09-10学年高数(一)期终考试试题答案及评分标准(A)
2010全国高中数学联赛一试评分标准a
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
k 1
9
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为
2 846 98 1790 .
4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列， {bn } 是等比数列，其中 a1 3, b1 1, a 2 b2 ,3a 5 b3 ， 且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则 解：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则
2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本 评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不要增加其 他中间档次。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1. 函数 f ( x)
C B
PB PA1 5 , A1O B1O 2 , PO 3 .
在直角 PA1O 中， A1O PO A1 P OE , 即
2 3 5 OE , OE
6 5
大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (1)
安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。
(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解(B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解(D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。
(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。
(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝ 。
大一高等数学a期中试题及答案
大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。
A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。
A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。
A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。
A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。
A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。
B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。
A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。
答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。
答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。
答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。
09-10学年第一学期数学检测考试答案及评分标准(A) (修复的)
| | | | | | | |装 ||| | | 订|| || | |线| | | | | | | | | 防灾科技学院2009-2010学年第一学期检测考试答案及评分标准高等数学（一）试卷（A ）使用班级本科各专业 答题时间120分钟（本试卷理工、财经各专业通用，共三页23道题）一、单项选择题（本大题共15分，共计5小题，每小题3分。
）1. ()()()()f x f x f x -∞+∞--设是定义在，内的任意函数，则是 ；A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.非负函数 2. 下列各对函数中，互为反函数的是 ；A. x y x y cos ,sin == B. x x e y e y -==C. x y x y cot tan ==D. 22x y x y ==3. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是 ；A. xB. )1l n (x +C. x s i nD. xe -4. 设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→=；A. )0(fB. 0C. )0(/f D. )(/x f 5. =⋅⋅⋅⋅+-+∞→nn n n n n n n e e e e 121231lim 。
A.1 B. C.e D.2e二、填空题（本大题共15分，共计5小题，每小题3分） 6. 设)1ln(2)(x x x f -++=，则)(x f 的连续性区间为_______7. 设)0(2tan )(≠=x xxx f ，要使)(x f 在0=x 处连续，应补充定义=)0(f ； 8. =-+--→45215lim22x x x x ； 9.；若2)2(lim=→x f x x ，则x x f x )4(lim0→= 10.=++∞→xx x x 3)12(lim 。
三、计算极限(本大题共3小题，每小题5分，共计15分)11. xxx 5t a n ln 2tan ln lim 0→12. )12(lim 2n n n n --++∞→13. )1sin(lim 2n n n n -++∞→(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)14.（5分） )(),()(ln(//22x y x y a a x x y '-+=是常数），求设 15.（5分） )(),(,1arctan )(//x y x y y y x x y y '=+-=求所确定由设 16. (5分) 设⎩⎨⎧+=+=ktt k y ktt k x cos cos sin sin （k 是非0常数）， 求022,=t dx y d dx dy17.(5分) 设32cos 1lnxxy +=，求dy五、 证明题(本大题共2小题，共计10分)18.（5分） 设)(x f 在开区间),(b a 内可导，且1)(lim )(lim ==-+→→x f x f bx ax 。
江苏省赣榆高级中学2009-2010学年度第一学期期中考试高一数学试题
江苏省赣榆高级中学2009—2010学年度第一学期期中考试高一数学试题：注意：请将填空题、解答题的答案都写在答题纸上，否则不给分！一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，满分共70分）1．集合{1，2，3，4}的非空真子集的个数为 ▲2．可作为函数y = f (x )的图象的是 ▲3．已知集合2{|1,},{|3,}P y y x x R Q y y x x R ==+∈==+∈，则P Q = ▲ 4．下列各组函数，表示同一函数的是 ▲（1）f (x )＝2x , g (x )＝x （2） f (x )＝x , g (x )＝x x 2（3）f (x )＝42-x , g (x )＝22-+x x（4）f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x（5）圆面积S 是半径R 的函数与函数S=πR 25．设函数f ( x )＝2x ＋1，g (x ＋2)＝f ( x )，则g ( x )的表达式是 ▲6.计算075.0313225.016127881-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ▲ 7．函数f （x ）＝23x a -+的图象过定点P ，则P 点的坐标是 ▲8. 某人2008年1月1日到银行存入a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到 2011年1月1日可取回款 ▲ 元9．函数y =的定义域为 ▲10．用二分法求函数)(x f y =在区间]4,2[上零点的近似解，经验证有0)4()2(<⋅f f 。
