4.2 公钥密码体制的基本概念
公钥密码体制公钥密码体制
首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
❖ 当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； ❖ 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
❖ 加密和解密使用两个不同的密钥 公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密 密钥
3.优点
❖ 密钥管理
加密密钥是公开的； 解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。 新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
❖ 数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
加密与解密由不同的密钥完成； 知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的； 两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算 法； 目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。
实际应用中的加密方式
❖ 混合加密技术 对称密码体制：密钥分发困难 公钥体制：加解密效率低 将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保 密功能相结合 利用对称加密算法加密传输数据 利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
《网络安全》第5-6讲(2.4)
2.4 公钥（非对称）密码体制
2.4.2 公钥密码体制的原理
公钥密码体制的基本数学方法和基本原理如下所述。 2．用于构造公钥密码的常用单向函数 1）多项式求根 有限域GF(p)上的一个多项式
f ( x) ( x anmod p
当给定多项式的系数和x、p以后，利用Honer算法，最多进行 n次乘法，n-1次加法，就可以求得y的值。但已知多项式的系数a 和y、p以后，要求x，就需要对高次方程求根，至少要进行不小 于n2(lbp)2的整数次乘法，当n、p很大时很难求解。
定n以后求p、q的问题称为RSA问题。求n=p×q分解问题有以下几种形式：
（1）分解整数n为p、q； （2）给定整数M、C，求d使得Cd≡M mod n； （3）给定整数k、C，求M使得Mk≡C mod n； （4）给定整数x、C，决定是否存在y使得x≡y2mod n（二次剩余问题）。
遵义师范学院
给定x求y是容易的，但是当p很大时，从x=logby中要计算x是非常困难 的。如b=2，p=2100，给定x求y，只需作100次乘法，利用高速计算机可 在0.1ms内完成。而给定y求x，所需计算量为1600年。可见，有限域 GF(p)中的指数函数f(x)=bx是一个单向函数。
x=logby
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2.4 公钥（非对称）密码体制
2.4.1 公钥密码体制的基本概念 3.电子签证机关
电子签证机关（即CA）是负责颁发数字证书的权威机构。CA自 身拥有密钥对，可以使用私钥完成对其他证书的数字签名，同时也拥 有一个对外开放的证书（内含公钥）。网上的公众用户通过验证CA的 数字签名建立信任，任何人都可以得到CA的证书（含公钥），用以验 证它所签发的其他证书。如果用户想建立自己的证书，首先要向CA提 出申请证书的请求。在CA判明申请者的身份后，便为他分配一个密钥 对，并且CA将申请者的公钥与身份信息绑在一起，在为之完成数字签 名后，便形成证书发给那个用户（申请者）。如果一个用户想鉴别数 字证书是否为假冒的，可以用证书发证机构CA的公钥对该证书上的数 字签名进行验证，数字签名验证的过程是使用CA公钥解密的过程，验 证通过的证书就被认为是有效的。CA在公开密码体系中非常重要，负 责签发证书以及证书和密钥的管理等必要工作。CA相当于网上公安机 构，专门发放、验证电子身份证。
第4章公钥密码系统
第4章 公钥密码系统
4.2.3 认证的Diffie-Hellman密钥交换 密钥交换双方通过数字签名和公钥证书相互认证可
以挫败中间人攻击。在密钥交换之前，密钥交换的双 方Alice和Bob各自拥有公钥/私钥对和公开密钥证书。 下面是Alice和Bob产生共享秘密密钥的过程：
(1) Alice产生随机数x并发送给Bob。
(3) 密钥交换：通信双方交换会话密钥，以加密通信 双方后续连接所传输的信息。每次逻辑连接使用一把 新的会话密钥，用完就丢弃。
本章将先讨论RSA密码系统和Diffie-Hellman密钥 交换，最后介绍数字签名。
第4章 公钥密码系统
Alice的 公钥环
Mike
Bob的 私 钥
Joy
Ted Bob
Bob的 公 钥
(4) Bob解密消息并验证Alice的签名。
第4章 公钥密码系统
4.2.4 三方或多方Diffie-Hellman Diffie-Hellman密钥交换协议很容易扩展到三方或多
