第4章 平面的投影(2011)

m
n'
n
m
[例题5]
已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，
距离V 面10，试求点E的投影。 m'
r'
e'
n'
15
s'
10
n
r
e m
s
[例题6] 在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。
a e c
d b
m ●
10
O a 10 d m
●
X
e
b c
[例题7]
● ●
b ● b a●
●
b ● b
●
a● c
a●
d a●
c
c
c
不在同一直线 上的三个点
直线及线 外一点
两平行直线
两相交直线
平面图形
4.1.2 平面的迹线表示法
PV
PV
P
PH QV
PH QV
Q QH
QH
4. 2 平面对投影面的相对位置
1. 平面对一个投影面体的投影特性
投影特性： 平面平行投影面——投影就把实形现。 平面垂直投影面——投影积聚成直线。 平面倾斜投影面——投影类似原平面。
面上取点的方法：
首先面上取 线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b k ●
X
b c
X
●
d c d c
k
a a k
●
a
b
a
●
b c
k
利用平面的积聚性求解
通过在面内作辅助线求解
[例题1] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
4.3.3 属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线
例题4
例题5
例题6
例题7
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
例： 在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
有多少解？
m
10 b
n
c
唯一解！
b
n m a
c
[例题4] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平 面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。
c
YH
正平面
正平面
积聚性
a
Z
实形性 积聚性
X
a
c
O
c b
b
YW
a
b
c
YH
投影特性： 它在正面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
侧平面
侧平面 积聚性
X
a c
b
Z
a c
O
b
YW
a
积聚性
b c
投影特性： 它在侧面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
b
YW
a c
b
YH
思考：此题有几个解？
4.3 属于平面的点和直线
4.3.1 属于一般位置平面的点和直线
4.3.2 属于特殊位置平面的点和直线
4.3.3 属于平面的投影面平行线
4.3.4 属于平面的最大斜度线*
4.3.1 属于一般位置平面的点和直线
1．平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
1． 取属于投影面垂直面的点和直线
b a e f
f a b e
2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面
b b
a
A
B P
SV
a
A
B S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB 作铅垂面PH
过一般位置直线AB作 正垂面SV
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)
(n')
m' n
B A M
●
Q
例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平 面内任作一条直线。 d 解法一： 解法二：
b b m ● a
X X
●
n c a
c
m● a
b a n
●
b d c
c
有多少解？ 有无数解！
2．取属于平面的点
e' d'
E D
d
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
e'
d'
e
d
[例题2] 已知点D在 ABC上,试求点D的水平投影 。
d'
d
[例题3]已知点E在 ABC上,试求点E的正面投影 。
e'
e
4.3.2 属于特殊位置平面的点和直线
1．取属于投影面垂直面的点和直线
2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面
(1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3．过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面
YH
实形性
③一般位置平面
一般位置平面
Z Z V
b
c
X
b
W
c
O
X H Y
a
b
a
YW
a
c
YH
投影特性：
平面与三个投影面都倾斜。
三个投影都为类似形。
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影
及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。
Z
c
a b
●
c
a
45°
X
O
铅垂面的迹线表示
b' b"
a" c' a b C c"
P
B
a'
A
a

c
b PH
PH c
正垂面
正垂面
积聚性
X
Z
c a

b
γ
b c
O
类似性
a
YW
c
类似性
a b
YH
投影特性：
正垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴 的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
①投影面垂直面
Z
V
正垂面
W
X
Y
铅垂面
H
侧垂面
铅垂面
铅垂面
b
Z
b c c
O
类似性
X
类似性
a
YW
a
β
积聚性
a
γ
c
YH
b
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴 的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
侧垂面的迹线表示
V Z
S
B
Sw b" W
β
Sw
X C
A c" a"
O
α
Y
Y
②投影面平行面
Z V
水平面
侧平面
W
X
正平面
H
Y
水平面
水平面
Z
积聚性
a b c
O
b a
c
积聚性
X
b
YW
a
实形性
投影特性： 它在水平投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
51
[例题2]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
e
d e
N
有两解
d
52
2. 将投影面垂直面变为投影面平行面
V c c1 V1 a1 C
a
b
b1 A B
X
X1
H
53
c1 b1 a1
54
3.将一般位置平面变为投影面平行面
已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
b
解法一：
a k
解法二：
c a
b
c
X
d d a k b c
X
d d a b c
4.4 平面的换面
1.将一般位置平面变为投影面垂直 b 面
d
b1 a c b d c
D
V X d1H1 H a1 a c1
d
c
50
[例题1]
正垂面的迹线表示
QV
a c b
Hale Waihona Puke AQVBγ
Q
α
C
侧垂面
侧垂面
b
Z
b
β
类似性
c
X
积聚性

a b
O
c a
YW
类似性
a
c YH
投影特性：
侧垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴 的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
B B A C 实形性
积聚性
类似性 C
A
C
A
b a b
c a
B
c
c
a
平行
垂直
倾斜
b
4
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性