代数基本定理的分析证明
代数基本定理
[科目] 数学
[关键词] 代数/基本定理/复数/根
[文件] sxbj110.doc
[标题] 代数基本定理
[内容]
代数基本定理
代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。
由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。
这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。
他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。
婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是“美丽”，也是他女儿的名字。
1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。
1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。
欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。
达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。
高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。
后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而“代数基本定理”一名亦被认为是高斯提出的。
高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。
20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。
代数基本定理的证明方法研究(论文)..
代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。
代数学基本定理有两种等价的陈述方式。
第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n- a n jz°J... a i z a0( n _ 1，a n = 0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n - a nJ z nJ - ... - a1z - a0(n—J a n -0)在复数域内有n个根，重根按重数计算”。
尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。
数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Mil nor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。
在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。
代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。
紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。
严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。
而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。
十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn18】对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。
如果将复数域理解为复平面，将p(z)二a n Z n- a n^z nJ - ... - a1z - a0 ( n-1，a^= 0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东6】对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。
代数基本定理
n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。 由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。 设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取 出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+
最大模原理证明代数学基本定理
最大模原理证明代数学基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最大模原理是解析函数论中的一个重要定理，它直接证明了代数学基本定理。
代数学基本定理是复数论中的一个基本结果，它说的是每一个非常数的多项式都有至少一个根。
为了理解最大模原理对代数学基本定理的证明，首先我们需要了解一些基本的概念和定义。
对于复数域上的多项式P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0，其中a_n不等于零且n\geq1，我们称它的度为n，a_n为首项系数，a_0为常数项。
一个复数a称为多项式P(z)的根，如果P(a)=0。
代数学基本定理说的就是对于任意非常数的多项式P(z)，它至少有一个根。
接下来我们来阐述最大模原理的内容。
最大模原理：设D是一个有界开区域，f(z)是D上的解析函数且在\overline{D}上连续。
如果|f(z)|在D上取得了最大值M，那么f(z)是一个常数。