方的密钥交换。下例中，Alice、Bob和Carol一起产生 秘密密钥，见图4-4。
第4章 公钥密码系统
⑦ k＝xayz mod p ④ Z′ ＝xaz mod p ① X＝xamod p Alice
第4章 公钥密码系统
这样可以把e和n作为公开密钥，d作为私人密钥。其 中，p、q、φ (n)和d就是秘密的陷门(四项并不是相互 独立的)，这些信息不可以泄露。
RSA加密消息m时(这里假设m是以十进制表示的)， 首先将消息分成大小合适的数据分组，然后对分组分 别进行加密。每个分组的大小应该比n小。 设ci为明文分组mi加密后的密文，则加密公式为
第4章 公钥密码系统
下面介绍RSA密码系统的细节。选择两个不同的大 素数p和q(一般都为100位左右的十进制数字)，计算乘 积：
《应用编码与计算机密码学》 第5章 公钥密码体制
5.3 基于离散对数的公钥密码体制
5.3.2 离散对数Diffie-Hellman算法 设p是一个满足要求的大素数，0 < α < p, α是循环群Z p的生成元，α和p公开，它 们也将在一组用户中共用。 在两个用户Alice与Bob要通信时，他们可 通过下面的步骤协商通信时所使用的密钥：
5.3 基于离散对数的公钥密码体制
while r > 0
5.2 RSA 公钥密码体制
if b0 ≠ 1 then b 没有模a的逆 else return(t)
5.2 RSA 公钥密码体制
中国剩余定理及欧拉定理 定理 5.2.2(中国剩余定理)假设m1 ,…, mr是 两两互素的正整数，a1 ,…, ar为整数。那么 同余方程组 x ≡ ai ( mod mi ) (1≤ i ≤ m) 有模M = m1 m2 … , m 的唯一解，具体解表 r r 达式为 x = ∑ a i M i y i mod M i =1 −1 M 其中 M i = ，且 yi = Mi modmi ,1 ≤ i ≤ r。 mi
5.2 RSA 公钥密码体制
算法5.2.3 Multiplication Inverse(a , b)
a0 ← a b0 ← b t0 ← 0
t←1
5.2 RSA 公钥密码体制
⎧ temp ← ( t 0 − qt ⎪ ← t t 0 ⎪ ⎪ t ← temp ⎪ ⎪ a 0 ← b0 do ⎨ b0 ← r ⎪ ⎪ ⎢ a0 ⎥ ⎪ q← ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ b0 ⎦ ⎪ ⎩ r ← a 0 − qb 0
5.2 RSA 公钥密码体制
算法5.2.1 Euclidean Algorithm(a ,b) r0 ←a ⎧ ⎢ rm − 1 ⎥ qm ← ⎢ r1 ←b ⎪ ⎥ rm ⎦ ⎣ ⎪ m ←1 ⎪ while rm ≠ 0 do ⎨ rm + 1 ← rm −1 − q m rm m ←m - 1 ⎪ m ← m +1 ⎪ return ( q1,…, qm, rm ) ⎪(a,b) Comment ： rm = gcd ⎩
公钥密码体制的介绍
在AsiaCCS 2009会议上，Weng等人[33]第一次介绍了条件代理重加密（C-PRE）的概念，当且仅当密文满足委托者设置的条件时。
相对于对称体制中的密钥必须保密，非对称密钥体制有一个可公开的公钥为其最大特征，因此也叫公钥密码体制。在非对称密码体制中，不再有加密密钥和解密密钥之分。可以使用公钥加密，而用私钥解密，这多用于保护数据的机密性；也可以用私钥加密而公钥解密，这多用于保护信息的完整性和不可否认性。1976年，公钥密码体制（Public Key Cryptography，PKC）的概念被Diffie和Hellman[2]首次提出。PKC在整个密码学发展历史中具有里程碑式的意义。随后出现了一些经典的公钥密码体制，比如RSA[3]Rabin算法[4]ElGamal[5]密码体制和椭圆曲线密码体制[6][7][8]等。公钥密码体制的安全性依赖于不同的计算问题，其中RSA密码体制基于大整数分解的困难性，而ElGamal密码体制则基于离散对数问题的困难性。
第三阶段：伴随着相关理论的完善，以及由集成电路和因特网推动的信息化工业浪潮，密码学进入了一个全新爆发的时代：研究文献和成果层出不穷，研究的方向也不断拓展，并成为了一个数学、计算机科学、通信工程学等各学科密切相关的交叉学科，同时各种密码产品也走进了寻常百姓家，从原来局限的特殊领域进入了人民群众的生产、生活之中。
数据接收者需要先利用其自身私钥解密出对称密钥，接着再使用得到的对称密钥解密出共享数据。
数学分析
2. 素数 称整数p(p>1)是素数，如果 的因子只有1，p。 是素数， 的因子只有 ， 称整数 是素数 如果p的因子只有 。 任一整数a(a>1)都能惟一地分解为以下形式： 都能惟一地分解为以下形式： 任一整数 都能惟一地分解为以下形式
2 a = p1α1 paα>0(i=1,…,t)。例如 ⋯ ptαt 。 是素数， 其中p 其中 1>p2>…pt是素数， 2i
