＝－3或a＝4(舍去)．(2)∵a＝－3，∴C(0，3)．∵S△ABP＝S△ABC，∴点P的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝－x2－2x＋3得－x2－2x＋3＝3，解得x1＝－2，x2＝0(与C重合，舍去)．把y＝－3代入y＝－x2－2x＋3得－x2－2x＋3＝－3，解得x1＝－1＋7，x2＝－1－7.∴点P的坐标为(－2，3)，(－1＋7，－3)，(－1－7，－3)．C组7．(2020枣庄改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM ⊥x 轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q .(1)求抛物线的表达式；(2)过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N .设点M 的坐标为M (m ，0)，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？解：(1)将点A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝0，16a ＋4b ＋4＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝13.∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2＋13x ＋4.(2)令x ＝0，得y ＝4，∴点C (0，4)．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点B ，C 坐标代入，得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4.∵M (m ，0)，∴点P ⎝⎛⎭⎫m ，－13m 2＋13m ＋4，点Q (m ，－m ＋4)． ∴PQ ＝－13m 2＋13m ＋4＋m －4＝－13m 2＋43m .∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°. ∴∠PQN ＝∠BQM ＝45°. ∴PN ＝PQ sin45°＝22⎝⎛⎭⎫－13m 2＋43m ＝－26(m －2)2＋223. ∵－26＜0，∴当m ＝2时，PN 有最大值，最大值是223.。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》知识小结与复习
解:(1)∵抛物线过点(3,8)，(-1,0)，(0,5)，
8 则 0
9a 3b c， a b c，
解得
a b
1， 4，
5 c.
c 5.
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
(2)顶点M的坐标为(2，9)， 对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)， 过M作MN⊥AB于N，则
S四边形ABMD =S△AOD+S梯形DONM +S△MNB
教学反思
本课时是对本章知识点的全面总结，教学 时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识 结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所 学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析 过程.
4.已知抛物线y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
解:(1)
y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
1 2
(
x
3)2
7.
开口:向上，
对称轴:x=3,
顶点坐标:(3，-7).
(2)
0
1 2
(x轴的交点：
(3 14，0)，(3 14，0).
ab<0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c<0；④b-4a=0；
⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0, x2=-4. y 其中正确的结论有（ B ）
A.①③④ B.②④⑤
-4 -2 O
x
C.①②⑤ D.②③⑤
专题训练四 二次函数与一元二次方程的关系
（黑龙江牡丹江中考）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴
数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析
第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数（1)定义:形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x,y＝x2，y＝x3,y ＝12x，y＝x－1.（2）性质(ⅰ）幂函数在（0，＋∞)上都有定义；(ⅱ）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数（1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ）一般式：f(x）＝②________________________;(ⅱ）顶点式:f(x)＝③________________________；（ⅲ)零点式：f(x）＝④________________________。
(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞）二、必明2个易误点1．研究函数f（x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f（x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”）．（1）函数y＝132x是幂函数．（)（2）当n〉0时，幂函数y＝x n在（0,＋∞）上是增函数．(）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)不可能是偶函数．（）（4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）(5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b］的最值一定是错误!。
（)二、教材改编2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，错误!），则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a（a≠0)的值域为［－2，＋∞)，则a 的值为（）A．－1 B．－错误!C．1 D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3,x∈［－1,1]，则y的最小值是() A．－1 B．－2 C．1 D．25．若四个幂函数y＝x a，y＝x b,y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（)A．d>c〉b>a B．a>b〉c〉dC．d〉c〉a〉b D．a〉b〉d〉c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f（x)是奇函数,当x≥0时,f(x）＝23x，则f（－8）的值是________．考点一幂函数的图象及性质[自主练透型］1．已知点错误!在幂函数f（x)的图象上,则f(x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m 的值为（)A．－1 B．0C．1 D．23．[2021·江西九江联考］已知a＝0.40.3,b＝0.30。
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第4节 幂函数与二次函数 课件(54张)
返回导航
2．一元二次不等式恒成立的条件
若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ><00， 时恒有 f(x)>0，当aΔ<<00， 时，
恒有 f(x)<0.