证明如下：假设|f(z)|在D上取得了最大值M，则存在z_0\in D使得|f(z_0)|=M。
我们可以根据f(z_0)在z_0处的泰勒展开得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n，其中c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}。
由于f(z)是一个解析函数，所以它在D上能够被泰勒展开。
由泰勒展开的收敛性，我们知道存在一个小圆盘B(z_0,r)，使得f(z)在B(z_0,r)上能够被泰勒展开并且收敛。
我们可以得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n在B(z_0,r)上成立。
结合以上两个不等式，我们得到了|f(z)|=M。
由于f(z)在D上连续，并且在z_0处取得了最大值M，所以根据最大模原理，f(z)必须是一个常数。
最大模原理证明了在有界开区域上的解析函数如果在区域内能取得一个最大值，那么它必须是一个常数。
通过这个原理，我们可以证明代数学基本定理。
代数基本定理的几种证明
代数基本定理的几种证明代数基本定理是说：任何一个非常数的单项式方程（或者说任何一个非常数的多项式方程）都有至少一个复数根。
下面我将给出几种代数基本定理的证明。
1.代入法证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。
我们可以将f(x)表示为多个一次项的乘积形式：f(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)其中a_n是多项式的首项系数，r_1，r_2，…，r_n是复数根。
现在我们考虑当x趋近于无穷大时，f(x)的变化情况。
由于f(x)是非常数的多项式方程，所以当x趋近无穷大时，f(x)也趋近于无穷大。
根据这一点，我们可以找到一个实数M，使得当，x，>M时，f(x)，>1现在我们来考虑f(x)在半径为R的圆盘区域内的情况，其中R足够大，使得，z，>R时，f(z)，>1、根据开球覆盖定理，我们可以在这个圆盘区域中选择有限个半径为1的开球，覆盖整个圆盘区域。
由于f(x)的复系数，所以对于每个开球中的根r_i，其共轭根也在开球中，并且开球中的根是有限个。
于是我们可以在这个圆盘区域中找到一个开球，使得其中的根全部在这个开球内。
我们定义了这样一个开球，那么其中的根都被包含在这个开球内。
那么这个开球的半径就是R的一个上界，但这是不可能的，因为我们假设了所有的复数根都在这个开球内。
所以假设不成立，这意味着任何一个非常数的多项式方程都至少有一个复数根。
2.复数代换证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。
我们假设f(x)不具有任何复数根，也就是不存在任何复数r，使得f(r)=0。
现在我们考虑f(x)的次数。
假设f(x)的次数为n，也就是说f(x)可以表示为：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_n不等于0。
根据复数代换原理，我们可以将f(x)转化为一个次数为n的多项式方程g(z) = b_nz^n + b_{n-1}z^{n-1} + ... + b_1z + b_0，其中z是复数，b_i是复数系数。
高斯代数基本定理
高斯代数基本定理高斯代数基本定理（Gauss's Fundamental Theorem of Algebra）是现代代数学中的一个重要定理，它揭示了复数域上代数方程的根的存在性。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1799年首次提出，并在1828年发表。
在代数学中，一个代数方程是形如f(x) = 0的方程，其中f(x)是一个多项式函数，而x是未知数。
高斯代数基本定理指出，对于任何次数大于等于1的复系数多项式方程，总存在至少一个复数根。
具体来说，高斯代数基本定理可以表述为：任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程f(x) = 0，在复数域上总有解。
换句话说，复数域上的代数方程总能够被复数根解决。
为了更好地理解高斯代数基本定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑方程x^2 + 1 = 0，其中x是未知数。
根据高斯代数基本定理，我们知道这个方程在复数域上必定有解。
实际上，这个方程的解是x = ±i，其中i是虚数单位。
高斯代数基本定理的证明并不简单，它需要使用复数域的性质和代数学的基本概念。
高斯通过将复数域扩展为复平面，并利用复数的极坐标形式来证明了这个定理。
他的证明是基于代数学中的重要定理之一，即代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra），它指出任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程在复数域上至少有一个复数根。
高斯代数基本定理的重要性不仅在于它解决了复数域上的代数方程，还在于它为代数学的发展奠定了基础。
通过这个定理，我们能够更深入地研究多项式方程的性质和解的特征。
它在代数学、数论、几何学等领域都有广泛的应用。
除了在理论研究中的应用，高斯代数基本定理还在实际问题中发挥着重要作用。
例如，在工程和科学领域中，我们经常需要解决各种复杂的方程和模型。
高斯代数基本定理提供了一种有效的方法来确定方程的解的存在性，并为我们提供了解决问题的思路和方法。
阿尔贝代数基本定理
阿尔贝代数基本定理阿尔贝代数基本定理（又称Gelfand-Kirillov维度定理）是代数学中非常重要的定理之一。
这个定理描述了一个有限生成代数的维度，也就是说，这个定理可以用来计算代数结构的复杂度。
本文将介绍阿尔贝代数基本定理以及它的一些应用。
1、阿尔贝代数阿尔贝代数是一个非常重要的概念，它是一种结合了数学、物理和计算机科学中的多项式代数的代数结构。
