2020年11月河南省九师联盟高2021届高2018级高三11月联考理科数学试题参考答案

合集下载

河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题理(含答案)

£|'WX¡O¦'§¡¨'¦!d*¡*¤8y'¦©¢£|'¡
¨©¢£2'¤©¢£ªy!
1!#'($2
#>?@A$B?CD&EP#«H¬!
#RT$®'(*)&'(*')'¯')*!'')&'!'WX#«%')&X'! V°''! V±HP#«'§')&
-!#'($.
#>?@A$B?CD&Eijklm_`Hcnop!
#RT$qr)st! ,!#'($.
#>?@A$B?CD&Euv!
#RT$w!-xyiz;<{#|d!$$H}1x'WXw!-xy}1xiz;<~' 2 st)
w!-xyiz;<{#Hyc#3"*#!#!&!$+!,'.Ost)!$9!! !$9!- 'iz
（1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
-4-
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b 为正数，且满足 a＋b＝1．
（1）求证：（1＋ 1 ）（1＋ 1 ）≥ 9 ；
a
b
（2）求证：（ a ＋ 1 ）（ b ＋ 1 ）≥ 25 ．
#''ÀÁ1 HÅÆV2&'0&槡"'#槡#! !$!#'($(
#>?@A$B?CD&E²#HµÇ´mÈÉ´! #RT$UV*!#*!"Ç²#'WX*!'#*!"&*!#*!"'§*!'#"&*!#*#") UV*!#'!"Ç²#'WX*!'#'!"&*!#'!"'§*!'#"&*!#'#"! d*!#*#"&*!#'#"'*!#*-"&*!#"'WX*!#"X-VÈÉH²#! UV*!'#'!"&*!#'!"'WX*!'#'!*-"&*!#'!*-"'Ê*!'#*+"&*!#*+"' WX*!#*+"Ç²#! !!!#'($( #>?@A$B?CD&E¶«ËG9 #RT$+ÌÍ&Î+.KÍ'Ïy!ÐÑÒÓ+Ô+ÕÖ×ØÙ'ÚÛ+ÐÑÒÓÜ+Ô!ÕÖ×ØÙ' ÝÍ+Ô(Þ#V (+"2--&-3$).MÍ'Ïy#ÐÑÒÓÜ+Ô#ÕÖ×ØÙ'ÚÛ#ÐÑÒÓÜ+Ô !ÕÖ×ØÙ'ÝÍ+Ô(Þ#V(2#"(# ##-(2! #(# #! !2- -&!$3$9OH+Ô(0}!,"$Þ9 !#!#'($( #>?@A$B?CD&E8ß²#H´;! #RT$UV*!'#"&4)5!'#"(4)5!#'##"&4)5#(4)5!'##"&'4)5#(4)5##&'*!#"'WX3&

高2021届高2018级河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题解析版

2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1.已知集合{}20x x x M =-≤,{}1,0,1,2N =-,则MN =（）A.{}1,0,1-B.{}1,0-C.{}1,2D.{}0,1【参考答案】D【试题解析】由集合描述求M 的集合,应用集合交运算求交集即可.因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤,所以{}0,1M N =.故选：D .本题考查了集合的基本运算,根据集合交运算求集合,属于简单题. 2.设11iz i=-+（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】D【试题解析】由复数的运算求出z ,得出对应点的坐标后可得象限.因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-,所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,在第四象限. 故选：D .本题考查复数的综合运算,复数的几何意义,解题方法是由复数运算化复数为代数形式,然后由复数的几何意义得出结论.3.某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a =（） A.3B.4C.5D.6【参考答案】C【试题解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得. 由题意,605120a a =+,解得5a =. 故选：C .本题考查分层抽样,解题根据是样本容量与总体容量比值相等. 4.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为（）A.15B.17C.18D.19【参考答案】C【试题解析】模拟程序运行,观察变量值的变化,判断循环条件可得结论.第一次运行时,8412S =+=,3i =；第二次运行时.12315S =+=,2i =；第三次运行时,15217S =+=,1i =；第四次运行时,17118S =+=, 此时满足判断条件1i =. 则输出S 的值为18. 故选：C .本题考查程序框图,考查循环结构,解题方法是模拟程序运行,观察变量值的变化,从而得出结论.5.圆C ：2240x y y +-=被直线l 210x y --=所截得的弦长为（） A.1B.2C.3D.4【参考答案】B【试题解析】求出圆心到直线的距离,圆的半径,利用垂径定理得弦长.圆C 的圆心为()0,2C ,半径为2R =,C 到直线l 的距离为202133d ⨯--==,所以所截得的弦长为22222232R d -=-=. 故选：B .本题考查求直线与圆相交弦长,解题方法是几何法,求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长.6.2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”,通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合,被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张,则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（）A.12B.16C.112D.15【参考答案】B【试题解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件,而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种,计数后可得概率.给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1,2,3,4.从中选2个基本事件为：12,13.14,23,24,34共6个,所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16. 故选：B .本题考查古典概型,解题方法是列举法.7.函数()2421x f x x =+的图像大致是（）A. B. C.D.【参考答案】B【试题解析】由奇偶性排除A ,C ,再求出0x >时函数有最值可排除D ,从而得正确选项.由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+,所以()f x 偶函数,可排除A ,C ；当0x >时,()2422222211112x f x x x x x x==≤=++⋅,即当且仅当1x =时,()max 1f x =,可排除D . 故选：B .本题考查由函数解析式选择函数图象,解题方法是排除法,通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项,再由特殊的函数值、函数值的正负,函数值的变化趋势,图象的特殊点等排除一些选项,最终得出正确选项. 8.将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度,若所得图象与原图象关于x 轴对称,则π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.22-B.0C.22D.32【参考答案】A 【试题解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍,求出()()412k k ω=+∈Z ,求出解析式,再利用诱导公式即可求解.由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍,即()()ππ124k k ω=+∈Z ,解得()()412k k ω=+∈Z .所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦. 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以π242f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：A .本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题. 9.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动,且a b ⊥,若1A D 与b 所成角为60°时,则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（） A.30°B.45°C.60°D.90°【参考答案】B【试题解析】建立适当的空间直角坐标系,根据题意设出直线,a b 的方向向量,利用空间向量,根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系,进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小.以D 为原点,以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直,设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =,2·cos ,1?DC v DC v DC v m ∴===故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B.本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题,属创新题,难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量进行有关计算.10.“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是（） A.9B.10C.12D.13【参考答案】A【试题解析】设只能堆放n 层,由已知得从最上层往下,每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于1n +,根据等差数列的前n 项和公式可求得选项.设只能堆放n 层,则从最上层往下,每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于1n +, 于是()11002n n +≤,且()110012n n n +-<+,解得13n =,剩余的根数为131410092⨯-=. 故选：A.本题考查数列的实际应用,关键在于将生活中的数据,转化为数列中的基本量,属于中档题.11.在ABC 中,3tan 4C =,H 在边BC 上,0AH BC ⋅=,AC BC =,则过点B 以A ,H 为两焦点的双曲线的离心率为（）A.3B.43C.13D.13【参考答案】D【试题解析】设3AH x =,求出,,,CA CH BA BH ,由双曲线的定义表示出2a ,2c AH =,再由离心率定义可得离心率.在ABC 中,0AH BC ⋅=,所以AH 为边BC 上的高,CA CB =.又3tan 4C =,令3AH x =,则|4CH x =,5AC CB x ==,BH x =,所以AB ==,所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中,)21a BA BH x =-=,23c AH x ==,所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为2123c c e a a====. 故选：D .本题考查求双曲线的离心率,解题方法是设3AH x =,根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率.12.3D 打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,现正用于一些产品的直接制造,特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上）,圆锥底面直径为,母.打印所用原料密度为31 g/cm ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为（）（取π 3.14=,精确到0.1）A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g【参考答案】C【试题解析】作出圆锥的轴截面,截正方体得对角面,由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高,再由体积公式计算出体积.体积乘密度即得质量.如图,是几何体的轴截面,因为圆锥底面直径为102cm ,所以半径为52cm OB =.因为母线与底面所成角的正切值为tan 2B =所以圆锥的高为10cm PO =.设正方体的棱长为a ,2DE a =,21021052a -=,解得5a =. 所以该模型的体积为(()2331500ππ52105125cm 33V =⨯⨯-=-. 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭. 故选：C .本题考查求组合体的体积,掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键.二、填空题13.设向量()2,21a m m =-+,()1,3b =-,若a b ⊥,则m =_______. 【参考答案】1-【试题解析】0a b ⋅=可计算出m 值.因为a b ⊥,所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=,解得1m =-. 故答案为：1-.本题考查向量垂直与数量积的关系,考查数量积的坐标表示,属于基础题.14.已知实数x ,y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______.【参考答案】44-【试题解析】根据线性约束条件作出可行域,利用z 的几何意义即可求解.作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示：由26z y x =-,可得32zy x =+,作直线0:3l y x =, 将其沿着可行域的方向平移,由图可知, 当直线32zy x =+过点B 时,z 取得最小值. 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ,所以min 226844z =⨯-⨯=-. 故答案为：44-.本题主要考查了根据简单的线性规划求最值,理解目标函数的几何意义最关键,属于基础题15.曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4,则该切线的方程为_______.【参考答案】440x y --=【试题解析】利用切线的斜率求得切点坐标,然后利用点斜式可得出所求切线的方程.设切点坐标为()00,x y ,其中00x >,对函数32y x x =-+求导得231y x '=+,所以切线的斜率020314x x y x ='=+=, 因为00x >,解得01x =,则02310y =-+=,切点为()1,0, 则该切线的方程为()41y x =-,即所求切线方程为440x y --=. 故答案为：440x y --=.本题考查利用导数求解函数的切线方程,同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标,考查计算能力,属于基础题.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且364n n S a =-,若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈,则k 的取值集合是_______.【参考答案】{}4,5【试题解析】利用已知n S 求n a 的法,求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,可知{}n a 是递减数列,所以151a a =,241a a =,31a =,结合1m k ≤<,即可求得k 的取值集合.当1n =时,11364a a =-,解得116a =；当2n ≥时,364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减,得13n n n a a a -=-,即114n n a a -=, 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列, 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,{}n a 是递减数列,即各项依次为16,4,1,14,116,164,…,所以151a a =,241a a =,31a =,结合1m k ≤<,得k 的取值集合是{}4,5.本题主要考查了已知n S 求n a ,利用递推公式求数列通项,考查了等比数列的定义,属于中档题.三、解答题17.某网校推出试听的收费标准为每课时100元,现推出学员优惠活动,具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数,得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元.（1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时,该网校所获得的平均利润. 【参考答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）. 【试题解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率.（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润,从而可求出这4个课时听课获得的平均利润.解：（1）根据听课课时数表.估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==. （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）；第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）；第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）；第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）, 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）.本题考查由频数计算概率,统计的数字特征求实际问题中的平均利润,属于中档题.18.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其面积为S ,且2223b c a S +-=. （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =,求ABC 的面积S .【参考答案】（1）π3；（2【试题解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简,整理求出tan A 的值,即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案.解：（1）由2223b c a S +-=,得12cos sin 32bc A bc A =⋅,所以cos A A =,所以tan A =又()0,πA ∈, 所以π3A =.（2）由正弦定理,得2sin sin sin b c a R B C A,解得R =由正弦定理得2sin b R B =,2sin c R C =,所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是边长2的菱形,PAB △和PBC 都是正三角形,且平面PBC ⊥平面PAB .（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积. 【参考答案】（1）证明见解析；（2）1.【试题解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ,得到AC PB ⊥,再证明AC BD ⊥,则可证明AC ⊥平面PBD ,根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=,而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离,即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅.（1）证明：取PB 的中点O ,连接OA 和OC .因为PBC 是正三角形,所以CO PB ⊥. 同理OA PB ⊥. 又COOA O =,CO ,AO ⊂平面AOC ,所以PB ⊥平面AOC .又AC ⊂平面AOC ,所以AC PB ⊥,因为四边形ABCD 是边长2的菱形,所以AC BD ⊥,又PB BD B ⋂=,PB ,BD ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD . 因为PD ⊂平面PBD ,所以AC PD ⊥. （2）因为//CD AB ,AB平面PAB ,CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB ,所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离,即3CO =,所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====.本题考查空间垂直关系的判定及证明,考查利用线面垂直的性质证明线线垂直,考查棱锥体积的求解,难度一般.20.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,短轴长等于焦距,且经过点()0,1P .（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为C ,D 是y 轴上一点,且CD AB ⊥,求证：线段CD 的中点在x 轴上.【参考答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【试题解析】（1）由已知得1b =； 1c =,从而得椭圆E 的方程.（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠,()11,A x y ,()11,B x y ,()00,C x y .直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=,由题意,得>0∆,且12222t y y t +=-+,12212y y t =-+,表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.设()0,D u ,根据直线的垂直关系得22tu t =+.可得证.解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ,得1b =；由短轴长等于焦距,得22b c =,则1c =,所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠,()11,A x y ,()11,B x y ,()00,C x y .由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=,由题意,得>0∆,且12222ty y t +=-+,12212y y t =-+, 则120222y y t y t +==-+,002212x ty t =+=+,即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.设()0,D u ,由CD AB ⊥,得,2212122t u t t t ++⋅=--+,解得22t u t =+. 所以00y u +=,所以002y u+=,故线段CD 的中点在x 轴上.本题考查椭圆的简单几何性质,求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系之交点问题,属于中档题.21.已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点,求a 的取值范围. 【参考答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【试题解析】（1）先求导,对a 分类讨论,利用导函数的正负可得f （x ）的单调性. （2）将已知进行转化,得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,分离参数a,构造函数,求导求得值域,可得a 的范围.（1）因为()3f x x ax =+,所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时,因为()230f x x a '=+≥,所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时,令()0f x '>,解得x <x >. 令()0f x '<,解得x <<, 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-,所以()3ln g x x ax x x =+-,()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点,等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.因为3ln 0x ax x x +-=,所以2ln a x x =-+.令()2ln h x x x =-+,则()21212x h x x x x=-'-=-+.令()0h x '<,122x ≤≤,2x <≤；令()0h x '>,122x ≤≤,解得12x ≤<则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减,在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增,因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln24--,()222ln24ln2h =-+=-+,所以()115224h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭152ln2204->->,则()()min 24ln2h x h ==-+,()max12h x h ==-+⎝⎭11ln222=--, 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦.本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题,考查了函数的最值的求法,考查了等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2,x u y u=⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,直线OA ,OB ,AB 的斜率分别为1k ,2k ,k ,求证：12k k k +=.【参考答案】（1）直线l 20y a -+=,曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析.【试题解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中,可得直线l 的直角坐标方程,消参可得曲线C 的直角坐标方程.（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u=⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=,得220u a -=.由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证.（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=,则直线l 20y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =.（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=,得220u a -=. 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >,得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ,2u ,则12u u += 而yu x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率,所以11k u =,22k u =,所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =所以12k k k +=.本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化,参数方程向普通方程转化,以及直线与抛物线的位置关系之交点问题,注意理解参数的意义,属于中档题. 23.已知函数()f x x x a =++. （1）当1a =-时,解不等式()3f x ≥.（2）若对任意的x ∈R ,总存在[]1,1a ∈-,使得不等式()22f x a a k ≥-+成立,求实数k 的取值范围.【参考答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞.【试题解析】（1）当1a =-时,()3f x ≥,即为13x x +-≥.分0x ≤,01x <≤,1x >三种情况分别求解不等式,可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+.①,即总存在[]1,1a ∈-,使得22a a a k ≥-+成立,由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围.解：（1）当1a =-时,()3f x ≥,即为13x x +-≥. 当0x ≤时,不等式变为13x x -+-≥,解得1x ≤-；当01x <≤时,不等式变为13x x +-≥,无解；当1x >时,不等式变为13x x +-≥,解得2x ≥. 綜上,不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞.（2）要使对任意的x ∈R ,不等式()22f x a a k ≥-+成立,只需()2min 2f x a a k ≥-+.①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=, 所以①可转化为22a a a k ≥-+.②即总存在[]1,1a ∈-,使得22a a a k ≥-+成立,即总存在[]1,1a ∈-,使得()211a a k --+≥成立.而当1a =-时,()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时,max 1a =, 所以当1a =-时,()2max114a a ⎡⎤--+=⎣⎦, 所以4k ≤,故实数k 的取值范围是(],4-∞.本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式,不等式的恒成立问题,属于中档题.。

