高考数学 复习点拨 命题否定的典型错误
命题的否定
数 学 基 础精 讲
２１ 年第 ｌ ０１ ０期
２ 几 类 命 题 的 否 定 模 型 ． （ ） 单 命 题 的 否 定 １简
ｍ， 使 。 ｚ— ｍ — Ｏ没有 实根 ” ＋ ． （ ）原 命 题 的否 定 是 “ 所 有 的 实 数 ， ２ 对 。
（ ） 存 在 命 题 ， 否 定 它 必 须 是 对 所 有 ２是 要 实数 ， ｚ 使 ≠ １ ． 正 解 （ ） 在一 个 实数 ， ． ≠ １ １存 使 ｚ 。 ； （ ）对于 任意 实数 ｚ， ｚ ２ 使 ≠ １ ． 错 误 ２ 认为 命题 的否 定就 是对 原命 题 中
是
不 是
都 是
不 都 是
一 定 是 至 少 有 一 个
一 定 不 是 一 个 也 没 有 小于（ ） ＜ 且
至 多有 一 个 大 于（ ） ＞
词 语 的 否 定 至 少有 两 个 不 大 于 （ ） ≤ 不 小 于（ ） ≥
或
・
１ ・
《 理天 地 》 中版 数 高
用处 ：
词 语
词语 的 否 定 词 语
（ ）线段 Ａ 与 Ｃ 不平 行 或不相 等 ． ２ Ｂ Ｄ 分 析 （） 联 言命 题 ， 结 论 的 含 义 为 ： １是 其 “ 平行 且相等” 所 以对原 命题 结论 的否 定 除“ ， 不 平行 且不相 等”外 ， 应有 “ 还 平行 且 不相 等” “ 、不 平行 且相 等” 而（ ） 选言命题 ， 结论包含 “ ； ２是 其 平 行但 不相等 ” “ 平行但相 等” “ 、不 、平行且 相等” 三 种 情况 ， 否定就为“ 故 不平 行且不 相等” ．
（ ） ｂ都 是 零 ； １ ａ，
结 论加 以 否 定． 命 题 ： ２是 无 理 数 ， 否 定 如 √ 其
高考数学复习点拨 复数解题中常见的错误
用心 爱心 专心 高考数学复习点拨 复数解题中常见的错误由于同学们以前都是在实数集内考虑问题的，所以在学了复数后往往会不自觉地把实数有关的性质、公式、法则不加分析地用到复数上，这就使得解答复数题时常常出现各种错误．一、忽视复数相等的条件例1 解关于x 的方程256(2)0x x x i -++-=．误：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ==⎧-+=⎧⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或，，，，． 析：a bi c di a c +=+⇔=，且b d =成立的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．正：原方程变形为2(5)620x i x i --+-=，2(5)4(62)2(1)i i i i i ∆=-=--=-=-． 由一元二次方程求根公式得1(5)(1)32i i x i -+-==-，2(5)(1)22i i x ---==． ∴原方程的解为1232x i x =-=，．二、忽视使用判别式的条件例2 关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a =---=-∴≥．解得aa ≤． 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2a i -与1ai -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，，解得1a =±．三、忽视虚根成对出现的条件例3 已知20x kx i +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值．误：根据一元n 次方程虚根成对出现，i 是其一根，则i 的共轭复数i -必是其另一根，由根与系数的关系有()i i k +-=-，0k =∴．析：虽然根与系数的关系对复系数一元n 次方程仍成立，但只有实系数一元n 次方程的虚根才成对出现，本题系数并非实数.正：因i 是其根，代入原方程为20i ki i +-=，由此得1k i =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0x i i =-，从而得01x =-．。
高考数学易犯的50个低级错误
高考数学易犯的50个低级错误1、对含有量词的命题否定不当。
含有量词的命题的否定，先否定量词，再否定结论。
2、求函数定义域忽视细节致误。
根号内的值必须不能等于0，对数的真数大于等于零，等等。
3、函数单调性的判断错误。
这个就得注意函数的符号，比如f（-x）、的单调性与原函数相反。
4、函数奇偶性判定中常见的两种错误。
判定主要注意:1）、定义域必须关于原点对称，2）、注意奇偶函数的判断定理，化简要小心负号。
5、求解函数值域时忽视自变量的取值范围。
总之有关函数的题，不管是要你求什么，第一步先看定义域，这个是关键。
6、抽象函数中推理不严谨致误。
7、集合中元素的特征认识不明。
元素具有确定性，无序性，互异性三种性质。
8、遗忘空集。
A含于B时求集合A，容易遗漏A可以为空集的情况。
比如A为（x-1）、的平方＞0，x=1时A为空集，也属于B、求子集或真子集个数时容易漏掉空集。
9、忽视集合中元素的互异性。
10、充分必要条件颠倒致误。
必要不充分和充分不必要的区别——：比如p可以推出q，而q推不出p，就是充分不必要条件，p不可以推出q，而q却可以推出p，就是必要不充分。
11、不能实现二次函数，一元二次方程和一元二次不等式的相互转换。
二次函数令y为0→方程→看题目要求是什么→要么方程大于小于0，要么刁塔（那个小三角形）、b的平方-4ac大于等于小于0种种。
12、比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。
13、忽略对数函数单调性的限制条件导致失误。
14、函数零点定理使用不当致误。
f（a）、xf（b）、＜0，则区间ab上存在零点。
15、忽略幂函数的定义域而致错。
x的二分之一次方定义域为0到正无穷。
16、错误理解导数的定义致误。
17、导数与极值关系不清致误。
f‘派x为0解出的根不一定是极值这个要注意。
18、导数与单调性关系不清致误。
19、误把定点作为切点致误。
注意题目给的是过点p的切线还是在点p的切线，再不行就把点代进去f （x）、看点p是不是切点。
高考数学复习点拨 命题的若干否定
命题的假设干否认在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断．表达判断的语句叫命题．在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题．命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题．在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否认式是十分重要的．一、简单命题的否认1．性质命题的否认每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四局部组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切〞、“所有〞、“每一个〞、“任意一个〞等词语表达，特称量项常用“有些〞、“存在〞、“至少有一个〞等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否认联项，前者常用“是〞、“有〞表示，后者常用“不是〞。
