2016-2017年天津市蓟县高一(上)期中数学试卷及参考答案
2016年天津市蓟县高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞03．（5分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]4．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．5．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）6．（5分）曲线y=x2+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．9 C．10 D．157．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．10．（5分）若m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是．11．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．12．（5分）已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为．13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．14．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜（1）求tan2α的值；（2）求cosβ16．（13分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R．（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．①求f（x）的最小正周期和单调区间；②用五点法作出其简图；③求f（x）在区间[﹣，]上最大值和最小值．18．（13分）设函数f（x）=x．（1）求f（x）的极值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（1）求cosC；（2）若，且a+b=9，求c．20．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选：D．2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，故选：D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]【解答】解：由得﹣4≤x＜0或0＜x≤1，故选：D．4．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选：B．5．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）e x的，∴f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．6．（5分）曲线y=x2+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．9 C．10 D．15【解答】解：∵y′=2x当x=1得f′（1）=2所以曲线在（1，12）处切线方程为y﹣12=2（x﹣1）即2x﹣y+10=0，令x=0可得y=10故选：C．7．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故选：A．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），即函数的周期是8，则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），f（80）=f（0），f（﹣25）=f（﹣1），∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：10．（5分）若m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是．【解答】解：令m=cosα，n=sinα，x=cosβ，y=sinβ，则mx+ny=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）≤，当cos（α﹣β）=1时，取得最大值．故答案为：．11．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．12．（5分）已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为3．【解答】解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：14．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜（1）求tan2α的值；（2）求cosβ【解答】解：（1）由cosα=，0＜α＜得：sinα=，从而tanα=4…（3分）∴tan2α==﹣…（7分）（2）由0＜β＜α＜得0＜α﹣β＜，∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）=…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=…（15分）16．（13分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R．（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f′（x）=e x﹣e．…2分令f′（x）=0 解得x=1，f′（x）与f（x）的关系如下表：故单调减区间为：（﹣∞，1），单调递增区间为：（1，+∞）…..6分当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0…..8分（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，则有在f′（x）=e x﹣k≥0上[0，2]恒成立，即k≤e x，…．…..10分而e x在[0，2]上的最小值为1，故k≤1…12分17．（13分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．①求f（x）的最小正周期和单调区间；②用五点法作出其简图；③求f（x）在区间[﹣，]上最大值和最小值．【解答】解：①f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T==π．令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ．解得﹣+kπ≤x≤+kπ．令+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ．∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]，减区间是[+kπ，+kπ]，k ∈Z．②列表：+）作出函数图象如图：③∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴当2x+=﹣时，f（x）取得最小值﹣1，当2x+=时，f（x）取得最大值2．18．（13分）设函数f（x）=x．（1）求f（x）的极值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x．可得f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2）令f′（x）=0解得x=1，x=2…..2分…..6分当x=1时，f（x）取得极大值为，当x=2时取得极小值为f（2）=2﹣a…..8分（2）由上表可知当f（2）＞0 或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根．解得a＜2 或a＞．…12分．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（1）求cosC；（2）若，且a+b=9，求c．【解答】解：（1）∵，∴又∵sin2C+cos2C=1解得．∵tanC＞0，∴C是锐角．∴．（2）∵，∴，由（1）知ab=20．又∵a+b=9∴a2+2ab+b2=81．∴a2+b2=41．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=36．∴c=6．20．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．【解答】解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得 a=﹣1，b=3．（2）f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）知f （x ）=x ﹣x 2+3lnx ．令 f′（x ）=0解得 ．当x=时，取得最大值；当x=e 时，取得最小值 f （e ）=e ﹣e 2+3．（3）设g （x ）=f （x ）﹣（2x ﹣2）=2﹣x ﹣x 2+3lnx ，，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0，当x ＞1时，g′（x ）＜0， 则g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减． 即有x=1处取得极大值，且为最大值0 故当x ＞0时，g （x ）≤0， 即f （x ）≤2x ﹣2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a aa M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
2017年天津市蓟州区高一下学期数学期中考试试卷
2017年天津市蓟州区高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 数列a n满足a n+1−a n=−3n≥1，a1=7，则a3的值是 A. −3B. 4C. 1D. 62. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=43，A=30∘，则角B等于A. 30∘B. 30∘或150∘C. 60∘D. 60∘或120∘3. 设a>b，c>d，则下列不等式中一定成立的是 A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c4. 已知等比数列a n的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A. 15B. 17C. 19D. 215. 数列a n的前n项和为S n，若a n=1n n+1，则S5= A. 1B. 130C. 16D. 566. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a+b+c b+c−a=bc，则角A的度数等于 A. 120∘B. 60∘C. 150∘D. 30∘7. 设x，y满足约束条件x+y≤1y≤xy≥−2，则z=3x+y的最大值为 A. 5B. 3C. 7D. 88. 如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是 A. 43B. 4C. 9D. 189. 数列a n的通项为a n=2n−1，n∈N∗，其前n项和为S n，则使S n>48成立的n的最小值为A. 7B. 8C. 9D. 1010. 二次方程x2+a2+1x+a−2=0，有一个根比1大，另一个根比−1小，则a的取值范围是 A. −3<a<1B. −2<a<0C. −1<a<0D. 0<a<2二、填空题（共5小题；共25分）11. +1与−1，两数的等比中项是．12. 已知数列a n的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．13. 函数y=lg12+x−x2的定义域是．14. 数列a n的通项公式a n=n+n+1，则该数列的前项之和等于9．15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60∘，b=1，△ABC的面积为3，则a的值为．三、解答题（共5小题；共65分）16. （1）解不等式−x2+4x+5<0；>1．（2）解不等式2x−13x+1，AB⋅AC=3．17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足cos A=35（1）求△ABC的面积；（2）若c=1，求a的值．18. 已知等差数列a n的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n．（2）设b n=2a n，求数列b n的前n项和S n．19. 已知等比数列a n中，a1=2，a n=2a n−1n≥2，等差数列b n中，b1=2，点P b n,b n+1在一次函数y=x+2的图象上．（1）求数列a n，b n的通项a n和b n；（2）设c n=a n⋅b n，求数列c n前n项和T n．20. 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2．出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大?答案第一部分1. C2. D 【解析】因为a=4，b=43，A=30∘，所以由正弦定理asin A =bsin B得：sin B=b sin Aa=43×124=32，因为B为三角形的内角，b>a，所以B>A，则B=60∘或120∘．3. A4. B5. D6. A7. C8. D 【解析】因为log3m+log3n=4，所以m>0，n>0，mn=34=81，所以m+n≥2mn≥18．9. A 【解析】由a n=2n−1可得数列a n为等差数列，所以a1=1，所以S n=1+2n−12⋅n=n2>48，因为n∈N∗，所以使S n>48成立的n的最小值为n=7．10. C【解析】令f x=x2+a2+1x+a−2，则f1<0且f−1<0，即a2+a<0,a2−a+2>0,所以−1<a<0．第二部分11. ±112. 2n13. x−3<x<414. 99【解析】因为a n=n+n+1，所以a n=n+1−n，所以S n=a1+a2+⋯+a n=2−1+3−2+⋯+ n+1−n= n+1−1.令n+1−1=9，则n=99．15. 13【解析】因为A=60∘，b=1，△ABC的面积为3，所以S△=12bc sin A，即3=12×c×32，解得c=4，则由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos60∘=1+16−2×4×12=13，即a=13．第三部分16. （1）−x2+4x+5<0.即为x2−4x−5>0.即x+1x−5>0.解得x<−1或x>5.故原不等式的解集为−∞,−1∪5,+∞．（2）由2x−1>1.即为2x−1−1>0.即为−x−2>0.即x+23x+1<0.解得−2<x<−1 3 .故原不等式的解集为 −2,−13．17. （1）因为AB⋅AC=3，所以AB AC cos A=3，所以35bc=3，bc=5，又cos A=35，所以sin A=1−cos2A=45，所以S△ABC=12bc sin A=12×5×45=2．（2）由（1）知bc=5，又c=1，所以b=5，所以a2=b2+c2−2bc cos A=25+1−2×5×1×35=20，所以a=2．18. （1）由题意知4a1+6d=10,a1+2d2=a1+d a1+6d⇒a1=−2,d=3或a1=52,d=0,所以a n=3n−5或a n=52．（2）当a n=3n−5时，数列b n是首项为14、公比为8的等比数列，所以S n=141−8n1−8=8n−128，当a n=52时，b n=25，所以S n=n⋅25，综上，所以S n=8n−128或S n=n⋅25．19. （1）等比数列a n中，a1=2，a n=2a n−1n≥2，可得等比数列a n的首项和公比都为2，则a n=2⋅2n−1=2n,n∈N∗，等差数列b n中，b1=2，点P b n,b n+1在一次函数y=x+2的图象上，可得b n+1=b n+2，等差数列b n的首项为2，公差为2，可得b n=2+2n−1=2n,n∈N∗．（2）c n=a n⋅b n=n⋅2n+1，则数列c n前n项和T n=1⋅22+2⋅23+⋯+n⋅2n+1，2T n=1⋅23+2⋅24+⋯+n−1⋅2n+1+n⋅2n+2，相减可得−T n=22+23+⋯+2n+1−n⋅2n+2=41−2n1−2−n⋅2n+2，化简可得T n=n−1⋅2n+2+4．20. 设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则z=80x+120y．由题意得0.1x+0.2y≤90,2x+y≤600, x∈N,y∈N,即x+2y≤900,2x+y≤600,x∈N,y∈N,可行域如图，由图可知：当直线y=−23x+z120经过可行域上的点M时，截距z120最大，即z最大，解方程组x+2y=900,2x+y=600,得x=100,y=400,所以M的坐标为100,400，所以z max=80x+120y=80×100+120×400=56000元.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元．。
【高三】天津市蓟县届高三上学期期中考试数学(理)试题(WORD版)
【高三】天津市蓟县届高三上学期期中考试数学（理）试题（WORD版）试卷说明：天津市蓟县届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合，则A． B． C． D．的夹角为，则“”是“为锐角”的A． B． C． D．，若，则等于A． B． C． D．的图象向左平移个单位长度，所得图像的解析式是A． B． C． D．，则该函数为A． B． C． D．，则A． B． C． D．已知函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,则( )A． B． C． D． 8．如图A是单位圆与在单位圆上，,,四边形的面积为,当取得最大值时的值为( )A.， B. ，1 C. ， D.，二、填空题9．已知函数，那么；若，则的取值范围是。
10．已知圆的极坐标方程为，圆心为，直线的参数方程为：（为参数），且直线过圆心，则为。
11．如图，从圆外一点作圆的割线是圆的直径，若，则。
12．设的内角所对的边长分别为，且，则边长。
13．如果函数没有零点，则的取值范围为。
14．若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围为。
三、解答题15．已知函数的一系列对应值如下表：00100（1）求的解析式；（2）若在中，，求的值。
16．已知函数，其中。
（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极大值和极小值，若函数有三个零点，求的取值范围。
17．在中，角的对边分别为，且。
（1）求的值；（2）若，且，求和的值。
18．已知函数。
（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值。
19．已知函数。
（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值。
20．已知函数，其中。
（1）当时判断的单调性；（2）若在其定义域为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，当时，若，总有成立，求实数的取值范围。