高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)

[考案5]第五章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2，即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4，则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列【试题解答】因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0，所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0，即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ，两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4，又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)，解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ，两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1，两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得，则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4，所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

2020届高三九师联盟11月联考数学试卷(理)

2019�2020学年高三11月质扯检测数学（理科）考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前，考生务必用直径o.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径o.5毫术黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4. 本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列集合中不同千另外三个集合的是A.{x飞3=1}2. 下列说法正确的是 B.{x [x 4=1}C. { 1}n{x l±-1}A若a>b,则ac 4>bc 、4 1 B. 若a<b,则2>-1 a b 2C. 若a>b>c ,则a z >b 2>产D.若a>b ,c>d ,则a+c>b+d3.巳知向量a =(x,3) ,b = (—2,7), 若(a —b)_lb,则实数x 的值为A. -16B.-—676_7 c D.164.若函数f (x )=e 工1'则曲线y =f (x )在点（ 1 1 —2 ,f (—了））处的切线方程为A. 2x +y+2=0B. 2x —y+2=05. 下列命题中正确的是A. 若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B. 若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C. 若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行C. 2x +y —2=0D.缸—y-2=0D .不共线的四点可以确定一个平面6. 若关千x 的不等式x 2+a x —b <O(a,b 为常数）的解集为(-2,1),则不等式b x 2+a x —3>0的解集是A(—=, 勹）U Cl ,+=)B .(—f ,1)C.(-=,-1) U (½,+=)D .(—1分）【高三11月质釐检测·数学理科第1页（共4页）】。

2020年9月河南省名校联盟2021届高三毕业班质量检测数学(理)试题

6 绝密★启用前
河南省名校联盟
2021届高三毕业班上学期9月联考质量检测
数学(理)试题
2020年9月
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0},N ＝{－1,0,1,2},则M ∩N ＝
A ．{－1,0,1}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
2．设11i z i
＝－＋（i 为虚数单位）,则｜z ｜＝ A ．1 B
．
2 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次
为2：a ：3,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a ＝
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中,含x 4的项的系数是
A ．220
B ．－220
C ．100
D ．－100。

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理(含解析)

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（） A. {}3|1x x =B. {}4|1x x =C. {1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.【详解】{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（） A. 若a b >，则44ac bc > B. 若a b <，则2211a b> C. 若a b c >>，则222a b c >> D. 若a b >，c d >，则a c b d +>+【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 【详解】对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误；对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误；对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（） A. -16 B. 67-C.67D. 16【答案】A 【解析】【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.【详解】因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e+=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A. 220x y ++=B. 220x y -+=C. 220x y +-=D.220x y --=【答案】B 【解析】【分析】先求出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可. 【详解】依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（）A. 若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B. 若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C. 若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D. 不共线的四点可以确定一个平面【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.【详解】在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（） A. 3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.【详解】由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >．即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型. 7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（） A. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.【详解】由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D 【解析】【分析】将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.【详解】因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型.9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（）A. 31729n -B. 131243n +-C. 1313n n --D. 1313n n+- 【答案】C 【解析】【分析】由3a,5a为一元二次方程22040 81729x x-+=与单调递减的等比数列{}n a可求得35,a a进而求得13 q=.再利用求和公式求前n项和即可.【详解】设等比数列{}n a的公比为q,由已知得352081a a+=,35354,729a a a a=>,所以329a=,5281a=,2532918129aqa==⨯=,又数列{}na单调递减,所以13q=,3122929aaq==⨯=, 所以其前n项和为11213311313nnn-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型.10.函数()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x>时的单调性即可.详解】22(1)(1)11 ()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x xf x xx x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==-⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 是边长为3的等边三角形，3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（）A.36B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 【详解】设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当3x y ==时等号成立．过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-, 所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=122193AE AE =-=,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以22AO xy =≤,所以113633344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．【点睛】本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（）A. 2log 5B. 2log 6C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.【详解】当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________．【答案】293【解析】【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=．故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．【答案】-7 【解析】【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.【详解】画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7．故答案为：-7【点睛】本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π 【解析】【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中. ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 【答案】（1）3π；（2）32【解析】【分析】(1)由三角形的面积为得到12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.【详解】（1）由ABC ∆的面积为 12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,a b c c +-==6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4 km ，3 km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积．【答案】（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【解析】【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABCS xy =有最小值32．所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ．（1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π；（2 【解析】【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可.【详解】（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则22842ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 2α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 【答案】(Ⅰ) 16323n nn a -=⋅=⋅；(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123n n a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313nn nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅ 122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭ 11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小．【答案】（1）见解析；（2）60︒ 【解析】【分析】(1) 取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2) 作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.【详解】（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形．所以AM ND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==．所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=+-=⎪⎩,解得332x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．令2z =,得平面SCD 的一个法向量为3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =．设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则222|||(3,3,2)(0,0,1)|1cos ||||2(3)321m n m n θ⋅⋅===++⨯．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【解析】【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 【详解】（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=．由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）．综上,a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。

2020届河南九师联盟高三10月11月质量检测数学试题及答案整理中

2020届河南九师联盟高三10月11月质量检测数学试题及答案整理中查询更多试卷解析详情微博微博：答案家族搜索微信：高中生家族同时，我们也整理了一些复习资料给大家，这些知识点供大家复习，希望对大家有用！1 命题素材来源分析课本素材的来源具有以下两个特点：（1）素材出处多样三套试题的课本素材分别来自教材的正文文本及图表、实验、科学方法、探究、相关信息、模型建构、楷体字、思考与讨论、资料分析、批判性思维、拓展题等栏目，全国Ⅱ卷第3题C选项来自化学知识。

其中来自教材正文及图表的题目分值占课本素材的60%左右除正文及图表素材外，三套试题的其他课本素材出处各有差异。

其中全国Ⅰ卷分别有实验、科学方法、探究、相关信息、拓展题等5种来源，分值约20（23）分；全国Ⅱ卷有实验、科学方法、探究、相关信息、模型建构、楷体字、思考与讨论、资料分析、化学知识等9种来源，分值约24.5（16.5）分；全国Ⅲ卷有实验、探究、模型建构、资料分析、批判性思维等5种来源，分值约29.5分。

教材正文及图表、实验、探究是三套试题的共同课本素材来源，除此之外，科学方法、相关信息和资料分析也是命题的重要素材来源。

如果把实验、科学方法和探究三种来源划归“实验与探究”来源的话，这一类课本素材所占分值也不小，三套试题分别占14.5（17.5）分、14（6）分和7.5分。

（2）“一题多出处”特征明显三套试题还有一个共同特点，同一题目的素材可能来自教材多个地方。

比如全国Ⅰ卷的2题，四个选项分别来自必修1教材的三个地方，选项A来自第43页拓展题2，选项B和D来自第18页“检测生物组织中的糖类、脂肪和蛋白质”实验，选项C来自第115页的“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验。

全国Ⅱ卷37题命题素材分别来自必修1第79页“控制变量”栏、必修1第94页呼吸方式、必修3第51页“探究”栏中的预实验以及选修1第6页“腐乳制作的原理”。

这些题目在所有课本素材题目中比重较大，如全国Ⅰ卷2、29、30、37、38题，全国Ⅱ卷的1、3、4、5、29、31、32、37题，全国Ⅲ卷的1、2、3、29、38题都具有“一题多出处”的特征。