在这里，我们将介绍阿尔贝代数的一些重要性质。
阿尔贝代数是一种表示“量子力学”中波函数的代数结构。
它是一个包含一组生成元和一些运算符的代数系统，这些运算符按照特定的规则进行运算。
阿尔贝代数有许多重要的性质，其中最重要的性质就是它的有限生成性质。
2、阿尔贝代数基本定理阿尔贝代数基本定理由S.I.Gelfand和M.A.Kirillov最早的建立。
它的主要内容是：对于任意有限维的有限生成代数A，存在一个整数n，使得A的Krull维度等于n。
其中，Krull维度是一个理论概念，它给出了一个代数结构中最长的链的长度。
Krull维度可以通过计算极大理想的长度来定义，它反映了一个代数结构的复杂度。
从直观上来说，Krull维度可以被理解为向量空间的维度。
例如，一个三维的向量空间由三个基向量生成，它的Krull维度就是3。
同样地，一个包含三个生成元的代数结构的Krull维度也为3。
3、阿尔贝代数基本定理的证明阿尔贝代数基本定理的证明相对较复杂，它需要使用一些高级数学工具，如乘性理论、代数拓扑学等。
此处只给出一个简要证明的思路：（1）定义映射f: A \to End_A(A)为左乘作用映射，即f(a)(b)=ab。
（2）定义R=Ker(f)为f的内核，即R=\{a\in A|f(a)=0\}。
由于f为单射，则R是A的一个双边理想。
（3）考虑从左到右的A模链：A\supset R\supset R^2\supset\cdots\supset R^n\supset R^{n+1} \supset \cdots（4）注意到A生成A/R，故可将上述链限制到A/R：A/R\supset \bar{R}\supset \bar{R}^2\supset \cdots\supset\bar{R}^n\supset \bar{R}^{n+1} \supset \cdots其中，\bar{R}表示R在A/R中的像，即\bar{R}=\{a+R|a\in R\}。
代数基本定理高斯证明
高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理，即一个带有复数系数的n次代数方程g(x)=0，其中n为正整数，至少有一个复数解。
高斯给出了四种不同的证明方法，其中第一种方法是在他的博士论文中首次提出的。
高斯的第一种证明方法是通过纯粹的存在性证明，他并没有具体构造出多项式方程的解，而是证明了这样的解一定存在。
他的证明基于复数域的完备性，即任何复数多项式都可以表示为一次因式的乘积。
他通过考虑多项式的根和系数的关系，以及多项式的因式分解，证明了代数基本定理的正确性。
高斯的第二种证明方法是通过几何论据来证明的，但这种方法相对复杂，不是很容易理解。
第三种证明方法是通过判别式来证明的，即证明每两个根之差的乘积可以表示成多项式和它的导数的线性组合，这种方法也不易理解。
第四种证明方法是基于前三种方法的变种，但高斯更自由地使用了复数，使得证明更加简洁和易于理解。
总之，高斯的代数基本定理证明在数学史上具有重要地位，它不仅解决了长期以来数学家们对于多项式方程解的存在性的疑惑，而且为复数域的研究奠定了基础。
高斯的证明方法也展示了他在数学领域的卓越才华和创新思维。
代数的基本定理证明
代数的基本定理证明概述代数的基本定理是现代数学中的一项基本定理，它关于代数方程的根在复数域上的存在性给出了精确而完整的描述。
本文将详细探讨代数的基本定理的证明。
代数方程的定义一个代数方程定义为多项式等于零的方程，形式如下： [P(x)=a_nx n+a_{n-1}x{n-1}+…+a_1x+a_0=0] 其中，[n]是方程的次数，[a_n,a_{n-1},…,a_1,a_0]是系数。
导出最高项在代数方程[P(x)=0]中，如果[a_n=0]，则将[n]的值递减直到[a_n]，这样我们就可以导出最高项。
令[m=n-(a_n)]，则[P(x)]可以重写为： [Q(x)=x^mA(x)=0] 其中，[A(x)]是一个次数为[m]的多项式，且[A(x)]的最高项系数不为零。
导出次数对于[Q(x)=x^mA(x)=0]，如果导出[A(x)]的次数为[m=0]，则[Q(x)]只有一个根，为零点。
否则，如果[A(x)]的次数[m>0]，我们可以导出次数。
为了方便，我们假设[A(x)]的次数为[m>0]。
代数方程的根为了求解方程[Q(x)=x^mA(x)=0)，我们引入复数与代数方程的根的概念。
在复数域上，我们可以采用代数方程的根定义为[Q(x)=0)的解。
代数方程的根存在性对于任意次数[m>0)的多项式[A(x)]可以写作一个和每个根[x_i)有关的因式的乘积：[A(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_k)] 其中，[x_1,x_2,…,x_k)是多项式[A(x)]的根，且[1km)。
代数方程的基本定理代数的基本定理确立了代数方程在复数域上必有至少一个根的存在性：对于任意次数为[m>0)的多项式[A(x)]，存在一个复数根[x_1)，使得[A(x)]可以写作：[A(x)=(x-x_1)B(x)] 其中，[B(x)]是一个次数为[m-1)的多项式。
代数的基本定理的证明为了证明代数的基本定理，我们采用归纳法。
代数基本定理
代数基本定理
在代数发展史上的很长一段时期内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法（包括求根公式）.此后，数学家们转向求解一元五次及五次以上的方程。
他们想弄清楚以下问题：一般的一元多项式方程有没有根？如果有根，根的个数是多少？是否存在求根公式？
我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数。
事实上，数学中有如下定理：代数基本定理，任何一元n(n∈N）复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用。
代数基本定理的证明方法有很多种，但每种证法都涉及高等数学知识，此处不作介绍.有兴趣的同学可以查阅相关资料.