参考答案选择题1. B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C 二、填空题9. -1，（16，+∞） 10.-2, 11．30° 12. 5 13. 14. 三解答题15.（本题满分12分）解：（1）由表格给出的信息知，函数的周期为，所以. 由，，所以所以函数的解析式为（或者）…………5分（2）∵，∴或当时，当时, ……………13分16. 解：（Ⅰ）当时，；所以曲线在点处的切线方程为，即…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）=.令，解得………8分因，则 .当变化时，、的变化情况如下表：x0f’(x)+0-0+f(x) 递增极大值递减极小值递增则极大值为：，极小值为：，若要有三个零点，只需即可，解得，又 .因此故所求的取值范围为………………………………………..…..13分17.（共13分）解：（I）由正弦定理得，则，故，可得，即，可得，…………4分又，因此…………………………………………………………6分（II）解：由，可得，又，故．又，可得，所以，即．所以．…………13分18．解：（Ⅰ） . 所以．由，得．故函数的单调递减区间是（）．…………7分（Ⅱ）因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和，所以．……………..…13分19．解：（Ⅰ）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：00?极大值?极小值? 所以………………6分(Ⅱ) 因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值. ………………14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值当时，在取得最大值.20．解：（Ⅰ）的定义域为,且>0 所以f(x)为增函数. ……………………………………………………3分（Ⅱ），的定义域为…………………………………5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以…………9分（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，．所以在上，……………11分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有所以实数的取值范围是……………………14分OyPBAx天津市蓟县届高三上学期期中考试数学（理）试题（WORD版）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
天津市蓟州区2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(word版含答案)
2016-2017学年天津市蓟州区高一（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．数列{a n}满足a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）+1A．﹣3 B．4 C．1 D．62．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c4．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．215．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=（）A．1 B．C．D．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则角A的度数等于（）A．120°B．60°C．150° D．30°7．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣88．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4 C．9 D．189．数列{a n}的通项为a n=2n﹣1，n∈N*，其前n项和为S n，则使S n＞48成立的n的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．二次方程x2+（a2+1）x+a﹣2=0，有一个根比1大，另一个根比﹣1小，则a 的取值范围是（）A．﹣3＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜2二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．与，两数的等比中项是．12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．13．函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是．14．数列{a n}的通项公式，则该数列的前项之和等于9．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．三、解答题（共5小题，满分45分）16．（Ⅰ）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解不等式＞1．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cosA=，•=3．（1）求△ABC中的面积；（2）若c=1，求a的值．18．已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n（2）设，求数列b n的前n项和S n．19．已知等比数列{a n}中，a1=2，a n=2a n（n≥2），等差数列{b n}中，b1=2，点﹣1P（b n，b n）在一次函数y=x+2的图象上．+1（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}前n项和T n．20．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？2016-2017学年天津市蓟州区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．数列{a n}满足a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）+1A．﹣3 B．4 C．1 D．6【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，【解答】解：∵a n+1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．故选C．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵B为三角形的内角，b＞a，∴B＞A，则B=60°或120°．故选D3．设a ＞b ，c ＞d 则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a +c ＞b +dB ．ac ＞bdC ．a ﹣c ＞b ﹣dD ．a +d ＞b +c【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵b ＜a ，d ＜c ， ∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3选项B ，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立 选项C ，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立 选项D ，﹣2+2＞﹣1+3，不成立 故选：A ．4．已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【考点】8G ：等比数列的性质．【分析】由已知q=2，a 1+a 2+a 3+a 4=1可得a 5+a 6+a 7+a 8=（a 1+a 2+a 3+a 4）q 4，从而可求等比数列的前8项和【解答】解：由题意可得，q=2，a 1+a 2+a 3+a 4=1由等比数列的通项公式可得，a 5+a 6+a 7+a 8=（a 1+a 2+a 3+a 4）q 4=16 所以，S 8=1+16=17 故选：B5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若，则S 5=（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】由=，利用裂项求和法能求出S 5．【解答】解：∵=，∴S 5=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5==1﹣=．故选D．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则角A的度数等于（）A．120°B．60°C．150° D．30°【考点】HR：余弦定理．【分析】由条件可得b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理可得cosA==﹣，以及0°＜A＜180°，可得A的值．【解答】解：∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=﹣bc．∴由余弦定理可得：cosA==﹣，又∵0°＜A＜180°，∴可得A=120°，故选：A．7．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．8．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4 C．9 D．18【考点】7F：基本不等式；4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值．【解答】解：∵log3m+log3n=4∴m＞0，n＞0，mn=34=81∴m+n答案为18故选D．9．数列{a n}的通项为a n=2n﹣1，n∈N*，其前n项和为S n，则使S n＞48成立的n的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由a n=2n﹣1可得数列{a n}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出S n，结合不等式可求n的值．【解答】解：由a n=2n﹣1可得数列{a n}为等差数列∴a1=1∴=n2＞48∴使S n＞48成立的n的最小值为n=7故选A．10．二次方程x2+（a2+1）x+a﹣2=0，有一个根比1大，另一个根比﹣1小，则a 的取值范围是（）A．﹣3＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜2【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意令f（x）=x2+（a2+1）x+a﹣2，然后根据条件f（1）＜0且f（﹣1）＜0，从而解出a值．【解答】解：令f（x）=x2+（a2+1）x+a﹣2，则f（1）＜0且f（﹣1）＜0即，∴﹣1＜a＜0．故选C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．与，两数的等比中项是±1．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．【解答】解：设A为与两数的等比中项则A2=（）•（）=1故A=±1故答案为：±112．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【考点】85：等差数列的前n项和；8H：数列递推式．【分析】由题意知得，由此可知数列{a n}的通项公式a n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]a n=S n﹣S n﹣1=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．13．函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是{x|﹣3＜x＜4} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函数的定义域为{x|﹣3＜x＜4}．故答案为：{x|﹣3＜x＜4}．14．数列{a n}的通项公式，则该数列的前99项之和等于9．【考点】8E：数列的求和．【分析】将数列通项化简，利用叠加法，即可求得结论．【解答】解：∵，∴∴S n=a1+a2+…+a n=+…+=令，则n=99故答案为：9915．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面积为，∴S△=，即，解得c=4，则由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×=13，即a=，故答案为：三、解答题（共5小题，满分45分）16．（Ⅰ）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解不等式＞1．【考点】7E：其他不等式的解法；74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先因式分解即可求出答案，（Ⅱ）把原不等式化为（x+2）（3x+1）＜0，解的即可【解答】解：（Ⅰ）﹣x2+4x+5＜0，即为x2﹣4x﹣5＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣1或x＞5，故原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），（Ⅱ）由＞1，即为﹣1＞0，即为＞0，即（x+2）（3x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣．故原不等式的解集为（﹣2，﹣）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cosA=，•=3．（1）求△ABC中的面积；（2）若c=1，求a的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；HP：正弦定理．【分析】（1）利用数量积的定义可得bc=5，再利用三角形的面积计算公式即可得出；（2）利用（1）和余弦定理即可得出．【解答】解：（1）∵•=3，∴=3，∴，bc=5又cosA=，∴，∴．（2）由（1）知bc=5，又c=1，∴b=5．∴，∴．18．已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n（2）设，求数列b n的前n项和S n．【考点】8G：等比数列的性质；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a2，a3，a7等比数列关系组成方程组求得a1和d，最后根据等差数列的通项公式求得a n．（2）把（1）中求得的a n代入中，可知数列{b n}为等比数列，进而根据等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：（1）由题意知所以（2）当a n=3n﹣5时，数列{b n}是首项为、公比为8的等比数列所以当时，所以S n=n•综上，所以或S n=n•19．已知等比数列{a n}中，a1=2，a n=2a n（n≥2），等差数列{b n}中，b1=2，点﹣1P（b n，b n）在一次函数y=x+2的图象上．+1（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可得等比数列{a n}的首项和公比都为2，等差数列{b n}的首项和公差都为2，运用等差数列和等比数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得c n=a n•b n=n•2n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1（n≥2），可得等比数列{a n}的首项和公比都为2，则a n=2•2n﹣1=2n，n∈N*，等差数列{b n}中，b1=2，点P（b n，b n+1）在一次函数y=x+2的图象上，=b n+2，可得b n+1等差数列{b n}的首项为2，公差为2，可得b n=2+2（n﹣1）=2n，n∈N*；（Ⅱ）c n=a n•b n=n•2n+1，则数列{c n}前n项和T n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2T n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，相减可得﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2，化简可得T n=（n﹣1）•2n+2+4．20．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【考点】7D：简单线性规划的应用；5D：函数模型的选择与应用．【分析】本题一线性规划的问题，据题意建立起约束条件与目标函数，作出可行域，利用图形求解．【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z=80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t，此直线经过点A时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max=80×100+400×120=56000元．2017年5月30日。
2016-2017年天津市蓟县高一上学期数学期中试卷带答案