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题文

2019〜2020学年高三11月质量检测数学（文科)考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内項目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.本卷命题范围：常用逻辑用语、函导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合A={-4<x<3}，B={-5，-4，-3，-2}，则A.{-4,-3,-2}B.{-3,-2}C.{-4，-3)D.{-5, -4}2.已知向量)5,3(),,1(=-=b x a ，且b a ⊥，则实数x 的值为A. 56B. 56-C. 310D. 310- 3. 若函数11)(++=x e x f x ，则曲线)(x f y =在点))21(,21(-f 处的切线方程为 A. 02=++y x B. 02=-+y xC. 02=+-y xD. 02=--y x4.下列说法正确的是A.若 a>b,则 ac 4 >bc4 B.若a ＜b,则221>1b a C.若 a>b>c,则 a 2 >b 2 D.若 a>b ，c>d ，则 a+c>b+d5.下列命题中正确的是A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D.不共线的四点可以确定一个平面6. 若函数x b x x f cos sin 3)(+=的最大值为5,则b 的值等于A. 4B. -4C. ±4D. ±57.如图是由正方体与圆锥组合而成的几何体的三视图，其中正视图与侧视图的上方是正三角形（图中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积是A. π224+B. π320+C. π220+D.π+248.若关于x 的不等式b a b ax x ,(0<2-+为常数)的解集为（-2，1)，则不等式0>32-+ax bx 0的解集是A. ),1()23,(+∞--∞YB. )1,23(-C. ),23()1,(+∞--∞YD.)23,1(- 9. 已知角α顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，点（2，m)为其终边上一点，且3)4tan(-=+πα,则实数m 的值是 A.4 B.-4 C.1 D.-110.函数])1(2)1(2ln[)(+---=x x x x x f 的图象大致是11. 已知在△ABC 中，角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0cos 2sin =+C A B ，则当B cos取最小值时，=c a A. 2 B. 3 C. 33 D. 2212.在三棱锥A-BCD 中，ABCD 是边长为3的等边三角形, 3π=∠BAC ,二面角A-BC-D 的大小为θ, 且31cos =θ，则三棱锥A - BCD 体积的最大值为 A. 463 B. 46C. 23D.63 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

2020届河南九师联盟高三上学期11月质检巩固数学(理)卷

河南九师联盟2020届高三上学期11月质检巩固数学（理）卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 A= {)2(log |2+=x y x } ,B= {1<x <0|x }，则C A B=A. (-2,1)B. (-2,0]∪[1，+∞)C. (1, +∞)D. (-2,0)∪(1，+∞)2.已知向量)4,2(),8,1(xb a ==，若b a ∥，则=xA.-2 B .-1 C.1 D.2 3.下列说法正确的个数为①若|>|b a ，则22>b a ;②若d c b a >,>，则d c a -b >-；③若d c b a >,>，则bd ac >;④若0＜c ,0>>b a ，则b >ac c A. 1 B . 2 C. 3 D.44.已知曲线x x y ln 322-=的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 A. 3 B . 2 C. 1 D. 21 5.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面,则下列说法正确的是A.若βαβα//,,n m ⊂⊥,则n m ⊥B.若βα//,βα⊂⊂n m ,，则n m //C.若n m ⊥，n m //，β⊂n ，则βα⊥D.若α⊥m ，n m //，β//n ，则βα⊥6.若不等式0>7-12x -x 42与关于x 的不等式0>q px x 2++的解集相同，则0q ＜px -2+x 的解集是 A. {27>x |x 或21-<x } B. {27<x <21|-x } C. {27-<x |x 或21>x } D. {21<x <27|-x } 7.函数)2<<2,0>)(sin()(πϕπωϕω+=x x f 的最小正周期是π，若将函数的图象沿x 轴向左平移4π个单位长度后，所得图象关于直线3π=x 对称，则函数)(x f 的解析式为A. )322sin()(π+=x x fB. )322sin()(π-=x x f C. )32sin()(π+=x x f D. )32sin()(π-=x x f 8.关于x 的不等式: 0)>0(a <3a 4ax -x 22+的解集为),(21x x ，则2121x x ax x ++的最小值是 A. 36 B. 332 C. 334 D. 362 9.在数列{n a }中，)11ln(,011na a a n n ++==+，则{n a }的通项公式为 A. n a n ln = B. )1ln()1(+-=n n a nC. n n a n ln =D.2ln -+=n n a n10.函数)(cos )1()(ππ≤≤--=x x xx x f 且0≠x 的图象可能为11.已知定义在R 上的函数)(x f 在（2，+∞)上是增函数，若)2()(+=x f x g 是奇函数，且0)2(=-g ,则不等式0)(≥x f 的解集是A. [-4,0]U[2，+∞)B. [-4，-2)U[0，+⑷）C. [0,2] U [4,+∞)D. [-2,4]12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 是AC 中点，点P 在线段AA 上，若直线OP 与平面A1C1所成的角为θ，则θsin 的取值范围是 A. ]33,32[ B. ]21,31[ C. ]33,43[D. ]31,41[ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年河南省九师联盟高考(理科)数学联考试卷(解析版)

2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）一、选接题（共12小题）.1．已知a，b∈R，复数z1＝a+i，z2＝2﹣bi（i为虚数单位），若，则a+b＝（）A．1B．2C．3D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3〉，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）3．若双曲线的虚轴长为，则其渐近线的方程是（）A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．下列说法正确的是（）A．“”的否定为“”B．“A＞B”是“sin A＞sin B”的必要条件C．若x＜1，则x2＜1的逆命题为真命题D．若“x＞a”是“log2x＞2”的充分条件，则a≤45．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1．若f（x0）＞﹣1，则x0的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）6．为了计算S＝3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内可以分别填入（）A．S＝S+3×10i﹣1和i＝i+2B．S＝S+（10i﹣1）÷3和i＝i+1C．S＝S+3×10i和i＝i+3D．S＝S+（10i﹣1﹣1）÷3和i＝i+17．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（）A．春分、秋分B．雨水、处暑C．立春、立秋D．立冬、立夏8．函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，点D，G分别在边AC，BC上，点E，F在AB上，且四边形DEFG为矩形（如图所示），当矩形DEFG的面积最大时，在△ABC 内任取一点，该点取自矩形DEFG内的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，给出下列结论：①A＝2，ω＝1，b＝﹣1；②A＝ω＝2，b＝﹣1；③点（，﹣1）为f（x）图象的一个对称中心；④f（x）在[﹣，﹣]上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于点A，B，与l交于点D，若，|AF|＝4，则p＝（）A．2B．3C．4D．612．《九章算术》卷五《商功》中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”．现有阳马P﹣ABCD（如图），PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．已知向量，满足||＝1，||＝2，当|2﹣|＝2时，向量，的夹角为．14．已知（1+x）（2﹣x）9＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a9＝．15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为；△PEF面积的最大值为．16．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，设，若存在常数m，使得数列{c n+m}为等比数列，则m的值为．三.解答题，共70分。

河南省百校联盟2018届高三11月教学质量监测乙卷理数试

理科数学注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：结合逻辑，复数，函数与导数，三角与向量，立体几何，不等式，数列.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U Z =，{}2=|20,A x x x x Z --<∈，{}B=1,0,1,2-，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A.{}1,2-B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,22.设1z i =-（i 为虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的摸是（）3.已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（）A.4B.-4C.6D.-64.如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB BC CD DA，，，分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（） A.若::AE BE CF BF =，则AC平面EFGHB.若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形5.已知正向数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（）6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积的（）A.(8π+B.(9π+C.(10π+D.(8π+7.已知x ，y 满足约束条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ，若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（）A.3B.4C.5D.68.在边长为1的正ABC ∆中，D ，E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（）A.16 B.29 C.1318 D.139.曲线()221f x x =-直线2x =，3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.ln 2B.ln 3C.2ln 2D.3ln 210.已知边长为ABCD 中，60A ∠=︒,现沿对角线BD 折起，使得AC =，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（） A.20π B.24π C.28π D.32π 11.已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.[]4ln 4,ln 4-- C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D. 4,ln 4e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.已知函数()()f x x ωϕ+（0ω>）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是 .14.已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 15.已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的1x ，2x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立，若正实数a ，b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为 .16.已知函数()()'02x f x f e x =-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有324n n a S =+成立. （Ⅰ）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，求b c +的值. 19. （本小题满分12分）在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是BC ，11A B 的中点. （Ⅰ）求证：DE 平面11ACC A ；（Ⅱ）若AB BC ⊥,AB BC =,160ACB ∠=︒,求直线BC 与平面1ABC 所成角的正切值.20. （本小题满分12分）已知函数()xf x e ax =-，0a >.（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，AB AD ⊥,AC CD ⊥,PA AC =,PA ⊥平面ABCD .（Ⅰ）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ; （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.22. （本小题满分14分）已知()sin cos f x x x ax =--.（Ⅰ）证明：()2sin 12x x f x -≥-；（Ⅱ）证明：当1a ≥时，()2axf x e ≤-.2018-2018学年普通高中高三数学质量检测理科数学参考答案一、选择题1-5:ABBCD 6-10:ACCDC 11、12：DB 二、填空题13.( 14.13±三、解答题17.解：【解析】（Ⅰ）在324n n a S =+中，令1n =得18a =. …………………………………………1分因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …………10分18. 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理可得1b ca c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++，即222b c a bc +-=， ………………………………………………………………………………………3分根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=. ………………………………………………6分（Ⅱ）根据正弦定理8sin sin sin b c aB C A===，所以8sin b B =，8sin c C =, ……………………7分又23B C π+=,所以218sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭318sin cos 226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫==+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， …………………………9分因为203B π<<，所以5+666B πππ<<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭即b c +的取值范围是(. ………………………………………………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）取AB 中点F ，连接DF ，EF . ………………………………………………………1分在ABC ∆中，因为D ，F 分别为BC ，AB 的中点，所以DFAC ,DF ⊄平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，所以DF 平面11ACC A . ……………………………………………………………………………………3分在矩形11ABB A 中，因为E ,F 分别为11A B ,AB 的中点，所以1EFAA ，EF ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ,所以EF 平面11ACC A . ……………4分因为DFEF F =，所以平面DEF 平面11ACC A . ……………………………………………………5分因为DE ⊂平面11ACC A . …………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥, 又AB BC ⊥，1ABBB B =，所以BC ⊥平面11ABB A . ……………………………………………7分因为AB BC =，11BB BB =，所以11AB CB =，又160ACB ∠=︒，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =. …………………………………………8分取1AB 的中点O ，连接BO ，CO ，所以1AB BO ⊥,1AB CO ⊥,所以1AB ⊥平面BCO ，所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1ABC 上的射影在CO 上，所以BCO ∠即为直线BC 与平面1ABC 所成角. ………………………………………………………10分在Rt BCO ∆中，22BO AB BC ==，所以tan 2BO BCO BC ∠==………………………12分20.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'xf x e a =-.()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调区间是()ln ,a +∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a ===-=-极小值. ………………………………………………3分()()'11ln ln g a a a =-+=-，当01a <<时，()'0g a >，()g a 在()0,1上单调递增；当1a >时，()'0g a <，()g a 在()1,+∞上单调递减.所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==. ……6分（Ⅱ）当0x ≤时，0a >，0xe ax -≥恒成立. ……………………………………………………………7分当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x≤. ………………………………………………………8分令()x e h x x =，()0,x ∈+∞，()()221'xx x e x e x e h x x x --==，当01x <<时，()'0h x <，当()'0h x >，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . ………………………………………………………………10分()2a f a e a =-，(]0,a e ∈，()'2a f a e a =-，由上面可知20a e a -≥恒成立,故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()201ef f e e e =<=-，即()f a 的取值范围是(21,eee ⎤-⎦. ………………………………………………………………………12分21.【解析】∵PC =∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCD PAC ABCD AC⊥⎧⎨=⎩平面平面平面平面，∴PA ABCD ⊥平面，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()2,0,0B，()C，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2P .2分（Ⅰ）()2,0,020AB AD ⎛⎫⋅=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭,故PD AB ⊥；设AE AP PC λ=+,若AE PD ⊥，则0AE PD ⋅=，即0AP PD PC PD λ⋅+⋅=, 即480λ-+⋅=，即12λ=，即当E 为PC 中点时，AE PD ⊥，则PD ABE ⊥平面.所以当E 为PC 中点时PD ABE ⊥平面. …………………………………………6分（Ⅱ）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2PC =-，0,23PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,则0n PC ⋅=且0n PD ⋅=，即20x z -=20y z -=，令y =2z =，1x =，则()n =，再取平面PAD 的一个法向量()1,0,0m =. …………………………………………………………………9分则cos ,n m n m n m ⋅==⋅ 故二面角A PD C --的余弦值为. ……………………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-. ……………………………1分设()2cos 12x g x x =+-，则()'sin g x x x =-+，[)0,x ∈+∞. ………………………………………2分再次构造函数()sin h x x x =-+，则()'cos 10h x x =-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()'0g x ≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，即()2sin 12x x f x -≥-成立.6分（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-，所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………7分当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立. 不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立. …………………8分构造函数()212xx M x e x =---，则()'1x M x e x =--，令()1x m x e x =--，则()'1xm x e =-，当[)0,x ∈+∞时，()'0m x ≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥=，故()'0M x ≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=，故2102xx e x ---≥恒成立. ………………………………………………………………………………11分故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥，即当1a ≥时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立. ……………………………………………………………12分。