若给定精确度01.0=ε，取区间的中点32421=+=x ，计算得0)()2(1<⋅x f f ，则此时零点∈0x _____▲_____(填区间)(1) (2)(3) (4)11．函数f(x ,)0(,log )0(),1(2⎩⎨⎧≤+＞x x x x f 则f(-2)=__ ▲ 12．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是▲13．若(21)f x -的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为 ▲14．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(),()3(==+f x f x f ，则方程0)(=x f 在区间)6,0(内解的个数为 ▲二、解答题(本大题共6小题，满分共80分。
中国石油大学2009至2010学年第一学期高等数学期中考试试题
中国石油大学2009至2010学年第一学期高等数学期中考试试题中国石油大学2009—2010学年第一学期《高等数学》期中试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2009年11月 15日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷共6页。
一、填空题（共6小题，每小题3分，满分共18分）1．设，, 则 .2．设，则 .3．设二阶可导，则 .4．试用“”语言叙述的定义 . 5．设且在点处可导，则.6.当时，与是等价无穷小，则= .二选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1. 设函数在点处可微，则下面表达式不正确的是（）.A. .B. .C. .D. .2.设函数内连续，其导函数的图形如图[1]所示，则有（）.A. 一个极小点和一个极大点.B. 两个极小点和一个极大点.C. 两个极小点和两个极大点.D. 三个极小点和一个极大点. 3．下列命题错误的是（）. 图 [1]A. 在某去心邻域内，且，则.B. 若，则C. 若存在，则存在.D. 若存在，则分别存在.4．曲线的渐近线的条数为 ( ).A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.三、计算题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．2．3．4．设，求.5. 设，求在点处的n阶导数值.6. 设是由方程所确定的函数，，，求微分dy.四、应用题（共4小题，每小题6分，满分24分）1．设，选取合适的、、使在点处连续、可导.2．设函数，指出函数的间断点，并判断其类型.3. 求函数的极值、凸凹区间及曲线的拐点坐标。
4. 一气球从离开观察员500米处离开地面铅直上升，其速率为140米/分，当气球高度为500米时，观察员视线的仰角增加率是多少？五、证明题（共2题，每小题5分，满分10分）1.设在上连续，且恒为正，证明对于任意的必存在一点, 使.2.证明：当时，.答案：一、1 2345 6 k=2二、 1 C 2 C 3 D 4 D三、1 12 -1/83 exp(-1/2)456四、1即时------------（1）------------（2）综合（1）、（2），得当2因为，所以x=0为可去间断点。
西北工业大学高等数学09-10学年第一学期期中考试试题和答案
−3
3 − x 2 x ≤ 1 1 6、函数 f ( x ) = 2 、 在 [0,2]上满足拉格朗日条件的 ξ = 及 2 2 x x >1
7、函数 、
1 π f ( x ) = a sin x + sin 3 x 在 x = 处取得极值，则 a = 取得极值， 3 3
=x
2x
2
f ′(ξ )(b − ξ ) − [ f (ξ ) − f (a )] = 0 ， ξ ∈ (a, b )
故由罗尔定理知
∃ ξ ∈ (a, b ) ，使 F ′(ξ ) = 0 …………………………………………………………………7 分
从而 亦即
f (ξ ) − f (a ) = f ′(ξ ) (a < ξ < b ) 成立………………………………………8 分 b−ξ
（ 五、 8 分）设 使得
f (ξ ) − f (a ) = f ′(ξ ) (a < ξ < b ) 成立。 成立。 b−ξ
证 令F 则F
( x ) = [ f (x ) − f (a )](b − x )
………………………………………………3 分 ………………4 分
( x ) 在 [a, b]上连续，在 (a, b ) 内可导，且 F (a ) = F (b ) = 0 连续， 内可导，
x→1
f (x) − 2 = 3 ，则（ 2 (x − 1)
(A) (C)
f ( x ) 在 x = 1 处可导且 f ' (1) = 3 (B) 处可导且 f ( x ) 在 x = 1 处取极大值
(D)
f ( x ) 在 x = 1 处不可导 f ( x ) 在 x = 1 处取极小值
20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准
20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分）1．当0x x →时，)(x α、)(x β都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小.(A) )()(x x βα+， (B) )()(22x x βα+ ， (C) [])()(1ln x x βα⋅+， (D) )()(2x x βα。
【解】 应选D 。
2. 设a 不是π的整数倍，极限ax ax ax -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）.（A ） 1， （B ）e ， （C ）ae cot ，（D ）ae tan 。
【解】 应选C 。
事实上ax a x ax a x a a x a x -→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛11sin sin sin 1lim sin sin limaa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=aa e sin 1cos ⋅=ae cot =。
3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a （ ）.（A ）1， （B ） 0， （C ）e （D ）1-。
【解】 应选D 。
事实上由于()a e a x x e x x f axx axx x 212cos lim 1sin lim )(lim 2020+=⋅+=-+=→→→，而af =)0(，要使函数)(x f 在0=x 处连续，必需且只需)0()(lim 0f x f x =→，即a a =+21，解得1-=a 。
4. 设函数)(x f 在点a x =处可导，那么极限=--+→hh a f h a f h )2()(lim 0（ ）. （A ） )(3a f '， （B ）)(2a f '，(C) )(a f '， （D ）)(31a f ' 。
09高数期中(A)
．
1 x
.