2016-2017学年天津市蓟县高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}为全集，A={1，2，3}，B={2，5}，则（∁B）∩A=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（4分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．183．（4分）函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）4．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]5．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，B．f（x）=2x，C．f（x）=x，D．f（x）=x，6．（4分）化简的值得（）A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣107．（4分）值域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．8．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．39．（4分）设a=0.7，b=0.8，c=log 30.7，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c10．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4二．填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共20分11．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜3}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}，则A∩B=．12．（5分）函数的奇偶性为．13．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=．14．（5分）已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是．15．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是．三.解答题：本大题共5道小题，每小题12分，共60分16．（12分）已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}求：（I）A∩B；（II）（C U A）∩（C U B）；（III）C U（A∪B）．17．（12分）已知函数，x∈[3，5]．（1）利用定义证明函数f（x）单调递增；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知函数．（1）求f（f（5））的值；（2）画出函数的图象．19．（12分）设函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），且（1）求a值；（2）设，求不等式g（x）＜2的解集．20．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且，．（Ⅰ）求实数a，b的值并判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．22．（13分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当a为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在（1，3）内．2016-2017学年天津市蓟县高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}为全集，A={1，2，3}，B={2，5}，则（∁B）∩A=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴∁U B={1，3，4}，又A={1，2，3}，∴（∁U B）∩A={1，3}，故选：D．2．（4分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．18【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则f（2）=22+2﹣2=4，∴，当x≤1时，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故选：A．3．（4分）函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，当x∈（﹣∞，0），或x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0均恒成立，故函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故选：C．4．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【解答】解：由题意得：解得：﹣1＜x≤2且x≠0，故选：A．5．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，B．f（x）=2x，C．f（x）=x，D．f（x）=x，【解答】解：函数f（x）=|x|的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；函数f（x）=2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=x，两函数为同一函数；f（x）=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数．故选：C．6．（4分）化简的值得（）A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：原式=+=9﹣1=8．故选：A．7．（4分）值域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：A：函数定义域为{x|x≠2}，令t=∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则y=5t∈（0，1）∪（1，+∞），不符合题意；B：函数定义域为R，令t=1﹣x∈R，则y=∈（0，+∞），满足题意；C：函数定义域为（﹣∞，0]，令t=1﹣2x∈[0，1），则y=∈[0，1），不满足题意；D：函数定义域为（﹣∞，0]，令t=﹣1∈[0，+∞），则y=∈[0，+∞），不满足题意；故选：B．8．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：由f（x）为奇函数及已知表达式可，得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[2×（﹣1）2﹣（﹣1）]=﹣3，故选：B．9．（4分）设a=0.7，b=0.8，c=log30.7，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：因为y=是增函数，所以所以c＜a＜b故选：B．10．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选：D．二．填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共20分11．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜3}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜5} ．【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜3}={x|x＜5}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜5}．故答案为：{x|﹣1＜x＜5}．12．（5分）函数的奇偶性为奇函数．【解答】解：函数的定义域为R，且满足f（﹣x）==﹣f（x），故该函数为奇函数，故答案为：奇函数．13．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=（x+1）2．【解答】解：由f（x﹣1）=x2，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2∴f（x）=（x+1）2故答案为：（x+1）2．14．（5分）已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，要使f（x﹣2）＞0，则有x﹣2＞2，即x＞4，成立的x的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．15．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3] ．【解答】解：函数f（x）的对称轴为x=1﹣a；∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．三.解答题：本大题共5道小题，每小题12分，共60分16．（12分）已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}求：（I）A∩B；（II）（C U A）∩（C U B）；（III）C U（A∪B）．【解答】解：如图：（I）A∩B={x|1＜x≤2}；（II）C U A={x|x≤0或x＞2}，C U B={x|﹣3≤x≤1}（C U A）∩（C U B）={x|﹣3≤x≤0}；（III）A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，C U（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}．17．（12分）已知函数，x∈[3，5]．（1）利用定义证明函数f（x）单调递增；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）证明：令3≤x1＜x2≤5，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣3（﹣）=﹣3•，∵3≤x1＜x2≤5，∴x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[3，5]递增；（2）由f（x）在[3，5]递增，可得f（3）取得最小值1﹣=；f（5）取得最大值1﹣=．18．（12分）已知函数．（1）求f（f（5））的值；（2）画出函数的图象．【解答】解：（1）函数．f（f（5））=f（﹣5+2）=f（﹣3）=﹣3+4=1．（2）函数．的图象如图：19．（12分）设函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），且（1）求a值；（2）设，求不等式g（x）＜2的解集．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），∴，即，则a=2；（2）由（1）得，f（x）=2•e x﹣1，则=，①当x＜2时，不等式g（x）＜2为2•e x﹣1＜2，即e x﹣1＜1=e0，解得x＜1，②当x＜2时，不等式g（x）＜2为＜2，即＜，则0＜x﹣1＜9，解得1＜x＜10，综上可得，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1，10）．20．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②联立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=（﹣1＜x＜1），g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）=（﹣1＜x＜1）；（2）设t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，所以函数y=log2t的值域是（﹣∞，0]，故g（x）的值域是（﹣∞，0]．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且，．（Ⅰ）求实数a，b的值并判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x+2ax+b，且，．∴2+2a+b=，22+22a+b=，即a+b=﹣1，2a+b=﹣2，解得：a=﹣1，b=0，故f（x）=2x+2﹣x，∴f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）为增函数，理由如下：∵f′（x）=ln2•2x+ln•2﹣x，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．22．（13分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当a为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在（1，3）内．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当△=4a2﹣4（a+2）＞0，且x1+x2=2a＞0、x1•x2=a+2＞0时，即当a＞2时，该方程有两个不同的正根．（2）令f（x）=x2﹣2ax+a+2，则当时，即2＜a＜时，方程x2﹣2ax+a+2=0有不同的两根且两根在（1，3）内．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
蓟县数学期中高一数学
2016---2017学年度第一学期高中期中检测试卷高一数学1.设集合}5,4,3,2,1{=U 为全集,}3,2,1{=A ,}5,2{=B ,则A B C U ）（=( ) A .}2{ B .}3,2{ C .}3{ D .}3,1{2.设函数⎩⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f 的值为( ) A .1615B .1627-C .98D .183.函数xx f 2)(=的单调递减区间为( )A .),+∞∞-（B .),0()0,(+∞-∞C .),0()0,(+∞-∞，D .),0(+∞ 4．函数x x x f -++=2)1lg(1)(的定义域为（ ）A .(1,0)(0,2]-B .[2,0)(0,2]-C .[2,2]-D .(1,2]-5.下面四组函数中，()x f 与()x g 表示同一个函数的是（ ）A .()x x f = ，()()2x x g =B . ()x x f 2= ，()xx x g 22= C . ()x x f = ，()33x x g = D . ()x x f = ，()21xx g =6.化简10log 5log ])271[(22312-+--的值得( ) A .8 B .10 C .8- D .10-7. 值域为),0(+∞ 的函数是 （ ）A .125xy -=B .113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C .y =D .1)21(-=x y 8. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≤x 时x x x f -=22)(,则)1(f =( )A .1-B .3-C .1D .39.设217.0-=a ,218.0=b ,7.0log 3=c ,则( )A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .b c a <<10.设1>a ，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则 a =( )A B . 4C .D . 2二．填空题选择题：本大题共5道小题，每小题4分，共20分11.已知集合}32|{<-=x x A ，}2332|{-<-=x x x B ，则=B A .12.函数2)(x x e e x f --=的奇偶性为 .13.已知2)1(x x f =-,则)(x f 的解析式为 .14.已知)(x f 在R 上是增函数,且0)2(=f ,则使0)2(>-x f 成立的x 的取值范围是 .15. 若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,∞-（内递减，那么实数a 的取值范围为 .三.解答题：本大题共5道小题，每小题12分，共60分16.已知全集R U =,集合}20|{≤<=x x A ,}1,3|{>-<=x x x B 或. (1)B A ;(2))()(B C A C U U ; (3))(B A C U .17. 已知函数231)(+-=x x f ,]5,3[∈x . (1)利用定义证明函数)(x f 单调递增; (2)求函数)(x f 的最大值和最小值.18. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+=4,240,20,42x x x x x x x y .(1)求）)5((f f 的值; (2)画出函数的图像.19. 设函数1)(-⋅=x ea x f (a 为常数)，且22)1(ef =- （1）求a 值；（2）设⎩⎨⎧≥-<=2)1(log 2)()(3x x x x f x g ，求不等式2)(<x g 的解集.20.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()f x +2()2log (1)g x x =-.（Ⅰ）求()f x 及()g x 的解析式; （Ⅱ）求)(x g 的值域.21（本小题满分15分）已知函数()22xax bf x +=+，且5(1)2f =，17(2)4f =. （Ⅰ）求实数a b ,的值并判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断函数()f x 在[0,+)∞上的单调性，并利用函数单调性定义证明你的结论.22 (本小题15分)已知关于x 的一元二次方程0222=++-a ax x ,当a 为何值时,该方程: (1)有两个不同的正根;(2)有不同的两根且两根在)3,1(内.。
天津市蓟州中学2016-2017学年 高一下学期3月月考数学试卷Word版含解析
天津市蓟州中学2016-2017学年 高一下学期3月月考数学试卷一、选择题：（每小题5分，共35分）1．已知三角形的三边长分别为a 、b 、，则三角形的最大内角是（ ）A ．135°B ．120°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若，sinC=，则A 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．等差数列{a n }中，a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12=（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．644．设等比数列{a n }中，前n 项之和为S n ，已知S 3=8，S 6=7，则a 7+a 8+a 9=（ ）A ．B ．C ．D ．5．设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．已知函数f （n ）=n 2cos （n π），且a n =f （n ），则a 1+a 2+a 3+…+a 100=（ ） A ．0B ．100C ．5050D ．102007．在数列{a n }中，前n 项和为S n ，，则当S n 最小时，n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：（每空5分，共35分）8．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90，则的值为 ．9．在△ABC 中，若b 2=ac ，则cos （A ﹣C ）+cosB+cos2B ﹣2的值是 ．10．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，公比q=2，S 99=154，则a 3+a 6+a 9+…+a 99= ．11．在△ABC 中，已知∠A=45°，∠B=75°，点D 在AB 上，且CD=10．若CD ⊥AB ，则AB= ．12．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n 都有=，则的值为 ．13．设{a n }是首项为3的正项数列，且（n+1）a n+12﹣na n 2+a n+1•a n =0（n=1，2，3，…），则它的通项公式a n = ．14．已知数列{a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①若{a n }是等差数列，则三点、、共线；②若{a n }是等差数列，且a 1=﹣11，a 3+a 7=﹣6，则S 1、S 2、…、S n 这n 个数中必然存在一个最大者；③若{a n }是等比数列，则S m 、S 2m ﹣S m 、S 3m ﹣S 2m （m ∈N *）也是等比数列； ④若S n+1=a 1+qS n （其中常数a 1q ≠0），则{a n }是等比数列；⑤若等比数列{a n }的公比是q （q 是常数），且a 1=1，则数列{a n 2}的前n 项和s n =．其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共4题，共65分）15．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．