“没有〞表示．如命题“至少有一个质数不是奇数〞中，“质数〞为主项，“奇数〞为谓项，“至少有一个〞为量项，“不是〞为联项．性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体．单称命题的否认极为简单，只要否认“联项〞即可．例如“2是偶数〞的否认为“二不是偶数〞；“小王不是团员〞的否认为“小王是团员〞．而全称命题和特称命题的否认，一般要对“量项〞和“联项〞同时进行否认，全称与特称互为否认，肯定与否认互为否认．例如，命题“一切矩形是平行四边形〞的否认为“存在一个矩形不是平行四边形〞；命题“至少有一个质数不是奇数〞的否认为“所有的质数都是奇数〞．特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否认时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数〞否认写成“实数的绝对值不是正数〞这就错了．很显然，这里的“p〞与“〞都是假命题，“〞复合命题的真值表相矛盾．究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有〞，正确的否认形式是“存在一个实数的绝对值不是正数〞．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值〔都〕是正数〞故其否认形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数〞．另外，我们常用“都是〞表示全称肯定，用“不都是〞表示特称否认，这两者互为否认；而用“都不是〞表示全称否认，它的否认形式应特称肯定，可用“至少有一个是〞来表达．2．关系命题的否认关系命题由主项、谓项和量项三局部组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量〔用全称量词和特称量词表示〕．关系命题的否认与性质命题的否认相似，需要对“谓项〞和“量项〞同时进行否认，例如命题“对任意实数x，都有〞的否认是“存在一个实数x，使得〞；命题“至少有一个锐角，使〞的否认是“对所有的锐角，都有〞．和性质命题类似，作命题否认时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零〞的否认不是“自然数的平方不大于零〞，而是“存在一个自然数的平方不大于零〞．二、复合命题的否认复合命题有五种根本形式，分别用五个逻辑联结词“非〞、“且〞、“或〞、“假设…那么…〞、“等值〞〔〕由命题p或q组成．1．非命题的否认“〞是对命题“p〞的否认，命题“〞与命题“p〞的真假正好相反．对“〞的否认，就是对命题“p〞的否认之否认，因此，命题“p〞与命题“〞具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p〞可作为“〞的否认〔有特殊要求的除外〕．例如命题“不是有理数〞的否认是“是有理数〞，命题“不是每个人都会开车〞的否认是“并非不是每个人都会开车〞即“每个人都会开车〞．2．联言命题的否认用联结词“且〔〕〞联结两个命题p、q构成的复合命题“〞称为联言命题．当且仅当p、q，p、q皆真时为真．联言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如命题“2是质数且是偶数〞的否认为“2不是质数或不是偶数〞；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞〞的否认为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞〞，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞．〞3．选言命题〔〕的否认用联结词“或〔〕〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“〞称为选言命题．当且仅当p、q皆假时为假．与联言命题类似，选言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数〞的否认为“123不是2的倍数且不是3的倍数〞；命题“全班同学都是三好生或共青团员〞的否认是“全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员〞．必须说明的是，日常生活中的“或〞有两种意义：可兼的和不可兼的．而在命题中的“或〞是可兼的．4．假言命题〔〕的否认用联结词“假设…那么…〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“假设p那么〞称为p、q的蕴含式或称假言命题．当且仅当p真q假时为假．由命题演算定律：，可写出假言命题〔〕的否认．例如，命题“假设，那么〞〔省略量词的全称命题〕的否认是“有在实数x和y，使且；命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否认是“存在数a 和b是偶数，且不是偶数〞．必须注意，假言命题的否命题与该命题的否认是两个不同的概念．首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否认．其次，命题的否认式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题那么木然，与原命题的真假可能相反也可能相同．如上述命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否命题是“假设a或b不是偶数，那么不是偶数〞，仍是全称命题，而其否认式“存在数a和b是偶数，且不是偶数〞是一个特称命题．5．等值式命题〔〕的否认用联结词“等值〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值〞称为p、q 的等值式．当且仅当p、q具有相同的真假值时为真．等值式“〞的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；假设p那么q并且假设q那么p．等值式命题〔〕的否认比拟简单，只要否认“联项〞即可．例如命题是实数一元二次方程有实根的充分必要条件〞否认可写成“不是实系数一元二次方程有实根的充分必要条件〞；命题“等价于的否认为“不等价于〞。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析 (1)
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。
高考数学复习点拨 有关“命题”的几个问题
有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题，大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”，这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。
一、关于命题概念：新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。
正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题。
例如“12>5”“3是12的约数”是真命题，“0.5是整数”是假命题；“x >5”不是命题。
那么对“x >5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢？这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。