x 2 cos 3 t π 3. 曲线 在 t 处的曲率为 3 4 y 2 sin t
4.设 f ( x) ax bx c ，则 =
2
. ，使 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) .
x 0, x 1 处都间断 x 0, x 1 处都连续
1 2 ( x 1) 2
B. x 0 处间断， x 1 处连续 D. x 0 处连续， x 1 处间断 ．
3.当 x 1 时，与 x 1是等价无穷小的是 A. x 1
2
B.
2 3
1 ( x 1) C. 2
． C. 驻点
D.
x 1
f ( x) ln 1 sin 2 x 5 ，则 lim f ( x) 5. 设 lim x 0 x 0 x 2 3x 1
1
B.
1 2C.1 2 NhomakorabeaD. 1
2009-2010 学年第一学期高等数学期中试题 （A 卷）
a x bx , x0 阅卷人 2、 讨论函数 f ( x) x 若不连续， (a 0, b 0, a 1, b 1) 在 x 0 处的连续性。 0, x 0
2009-2010 学年第一学期高等数学期中试题 （A 卷）
题号 得分 一 二 三 四 五 总分 审核
第 1 页
共 2 页
6. 设在 [0,1] 上， f ( x) 0 ，则 f (1), f (0), f (1) f (0) 和 f (0) f (1) 的大小顺序 为 . A． f (1) f (0) f (1) f (0) C. f (1) f (0) f (1) f (0) 7.方程 x sin x 2 有实根的区间是 A. ( . C. ( B. f (1) f (1) f (0) f (0) D. f (1) f (0) f (1) f (0)
2010年秋季高一数学期中考试参考答案(打印版)
参考答案
一、选择题:
1．C解析:①中 ，两个函数的值域不同；②中 与 解析式不同；③④中函数的定义域、对应关系都相同；
2．D解析:A※B= ，子集个数为 ；
3．C解析:
4．A解析: 在 上是递增函数，而 是奇函数，均不符合；
5．D解析:当 ， ，设 且 ；由题知:
；又由 为奇函数，可得: ，所以 ；由奇函数图象特征，易知 在 上为增函数；
∴
②当 ＞0时， ＜0，由已知得 ＞1，
又 ， ，
∴0＜ = ＜1，即 ＞0时，0＜ ＜1.
③任取 ＜ ，则 ，
∵ ＜0，∴ ＞1，又由(1)(2)及已知条件知 ＞0，
∴ ＞ ，∴ 在定义域 上为减函数.
(2) =
又 ， 在 上单调递减.