然而类似性质对乘法却不一定成立。 然而类似性质对乘法却不一定成立。例如 6×3≡6×7≡2 mod 8，但37 mod 8。原因是 乘以 × × ， ≠ 。原因是6乘以 0到7得到的 个数仅为 的一部分，见例 。即如 得到的8个数仅为 的一部分， 到 得到的 个数仅为Z8的一部分 见例4.1。 的乘法6× 即用6乘 中每一数） 果将对Z 的乘法 果将对 8作6的乘法 ×Z8（即用 乘Z8中每一数） 看作Z 的映射的话， 看作 8到Z8的映射的话，Z8中至少有两个数映射到 同一数，因此该映射为多到一的，所以对6来说 来说， 同一数，因此该映射为多到一的，所以对 来说， 没有惟一的乘法逆元。但对5来说 来说， × 没有惟一的乘法逆元。但对 来说，5×5≡1 mod 8， ， 因此5有乘法逆元 有乘法逆元5。仔细观察可见， 因此 有乘法逆元 。仔细观察可见，与8互素的几 互素的几 个数1， ， ， 都有乘法逆元 都有乘法逆元。 个数 ，3，5，7都有乘法逆元。 这一结论可推广到任一Zn。 这一结论可推广到任一 。
一般地，定义 为小于 的所有非负整数集合， 为小于n的所有非负整数集合 一般地，定义Zn为小于 的所有非负整数集合，即 Zn={0,1, …,n-1}，称Zn为模 的同余类集合。其上 为模n的同余类集合 ， 为模 的同余类集合。 的模运算有以下性质： 的模运算有以下性质： ① 交换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n (w×x) mod n=(x×w) mod n × × ② 结合律 [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n × × × ×
现现代密码学 8讲RSA
m=D (c)=DSKB (EPKB(m))
•从公开钥PKB和密文c要推出明文m或解密钥SKB在计算上是
不可行的。
•由于任一用户都可用用户B的公开钥PKB 向他发送机密消息，
因而密文c不具有认证性。
2019/9/23
4
公钥密码认证体制
发送者A m
c 加密算法
解密算法
密码分析员
SK’A m 接收者B
若计算函数时间是an的倍数，则为不可能做到 的。
2019/9/23
8
陷门单向函数
单向函数是求逆困难的函数，而单向陷门函 数(Trapdoor one-way function)，是在不知 陷门信息下求逆困难的函数，当知道陷门信 息后，求逆是易于实现的。
陷门单向函数是一族可逆函数fk，满足
mk(n)≡1 mod q，
例题
① 选p=7，q=17。 ② 求n=p×q=119，φ(n)=(p-1)(q-1)=96。 ③ 取e=5，满足1<e<φ(n)，且gcd(φ(n),e)=1。 ④ 确定满足d·e=1 mod 96且小于96的d，因为
77×5=385=4×96+1，所以d为77 ⑤ 公开钥为{5，119}，秘密钥为{77}。 ⑥ 设明文m=19，则由加密过程得密文为 c≡195 mod 119≡2476099 mod 119≡66 ⑦ 解密为6677mod 119≡19
收方B用自己的秘密钥对密文c解密在计算上是容易的。
敌手由密文c和B的公开密钥恢复明文在计算上是不可 行的。
敌手由密文c和B的公开密钥恢复秘密密钥在计算上是 不可行的
加解密次序可换，即EPKB[DSKB(m)]=DSKB[EPKB(m)] ,不 是对任何算法都做此要求。
公钥密码体制的认识
公钥密码体制是一种密码体制，它使用一对密钥，一个用于加密信息，另一个用于解密信息。
公钥密码体制的特点在于，每个使用者都有一对密钥，一个是公开的（公钥），一个是保密的（私钥）。
公钥用于加密或验证信息，而私钥用于解密或签名信息。
公钥密码体制的产生是密码学发展中意义最重大的革命。
有了公钥密码，密码科技服务的行业领域和用户范围才得以大幅扩张，密码应用才迎来了大发展，密码基础设施才为大众所认识和接受。
可以说，公钥密码是现代密码家族中发明最晚、内涵最丰富、应用最为广泛的密码。
公钥密码的应用非常广泛，包括数字签名、数据加密、身份认证等。
数字签名可以用于保证数据的完整性和真实性，防止数据被篡改或伪造。
数据加密可以用于保护敏感信息，确保只有授权的人员能够访问和读取信息。
身份认证可以用于确认通信双方的身份，确保通信的安全性和保密性。
公钥密码体制的发展也推动了其他密码学技术的发展，例如非对称加密算法、哈希函数等。
这些技术的发展也为信息安全和隐私保护提供了更加强有力的支持。
总之，公钥密码体制是一种非常重要的密码体制，它为信息安全
和隐私保护提供了重要的保障和支持。
随着信息技术的发展和应用的普及，公钥密码体制的应用范围还将不断扩大，其技术也将不断发展和完善。
简述公钥密码体制的加密解密模型
公钥密码体制是一种常用的加密解密模型，它涉及到公钥和私钥两种不同的密钥，分别用于加密和解密数据。
在这篇文章中，我将深入探讨公钥密码体制的原理、应用以及安全性，以便读者能够全面了解这一加密解密模型。
### 第一部分：公钥密码体制的原理和基本概念1. 公钥密码体制的定义公钥密码体制是一种使用非对称密钥的加密解密模型，它包括公钥和私钥两种密钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
这种非对称密钥的设计使得通讯双方不需要共享相同的密钥，提高了信息安全性。
2. 加密和解密流程在公钥密码体制中，发送者使用接收者的公钥对数据进行加密，而接收者使用自己的私钥进行解密。
这一流程保证了只有接收者能够解密并获取原始数据，从而保护了数据的安全性。
3. 公钥密码体制的应用公钥密码体制被广泛应用于网络通讯、数字签名、加密货币等领域，为信息安全提供了重要保障。
它也为安全传输大量数据提供了有效的技术手段。
### 第二部分：公钥密码体制的安全性分析1. 公钥密码体制的安全性原理公钥密码体制的安全性建立在数学难题的基础上，如大数分解、离散对数等。
这些数学难题被认为是计算机无法在较短时间内解决的问题，因此数据得到了安全的保护。