(教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。
而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。
逻辑表达式的真假由题设条件决定。
如当x=6时，x >5为真，当x=2时，x >5为假。
问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项，量词和判断词四部分构成。
例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数”，量词是“所有”，判断词是“都是”。
问题3：命题是怎样分类的?根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。
单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。
如“3是正数”就是单称命题。
全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。
如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。
特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。
如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。
性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。
例如“3是正数”就是性质命题。
关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。
高考数学做题中容易犯的70个低级错误
高考数学做题中容易犯的70个低级错误1.集合中元素的特点认识不明。
元素具有确定性，无序性，互异性三种性质。
2.遗忘空集。
A含于B时求集合A，容易遗漏A能够为空集的情形。
比如A为（x-1）的平方＞0，x＝1时A为空集，也属于B.求子集或真子集个数时容易漏掉空集。
3.忽视集合中元素的互异性。
4.充分必要条件颠倒致误。
必要不充分和充分不必要的区别——：比如p能够推出q，而q推不出p，确实是充分不必要条件，p不能够推出q，而q却能够推出p，确实是必要不充分。
5.对含有量词的命题否定不当。
含有量词的命题的否定，先否定量词，再否定结论。
6.求函数定义域忽视细节致误。
根号内的值必须不能等于0，对数的真数大于等于零，等等。
7.函数单调性的判定错误。
那个就得注意函数的符号，比如f（-x）的单调性与原函数相反。
8.函数奇偶性判定中常见的两种错误。
判定要紧注意1，定义域必须关于原点对称，2，注意奇偶函数的判确信理，化简要小心负号。
9.求解函数值域时忽视自变量的取值范畴。
总之有关函数的题，不管是要你求什么，第一步先看定义域，那个是关键。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
10.抽象函数中推理不严谨致误。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
高考数学复习点拨 简易逻辑中的典型错误剖析
简易逻辑中的典型错误剖析学习简易逻辑可以使我们增强判断是非的能力和推理能力.但由于内容比较抽象,初学者易出现理解上的错误,下举例说明.例1 试判断下列语句是否构成命题:（1）难道0不是偶数吗?（2）1+a >0；（3）012>++a a .错解:由于语句(1)是问句,所以不是命题;而(2)、(3)两句表示均给出了判断所以都是命题。
剖析：命题的定义是：可以判断真假的语句叫命题。
因此语句是否构成命题，关键在于能否判断其真假。
语句（1）是反问句，其实质是表示“0是偶数”这一判断，因此是命题，并且是真命题；语句（2）中，在没有给出a 的X 围之前无法判断其真假，因此该句不构成命题（称为开语句）；而语句（3）中，虽然也没有给出a 的X 围，但043)21(122>++=++a a a 对一切实数a 恒成立，因此该语句构成命题，且是真命题。
例2 试判断下列命题是简单命题还是复合命题：（1）6≥5；（2）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
错解：由于命题（1）与（2）没有逻辑联结词，因此都是简单命题；而命题（3）含有逻辑联结词“且”，因此该命题是复合命题。
剖析：要判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能只形式上看字面中有没有逻辑联结词，而是在准确理解复合命题的概念的基础上看其实质。
复合命题“p 或q ”、“p 且q ”是指用“或”与“且”联结两个命题p 、q ，而构成新的命题。
命题（1）虽然字面上没有“或”、“且”逻辑联结词，但它实质上表示：6大于或等于5，即是由p ：6>5、q :6=5构成的一个“p 或q ”形式的复合命题；同样，命题（2）是由p ：有两个角是45°的三角形是等腰三角形、q : 有两个角是45°的三角形是直角三角形构成的一个“p 且q ”形式的复合命题；命题（3）中的“且”并非逻辑连接词，而是与自然语言中的连词“和”含义相同，正像“小李和小王是一对夫妻”中的“和”一样。
高考数学中12个最易失分的考点
高考数学中12个最易失分的考点高考即将到来，小编在此为广大考生整理出12个高中数学中最易失分的考点。
希望各位考生能在考试中避免这些错误，取得好成绩。
1.混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。
2. 充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A⇔B，则A，B 互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断。
3.函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。
对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
4. 判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。
5.三角函数的单调性判断致误对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω<0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。
对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。
6. 向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题。
数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b 的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。
高考数学复习点拨 例谈简易逻辑学习中的九点误区
