2018年秋八年级数学上册作业课件-13.4 课题学习 最短路径问题 (共24张PPT)
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八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
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10．如图，已知正方形ABCD的边长为10 cm，△ABE为等边三角形(点 E在正方形内)，若P是AC上的一个动点，当PD＋PE最小时，这个最小 值是____ 10 cm.
11．如图，已知E，F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，
在BC上找一点M，使△EFM的周长最小．(不写作法)
解：作点E关于BC的对称点E′，连接FE′，
解：如图，作法：(1)作点C关于OA的对称点C′，再作点D关于OB的对 称点D′ (2)连接C′D′交OA，OB分别于点M，N (3)连接CM，MN，ND，DC，则C→M→N→D→C就是所求作的最短路
线
解：将A点沿垂直于l1的方向平移l1l2之间距离个单位到A′，连接 A′B，交l2于P2，作P2P1⊥l2交l1于P1，连接AP1，则AP1＋P1P2＋
P2B最短
7．龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直线a上任意一点 C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，下图中
的四个图是他们设计的路线，其中路程最短的是(
短路线．
(1)当两定点在l的异侧，_________________得最短路径； 连接两定点 (2) 当两定点在 l的同侧， 通过作其中一定点 _______________________ 的 关于l的对称点 手法求最短路径.
3 ．如图，M，N 分别是∠AOB内两定点 ，点P ，Q分别是 OA，OB上
八年级上册人教版数学
第十三章 轴对称
13．4 课题学习 最短路径问题
求最短路径的方法：
1．已知直线l上一动点和直线外一定点，求两点之间最短路径，过定点 垂线段最短 作直线l的垂线段，垂线段即为最短路径，其理论依据是____________．
2．已知直线l上一动点和直线l外两定点，求动点到两定点距离之和的最
点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点C，点C即为所求
13．(易错题)(2016· 百色)如图，正△ABC 的边长为 2，过点 B 的直 线 l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称，D 为线段 BC′ 上一动点，则 AD＋CD 的最小值是( A．4 B．3 2 C．2 D．无解
2 ．如图 ，在△ ABC 中 ， AB ＝3 ， AC＝ 4 ， EF 垂直平分 BC ，点P 为
直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( A )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长度为10 cm，现在直线l上有动点P，那么PA＋PB的最小值为____cm. 10
A
)
14．(阿凡题 1070255)八(2)班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直 线(如图中所示的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满
了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，
最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最 短．(尺规作图，并写出作法，不需说明理由)
交BC于点M，则△EFM就是所求的三角形
12．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一个自来水厂分 别向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？
解：(1)连接AB作AB的中垂线交EF于点M，点M即为所求 (2)作
的 动 点 ， 求 M→P→Q→N 的 最 短 路 径 ， 应 分 别 作 出 点 关 于 ______________________ ，寻求最短路径． 角两边的对称点
知识点1：用轴对称求最短路径 1．如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线上l上求作一点C，使 得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；② 连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时 没有运用到的知识或方法是( A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 ) D
解：(1)在CD的中点处饮水所走的路程最短 知某江岸线l1与l2是平行的，岸边都有多家大型渡船，在A处 有一辆装满救灾物资的货车，要求渡船垂直过江，然后送到B处，
请问选择l1岸边哪家渡船才能使从A到B的路径AP1P2B最短(其中P1
，P2分别为江岸线l1，l2上渡船的位置)，试确定P1的位置．(不必说 明理由)
4．如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边上的中点，E是AB边上的一 动点，要使EC＋ED最小，请找点E的位置．
解：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB的交点为所求点E.图 略
5．如图，某牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分 别为 AC ， BD ， 且 AC ＝ BD ， 若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米． (1) 牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家 ，试问在何处饮水所走 的路程最短？ (2)最短路程是多少？
C
)
8．∠AOB的边OA上有两点M，N，在∠AOB的平分线OC上找
一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是( D )
9．(2016·遵义)如图，四边形 ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝
90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，
∠EAF的度数为( D ) A．50° B．60° C．70° D．80°