高三数学11月联考试题理含解析试题

创作人：历恰面日期：2020年1月1日上高二数学中，中学2021届高三数学11月联考试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合，，那么A. B.C. D.2.i为虚数单位，假设复数，那么A. B. C. D. 13.设随机变量，假设，那么实数a的值是A. 1B. 2C. 3D. 44.将函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，再把图象上各点的向右平移个单位长度，那么所得图象的解析式为A. B.C. D.5.在等差数列中，，那么数列的前11项和A. 8B. 16C. 22D. 446.因场HY储藏的需要，某公司1月1日起，每月1日购置了一样金额的某种物资，连续购置了4次．由于场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．该物资的购置和卖出都是以份为计价单位进展交易，且该公司在买卖的过程中赢利，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格单位：万元的可能变化情况是创作人：历恰面日期：2020年1月1日A. B. C. D.7.定义在R上的偶函数满足，当时，，那么A. B. C. D.8.函数的局部图象大致是A. B.C. D.9.椭圆，F为椭圆在y轴正半轴的焦点，，P是椭圆上任意一点，那么的最大值为A. B. C. D.10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．的三边所围成的区域记为I，黑色月牙局部记为Ⅱ，两小月牙之和斜线局部局部记为Ⅲ在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，那么A.B.创作人：历恰面日期：2020年1月1日C.D.11.定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，假设关于x的不等式在上恒成立，那么实数m的取值范围A. B. C. D.12.在三棱锥中，，，，点P在平面ACD内，且，设异面直线BP与CD所成角为，那么的最小值为A.B.C.D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.平面向量的夹角为，且那么______．14.正数项数列的前n项和为，满足，且，那么数列的通项公式为______．15.，那么的展开式中，常数项为______．16.中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，以下命题正确的选项是______写出正确命题的编号．总存在某内角，使；假设，那么；创作人：历恰面日期：2020年1月1日存在某钝角，有；假设，那么的最小角小于．三、解答题〔本大题一一共7小题〕17.设函数求函数的单调递增区间和对称中心；在锐角中，假设，且能盖住的最小圆的面积为，求周长的取值范围．18.如图，三棱柱的所有棱长均为2，底面侧面，，P为的中点，．证明：假设M是AC棱上一点，满足，求二面角的余弦值．创作人：历恰面日期：2020年1月1日19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购置的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量小时都在30以上．其中缺乏50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量百斤与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料千克之间对应数据为如下图的折线图：Ⅰ根据数据的折线图，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计假如每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是多少斤？Ⅱ因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了局部光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：假设某台光照控制仪运行，那么该台光照控制仪周利润为5000元；假设某台光照控制仪未运行，那么该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值到达最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：，．创作人：历恰面日期：2020年1月1日20.椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设斜率存在的直线与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点，使得？假设存在，求出t 的取值范围；假设不存在，请说明理由．创作人：历恰面日期：2020年1月1日21.．求函数的极值；设，对于任意，，总有成立，务实数a的取值范围．22.曲线C的参数方程为为参数；以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l：，与曲线C相交于M、N两点．求曲线C的极坐标方程；记线段MN的中点为P，假设恒成立，务实数的取值范围．创作人：历恰面日期：2020年1月1日23.设函数．求不等式的解集；假设存在，使得不等式成立，务实数a的取值范围．创作人：历恰面日期：2020年1月1日答案和解析1.【答案】D【解析】解：，；，．应选：D．可解出集合M，N，然后进展并集、交集的运算即可．考察描绘法的定义，以及并集、交集的运算，分式不等式的解法．2.【答案】C【解析】解：根据题意，复数，那么，，那么；应选：C．根据题意，计算可得，进而求出的值，据此计算可得答案．此题考察复数和复数模的计算，关键是求出z，属于根底题．3.【答案】A【解析】解：随机变量，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日由，可得与关于直线对称，那么，即．应选：A．由可得，由，可得与关于直线对称，再由中点坐标公式列式求得a值．此题考察正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考察正态分布中两个量和的应用，考察曲线的对称性，属于根底题．4.【答案】C【解析】解：将函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，可得函数的图象；再把图象上各点向右平移个单位长度，那么所得图象的解析式为函数，应选：C．由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．此题主要考察函数的图象变换规律，属于根底题．5.【答案】C【解析】解：在等差数列中，，，整理得，数列的前11项和：．应选：C．创作人：历恰面日期：2020年1月1日利用等差数列通项公式推导出，由此能求出数列的前11项和．此题考察数列的前11项和的求法，考察等差数列、等比数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．6.【答案】D【解析】解：设公司每月1日用于购置某种物资的金额为a万元，图中四次购置的物资为，5月1日一次卖出公司得到，公司盈利，故正确；图中四次购置的物资为，5月1日一次卖出公司得到，公司亏损，故不正确；图中四次购置的物资为，5月1日一次卖出公司得到，公司盈利，故正确．应选：D．设公司每月1日用于购置某种物资的金额为a万元，分别求出三种图形下公司5月1日该公司将此物资全部卖出所得金额，与4a进展大小比拟得答案．此题考察根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是中档题．7.【答案】A【解析】解：偶函数的图象关于y轴对称，满足，函数关于对称，故函数的周期，当时，，那么．应选：A．创作人：历恰面日期：2020年1月1日由可知，函数关于，对称，从而可求函数的周期T，然后结合区间上的函数解析式可求．此题主要考察了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是函数周期确实定．8.【答案】A【解析】解：当时，，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，应选：A．根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．此题考察了函数图象的识别，考察了函数值的特点，属于根底题．9.【答案】B【解析】解：椭圆，如图，，设椭圆的右焦点为，那么，；由图形知，当P在直线的延长线与椭圆的交点时，，此时获得最大值；的最大值为：．应选：B．求出椭圆的焦点坐标，画出图形，可得；通过由图形知，当P在直线上时，推出结果即可．此题考察了椭圆的定义HY方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形三边大小关系，考创作人：历恰面日期：2020年1月1日察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设，那么，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为，黑色月牙局部的面积为，图Ⅲ局部的面积为．设整个图形的面积为S，那么，，．，应选：D．设，那么，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．此题考察几何概型概率的求法，考察数形结合的解题思想方法，正确求出各局部面积是关键，是中档题．11.【答案】D【解析】【分析】此题主要考察函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，表达了转化的数学思想，属于较难题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，且对恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：定义在R上的函数的图象关于y轴对称，函数为偶函数，函数数在上递减，在上单调递增，假设不等式对恒成立，即对恒成立．对恒成立，即对恒成立，即且对恒成立．令，那么，在上递增，上递减，．令，，在上递减，．综上所述，应选D．12.【答案】A【解析】解：取CD中点K，连接AK，BK，，，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，为正，取AK中点O，连接BO，那么，且，易知平面ABK，，平面ACD，，在图中圆O上，当P与G，H重合时，最大，当P与M，N重合时，最小．应选：A．取CD中点K，易得三角形ABK为正三角形，取AK中点O，可证平面ACD，进而确定点P的位置，求得最小值．此题考察了异面直线所成角的求法，线面垂直等知识，考察了运算求解才能，是中档题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，平面向量的夹角为，且，那么，那么，那么；故答案为：2．创作人：历恰面日期：2020年1月1日根据题意，由数量积的计算公式可得，又由，代入数据计算可得答案．此题考察向量模的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．14.【答案】【解析】解：正数项数列的前n项和为，满足，且，整理得，所以，即，整理得常数，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．故答案为：直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．此题考察的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于中档题型．15.【答案】【解析】解：，，那么，令，解得：，那么，常数项为，故答案为：．根据定积分的运算性质，即可求得m的值，根据二项式定理求得展开式的通项，令x的次数为0，即可求得r，即可求得常数项．此题考察定积分的运算性质，二项式定理的应用，考察转化思想，属于中档题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日16.【答案】【解析】解：对于，假设三个内角都大于，那么三内角和必大于，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或者等于，设为，那么，故为真命题；对于，由题意不妨令，因为，因为时，，所以，所以，所以，即在上为减函数，所以题意得即为，那么应有，故为假命题；对于，由题意不妨设，那么A，B皆为锐角，且，，又，整理得，故为假命题；对于，由得，即，而不一共线，所以，，解得，，那么a是最小边，所以A为最小角，所以，故，故正确．故答案为．对于，可先根据三角形内角和定理判断角的范围，从而确定的值域；对于，结合式子的特点，可构造函数，研究其单调性解决问题；对于，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究的符号即可；对于，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．此题以命题的真假判断为载体，考察了三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值以及不等式的应用等知识，有一定难度．17.【答案】解：由得，的单调递增区间为．由，解得，的对称中心为创作人：历恰面日期：2020年1月1日，，为锐角三角形，，，，能盖住的最小圆为的外接圆，故由得设的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，那么由正弦定理得故，，，为锐角三角形，即，，，的周长的取值范围为．【解析】化简，利用的单调区间和对称中心即可；能盖住的最小圆为的外接圆，利用正弦定理把边化为角求周长的取值范围．此题考察了降幂公式，三角函数的单调区间，对称中心，以及三角形周长的取值范围的常规求法．18.【答案】证明：取AB的中点D，连接OP，CD，OD，易证OPCD为平行四边形，从而．由底面侧面，底面侧面，，底面ABC，所以侧面，即侧面B.又侧面，所以．又侧面为菱形，所以，从而平面．因为平面，所以创作人：历恰面日期：2020年1月1日解：由知，，，，以O为原点，建立如下图的空间直角坐标系．因为侧面是边长为2的菱形，且，所以0，，1，，，，，，得．设，得，所以，所以．而．所以，解得．所以，，．设平面的法向量，由得，取．而侧面的一个法向量．设二面角的大小为．那么．创作人：历恰面日期：2020年1月1日【解析】取AB中点D，设与交于点O，连接OP，CD，依题意得，由平面平面，可得平面，即，又四边形为菱形，得，可得平面，可证得以O为原点，如下图建立空间直角坐标系，利用向量法求解．此题考察了空间线线垂直的断定，向量法求线面、面面角，属于中档题．19.【答案】解：Ⅰ由题意可得：，那么：，所以y关于x的线性回归方程为，当时，百斤斤，所以估计假如每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤．Ⅱ记商家总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故Y的分布列为所以元，安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，创作人：历恰面日期：2020年1月1日当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故Y的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值到达最大应该安装2台光照控制仪．【解析】Ⅰ由题中所给的数据求得线性回归方程，然后进展预测即可；Ⅱ由题意分类讨论求解分布列和数学期望即可．此题考察了线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等，重点考察学生对根底概念的理解和计算才能，属于中等题．20.【答案】解：Ⅰ椭圆离心率为，当P为C的上顶点时，的面积有最大值．，，，．故椭圆C的方程为：．Ⅱ设直线PQ的方程为，当时，代入，得：；设，，线段PQ的中点为，，，即，，直线TN为线段PQ的垂直平分线；，那么．创作人：历恰面日期：2020年1月1日所以，，当时，因为，当时，因为，当时，符合题意．综上，t的取值范围为．【解析】此题考察直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考察转化思想以及计算才能．Ⅰ根据椭圆离心率为，的面积为列式计算a，b，c即可．Ⅱ设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.【答案】解：，．的极小值为：，极大值为：．由可知当时，函数的最大值为．对于任意，，总有成立，等价于恒成立，．时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意．当时，设，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日所以在上单调递增，且，那么存在，使得所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合可知，所务实数a的取值范围是．【解析】，令，解得，利用导数研究函数的单调性即可得出．由可知当时，函数的最大值为对于任意，，总有成立，等价于恒成立，对a分类讨论：时，利用及其根本不等式的性质即可得出．当时，设，，利用单调性与函数的零点即可得出．此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．22.【答案】解：把曲线C的参数方程为参数，消去参数，可得曲线C的普通方程为，，，曲线C的极坐标方程为；联立和，得，设、那么，由，得，当时，取最大值，创作人：历恰面日期：2020年1月1日故实数的取值范围为．【解析】把曲线C的参数方程中的参数消去，可得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的极坐标方程；联立直线l与曲线C的极坐标方程，求得M，N的极径，再由，结合正弦函数的有界性求解满足恒成立的实数的取值范围．此题考察简单曲线的极坐标方程，考察参数方程化普通方程，考察计算才能，是中档题．23.【答案】解：Ⅰ由，得：，解得：，故不等式的解集是；Ⅱ假设存在，使得不等式成立，即存在，使得成立，当时，即在上有解，故，当时，不成立，当时，即在上有解，故，当时，即在上有解，故，综上，．创作人：历恰面日期：2020年1月1日【解析】Ⅰ两边平方求出不等式的解集即可；Ⅱ通过讨论x的范围，去掉绝对值，别离参数a，结合x的范围从而求出a的范围即可．此题考察理解绝对值不等式问题，考察分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

