高三理科数学一轮总复习第九章 圆锥曲线与方程

第九章圆锥曲线与方程高考导航知识网络9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】由椭圆的定义知，2a ＝453＋253＝25，故a ＝5，由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c 2，所以c 2＝53，b 2＝a 2－c 2＝103，故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )； (2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 .【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A (－2,2)，B (－2，0)，C (0，6)，D (2，－22)，E (22，2)，F (3，－23).通过观察可知道点F ，O ，D 可能是抛物线上的点.而A ，C ，E 是椭圆上的点，这时正好点B 既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b ＝6，则不妨设椭圆的方程是x 2m ＋y 26＝1，则将点A (－2,2)代入可得m ＝12，故该椭圆的方程是x 212＋y 26＝1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②y 21y 22＝x 1x 2，则可知B (－2，0)，C (0，6)不是抛物线上的点. 而D (2，－22)，F (3，－23)正好符合.又因为椭圆的交点在x 轴上，故B (－2，0)，C (0，6)不可能同时出现.故选用A (－2,2)，E (22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可知4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，因为m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ， 所以4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤(m ＋n 2)2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以4a 2－4c 2≤3a 2，所以c 2a 2≥14，即e ≥12，所以e 的取值范围是[12，1).(2)由(1)知mn ＝43b 2，所以21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a－c .【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】设F 1，F 2为椭圆左、右焦点，则F 1，F 2分别为两已知圆的圆心， 则|PQ |＋|PR |≥(|PF 1|－12)＋(|PF 2|－12)＝|PF 1|＋|PF 2|－1＝9.所以|PQ |＋|PR |的最小值为9. 题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=.1,2222b y a x c x y化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|P A |＝|PB |⇒k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1⇒c ＝3. 从而a ＝32，b ＝3，故E 的方程为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)，则椭圆左准线x ＝－a 2c ，抛物线准线为x ＝－3c ，x 0－(－a 2c )＝x 0－(－3c )⇒c 2a 2＝13⇒e ＝33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.9.2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心E 的轨迹方程.【解析】设动圆E 的半径为r ，则由已知|AE |＝r ＋2，|BE |＝r －2， 所以|AE |－|BE |＝22，又A (－4,0)，B (4,0)，所以|AB |＝8,22＜|AB |. 根据双曲线定义知，点E 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支. 因为a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14， 故点E 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二 双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使PQ AP ∙＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P (x ，y )，则由PQ AP ∙＝0，得AP ⊥PQ ，则P 在以AQ 为直径的圆上， 即 (x －3a 2)2＋y 2＝(a2)2，①又P 在双曲线上，得x 2a 2－y 2b2＝1，②由①②消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0， 即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a )＝0，当x ＝a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去；当x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2时，满足题意的点P 存在，需x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2＞a ，化简得a 2＞2b 2，即3a 2＞2c 2，c a ＜62，所以离心率的取值范围是(1，62).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A.k 2－e 2＞1B.k 2－e 2＜1C.e 2－k 2＞1D.e 2－k 2＜1【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a ＜k ＜b a ，即k 2＜b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，故选C. 题型三 有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值. 【解析】(1)由题意知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2).② 方法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x ，y 1＝2yx ，③则x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.方法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点，①×②得y 2＝－y 21x 21－2(x 2－2).③又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 212－y 21＝1，即y 21＝x 212－1.代入③式整理得x 22＋y 2＝1.因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合.故点A 1和A 2均不在轨迹E 上.过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+12,02222y x y x 得x ＝2，y ＝0.所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.故轨迹E 不过点(0,1).同理轨迹E 也不过点(0，－1). 综上分析，轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)， 联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝h 2－12，k 2＝－h 2－12. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3.过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ，由h 2×(－h2)＝－1，得h ＝ 2.此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2， 它们与轨迹E 分别仅有一个交点(－23，223)与(23，223). 所以，符合条件的h 的值为3或 2.【变式训练3】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2等于( )A.1＋2 2B.3＋2 2C.4－2 2D.5－2 2【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF 1|＝x ，则|AB |＝x ，|BF 1|＝2x . 由双曲线定义有|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a⇒(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝(2＋1)x －x ＝4a ，即x ＝22a ＝|AF 1|. 故在Rt △AF 1F 2中可求得|AF 2|＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝4c 2－8a 2.