1-圆的概念、性质与定理.习题集(2016-2017)

考点一、圆的相关概念 1、圆的定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB ） （2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD ） 直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示一、圆的基本概念和性质1..如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．OEDCB A2.如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是（ ）A ． a b c >>B ． a b c ==C ． c a b >>D ． b c a >>ON MHGFE DC B A3.小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2B ．5C ．22D ．34.已知：如图，在⊙O 中，弦AB CD 、交于点E ，AD CB =．求证：AC BD ∥．OEDCBA5.如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A （0，1）．过点P （0，－7）的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有_______个；它们是________________．6.如图，⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为10，如果过点P 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6PO7.如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC =，试猜想»AD 与»BC之间的关系，并证明你的猜想．PDCOB A8.如图，等边ABC △内接于O ⊙，P 是»BC上任意一点，连结PA PB PC 、、．求证：PA PB PC =+．POCBA考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

二、垂径定理1.如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4，∠P =30°，求弦AB 的长．AB PO2.如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．ODCBA3.如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =__________．PABC4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB 为24米，拱的半径为13米，则拱高CD 为（ ）A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米DCBA5.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图所示，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．6分米B ．8分米C ．10 分米D ．12 分米BANM6.如图，O e 的两条弦AB CD 、互相垂直，垂足为E ，且AB CD =，已知13CE ED ==，，则O e 的半径是____DOAB CE7.（1） 如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．152B ．154C ．8D ．10OD C BA（2） 如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC =90°，OA =1，BC =6．则⊙O 的半径为________．A BOC8.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与CD 之间的距离．9.在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、的长分别为3和2，则BAC ∠的度数为________．10.如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．11.如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ，连接AC OC BC 、、，（1）求证：ACO BCD ∠=∠，（2）若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径． ODCBAE三、弦、弧、圆心角关系1.（1）已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB ∠的大小关系．OO O根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．（2）若点D 是优弧AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．O DCBA（3）如果点D 在劣弧AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可 以得到什么结论？ODCBA2.如图，弧AB 是半圆，O 为AB 中点，C 、D 两点在弧AB 上，且AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若︒=∠31CBD ，则ABD ∠的度数为（ ）． A ．︒28 B ．︒29 C ．︒30 D ．︒31DCBO A3.ABC △中，70A ∠=︒，O ⊙截ABC △的三边所截得的弦都相等，则BOC ∠=___________．C BAO4.如图所示，在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A ． »»2AB CD > B ． »»2AB CD <C ． »»2AB CD = D ．»AB 与»2CD的大小关系不能确定 DCBAO5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB =8，AC =4，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．D BCAPO6.如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是弧AC 的中点，MN AB ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．ONMCBA三、圆周角定理1.如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒O CBA2.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．OCBA4.如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，∠ADC +∠AEB +∠BAC =__________CBEDA5.在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．则∠D =_______．E OBDFCA6.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD =________°．OCB AD7.如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知57C ∠=︒，45D ∠=︒，则CEB ∠=________．EDCBA8.已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为______．8.已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是»BE的中点，40A ∠=︒，求C ∠的大小．OE DCBA9.如图，ABC △内接于O ⊙，OD AC ⊥于D ，2OD =，4OC =，则B ∠=________．OD CBA10.如下左图，ABC △内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．ODCBA11.如下中图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则DCA ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．20︒D ．40︒OD CBA12.如下右图，O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度数为__________．BAO【例1】 如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若452BAD CD ∠=︒=，，则AB 的长等于__________．ODC BA【例2】 如图，已知圆内接四边形ABCD 中1193AB BC CD ===，，，若»»»»AB CD BC AD +=+，则AD =__________．1193DC BA【例3】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点 A 、B 重合）BC OD ⊥，AC OE ⊥，垂足分别为D 、E ． （1）当1=BC 时，求线段OD 的长；（2）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设x BD =，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．（上海中考）OAECDB【例4】 在ABC △中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．（三帆中学期中）AOXMCB【例5】 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．① 若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； ② 若3OC =，5OA =，求AB 的长．OEDC BA【例6】 如图，等边ABC △内接于O ⊙，P 是弧BC 上任意一点，连结PA PB PC 、、．求证：PA PB PC =+．POCBA【例7】 如图，AD 是O ⊙的直径．（1）如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是______，2B ∠的度数是_______；（2）如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；（3）如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数（只需直接写出答案）．图3图2图1……C n B nC n -1B n -1C n -2B n -2O C 2C 1B 2B 1D AC 3B 3B 3C 3AD B 1B 2C 1C 2OOC 2C 1B 2B 1D A【练1】 下列选项正确的有（ ）（1）半圆是弧（2）半径相等的两个圆是等圆 （3）过圆心的线段是直径 （4）两个端点能够重合的弧是等弧（5）圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 （6）长度相等的弧是等弧 （7）直径是最大的弦 （8）半圆所对的弦是直径 （9）两个劣弧的和是半圆（10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R【练2】 （1）如图，O ⊙的直径为10，弦8AB ，P 是线段AB 上一点，则OP 的取值范围是________________．OPAB（2）如图，将O ⊙沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，若O ⊙的半 径为6，则弦AB 的长度等于_________．OBA课后作业【练3】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D ，两点．（1）求证：AOC BOD ∠=∠；（2）试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．DCBAO（西城区教研）【练4】 ⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，且AB =24cm ，CD =10cm ，求AB 与CD 之间的距离．（2012黑龙江牡丹江）【练5】 在半径为2的O ⊙中，弦AB AC 、的长分别为2和22，则BAC ∠的度数为________．【练6】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N 、，分别作弦CD EF 、，若CD EF AC BF =，∥．求证：（1）¼¼BEC ADF =；（2）AM BN =．OFDECMBN A【练7】 下列说法中“是”请打“√”，“否”请打“×”．① 在同一圆中，同一条弦对无数多个圆周角．（ ）② 在同一圆中，一条弦所对的圆周角都相等．（ ） ③ 直径所对的圆周角为90︒．（ ）【练8】 如图，AB 为O ⊙直径，点C 、D 在O ⊙上，如果70ABC =︒∠，那么D ∠的度数为___________．ODCBA（密云期末）【练9】 如图，BD 为O ⊙的直径，60ACB BDC ==︒∠∠，23cm AC =，则BAC ∠的度数为_______；O ⊙的半径为______．DOCBA（密云期末）【练10】 如图，C ⊙过原点，与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点．已知30OBA ∠=°，点D 的坐标为()02，，则C ⊙半径是（ ）A ．433 B ．233C ．43D ．2 D (0,2)BO CAy x（石景山期末）。