高二数学定积分的概念
高二数学定积分的概念
1
解
1分割
令 f x x 3 .
0
在区间0,1上等间隔地插入n 1分点, 把
i 1 i 区间0,1等分成n个小区间 , (i 1,2, , n), 每 n n i i 1 1 个小区间的长度为Δx . n n n i 2近似代替、作和 取ξ i i 1,2, ,n,则 n 3 n n 1 i i 1 f x dx S f Δ x n 0 i1 n n i1 n
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求 变速直线运动路程 的过程可以发现 ,它们都可以通过 " 四步曲" : 分割、近似代替、求和 、取极限得到解决， 且都可以归结为求一个 特定形式和的极限: 曲Δx lim f ξ i ; Δx 0 n i1 i1 n 变速运动的路程 1 S lim v ξ i Δt lim v ξ i . Δt 0 n i1 i1 n
定积分的一般定义是相 当的,并且ξ i可都取为每 或都取为右端点 . 个小区间的左端点
限接近某个常数 , 这个常数叫做函数 f x 在区间 a,b上的 定 积 分definite int egral, 记作 n b b ba f ξ i . a f x dx,即 a f x dx nlim n i1 这里, a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x叫 做积分变量, f x dx叫做被积式. 根据定积分的概念 ,1.5 1 中的曲边梯形的面积 1 1 1 2 S f x dx x dx . 0 0 3 同样地 ,1.5.2中汽车在 0 t 1这段时间内经过 1 1 5 2 的路程 S v t dt t 2 dt . 0 0 3
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
是时间间隔 [T1,T2 ] 上t的连续函数，v(t) 0
且
，计算在此段时间内物体经过的
路程。 思想方法
（1）分割：
在区间 [T1,T2 ]中任取若干分点：
T1 t0 t1 ti1 ti tn1 tn T2
把 [T1 ,T2 ] 分成n个小区间 ： [ti1,ti ]
a
性质7 （定积分中值定理）如果函数f (x)在闭区
间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点
，使
b
a f (x)dx f ( )(b a) (a b)
这个公式叫积分中值公式。
证 由性质6，有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
即有 m 1
I
，如果
取极限
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b
n
b
a
f
(x)dx
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
,即
f(x)dx叫做被积表达式;
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定
高二数学人选修课件定积分的概念
在计算广义积分时，需要判断其是否 收敛。常用的判断方法包括比较判别 法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 等。
无界函数广义积分的计算
对于无界函数广义积分，需要找到函 数的瑕点，并通过分割区间、去掉瑕 点等方法将其转化为定积分进行计算 。
广义积分的应用举例
物理学中的应用
广义积分在物理学中有广 泛应用，如求解物体的质 心、转动惯量以及电磁学 中的相关计算等。
x)dx。
保号性
若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x) ，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
绝对值不等式
对于任意函数f(x)，有 |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
02 定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
01
公式表述
若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原
。
不规则图形面积的计算
02
对于不规则的平面图形，可以使用定积分来求解其面积。具体
步骤包括确定被积函数、确定积分区间、求解定积分等。
定积分在面积计算中的应用举例
03
例如，可以使用定积分来计算抛物线与直线所围成的平面图形
的面积。
体积的计算
1 2 3
规则几何体体积的计算
对于规则的几何体，如长方体、球体、圆柱体等 ，可以直接使用相应的体积公式进行计算。
函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
02 03
几何意义
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使得定积分的计算 可以转化为求原函数在区间端点的函数值之差，从而大大简化了定积分 的计算过程。
应用范围
适用于被积函数具有原函数的情况，是定积分计算的基本方法。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分知识点总结文字
定积分知识点总结文字一、定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要内容，它是对给定区间内函数值的“积分”，通俗地说就是曲线下的面积。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有界，将[a, b]区间分成n份，在第i个区间上任取一点ξi，作出任意形式的ξi对于x的函数值f(ξi)，再用第i个小区间长度Δx为宽、f(ξi)为高的长方形来逼近曲线f(x)围成的图形，然后将n个小矩形的面积加在一块，且去极限，即可得到[a, b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算方法定积分的计算方法主要有几种：几何法、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的分部积分法、定积分的换元积分法、定积分的定积分法、定积分的换限积分法等。
(一) 几何法：如计算函数y = x^2在区间[0, 1]上的定积分，可以通过几何法计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先画出y = x^2曲线和x轴，然后在区间[0, 1]上做垂直于x轴的线段，对于每一个x值，可以得到一个矩形，然后得到所有矩形的面积之和，即为y = x^2在区间[0, 1]上的定积分值。
(二) 牛顿-莱布尼茨公式：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]间的定积分为该函数的一个不定积分在区间[a, b]上的值。
即如果F(x)是f(x)的一个不定积分，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
(三) 分部积分法：设u = u(x)和v = v(x)是定义在闭区间[a, b]上具有连续导数的函数，令u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，那么∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
(四) 换元积分法：设φ(x)是[a, b]上的可导函数，且φ'(x)在[a, b]上连续，f(φ(x))φ'(x)定义在φ[a, b](a ≤ x ≤ b)上，则∫[a, b]f(φ(x))φ'(x)dx = ∫[φ(a), φ(b)]f(u)du。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
高二数学定积分的概念
i n
(i
1,2,
,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i
i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn
n i1
f
n i 3 i1 n
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求变速直线运动路程
的过程可以发现,它们都可以通过"四步曲": 分割、近似代替、求和、取极限得到解决，
且都可以归结为求一个特定形式和的极限: 曲边梯形面积
S
lim
Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n i1
1f n
ξi
将 区 间a,b等 分 成n个 小 区 间,在 每 个 小 区 间
xi1,xi 上 任 取 一 点ξIi 1,2, ,n,作 和 式
n
i1
fξi Δx
n i1
b
n
af
ξ
i
,当n
时,
上
述
和
式
无
当 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续 时, 这 里 的 定 义 与
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
定积分知识点,DOC
定积分知识点1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰，其中-⎰积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰,而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰;（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义恒有()0f x ≥，那从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义。