2. 公钥密码体制的攻击方式尽管公钥密码体制被广泛应用，但也存在一些攻击方式，如中间人攻击、社会工程学攻击等。
这些攻击方式会威胁到公钥密码体制的安全性，因此需要采取相应的防护措施。
### 第三部分：个人观点与总结1. 个人对公钥密码体制的理解我个人认为公钥密码体制是一种非常强大且灵活的加密解密模型，它为信息安全提供了重要保障。
然而，随着计算机技术的发展，我们也需要不断升级和改进公钥密码体制，以应对新的安全挑战。
2. 总结公钥密码体制作为一种非对称加密解密模型，在信息安全领域发挥着重要作用。
通过深入了解其原理、应用和安全性，我们可以更好地理解和应用公钥密码体制，从而保护数据的安全性。
通过以上文章的撰写，我希望能够帮助您更深入地了解公钥密码体制的加密解密模型，并为您提供有价值的参考信息。
公钥密码体制
基于公开密钥的加密过程
图4.1 公钥密码体制的通信保密过程
基于公开密钥的鉴别过程
图4.2 公钥密码体制的数字签名和验证签名过程
公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换
5.1.4 公钥密码系统基本思想和要求
1、涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 2、涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 3、公钥算法的条件： – 产生一对密钥是计算可行的； – 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的； – 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的； – 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 – 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的； – (可选)加密和解密的顺序可交换。
5.1.2 公钥密码体制的起源
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年 由Diffie和Hellman在其“密码学新方向”一文中提 出的，见划时代的文献：W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976,PP.644-654 RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在 1978年提出来的, 见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb.1978, PP.120-126
Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则: aφ (n)≡1modn，推论: 若n=pq, p≠q都是素数, k是任意整数,mkφ (n）+1≡m k(p-1)(q-1)+1 ≡m mod n, 对任意0≤m≤n 证明φ (n)= (p-1)(q-1)
什么是公钥密码体制
什么是公钥密码体制
公钥密码体制也称非对称密码体制或者双钥密码体制，是基于数学函数（如单向陷门函数）而不是基于置换和代换的工具。
公钥密码算法的最大特点是采用两个相关密钥将加密和解密能力分开，其中一个是公开的，称为公钥，用于加密；其中一个是为用户专用的，是保密的，称为私钥，用于解密。
公钥密码体制是为了解决对称密码体制中最难解决的2个问题而提出的：
1.密钥分配问题：在对称密码中，接受方和发送方使用相同密钥。
一般情况下该密钥
通过加密信道进行传输。
但是加密信道可能会被攻击者攻击。
2.数字签名问题：如果使用对称加密来进行数字签名，那么在对密钥进行管理和分发
时带来被攻击者攻击的问题。
在公钥密码体制中存在2个密钥：公钥，私钥。
公钥和加密算法是公开的，公钥用于加密数据；私钥是保密的，用于解密。
以上内容仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅公钥密码体制相关的资料或咨询数学领域专业人士。
信息安全概论第四章公钥密码体制
14
Diffie-Hellman密钥交换算法 密钥交换算法
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中， 虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意 义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正 带陷门的单向函数 然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此 提出Diffie-Hellman密钥交换算法
13
常用的公开密钥算法
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 基于整数分解难题（IFP）的算法体制 基于整数分解难题（IFP）的算法体制(RSA) 基于离散对数难题（DLP）算法体制 基于离散对数难题（DLP）算法体制(ElGamal) 基于椭圆曲线离散对数难题（ ECDLP ） 的算法体制 基于椭圆曲线离散对数难题 （ ECDLP） (ECC)