2021届河南省豫南九校高三11月联考卷(二)数学(理)试题(解析版)

2021届河南省豫南九校高三11月联考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}234150A x x x =--≤，{}π1xB x -=<，则（）A ．[]0,3AB = B ．5,3A B ⎡⎫⋃=-+∞⎪⎢⎣⎭C ．AB =∅D ．A B R =【答案】B【分析】分别求两个集合，再根据定义求AB 和A B 。

【详解】由234150x x --≤得533x -≤≤，即5,33A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，由1x π-<得0x -<，得0x >，即()0,B =+∞，所以(]0,3A B =，5,3A B ⎡⎫⋃=-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.2．已知命题p ：若函数()()2lg 1f x x ax =++的定义域为R ，则实数()0,4a ∈；命题q ：“220x x -≥”是“()0,2x ∈”的充分不必要条件，则下列命题正确的是（） A ．()p q ∧⌝ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】D【分析】先判断p 、q 的真假，然后对A 、B 、C 、D 分别判断复合命题的真假. 【详解】若函数()()2lg 1f x x ax =++的定义域为R ，则210x ax ++>恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<，所以命题p 为假命题；由220x x -≥得[]0,2x ∈，所以“220x x -≥”是“()0,2x ∈”的必要不充分条件，所以命题q 为假命题.所以()p q ∧⌝为假，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∧⌝为真，故选：D.【点睛】复合命题真假的判定: (1) 判断简单命题的真假;(2) 根据真值表判断复合命题的真假.3．若命题p ：π,02x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦cos 2021x ，则命题p ⌝为（）A ．π,02x ⎡⎤∀∉-⎢⎥⎣⎦，1cos 2sin 20212xx +≠ B ．π,02x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2cos 20212xx +≠ C ．π,02x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2sin 20212xx += D ．π,02x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2cos 20212xx +≠ 【答案】D【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】全称命题的否定是特称命题，将全称量词改为存在量词并否定结论，故答案为 1cos 2,0,cos 202122xx x π+⎡⎤∃∈-≠⎢⎥⎣⎦，故选D.【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．4．在等腰梯形ABCD 中，AB =2CD ，若AD a =，AB b =，则=BC （） A ．12a b -B ．12a b + C ．32a -+bD ．12a b +【答案】A【分析】取AB 中点E ,连结DE ，构造向量加法的平行四边形法则了，即可求解. 【详解】解法一：如图，取AB 的中点E ，连结DE ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，2AB CD =，所以12DC EB AB ==，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以1122BC BA AD DC b a b a b =++=-++=-.故选:A.解法二：如图，取AB 的中点E ，连结DE ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，2AB CD =，所以DC EB =，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以12BC ED AD AE a b ==-=-.故选:A.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.5．已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若27a =，37=S S ，则78=S a -（） A ．24 B ．26C ．28D ．30【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式以及前n 项和公式列出两个方程可求出首项和公差，即可解出．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由27a =，37S S =，得111732763722a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩，解得19,2a d =⎧⎨=-⎩所以()()78111767761469142262S a a d a d a d ⨯-=+-+=+=⨯+⨯-=. 故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，属于容易题． 6．曲线()2ln f x x x =在x e =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．24eB ．2eC ．22eD ．22e 【答案】D【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，再分别求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，即可得到切线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【详解】由()2ln f x x x =，得()22ln f x x '=+，则()2f e e =，()224f e '=+=，所以曲线()f x 在x e =处的切线l 的方程为()24y e x e -=-，即42y x e =-.令0x =得2y e =-；令0y =得2e x =.所以直线l 与两坐标轴的交点坐标分别为()0,2e -，,02e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为212222e e e ⨯⨯=.故选D.7．已知函数()2226,026,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若函数()()2F x f x x a =+-有零点，则实数a的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．[)3,-∞C ．[]3,9-D ．(][),39,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】问题转化为()20f x x a +-=有实数根，即函数()2y f x x =+与y a =的图象有交点，画出函数()2y f x x =+的图象，利用数形结合求实数a 的取值范围.【详解】若函数()()2F x f x x a =+-有零点，即()20f x x a +-=有解，即()2a f x x =+，问题转化为函数()2y f x x =+的图象与函数y a =的图象有公共点.画出函数()2y f x x =+，即2236,036,0x x x y x x x ⎧+<=⎨-≥⎩的大致图象如图所示.若函数()()2F x f x x a =+-有零点，结合图象可知，当3a ≥-时，函数()()2F x f x x a =+-有零点，所以实数a 的取值范围是[)3,-+∞.故选:B.【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.8．已知()f x 是定义在R 上的函数，()1(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()35x f x -=-，若()3log 54a f =，7πcos 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212c f -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a【答案】C【分析】由()()11f x f x +=-，判断()f x 的图象关于直线1x =对称，把a 、b 、c 转化为在 x > 1的函数值利用单调性比较大小.【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，又()333log 54log 2723log 2=⨯=+，7cos cos 44ππ==，221242-⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()()33log 543log 2a f f ==+，7cos24b f f f π⎛⎛⎫===- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2142c f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为333log 24<+<，1222<-<，所以2023log 24<<+<，又当1≥x 时，()35xf x -=-为减函数，所以()2371coslog 5442f f f π-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c >>. 故选：C.【点睛】比较函数值的大小,利用函数的单调性，通过自变量的的大小关系转化为函数值的大小. 9．若角π2α+的终边在直线2y x =-上，则()()sin 2021πcos πcos21ααα+⋅-++=（） A ．2 B ．16C ．65D ．1【答案】A【分析】根据三角函数的定义可得tan 22πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简可得cos 2sin αα=，再利用诱导公式以及二倍角公式化简()()sin 2021cos cos 21παπαα+-++⋅，将cos 2sin αα=代入即可求出．【详解】因为角2πα+的终边在直线2y x =-上，所以tan 22πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即sin 22cos 2παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即cos 2sin αα=--，所以cos 2sin αα=，所以()()()()sin 2021cos cos21sin cos cos21παπααπααα+⋅-++=+⋅-++=22222222sin cos 2cos 2sin 8sin 10sin cos 2cos 2sin cos sin 4sin 5αααααααααααα⋅++⋅+====++.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．关键点是：构造齐次式2222sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos αααααααα⋅+⋅+=+，使问题相对容易求解．10．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若a 1=2，S n +1=4a n +S n ，则S 5+log 2T 10=（） A ．2100 B ．682C ．782D ．1024【答案】C【分析】利用1n n n a S S -=-,判断出数列{}n a 是等比数列，求通项公式，求出10T ,进而求出S 5+log 2T 10.【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，又11n n n S S a ++-=，所以14n n a a +=，因为12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，所以()51152142220466821433S ⨯--====-，()1191013519135191002102222222T +⨯++++=⨯⨯⨯⨯===，所以1002102log log 2100T ==，所以5210log 682100782S T +=+=.故选:C.【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 11．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()1π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．不等式()1f x >的解集为π2π,2ππ,3k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZC ．函数()f x 的一个单调递减区间为π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若将函数()f x 的图象向右平移5π3个单位长度后所得图象对应的函数为()g x ，则()g x 是奇函数【答案】C【分析】先求出函数解析式，再利用()cos y A x ωϕ=+图像、性质、图像变换规律，一一验证A 、B 、C 、D.【详解】由图易得2A =，()f x 的最小正周期24433T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2142ωπ==π，所以()22c s 1o f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由点,23π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上，得1223k πϕπ⨯+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+，k ∈Z ，又2πϕ<，所以取0k =，得6πϕ=-，所以()12cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以A 错误；令()1f x >，得11cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得1223263k x k πππππ-<-<+，k ∈Z ，解得443k x k ππππ-<<+，k ∈Z ，即()1f x >的解集为4,43k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以B 错误；由12226k x k ππππ≤-≤+，k ∈Z ，得74433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，取0k =，得733x ππ≤≤，所以()f x 的一个单调递减区间为7,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 正确；将函数()f x 的图象向右平移53π个单位长度后得()15112cos 2cos 2cos 23622g x x x x πππ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦的图象，所以()g x 是偶函数，所以D 错误. 故选：C.【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；（3）求y =Asin (ωx +φ)+B 单调区间通常利用“同增异减”，求值域通常用换元法； 12．已知()4321123123f x x ax x =-++-，()()11f f ''-=-，()()1g x f x k '=--，若函数()g x 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围为（） A ．1919,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1515,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1315,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1519,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据()()11f f ''-=-，求出a 的值，然后判断()f x 的单调性，根据函数()g x 有且只有两个零点，得到方程()1f x k '=+和()1f x k '=-共有两个实数根，再求出k 的取值范围．【详解】因为()4321123123f x x ax x =-++-，所以()32143f x x ax x '=-++，因为()()11f f ''-=-，所以111444333a a a ⎛⎫+-=--++=-- ⎪⎝⎭，所以0a =，所以()3143f x x x '=-+，令()3143h x x x =-+，则()()()2422h x x x x '=-+=-+-.令()0h x '>，得22x -<<，令()0h x '<，得2x <-或2x >，所以()f x '在()2,2-上单调递增，在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减，所以()f x '的极大值为()1623f '=，极小值为()1623f '-=-. 因为函数()g x 有且只有两个零点，所以方程()1f x k '-=有且只有两个实数根，即方程()1f x k '=+和()1f x k '=-共有两个实数根.又11k k +>-，所以1613k +<-或1613k ->或16131613k k ⎧-<-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得193k <-或193k >. 故选：A.【点睛】关键点睛：在考查函数的零点的个数判定及应用时，把函数的零点个数的问题转化为两个函数的图象的交点个数，正确作出函数的图象是解答问题的关键.二、填空题 13．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =___________.5 【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z . 【详解】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以2212555525z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 【点睛】复数的计算常见题型：(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反； (3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可.14．