说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分的定义与性质
定积分的定义与性质1. 定积分的定义1.1 引言在微积分中，定积分是一种重要的数学工具，用来计算曲线下面的面积或求函数在一定区间上的平均值。
定积分的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪提出，对于各种实际问题的求解起着至关重要的作用。
1.2 定积分的符号表示定积分可以用积分符号∫来表示，表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为∫[a,b] f(x)dx其中f(x)是被积函数，x是自变量，[a, b]是积分区间。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线下面的面积。
具体来说，若f(x)在区间[a, b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx表示由横坐标轴、直线x=a、x=b和曲线y=f(x)所围成的图形的面积。
1.4 定积分的计算方法计算定积分的方法主要有以下两种：•几何法：将曲线下面的面积划分成无数个小矩形，通过求和的方式逼近曲线下面的总面积。
•代数法：通过对函数f(x)进行积分运算，得到曲线下面的面积。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用定积分。
2.1 线性性质定积分具有线性性质，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意常数a和b，有以下等式成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着定积分可以在函数之间进行加法和标量乘法运算。
2.2 区间可加性设函数f(x)在区间[a, b]和[b, c]上连续，则有：∫[a,c] f(x) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx这表明定积分在区间上具有可加性，可以将一个大区间上的积分分解成两个子区间上的积分之和。
2.3 积分中值定理根据积分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则至少存在一个c∈(a, b)，使得∫[a,b] f(x) dx = f(c)(b-a)这个定理给出了定积分与函数平均值之间的关系。
高数定积分知识点总结
高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。
在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。
定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。
定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。
定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。
二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。
2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。
3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。
定积分的概念存在条件与性质
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具，如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法，可以将体积转化为定 积分，从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法，可以将力在物体上 做的功转化为定积分，从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中，利用微元法可 以将压力转化为定积分，从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中，利用微元法可以将 质心位置转化为定积分，从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意实数k和l，函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积， 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间，其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b]，那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数，则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间，则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界，则该函数在该闭区间上不可积。
高中数学知识点归纳定积分基础知识
高中数学知识点归纳定积分基础知识高中数学的定积分是数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。
在学习定积分的过程中，我们需要了解一些基础知识，本文将对高中数学中定积分的基础知识进行归纳总结。
一、定积分的概念定积分是积分学中重要的概念之一，它可以看作是函数在一个区间上的加权平均。
定积分的定义是：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间上取一点ξ_i，构成一个积分和S_n，当n趋向于无穷大时，若极限存在且与ξ_i的选法无关，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，可以使用不同的方法，具体的计算方法如下：1. 几何意义法：根据定积分的几何意义，可以将定积分看作是曲线与坐标轴所围成的面积。
根据几何图形的性质，可以求得定积分的值。
2. 定积分的性质法：根据定积分的性质，可以利用一些性质对定积分进行化简。
比如定积分的线性性质、区间可加性等。
3. 换元法：对于一些较复杂的函数，可以通过变量代换的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
4. 分部积分法：对于一些乘积形式的函数，可以通过分部积分的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
5. 积分表法：对于一些常见的函数，可以通过积分表中的公式直接进行定积分的计算。
三、定积分的应用领域定积分在数学中有广泛的应用领域，具体包括以下几个方面：1. 几何应用：定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
2. 物理应用：在物理学中，定积分可以用来求解物体在一定时间内的位移、速度、加速度等。
3. 统计学应用：在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率、求解统计分布的期望值等。
4. 经济应用：在经济学中，定积分可以用来计算收入曲线下的总收入、成本曲线下的总成本等。
总结：高中数学中的定积分是微积分学习的重要内容，通过学习定积分的基础知识，我们可以更好地理解和应用定积分。
高二数学定积分的概念
S
lim
Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n 1f i1 n
ξi
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n 1v i1 n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
a x0 x1 xi1 xi xn b
将 区 间a,b等 分 成n个 小 区 间,在 每 个 小 区 间
xi1,xi 上 任 取 一 点ξIi 1,2, ,n,作 和 式
n
i1
fξi Δx
n i1
b
n
af
ξ
i
,当n
时,
上
述
和
式
无
当 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续 时, 这 里 的 定 义 与
解 令fx x3.
1分割 在区间0,1上等间隔地插入n 1分点,把
区间0,1等分成n个小区间i
1, n
i n
(i
1,2,
,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i
i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn
n i1
f
i n
Δx
n
i
3
i1 n
1 n
1
n4
n
i3
i1
1 n4
1 4
n2 n
知识讲解_定积分的概念124
定积分的概念【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．【要点梳理】要点一、定积分的定义 定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx=ò，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号，()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量，a ——叫做积分下限，b ——叫做积分上限，[a ，b]——叫做积分区间。
要点诠释： （1）定积分()baf x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同。
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