3
4.1 公钥密码体制的基本原理
对称算法的不足
（1）密钥管理量的困难 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时， 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥 当用户量增大时， 个密钥， 要C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空 间急剧增大。 间急剧增大。如: n=100 时， C(100,2)=4,995 n=5000时 n=5000时， C(5000,2)=12,497,500 （2）密钥必须通过某一信道协商，对这个信道的安全 密钥必须通过某一信道协商， 性的要求比正常的传送消息的信道的安全性要高
7
公开密钥密码的重要特性
加密与解密由不同的密钥完成 Y: X: Y = EKU(X) X = DKR(Y) = DKR(EKU(X))
加密: X 解密: Y
知道加密算法,从加密密钥得到解密密钥在计算上 , 是不可行的 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用 作解密(不是必须的) X = DKR(EKU(X))
非对称密码体制-第四章网络09
11
4.2.1 RSA算法 算法
2、加密过程 、 的公钥： （1）在公钥库中查得用户 的公钥：PU={e, n}； ）在公钥库中查得用户U的公钥 ； 使得0≤mi<n，i=1， （2）将明文分组 ）将明文分组m=m1m2…mr，使得 ， ， 2，… ，r； ， ； （3）对明文分组 i作加密变换： ）对明文分组m 作加密变换： ci=E(mi) ≡ mie mod n， i=1，2，… ，r n， i=1，2， 传送给用户U。 （4）将密文 1 c2…cr传送给用户 。 ）将密文c 3、解密过程 、 （1）先对每组密文做解密变换： ）先对每组密文做解密变换： mi=D(ci) ≡cid mod n （2）合并分组得到明文 ）合并分组得到明文m=m1m2…mr。
12
图4-3 RSA算法 算法
选取大素数p和q 令n=p*q,计算φ(n)
随机选取整数e 由e*d≡1(mod φ(n))计算d
将（n，e）作为公钥公开 将（p,q，d）作为私钥保密
用公钥加密 ci=E(mi)≡(mie mod n)
用私钥解密 mi=D(ci)≡(cid mod n)
13
【例4-1】选择素数： p=47 和 q=71，求出RSA 】选择素数： ，ห้องสมุดไป่ตู้出 算法的公钥和私钥。 算法的公钥和私钥。
2
4.1 公钥密码体制的基本概念
Diffie和Hellmna于1976年在《密码学的新方向》中 和 年在《 于 年在 密码学的新方向》 首次提出了公钥密码的观点， 首次提出了公钥密码的观点，即为每个用户分配两 个相互匹配又相互独立的密钥，其中： 匹配又相互独立的密钥 个相互匹配又相互独立的密钥，其中： 一个密钥被公开，称为公开密钥（公钥）， ），用于 一个密钥被公开，称为公开密钥（公钥），用于 加密， 加密， 另一个密钥被保密，称为私有密钥（私钥）， ），用 另一个密钥被保密，称为私有密钥（私钥），用 解密。 于解密。 所有用户的公钥均登记在类似电话号码簿的密钥本 当要给用户A发送加密信息时 发送加密信息时， 上。当要给用户 发送加密信息时，需要在密码本上 查找A用户的公钥 然后加密信息，并发给用户A。 用户的公钥， 查找 用户的公钥，然后加密信息，并发给用户 。 用户A接收到密文之后 接收到密文之后， 用户 接收到密文之后，用自己的私钥进行解密即可 得到明文。 得到明文。 1977年由 年由Rivest（李维斯特）、 ）、Shamir（沙米尔） 年由 （李维斯特）、 （沙米尔） 和Adleman（埃德曼）共同提出了第一个公钥密码 （埃德曼） 算法（ 密码体制）， 算法（即RSA密码体制），是公钥密码中最优秀的 密码体制），是公钥密码中最优秀的 加密算法，被誉为密码学发展史上的里程碑之一。 里程碑之一 加密算法，被誉为密码学发展史上的里程碑之一。 此后， 此后，人们基于不同的计算问题提出了大量的公钥 密码算法。 密码算法。
第4章公钥密码体制
4.2.3 乘法逆元
如果gcd(a,b)=1,那么: 存在a-1,使a* a-1 ≡1 mod b 存在b-1,使b* b-1 ≡1 mod a 这里,把a-1称为a模b的乘法逆元, b-1称为b 模a的乘法逆元
用扩展的欧几里德算法求乘法逆元
gcd(11111,12345)
12345=1*11111+1234 11111=9*1234+5 1234=246*5+4 5=1*4+1 4=4*1+0
characteristic of algorithms
It is computationally infeasible to determine the decryption key given only knowledge of the cryptographic algorithm and the encryption key. Either of the two related keys can be used for encryption, with the other used for decryption.