例谈简易逻辑学习中的九点误区简易逻辑内容，对培养学生的思维能力、推理能力、解决实际问题的能力都很有帮助．但是笔者发现学生在学习这部分内容的时候，往往望文生义，生搬硬套，屡屡出错．本文例谈简易逻辑学习中的九点误区，以期帮助同学们加深对简易逻辑有关概念的理解，少走弯路，提高学习效率．误区1 一个陈述句是命题，祈使句也是命题，而疑问句就不是命题．例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)李明考100分，是好学生；(2)对顶角难道不相等吗?(3)求证2不是无理数．误解(1)是命题，是真命题；(2)不是命题；(3)是命题，是假命题．辨析命题是可以判断真假的语句，不管这个语句是陈述旬还是疑问句，只要能判断真假的就是命题，否则便不是命题．(1)中，成绩好坏不是判定好学生的唯一标准，此命题无法判断真假，故(1)不是命题；(2)虽是疑问句，但能判断真假，所以是命题，是真命题．(3)是祈使句，无法判断真假，故(3)不是命题．小结能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．误区2 所有的不等式、集合运算式都不是命题．例2 判断下列语句是不是命题，若是命题．判断其真假．(1)x+1≥O；(2)x2+1≥O；(3)A⊆A∪B；(4)A⊆A∩B．误解(1)(2)(3)(4)都不是命题辨析能判断真假的语句(或式子)是命题．(1)(4)不能判断真假，不是命题．但(2)(3)能判断真假，都是真命题．小结能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．误区3 逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义相同．例3 判断下列命题的真假：(1)3≥2；(2)苹果是长在树上或地里．误解按日常用语去理解，3不能等于2，故(1)不是真命题；苹果不可能长在地里，所以(2)也是假命题．辨析从逻辑上讲，“3≥2’’等价于“3>2或3=2”，是一个“P或Q"形式的复合命题，“3>2”是真命题，由真值表知(1)应是一个真命题；(2)“苹果是长在树上或地里”也是一个复合命题：“苹果是长在树上或苹果是长在地里”，“苹果是长在树上”是真命题，由真值表知，(2)也是真命题．小结逻辑中的“或” “且”“非”与日常用语中的“或” “且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．误区4 一个命题，只要含有逻辑连接词“或”“且”“非”的就一定是复合命题，否则就是简单命题．例4 判断下列命题是简单命题还是复合命题：(1)1的平方根是l或-1；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形误解(1)中含有逻辑连接词“或”，所以是复合命题．(2)中含有逻辑连接词“且”，也是复合命题．辨析若(1)是复合命题“P或Q”形式，则P为“1的平方根是1”，Q为“1的平方根是-1”，显然P，Q都是假命题，由真值表知“P或Q”也是假命题；但命题(1)显然是真命题，不满足真值表．所以命题(1)是简单命题．若(2)是复合命题“P且Q”形式，则P为“对角线相等的四边形是矩形”，Q为“对角线互相平分的四边形是矩形”，显然，P，Q都是假命题，由真值表知“P且Q”也是假命题；但命题(2)显然是真命题，不满足真值表．所以命题(2)是简单命题．小结．．含有逻辑连接词“或” “且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．误区5 命题P的否命题就是¬P．例5 命题P：对顶角相等．写出命题P的否命题．误解命题P的否命题为：对顶角不相等辨析命题的否定形式与否命题不一样．对命题“若P则Q”来说，其否命题应为：“若非P则非Q”，即否命题是对命题的条件和结论都加以否定．而命题“若P则Q”的否定形式应为“若P则非Q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定．所以该命题的否命题应是“不是对顶角的两个角不相等．”小结¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q"来说，¬P 是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”误区6 解集类命题的否定形式就是原解集的补集．例6 命题：不等式x2-3x+2≥O的解集是{x|1≤x≤2}．写出命题的否定形式．误解该命题的否定形式为：不等式x2-3x+2≥O的解集是{x|<1或x>2}辨析“否定”与“互补”相混淆，A不是B，不能认为A就是除B以外的所有对象,而应认为A是除B以外的某一个对象或某一部分对象．所以本命题的否定形式应为：不等式x2-3x+2≥O的解集不是{x| 1≤x≤2}．误区7 写命题P的否定形式，一概在关键词前加“不”即可．例7 命题：等腰三角形是直角三角形．写出命题的否定形式．误解该命题的否定形式为：等腰三角形不是直角三角形．辨析这个命题虽然没有明显的关键词“所有”，但我们从语意上分析，它所研究的对象不是一个个体，而是所有的等腰三角形,它是一个全称命题，它的完整形式应该是“所有的等腰三角形都是直角三角形”．所以它的否定形式应该是“有的等腰三角形不是直角三角形”．如果将原命题改为:“等腰△ABC是直角三角形”，显然它所研究的对象仅是一个个体，那么它的否定形式就可以写成“△ABC不是直角三角形"．小结写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题(所谓全称命题是指含有“所有”“全部” “任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个” “至少有一个”这一类存在性量词的命题,全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：误区8 若原命题P为真，则其否命题必定为假．例8 写出下列命题的否命题，并判断真假：(1)若a=O，则ab=O；(2)a2<b2，则a>b(3)当c>O时，若a>b则ac>bc．误解(1)否命题为：若a≠O，则ab≠0：是假命题(因原命题为真)；(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b．是真命题(因原命题为假)；(3)当c>O时，若a≤b，则ac≤bc，是假命题(因原命题为真)。
常用逻辑用语易错问题辨析
解题篇易错题归类剖析J l L al l"高考数学2020年11月丁子虫LL當用逻辑用迤昜错冋题辦祈■江苏省泗洪中学陈亚娟常用逻辑用语是高中数学的重要内容！是学习数学不可或缺的工具，但由于其本身也具有非常抽象的逻辑性，大家在学习的过程中，容易混淆概念或者对相关定义理解不深刻，从而出现解题错误。