16．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a （a ∈R ），且成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）对n ∈N *，试比较与的大小．17．设数列{a n }的前n 项和S n 满足（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC 的最大值．19．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5．数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a n =2﹣（n ≥2，n ∈N *）．设b n =（n ∈N *），求证：数列{b n }是等差数列．21．已知数列{a n }中，a 1=1，且满足，求数列{a n }的通项公式．第Ⅱ卷提高题（共15分）22．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足，n ∈N *．数列{b n }满足，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求数列{a n }的通项公式a n 和数列{b n }的前n 项和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．天津市蓟州中学2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共35分）1．已知三角形的三边长分别为a、b、，则三角形的最大内角是（）A．135°B．120°C．60°D．90°【考点】HR：余弦定理．【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是所对的角，设为θ，由余弦定理求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、中，为最大边，则三角形的最大内角是所对的角，设为θ．由余弦定理可得 cosθ==﹣，∴θ=120°，故选B．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，sinC=，则A等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．【解答】解：∵由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，∴可得a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故选：D．3．等差数列{a n }中，a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12=（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】由a 7+a 9=16可得 2a 1+14d=16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，或根据等差中项的定义，a p +a q =a m +a n ，从而求得a 12的值．【解答】解：方法一：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得 2a 1+14d=16，即 a 1+7d=8．再由a 4=1=a 1+3d ，可得 a 1=﹣，d=．故 a 12 =a 1+11d=﹣+=15，方法二：∵数列{a n }是等差数列， ∴a p +a q =a m +a n ， 即p+q=m+n ∵a 7+a 9=a 4+a 12 ∴a 12=15 故选：A ．4．设等比数列{a n }中，前n 项之和为S n ，已知S 3=8，S 6=7，则a 7+a 8+a 9=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】由S 6减S 3得到a 4+a 5+a 6的值，然后利用等差比数列的性质找出a 4+a 5+a 6的和与a 1+a 2+a 3的和即与S 3的关系，由S 3的值即可求出公比q 的值，然后再利用等比数列的性质求出a 7+a 8+a 9的值．【解答】解：a 4+a 5+a 6=S 6﹣S 3=7﹣8=﹣1， a 4+a 5+a 6=a 1q 3+a 2q 3+a 3q 3=（a 1+a 2+a 3）q 3，所以q 3=，则a 7+a 8+a 9=a 4q 3+a 5q 3+a 6q 3=． 故选B ．5．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【考点】8N：数列与三角函数的综合；GZ：三角形的形状判断．【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选D．6．已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an =f（n），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．100 C．5050 D．10200【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．【解答】解：∵f （n ）=n 2cos （n π）==（﹣1）n •n 2，且a n =f （n ）， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 100=22﹣12+42﹣32+62﹣52+…+1002﹣992 =1+2+3+4+5+6+…+99+100==5050． 故选C ．7．在数列{a n }中，前n 项和为S n ，，则当S n 最小时，n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】8E ：数列的求和．【分析】由数列前n 项和的性质可知：3当n ﹣19≤0，即n ≤6，则a n ≤0，因此当n=6时，S n 最小．【解答】解：令a n ≤0，即3n ﹣19≤0，则n ≤6， 故当1≤n ≤6时，a n ＜0； 当n ≥7时，a n ＞0， 故当n=6时，S n 最小． 故选B ．二、填空题：（每空5分，共35分）8．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90，则的值为 12 ．【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】等差数列{a n }中，a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90，可得5a 8=90，解得a 8．可得=．【解答】解：等差数列{a n }中，∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90， ∴5a 8=90，解得a 8=18．则=（3a 1+27d ﹣a 1﹣13d ）==12．故答案为：12．9．在△ABC 中，若b 2=ac ，则cos （A ﹣C ）+cosB+cos2B ﹣2的值是 ﹣1 ． 【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】利用正弦定理化边的关系为角的关系，再由两角和与差的余弦及倍角公式化简求值．【解答】解：由b 2=ac ，得sin 2B=sinAsinC ， ∴cos （A ﹣C ）+cosB+cos2B ﹣2=cosAcosC+sinAsinC+cosB+1﹣2sin 2B ﹣2 =cosAcosC+sinAsinC+cosB ﹣1﹣2sinAsinC =cosAcosC ﹣sinAsinC+cosB ﹣1 =cos （A+C ）+cosB ﹣1 =﹣1．故答案为：﹣1．10．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，公比q=2，S 99=154，则a 3+a 6+a 9+…+a 99= 88 ． 【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】公比q=2，S 99=154，可得=154，可得=154．又a 3+a 6+a 9+…+a 99==，代入即可得出．【解答】解：∵公比q=2，S 99=154，∴ =154，可得=154．则a 3+a 6+a 9+…+a 99====88，故答案为：88．11．在△ABC 中，已知∠A=45°，∠B=75°，点D 在AB 上，且CD=10．若CD ⊥AB ，则AB=．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质即可得答案． 【解答】解：∠A=45°，∠B=75°，点D 在AB 上，且CD=10．CD ⊥AB ， 可得：CD=AD=10，∠BCD=15°．cos15°=sin75°=，sin15°=，∴tan15°=2．BD=10tan ∠BCD=20﹣10．AB=AD+DB=．故答案为：．12．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n 都有=，则的值为 ．【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=+======故答案为：13．设{an }是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12﹣nan2+an+1•an=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式an= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】{an }是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12﹣nan2+an+1•an=0（n=1，2，3，…），可得[（n+1）a n+1﹣nan]（an+1+an）=0，an＞0，因此（n+1）an+1﹣nan=0，即可得出．【解答】解：∵{an }是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12﹣nan2+an+1•an=0（n=1，2，3，…），∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，an+1+an＞0，∴（n+1）an+1﹣nan=0，∴（n+1）an+1=nan=…=1×a1=3，解得an=．故答案为：．14．已知数列{an }（n∈N*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题：①若{an}是等差数列，则三点、、共线；②若{an }是等差数列，且a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者；③若{an }是等比数列，则Sm、S2m﹣Sm、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），则{an}是等比数列；⑤若等比数列{an }的公比是q（q是常数），且a1=1，则数列{an2}的前n项和sn=．其中正确命题的序号是①④．（将你认为正确命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】写出等差数列的前n项和后变形得到，由此得到命题①正确；由题意求出等差数列的公差小于0说明S1、S2、…、Sn这n个数中必有一个最小值得到②错；举特例说明③错；由数列递推式可得{an}是等比数列；举特殊数列说明⑤错．【解答】解：对于①，由等差数列前n项和公式，知，即数列为等差数列，则已知三点都在一次函数得图象上，故①对；对于②，由a3+a7=﹣6得2a1+8d=﹣6，又a1=﹣11＜0，∴d=2＞0，故S1、S2、…、Sn这n个数中必有一个最小值，故②错；对于③，，，，当a1+a2+…+am≠0时是等比数列，当a1+a2+…+am=0时，命题不成立．故③错；对于④由Sn+1=a1+qSn得Sn=a1+qSn﹣1，两式相减得an+1=qan，故④对；对于⑤，若等比数列{an }的是常数数列，又a1=1，则数列是公比为1，首项为a1=1的等比数列，则1﹣q2=0，故⑤错．故答案为：①④．三、解答题（本大题共4题，共65分）15．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A ﹣3cos （B+C ）=1，得2cos 2A+3cosA ﹣2=0，即（2cosA ﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A ＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．16．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a （a ∈R ），且成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）对n ∈N *，试比较与的大小．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8M ：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知，可得d=a 1=a ．即通项公式a n =na ．（2）记T n =T n =（++…+）=•= [1﹣（）n ]．，当a ＞0时，T n ＜；当a ＜0时，T n ＞．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知，即（a 1+d ）2=a 1（a 1+3d ），从而a 1d=d 2， 因为d ≠0，所以d=a 1=a ．故通项公式a n =na ．（2）记T n =因为a 2n =2n a ，所以T n =（++…+）=•= [1﹣（）n ]．从而，当a ＞0时，T n ＜；当a ＜0时，T n ＞．17．设数列{a n }的前n 项和S n 满足（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出S n =3n 2﹣2n ，由此利用能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由a n =6n ﹣5，推导出=（），由此利用裂项求出和法求出T n =（1﹣），再由＞0，能求出使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和S n 满足，∴S n =3n 2﹣2n ， ∴a 1=S 1=3﹣2=1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（3n 2﹣2n ）﹣[3（n ﹣1）2﹣2（n ﹣1）] =6n ﹣5，当n=1时，6n ﹣5=1=a 1， ∴a n =6n ﹣5． （Ⅱ）∵a n =6n ﹣5，∴==（），∴T n =（1﹣++…+﹣）=（1﹣），∵n ∈N *，∴＞0，∴T n =（1﹣）＜，又∵T n ＜对所有n ∈N *都成立，∴≥，解得m ≥10．∴使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 为10．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC 的最大值． 【考点】HS ：余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA ，sinB ，sinC 代入2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC 求出a 2=b 2+c 2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA 的值，进而求出A 的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A 的值，可知c=60°﹣B ，化简得sin （60°+B ）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ∵2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC 方程两边同乘以2R∴2a 2=（2b+c ）b+（2c+b ）c 整理得a 2=b 2+c 2+bc∵由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC =sinB+sin （60°﹣B ）=cosB+sinB=sin （60°+B ）故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1．19．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5．数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列． 【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】设成等差数列的三个正数分别为a ﹣d ，a ，a+d ，则a ﹣d+a+a+d=15，解得a=5．根据这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5．可得（5+5）2=（5﹣d+2）（5+d+13），解得：d=2．可得b 1与公比q ．l 利用求和公式可得S n ，即可证明．【解答】证明：设成等差数列的三个正数分别为a ﹣d ，a ，a+d ，则a ﹣d+a+a+d=15，解得a=5．∵这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5． ∴（5+5）2=（5﹣d+2）（5+d+13），解得：d=﹣13（舍去），或2．∴d=2时，b 3=5，b 4=10，b 5=20．可得公比q==2．=5，解得b 1=．∴S n ==5×2n ﹣2﹣，∴S n +=5×2n ﹣2，∴数列{S n +}是等比数列，公比为2，首项为．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a n =2﹣（n ≥2，n ∈N *）．设b n =（n ∈N *），求证：数列{b n }是等差数列．【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用已知递推关系，作差b n+1﹣b n ，证明为常数即可．【解答】证明：∵a 1=2，a n =2﹣（n ≥2，n ∈N *），b n =（n ∈N *），∴b n+1﹣b n =﹣=﹣=﹣=1，b 1==1，∴数列{b n }是等差数列，首项为1，公差为1．21．已知数列{a n }中，a 1=1，且满足，求数列{a n }的通项公式．【考点】8H ：数列递推式．【分析】根据数列递推式，变形可得数列{a n +1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，由此可得结论．【解答】解：由题意a n+1=3a n +2可以得到a n+1+1=3a n +2+1=3（a n +1） 所以=3，所以数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列．则有a n +1=2×3n ﹣1，a n =2×3n ﹣1﹣1． 所以数列{a n }的通项公式a n =2×3n ﹣1﹣1．第Ⅱ卷提高题（共15分）22．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足，n ∈N *．数列{b n }满足，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求数列{a n }的通项公式a n 和数列{b n }的前n 项和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8D ：等比关系的确定；8E ：数列的求和；8M ：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由，n ∈N *．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n }的通项公式，由，n ∈N *，可由裂项相消法得到数列{b n }的前n 项和T n ；（2）由（1）中T n 的表达式，然后分n 为奇数和n 为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．（3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．【解答】解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即解得a 1=1，d=2， ∴a n =2n ﹣1．∵==（﹣），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=．（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n﹣﹣15恒成立．∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6． ∴此时λ需满足λ＜﹣21．综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （）， 即=．由=，可得=＞0， 即﹣2m 2+4m+1＞0，∴1﹣＜m ＜1+．又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．。