4.2 数论基础
数论中的许多概念在设计公钥密码算法时是 必不可少的.掌握这些基础知识对于理解公 钥密码体制的原理和应用十分重要.
整 除
定理:设整数a和b,如果存在整数k,使 b=ak,则说b能被a整除,记作:a|b 例:3|15,-15|60 性质:
对所有整数a≠0, a|0, a|a成立 对任意整数b, 1|b成立
本原根的性质
如果a是n的本原根,且:
x1=a1 mod n,x2=a2 mod n,…,xФ(n)=aФ(n) mod n
则:
x1≠x2≠…≠xФ(n),且xФ(n)=1
简述公钥密码体制的一般定义
简述公钥密码体制的一般定义
公钥密码体制是一种加密算法，其中加密密钥是公开的，而解密密钥是私有的。
这种算法通常用于保护敏感信息的隐私，例如加密电子邮件、数字签名等。
公钥密码体制的基本思想是将敏感信息 (明文) 经过加密算法处理后，生成加密密文，然后将加密密文公开发布，只有拥有解密密钥的人才能解密密文，获得明文。
公钥密码体制可以分为两大类：对称密钥密码体制和非对称密钥密码体制。
对称密钥密码体制使用相同的密钥进行加密和解密，其特点是速度快，加密和解密过程容易实现。
例如，常用的 AES 算法就是对称密钥密码体制的一种。
非对称密钥密码体制则使用不同的密钥进行加密和解密，其特点是加密和解密过程都需要消耗大量的计算资源。
例如，RSA 算法就是非对称密钥密码体制的一种。
公钥密码体制的安全性依赖于密钥的管理，如果密钥管理不当，可能会导致密钥泄露，进而影响加密体系的安全性。
因此，在设计和应用公钥密码体制时，需要考虑密钥管理的问题。
网络安全_双(公)钥密码体制
明文
DA
EB
密文 信道 保密
DB
EA
明文
认证
dBob(Z)=dBobeBob(x,y)=(x,y) 然后检验 VerAlice(x,y)= 真 问题：若Alice首先对消息x进行加密，然后再签名，结果 如何呢？Y=SigAlice(eBob(x)) Alice 将（z,y)传给Bob，Bob先将z解密， 获取x;然后用VerAlice检验关于x的加密签名y。这个方法的一个潜 在问题是，如果Oscar获得了这对（z,y)，他能用自己的签名来替 代Alice的签名 y=SigOscar(eBob(x)) (注意：Oscar能签名密文eBob(x)，甚至他不知明文x也能做。Oscar 传送（z,y )给Bob,Bob可能推断明文x来自Oscar。所以，至今人 么还是推荐先签名后加密。）
(3)存在δ，已知δ 时,对给定的任何y，若相应的x 存在，则计算x使y=f(x)是容易的。 注：1*. 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称 为陷门性，δ 称为陷门信息。 2*. 当用陷门函数f作为加密函数时，可将f公开，这 相当于公开加密密钥。此时加密密钥便称为公开 钥，记为Pk。 f函数的设计者将δ 保密，用作解 密密钥，此时δ 称为秘密钥匙，记为Sk。由于加 密函数时公开的，任何人都可以将信息x加密成 y=f(x)，然后送给函数的设计者（当然可以通过 不安全信道传送）；由于设计者拥有Sk，他自然 可以解出x=f-1(y)。 3*.单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的 密文y=f(x)推测x是不可行的。
2 、模 算术
全体整数构成的集合对整数的加法和乘法的两种 运算是封闭的且满足算术运算的所有定律，此时我们 称整数集合z为整数环。 带余除法： a∈z,>0，可找出两个唯一确定的整数q和r, 使a=qm+r, 0<=r< m,q和r这两个数分别称为以m去 除a所得到的商数和余数。 (若r=0则m∣a） 整数同余式和同余方程： 定义（同余）称整数a模正整数m同余于整数b， 并写a≡b（mod m）是指m∣a－b, m称为模数。 eg: 4≡6（mod 2）; 3≡9（mod 6） 注：1*.m∣a-ba=q1m+r,b=q2m+r即a和b分别 除以 m有相同的余数。“同余”二字的来源就在于此。
公钥密码体制RSA介绍
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公钥密码体制概述
公钥密码体制的要求 用户：产生密钥对K=(PK, SK)在计算上是可行的 发送方：已知公钥与明文，产生密文是容易的 接收方：利用私钥解密密文在计算上是可行的 攻击者：利用公钥求解私钥在计算上是不可行的 攻击者：已知公钥与密文，在不知道私钥的情况下， 恢复明文在计算上是不可行的
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Zn上的模n运算 设n的二进制表示有 0≤m1, m2≤n-1. 上的模 运算:设 的二进制表示有k, ≤ 运算 的二进制表示有
m1+m2 (mod n): O(k) m1-m2 (mod n): O(k) m1×m2 (mod n): O(k2) (m1) -1 (mod n): O(k3) (m1)c (mod n): O(k2 ×logc) (平方-乘算法).
