计量经济学第四节随机解释变量

∑ Y = nβ +β ∑ X + ∑ u 解得: X Y = β 解得 ∑ ∑ X +β ∑ X
i 0 1 i i i 0 i 1
i 2 i
(*) + ∑ X i ui
由于E(u 由于E(ui)=0, 意味着大样本下: 意味着大样本下: ∑µi/n→0 →
表明大样本下: 表明大样本下
)=0， Cov(Xi,µi)=E(Xiµi)=0，
3. 如果X与µ同期相关，得到的参数估计量 如果 与 同期相关， 有偏、且非一致。 有偏、且非一致。 前面证明中已得到
四、工具变量法
模型中出现随机解释变量且与随机误差项相 关时，OLS估计量是有偏的 估计量是有偏的。 关时，OLS估计量是有偏的。 如果随机解释变量与随机误差项异期相关， 如果随机解释变量与随机误差项异期相关， 则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估 计量； 计量； 但如果是同期相关， 但如果是同期相关，即使增大样本容量也无 工具变量法。 济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量法 济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量法。
已经得到证明
2. 如果 与µ同期不相关，异期相关，得到的 如果X与 同期不相关，异期相关， 参数估计量有偏、但却是一致的。 参数估计量有偏、但却是一致的。
ˆ E ( β 1 ) = β 1 + E (∑ xt µ t ) = β 1 + ∑ E (k t µ t ) 2 ∑ xt
kt的分母中包含不同期的 ；由异期相关性知：kt 的分母中包含不同期的X；由异期相关性知： 相关，因此， 与µt相关，因此，
例如： 例如： 耐用品存量调整模型： （1）耐用品存量调整模型： 耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当 期收入It共同决定： Qt=β0+β1It+β2Qt-1+µt t=1,…T 这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相 关性，那么随机解释变量Qt-1只与µt-1相关，与µt不 相关，属于上述的第2种情况。
利用E( )=0，在大样本下可得到： 利用E(Ziµi)=0，在大样本下可得到： E(
β1
~
∑z y = ∑z x
i i
i
i
~ ~ β 0 的估计，仍用 β 0 = Y − β1 X 完成。 关于
这种求模型参数估计量的方法称为工具 变量法， 变量法 ， 相应的估计量称为工具变量法估计 量
3.
工具变量法估计量是一致估计量 注意： 注意：
1. 随机解释变量与随机误差项独立
Cov( X 2, µ ) = E ( x 2 µ ) = E ( x 2 ) E ( µ ) = 0
2. 随机解释变量与随机误差项同期无关，但异期 随机解释变量与随机误差项同期无关， 相关。 相关。
Cov( X 2i , µ i ) = E ( x 2i µ i ) = 0
五、 案例——中国居民人均消费函数 案例——中国居民人均消费函数
2.5.1中国居民人均消费函数的 例4.4.1 在2.5.1中国居民人均消费函数的 估计中，采用OLS估计了下面的模型： OLS估计了下面的模型 估计中，采用OLS估计了下面的模型：
CONSP = β
0
+ β 1 GDPP
+ µ
由于：居民人均消费支出（ 由于：居民人均消费支出（CONSP）与人 ） 均国内生产总值（ 均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此， ）相互影响，因此，
ˆ E ( β1 ) ≠ β1
但是
P lim β 1 + n→∞ xt µ t P lim( 1 ∑ x t µ t ) ∑ n = β1 + x t2 P lim( 1 ∑ x t2 ) ∑ n = β 1 + Cov ( X t , µ t ) Var ( X t ) = β 1 0
= β 0 + β1 (1 − λ )Yt + λ (C t −1 − β 0 − µ t −1 ) + µ t
= β 0 (1 − λ ) + β 1 (1 − λ )Yt + λC t −1 + µ t − λµ t −1
Ct-1是一随机解释变量，且与 (µt-λµt-1) 是一随机解释变量， 高度相关。属于上述第3种情况 种情况。 高度相关。属于上述第 种情况。
Cov ( X 2i , µ i − s ) = E ( x 2i µ i − s ) ≠ 0
s≠0
3. 随机解释变量与随机误差项同期相关。 随机解释变量与随机误差项同期相关。
Cov( X 2i , µ i ) = E ( x 2i µ i ) ≠ 0
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