已知2a =，8a b ⋅=-，()3,4b =-，则向量a 与b 的夹角的正切值为___________. 【答案】34-【分析】根据向量的夹角公式先求出夹角的余弦值，再根据平方关系可求得正弦值，即可得到向量a 与b 的夹角的正切值．【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，因为()3,4b =-，所以()22345b =-+，又因为2a =，8a b ⋅=-，所以25cos 8θ⨯=-，即4cos 5θ=-，又[]0,θπ∈，所以243sin 155θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即有3tan 4θ=-，所以向量a 与b 的夹角的正切值为34-.故答案为：34-. 15．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 4A =-，ABC，则ABC 的面积的最大值为___________.【分析】由已知求得sin A ，再由正弦定理求得a ，利用余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，代入三角形面积公式求得答案.【详解】因为3cos 4A =-，所以sin A =2sin a A =5a ==，由余弦定理得2222232cos 2a b c bc A b c bc =+-=++，所以22372522b c bc bc =++≥，即507bc ≤，当且仅当7b c ==时等号成立，所以1150sin 227ABC S bc A =≤⨯=△即ABC【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．16．已知232n n na +=，若4n n a λ≤⋅对于任意n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先用分离参数法分离出λ，再判断234nn n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的单调性，求出λ的范围. 【详解】由题意，得2342n n n λ+≤⋅对于任意*n ∈N 恒成立，即2324nn n λ+≥对于任意*n ∈N 恒成立，设234n n n n b +=，则当2n ≥时，()2211131135244n n n n n n n b ----+--+==，所以当2n ≥时，()22214352392180444n n n n nn n n n n n b b -⨯-++-+--=-=<恒成立，所以数列{}n b 单调递减，所以131214b λ+≥==，所以12λ≥，即实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】求参数的范围通常用分离参数法，转化为恒（能）成立问题，求函数（数列）的最小（大）值．三、解答题17．已知命题p ：函数()22f x ax =+在()0,∞+内单调递减，命题q ：曲线()22312y x a x =-++与x 轴交于不同的两点.若命题p q ∨为真，且p q ∧为假，求实数a 的取值范围.【答案】(]5,0,13⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【分析】分别求两命题为真命题时a 的取值范围，再根据复合命题的真假，分别列式求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()22f x ax =+，在()0,∞+内单调递减，则0a >；若曲线()22312y x a x =-++与x 轴交于不同的两点，则()231160a ∆=+->，解得53a <-，或1a >，所以当p 为真命题时()0,a ∈+∞，当q 为真命题时()5,1,3a ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.因为p q ∨为真，且p q ∧为假，所以p 和q 中有且只有一个为真命题，所以①当p 为真命题，q 为假命题时，0,513a a >⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得01a <≤. ②当p 为假命题，q 为真命题时0,513a a a ≤⎧⎪⎨-⎪⎩或解得53a <-.综上，实数a 的取值范围为(]5,0,13⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.18．已知函数()()()2lg 39f x x ax a R =++∈.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围【答案】（1）()2,2-；（2）⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）函数()f x 的定义域为R 转化为恒成立问题，利用判别式，求出a 的范围；（2）用分离参数法，把求a 的范围转化为恒成立问题，求最值.【详解】（1）因为函数()()2lg 39f x x ax =++的定义域为R .所以2390x ax ++>恒成立，所以29360a =-<△，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-.（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，则对于任意[)1,x ∈+∞，恒有2391x ax ++>成立，即83a x x>--对于[)1,x ∈+∞恒成立，记()8g x x x=--，[)1,x ∈+∞，则只需()max 3a g x >.当[)1,x ∈+∞时，()(,g x ∈-∞-，所以()max g x =-，所以3a >-a >所以实数a 的取值范围是3⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】求参数范围的方法:（1）不分离常数，转化为不等式，解不等式即可；（2）分离参数法.19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin 2sin cos 1sin 22C A A B B ++=. （1）求角A 的大小；（2）若a =，且b c +=ABC 的面积.【答案】（1）3A π=；（2. 【分析】（1）首先利用降幂公式，两角和的正弦公式，化简得到1cos 2A =，再求角A 的大小；（2）利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入条件求bc ，再求ABC 的面积.【详解】（1）因为2sin sin 2sin cos1sin 22C A A B B ++=，所以()1sin sin sin cos 1sin 2C A A B B +=++，所以1sin sin cos sin 2C A B B =+，所以()2sin 2sin cos sin A B A B B +=+，所以()2sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B B +=+，所以2cos sin sin A B B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为a ，3A π=，2222cos a b c bc A =+-，所以2274b c bc =+-，即()2734b c bc +-=，因为b c +=，所以1bc =，所以11sin 122ABC S bc A ==⨯=△. 【点睛】关键点点睛：本题的重点是第一问，难点也是第一问，涉及三角恒等变形的灵活掌握，如降幂公式21cos cos22αα+=，21cos sin 22αα-=，1sin cos sin 222ααα=，ABC 中，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+等公式的灵活应用.20．已知向量sin 21,x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，2sin ,cos 22xx n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，函数()f x m n =⋅.（1）若ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值；（2）若5π3π,44θ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且()1fθ=，23πsin ,π,32αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求πcos 4θα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）最大值为12，最小值为122-；（2）6.【分析】（1）根据数量积的坐标表示以及二倍角公式可得()1224f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据30,44x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的图象可得函数()f x 的最值；（2）由()1fθ=可得sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据5π3π,44θ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭可得cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2sin3，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos α==，然后展开cos cos cos cos sin sin 4444ππππθαθαθαθα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代值即可求出．【详解】（1）因为sin 21,x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，2sin ,cos 22xx n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，所以()21cos 11sinsin cos sin 2222224x x x x f x m n x x π-⎛⎫=⋅=-=-=+ ⎪⎝⎭，因为,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以30,44x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当04x π+=，即4πx =-时，sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭最小，最小值为0，此时()f x 最大，最大值为12；所以当42x ππ+=，即4x π=时sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭最大，最大值为1，此时()f x 最小，最小值为122-.即()f x 的最大值为12，最小值为122-.（2）由（1）得()124f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()1f θ=，所以1124πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为53,44ππθ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，所以,42ππθπ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，所以cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为2sin3，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=，所以cos cos cos cos sin sin 4444ππππθαθαθαθα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦23⎛⎛⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的最值求法，以及两角和的余弦公式的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题．解题关键是：整体思想的应用，一是将4x π+看成整体，利用三角函数图象求出最值；二是将4πθ+看成整体，利用两角和的余弦公式展开求出．21．已知正项等比数列{}n a ，满足a 2a 4=1，a 5是12a 1与5a 3的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()()444121nn n n n a b n a a +++=+-⋅--，求数列{}n b 的前n 项和S n .【答案】（1）32n n a -=；（2）1111,221211,21221n n n n n k S n n k ++⎧-+=⎪⎪-=⎨-⎪-=-⎪-⎩. 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解出公比q ，即可求出通项公式；（2）求得()11112121nn n n b n +=-+-⋅--，对n 分奇偶项讨论，运用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5a 是112a 与35a 的等差中项，所以421112125a q a a q =+，解得24q =或232q =-（舍去），因为数列{}n a 为正项数列，所以0q >，所以2q，因为241a a =，所以231a =，又因为0n a >，所以31a =，所以3332n n n a a q --==.（2）由（1）得32n n a -=，所以142n n a ++=，因为()()()444121nn n n n a b n a a +++=+-⋅--，所以()()()()()()()111112211111212122212121n n n n nn n n n n n n b n n n +++++=+-⋅=+-⋅=-+-⋅------，所以()1111111111234513377152121nn n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-+-++-+-+-+-++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，111212n n nS +=-+-，*n ∈N ，当n 为奇数时，111111111111212212221n n n n n n n S +++-+-⎛⎫=-+--=--=- ⎪---⎝⎭，*n ∈N . 所以1111,221211,21221n n n n n k S n n k ++⎧-+=⎪⎪-=⎨-⎪-=-⎪-⎩. 【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．22．已知函数()2ln 1()f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()()2210g x f x ax a x a =-++->有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(0,2⎤⎦.【分析】（1）先求导函数，令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）先将()0g x =进行变形，两边同时除以2x 得221ln 1a x a x x +-=-+，令1(0)t t x=>则()21ln 12a a t t t-=-++，即()22ln 10t a t t a -++++=，构造函数()()22ln 1F t t a t t a =-++++，利用导数研究函数的单调性，从而可求出所求．【详解】（1）因为()()2ln 1f x x x =-，所以0x >，且()()()2ln 12ln 1f x x x x x x '=-+=-.令()0f x '>得12x e >，令()0f x '<得120x e <<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）由题意，()()()22ln 121g x x x ax a x =--++-，因为函数()g x 有且只有一个零点，所以方程()()22ln 121x x ax a x -=-++有且只有一个实数根.两边同时除以2x ，得221ln 1a x a x x+-=-+. 令()10t t x=>，则()2ln 12t a a t t --=-++，即()22ln 10t a t t a -++++=，设()()22ln 1G t t a t t a =-++++，则()10G =，()()()21122221G t t a t a t t t '⎡⎤=-++=-++⎣⎦，由题意，函数()G t 有且只有1t =这一个零点.令()()2221h t t a t =-++，()0,t ∈+∞.（i ）当()2228440a a a ∆=+-=+-≤，即02a <≤时，()0h t ≥，()0G t '≥，此时()G t 单调递增，符合题意；（ii）当2a >时，方程()0h t =有两根，设为()1212,t t t t <，则12202a t t ++=>，12102t t ⋅=>，所以210t t >>，所以当10t t <<时，()0G t '>，当12t t t <<时，()0G t '<，当2t t >时，()0G t '>，所以()G t 在()10,t 上单调递增，在()12,t t 上单调递减，在()2,t +∞上单调递增. ①当1a >时，()110h a =-<，所以121t t <<，即()()210G t G <=.又因为t →+∞时，()G t →+∞，所以()G t 在()2,t +∞上存在零点，所以此时不符合题意. ②当21a 时，因为1222a t t ++=，1212t t =，所以22123222a t t ++=<，所以2112t <<，由()()210G t G <=，当t →+∞时，()G t →+∞，可得()G t 在()2,t +∞上存在零点，所以此时不符合题意.③当1a =时，易得112t =，21t =，由()()()1210G t G t G >==，当0t >且无限接近于0时，()G t →-∞，可得()G t 在()10,t 上存在零点，所以此时不符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,2⎤⎦.【点睛】方法点睛：来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值与零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学(理)试题(带答案解析)