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RSA的安全参数 RSA的安全参数
p和q要足够大 n=pq 为1024位, 或2048位. 和 要足够大 要足够大: 位 位 p和q应为强素数 和 应为强素数 应为强素数(strong prime). 如果素数p 满足以下条件, 则称为强素数. (1) p -1有大素数因子r; (2) p+1有大素数因子s; (3) r-1有大素数因子t. 例如: 理想的强素数为: r=2t+1; p=2r+1=4t+3; p=2s-1.
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RSA密码体制 RSA密码体制
例4.1 设p=11, q=13. 令 n=11×13=143 , × φ(n)=(p-1)(q-1)=(11-1)(13-1)=120, 取公钥: PK=(n, e)=(143, e=17)， 计算: d=e-1=17-1=113 (mod 120) (因为: 17×113=1921=16×120+1). 私钥: SK=(p, q , d) =(11, 13, 113). 对于明文: m=24, 密文: c=EPK(m)=2417=7 (mod 143). 对于密文: c=7, 解密: m=DSK(c)=7113=24 (mod 143 ).
信息安全概论-ppt--公钥密码体制
公钥密码体制
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4.1 一些数学基础
❖ 费马(Fermat)定理：
p素数，a是整数且不能被p整除，则：ap-1 1 mod p 例：a = 7，p = 19，则ap-1 = 718 1 mod 19
a = 3，p = 5，则ap-1 = 34 1 mod 5
❖ 欧拉(Euler)函数(n)：
如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
公钥密码体制
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素数和素分解
任一整数p>1，若只有+（-）1和+（-）p为约数，就称其 为素数（prime），否则为一合数。素数在数论和现代密码学中扮演 重要角色。 判断：
所有奇数都是素数。所有偶数都是合数。 除了1，自然数不是素数就是合数。 除了2，5，个位上是0，2，4，6，8，5的数都是合数。 两个自然数相乘，乘得的数一定是合数。 除了3，能被3整除的数都是合数。 一个自然数不是素数就是合数。 合数至少有三个因数。 素数一定是奇数。合数一定是偶数。 1不是素数也不是合数。
公钥密码体制
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4.1 一些数学基础
❖ 模运算：
求余数运算（简称求余运算）a mod n将整数a映射到集合
{0,1, …,n-1}，称求余运算在这个集合上的算术运算为模运算
模运算有以下性质： [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n)- (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
❖ 数论简介：
数论是密码学特别是公钥密码学的基本工具。研究“离散数字集合” 的相关问题。
西工大网络信息安全复习要点
西工大网络信息安全复习要点《网络信息安全》复习要点第一章：网络信息安全概论1、OSI安全体系结构：安全威胁、脆弱性、风险、安全服务、安全机制及安全服务与安全机制之间关系2、信息安全的基本属性2、TCP/IP协议族安全问题：TCP/IP协议存在的的安全弱点、DoS攻击原理（TCP SYN Flood、ICMP Echo Flood）第二章：网络信息安全威胁1、常见的安全威胁有那几种；2、DDoS攻击的基本原理及攻击网络的组成3、缓冲区溢出攻击原理4、IP欺骗攻击原理5、ARP欺骗攻击原理第三章：密码学3.1 古典密码学1、密码学基本概念：密码编码学、密码分析学、加密、解密、密钥、主动攻击、被动攻击、对称密码学、非对称密码学、主动/被动攻击、分组密码、流密码、Kerchoffs原则、2、古典密码算法：代换技术密码、置换技术密码、掌握凯撒密码、维吉尼亚密码、Hill密码的加密、解密过程3.2 对称密码学1、基本概念：对称密码体制的特点、流密码、分组密码体制的原理、混淆原则、扩散原则2、DES分组加密算法：分组长度、密钥长度、加密解密流程、工作模式（ECB、CBC、CFB、OFB、计数器）原理、2DES、3DES 的改进之处3.3 非对称密码学1、公钥密码体制的基本概念：公钥体制加密、公钥体制认证的基本原理、单向函数、单向陷门函数2、Diffie-Hellman算法：算法原理，掌握Diffie-Hellman算法用于密钥交换过程3、RSA算法：算法安全性基础、算法原理4、习题：3.8, 3.9, 3.103.4 消息认证和散列函数1、消息认证的基本概念、不可否认性、消息新鲜性、消息认证的基本技术手段2、散列函数的性质和一般结构、MD5/SHA算法的基本结构（输入、输出）、基本用法3、MAC的基本概念和使用方式、HMAC4、习题：3.15、3.163.5 数字签名技术1、数字签名的基本概念：目的、产生方法2、公钥加密算法和签名算法产生签名的基本过程3.6 