由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积。
进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.尽管一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）,但是一元五次及五次以上的方程不存在一般的求根公式.。
逻辑代数基本定理的证明
逻辑代数基本定理的证明α邹泽民(梧州师专 数学系,广西 贺州 542800)[摘 要] 本文分别给出逻辑函数基本定理的三种论证方法。
[关键词] n 元逻辑函数;范式定理;n 元“与-或”范式;n 元“或-与”范式;最小项由n 元逻辑函数F (A 1,A 2,…A n )的定义可知,每个逻辑变量A i (i =1,2,…n )及其逻辑函数的取值集合均为L ={0,1},于是显然有[引理] 对于n 元逻辑函数F (A 1,A 2,…A n ),则有F (A 1,A 2,…A n )=A 1F (1,A 2,A 3,…A n )+A ϖ1F (0,A 2,A 3,…A n )( )F 面给出n 元逻辑函数基本定理,并分别给出三种证明方法。
[基本定理] 全体n 元逻辑函数共有22n种不同形式。
一、数学归纳法证明下面对变元个数n 施行数学归纳证明:1.当n =1时,不难看出,由引理知,一元逻辑函数F (A )可表示为F (A )=A F (1)+A ϖF (0)因为逻辑函数的定义域和值域都是集合L ={0,1}。
因此,对于A =1,有F (1)=0或F (1)=1;对于A =0,有F (0)=0或F (0)=1,即一元逻辑函数F (A )存在有两种不同形式的函数值表示式F (1)、F (0),从而F (1),F (0)搭配有四种不同的取值组(情况),于是有F (1)F (0)A F (1)A ϖF (0)F (A )=A F (1)+A ϖF (0)0000F 1(A )=0010A ϖF 2(A )=A ϖ10A 0F 3(A )=A 11AAϖF 4(A )=A +A ϖ=1从而一元逻辑函数F (A )有且只有以下四种不同形式:F 1(A )=A ·A ϖ=0,F 2(A )=A ϖ,F 3(A )=A ,F 4(A )=A +A ϖ=1即一元逻辑函数F (A )共有221=22=4种不同形式。
代数的基本定理
代数的基本定理代数的基本定理，也叫做代数基本定理、代数基本定理定理，是代数学中的一个基本定理，它阐述了一个多项式方程的根与系数之间的关系。
这个定理对于代数学的发展有着深远的影响，并且在数学的其他领域中也有广泛的应用。
代数的基本定理可以被描述为：任何一个次数大于等于1的一元多项式方程，都有至少一个复数根。
换句话说，对于一个n次多项式方程，总是可以找到n个复数根，其中可能存在重根。
为了更好地理解代数的基本定理，我们需要首先了解一些基本概念。
一个多项式是指由一个或多个变量和常数构成的代数表达式，变量通常用字母表示，并且在多项式中可以进行加、减、乘、指数运算等。
一个多项式方程就是将一个多项式置于等号左边，并且等号右边为0，形成的方程。
例如，x^2 - 2x + 1 = 0就是一个二次多项式方程，其中x是未知数。
代数的基本定理的重要性在于它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。
这个定理告诉我们，无论多项式的次数有多高，我们总是可以找到至少一个复数根。
这意味着，通过求解多项式方程，我们可以得到方程的根，并进一步了解方程在数轴上的根的分布，帮助我们解决实际问题。
代数的基本定理最早由法国数学家第谷·笛卡尔于1637年提出，并在后来由欧拉、拉格朗日等数学家进行了深入研究。
现代的代数学发展也依赖于这个基本定理，它被广泛运用于代数几何、数值分析、微分方程、傅里叶分析等领域。
在代数几何中，代数的基本定理可以帮助我们确定方程的解的个数和位置，从而描绘出曲线、曲面等几何图形。
在数值分析中，代数的基本定理被应用于多项式插值，即利用已知的点来逼近未知函数。
在微分方程的求解中，代数的基本定理也被用来确定线性微分方程的解的个数和特性。
在傅里叶分析中，代数的基本定理可以帮助我们将函数表示为无穷级数。
通过代数的基本定理，我们可以将多项式方程与代数学的其他领域相联系，实现数学的统一。
这一定理的证明是比较困难和复杂的，涉及到复分析的方法和工具。
代数基本定理证明
代数基本定理证明代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）是数学中一个重要的定理，它说明了任何一个非常数的复系数多项式在复数域上必有根。
它的证明是一个经典的数学难题，下面我们来看一下代数基本定理的证明过程。
为了证明代数基本定理，我们需要先引入一个引理：任何一个复系数多项式都可以分解成一些一次多项式和二次多项式的乘积。
这个引理我们不做详细的证明，它的正确性可以通过考虑复系数多项式的根来得到。
接下来我们使用反证法来证明代数基本定理。
设$f(z)$是一个次数为$n$的复系数多项式，假设它没有根。