2016-2017学年天津市蓟县高三(上)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1. 已知全集，集合，，则集合A. B.C. D.2. 不等式的解集是（）A.B.C.D.3. 设，则使函数的定义域是，且为奇函数的所有的值是（）A.，B.，C.，D.，，4. 已知，，则等于（）A. B. C. D.5. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程是（）A. B.C. D.6. 设，，，且，则（）A. B. C. D.7. 函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.8. 在中，，，则等于（）A. B. C. D.二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分1. 函数的值域为________．2. 函数的单调递增区间是________．3. 已知函数，的部分图象如图，则________．4. 已知，，，则的最小值是________．5. 已知集合，为整数集，则集合的子集个数为________．6. 如图，切圆于点，交圆于、两点，且与直径交于点，，，，则________．三.解答题：本大题共6道小题，共80分1. 在中，，，（1）求，，的值（2）设，求的面积．2. 已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值；（2）函数的单调区间及极值．3. 设的内角，，所对边分别为，，，且，，．（1）求，的值；（2）求的值．4. 设的导数满足，，其中常数，．（1）求曲线；（2）设，求函数的极值．5. 设函数，其中．（1）当时，求曲线在点（）处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值．6. 已知函数在处取得极值，其中，，为常数．（1）试确定，的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．7. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．8. 设函数，（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集．参考答案与试题解析2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据交集的含义求、再根据补集的含义求解．【解答】解：，；所以，故选2.【答案】D【考点】其他不等式的解法【解析】将“不等式”转化为“不等式组”，有一元二次不等式的解法求解．【解答】解：依题意，不等式化为，解得，故选3.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】分别验证，，，知当或时，函数的定义域是且为奇函数．【解答】解：当时，的定义域是，且为奇函数；当时，函数的定义域是且为奇函数；当时，函数的定义域是且为非奇非偶函数．当时，函数的定义域是且为奇函数．故选．4. 【答案】A【考点】两角和与差的正切公式同角三角函数基本关系的运用【解析】先根据的值求出，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，∴，故选．5.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求的方程，根据已知条件中：“切线与直线垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．【解答】解：设与直线垂直的直线为：，即曲线在某一点处的导数为，而，∴在处导数为，将代入，得，故的方程为．故选．6.【答案】D【考点】不等式的概念【解析】对于、、可举出反例，对于利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：、，但是，故不正确；、，但是，故不正确；、，但是，故不正确；、∵，∴，成立，故正确．故选：．7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】将选项中各区间两端点值代入，满足（，为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为，，所以零点在区间上，故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算向量的加法及其几何意义【解析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵，∴，∴故选．二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分1.【答案】【考点】函数的值域【解析】由题意可知为分段函数，分别求出和时的函数值域求并即可；【解答】解：由题意知，当时，；当时，；综上所述，；故答案为：．2.【答案】，【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由可求得，利用可求其递增区间．【解答】解：∵，∴，∴由得：或；∴的单调递增区间为，．故答案为：，．3.【答案】【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出，确定的值，根据求出的值，图象经过确定的值，求出函数的解析式，然后求出即可．【解答】解：由题意可知，所以，函数的解析式为：，因为函数过所以所以，图象经过，所以，，所以，所以则故答案为：4.【答案】【考点】基本不等式【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：∵，∴∴（当且仅当时等号成立）则的最小值是故答案为：．5.【答案】【考点】集合的表示法【解析】化简，从而确定子集的个数．【解答】解：∵集合，为整数集，∴，∴集合的子集个数为：．故答案是：．6.【答案】【考点】与圆有关的比例线段【解析】首先根据题中圆的相交弦定理得，再依据直角三角形的勾股定理用表示出，最后结合切割线定理求得一个关于线段的方程式，解此方程即可．【解答】解：如图，由相交弦定理可知，．在直角三角形中，设由切割线定理可知．故填：．三.解答题：本大题共6道小题，共80分1.【答案】解：，，．（2）由正弦定理知，∴，∴．【考点】正弦定理正弦定理的应用【解析】（1）根据，的值可分别求得，的值，继而根据利用两角和公式求得的值．（2）先根据正弦定理求得的值，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：，，．（2）由正弦定理知，∴，∴．2.【答案】解：（1）函数，，计算得出：，．（2）当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；当，，则在单调递增；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值．综上，在，上单调递增，上单调递减，极大值为，极小值为．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）首先对求导，与求出与值；（2）直接利用导函数判断原函数的单调性即可；【解答】解：（1）函数，，计算得出：，．（2）当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；当，，则在单调递增；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值．综上，在，上单调递增，上单调递减，极大值为，极小值为．3.【答案】解：（1）∵①，，，∴由余弦定理得：，整理得：②，联立①②解得：；（2）∵，为三角形的内角，∴，∵，，，∴由正弦定理得：，∵，即，∴为锐角，∴，则．【考点】余弦定理同角三角函数间的基本关系两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，将与的值代入，利用完全平方公式变形，求出的值，与的值联立即可求出与的值即可；（2）先由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，再由，及的值，利用正弦定理求出的值，进而求出的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵①，，，∴由余弦定理得：，整理得：②，联立①②解得：；（2）∵，为三角形的内角，∴，∵，，，∴由正弦定理得：，∵，即，∴为锐角，∴，则．4.【答案】解：（1）由题意得，，∵，，∴，解得，，则；（2）由①得，，∴，∴，由得或，∴当时，；当或时，∴在上递增，在和上递减，即当时，取到极小值，当时，取到极大值．【考点】导数的运算法则【解析】（1）根据求导公式和法则求出，由条件列出方程组求出、的值，代入后求出；（2）由①求出并化简，根据求导公式和法则求出，求出的根后，由导数与函数单调性的关系求出的单调区间，由极值的定义求出函数的极值．【解答】解：（1）由题意得，，∵，，∴，解得，，则；（2）由①得，，∴，∴，由得或，∴当时，；当或时，∴在上递增，在和上递减，即当时，取到极小值，当时，取到极大值．5.【答案】解：（1）当时，∴，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，即（2）：对函数求导数，得，令，得，，或当，，当时，，当时，，当时，，∴函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值．当，，当时，，当时，，当时，．∴函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出曲线在点（）处的切线方程，（2）先求函数的导数，令导数等于，得到函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，如果左侧导数为正，右侧导数为负，取得极大值，如果左侧导数为负，右侧导数为正，取得极小值．【解答】解：（1）当时，∴，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，即（2）：对函数求导数，得，令，得，，或当，，当时，，当时，，当时，，∴函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值．当，，当时，，当时，，当时，．∴函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值．6.【答案】解：（1）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由知，令，解得当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（3）由知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为【考点】利用导数研究函数的极值函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）因为时函数取得极值得求出，然后令导函数求出即可；（2）解出导函数为时的值讨论的取值范围时导函数的正负决定的单调区间；（3）不等式恒成立即的极小值，求出的解集即可．【解答】解：（1）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由知，令，解得当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（3）由知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为7.【答案】解：（1）当时，令，解得或，令，解得所以的单调递增区间为，，的单调递减区间为（2）因为函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，即，则其图象与轴只有一个交点，，令，所以，，可列表：∴在处取得极小值，在取得极大值要使的其图象和轴只有一个交点，只需或，解得或【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）先求原函数的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，即可；（2）将题中条件：“函数的图象与直线只有一个公共点，”等价于“的其图象和轴只有一个交点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使的其图象和轴只有一个交点，得到关于的不等关系，从而求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，令，解得或，令，解得所以的单调递增区间为，，的单调递减区间为（2）因为函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，即，则其图象与轴只有一个交点，，令，所以，，可列表：∴在处取得极小值，在取得极大值要使的其图象和轴只有一个交点，只需或，解得或8.【答案】解：（1）∵∴由，得，因为当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间是：单调减区间是（2）由，得：，故：当时，解集是：；当时，解集是：；当时，解集是：．【考点】函数的单调性及单调区间简单复合函数的导数不等式【解析】（1）对函数进行求导，当导数大于时是单调递增区间，当导数小于时是原函数的单调递减区间．（2）将代入不等式即可求解．【解答】解：（1）∵∴由，得，因为当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间是：单调减区间是（2）由，得：，故：当时，解集是：；当时，解集是：；当时，解集是：．。
天津市蓟县第一学期高三数学(文)期中试卷及答案
高三文科期中测试题答案9．10.ab11.3π12.3 13.55314.(,2ln22]-∞-三解答题15解：（Ⅰ）由1cos,072παα=<<，得sinα=…………………………………………..2分∴sin7tancos1ααα===22tantan21tan1ααα==--分（Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<…………………………………...8分又∵()13cos14αβ-=，∴()sinαβ-==………………………...10分由()βααβ=--得：()cos cosβααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sinααβααβ=-+-11317142=⨯=………………………...13分16解：（Ⅰ）由ek=得()e exf x x=-，所以()e exf x'=-．………………...2分令0)(='xf解得1=x故单调区间为 在)1,(-∞上单调递减,在),1(+∞上单调递增………………………………………..6分 当1=x 时)(x f 取得极小值为0)1(=f …………………………………..8分 （Ⅱ）若)(x f 在区间]2,0[上单调递增,则有0)(≥-='k e x f x 在]2,0[上恒成立,即x e k ≤,……………………………….…..10分 而x e 在]2,0[上的最小值为1 故1≤k ……………………………………………………………………..13分 17解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x ………………………………………………………………..4分所以)(x f 的最小正周期为π………………………………………………..6分（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以……………………..8分于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．……………………..13分18解：（Ⅰ）'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,令0)(='x f 解得,1=x 2=x ,……………………………………………..2分…………………………………………………………..6分当1=x 时, )(x f 取得极大值为a f -=25)1(, 当2=x 时取得极小值为a f -=2)2(………………………………………………..8分 （Ⅱ）由上表可知当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根.解得 2a <或52a >. …………………………………………………………..13分 19解：（1）sin tan cos CC C=∴= 又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．………………………………………………………………………..4分 （Ⅱ）25=⋅CA CB ，5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=．………………………………………………………………………..8分又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．…………………………………………………………………..10分2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=． …………………………………………………………………..12分(Ⅲ)20=ab ，873sin =C ，∴4715=∆ABC S ……………….………………14分 20解：（I ）()12.bf x ax x'=++………………………………………………2分 由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即 解得1, 3.a b =-= …………………………………………………………6分 （II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+x x x x x x f )1)(32(321)(+--=+-=' 令0)(='x f 解得1,3-==x x当2=x 时，取得最大值42ln 3)2(-=f 当e x =时，取得最小值3)(2+-=e e e f（Ⅲ）设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则xx x x x x g )32)(1(321)(+--=+--='……………………………………10分 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即 ……………………14分。