本文就同学们在学习过程中常见的典型错误进行分析总结#一、书写命题的否定时的常见错误1.否定词使用不正确导致错误!!已知命题：：存在一个实数$,使得$2—$—2V0,写出4p#错解14p*存在一个实数$，使得$2—$一2$0#错解2；4p*对任意的实数$，使得$2—$—2V0#错解3 :4p：V$6R,使得$2—$—2$0#剖析：该命题是特称命题,其否定应该是全称命题，即它的否定4p：对任意的实数$!使得$2—$一2$0#错解1仍然是特称命题，只对结论进行了否定，没有对存在量词进行否定；错解2只对量词进行了否定，没有对反之，因为(2)2%(8)，可令#&2,a&1，则a>#不成立，故必要性不成立# O综上可知,a>#”是a a>##”的既不充分也不必要条件#<评：对于很难推导出的命题，可以尝试使用巧取F例法#四、传递性法充分条件和必要条件都具有传递性，请看下面的例题#!$已知p是*的充分不必要条件，<是*的必要条件,是<的必要条件，那么p 是q的_____条件#解析：由题可得，p/*,*/s,s/q,所以结论进行否定；错解3对命题的适用范围也进行了否定#警示：对含有量词的命题进行否定时，一要牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论！而忘记了对量词的否定，也不能只否定量词!而忘记了对结论的否定；二要牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确#2.忽略省略量词的全称命题导致错误!"写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0&(2)能被3整除的数，也能被4整除&(3)平行四边形是矩形&(4)若$〉0,则$>1#错解：(1)可以被5整除的数，末位不是0&(2)能被3整除的数，不能被4整除&(3)平行四边形不是矩形&(4)若$>0,则$,1#剖析：(1)可以被5整除的数，末位有的p/*/s/q，故满足p是q的充分条件；但由*推导不出p,故不满足p是q的必要条件#综上可知，p是q的充分不必要条件#五、逆否法原命题如果很难判断真假时，可以利用原命题与逆否命题是等价关系，判断逆否命题的真假从而达到目的#!%若命题p:$*3且y*2,命题q：$+y*5，则p是q的_____条件#解析:p是q的什么条件等价于4q是4p的什么条件，由题可得4q：$+y&5，4p:$&3或者y&2,很显然4q是4p的既不充分也不必要条件，故p是q的既不充分也不必要条件#(责任编辑王福华))7J,由""解题篇易错题归类剖析丁今生"""王""高考数学2020年11月是0,有的不是0,原命题和它的否定都是假命题，这显然是错误的#它是省略了全称量词“任何一个”的全称命题，命题的否定应该为：有些可以被5整除的数，末位不是0#同理(2)(3)也是省略了全称量词“所有”的全称命题，命题的否定分别为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除；有的平行四边形不是矩形#(4)中"若$+0,则$+1-与"若$+0,则$,1-也都是假命题，也不能互为否定#实际上，这是一个“若p,则g”型的命题，一般不书写否定，如果书写它的否定要先写成全称命题，艮卩g：V$#(0,+@),$+1,其否定4g:7$#(0,+@)$,1#警示：我们要书写一个命题的否定首先要明确这个命题的结构，在高中教材中，常见的命题按结构可以分为以下几类：①单称命题(例如2是偶数)；②若p,则g型；③复合命题(含有逻辑联结词“或-"且④全称命题；⑤特称命题#由于全称量词往往省略不写，在书写这类命题的否定时，必须先找出其省略的全称量词，写成“V$#Mp$)的形式，其否定应该是“7$#M,4p不能只否定结论，不否定量词，写出否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证#对于“若p,则g”型的命题，我们在中学阶段一般只书写它的逆命题、否命题、逆否命题，如果要书写它的否定，则需要把它改写成全称命题，然后再书写它的否定#3.忽略条件的隐含信息导致错误!#已知p:—V0,g：lg$+0,试写cc出p,g的否定4p,4g#错解：p的否定4p为—$0；ccg的否定4g为A$,0#剖析：一个命题的否定是对它的全盘否定，p等价于$%0,它的全盘否定4p等价于$$0,而1$0等价于$+0,并不是p的否定#同理，g等价于$+1它的全盘否定4g为$,1,而A$,0等价于0V$,1,并不是g的否定#警示：在书写一个命题的否定时，应该先将原命题化简，再根据化简后的等价形式书写否定就不容易出错了#二、命题真假判断中的常见错误1.没有理解全称命题与特称命题的本质含义导致错误!$已知命题p：7$#R,使得$2—($+1，二0,命题^g:V$#R,使得$2+2$+ (+0#若命题p8g为真命题，求实数(的取值范围#错解：当p是真命题时，则有！=(2—4,0,解得一2,(,2；当g是真命题时，则有！=4—4(%0,解得(+1#由于p8g为真命题，则p,都是真命题，所以实数(的取值范围是(1,2［#剖析：对于命题p，二次函数$2—($+1的图像开口向上，若存在实数$使得$2—($+1,0,即$2一($+1,0有解，则抛物线%=$2—($+1应该与$轴有交点，即!=(2—4$0,解得(,—2或($2#当g 是真命题时，则有△=4—4(V0,即(+1#综上所述，(的取值范围是0,+@)#警示：我们要深刻理解全称命题和特称命题的本质含义，特别是全称命题中元素的任意性和特称命题中元素的存在性#全称命题和特称命题求参数取值范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，解决此类问题，可构造函数或利用数形结合的思想方法进行求解，也可以用分离参数法，但要注意是否需要对参数进行讨论#2.复合命题的真假性判断出现错误!%设命题p：函数/($) =$3—a$—1在区间「一1,1］上单调递减；命题g：函数%=ln($2+a$+a)的值域是R#如果命题p V g为真命题，p8g为假命题，求a的取值范围#错解：p为真命题02$)=3$2—a,0在「一1,11上恒成立0a$3$2在「一1,1］上恒成立0a$3#g为真命题0!=a2—4a$0恒成立0a,0或a$4#由题意命题p V g为真命题p8g为假命题，所以p真g假，则'所以3,〔0V a V4,18解题篇易错题归类剖析J l L l L L L""高考数学2020年11月丁子虫La V4#综上所述！的取值范围是「3!）#剖析：若p9q为真命题，则p!中至少有一个真命题，即，一真则真-p8q为假命题，则p!中至少有一个假命题即卩，一假则假-于是上述问题应该转化为p与q—真一假，即p真q假或p假q真#由p真q假90（0>3W a V4；由p假q真O'（0>a W0#〔a,0或a$4综上所述a的取值范围是（—@!]U 「3!）#警示：对于由逻辑连接词“或、且、非”组成的复合命题，一定要坚持真假性的判断依据！卩p V q，一真则真-p8q“一假则假-4p，一真一假-#三、充分条件与必要条件中的常见错误1.忽略分类讨论导致错误&已知p：V$#R,a$2+a$+1> 0恒成立，q：0V a V4,则p是q的（）#A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件1既不充分也不必要条件错解：对于p,a>0,且a2—4a V0,即p: 0V a V4,从而p O q，故p是q的充要条件#剖析：题目中并没有说明该函数是二次函数，所以应先考虑二次项系数为0的情况#当a&0时，不等式变为1>0,符合题意，故p：0,a V4,从而p/q,q/p,故p是q的必要不充分条件#警示：忽略对二次项系数的讨论是学习过程中常犯的错误，要引起高度重视#2.忽略空集导致错误!'已知集合A&{$I$2—3$—10,0},集合B&{$I（+1,$,2（—1},记p：$#A,q：$#B,若p是q的必要条件，求实数（的取值范围#错解：由题意，A&{$I一2,$,5}#由p是q的必要条件得B1A!从而[一2,（+1,{—3,（,3#\2（一1,15,剖析：p是q的必要条件，即q/p,则p 对应的集合“大-!对应的集合，小-B1A#错解中忽略了B&;的情形，此时（+ 1>2（一1解得（V2#当B*；时，（+1,2（—1,得（$2,结合错解的解答得到2,（,3#综上所述，实数（的取值范围是（,3#警示：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围，要先根据集合间的包含关系与充分条件、必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解#通俗地讲，，大范围”是，小范围”的必要条件！小范围”是，大范围”的充分条件#切记讨论包含关系时不要忘记讨论空集，即当B1A时，应分B&；和B*；两种情形进行讨论#3.忘记分母不能为零导致错误!（已知p：$2+$—6&0!：（$+ 1&0,且p是q的必要不充分条件，求实数（的值#错解：p：$&2或$&—3,q：$&—,贝p,q对应的集合分别为—&{2,—3},，由于p是q的必要不充分条件，故N是-的真子集，从而有一（2或一3!所以（&—2或1剖析：错解中对q进行化简时，漏掉了（&0时的情况，当（&0时，（$+1&0无解，N&；，满足题意；当（*0时，才有错解中讨论的结果，故（&0或一2或3#警示：在解方程或对表达式进行化简时，一定要注意是否为等价变形，变形之后定义域是否扩大或缩小等问题，例如，不等式两边同乘以一个数时要讨论这个数的符号，又如!解方程A$&A（$2+2$—2）时，脱去对数符号后得到$&$2+2$—2,还要注意真数大于零，否则会导致增根#（责任编辑王福华）)9。