2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合(){}|ln 2A x y x ==+，{}2|60B x x x =--≥，则A B =I （） A ．()2,-+∞ B ．[)2,-+∞ C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞ 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．1y x =-B ．22y x =C ．sin 2y x =D ．lg y x =- 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()22x x f f x '=-，则()2f '=（） A ．165 B ．165- C ．516 D ．516- 4．若0.3log 4a =，0.40.3b =，0.34c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<5．函数()3x x x e f ex -=-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．6．已知变量,x y 满足约束条件240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（）A ．4-B ．0C ．3D ．47．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，AD =,E F 分别为111,DD C D 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足146,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S 最小时，n 的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．9或109．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A ．当4πx =-时，函数()f x 取最小值 B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()f x 的图象可由2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到10．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =P BCD -的外接球的表面积为（）A ．5πB ．4πC ．3πD ．52π11．在ABC V 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=u u u r u u u r ，则CD CE ⋅u u u r u u u r 的值是（）A ．359B ．329C ．113D ．5312．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1x f x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞第II 卷（非选择题)二、填空题13．己知向量()2,4a =-，()1,3b m =-r ，若()2a b a -⊥r r r ，则9log m =__________. 14．比萨斜塔建造于1173年8月，是人类历史上著名的建筑奇迹.已知比萨斜塔的倾斜角度为3.99度，偏移距离为4.09米，圆形地基面积为285平方米.若比萨斜塔可近似看成圆柱体，则其侧面积约为__________平方米.（结果保留整数.参考数据：sin3.990.07︒≈，9.7≈，3π≈）15．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足：11a =，1,21n n a a n +-=-，n S =__________.16．如图，在平面四边形ACBD 中，ABC V 是等边三角形，且22AD BD ==，则ACD V 面积的最大值为__________.三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知量cos ,sin 3a πθθ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，sin ,cos 3b πθθ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b r r ，求tan 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若1sin 24θ=，求a b ⋅r r 的值. 18．在ABC V 中，角,,A BC 对应的边分别是,,a b c ，且2cos 2b c C a -=. （1）求A ；（2）若b =cos B =，求ABC V 的面积. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PA BD 的中点，2PD AD ==.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角D EF P --的正弦值.20．2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，同时带动了垃圾桶的销售.某垃圾桶生产和销售公司通过数据分析，得到如下规律：每月生产x 只垃圾桶的总成本()G x 由固定成本和生产成本组成，其中固定成本为100万元，生产成本为()2150100R x x x =+. （1）写出平均每只垃圾桶所需成本()f x 关于x 的函数解析式，并求该公司每月生产多少只垃圾桶时，可使得平均每只所需成本费用最少？（2）假设该类型垃圾桶产销平衡（即生产的垃圾桶都能卖掉），每只垃圾桶的售价为a元，a 满足(),x a m m n R n=+∈.若当产量为15000只时利润最大，此时每只售价为300元，试求,m n 的值.（利润=销售收入-成本费用） 21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11nn n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.22．已知函数()()e ln 1xa f x x =++. （1）若()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线210x y -+=平行，讨论()f x 的单调性；（2）若当[)0,x ∈+∞时，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】分别计算出集合A B 、,再由交集的运算计算出A B I ，可得答案.【详解】解：由已知可得:{|20}{|2}A x x x x =+>=>-，{}|(3)(2)0B x x x =-+≥{|2x x =≤-或}3x ≥，所以[)3,A B ∞=+I .故选：D.【点睛】本题主要考查交集的运算，求出集合A B 、是解题的关键.2．D【解析】【分析】根据偶函数及函数单调性的定义对各个选项一一进行判断，可得答案.【详解】解：对于A ，函数1y x =-是奇函数，在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意；对于B ，函数22y x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意；对于C ，函数sin 2y x =是奇函数，在区间()0,∞+上不是单调函数，不符合题意；对于D ，函数lg y x =-是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查具体函数的单调性与奇偶性的判断，属于基础题型.3．B【解析】【分析】求导，可得()()222f x xf x ''=--，代入2x =，可得()2f '的值. 【详解】由()()22x x f f x '=-求导得()()222f x xf x ''=--. 令2x =，得()()2424f f ''=--，解得()1526f '=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查导数的定义及运算，属于基础题型.4．A【解析】【分析】由指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 所在的范围，可得其大小关系.【详解】解：可得0303log 4log 10a =<=，0.4000.30.31b <=<=，0.30441c =>=，所以a b c <<,故选：A.【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，熟悉指数函数、对数函数的性质判断出,,a b c 所在的范围是解题的关键.5．B【解析】【分析】由()3x x x e f ex -=-，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，排除选项A ，C ，又当0x >时，()0f x >，排除选项D ，可得答案.【详解】解：由已知可得函数的定义域为{|0}x x ≠，()()33x x x x x x f x e e e ef x ---===---，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可排除选项A ，C ；又当0x >时，30x >，210x x x x e e e e---=>，所以()0f x >，可排除选项D ，故选：B.【点睛】本题考查函数图像的识别和判断、函数奇偶性等知识，注意数形结合思想的运用. 6．A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【详解】解：作出约束条件240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图所示.由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线32y x =，可知当直线过点()0,2A 时，z 取得最小值，为0224-⨯=-.故选：A.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解释解题的关键.7．C【解析】【分析】取1CC 的中点G ，连接,BG FG .易得//AE FG ，所以FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角），在FBG △中，分别求出BG 、 FG 、BF 的值，由余弦定理可得cos FBG ∠的值.【详解】解：如图，取1CC 的中点G ，连接,BG FG .易得//AE FG ，所以FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角）.在FBG △中，BG ===FG ===，BF ===.由余弦定理，可得222cos2BG BF FG FBG BG BF +-∠=⋅⋅==故选：C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，求出FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角）并进行计算是解题的关键.8．D【解析】【分析】由题意等差数列{}n a 为递增数列，且满足146,,a a a 成等比数列，可得190a d +=即100a =，可得当当9n =或10时，n S 最小，可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 为递增数列，所以0d >.又因为146,,a a a 成等比数列，所以2416a a a =，即()()211135a d a a d +=+，化简得190a d +=，即100a =，结合等差数列{}n a 为递增数列，可得129,,,a a a L 都小于10a ，即都小于0，所以当9n =或10时，n S 最小. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与基本量的计算、等差数前n 项和的最值问题，考查数学计算能力与分析能力. 9．B 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案. 【详解】解：由图象得，2A =，5241243T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则23T πω==. 又5212f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以5332()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以2()4k k Z πϕπ=+∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2sin 34x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对于A ，当4πx =-时，24f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，为函数最小值，故A 正确；对于B ，当12x π=时，2sin 3212124f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于直线12x π=对称，不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；对于C ，由232242k x k πππππ-+≤+≤+，可得22()43123k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0k =，可得412x ππ-≤≤，所以()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，由2sin 34y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到2sin 364y x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的知识，掌握()()sin f x A x =+ωϕ的图像与性质及参数的含义求出()f x 的表达式是解题的关键. 10．A 【解析】【分析】根据空间四面体棱长特征，将其补成长方体，可得四面体P BCD -的外接球也是该长方体的外接球，由长方体的外接球的性质可得其外接球的半径，可得该四面体外接球的表面积. 【详解】解：根据空间四面体棱长特征，将其补成长方体，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，2222224,4,2,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩所以2225a b c ++=，由上图可知，四面体P BCD -的外接球也是该长方体的外接球，设外接球的半径为R ，根据长方体的性质知，2222(2)5R a b c =++=．故该四面体外接球的表面积为224(2)5S R R πππ===．故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题，将四面体P BCD -的外接球转化为长方体的外接球进行计算是解题的关键. 11．A 【解析】【分析】设AB 的中点为O ,由3CA CB ⋅=u u u r u u u r，可得223CA CB CO OA ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，同时由题意可得24CO =u u u r ，13OD =u u u r ，可得22CD CE CO OD ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得答案.【详解】解：如图，设AB 的中点为O .因为()()CA CB CO OA CO OB ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()CO OA CO OA =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 223CO OA =-=u u u r u u u r .因为112OA AB ==u u u r u u u r ，所以24CO =u u u r .又因为AD DE EB ==，所以OD OE =-u u u r u u u r ，21133OD AO AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，所以()()CD CE CO OD CO OE⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()CO OD CO OD =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22135499CO OD =-=-=u u u r u u u r .故选： A.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，由题意求出24CO =u u u r ，13OD =u u u r 是解题的关键.12．C 【解析】【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【详解】解：解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1xf x e -≥，可变形为()xe f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及解不等式，由题意构造出函数()()xg x e f x =⋅进行求解是解题的关键. 13．32【解析】【分析】由题意计算可得2(5,11)a b m -=--r r，由()2a b a -⊥r r r ，可得()20a b a -⋅=r r r ，代入可得m的值，可得答案. 【详解】解:由已知可得2(5,11)a b m -=--r r，因为()2a b a -⊥r r r ，所以()()225a b a m -⋅=-r r r()4110-⨯-=，解得27m =，所以993log log 272m ==, 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 14．3399 【解析】【分析】由题意计算出比萨斜塔的高度为h 与圆形地基的半径r ，由圆柱体侧面积公式2S rh π=代入各数据可得答案. 【详解】解：设比萨斜塔的高度为h 米，则由已知可得 4.09 4.0958.4sin 3.990.07h =≈≈︒米.设圆形地基的半径为r 米，则2285r π=，解得9.7r ≈≈，所以比萨斜塔的侧面积为2239.758.43399S rh π=≈⨯⨯⨯≈平方米，故答案为：3399. 【点睛】本题主要考查圆柱体侧面积的计算，相对不难，求出比萨斜塔的高度为h 与圆形地基的半径r 是解题的关键.15．21222n n n ++--【解析】【分析】将1,21n n a a n +-=-变形为()()112n n a n a n +++=+，可得数列{}n a n +是公比为2的等比数列，可得数列{}n a n +的通项公式，可得数列{}n a 的通项公式，可得n S 的值. 【详解】解：由121n n a a n +-=-，可得()()112n n a n a n +++=+，所以数列{}n a n +是公比为2的等比数列，又112a +=所以2nn a n +=，所以2n n a n =-，所以()222212nn S n =+++-+++L L ()()2211212n n n -+=--21222n n n ++=--. 【点睛】本题主要考查由递推式求数列通项公式及数列前n 项的和，构造出数列{}n a n +，后求出数列{}n a 的通项公式进行求解是解题的关键. 161 【解析】【分析】设ADB α∠=，BAD β∠=，由余弦定理可得254cos AB α=-，23cos 4AC ACβ+=,由正弦定理可得sin sin AC αβ=，由1sin 23ACD S AC AD πβ⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⎝⎭△，对其进行化简由三角函数性质，可得其最大值. 【详解】解：设ADB α∠=，BAD β∠=，则由余弦定理，可得22221AB =+-22cos 54cos αα⨯⨯=-，22221cos 22AB AB β+-=⨯⨯234AC AC+=.又由正弦定理，可得sin sin BD AB βα=，即sin sin AC αβ=，所以1sin 23ACD S AC AD πβ⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⎝⎭△1sin cos 22AC ββ⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin 324AC AC AC AC α⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭213sin 24AC α+=154cos 3sin 24αα-+=+1sin 2αα=-+sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为0απ<<，故当56πα=时，ACD ∆1，1. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形的面积公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题.17．（1）1（2【解析】【分析】（1）由//a b r r，可得cos cos sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 203πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由题意求出θ的值，可得tan 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）由题意可得22πθπ<<，可求出cos2θ的值，可得sin cos sin cos 33a b ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 112sin 2sin 2223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭代入sin 2θ，cos2θ可得答案. 【详解】解：（1）因为//a b r r，所以cos cos sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 203πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为42ππθ<<，所以22633πππθ<-<. 所以232ππθ-=，解得512πθ=.所以5tan tan 6126πππθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 14π==. （2）因为42ππθ<<，所以22πθπ<<.又因为1sin 24θ=，所以cos 24θ==-. 所以sin cos sin cos 33a b ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 112sin 2sin 2223πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭112sin 2sin 2cos 223πθθ=+12cos 2sin23πθ-1sin 2cos 244θθ=-1144⎛=⨯- ⎝⎭=【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质、平面向量的数量积及三角函数的恒等变换等知识，考查学生的综合计算能力，属于中档题.18．（1）3A π=（2【解析】【分析】（1）由正弦定理，将2cos 2b c C a -=进行化简可得1sin cos sin sin 2A C CB +=，将sin sin()B AC =+代入进行化简可得cos A 的值，可得答案；（2）由cos B =可得sin B 的值，由直线定理计算出a 的值，同时由sin sin()C A B =+可得sin C 的值，代入1sin 2ABC S ab C =V 可得答案. 【详解】解：（1）因为2cos 2b cC a-=，由正弦定理，可得2sin sin cos 2sin B C C A -=，即1sin cos sin sin 2A C CB +=.又因为sin sin()B A C =+=sin cos cos sin A C A C +，所以1sin cos sin 2C A C =. 又因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 又因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为0B π<<，cos B =，所以sin 3B ==.由正弦定理，可得sin 3sin 2b ABa ===.又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=1323236++⨯=. 所以1sin 2ABC S ab C ==△1332268+⨯=. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，及三角函数的恒等变换等知识，注意定理的灵活运用及运算准确.19．（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接AC ，易得//EF PC ，由线面平行的判定定理可得//EF 平面PBC ；（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线为坐标轴，由空间向量法可得二面角D EF P --的余弦值，可得其二面角D EF P --的正弦值.【详解】证明：（1）连接AC .因为四边形ABCD 为正方形，所以F 也是AC 中点. 因为E 为PA 中点，所以//EF PC . 又PC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以//EF 平面PBC .（2）因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,AD CD PD 两两垂直.以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,1)E ，(1,1,0)F ，(0,0,2)P ，所以(1,0,1)DE =u u u r ，(0,1,1)EF =-u u u r ，(1,0,1)PE =-u u u r.设平面DEF 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，则11110,0,DE m x z EF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v 令11x =，则111y z ==-，所以(1,1,1)m =--u r.设平面PEF 的一个法向量为()222,,n x y z =r，则22220,0,PE n x z EF n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ，令21x =，则221y z ==，所以(1,1,1)n =r.所以1cos ,3m n m n m n⋅〈〉==-⋅u r ru r r u r r ，所以sin ,m n 〈〉==u r r ，即二面角D EF P --的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及向量法求二面角，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.20．（1）每只的成本费用为250元.（2）250m =，300n =. 【解析】【分析】（1）由题意写出生产成本()G x 的表达式，可得()()f x G x x=，利用基本不等式计算()f x 的最小值，并求出所对应的x 的值；（2）由题意可得利润函数()()g x ax G x =-，结合题意列出方程，可得,m n 的值. 【详解】解：（1）由题意知，生产成本为()21100000050100G x x x =++，所以()()100000050100G x x x f x x==++. 又()100000050100x x f x =++≥50250=，当且仅当1000000100x x=，即10000x =时，()f x 取得最小值250元. 即该公司生产1万只垃圾桶时，使得每只平均所需成本费用最少，且每只的成本费用为250元.（2）由已知可得，利润()()x ax G x x m n g x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭21100000050100x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()211501000000100x m x n ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭. 因为当产量为15000只时利润最大，此时每只售价为300元，所以110,10015000300,5015000,112100n m n m n ⎧⎪⎪-<⎪⎪⎪+=⎨⎪-⎪-=⎪⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩解得250m =，300n =. 【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用及基本不等式在最值问题的应用，考查学生分析问题和解决实际问题的能力，属于中档题.21．（1）21n a n =-.2nn b =.（2）()2,3-【解析】【分析】（1）由1n n n a S S -=-代入计算可得21n a n =-；将21n a n =-代入11n n n b a b n++=，可得12n nb b +=，可得2n n b =；（2）由11n n n b c a +=-，可得{}n c 的通项公式，由错位相减法可得n T 的值，由()112nn n n T λ--<+，可得()21142nn λ--<-，分n 为偶数与奇数进行讨论，可得实数λ的取值范围. 【详解】（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-. 显然11a =也满足上式，所以21n a n =-.因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==. 又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以2nn b =.（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n-+===-，所以112n n nc -=. 所以21231222n n n T -=++++L ，所以23111231222222n n n n n T --=+++++L ，两式作差，得231111*********n n nn T -=+++++-L 1122212212n n n n n -+=-=-- 所以1242n n n T -+=-.不等式()112n n n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-. 【点睛】本题主要考查等差数列等比数列通项公式的求法、错位相减法求数列的和及数列与不等式的综合，考查学生的运算求解能力，需注意解题方法的积累，属于中档题. 22．（1）函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.（2）(],2-∞ 【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，求出切线的斜率，由两直线平行可得a 的值，代入()f x 可得其单调性；（2）由()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++，可得当[0,)x ∈+∞时，()ln 110xe x ax ++--≥恒成立，设()()ln 11xg x e x ax =++--，对其求导可得()11xg x e a x '=+-+，令()11x h x e x =++，则()()211x h x e x '=-+，对()h x '进行分析可得()0h x '>，()2g x a '≥-，分2a ≤，2a >进行讨论，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由已知得()1xa e x f x =++'，则()010a f e a +='+=. 又因为直线210x y -+=的斜率为2，所以12a +=，解得1a =.所以()()ln 1xf x e x =++，定义域为()1,-+∞.所以()101xe xf x =+>+'，所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.（2）当[0,)x ∈+∞时，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立，即当[0,)x ∈+∞时，()ln 110xe x ax ++--≥恒成立.令()()ln 11xg x e x ax =++--，则()11xg x e a x '=+-+. 令()11xh x e x =++，则()()211x h x e x '=-+.当0x ≥时，e 1x>，()21011x <≤+，所以()0h x '>，所以函数()()0y h x x =≥为增函数.所以()()02h x h ≥=，所以()2g x a '≥-.①当2a ≤时，20a -≥，所以当2a ≤时，()0g x '≥，所以函数()()0y g x x =≥为增函数，所以()()00g x g ≥=，故对0x ∀≥，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立； ②当2a >时，11a ->，当0x ≥时，1011x <≤+， ()11x g x e a x '=+-+1x e a ≤+-，当()()0,ln 1x a ∈-，知10x e a +-<，即()0g x '<. 所以函数()y g x =，()()0,ln 1x a ∈-为减函数. 所以当()0ln 1x a <<-时，()()00g x g <=. 从而()()()1ln 11a x f x ax <-+++，这与题意不符. 综上，实数a 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线在某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性及恒成立的问题，考查了分类讨论的思想，综合性大，属于难题.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