【真题】17年天津市蓟县高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{1，2，4，5}2．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]3．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，34．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣75．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=06．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b37．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分9．（5分）函数的值域为．10．（5分）函数f（x）=x2•e x的单调递增区间是．11．（5分）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．12．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．13．（5分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z的子集个数为．14．（5分）如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=．三.解答题：本大题共6道小题，共80分15．（13分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．16．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间及极值．17．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）；（Ⅱ）设g（x）=f'（x）e﹣x，求函数g（x）的极值．19．（14分）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值．20．（14分）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．21．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．22．设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{1，2，4，5}【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选：D．2．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]【解答】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选：D．3．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数．故选：A．4．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣7【解答】解：已知，则，∴=，故选：A．5．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0【解答】解：设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：4x﹣y+m=0，即曲线y=x4在某一点处的导数为4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，故l的方程为4x﹣y﹣3=0．故选：A．6．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．7．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故选：D．二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分9．（5分）函数的值域为[1，+∞）．【解答】解：由题意知，当x≥0时，y=x2+1≥1；当x＜0时，y=1；综上所述，f（x）≥1；故答案为：[1，+∞）．10．（5分）函数f（x）=x2•e x的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）．【解答】解：∵f（x）=e x•x2，∴f′（x）=e x•x2+2x•e x=e x（x2+2x），∴由f′（x）＞0得：x＜﹣2或x＞0；∴f（x）=e x•x2的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2），（0，+∞）．11．（5分）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0=Atan（+φ）所以φ=，图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+）则f （）=tan（）=故答案为：12．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．13．（5分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z的子集个数为8．【解答】解：∵集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，Z为整数集，∴A∩Z={0，1，2}，∴集合A∩Z的子集个数为：23=8．故答案是：8．14．（5分）如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=15．【解答】解：如图，由相交弦定理可知，2•DT=3•6⇒DT=9．在直角三角形PTD中，．由切割线定理可知PT2=P B•PA⇒（6+x）2﹣92=x（x+9）⇒x=15．故填：15．三.解答题：本大题共6道小题，共80分15．（13分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）sinA==，sinB==，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．（2）由正弦定理知=，∴AC=•sinB=×=，∴S=BC•AC•sinC=×5××=．△ABC16．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间及极值．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+bf'（﹣）=﹣+b=0，f'（1）=3+2a+b=0计算得出：a=﹣，b=﹣2．（II）f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）当x∈（﹣∞，﹣），f'（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增；当x∈（﹣，1），f'（x）＜0，则f（x）在（﹣，1）上单调递减；当x∈（1，+∞），f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；函数f（x）在x=﹣处取得极大值f（﹣）=+c；函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣+c．综上，f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上单调递增，（﹣，1）上单调递减，极大值为+c，极小值为﹣+c．17．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）；（Ⅱ）设g（x）=f'（x）e﹣x，求函数g（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2+2ax+b，∵f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，∴，解得a=，b=﹣3，则f（x）=x3x2+3x+1；（Ⅱ）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3x﹣3，∴g（x）=f'（x）e﹣x=3（x2﹣x﹣1）e﹣x=，∴g′（x）==，由g′（x）=0得x=0或x=3，∴当0＜x＜3时，g′（x）＞0；当x＜0或x＞3时g′（x）＜0，∴g（x）在（0，3）上递增，在（﹣∞，0）和（3，+∞）上递减，即当x=0时，g（x）取到极小值g（0）=﹣3，当x=3时，g（x）取到极大值g（3）=．19．（14分）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x∴f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，∴k=f′（2）=﹣3×22+4×2﹣1=﹣5，f（2）=﹣2（2﹣1）2=﹣2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=﹣5（x﹣2），即5x+y﹣8=0（Ⅱ）：对函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R）求导数，得，f′（x）=﹣（3x﹣a）（x﹣a）令f′（x）=0，得，x=a，或x=当a＜0，a＜，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在x=a处取得极小值f（a）=，且f（a）=0；函数f（x）在x=处取得极大值f（）=﹣．当a＞0，a＞，当x＜时，f′（x）＜0，当＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=处取得极小值f（）=﹣．20．（14分）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪21．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1）令f'（x）＞0，解得x＞或x＜﹣1，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），，f（x）的单调递减区间为（4分）（2）因为函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，所以方程x3+x2+ax+b﹣ax=0只有一个解，即x3+x2+b，则其图象与x轴只有一个交点，g'（x）=3x2+2x，令g'（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=﹣，（7分）可列表：∴g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=﹣取得极大值要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴只有一个交点，只需或，解得b＞0或b ＜﹣22．设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．【解答】解：（1）∵f（x）=∴由f'（x）=0，得x=1，因为当x＜0时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1]（2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）==＞0，得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0，故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x ＜}；当k=1时，解集是：φ；当k＞1时，解集是：{x |＜x＜1}．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
数学---天津市蓟州区2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)
天津市蓟州区2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．62．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．（5分）设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c4．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15 B．17 C．19 D．215．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=（）A．1 B．C．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则角A的度数等于（）A．120°B．60°C．150°D．30°7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣88．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4 C．9 D．189．（5分）数列{a n}的通项为a n=2n﹣1，n∈N*，其前n项和为S n，则使S n＞48成立的n的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）二次方程x2+（a2+1）x+a﹣2=0，有一个根比1大，另一个根比﹣1小，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜2二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）与，两数的等比中项是．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．13．（5分）函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是．14．（5分）数列{a n}的通项公式，则该数列的前项之和等于9．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC 的面积为，则a的值为．三、解答题（共5小题，满分45分）16．（9分）（Ⅰ）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解不等式＞1．17．（9分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cos A=，•=3．（1）求△ABC中的面积；（2）若c=1，求a的值．18．（9分）已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n（2）设，求数列b n的前n项和S n．19．（9分）已知等比数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1（n≥2），等差数列{b n}中，b1=2，点P（b n，b n+1）在一次函数y=x+2的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}前n项和T n．20．（9分）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．C【解析】∵a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．2．D【解析】∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sin B===，∵B为三角形的内角，b＞a，∴B＞A，则B=60°或120°．3．A【解析】∵b＜a，d＜c，∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立4．B【解析】由题意可得，q=2，a1+a2+a3+a4=1由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8=（a1+a2+a3+a4）q4=16 所以，S8=1+16=175．D【解析】∵=，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5==1﹣=．6．A【解析】∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=﹣bc．∴由余弦定理可得：cos A==﹣，又∵0°＜A＜180°，∴可得A=120°，7．C【解析】如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．8．D【解析】∵log3m+log3n=4∴m＞0，n＞0，mn=34=81∴m+n答案为189．A【解析】由a n=2n﹣1可得数列{a n}为等差数列∴a1=1∴=n2＞48∵n∈N*∴使S n＞48成立的n的最小值为n=710．C【解析】令f（x）=x2+（a2+1）x+a﹣2，则f（1）＜0且f（﹣1）＜0 即，∴﹣1＜a＜0．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．±1【解析】设A为与两数的等比中项则A2=（）•（）=1故A=±1故答案为：±112．2n【解析】a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．13．{x|﹣3＜x＜4}【解析】由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函数的定义域为{x|﹣3＜x＜4}．故答案为：{x|﹣3＜x＜4}．14．99【解析】∵，∴∴S n=a1+a2+…+a n=+…+=令，则n=99故答案为：9915．【解析】∵A=60°，b=1，△ABC的面积为，∴S△=，即，解得c=4，则由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc cos60°=1+16﹣2×=13，即a=，故答案为：三、解答题（共5小题，满分45分）16．解（Ⅰ）﹣x2+4x+5＜0，即为x2﹣4x﹣5＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣1或x＞5，故原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），（Ⅱ）由＞1，即为﹣1＞0，即为＞0，即（x+2）（3x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣．故原不等式的解集为（﹣2，﹣）17．解（1）∵•=3，∴=3，∴，bc=5又cos A=，∴，∴．（2）由（1）知bc=5，又c=1，∴b=5．∴，∴．18．解（1）由题意知所以（2）当a n=3n﹣5时，数列{b n}是首项为、公比为8的等比数列所以当时，所以S n=n•综上，所以或S n=n•19．解（Ⅰ）等比数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1（n≥2），可得等比数列{a n}的首项和公比都为2，则a n=2•2n﹣1=2n，n∈N*，等差数列{b n}中，b1=2，点P（b n，b n+1）在一次函数y=x+2的图象上，可得b n+1=b n+2，等差数列{b n}的首项为2，公差为2，可得b n=2+2（n﹣1）=2n，n∈N*；（Ⅱ）c n=a n•b n=n•2n+1，则数列{c n}前n项和T n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2T n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，相减可得﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2，化简可得T n=（n﹣1）•2n+2+4．20．解设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z=80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max=80×100+400×120=56000元．。