又由定义可得|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝22a －2a ，即4c 2－8a 2＝22－2a ， 两边平方整理得c 2＝a 2(5－22)⇒c 2a2＝e 2＝5－22，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a ，b ，c 的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线；当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线；当 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，P 无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y ＝±b a x ，可将双曲线方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.9.3 抛物线典例精析题型一 抛物线定义的运用【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P (2，－4)；(2)抛物线焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 【解析】(1)设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny . 将点P 坐标代入得y 2＝8x 或x 2＝－y .(2)设A (m ，－3)，所求焦点在x 轴上的抛物线为y 2＝2px (p ≠0)， 由定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|，又(－3)2＝2pm ，所以p ＝±1或±9，所求方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .【变式训练1】已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一点，另一点A (a,0) (a ＞0)满足|P A |＝d ，试求d 的最小值. 【解析】设P (x 0，y 0) (x 0≥0)，则y 20＝2x 0，所以d ＝|P A |＝(x 0－a )2＋y 20＝(x 0－a )2＋2x 0＝[x 0＋(1－a )]2＋2a －1.因为a ＞0，x 0≥0，所以当0＜a ＜1时，此时有x 0＝0，d min ＝(1－a )2＋2a －1＝a ； 当a ≥1时，此时有x 0＝a －1，d min ＝2a －1. 题型二 直线与抛物线位置讨论【例2】(2010湖北)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FB FA ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0). 化简得y 2＝4x (x ＞0).(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧=+=,4,2x y m ty x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧-==+.4,42121m y y t y y ①又＝(x 1－1，y 1)，＝(x 2－1，y 2).FA ∙FB ＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于 y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA ·FB ＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22).【变式训练2】已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴的交点坐标为(0,2)，则1y 1＋1y 2＝ .【解析】⎩⎨⎧=-=xy y m x 4),2(2⇒y 2－4my ＋8m ＝0，所以1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12.题型三 有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)求证：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使·＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，所以x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，所以点N 的坐标为(k 4，k 28).设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式，得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝m 2－8(mk 4－k28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，所以m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使·＝0，则NA ⊥NB ， 又因为M 是AB 的中点，所以|MN |＝21|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 24＋2.因为MN ⊥x 轴，所以|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝12k 2＋1·k 2＋16. 所以k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使·＝0.【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.【变式训练3】已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是 .【解析】455.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F 不在准线l 上，这是一个重要的隐含条件，若F 在l 上，则抛物线退化为一条直线.2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p ；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p .3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等.9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一 直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y 2＝ax 与直线y ＝(a ＋1)x －1恰有一个公共点，求实数a 的值.【解析】联立方程组⎩⎨⎧=-+=,,1)1(2ax y x a y(1)当a ＝0时，方程组恰有一组解为⎩⎨⎧==;0,1y x(2)当a ≠0时，消去x 得a ＋1ay 2－y －1＝0，①若a ＋1a＝0，即a ＝－1，方程变为一元一次方程－y －1＝0，方程组恰有一组解⎩⎨⎧-=-=;1,1y x②若a ＋1a ≠0，即a ≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－45.【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a ≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数aa 1+＝0，即a ＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a ＝0时，曲线y 2＝ax ，即直线y ＝0，此时与已知直线y ＝x －1 恰有交点(1,0)；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a ＝－45时直线与抛物线相切.【变式训练1】若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( ) A.{1，－1，52，－52} B.(－∞，－52]∪[52，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞) 【解析】由⎩⎨⎧=--=4,122y x kx y ⇒(1－k 2)x 2－2kx －5＝0， ⎩⎨⎧=≠-0,112Δk ⇒k ＝±52，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A. 题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2010辽宁)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2FB .(1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程. 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),(32222b y ax c x y得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为AF ＝2FB ，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.解得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154.由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，即a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为 . 【解析】设直线与椭圆交于A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点坐标为(x 0，y 0)，代入椭圆方程两式相减得a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0⇒2ax 0＋2by 0y 1－y 2x 1－x 2＝0⇒ax 0－by 0＝0. 