23 ,!!
'!(!RSTUV7WXYWX"# Z[&B # \])S^_A:WXYWX"# `W&a_A:WXbYUX "# R
S7cd`W&1*_A+eDfg*hi+&B 4\])UX"# YjR S7cdklmnop&qopY`W&B (
rs)tgUX"# Y Z[&TUX"# 7opmuY Z[&B ,\]&23 (!
槡 5&&$8+7,0!23 4!~ ,t$#+)!$$&&J$$+&)!&B&$8+$+')!8#+)!$8!+& +')!"#+)!$
8!$0&44&$$+)!&$$!&+$*5&&$8+7,0!23 4! 1!,!~m,4$+%5&,-#$$$#$8!$9$&B,-#!$$&9&,#!$$9&./X+$,#$$R#!&,#!$$7X,+)9
$)*+,-./0!"#$
河南省九师联盟 %&'(1234567
!!#!+,"$'%&!&&(&#$'$"$#!-$$'(&./%#$'$"!&$&'(&01"'#%#$$'!&&(!23 #!
&!(!4$$)*5&&$
$
! +
)4&$
$
! +
5&$$)*&./*$$)*+6*&$$
$&9#$)!$&+$&9$)9&{&JX+$,#$$R#)!&,#)!$$7X,+$)&9$)9!23 ,! ~ ,4$#%5&)$$%&./,#)$$$)$9)$&,#$$6A&./,#$$$)$9)$$)9$$ &./,-#$$$$9)$!& ./,-#)!$$)&9&,#)!$$9&./X+$,#$$R#)!&,#)!$$7X,+)9$)&9#$8!$&+ $)&9$)9!23 ,! +!#!& #!)! 7G .& "!.&/.& /.)01!+, 01,op "01&/.-op "01&./ /.)op "01&y "!.)op "01!+, "!.&/.,op "!/.& "!.'/. $.&./op "!/.) op "01& "!/, op "!/.&./ "!/) o p "01&. /2!$2&& 23 #!
3!4!4!&3$
&
&3$"&!0,%%5&+:6;$*!#<$&Brs)4!&3$*&&3$!+&
*,%%
5&+:=7$!3#<$&B

rs)t&08">=7!&3$&+&J>=7!&3$
! &
&B!&3$
" -!&3$0"&IJ3$&-3$!%&75,!!,%%
7788!$7&##7788!!$$$
7 &
&9&89!3$
! &
#!8*808-8!3$$0%!23
4!
!*!*!·¸w¹&<:$$8+&B+$)$8:&4WX+$)$8:T#!&&$5&:º&::6;$*!
!'!+!~m,T ( »(; 0") g ; &A%¶7¼½i¾&J"21(""21)$";"")&cduy&J "(&$";" "))RW|"|¿"#( G&"($&槡&&./"21(""21)$";"")$"(&$+!~ ,t""21("$""21#"A.>'0@$&槡&&J "21(""21)$""21(""""21)"A.>*(")$""21(""""21("$""21("&$+!
!0!%* #%&8"%8!!$!RAC&2*&*2'&'20&-&#%8!$2 #%8&$G&&$&&9$*&À A ,%&<$%8!&=$%8&&B 6$
% "
.#"8%8&$2&8#*8&%8'$#%8!$/8%"
#%8!)&$$
% *
#%&8"%8!!$!
!"!#&&8?$!Á+$-7&$)$)&#$)!$7£ÂÃoÄ!n¦Å&JÆA+$-7! !8 )$$)&$ 7
0!(!t "()#) vXpow7xuuy&J "()&ztXpow7{$uy&J "()*&./*Y#( .l|6 *"(#&01567*"(#$&!23 (!
"!4!t}i&J$$%&+$!!~m,&$8+$&$8 #+)!$8!+& 槡&$#+)!$8!$0&44&$$+)!&$$!&+$*
$"!#!!<
""!$"!#! $&&B4"°±"#) "!#!)!
$
! &
2&2槡*&&2&$槡'*&*
$&槡*&I
J&$&!.
/
²
5
7
³
´'
$
槡# $ # $ 槡 #槡 $ & &
&
8
&2槡&*2
& *
&
$
1 *
&./²
5
7µp¶6$''&$'2
1 *
&$&+*!23 #!
!&!4!t6%$%&&J&%$&%)!!t&%+7&J&%)!+7&IJ%+7&8!!47$&8)!&#8./ $5&778!97 $8&97 $
!3,%%)
!!"!!#$%&'"!"#$%&'(!(!! )#*")$%
B\])y¡\]!23 4!
!%!4!+,河A南+$省,九#$师$¢联V盟,#!%)$$$,#$$&./A+$,#$$£7¤,WX$$0!+, #$)0$,-#$$
$%&./4$#05&,-#$$#%)4$$05&,-#$$$%&./A+$,#$$R #)?&0$¥¦§¨©)R #0&8? $¥¦ §¨ª!,#)!$,#!$#%&t{J&,#)!$$,#!!$&,#!$$,#3$&B,#3$,#!!$#%!A,#$$R« ¬#3&!!$¥¦§¨ª&./A,#$$R«¬#3&!!$S^^!n!23 4! !!!#!®*"#!"! 6"#! Y¯p"!#!)! .l7|&B*"#!"!$'0@!2t567*"#!"!$567'0@$""!"#!!$!&J ""!
! +
+789:;!23
(!
*!,!<(%=>?@A,&%&BAC'&%(,DEAC&FG&!$*!+&HE, '%$*!+&./&%$*!+%$!%%%&IJ%$

2020年11月河南省九师联盟高2021届高2018级高三11月联考理科数学试题参考答案

河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题 理(含答案)

高2021届高2018级河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题解析版

高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)

2020届高三九师联盟11月联考数学试卷(理)

2020年9月河南省名校联盟2021届高三毕业班质量检测数学(理)试题

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理(含解析)

2020届河南九师联盟高三10月11月质量检测数学试题及答案整理中

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题 文

2020届河南九师联盟高三上学期11月质检巩固数学(理)卷

2021年河南省九师联盟高考(理科)数学联考试卷(解析版)

河南省百校联盟2018届高三11月教学质量监测乙卷理数试

高三数学11月联考试题 理含解析 试题

2021届河南省豫南九校高三11月联考卷(二)数学(理)试题(解析版)

2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学(理)试题(带答案解析)

河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题理(含答案)

河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题文

高三数学11月联考试题理含解析试题