密钥管理1、密钥层次化结构及概念、2、密钥的存储：3、密钥的分配及协议第五章：信息交换安全技术1、信息交换安全技术的基本功能、安全模型、安全机制、技术基础2、网络层安全协议：网络层安全协议功能、IPSec协议的组成、IPSec的实现模式、SA和SP的基本概念及两者关系、安全协议AH/ESP的功能及应用模式、处理过程3、传输层安全协议：功能、SSL的安全性、SSL协议的组成、SSL协议的密钥管理、习题7.7、7.9、7.134、PGP协议：PGP中保密和鉴别功能、PGP报文生成及接受的处理过程、密钥管理第六章：网络系统安全技术1、主要功能、主要使用技术2、防火墙基本原理、防火墙采用的主要技术及其工作原理（数据包过滤、代理服务和状态检测技术的工作原理/过程）、主要应用模式及其工作原理3、安全漏洞扫描技术的概念、有哪些扫描策略和扫描技术、漏洞扫描系统的构成及各部分功能4、入侵检测技术的概念、NDIS系统的结构及各部分功能、入侵检测方法有哪几类及原理、区别。
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东北石来自油大学
东 北 石 油
非常感谢！
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陷门单向函数
单向函数是求逆困难的函数，而单向陷门函数 是在不知道陷门信息下求逆困难的函数，当知 道陷门信息后，求逆是容易实现的。
陷门单向函数是一族可逆函数 f k ，满足 Y f k (X) 易于计算 （当k和X已知） （1） X f k1 (Y) 易于计算 （当k和Y已知） （2） X f k1 (Y) 计算上不可行（Y已知但k未知） （3） 研究公钥密码算法就是找出合适的陷门单向函数
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公钥保密和认证体制
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为了要同时实现保密性和确定性，要采用双重加、 解密
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公钥密码应满足的要求
接收方B产生密钥对在计算上是容易。 发送方A用收方的公开钥对消息m加密以产生密文 c在计算上是容易的。 收方B用自己的秘密钥对密文c解密在计算上是容 易的。 敌手由密文c和B的公开密钥恢复秘密钥在计算上 是不可行的。 加解密次序可换，即 EPK ( DSK (m)) DSK ( EPK (m)) 不是对任何算法都做此要求
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公钥密码加 m D(c) D SK EPK (m) 解密的保障 从公开密钥 PK B 和密文c要推出明文m或解密钥 SK B 在计算上是不可行的。 由于任一用户都可用用户B的公钥 PK B 向他发送机 密消息，因而密文c不具有认证性
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B B
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公钥密码认证体制
4.2 公钥密码体制的基本概念
收发双方持有相同的密钥，密钥分配困难，网络 环境更突出。 不能方便地实现数字签名，商业等应用不方便。
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缺点
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理论与实践都很成熟。 安全容易把握。 加解密速度快。
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单钥密码的优缺点： 优点
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公开密钥密码的基本思想： SK 和 PK 且 SK PK 将密钥一分为二： 由 PK 不能计算出 SK ，于是可将 PK 公开， 使密钥 PK 分配简单。 由于 SK PK 且由 PK 不能计算出 SK ，所以 SK 便成为用户的指纹，于是可方便地实现数字 签名 称上述密码为公开密钥密码，简称为公钥密 码
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已经找到一些单向性足够的函数 ①大合数的因子分解问题 大素数的乘积容易计算（p q n ），而大合数的 因子分解困难（ n p q ） ②有限域上的离散对数问题 b a 有限域上的大素数的幂乘容易计算（ c ），而 对数计算困难（loga c b ） ③椭圆曲线离散对数问题 设d是正整数，G是解点群的基点，计算dG=Q是容 易的，而由Q求出d是困难的。
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B
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单向函数
一个可逆函数 f : A B 若它满足： （1）对所有 x A 易于计算 f ( x) （2）对几乎所有 x A 由 f ( x) 求 x “极为困难”， 以至于实际上不可能做到，则称 f 为一单向函数。 定义中的“易于计算”是指函数值能在其输入长 度 的多项式时间内求出，即若输入长度为 n，计算函 na 数的时间是 的倍数， a n a为一固定的常数。 若计算函数时间是 的倍数，则为不可能做到的。