2016-2017年第一学期高一数学上册期中试题(有答案)
2016-2017年第一学期高一数学上册期中试题（有答案）高一第一学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共1 0分，考试时间120分钟。
注意事项：答题前考生务必将考场、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。
选择题每题答案涂在答题卡上，非选择题每题答案写在答题纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。
考试结束，将答题卡和答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1} B．{1} ．{－1,1} D．{－1,0,1}2．函数＝1lnx－1的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)．(1,2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪[3，＋∞)3．已知f(x)＝fx－，x≥0，lg2－x，x<0，则f(2 016)等于()A．－1 B．0 ．1 D．24、若α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋•360°，∈Z．α＋β＝2•180°，∈Z D．α＋β＝180°＋•360°，∈Z、设1＝409，2＝8048，3＝(12)－1，则()A．3＞1＞2B．2＞1＞3．1＞2＞3D．1＞3＞26．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x－20－100100新标x b1 200300024011202398802则x，的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．＝a＋bxB．＝a＋bx．＝ax2＋bD．＝a＋bx7．定义运算a⊕b＝a，a≤b，b，a＞b则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()8、设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为()A．{x|x<－2，或x>4}B．{x|x<0，或x>4}．{x|x<0，或x>6} D．{x|x<－2，或x>2}9．函数＝lg12(x2－x＋3)在[1,2]上的值恒为正数，则的取值范围是()A．22<<23B．22<<72．3<<72D．3<<2310 已知1＋sinxsx＝－12，那么sxsinx－1的值是()A12 B．－12 ．2 D．－211．设∈R，f(x)＝x2 －x＋a(a＞0)，且f()＜0，则f(＋1)的值() A．大于0 B．小于0 ．等于0D．不确定12、已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则＝f(x)的图象大致为()第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4小题，每小题分，共20分13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则＋n＝________14 函数f(x)＝x＋2x在区间[0,4]上的最大值与最小值N的和为__ 1．若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．16 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则＝f(x)的值域为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题10分）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的值．18．(本小题满分12分)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l(1)若α＝60°，R＝10 ，求扇形的弧长l(2)若扇形的周长是20 ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2 ，求扇形的弧所在的弓形的面积．19．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－)＜0恒成立，求的取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4x＋•2x＋1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．21．（本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系x，x轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程＝x－120(1＋2)x2(＞0)表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为32千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1 )若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．高一数学期中测试卷参考答案1．解析：由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝0或1或－1，选D答案：D2 解析由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1由此解得x>1且x≠2，即函数＝1lnx－1的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．答案3 解析f(2 016)＝f(1)＝f(1－)＝f(－4)＝lg24＝2答案 D4 解析：根据终边对称，将一个角用另一个角表示，然后再找两角关系．因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2•180°－α，∈Z，故选答案：解析：1＝409＝218，2＝8048＝2144，3＝(12)－1＝21由于指数函数f(x)＝2x在R上是增函数，且18＞1＞144，所以1＞3＞2，选D 答案：D6 解析：在坐标系中将点(－2,024)，(－1,01)，(0,1)，(1,202)，(2,398)，(3,802)画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x与的函数关系与＝a＋bx最接近．答案：B7 解析：f(x)＝1⊕2x＝1，x≥0，2x，x＜0故选A答案：A8 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，所以x>2又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)>0的解集为{x|x<－2，或x>2}．将函数＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数＝f(x－2)的图象，故f(x －2)>0的解集为{x|x<0，或x>4}．答案：B9 解析：∵lg12(x2－x＋3)>0在[1,2]上恒成立，∴0<x2－x＋3<1在[1, 2]上恒成立，∴<x＋3x>x＋2x在[1,2]上恒成立又当1≤x≤2时，＝x＋3x∈[23，4]，＝x＋2x∈[22，3]．∴3<<23答案：D10 解析：设sxsinx－1＝t，则1＋sinxsx•1t＝1＋sinxsx•sinx－1sx＝sin2x－1s2x＝－1，而1＋sinxsx＝－12，所以t＝12故选A答案：A11 解析：函数f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝12，f(0)＝a，∵a＞0，∴f(0)＞0，由二次函数的对称性可知f(1)＝f(0)＞0∵抛物线的开口向上，∴由图象可知当x＞1时，恒有f(x)＞0∵f()＜0，∴0＜＜1∴＞0，∴＋1＞1，∴f(＋1)＞0答案：A12 解析：(特殊值检验法)当x＝0时，函数无意义，排除选项D中的图象，当x＝1e－1时，f(1e－1)＝1ln1e－1＋1－1e－1＝－e<0，排除选项A、中的图象，故只能是选项B中的图象．(注：这里选取特殊值x＝(1e－1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A、，这种取特值的技巧在解题中很有用处)答案：B13 答案0 解析由|x＋2|< 3，得－3<x＋2<3，即－<x<1又A∩B＝(－1，n)，则(x－)(x－2)<0时必有<x<2，从而A∩B＝(－1,1)，∴＝－1，n＝1，∴＋n＝014 解析：令t＝x，则t∈[0,2]，于是＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，显然它在t∈[0,2]上是增函数，故t＝2时，＝8；t＝0时N＝0，∴＋N＝8答案：81 解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}；当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}．所以同族函数共有9个．答案：916 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，即a－1＝－2a，∴a＝13∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝13x2＋1，x∈[－23，23]，其值域为{|1≤≤3127}．答案：{|1≤≤3127}17 答案a＝2或a＝3解析A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或{1}或{2}或{1,2}．当B＝∅时，无解；当B＝{1}时，1＋1＝a，1×1＝a－1，得a＝2；当B＝{2}时，2＋2＝a，2×2＝a－1，无解；当B＝{1,2}时，1＋2＝a，1×2＝a－1，得a＝3综上：a＝2或a＝318 【解析】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－)2＋2所以当R＝时，S取得最大值2，此时l＝10，α＝2(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝2π3S弓＝S扇形－S三角形＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3) 2 【答案】(1)10π3 (2)α＝2时，S最大为2(3)2π3－3 219 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0ͤb＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1ͤa＝2(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－)＝f(－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－＞0，从而Δ＝4＋12＜0ͤ＜－1320 解：∵f(x)＝4x＋•2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋•2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋t＋1＝0当Δ＝0时，即2－4＝0∴＝－2时，t＝1；＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即＞2或＜－2时，t2＋t＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝021 解：(1)令＝0，得x－120(1＋2)x2＝0，由实际意义和题设条知x＞0，＞0，故x＝201＋2＝20＋1≤202＝10，当且仅当＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在＞0，使32＝a－120(1＋2)a2成立⇔关于的方程a22－20a＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．22 答案(1) {x|x>1或x<－4}(2)－2解析∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴－1＝0，∴＝1(1)∵f(1)>0，∴a－1a>0又a>0且a≠1，∴a>1∵＝1，∴f(x)＝ax－a－x当a>1时，＝ax和＝－a－x在R上均为增函数，∴f(x)在R上为增函数．原不等式可化为f (x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0∴x>1或x<－4∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0∴a＝2或a＝－12(舍去)．∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝32，即t≥32∵g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈[32，＋∞)，∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝lg2(1＋2)．故当x＝lg2(1＋2)时，g(x)有最小值－2。
天津市蓟县2015-2016学年高一数学下学期期中试题(扫描版)
天津市蓟县2015-2016学年高一数学下学期期中试题（扫描版）2016年高一年级第二学期期中考试题（数学）一.选择题：二.填空题： 11.2 12. }01|{<<-x x 13.︒120 14.109 15. 3- 三.解答题:16. 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+- ……………………..2分 由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得d=-2 ……………………………………………………………..4分从而，1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=-……………………………………………….6分 （II ）由（I ）可知32n a n =-， 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-…………………………………………………8分 进而由35-=k S 可得3522-=-k k即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或又*,7k N k ∈=故为所求。
………………………………………………………………12分17. 解：设公比为q ， 由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a …………………………………………..4分 解得②÷①得 21,813==q q 即 ，…………………………………………………..6分 将21=q 代入①得 81=a ， 1)21(83314=⨯==∴q a a ，………………………………………………….8分②231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s …………………………………….12分 18. 解：（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B 21)cos(=+∴C B ...................................................2分 又π<+<C B 0 ，3π=+∴C B π=++C B A ，32π=∴A ． .........................................................4分 （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ....................................................6分即：)21(221612-⋅--=bc bc ，......................................................................................8分4=∴bc ......................................................... ..........................................................10分323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC .......... ..........................................................12分19. 解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0. .......... ...................................................................2分即 （0)3)(2<++x x .所以 32x -<<-. ………………6分（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a . ..................8分 解得6262<<-a ，即实数a 的取值范围是)62,62(-. .. (12)20. 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由已知得 ∠ADB =60，B =45．由正弦定理得sin 24sin AB B AD ADB ===．…………………………………………….…6分（Ⅱ）在△ADC 中，由余弦定理得2222c o s 30C D A D A C A D A C =+-⋅︒，解得CD=所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D处之间的距离为 ………………12分21. 解：（I ）画出可行域如图：………………………………………………………4分令y x z +=，可变为z x y +-=，作出目标函数线x y -=，平移目标函数线，显然过点A 时z 最大．由⎩⎨⎧=+-=--01032y x y x 得)5,4(A ，∴954max =+=z .……………………………..8分 （II ）22y x +是点),(y x 到原点的距离的平方，故最大值为点)5,4(A 到原点的距离的平方，即=2||AO 41542222=+=+y x .………………………………………………10分22. 解： (I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列. …………………………………5分(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C == ∴△ABC的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯= ……………………………10分23. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，…………………………………………………………………….2分 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-， 112n n n b q --==．………………………………………………………………………..…6分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②…………………………………………..…8分 ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-． ……………………………………………………..10分。