高考数学复习点拨 浅谈命题的否定及其应用
浅谈命题的否定及其应用简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.一、常见语句的否定①联言命题“1p 且2p 且…且n p ”的否定是“1p 或2p 或…或n p ”. ②选言命题“1p 或2p 或…或n p ”的否定是“1p 且2p 且…且n p ” ③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是” ④“至少有一个(n 个)” 的否定是“一个也没有(至多有n -1个)” ⑤“至多有一个(n 个)” 的否定是“至少有两个(至少有n +1个)” ⑥ “对任意x ∈A ,使P (x )成立”的否定是“存在x ∈A ,使P (x )不成立” ⑦“存在x ∈A ,使P (x )成立” 的否定是“对任意x ∈A ,使P (x )不成立” 二、常见否定命题的应用 例1． 写出下列命题的否命题(1)有些三角形是直角三角形; (2)所有的质数都是奇数 .分析:(1) 学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.(2) 学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.例2．若()22f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a的取值范围.解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .∴有()()1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩解之得11a a ≥≤-或故实数a的取值范围为()1a ∈- .注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.例3.设数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列, n n n c a b =+ . 证明:数列{}n c 不是等比数列. 分析:以下是一部份学生的解法,设数列{}n a 、{}n b 是公比分别为p 、q ，p ≠q ，则()()22211222222111111112n n n n n n n n n c a b a p b q a p b q a b p q ------=+=+=++而 ()()22111111n n nn n n c c a p b qa pb q ---+=++()222222222222111111n n n n n n a p a p b q a p a b p q p q ------=+++++∵p ≠q 22112,0p q pq a b +>≠ ∴211n n n c c c -+≠故数列{}n c 不是等比数列.评析:“ {}n c 是等比数列”的含义是数列{}n c 中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称{}n c 是等比数列.要证明数列{}n c 不是等比数列,只需破坏命题中的 “都是”即可.即需证明存在连续三项11,,n n n c c c -+使211n n n c c c -+≠ .为此只需首先验证2213c c c ≠,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解 .例4. 有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是23、12、25，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率.解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件，故所求概率为21219111113251010p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 例5.已知: A ={}2|(2)240,x x a x a x R ---+=∈,B={}22|(23)230,x x a x a a x R +-+--=∈,若AB ≠∅,求实数a 的取值范围.分析:由题意, AB ≠∅即两个方程2(2)240x a x a ---+=,与22(23)230x a x a a +-+--=中,至少有一个方程有实数解.设全集为I=R,所求实数a 的集合为A ,则使上述两个方程均设无实数解的实数a 的集合为I ()AB ð.由2(2)240x a x a ---+=，得()22124(24)412a a a a ∆=---+=+- 由22(23)230x a x a a +-+--=,得()2222234(23)4821a a a a a ∆=----=--+∴22412048210a a a a ⎧+-<⎪⎨--+<⎪⎩解得:762a -<<-或322a << . 即当762a -<<-或322a <<时,A B ≠∅. ∴所以所求AB ≠∅的a 的取值范围是(][)73,6,2,22⎡⎤-∞-⋃-⋃+∞⎢⎥⎣⎦.规律概括:由于I I,,A A I A A ⋃=⋂=∅痧以及()I I A A =痧,因此在分析集合A 的性质时,也可以通过分析I A ð的性质即通过间接法来实现对问题的解决,这也反映了否命题应用的基本思想实质.。
命题否定的一个易错点
命题的否定中的一个易错点在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。
本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。
首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题：例：设函数()ax ax x f --=259的定义域为A ，若命题p ：A q A ∈∈5:3与命题有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围。
对于这道题目，同学给出了两种解法。
解法1：由题意可知，q p ,两个命题一真一假。