则我们可以写成以下形式：$f(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z + a_0$其中$a_n \neq 0$。
我们可以将$f(z)$表示为$f(z) = |f(z)| \exp(i\theta)$的形式，其中$\theta$是一个常数，$|f(z)|$表示$f(z)$的模长。
由于$f(z)$没有根，因此对任意复数$z$，我们有$|f(z)| \neq 0$。
我们知道，对于任意复数$z$，有如下两个不等式成立：$|a_0 + a_1z + \cdots + a_nz^n| \leq |a_0| + |a_1|\cdot|z| + \cdots +|a_n|\cdot|z|^n$$|f(z)| = |a_n|\cdot|z|^n\cdot|1 + \frac{a_{n-1}}{a_nz} + \cdots +\frac{a_0}{a_nz^n}| \geq |a_n|\cdot|z|^n - |a_{n-1}|\cdot|z|^{n-1} - \cdots -|a_0|$考虑第一个不等式，如果我们取$|z|$趋近于无穷大，不等式右侧趋近于无穷大，但不等式左侧是一个有限值。
因此第一个不等式不可能对所有$z$都成立。
对于第二个不等式，由于多项式$f(z)$没有根，它在复平面上没有任何一个点的模长为$0$。
代数基本定理
代数基本定理
代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。
由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。
这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。
他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。
婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是「美丽」，也是他女儿的名称。
1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。
1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。
欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。
达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。
高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。
后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而「代数基本定理」一名亦被认为是高斯提出的。
高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。
20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。
代数基本定理的证明
代数基本定理的证明基本思路数学归纳法替推也就是假设n 次方程至少有n个复数解推出n+1 次方程至少有n+1 个复数解（包括相同的解）。
对于函数f z=z-a0z为复数，作为矢量，f(z)也为矢量。
如下图，左图为变量z的变化轨迹，右图为f(z)的变化轨迹。
当z在左图圆上旋转一圈，a0在圆内一点，可知f(z)为矢量箭头也旋转一周，f(z)反映在右图的圆周轨迹也是一个圆周。
原点在f(z)轨迹内部。
考虑f(z)=(z-a0)(z-a1)由复数定理可知f(z)的辐角等于z-a0的辐角与z-a1的辐角的和。
Z的变化轨迹是一个圆，a0，a1在圆内。
Z变化一周，z−a0变化一周，z−a1也变化一周。
f(z)为连续变化，f(z)的辐角也连续变化。
看下图：从辐角和的公式Arg f z=Arg(z-a0)+Arg(z-a1)，z在圆周上逆时针旋转，辐角逐渐变大z-a0， z-a1的辐角也逐渐变大，所以f(z)的辐角逐渐变大，所以f(z)绕原点旋转如右图。
当z-a0， z-a1的辐角和变化2π，f(z)的辐角也变化2π，这个时候z的辐角继续变大直到2π，f(z)的辐角继续变大，最终变化量为2∗2π，首尾连接（因为f(z)可以转化为实数是单值的）。
由此可以推出f z=z−a0z−a1…(z−a n)当a0，a1…a n在z旋转轨迹圆内时，z旋转一圈，f(z)将绕原点旋转n+1圈，最终形成封闭曲线。
1次方程z+b0=0有一个根。
假设n次方程有n个复数解则n+1次方程可写成z z−a1)z−a2…(z−a n+a0=0。
令f z=z z−a1)z−a2…(z−a n，可以z变化的圆轨迹足够大时，z变化一圈，f(z)将沿原点旋转n+1圈，最终形成封闭曲线。
关注最外围的封闭曲线。
第一种情况−a0在f(z)最外围封闭曲线外。