返回导航
[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， x ∈ [m ， n] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( ) (2)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角 坐标系中的开口大小．( )
B．(－∞，－210 )
C．(210 ，＋∞)
D．(－210 ，0)
C 由题意知aΔ><00 即a1>－020a<0 ，解得 a>210 .故选 C.
返回导航
3．幂函数 f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)
上是减函数，则 a 等于( )
A．3
B．4
C．5
返回导航
(3)函数
是幂函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
返回导航
[对点查验]
1．若幂函数的图象经过点2，14 ，则它的单调递增区间是(
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
D 设 f(x)＝xα，则 2α＝14 ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单
调递增区间是(－∞，0).故选 D.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向 上
向 下
（0，0） 对称轴左 对称轴左 侧y随x增 侧y随x增 Y 大而减小，大而增大， 轴 对称轴右 对称轴右 （0，k） 侧y随x增 侧y随x增 大而增大；大而减小。
说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴及顶点坐标 2 向上，y轴 （0, 0) (1) y=5x (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6) (4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
Y 轴 Y 轴
顶点坐标
（0，0） （0，k）
y=ax2+k(a>0)
y=ax2(a<0) y=ax2+k(a<0)
向下
向下
Y 轴
Y 轴
（0，0）
（0，k）
复习
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。 2.二次函数y=ax2的性质是什么？ 开口方向 解析式 a＞0 a＜0 y = ax2 ﹙a≠0﹚ y = ax2+k ﹙a≠0﹚ 对 称 轴 顶点 坐标 函数的增减性 a＞0 a＜0
1、把抛物线y=-2x2向左平移3个单位长度，得 y=-2(x+3）2 到的抛物线是
2、把抛物线y=-x2向右平移5个单位，得到的 抛物线是 y=-（x2-5)2 3、一条抛物线向左平移6个单位后得到抛物 y=4（x+7）2 2，原抛物线是 线y=4(x+1) 4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶 点坐标。 （1）y= -（x-2）2
－4
－2 －2
2
4
－4
－6
襄阳市第三十一中学
杜鑫
复习
1.用描点法画出y=-2x2的图象，并指出 它的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
二次函数
y ax
2
的图象和性质
y
y 2x
y x2
2
4
3
2
1 2 y x 2
x
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
抛物线 y 3x 2 的图象是＿＿＿＿＿，开口方向 1、函数 下 y ＿＿＿，对称轴是＿＿＿轴。顶点坐标＿＿＿＿，x＜0时， （0,0） 函数值y随增大而＿＿ 增大 ，x＞0时，函数值随增大而 0 大 0 ＿＿减小 ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿。 ，x=
－4
－2 －2
2
4
y=－ 1 ﹙x+1﹚2 2
y=－ 1 ﹙x-1﹚2 2
－4 －6
1 2 可以看出，抛物线 y x 1的开口向下，对称轴是 2
经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线
1 2 x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y x 1 的开 2 下 口向_________，对称轴是_直线_______________，顶点是 x=1 (1,0) _________________．
练习
在同一直角坐标系内画出下列二 次函数的图象： 1 2 1 2 y x 2 y x 2
2
2
1 2 y x 2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指 出它们的开口方向、对称轴及顶点．
1、y= -3(x+2)2展开是y=-3x2-12x-12 2、今天学的y=a(x-h)2是y=ax2+bx+c 中变形（提、配、合、乘）为y=a(x-h)2 的情况，变形为y=a(x-h)2+k的情况后面 学。 例如:y=-3x2-12x-12和y=-3x2-12x-14
x
y=-1/2(x+1)2 y=-1/2(x-1)2
... ...
...
...
-3 -2 -1 -2 -0.5 0 -4.5 -2
x=-1
0 -0.5 -0.5
x=1
1 -2 0
2 -4.5 -0.5
3
...
...
...