∴原不等式等价于 ≤0不等式可化为 ≤0
当2＜ ，即 ＞ 时，不等式的解集为 ≤ ≤ ；
(3)易知 是 上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为 ，则 ；故 是 的两个不等根，即方程组为:
有两个不等非负实根；
设 为方程 的二根，则 ，
解得: 的取值范围
10．A解析:设 则 ，因为 在 上单调递增，由图象可知函数 也是单调递增，由复合函数的单调性可知 在定义域上递增，故 ；又 ，由图象可知: ，则 ，解得
二、填空题:
11．4
12．-1解析:由 ， 知 ，所以只能 ，所以 ，此时 ， ，所以 ，又 ，所以 ；代入即可得；
13． 解析:令 ，即 ；设 ，则 ， ；所以 ，
，即 ，此式对于任意 都成立等价于 ，因为 ，所以 ，所以 ；代入(2)式得: ，即 对于任意 都成立，相当于 ，从而 的取值范围为 ；
(2)对于任意 ，且 ，由 ，得 ，所以 ， ，从而
09高数上期中考试评分标准
华东交通大学2009—2010学年第一学期期中考试卷参考答案及评分标准一、填空题(每题2分，共10分)1、1；2、21；3、t23；4、2；C x x +--cot .二、选择题(每题 3分，共15分) 1、C ；2、D ；3、A ；4、B ；5、D 三、解答题(每题 7分，共49分)1、解1212222222+<++++++<+n n nn n n n n n nn n 3分又 1l i m 22=+∞→n n n n ，11lim 22=+∞→n n n 5分1)21(l i m 222=++++++∴∞→n n nn n n n n 7分2、解=---→xx e x x x 2220s i n 1lim242021limxe x xx -→-- 2分3422lim2xxe x xx -→+-=2021l i m 2x e xx -→+-= 5分x xe x x 42lim 2-→-=21-= 7分 3、解x xxx x x x x x x e3ln )432ln(lim10)3432(lim -++→→=++ 3分14324ln 43ln 32ln 2limx x x x x x x e++++→= 5分324= 7分4、解)4()4(21)2()2(112a r c s i n 22122'--+'⋅-⋅+='-x x x x x xy 3分2a r c s i nx= 5分 xxx y y d 2a r c s i n d d ='=∴ 7分5、解x x x x x x x y +=⋅+='ln 21ln 2 22分3ln 2 +=''∴x y 3分令0=''y ，得23-=ex 4分当230-<<ex 时，0<''y ；当23->ex 时，0>''y 5分故所求凸区间为) 0(23-e ，；凹区间为) (23∞+-，e 6分拐点为)23 (323---e e ，. 7分6、解 令t x =3，即3t x =，则t t x d 3d 2=， 1分⎰⎰⎰+=⋅+=+⇒tt t t t t x xd 13d 311d 112232分⎰++-=t t t )d 111(3 4分Ct t t +++-=)1ln 21(326分 Cx x x +++-=)1ln 21(333327分7、解 ⎰⎰-⋅=xx x x x x d 22c o s 1d s i n 21分)2s i n d 21d (21⎰⎰-=x x x x 3分 )d 2s i n 2s i n (412⎰+-=x x x x x 5分 C x x x x +--=)2c o s 212s i n (412 7分四、综合题(每题 9分，共18分)1、解 当0=x 时，1=y 1分方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y 3分 将1 0==y x ，代入上式得 1)0(--='e y ， 5分于是切线斜率为1--=e k 切，ek =法 7分故所求切线方程为)0(11--=--x e y ，即0=-+e ey x 8分 法线方程为)0(1-=-x e y ，即01=+-y ex 9分2、解 设圆柱的底半径为x ，则圆柱的高为x -6 1分于是圆柱体的体积为)60( )6(2<<-=x x x V π 3分 )312(2x x V -='⇒π 4分令0='V ，得唯一驻点4=x 5分 由问题实际意义得，当4=x 时，所得旋转体的体积最大. 7分 故绕边长为4的边旋转时体积最大，最大体积为π32 9分 五、证明题(8分)证 因为2)()()(x x f x f x x g -'=' 2分又 x f f x f x f )()0()()(ξ'=-= x <<ξ0 3分 而 0)(>''x f ，所以)(x f '单调增加， 5分 因此 )()(x f f '<'ξ 6分从而，当0>x 时，有)()()(>'-'='x f x f x g ξ 7分故x x f x g )()(=在) 0(∞+，内单调增加. 8分。
高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| | | | | | | |装|| | | |订| | | | | |线|| | | | | | | |防灾科技学院2009~2010学年 第 一 学期期末考试《高等数学（一）》试卷（A ） 使用班级 09级本科 答题时间_120分钟（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共 15 分。
）1、设22cos cos x xx =-=βα，则当0→x 时，βα与是 BA. ~αβB. αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小C. αβ是比高阶的无穷小D. α是比β低阶的无穷小2、过点)2,1(0M ，试作曲线132-+=x y 的切线，则该切线 B A. 不存在 B. 方程为1=x C. 方程为2=y D. 方程为)1(232-=-x y3、设dx ax x a I ⎰++=22，则I = BA. c ax a x x +++++2222)ln( B. c ax a x x a +++++2222)ln(C. c ax a x x +++++222221)ln( D. c a x a x x a +++++222221)ln(4、设0)(,0)(],[)(///<>=x f x f b a x f y 上有在，则其在该区间上为 A A. 单调增，凸 B. 单调减，凸 C.单调增，凹 D. 单调减，凹 5．下列反常积分中收敛的是 BA 、⎰+∞+121dxxx B 、⎰-∞1dx e xC 、dx x⎰+∞11 D 、⎰-+11)1(x x dx二、 填空题（本大题共5小题，每题3分，共15 分。