先任意固定z的辐角，增大z的模，也就是增大z轨道圆的半径，逐渐变化到无穷大f(z)的模将变化到无穷大，f z=z×|z−a1)|×|z−a2|…|(z−a n|，因为z的辐角是任意的，所以f(z)最外围封闭曲线上f(z)的模都将变化到无穷大。
代数基本定理的证明达朗贝尔
代数基本定理的证明达朗贝尔
达朗贝尔定理是有关莫比乌斯可行系统的重要定理。
达朗贝尔定理说：如果S 是一个有n个元素的可行系统，那么S的任何子集M有以下性质：
1. M中的任何两个元素之和都是偶数；
2. 如果n是单数，那么M中存在一个元素，这个元素的值是奇数；
3. 如果n是偶数，那么M中的每个元素的值都是偶数；
4. M中每个元素的值都小于等于n。
达朗贝尔定理的证明由反证法完成。
即假设M是一个有n个元素的元素子集，它不服从1，2，3和4中的任何一个要求，而尝试使其成为可行系统。
考虑系统中存在一个元素m，它的值不符合达朗贝尔定理要求，它是唯一的这样的元素。
因此，在M中，m与其他任何元素之和都是奇数或大于n。
但是，由于M 中所有元素的值都小于等于n，因此m与任何其他元素之和都不可能是大于n 的偶数。
既然任何两个元素之和都是奇数，则S中的任何两个元素都不能取偶数
的和，因此它不是可行的。
所以，M不是可行的，这矛盾了它初始时被认为是可行的。
因此，达朗贝尔定理得到了证明。
代数的基本定理证明
代数的基本定理证明代数的基本定理是代数学中最基本的定理之一，它阐述了将任何一个多项式拆分成因式乘积的方法。
下面我将为大家详细介绍这个定理的证明过程。
首先，我们来明确一下问题：对于一个次数至少为1的复系数多项式$p(z)$，如何证明存在复数$\alpha$使得$p(\alpha)=0$？这是代数的基本定理想要解决的问题。
下面我们将证明此命题成立。
首先，我们用数学归纳法证明一个引理：对每个次数为n的多项式$p(z)$，都存在至少一个复数$\alpha$使得$p(\alpha)=0$。
当n=1时，$p(z)=a_1z+a_0$，其中$a_1$和$a_0$是复系数。
因此只需解出$p(z)=0$，即$z=-\frac{a_0}{a_1}$。
因此，命题在n=1时成立。
现在，假设命题在n=k时成立，即对每个次数为k的多项式$p(z)$，都存在至少一个复数$\alpha$使得$p(\alpha)=0$。
我们来证明命题在n=k+1时也成立。
让我们考虑一个次数为k+1的多项式$p(z)$，它可以表示成$p(z)=a_{k+1}z^{k+1}+a_kz^k+...+a_1z+a_0$，其中$a_i$是复系数。
如果$p(z)$在$\mathbb{C}$上没有根，那么$p(z)$和$\frac{1}{p(z)}$都是全纯复函数；因为$p(z)$有$k+1$项，而$\frac{1}{p(z)}$至多有$k$项。
我们可以考虑$g(z)=\frac{1}{p(z)}$，稍加计算即可得到$g(z)$也是次数为$k+1$的多项式。
因此根据归纳假设，$g(z)$存在一个复根$\alpha$。
这意味着$p(\alpha)=0$，因为如果不是的话，就有$p(\alpha)g(\alpha)=1$，这意味着$p(\alpha)$在$\mathbb{C}$中有一个倒数，与$p(z)$在$\mathbb{C}$上没有解不符。
综上所述，我们证明了代数的基本定理。
代数学基本定理的证明
代数学基本定理的证明代数学基本定理，又称为代数基本定理，是代数学中的一个重要定理，它可以用于描述复数域上的多项式方程。
该定理的核心内容是：每个复系数n次多项式方程，都有n个复数根（重根算多个）。
这个定理的证明是非常有趣和精妙的，下面我们将详细介绍代数学基本定理的证明过程。
为了证明代数学基本定理，我们需先引入一个重要引理：复数域上的非零多项式方程必然有根。
这个引理可以这样证明：假设存在一个复系数多项式方程P(x)没有根。
然后我们考虑P(x)的系数a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0。
由于P(x)没有根，所以对于任意的复数x，都有P(x)≠0。
然后我们构造一个新的多项式方程Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，显然Q(x)也没有根。
但是我们可以发现，当x取非常大的复数时，Q(x)的绝对值也会变得非常大，这与复系数多项式方程的性质是矛盾的。
所以我们得出结论：复数域上的非零多项式方程必然有根。
接下来，我们来证明代数学基本定理。
我们可以采用数学归纳法来证明这个定理。
首先，当n=1时，我们只需要考虑一次多项式方程a_1x+a_0=0即可。
根据前面的引理，这个方程必然有根，所以代数学基本定理在n=1时成立。
假设当n=k时，任意一个k次多项式方程都有k个复数根。
现在我们来考虑一个k+1次多项式方程P(x)=a_{k+1}x^{k+1}+a_kx^k+...+a_1x+a_0=0。
我们可以先找到一个复数根x_1，使得P(x_1)=0成立。
根据多项式除法的原理，我们可以将P(x)除以(x-x_1)，得到一个k次多项式方程Q(x)=a_{k+1}(x-x_1)^k+b_k(x-x_1)^{k-1}+...+b_1(x-x_1)+b_0=0。