天津蓟县蓟州中学高一数学理测试题含解析
天津蓟县蓟州中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C．不相等的角终边一定不同D．=参考答案：D2. 下列命题中，错误的个数有（）个①平行于同一条直线的两个平面平行．②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，平行于同一条直线的两个平面可能相交，故①错误．对于②，平行于同一个平面的两个平面根据面面平行的性质定理和判定定理可以得到平行，故②正确．对于③，一个平面与两个平行平面相交，交线平行；满足面面平行的性质定理，故③正确．对于④，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故④正确．故选：B．点评：本题考查了面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．3. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：B4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C.D.参考答案：B5. 下列函数中，定义域为的函数是A．B．C．D．参考答案：A6. 函数f（x）=lnx+2x﹣8的零点在区间( ) 内．A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣8定义域为上的减函数，则a的取值范围为( )A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③必须是y=log a （2﹣ax）定义域的子集．【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故答案为：B．【点评】本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．本题难度不大，属于基础题．7. 电视台某节目组要从2019名观众中抽取100名幸运观众．先用简单随机抽样从2019人中剔除19人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取100人，则在2019人中，每个人被抽取的可能性（）A. 都相等，且为B. 都相等，且为C. 均不相等D. 不全相等参考答案：A【分析】根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.【详解】由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，故抽取的概率为.故选：A【点睛】本题考查了随机抽样的特点，属于基础题.8. 为了得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=sin2x=cos2（x﹣），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵函数y=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+﹣）=cos（2x﹣）．即函数的图象，故选：D．9. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．10. 已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程（）A．B．C．D．参考答案：D试题分析：设圆心c(a，0）(a>0),则圆的标准方程为: ,由题意圆心到直线距离等于半径得:，解得：a=2.整理得：．考点：直线与圆的位置关系；圆的方程 .二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知锐角三角形边长分别为2，3，，则的取值范围是__________．参考答案：略12. 函数的定义域为．参考答案：13. α是sinα + cos α =的最小正根，则cos α + cos 2 α + …+ cos 8 α的值等于。
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2016-2017学年天津市蓟县高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}为全集，A={1，2，3}，B={2，5}，则（∁B）∩A=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（4分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．183．（4分）函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）4．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]5．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，B．f（x）=2x，C．f（x）=x，D．f（x）=x，6．（4分）化简的值得（）A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣107．（4分）值域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．8．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．39．（4分）设a=0.7，b=0.8，c=log30.7，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c10．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4二．填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共20分11．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜3}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}，则A∩B=．12．（5分）函数的奇偶性为．13．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=．14．（5分）已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是．15．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是．三.解答题：本大题共5道小题，每小题12分，共60分16．（12分）已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}求：（I）A∩B；（II）（C U A）∩（C U B）；（III）C U（A∪B）．17．（12分）已知函数，x∈[3，5]．（1）利用定义证明函数f（x）单调递增；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知函数．（1）求f（f（5））的值；（2）画出函数的图象．19．（12分）设函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），且（1）求a值；（2）设，求不等式g（x）＜2的解集．20．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且，．（Ⅰ）求实数a，b的值并判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．22．（13分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当a为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在（1，3）内．2016-2017学年天津市蓟县高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}为全集，A={1，2，3}，B={2，5}，则（∁B）∩A=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴∁U B={1，3，4}，又A={1，2，3}，∴（∁U B）∩A={1，3}，故选：D．2．（4分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．18【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则f（2）=22+2﹣2=4，∴，当x≤1时，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故选：A．3．（4分）函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，当x∈（﹣∞，0），或x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0均恒成立，故函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），4．（4分）函数的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【解答】解：由题意得：解得：﹣1＜x≤2且x≠0，故选：A．5．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，B．f（x）=2x，C．f（x）=x，D．f（x）=x，【解答】解：函数f（x）=|x|的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；函数f（x）=2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=x，两函数为同一函数；f（x）=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数．故选：C．6．（4分）化简的值得（）A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：原式=+故选：A．7．（4分）值域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：A：函数定义域为{x|x≠2}，令t=∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则y=5t∈（0，1）∪（1，+∞），不符合题意；B：函数定义域为R，令t=1﹣x∈R，则y=∈（0，+∞），满足题意；C：函数定义域为（﹣∞，0]，令t=1﹣2x∈[0，1），则y=∈[0，1），不满足题意；D：函数定义域为（﹣∞，0]，令t=﹣1∈[0，+∞），则y=∈[0，+∞），不满足题意；故选：B．8．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：由f（x）为奇函数及已知表达式可，得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[2×（﹣1）2﹣（﹣1）]=﹣3，故选：B．9．（4分）设a=0.7，b=0.8，c=log30.7，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：因为y=是增函数，所以所以c＜a＜b故选：B．10．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选：D．二．填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共20分11．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜3}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜5} ．【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜3}={x|x＜5}，B={x|2x﹣3＜3x﹣2}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜5}．故答案为：{x|﹣1＜x＜5}．12．（5分）函数的奇偶性为奇函数．【解答】解：函数的定义域为R，且满足f（﹣x）==﹣f（x），故该函数为奇函数，故答案为：奇函数．13．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=（x+1）2．【解答】解：由f（x﹣1）=x2，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2∴f（x）=（x+1）2故答案为：（x+1）2．14．（5分）已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，要使f（x﹣2）＞0，则有x﹣2＞2，即x＞4，成立的x的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．15．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3] ．【解答】解：函数f（x）的对称轴为x=1﹣a；∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．三.解答题：本大题共5道小题，每小题12分，共60分16．（12分）已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}求：（I）A∩B；（II）（C U A）∩（C U B）；（III）C U（A∪B）．【解答】解：如图：（I）A∩B={x|1＜x≤2}；（II）C U A={x|x≤0或x＞2}，C U B={x|﹣3≤x≤1}（C U A）∩（C U B）={x|﹣3≤x≤0}；（III）A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，C U（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}．17．（12分）已知函数，x∈[3，5]．（1）利用定义证明函数f（x）单调递增；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）证明：令3≤x1＜x2≤5，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣3（﹣）=﹣3•，∵3≤x1＜x2≤5，∴x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[3，5]递增；（2）由f（x）在[3，5]递增，可得f（3）取得最小值1﹣=；f（5）取得最大值1﹣=．18．（12分）已知函数．（1）求f（f（5））的值；（2）画出函数的图象．【解答】解：（1）函数．f（f（5））=f（﹣5+2）=f（﹣3）=﹣3+4=1．（2）函数．的图象如图：19．（12分）设函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），且（1）求a值；（2）设，求不等式g（x）＜2的解集．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a•e x﹣1（a为常数），∴，即，则a=2；（2）由（1）得，f（x）=2•e x﹣1，则=，①当x＜2时，不等式g（x）＜2为2•e x﹣1＜2，即e x﹣1＜1=e0，解得x＜1，②当x＜2时，不等式g（x）＜2为＜2，即＜，则0＜x﹣1＜9，解得1＜x＜10，综上可得，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1，10）．20．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②联立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=（﹣1＜x＜1），g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）=（﹣1＜x＜1）；（2）设t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，所以函数y=log2t的值域是（﹣∞，0]，故g（x）的值域是（﹣∞，0]．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且，．（Ⅰ）求实数a，b的值并判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x+2ax+b，且，．∴2+2a+b=，22+22a+b=，即a+b=﹣1，2a+b=﹣2，解得：a=﹣1，b=0，故f（x）=2x+2﹣x，∴f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）为增函数，理由如下：∵f′（x）=ln2•2x+ln•2﹣x，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．22．（13分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当a为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在（1，3）内．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a+2=0，当△=4a2﹣4（a+2）＞0，且x1+x2=2a＞0、x1•x2=a+2＞0时，即当a＞2时，该方程有两个不同的正根．（2）令f（x）=x2﹣2ax+a+2，则当时，即2＜a＜时，方程x2﹣2ax+a+2=0有不同的两根且两根在（1，3）内．。