4-3刚体的定轴转动定律

定轴转动定律
例题2 一半径为R 质量为m匀质圆盘 匀质圆盘， 例题2 一半径为R，质量为 匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。 糙的水平桌面上 。 设盘与桌面间摩擦系数为 µ ， 令 圆盘最初以角速度ω0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 问它经过多少时间才停止转动？ 转，问它经过多少时间才停止转动？
ω
§4-3 力矩 刚体定轴转动定律 1. 力矩
r r r r 点的力矩： F 对O 点的力矩：M = r × F
Z
r M
转 动 平 面
M = rF sin α r F
r M
MZ
α r
r
r r M沿Z 轴分量为 F对Z 轴力矩 MZ
r F
r O r A
力矩
力不在转动平面内
r r r M = r× F r r r = r ×(F1 + F2 ) r r r r = r × F + r × F2 1 r r r × F1 只能引起轴的
F sinϕ + f sinθ = ∆m a = ∆m rα
i i i i i iτ i i
定轴转动定律
用 r 乘以上式左右两端： i 乘以上式左右两端：
i i i i i
Fr sinϕ + f r sinθ = ∆m r α
2 i i i
设刚体由N 个点构成， 设刚体由 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程， 类似方程，将N 个方程左右相加，得： 个方程左右相加，
变形, 对转动无贡献。 变形 对转动无贡献 注 （1）在定轴动问题中 如不加说明， ，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。 对转轴的力矩。
r F 1
转动 平面
r F
r F 2
r r
力矩
（2 ）
MZ = rF si α = F d 2 n 2
d = r sin α是转轴到力作
α ∑ Fr sin ϕ + ∑ f r sin θ = ∑(∆m r )
N N N 2 i=1 i i i i=1 i i i i=1 i i
根据内力性质(每一对内力等值、反向、 根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 对同一轴力矩之代数和为零) 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i= 1
∑ firi sin θi = 0
定轴转动定律
a (m2 − m1 )g − M τ / r α= = r m + m + 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m= 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 =0、Mτ=0时，有
2m1m2 T1 = T2 = g m2 + m1
m2 − m1 a= g m2 + m1
定轴转动定律
例题1 一轻绳跨过一定滑轮， 滑轮视为圆盘， 例题 1 一轻绳跨过一定滑轮 ， 滑轮视为圆盘 ， 绳的两 的物体1 端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所 设滑轮的质量为m 半径为r， 示 。 设滑轮的质量为 ， 半径为 ， 所受的摩擦阻力矩 绳与滑轮之间无相对滑动。 为M 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和 绳的张力。 绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 T1 T2 的作用， 的作用，两边的张力不再 T1’ T2’ 相等，设物体1 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， a m1
τ
a
物体2 物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
a
m
1
m2 G1 m
2
G2
定轴转动定律
物体1向上运动，物体2向下运动， 因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转， 的指向如图所示。 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
T1 − G1 = m1a
r （3） F 对转轴的力矩为零， 1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。 在定轴转动中不予考虑。
r F 1
r F
r F 2
用线的距离，称为力臂 用线的距离，称为力臂。 转动 平面
r r
（4）在转轴方向确定后，力对 在转轴方向确定后， 转轴的力矩方向可用+ 号表示。 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
dθ r dr R e
由于摩擦力不是集中作用于一点， 解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上， 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 在图中，把圆盘分成许多环形质元， 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm,所受到的阻力矩是dM=rdf= µgdm 。 所受到的阻力矩是dM=rdf= 的质量 所受到的阻力矩是dM=rdf=r
定轴转动定律
2. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 ∆m i
O’
ω
r ri
∆mi
O
r 外力 Fi -外力
r fi
r fi -内力
θi ϕ i
r F i
应用牛顿第二定律，可得： 应用牛顿第二定律，可得：
r r r Fi + fi = ∆mai i
采用自然坐标系，上式切向分量式为： 采用自然坐标系，上式切向分量式为：
N
定轴转动定律
得到： 得到：
α ∑ Fr sin ϕ = ∑(∆m r )
N N 2 i力矩， 上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 右端求和符号内的量与转动状态无关， 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 表示。 体转动惯量，以J 表示。于是得到 体转动惯量，
a=
(m2 − m1 )g − M r / r (m2 − m1 )g − M τ / r
J m2 + m1 + 2 r =
1 m2 + m1 + m 2 而 1 m1 2m2 + m g − M τ / r 2 T1 = m1 ( g + a ) = 1 m2 + m1 + m 2 1 m2 2m1 + m g＋M τ / r 2 T2 = m1 ( g－a ) = 1 m2 + m1 + m 2
dω M = Jα = J dt
刚体定轴 转动定律
dω M = Jα = J 讨论： 讨论： dt
（1） M 一定，J ） 一定， 惯性大小的量度； 惯性大小的量度；
定轴转动定律
α
转动惯量是转动
的符号： （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； 的力矩为正；
(3) M = d(Jω) 适用于刚体、非刚体（这里不做证明） 适用于刚体、非刚体（这里不做证明） dt
定轴转动定律
圆盘所受阻力矩就是
M = ∫ r µ gdm = µ g ∫ r σ ds
τ
= ∫ µ gr σ 2 π rdr
R 0
= 2 πσµ g ∫ r dr 2 2 = πσµ gR = πµ gmR ( m = σπ R ) 3 3
R 2 0
3
2
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速， 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度. 获得负的角加速度
G2 − T2 = m2 a T2′r − T1′r − M τ = Jα
是滑轮的角加速度， 是物体的加速度 是物体的加速度。 式中α是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等， 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
a = rα
从以上各式即可解得
定轴转动定律
定轴转动定律
2 1 2 dω − µ mgR = J α = mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动， 设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t − µ g ∫0 dt = R ∫ω 0 d ω 3 2
由此求得
3 R t= ω0 4 µg