故a b ＝y 0x 0＝32. 题型三 对称问题【例3】在抛物线y 2＝4x 上存在两个不同的点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围. 【解析】设A (x 1，y 1)、B (x 2、y 2)是抛物线上关于直线l 对称的两点，由题意知k ≠0. 设直线AB 的方程为y ＝－1kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y b x k y 4,12消去x ，得14ky 2＋y －b ＝0， 由题意有Δ＝12＋4·14k ·b ＞0，即bk＋1＞0.(*)且y 1＋y 2＝－4k .又y 1＋y 22＝－1k ·x 1＋x 22＋b .所以x 1＋x 22＝k (2k ＋b ).故AB 的中点为E (k (2k ＋b )，－2k ).因为l 过E ，所以－2k ＝k 2(2k ＋b )＋3，即b ＝－2k －3k 2－2k .代入(*)式，得－2k －3k 3－2＋1＞0⇔k 3＋2k ＋3k 3＜0⇔k (k ＋1)(k 2－k ＋3)＜0⇔－1＜k ＜0，故k 的取值范围为(－1,0).【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l 对称，则满足直线l 与AB 垂直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.【变式训练3】已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于x ＋y ＝0对称的两点A ，B ，则|AB |等于( ) A.3B.4C.3 2D.4 2【解析】设AB 方程：y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3，得x 2＋x ＋b －3＝0， 所以x A ＋x B ＝－1，故AB 中点为(－12，－12＋b ).它又在x ＋y ＝0上，所以b ＝1，所以|AB |＝32，故选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 通过消去y (也可以消去x )得到x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0进行讨论.这时要注意考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a ≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一 求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x 2＝2y ，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l 1和l 2，记l 1和l 2交于点M .(1)求证：l 1⊥l 2； (2)求点M 的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12.联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22121x y kx y 消去y 整理得x 2－2kx －1＝0.设A 的坐标为(x 1，y 1)，B 的坐标为(x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－1，将抛物线方程改写为y ＝12x 2，求导得y ′＝x .所以过点A 的切线l 1的斜率是k 1＝x 1，过点B 的切线l 2的斜率是k 2＝x 2. 因为k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2.(2)直线l 1的方程为y －y 1＝k 1(x －x 1)，即y －x 212＝x 1(x －x 1).同理直线l 2的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2).联立这两个方程消去y 得x 212－x 222＝x 2(x －x 2)－x 1(x －x 1)，整理得(x 1－x 2)(x －x 1＋x 22)＝0，注意到x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22.此时y ＝x 212＋x 1(x －x 1)＝x 212＋x 1(x 1＋x 22－x 1)＝x 1x 22＝－12.由(1)知x 1＋x 2＝2k ，所以x ＝x 1＋x 22＝k ∈R . 所以点M 的轨迹方程是y ＝－12.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC 的顶点为A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4)【解析】如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6，根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)，故选C. 题型二 圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率为1.当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥B D. 于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .由⎩⎨⎧+-==+nx y y x ,4322得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64＞0，解得－433＜n ＜433.设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3n2，x 1x 2＝3n 2－44，y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n . 所以y 1＋y 2＝n2.因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB |＝|BC |＝|CA |. 所以菱形ABCD 的面积S ＝32|AC |2. 又|AC |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝－3n 2＋162，所以S ＝34(－3n 2＋16) (－433＜n ＜433).所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n 的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线y ＝x 2－1上有一定点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，若BP ⊥PQ ，则点Q 横坐标的取值范围是 .【解析】如图，B (－1,0)，设P (x P ，x 2P －1)，Q (x Q ，x 2Q －1)， 由k BP ·k PQ ＝－1，得x 2P －1x P ＋1·x 2Q －x 2Px Q －x P＝－1.所以x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1x P －1－1.因为|x P －1＋1x P －1|≥2，所以x Q ≥1或x Q ≤－3. 题型三 求参数的取值范围及最值的综合题【例3】(2010浙江)已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.【解析】(1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，解得m 2＝2，又因为m ＞1，所以m ＝ 2. 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1,22222y m x m my x 消去x 得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8(m 24－1)＝－m 2＋8＞0知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故O 为F 1F 2的中点，由＝2， ＝2，得G (x 13，y 13)，H (x 23，y 23)，|GH |2＝(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29.设M 是GH 的中点，则M (x 1＋x 26，y 1＋y 26)，由题意可知，2|MO |＜|GH |，即4[(x 1＋x 26)2＋(y 1＋y 26)2]＜(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29，即x 1x 2＋y 1y 2＜0.而x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋m 22)(my 2＋m 22)＋y 1y 2＝(m 2＋1)(m 28－12).所以m 28－12＜0，即m 2＜4.又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2. 所以m 的取值范围是(1,2).【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.【变式训练3】若双曲线x 2－ay 2＝1的右支上存在三点A 、B 、C 使△ABC 为正三角形，其中一个顶点A 与双曲线右顶点重合，则a 的取值范围为 .【解析】设B (m ，m 2－1a )，则C (m ，－m 2－1a)(m ＞1)，又A (1,0)，由AB ＝BC 得(m －1)2＋m 2－1a＝(2m 2－1a)2， 所以a ＝3m ＋1m －1＝3(1＋2m －1)＞3，即a 的取值范围为(3，＋∞).总结提高1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.。