）6、nn n n )1sin()11(lim+-++∞→ 0 ；7、设2)(xxee y --=，则y //=)(422x x e e -+；8、已知)(x f 的一个原函数是axx，⎰='x x f x d )(则c x x ax ax ax +-++)1(ln 1；9、微分方程dy e dx y x -=的通解是c e e y x =---；10、用待定系数法求解二阶非齐次线性常微分方程x e y y y x cos 22///=+-的特解时，所设特解的形式为=*y )sin cos (x b x a xe x +。
三、求下列各极限（本大题共2 小题，每题5分，共10 分。
）11、xx x 2cos 124lim 2---→ )24(2lim2220+--=→xx xx )24(21lim2+--=→xx81-=12、dtt t t x exxx ⎰+--+→02)(sin 1lim 2xx ex x x xxexx xx +-=+-=++→→sin )1(2lim )(sin 22lim221cos 4lim2+=+→x xexx= 0四、 求下列各导数（本大题共3小题，每题5 分，共15 分。
）13、)(),()ln()(/22x y x y a a x x x y ''++=是常数），求（设 。
解：22/1ax y +=322//)(a x x y +-=14、422222,,),(2sin 2cos 2sinπ==⎩⎨⎧-==t dxyd dx y d dx dy x y y tt t y tx 求确定了函数设解：tt t t t t dtdy t t t dtdx2sin 42cos 22sin 42cos 2,2sin cos sin 2-=--===tdxdy 4-=ttdxdt dx dy dt ddxy d 2sin 42sin 1)4()(22-=-==42s i n 44422-=-===ππt t tdxy d15、若函数)(x y y =由方程1=+-y x exy确定，求022=x dxy d dxdy 及解：令,0=x 可得0=y方程两端对x 求导数有：01)(//=+-+y xy y e xy解得11/+-=xyxyxeye y （1)0(/=y ）方程两端对x 求二阶导数，并将1)0(,00/===y y x 时，代入，则有：0)2()(/////2/=++++yxy y exy y exyxy或 2)0(//-=y五、计算下列不定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分）16、dxx x ⎰-)1(14解：原式=⎰-+dx xxx)11(43cx x +--=41ln 41ln17、.d sin14x x⎰解：原式=⎰+dx xxx 422sincos sin（或⎰dx 4csc ）⎰+=x d x x 22c s c )c o t1( cx x +--=3c o t 31c o t18、dx x ⎰arctan解：原式=⎰+-dxxxx x 21arctanc x x x ++-=)1ln(21arctan 2六、计算下列定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分） 19、⎰-11dx xe x⎰⎰+-=-101dx xe dx xe xx⎰⎰-++-=--1010101dx e xedx e xexx xx)1(2110011----=-++-=e ee e e x x20、⎰-203sinsin πdx x x⎰=20c o s s i n πx d x x32)(s i n 322023==πx21、⎰π2sin xdx ex⎰+-=ππ202cos 2cos xdx exe xx⎰-++=πππ2022s i n 4s i n 21x d x exee xx⎰-+=ππ22s i n 41x d x eex移项可求得：)1(51sin 202ππexdx ex+=⎰七、（本大题共2小题，每题5分，共10分）22、求微分方程0)(2///=-y yy 的通解。
解：设p dxdy =，则p dydp dxdy dydp y=⋅=//于是，方程化为02=-pdydp yp或p dydp y=分离变量积分得：y c p 1=，或y c dxdy 1=在分离变量积分得：xc e c y 12=23、求微分方程x e y y y 32///=-+满足初始条件1)0(,2)0(/==y y 的特解。
解：齐次微分方程的特征方程：0122=-+λλ有根21,121=-=λλ所以，齐次微分方程的通解可表示为：xxec ec y 2121+=-并可设非齐次微分方程的特解为：x ae y =* 将y *代入非齐次微分方程、约去指数因子得：23=a于是，非齐次微分方程的通解是：xxx e e c e c y 232121++=-另由初始条件有：223)0(21=++=c c y ，12321)0(21/=++-=c c y解得：21,012==c c最后得满足初始条件的非齐次微分方程的特解是：xx e e y 3321~+=- 八、 （本大题共1小题，共5 分。
）24、求曲线22,y x x y ==所围成的平面图形绕X 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
解： 曲线 22,y x x y ==交与点O(0, 0)和点M(1, 1)如图所示。
它们所围得平面图形绕X 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为：⎰⎰-=-=1410222)(])()[(dx x x dx x x V ππππ103]5121[1052=-=x x。