现在我们来证明Q(x)至少有k个复数根。
假设Q(x)没有根，那么根据前面的引理，Q(x)必然是一个常数，即b_k=b_{k-1}=...=b_1=b_0=0。
代数学基本定理
代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n>l),由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算).代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。
据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。
代数学基本定理说明，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根。
由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算)。
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。
这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在⑴。
另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。
2证明历史代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。
据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。
迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。
人数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。
复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。
接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗口于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给岀的(1799年在哥廷根人学的博士论文), 基本思想如下：设为n次实系数多项式，记，考虑方根：即与这里与分别表示oxy坐标平面上的两条曲线Cl、C2,于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出，即，因此z0便是方程的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。
伽罗瓦定理证明
伽罗瓦定理证明一、根的置换根的置换是代数中的一个基本概念，它是指将方程的根进行替换，从而得到一个新的方程。
根的置换有多种形式，其中最常见的是线性置换和多项式置换。
线性置换是指将方程的一个根替换为另一个根或常数，多项式置换是指将方程的一个根替换为一个多项式函数的形式。
通过根的置换，我们可以得到原方程的等价方程或相似方程，这些方程在解法上可能有更好的性质。
二、代数基本定理代数基本定理是代数中的一个重要定理，它表明一个多项式方程的根可以由该多项式的导数方程的根唯一确定。
具体来说，如果一个n次多项式有n个根，那么它必然有n个解，这些解可以是原方程的根或导数方程的根。
代数基本定理的证明可以通过构造一个辅助函数，并利用罗尔定理和柯西定理等工具来完成。
三、方程的因式分解方程的因式分解是将一个多项式方程化为几个一次多项式乘积的形式。
通过因式分解，我们可以更好地理解方程的结构和性质，并且可以更容易地求解方程。
对于一个给定的多项式方程，我们可以尝试各种因式分解方法，如提取公因式法、分组法、十字相乘法等，以得到最简单的因式分解形式。
四、伽罗瓦理论伽罗瓦理论是代数中的一个重要分支，它主要研究域扩张和伽罗瓦群的理论。
伽罗瓦理论的一个重要定理是伽罗瓦定理，它表明一个给定的多项式方程的根域可以通过伽罗瓦群来描述。
为了证明伽罗瓦定理，我们需要利用前面的概念和方法，如根的置换、代数基本定理和方程的因式分解等。
通过这些工具，我们可以证明一个给定的多项式方程的所有根都位于一个域中，并且这个域可以通过伽罗瓦群来描述。
这为进一步研究代数和数论等学科提供了重要的基础。
五、定理证明我们现在来证明伽罗瓦定理。
首先，我们知道一个多项式方程的所有根都位于一个域中，我们称之为根域。
根据代数基本定理，我们可以将根域扩展到包含所有根的最小域，这个域被称为伽罗瓦域。
接着，我们构造一个多项式函数，它的根是原方程的根，并且该多项式函数的导数等于原方程的导数。
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基 金 项 目 ： 州 师范 学 院 学 生 科 研 项 目 荆 作 者 简 介 ： 春 （９ １ ） 男 ． 州 师 范学 院 数学 系 １ ９２班 学 生 陈 １８ 一 ， 荆 ３９