在实际经济问题中， 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随 机性。 机性。 但是在单方程计量经济学模型中， 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生 变量都被认为是确定性的。 变量都被认为是确定性的。 于是随机解释变量问题主要表现于 于是随机解释变量问题主要表现于：用滞后 随机解释变量问题主要表现于： 被解释变量作为模型的解释变量的情况。 被解释变量作为模型的解释变量的情况。
容易判断GDPP与 同期相关（ 容易判断GDPP与µ同期相关（往往是 正相关）， ），OLS估计量有偏并且是非一致 正相关），OLS估计量有偏并且是非一致 的（低估截距项而高估计斜率项 ）。 OLS估计结果： OLS估计结果： 估计结果
(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503
第四节 随机解释变量问题
目的和要求 1.理解什么是随机解释变量以及随机解释 1.理解什么是随机解释变量以及随机解释 变量的3 变量的3种情况 2.掌握随机解释变量的后果 2.掌握随机解释变量的后果 3.掌握工具变量法的应用 3.掌握工具变量法的应用
一、随机变量的三种情况 对于模型: 对于模型:
Yi = β 0 + β1Y1i + β 2 X 2i + ⋯ + β k X ki + µ i
基本假设:解释变量 是确定性变量。 基本假设:解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量。 如果存在一个或多个随机变量作为解释变量， 如果存在一个或多个随机变量作为解释变量， 则称原模型出现随机解释变量问题 随机解释变量问题。 则称原模型出现随机解释变量问题。 假设X 为随机解释变量。 假设 2为随机解释变量。对于随机解释变量 问题，分三种不同情况： 问题，分三种不同情况：
如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具 为工具变量， 如果用 变量法估计结果： 变量法估计结果：
(14.84)
(56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691
2.
工具变量的应用
以一元回归模型的为例说明如下： 以一元回归模型的为例说明如下：
Y = β 0 + β1 X i + ui
去乘模型两边、 用OLS估计模型，相当于用1和Xi去乘模型两边、 OLS估计模型，相当于用1 估计模型 求和、 项后得到正规方程 正规方程： 对i求和、再略去∑µi 与∑Xiµi项后得到正规方程： 求和 再略去∑
三、随机解释变量的后果
计量经济学模型一旦出现随机解释变量， 计量经济学模型一旦出现随机解释变量 ， 且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估 且与随机扰动项相关的话，如果仍采用 法估 计模型参数， 计模型参数，不同性质的随机解释变量会产生不 同的后果。 同的后果。 下面以一元线性回归模型为例进行说明
（2）合理预期的消费函数模型 合理预期理论认为消费Ct是由对收入的预 合理预期理论 期Yte所决定的：
Ct = β 0 + β 1Yt e + µ t
预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设:
Yt = (1 − λ )Yt + λY
e
e t −1
容易推出:
C t = β 0 + β 1 (1 − λ )Yt + β 1λYt e + µ t −1
(∑Xiµi)/n→0 →
∑ Y = nβ +β ∑ X ∑ X Y = β ∑ X +β ∑ X
i 0 1 i i i 0 i 1
2
i
成立， 估计量具有一致性。 成立，即OLS估计量具有一致性。 估计量具有一致性
ˆ β
1
∑x y = ∑x
i 2 i
i
然而，如果 相关，即使在大样本下， 然而，如果Xi与µi相关，即使在大样本下， 也不存在 (∑Xiµi)/n→0 ，则 →
ˆ β1 =
∑x y ∑x
i 2 i
i
在大样本下也不成立，OLS估计量不具有一致性。 估计量不具有一致性。 在大样本下也不成立， 估计量不具有一致性 如果选择Z为 的工具变量 的工具变量， 如果选择 为X的工具变量，那么在上述估 计过程可改为: 计过程可改为:
∑Z Y
i i
= β 0 ∑ X i +β1 ∑ X i Z i
•随机解释变量与随机误差项相关图 随机解释变量与随机误差项相关图
（a）正相关
（b）负相关
拟合的样本回归线 可能低估截距项， 可能低估截距项， 而高估斜率项。 而高估斜率项。
拟合的样本回归线 高估截距项， 高估截距项，而低 估斜率项。 估斜率项。
1. 如果 与µ相互独立，得到的参数估计量 如果X与 相互独立， 仍然是无偏、一致估计量。 仍然是无偏、一致估计量。
1.在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。 1.在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。 在小样本下
2.工具变量并没有替代模型中的解释变量， 2.工具变量并没有替代模型中的解释变量， 工具变量并没有替代模型中的解释变量 只是在估计过程中作为“工具”被使用。 只是在估计过程中作为“工具”被使用。