（1） 若p 真q 假，则需满足Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--a a a a aa a a 1255945301259504593或 （2） 若p 假q 真，则需满足()125,453,591255945301259504593⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤><⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<--a a a a a a a a 或 解法2：由题意可知，q p ,两个命题一真一假命题p 等价于{}453<≤a a ，命题q 等价于⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤12559a a （1） 若p 真q 假，则需满足Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤a a a a 12559453或 （2） 若p 假q 真，则需满足[)125,453,5912559453⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥<a a a a 或综上所述，[).125,453,59⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a 乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。
高考数学有哪些容易出错的知识点？
高考数学有哪些容易出错的知识点？高考数学有哪些容易出错的知识点？易出错点1四个命题的结构未知，导致错误。
错误分析：如果原命题是“如果a是b”，这个命题的逆命题是“如果b是a”，这个否定命题是“If A is B”，而这个逆否定命题是“If B is A”。
等价命题有两组，即“原命题与其逆无命题等价，反无命题与其逆命题等价”。
在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是一个特殊命题，特殊命题的否定是一个全称命题。
比如“A和B都是偶数”的否定应该是“A和B都不是偶数”，而不是“A和B都是奇数”。
易出错点2查找函数域时忽略细节导致的错误错误分析：求一般函数的定义域时注意以下几点：(1)分母不是0；(2)偶数模式不为负数；(3)真值大于0；(4)0的0次方没有意义。
对于复合函数，应该注意的是，外部函数的定义域是由内部函数的“范围”决定的。
易出错点3求函数奇偶性的常见错误错误分析：奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称。
如果不满足这个条件，函数必须是非奇数和非偶数函数。
易出错点4混淆两种切线导致的错误错误分析：曲线最后一点的切线是指以该点为切点的曲线的切线，所以只有一条切线；曲线通过一点的切线是指曲线通过该点的所有切线。
如果这个点当然包括曲线在曲线上这个点的切线，那么通过一个点的曲线可能有多个切线。
因此，在求解曲线的切线问题时，首先要区分它是什么样的切线。
易出错点5对算术和几何级数性质的误解错误分析：一般有这样一个结论，“如果数列{an}的前n项和Sn=an2 bn c(a，b，cR)，那么数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm，S2m-Sm和S3m-S2m(mN*)是等差数列。
在几何级数中，当公比等于-1时，是一个非常特殊的情况，所以在解决相关问题时要注意这个特殊情况。
高考数学 复习点拨 命题否定的典型错误
命题否定的典型错误新教材选修2-1第一章安排了《常用逻辑用语》内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对这三个逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误加以叙述．错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论例1写出下列命题的否定：x=；（1）对于任意实数x，使21x=．（2）存在一个实数x，使21误：它们的否定分别为x≠；（1）对于任意实数x，使21x≠．（2）存在一个实数x，使21x≠即可；对立（2）析：对于（1）是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使21x≠．是特称命题，要否定它必须是对所有实数x，使21x≠；正：（1）存在一个实数x，使21x≠．（2）对于任意实数x，使21错误2——认为命题的否定就是原命题中的关键词改成与其意义相反的关键词在命题的否定中，有许多是把原命题中的关键词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但有些命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2 写出下列命题的否定：（1）线段AB与CD平行且相等；（2）线段AB与CD平行或相等．误：（1）线段AB与CD不平行且不相等；（2）线段AB与CD不平行或不相等．析：对于（1），其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而（2）的结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”． 正：（1）线段AB 与CD 不平行或不相等；（2）线段AB 与CD 不平行且不相等．错误3――认为“都不是”是“都是”的否定例3 写出下列命题的否定：（1）a b ，都是零；（2）高一（一）班全体同学都是共青团员．误：（1）a b ，都不是零；（2）高一（一）班全体同学都不是共青团员．析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正：（1）a b ，不都是零，或写成：a b ，中至少有一个不是零．（2）高一（一）班全体同学不都是共青团员，或写成：高一（一）班全体同学中至少有一人不是共青团员．错误4——认为“命题的否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p 都有它的否定（p ⌝）；而否命题是就“若p ，则q ”形式的命题而言的．如果一个命题不是这种形式，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”，而“若p ，则q ”的否定（命题）则是“若p ，则q ⌝”．例4 写出命题“满足条件C 的点都在直线F 上”的否定．误：不满足条件C 的点不都在直线F 上．析：对于原命题可表示为“若A ，则B ”，其否命题是“若A ⌝，则B ⌝”，而其否定形式是“若A ，则B ⌝”，即不需要否定命题的题设部分．正：满足条件C 的点不都在直线F 上．。
高考数学复习点拨 常用逻辑用语中的几个错解