... -2 画出下列函数的图象
1 y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 2
二次函数y=a(x-h)2的性质
y＝a(xh)2 a＞0 a＜0
图象
开口向上 开口向下
开口
对称性 顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 关于x=h对称 （h，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
小 结
抛物线
y=ax2(a>0)
2
...
y=x2-1
小结
1 2 (1) y x 2 答：形状相同，位置不同。 想一想：三条抛物线 1 2 三个图象之间通过沿y轴平 ( 2) y 有什么关系？x 2 移可重合。 2 1 2 (3) y x 2 2 动画演示
小结
抛物线
y=ax2(a>0)
开口方向
向上 向上
对称轴
可以发现，把抛物线 y
线 y
1 2 x 1 ． 2
－4
－2 －2
2
4
1 2 y x 1 2
－4 －6
y
1 x 12 2
1 y x2 2
上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。） 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度 不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要 加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x 变大了，要使y不变，则需要x 减。）
15:12:39
（2）y=4（x+3）2
（3）y=-5（x-6）2
（3）y=-7（x+8）2
4 .对于任何实数h，抛物线 2与抛物线y=x2 y=(x-h) 的方向，大小相同 5 .将抛物线y= -2x2向左平移一 个单位，再向右平移3个单位 2 y= - 2(x – 2). 得抛物线解析式为 6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 0 .
探究
的图象，
·· ·
－3
·· ·
·· ·
－2
－2 1 2
－1
0
－8 －4.5 －2
0 1 2 1 2
1
2
3
·· ·
－2 －4.5 －8 0
1 2
·· ·
·· ·
－2
－4
－2 －2 －4
2
4
y=－ 1 ﹙x+1﹚2 －6 2
y=－ 1 ﹙x-1﹚2 2
1 1 2 例题2：参照下表画出函数y = - (x + 1) 与y = - (x - 1)2 的 图象 2 2
7.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴 的交点坐标分别为( - 2, 0) (0, - 12) . .8已知二次函数y=8(x -2)2 当 x≥2 时,y随x的增大而增大, 当 x﹤2 时，y随x的增大而减 小.
9.二次函数y=a(x-h)2的图像是
以 X=h 为对称轴的抛物线 ， 顶点坐标为 （h, 0) .
1 2 1 1 2 y x 1 与抛物线 y x 2 抛物线 y x 1 2 2 2
有什么关系？
1 2 x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 1 2 y x 2 向右平移1个单位，就得到抛物 线 y x 1 ；把抛物线 2 2
观察他们的位置关系 说出它们的开口方向 对称轴、顶点的位置 能说出抛物线 y 的开口方向及对称轴 顶点的位置吗？
y
1 2 x 2
小结
答：形状相同，位置不同。 想一想：三条抛物线 三个图象之间通过沿x轴平 有什么关系？ 移可重合。
1 2 (1) y x 2 1 (2) y ( x 2) 2 2 1 (3) y ( x 2) 2 2
中考语录
中考是一场跳高 比赛，取胜关键在 于你起跳时对大地 用力多少!
开口方向 对称轴
向上
向上 Y轴 X=h Y轴
顶点坐标
（0，0） （h，0）
y=a(x-h)2(a>0)
y=ax2(a<0) y=a(x+h)2(a<0)
向下
向下
（0，0）
（-h，0）
X = -h
归纳与小结
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
（1）开口方向：当a＞0时，开口向上; 当a＜0时，开口向下； （2）对称轴： 对称轴直线x=h; （3）顶点坐标： 顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性： 当a＞0时， 对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小， 对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。 （5）最值
x ... ...
... ... ... -3 -2 -1 2 5 3 0 0 1 -1 1 2 0
y=x2+1
y=x2+1 y=x2-1 ...
10 8
... ... 2 3 5 ... 10 画出下列函数的图象， ...
观察他们的位置关系， 3 ... 8 说出它们的开口方向、 对称轴、顶点的位置。 1 能说出抛物线 y 2 x k 的开口方向及对称轴、 顶点的位置吗？
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
1 1 2 2 画出二次函数 y x 1 , y x 1 2 2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．