第一章复习与习题课

如 y x e
2010年8月
.
y
0
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5、反函数与直接函数之间的关系
设函数 f ( x ) 是一一对应
y
函数 , 则
y f
1
(x)
1 f ( f
x
1
( x )) f
1
( f ( x ))
( f ( x ), x )
x D
f
1
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无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
y f (x)
2 y f ( x )与 y f
图象对称于直线
( x )的
( x , f ( x ))
y x.
o
x
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6、基本初等函数
1）幂函数
y x

( 是常数 )
x
2）指数函数 y a
(a 0, a 1)
a
总 存 在 正 数 ,使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 x x0 的 一 切 x ,对 应 的 函 数 值 f ( x ) 都 满 足 不 等 式
f (x) A ,
那 末 常 数 A 就 叫 函 数 f ( x ) 当 x x0时 的 极 限 ,记 作
x x0
lim
f (x) A
或
f ( x ) A (当 x x 0 )
" " 定义 0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
恒有 f ( x ) A .
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左极限 0 , 0 , 使当 x 0 x x 0 时 ,
2
1、函数的定义
定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 ， D 是 一 个 给 定 的 数 集 ． 如 果 对 于 每 个 数 x D， 变 量 y 按 照 一 定 法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数， 记作 y f ( x )．
数集 D 叫做这个函数的定义域 y 叫做因变量．
记作 lim f ( x ) 0
x x0
( 或 lim f ( x ) 0 ).
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x )
x x0
( 或 lim f ( x ) ).
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
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7、复合函数
设 函 数 y f ( u ) 的 定 义 域 D f ,而 函 数 u ( x ) 的 值 域 为 Z , 若 D
f
Z , 则 称 函 数
y f [ ( x )] 为 x 的 复 合 函 数 .
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
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2 2
o o
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x
x
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(2) 函数的奇偶性:
设 D 关于原点对称 , 对于 x D , 有
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( f ( x )为奇函数
; ;
y x
3
y
y x
3）对数函数 y log
x
(a 0, a 1)
4）三角函数 y sin x ;
y tan x ;
y cos x ;
y cot x ;
5）反三角函数 y arcsin x ; y arccos x ;
y arctan
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x ; y arc cot x
9、极限的唯一性
定理
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若lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
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连
x 0
续
定
义
间断点定义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
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7、无穷小的比较
定义:设 , 是同一过程中的两个无
( 1 ) 如果 lim
穷小 , 且 0 .
0 , 就说 是比 高阶的无穷小
,
记作 o ( );
( 2 ) 如果 lim
特殊地

C ( C 0 ), 就说 与 是同阶的无穷小
1 , 则称 与 是等价的无穷小
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , r ) (或 x M )时,有
恒有 f ( x ) A .
记作 lim
x x0 0

f ( x) A
或
f ( x 0 0) A.
( x x0 )
右极限
0 , 0 , 使当 x 0 x x 0 时 , 恒有 f ( x ) A .
记作 lim
x x0 0
T 1
y
1
y x [ x]
o
1
x
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3、反函数
由 y f ( x ) 确定的 y f
y sinh x
1
( x ) 称为反函数
.
y f
1
( x ) ar sinh x
4、隐函数
由方程 F ( x , y ) 0 所确定的函数 y f ( x ) 称为隐函数
;
;
如果 lim
记作 ~ ;
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( 3 ) 如果 lim 无穷小 .

k
C ( C 0 , k 0 ), 就说 是 是 k 阶的
8、等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
函数值全体组成的数集
， 叫做自变量， x
W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域
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.
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函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 y f ( x ) 与 之 对 应 ,则 称 f ( x ) 为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
y
ye
x
y
( x 1) y 1
y
y 1 x
f ( x ) 在 X 上有界 .否则称无界
.
在 ( , 0 ) 及 ( 0 , ) 上无界 ; 在 ( , 1 ]及 [ 1 , ) 上有界 .
1
o
1
x
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(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D ,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
o
o
x
偶函数
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x
奇函数
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(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x 1 x 2，当 x 1 x 2 时，恒有： 及 (1) f ( x 1 ) f ( x 2 ),则称函数
f ( x ) 在区间I上是单调增加的；
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3、极限的性质
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) ( 2) ( 3) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim f ( x) g( x ) A B , 其中B 0.