1 / 1常用逻辑用语中的几个错解本文对高中数学《常用逻辑用语》这一部分易错的几个问题的成因进行归纳和分析，整理.希望对读者的学习起一些帮助.[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似. 逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似. 逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似. 逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1| 故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误； （2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb ha 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-hb h h a h两式相减得h b a h 22<-<-故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22同理也可得h b a 2<-因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. [例4] 已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因 ：对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解：当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5，故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1). 同样，a 1≠,且b 3≠时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4. 因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1≠且b 3≠为真时，必须a 1≠,b 3≠同时成立.。
高考数学复习点拨：命题中的“大于(或小于)”的否定
命题中的“大于（或小于）”的否定在简易逻辑中经常会碰到大于或小于的否定问题，而这类问题往往受思维的定势，容易出差错。
以下是最近在国内一本很有影响的教学辅导书上的一个例题及其解答，现抄录如下： 例题2：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判别其真假。
命题：“当012>+m 时，如果0123>-+m m ，那么0652<+-m m ” 解：由012>+m 得：21->m ，又由0123>-+m m 得：213>-<m m 或，结合21->m 得21>m ；由0652<+-m m 得：32<<m 。
由此可知，原命题可变为：“如果21>m ，那么32<<m ”显然是真命题。
逆命题为“当012>+m 时，如果0652<+-m m ，那么0123>-+m m ”，此命题即是“如果32<<m ，那么21>m ”，它是真命题。
否命题为“当012>+m 时，如果0123≤-+m m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121<<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题 逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121<<-m ”，它是真命题。
评注：上述解法在0123>-+m m 的否定上存在错误。
事实上，0123>-+m m ⇔213>-<m m 或，结合大前提，结果为21>m ；而其否定不是由0123≤-+m m 结合大前提所得的2121<<-m ，而是2121<<-m 或21=m ，即2121≤<-m 。
从而，否命题为““当012>+m 时，如果0123≤-+m m 或21=m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121≤<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题；逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m 或21=m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121≤<-m ”，它是真命题。
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命题否定的典型错误
新教材选修2-1第一章安排了《常用逻辑用语》内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对这三个逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误加以叙述．
错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论
例1写出下列命题的否定：
x=；
（1）对于任意实数x，使21
x=．
（2）存在一个实数x，使21
误：它们的否定分别为
x≠；
（1）对于任意实数x，使21
x≠．
（2）存在一个实数x，使21
x≠即可；对立（2）析：对于（1）是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使21
x≠．
是特称命题，要否定它必须是对所有实数x，使21
x≠；
正：（1）存在一个实数x，使21
x≠．
（2）对于任意实数x，使21
错误2——认为命题的否定就是原命题中的关键词改成与其意义相反的关键词
在命题的否定中，有许多是把原命题中的关键词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但有些命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．
例2 写出下列命题的否定：
（1）线段AB与CD平行且相等；
（2）线段AB与CD平行或相等．
误：（1）线段AB与CD不平行且不相等；
（2）线段AB与CD不平行或不相等．
析：对于（1），其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而（2）的结论包含“平行但不
相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”． 正：（1）线段AB 与CD 不平行或不相等； （2）线段AB 与CD 不平行且不相等． 错误3――认为“都不是”是“都是”的否定
例3 写出下列命题的否定： （1）a b ，都是零；
（2）高一（一）班全体同学都是共青团员． 误：（1）a b ，都不是零；
（2）高一（一）班全体同学都不是共青团员．
析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”． 正：（1）a b ，不都是零，或写成：a b ，中至少有一个不是零．
（2）高一（一）班全体同学不都是共青团员，或写成：高一（一）班全体同学中至少有一人不是共青团员．
错误4——认为“命题的否定”就是“否命题”
根据逻辑学知识，任一命题p 都有它的否定（p ⌝）；而否命题是就“若p ，则q ”形式的命题而言的．如果一个命题不是这种形式，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”，而“若p ，则q ”的否定（命题）则是“若p ，则q ⌝”
． 例4 写出命题“满足条件C 的点都在直线F 上”的否定． 误：不满足条件C 的点不都在直线F 上．
析：对于原命题可表示为“若A ，则B ”，其否命题是“若A ⌝，则B ⌝”，而其否定形式是“若A ，则B ⌝”，即不需要否定命题的题设部分． 正：满足条件C 的点不都在直线F 上．
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