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１８ ０
荆 州 师 范 学 院学 报 （ 自然 科 学 版 ）
十… … ｎ ｌ ￡＋口 ＝（ ＋ｉ０ （ ０ ｂ ） ｒ
一
即 当 ｆ 。变 到 卢时 ， （ 在 ｚ平 面上 可 以画出一 条有 向曲线 ． 曲线 的函数表 达 式 为 从 ｚ ） 这
２ （ ） （ ） （ ） ｆ 口， ） ＝ ￡＝ ￡＋ ￡ ， ∈（ 卢 令 Ｐ（ ） 系 数 ｑ ＝ｑ ＋ｉｉ） ２的 ｂ （ ＝０ １ … ， ） 则 Ｐ（ ） ０ ’ ｌ ，， ， 。 ： 。 ＋。 ＋ｉ ＋（ Ｉ ６ ） 十ｉ 。 … ＋（ 一 １ ｂ ． ） ＋ｉ 十（ ＋ｉ ） （ ． ） （ ． ） 。 十ｉ１ （ ） 十 ｎ ＋ｉ Ｊ（ ） ｄ ｂ ＝ ＋ｉ ）
命 题 ３ 存 在正 数 Ｒ ， 当简 单 曲线 ｒ把 圆 ： ≤ 尺 含在 它 的 内部 时 ， ｒ Ｐ（ ＝２ △ ａｇ ）
证 不 先 一 般 性 ， 设 Ｐ（ 的 首 项 系 数 为 １ 令 Ａ ＝ Ｉ ｌ ＋ Ｉ ２ ～ ・ Ｉ Ｉ 可 ｚ） ， Ｉ ｆ ｎ ｎ ＋ ａ 一１ （Ｉ） 对 ｖ Ｍ ＞ Ｉ ｊ尺 ＞ｏ 当 Ｉ ＞ 尺 时 ， Ｉ ， ， ：Ｉ 有 旦
Ｖ０＿２ ＿ ５ Ｎ０． 理 的 分 析 证 明
陈 春 刘 昌梅 陈 香 邵 桂 英
（ 州 师 范学 院数 学 系 １ ９２班 剂 ３９
４４２ ） ３ ０ ０
摘要
明 范 围
通过 《 学分 析》 数 中近 似 计 算 的 方法 ， 用 Ｐ（ ） ｚ 利 ｚ 与 之 问 的幅 角 关 系， 论 了 Ｐ 讨
（） 。 与△ ｒ Ｐ（ 在 零 点 的对 应 关 系， ａｇ ） 在此 基础 上 证 明 了代 数基 本定 理 ， 并扩 大 了该 定 理 的证 关键 词 幅角 增 量 ； 单 闭曲线 ； 角主值 简 幅 中 图分 类号 Ｏ１ ４ ５ 文献 标识 码 ７ １ Ａ 文章 编号 １ ０ —８ １ （ ０ ２ ０ ０ ３ ０ ９ ２ ０ ）２—０ ０ １ ７—０ ４
简单闭 曲线 ： ￡＝ｚ ｔ ｎ ￡ ６ ， Ｒ ） Ｉ ） ［ ６ 上 连续 ， ［ ｂ 上 任 意 不 同点 ￡ 设 （）（ ≤ ≤ ）若 ｅ２（ 与 ｍ（ 在 口， ］ 对 口， ］
与 ￡， ２ 但不 同 是 ［ ｂ 的端 点 ， ａ， ］ 有 （ ） 。 ￡） 且对 ｎ， ， ≠ （２ ， ６ 有 （ ） （ ） 这样 的 曲线 是简 单 闭 曲线 ． ａ ＝ｚ ６ ， 幅角主值 ： 向量 ＝ ＋ｉ 它 与 ｚ轴 的夹 角 的值 叫做 向量 的 幅角 主值 ． 作 ａｇ 它 的范 围是 ［ 对 ｙ， 记 ｒ ， 一
１ 引 言
代 数基 本定 理 是 ： 每个 次数 大 于 １的复 系数多项 式 在 复 数域 中有一 根 ． 这个 定 理有 许 多证 明方 法 ． 比如 利用儒 歇定 理证 明 ． 是 这些证 明中所 用到 的结论很 复杂 ， 以本 文将 改变 以往 的 复 杂 的证 明方 法 ， 但 所 采用 一 些 很 浅显 的命 题来 证 明 ． 先我们 了解 一下简 单 闭 曲线和 幅角 主值 的概念 首
一
令 ＝ ， 尺１当 Ｉ 时 Ｊ １击 尺 显 ≥则 Ｉ 尺 ，旦 Ｉ 然 ． 有 一＜ ｚ ＞
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第２ ５卷
第 ２期
荆 州 师范 学 院学 报 （ 自然科 学 短 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ｈ ｕＴｅｃ ｅｓＣ ｇ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｚｏ ａｈ ｒ ｏ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｊ Ｌ Ｌ ｅ
命题 ２ 设 ｒ是平 面上 的简单 封闭 曲线 ， 当点 ｚ按 逆 时针沿 ｒ运动 一周 时 ， 的幅 角增 量 为 ： ｚ
１０
ｒ
（ 点 在 ｒ的 外 部 ） 原
ｉ （ 点 的 部 ２ 原在 内 ）
（ ： 号 △ ｒ Ｐ（ ） 示 当 ｚ按 逆 时 针 沿 简 单 曲 线 ｒ 动 一 周 时 Ｐ（ ） 幅 角 增 量 ） 注 符 ａｇ 表 运 的
．
］ ．
２ 代 数 基 本 定 理 的证 明
Ｆ面 分 ５个 命 题 来 证 明 ．
命题 １ 设 ｒ是 ｚ平 面上 的连续 封 闭 曲线 ， 它经 过 映射 Ｗ ＝Ｐ（ ） 则 。 在 平 面 的象 也 是 一 条 连续 封 闭
曲 线
证 设ｒ 参 方 为 的 数 程
｛一
￡（， ∈ 卢 ）
其 中 （ Ｙ 与 （ ， 均 为 ｚ． 的实多 项式 ｚ， ） Ｙ） 当
数 方 程 为
ｚ 时 ， （ ） 则 ＝ （ 二 （ ） （ ） （ ） （ ） 即 ｒ的象 是 一 条 有 向 曲线 它 的参 ） （ ， ） ＋ｉ （ ． ）
，
收稿 日期 ： ０ １ ０ １ ２ ０ ９— ７